Antologa de Probabilidad

Antologa de Probabilidad

1.4 PERMUTACIONESCon frecuencia interesa un espacio muestral que contiene como elementos todos los posibles rdenes o arreglos de un grupo de objetos. Por ejemplo, se puede desear conocer cuntos arreglos diferentes son posibles para sentar a 6 personas alrededor de una mesa, o bien, cuntas formas diferentes existen para sacar 2 boletos de la lotera de un total de 20. Los diferentes arreglos se llaman permutaciones.

Definicin 1.7 Una permutacin es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de objetos.

Suponga que hay n objetos diferentes y queremos ordenar r de estos objetos en lnea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto y luego n - 1 maneras de escoger el segundo, ... , y finalmente n - r + 1 maneras de escoger el r-simo, a partir del principio fundamental del conteo se deduce que el nmero de arreglos diferentes o permutaciones, como se las nombra con frecuencia, est dado por nPr = n(n - l)(n - 2) (n - r + 1)donde se observa que el producto tiene r factores. Llamamos n Pr al nmero de permutaciones de n objetos tomados r a la vez. En el caso particular donde r = n, se obtiene n Pn = n(n - l)(n - 2)1 = n! Teorema 1.4.1. El nmero de permutaciones de n distintos objetos es n! el cual se llama n factorial. Podemos escribir en trminos de factorial como

n Pr = n !/(n-r)!Considrense las tres letras a, b y c. Las permutaciones posibles son abc, acb, bac, bca, cab y cba. Se puede ver que hay 6 distintos arreglos. Con el teorema 1.4.1, se podra llegar a la respuesta 6 sin escribir realmente las diferentes combinaciones. Hay n1 =3 posibilidades para la primera posicin, despus n2 = 2 para la segunda y nicamente n3 = 1 posibilidades para la ltima, lo que da un total de n1n2n3 =(3)(2)(1) = 6 permutaciones. En general, se pueden acomodar n objetos distintos en n(n - 1 )(n - 2) ... (3 )(2)(1) formas. Este producto se representa por el smbolo n!, que se lee "n factorial". Tres objetos pueden ser acomodados en 3! =(3)(2)(1) = 6 formas. Por definicin 1!=1 y 0!=1. Teorema 1.4.2. El nmero de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez, es:

n Pr = n! / (n - r)!Para simplificar el proceso, el producto de n en factorial detenindose en el nmero r indicado nos lleva al resultado Ej. 5 P2Llevar en factorial n es decir 5 detenindose en el r es decir en el segundo nmero:

5 x 4 = 20

8P0= 1

8P18= 8

8P28 X 7= 56

8P38 X 7 X 6= 336

8P48 X 7 X 6 X 5=1680

8P58 X 7 X 6 X 5 X 4= 6720

8P68 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3= 20160

8P78 X 7 X 6 X 5X 4 X 3 X 2= 40320

8P88!= 8 X 7 X 6 X 5X 4 X 3 X 2 X 1= 40320

EJEMPLO 1Tenemos cuatro chips distintos denominados a, b, c y d, y que deseamos considerar todas las permutaciones de estos chips, una a la vez. stas seran

a b c dSi consideramos todas las permutaciones, dos a la vez, stas seran:

ab bc

ba cb

ac bd

ca db

ad cd

da dc

Observe que las permutaciones ab y ba son distintas porque el orden de los objetos es diferente, en tanto que las permutaciones ac y ab no son iguales porque su contenido difiere.EJEMPLO 2El nmero de arreglos diferentes, o permutaciones, que constan de 3 letras cada una, que pueden formarse a partir de 7 letras A, B, C, D, E, F, G es .

7P3 = 7! /4! = 7 . 6 . 5 = 210EJEMPLO 3Se sacan dos boletos de la lotera, entre 20 posibles, para el primero y segundo premios. Encuntrese el nmero de puntos muestrales en el espacio S. Solucin El nmero total de puntos muestrales es: 20!

20P2 = 18! = (20)(19) = 380.EJEMPLO 4Un equipo de beisbol profesional normalmente est compuesto por 25 jugadores. Una alineacin consiste en nueve de estos jugadores en un orden especfico. As, hay 25P9 = 25! / 16! = posibles alineaciones.EJEMPLO 5

En cuntas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society programar a 3 conferencistas en 3 diferentes congresos, si los primeros estn disponibles en cualquiera de 5 fechas posibles?

Solucin: El nmero total de programas posibles es: 5P3 = 2!= (5) (4) (3) = 60. Teorema 1.4.3. Permutaciones con elementos similares. Suponga que un conjunto consta de n objetos de los cuales n1 son de un tipo (es decir, que no pueden distinguirse entre s), n2 son de otro tipo, ... , nk son de un k-simo tipo. Aqu, por supuesto, n = n1 + n2 + ... + nk:Entonces el nmero de permutaciones diferentes del objeto es nPn1,n2 ,.nk = n! / n 1!, n2!, .nk !

EJEMPLO 6El nmero de permutaciones diferentes de 11 letras de la palabra M 1 S S 1 S S 1 P P 1, la cual consta de 1 M, 4I, 4 S y 2 P, es 11 !

1!4!4!2! = 34,650EJEMPLO 7En cuntas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en un rbol de navidad con 9 receptculos?

Solucin El nmero total de arreglos diferentes es: 9! 3!4!2! = 1260.EJEMPLO 8 En cuntas formas diferentes pueden siete cientficos acomodarse en una habitacin triple y dos habitaciones dobles en un hotel? Solucin: El nmero total de particiones posibles sera: = 7!___ = 210 3 ! 2! 2 ! Las permutaciones que se dan al acomodar objetos en un crculo se llaman permutaciones circulares. Dos de stas no se consideran diferentes a menos que a los objetos correspondientes en los dos arreglos les preceda o les siga un objeto diferente al avanzar en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, si 4 personas juegan al bridge, no se tiene una nueva permutacin si todas se mueven una posicin en esa direccin. Al considerar a una persona en un lugar fijo y acomodar a las otras tres en 3! formas diferentes, se encuentra que hay 6 acomodos distintos para el juego de bridge.

Teorema 1.4.4 El nmero de permutaciones de n objetos distintos agregados en un crculo es (n - 1)!

Permutaciones64UNIDAD 1UNIDAD 163Permutaciones