(14-1)Ángulo Doble y Mitad (1)

Área de CienciasMA-1112008-0

04/18/23 Matemática 2 1

Funciones Trigonométricas de ángulos compuestos,ángulo doble y ángulo mitad.


Problema:Resuelva el triángulo ABC si A = 43,1º, a=186,2 y b=248,6

Problema:Determine el área del cuadrilátero ABCD

A

B

C

D

5 m 100º

6 m

7 m8 m


Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos

Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o diferencia de dos o mas ángulos simples (, , ..)

Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma: + y -

En términos de las F.T. de y .

Para ello usaremos el círculo trigonométrico y la resolución de triángulos rectángulos vista anteriormente.


O

A

B

C

1

DE

F

En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen( + )

sen( + ) = BE + EC … (1)

En el OBD:OD = cos BD = sen

En el BED:

BE = BDcos BE = sen cos … (2)

En el OFD: DF = ODsen = EC EC = sen cos …(3)

(2) y (3) en (1):

sen( + ) = sen cos + cos sen


Ejemplo:Determine el valor exacto de las expresiones:a)sen 75ºb)sen (7π/12)


Análogamente se obtiene:

cos( + ) = cos cos - sen sen

Para la diferencia se tiene:

sen( - ) = sen cos - cos sen

cos( - ) = cos cos + sen sen

Se puede demostrar:

βtantanα1βtanαtan

β)tan(α

y:

βtantanα1βtanαtan

β)tan(α


Ejemplo:Calcule el valor exacto de:

sen 20º cos 40º + cos 20º sen 40º


Ejemplo:Determine los valores de k y φ para que la expresión:

A sen x + B cos xPueda escribirse como:

k sen (x + φ).


Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble

Si en las diapositivas anteriores reemplazamos por se obtendrá:

(3)..............αtan1

αtan22αtan

(2c)............1αcos2

(2b)............αsen21

(2a)......αsenαcos2αcos

(1)........αcosαsen22αsen

2

2

2

22


Ejemplo:Si cos x = -2/3 y x está en el cuadrante II, determine sen 2x y cos 2x.


Ejemplo:Doble la esquina inferior derecha de una hoja de papel de 6” de ancho, hasta llegar a la orilla izquierda, como muestra la figura. Determine la longitud L del doblez en función de θ.

L

θ

6”


Funciones Trigonométricas del Ángulo Mitad

)2x(sen21xcos 2

Si en las expresiones (2b) y (2c) del ángulo doble, reemplazamos 2α por x, entonces α = , por lo que obtendremos:

2x

Despejando queda: 2xcos1

)2xsen(

También: 2xcos1

)2xcos(

dividiendo:xcos1xcos1

)2xtan(

racionalizando:xcos1

xsenxsenxcos1

)2xtan(


Ejemplo:Determine tan(u/2) si sen u = 2/5 y u está en el cuadrante II.

2215)

2utan(:RPTA

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