13_M.Q.O Formalismo da M.Q. by librosparacuates.pdf

6- 1

6 O Formalismo da Mecacircnica Quacircntica Parte III Mediccedilotildees na Mecacircnica Quacircntica

631 A matriz representativa de um operador

Passemosagora ao problema de encontrar a matriz representativa de um operador A

Suponhamos conhecidos a funccedilatildeo ψ(x) o operador A e um sistema de eixos ξ1 ξ2 ξ3 no espaccedilo de Hilbert sob consideraccedilatildeo O vetor Iψ(x)gt ou simplesmente ψ(x) neste paraacutegrafo natildeo usamos normalmente a notaccedilatildeo de Dirac poderaacute ser descomposto em suas projeccedilotildees sobre estes eixos ou seja

onde csuminfin

=ξ=ψ

1nnnc)x( n = ltξnIψgt e o problema que nos propomos eacute o de

encontrar a expansatildeo do vetor φ(x) no processo de aplicar o operador A sobre ψ ou seja estamos buscando os coeficientes dn na relaccedilatildeo

φ(x) = A ψ(x) = sumn=1infin dn ξn (1)

Efetivamente achados estes coeficientes dn ficaraacute completamente definida a funccedilatildeo φ(x) e em consequumlecircncia o efeito do operador A ao ser aplicado agrave funccedilatildeo ψ(x)

O efeito este no espaccedilo Hilbert eacute o de transformar o vetor ψ no vetor φ Sabemos que em geral um operador A transforma um vetor do espaccedilo Hilbert num outro vetor distinto em magnitude e direccedilatildeo

(Segundo Dirac o conjunto ci eacute o representante da funccedilatildeo ψ Se as ξi satildeo autofunccedilotildees do operador A entatildeo os nuacutemeros ci definem o estado do sistema representado pela funccedilatildeo ψ na representaccedilatildeo A)

Para resolver o problema posto de encontrar o vetor φ apliquemos A aos membros de ψ = sum cmξm

6- 2

φ = Aψ = A sumcmξm = sum cmAξm = sumdm ξm (2)

com cm = ltξmIψgt ou (ξmψ) e dm = ltξmIφgt ou (ξmφ) Os dm ficam para ser determinados veja isso no que segue

Tomamos em conta que A (c f(x)) = c (A f(x)) quaisquer que sejam A e f contanto que c seja uma constante

Para achar φ(x) precisamos pois previamente encontrar o efeito que tem o operador A sobre as funccedilotildees ξm

Ao aplicar A sobre ξm obteremos uma nova funccedilatildeo que poderemos a sua vez projetar sobre os eixos Suponhamos que ao fazer isso obteremos a expansatildeo

A ξm = sumn Anmξn = A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + (3)

Substituindo isso na expansatildeo (2) obteremos

φ = summ cm (A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + ) = summ cm A1 m ξ1 + summ cm A1 m ξ1 + summ cm A2 m ξ2

+ = d1 ξ1 + d2 ξ2 + = summ dm ξm (4)

sendo dn = summinfin cm Anm (5)

Uma vez determinados os coeficientes An m podemos calcular por meio de (5) todos os componentes dn do vetor φ

Estes componentes podem ser distribuiacutedos em forma matricial formando a matriz representativa do operador A ( a forma desta matriz depende da base)

]A[

AAA

AAA

3AAA

]A[333231

232221

1211

nm =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= (6)

Usamos colchetes para as matrizes infinitas e parecircnteses para as finitas

A matriz (6) representa ao operador A jaacute que determina sem ambiguumlidade alguma o vetor (ou a funccedilatildeo) φ que se obteacutem ao aplicar A sobre uma funccedilatildeo ψ dada

O vetor φ definido por seus componentes dn = summinfin cm Anm escreve-se em notaccedilatildeo matricial como

6- 3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ccc

AAA

AAA

AAA

ddd

(6)

Na Mecacircnica paraacutegrafo 223 Mech_2_2 falamos sobre a representaccedilatildeo de matrizes com MUPAD

d2 eacute por exemplo o produto da segunda linha [A21 A22 A23 ] com a coluna [ci] ou seja d2 = A21c1 + A22c2 + A23c3 + = summ cm A2m

Para determinar os coeficientes Anm basta observar em A ξm = sumn Anmξn que Anm natildeo eacute outra coisa que a projeccedilatildeo do vetor Aξm sobre o vetor ξn Para obter Anm nos bastaraacute entatildeo multiplicar escalarmente Aξm e ξn Teremos portanto

Anm = (ξnAξm) (7)

Lembrando que (fg) = intf(x)g(x) dv resulta

Anm = (ξnAξm) = intξnAξm dv = ltnIAImgt (8)

Conhecendo assim os coeficientes Anm da matriz representativa do operador A teremos imediatamente os componentes dn do vetor φ na Eq 4

O operador adjunto foi definido em 622 Falemos agora da matriz adjunta

Se A+ eacute o adjunto do operador A resulta que para quaisquer vetores ψ φ vale

(φAψ) = (A+φψ) (9)

Para dois vetores ξm ξn do sistema ξi de eixos temos

(ξnAξm) = (A+ξnξm) = (ξmA+ξn) (10)

Daiacute vemos que Anm = (A+mn) ou Anm = A+

mn ou A+nm

= Amn Ou seja

Obtecircm-se a matriz adjunta trocando linhas e colunas (matriz transposta) e tomando os complexos conjugados dos elementos da matrix transposta

Se A eacute um operador hermiteano o autoadjunto resulta Anm = Amn

6- 4

Exemplo

A seguinte matriz eacute hermiteana

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=

93iiba3i6iibai3

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+minusminusminus

=93iiba

3i6iibai3

AT

Sendo A+ = (AT) obtemos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=+

93iiba3i6iibai3

A

ou seja A = A+ Para matrizes reais vale A+ = AT

Se as funccedilotildees βi empregadas para calcular os elementos da matriz A satildeo as autofunccedilotildees do operador A ou seja quando A βi = αiβi obteacutem-se

ltmIAIngt = intβm Aβn dv = αn intβmβndv = αn δmn

e a matriz fica reduzida a sua diagonal principal com os elementos iguais aos autovalores ou seja

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα

α

=

0

0]A[ 3

2

1

(11)

Dito de outra maneira o problema de achar os autovalores de um operador equivale a reduzir sua matriz representativa a sua matriz diagonal (Por isso eacute importante ter meacutetodos numeacutericos que diagonalizam uma matriz)

Note que os elementos da diagonal principal de toda matriz hermiteana devem ser reais jaacute que se o elemento Ajj fosse a + ib o elemento Ajj seria a - ib e estes elementos soacute podem ser iguais quando b = 0 ou seja quando satildeo reais

6- 5

632 Mudanccedilas de eixos no espaccedilo Hilbert

Vimos que um operador dado A num sistema de eixos dado ξi estaacute representado por a matriz [Anm] Eacute claro que se mudarmos o sistema e aplicarmos um novo sistema de eixos ξi o mesmo operador estaraacute representado por uma matriz distinta [Anm] O problema eacute como encontrar esta nova matriz [Anm]

Vamos introduzir um novo operador U que faz a transformaccedilatildeo do conjunto ortonormal ξi no conjunto tambeacutem ortonormal ξi

ξn = U ξn n = 1 2 3 (12)

(Um exemplo de uma mudanccedila de eixos estudamos na Mecacircnica paraacutegrafo 361 descrevendo rotaccedilotildees por meio de uma matriz de rotaccedilatildeo)

Sendo o conjunto ξi completo podemos transformar todo vetor ψ = sumn=1infin cnξn em outro vetor ψ usando U Ou seja

ψ = Uψ = U sumn=1infin cnξn = sumn=1infin cn Uξn = sumn=1infin cnξn (13)

O operador U eacute chamado de operador unitaacuterio e pode ser definido de diferentes maneiras Aqui vamos usar a seguinte

Definiccedilatildeo

Um operador U eacute chamado de unitaacuterio (ou ortogonal) se satisfaz agrave relaccedilatildeo

U U+ = U+U = I (14)

A matriz U que representa um operador unitaacuterio eacute uma matriz unitaacuteria (ou ortogonal ou seja as colunas e linhas satildeo vetores ortonormais) Vamos demonstrar que um operador unitaacuterio preserva o produto interno e natildeo muda o comprimento de um vetor

A equaccedilatildeo ξn = T ξn define o operador inverso de U pois temos

ξn = T ξn = TU ξn TU = I T = U-1 ou seja ξn = U-1 ξn

Vamos demonstrar que o operador U deixa inalterado o produto interno ou seja (UφUψ) = (φψ)

6- 6

ψ = summ=1infin cmξm e φ = sumn=1infin dnξn

Uψ= summ=1infin cmUξm = summ=1infin cmξm e Uφ= sumn=1infin dnUξn = sumn=1infin dnξn

(UφUψ) = (sumn=1infin dnξn summ=1infin cmξm)= sumnm (dnξn cmξm)

= sumnm dn cm (ξn ξm) = sumn dn (summcm δnm) = sumn dn cn

temos tambeacutem

(φψ) = (sumn=1infin dnξn summ=1infin cmξm) = sumnm dn cm (ξn ξm)= sumn dn cn

Por isso (UφUψ) = (φψ) e daiacute segue que U eacute unitaacuterio

Tambeacutem podemos escrever U-1 = U+ e ξn = U+ ξn

cn sejam os componentes do vetor ψ no sistema ξi e dn os do vetor φ

No sistema ξi esses componentes satildeo cn e dn Temos tambeacutem que (φψ) = sumn dn cn = sumn (dn) cn jaacute que o produto interno deve ser independente do sistema de eixos

Para achar o efeito que tem a mudanccedila da base sobre a matriz representativa do operador A consideramos a equaccedilatildeo φ = A ψ em ambos os sistemas

(Em ambos os casos trata-se do mesmo operador e dos mesmos vetores φ e ψ somente as matrizes representativas satildeo diferentes)

Usando a base ξi temos

ψ = sumn=1infin cnξn e φ = sumn=1infin dnξn aleacutem disso φ = A ψ = summ=1infin cm Aξm

dn = (ξnφ) = (ξn summ=1infin cm Aξm) = summ (ξn cm Aξm) = summ cm (ξn Aξm)

Designando (ξn Aξm) = ltξnIAIξmgt por Anm obtemos finalmente

dn = summ=1infin Anm cm n = 123 (15)

Usando a base ξi obteremos

dn = (ξnφ) = (ξn summ=1infin cm Aξm) = summ (ξn cm Aξm) = summ cm (ξn Aξm) e com

Anm = (ξn A ξm) resulta dn = summ=1infin Anm cm n = 123 (16)

6- 7

Tambeacutem podemos escrever (jaacute que ξn = U ξn e ξm = Uξm)

Anm = (ξn A ξm) = (Uξn AUξm) = (ξn U+AUξm)= (U+AU)nm (17)

Com as regras para a multiplicaccedilatildeo de matrizes obteremos

cr m = (AU)r m = sums=1infinArs Usm r = linha m = coluna C= AU

dn m = (U+C)n m = sumr=1infinU+nr Cr m = Anm

U+nr = elemento da linha n e da coluna r da matriz U+

ou seja U+nr = (ξn U+ξr) Ars = (ξr Aξs) Usm = (ξs Uξm) com U+ = U-1

Podemos escrever

Anm = (U+AU)nm = sumrs=1infinU+nr Ars Usm ou tambeacutem

A = U+A U = U-1AU (18)

A relaccedilatildeo (18) indica a lei de transformaccedilatildeo de matrizes ao mudar os eixos Esta lei tem caraacuteter geral e por isso eacute aplicaacutevel tambeacutem quando o nuacutemero de dimensotildees eacute finito pois na sua deduccedilatildeo nunca foi preciso pocircr uma condiccedilatildeo ao respeito do nuacutemero das dimensotildees

Mas observe bem natildeo para toda matriz unitaacuteria U seraacute A mais simples do que A Mas segundo um teorema muito importante de Schur (1909) existe para qualquer matriz A uma transformaccedilatildeo unitaacuteria U tatildeo que A = U+A U eacute da seguinte forma (forma canocircnica de Schur)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotλsdotsdotλsdotsdotλ

=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)

Os elementos Aii = λi satildeo os autovalores de A Aleacutem disso pode-se demonstrar que Tr A = Tr A e det A = det A

6- 8

64 Mediccedilotildees na Mecacircnica Quacircntica

Na mecacircnica quacircntica postulamos que a cada grandeza observaacutevel Atilde corresponde um operador A Agora podemos afinar este conceito afirmando que este operador eacute sempre hermiteano (Nesta seccedilatildeo designamos as autofunccedilotildees com φ em vez de ψ)

A todo autovalor an da equaccedilatildeo Aφ = aφ corresponde uma autofunccedilatildeo φn e pedimos que o sistema das autofunccedilotildees φ1 φ2 φ3 seja completo e que os autovalores formem uma sucessatildeo ordenada a1 le a2 le a3 le

Toda partiacutecula ou grupo de partiacuteculas estaacute descrita na mecacircnica quacircntica por uma funccedilatildeo de onda ψ e o problema de encontrar os valores possiacuteveis da variaacutevel Atilde reduz-se a achar os autovalores da equaccedilatildeo Aφ = aφ Agora vamos perguntar-nos quais satildeo as probabilidades de cada um dos resultados possiacuteveis Para responder esta pergunta expandiremos a funccedilatildeo de onda ψ do sistema sob estudo em uma seacuterie das autofunccedilotildees φn

ψ = sumn=1infin cnφn (20)

Se o sistema estiver antes da mediccedilatildeo num autoestado φn de A entatildeo fazendo uma mediccedilatildeo da observaacutevel Atilde daria o resultado certo an Em geral o sistema estaacute num estado ψ com ||ψ|| = 1 que natildeo eacute um autoestado Mas ψ sempre pode ser expandido numa seacuterie de autoestados φn onde cn =(φnψ)

Uma expansatildeo do quarto postulado afirma que a probabilidade de obter para a observaacutevel Atilde dum sistema no estado (20) um resultado compreendido no intervalo aacutele a le a eacute

P(aa) = sumn|cn|2 (21)

incluindo na soma unicamente tais valores de n para os quais an estaacute compreendido no intervalo aacutele a le a E em consequumlecircncia quando no intervalo (aa) conteacutem o uacutenico autovalor aj entatildeo P(aa) = |cj|2 e ψ = φj

Agora ao fazer a experiecircncia pode suceder que o estado do sistema se altere e por isso se medirmos a observaacutevel Atilde no mesmo sistema uma segunda vez pode ser que vamos obter um resultado diferente de aj

Se somarmos todas as probabilidades possiacuteveis devemos obter

P(-infin+infin) = sumn=1infin |cn|2 = 1 (22)

6- 9

Vamos demonstrar a Eq 22 mas antes recordaremos como se pode determinar os coeficientes cn

ltφiIψgt = (φiψ) = intψφidv = int(sumcnφnφi)dv = sumcnintφiφndv =sumcn δin = ci

Agora a Eq 22 usando ψ = sumcnφn e ψ = sumcnφn e int φiφjdv = δij resulta

intψψdv = suminej cjci int φjφidv + sumk=1infin ckckintφkφkdv = sumk=1infinckck = sumk=1infin|ck|2=1

qed

Agora nos resta generalizar a expressatildeo para o valor esperado (postulado 5 seccedilatildeo 31)

Vamos substituir ψ = sumcnφn na relaccedilatildeo lt Atilde gt = intψAψdv O caacutelculo eacute parecido ao anterior (Atilde eacute a observaacutevel que anteriormente 31 foi designado por Q)

lt Atilde gt = intψψdv =

= suminej cicjaj int φiφjdv + sumk=1infin ckckakintφkφkdv = sumk=1infinckckak = sumk=1infinak|ck|2

lt Atilde gt = sumk=1infinak|ck|2 (23)

A Eq 23 nos daacute o valor esperado da observaacutevel Atilde em funccedilatildeo dos coeficientes cn e dos autovalores an

Se conhecemos as autofunccedilotildees e os autovalores os coeficientes cn para cada ψ se deduziratildeo imediatamente por meio da equaccedilatildeo intψφidv = ci Conhecendo estes valores podemos realizar os caacutelculos requeridos para determinar lt Atildegt e P(aa)

Como indicado ltAtildegt eacute o valor meacutedio que se encontraria se num nuacutemero elevado de sistemas iguais todos descritos pela mesma funccedilatildeo de onda efetuarmos um experimento para medir a magnitude da observaacutevel Atilde Se a funccedilatildeo de onda fosse ψ = φn entatildeo sendo cn = 1 e ci = 0 para i ne n a equaccedilatildeo lt Atilde gt = sumk=1infinak|ck|2 daria

lt Atilde gt = an (24)

como efetivamente deveria de ser

Consideremos o caso da energia total dum sistema

6- 10

A forma geral da funccedilatildeo de onda seraacute uma soma de um nuacutemero de diferentes funccedilotildees de onda ψn(xt)

ψ(xt) = sumn=1infin cn ψn(xt) = sumn=1infin cn exp(-iEntħ)ψn(x) (25)

O valor esperado da energia calculamos como

ltEgt = int-infininfin ψ(xt)iħpartψ(xt)partt dx onde iħpartpartt eacute o operador da energia

(Os operadores E = iħpartpartt e o hamiltoniano H = - ħ22m ∆ + U produzem resultados iguais quando aplicados a (25) ou seja eles satildeo operadores equivalentes) Substituindo (25) na expressatildeo para ltEgt daacute

ltEgt = int summ=1infin cm exp(iEmtħ)ψm(x)iħsumn=1infincn(-iEnħ)exp(-iEntħ)ψn(x)

= sumnsumm Encmcn exp[i(Em-En)tħ] int-infininfin ψm(x) ψn(x) dx

A integral eacute zero para mnen e a soma sobre m contribui somente com o termo m = n entatildeo temos

ltEgt = sumn En cncn exp[i(En - En)tħ] = sumn=1infin En |cn|2 (26)

Quando a partiacutecula se encontra num autoestado por exemplo ψk(xt) entatildeo ck = 1 e cn = 0 para n ne k Neste caso a Eq 26 proporciona ltEgt = Ek

Se ψ(xt) natildeo for separaacutevel ou seja se natildeo se poderia escrever uma equaccedilatildeo como a 25 entatildeo os coeficientes cn seratildeo funccedilotildees do tempo

ψ(xt) = sumi ci(t) ψi(x) (27)

e os coeficientes ci(t) vatildeo satisfazer a relaccedilatildeo

cj (t) = cj(t0) exp [ - i Ej (t-t0)ħ] (28)

Esta equaccedilatildeo diz algo importante sobre mediccedilotildees da energia os resultados natildeo dependem do tempo Pois a probabilidade para medir um autovalor Ej eacute

P(Ej) = |cj(t)|2 = | cj(t0) exp [ - i Ej (t-t0)ħ]|2 = |cj(t0)|2 = |cj(0)|2 se tomarmos t0 = 0

O tempo da mediccedilatildeo desaparece devido agrave forma especial do fator de tempo (fator exponencial e complexo)

6- 11

65 Evoluccedilatildeo do valor esperado com o tempo

Seja Q um operador hermiteano que pode tambeacutem depender explicitamente do tempo Queremos saber a velocidade da mudanccedila do valor esperado da observaacutevel Q(t) representada por Q(t)

dltQ(t)gtdt = int-infininfin partpartt [ψ(xt) Q(t) ψ(xt)] dx (29)

Isso podemos escrever como

dltQ(t)gtdt = int-infininfin [partψpartt Qψ + ψ(partQpartt ψ) + ψQ partψpartt]dx (30)

O segundo termo no integrando seria zero se o operador natildeo dependesse explicitamente do tempo Geralmente os operadores efetivamente natildeo dependem do tempo mas no caso de sistemas expostos a campos externos Q sim pode explicitamente depender do tempo

Para substituir partψpartt e partψpartt utilizamos e equaccedilatildeo de Schroumldinger dependente do tempo e sua complexa conjugada ou seja

iħpartψpartt = Hψ e -iħpartψpartt = Hψ (31)

O operador H eacute real Da Eq (30) obteremos escrevendo o segundo termo como um valor esperado no lado esquerdo

dltQ(t)gtdt - ltpartQ(t)parttgt = iħ int[Hψ(xt)] Qψ(xt) - ψ(xt)QHψ(xt)dx (32)

=i ħ [ltHψIQψgt - ltψIQHψgt] (33)

Utilizando a propriedade hermiteana de H podemos combinar os operadores

dltQ(t)gtdt - ltpartQ(t)parttgt = i ħ [ ltψIHQψgt - ltψIQHψgt]

= i ħ ltψIHQ - QHIψgt (34)

Na direita reconhecemos o comutador [HQ] e temos entatildeo o resultado

dltQ(t)gtdt = ltpartQ(t)parttgt + ħ-1 lti[HQ]gt (35)

6- 12

Quando como na maioria dos casos Q natildeo eacute funccedilatildeo expliacutecita do tempo temos ltpartQ(t)parttgt = 0 e se [HQ] for zero tambeacutem dltQ(t)gtdt = 0 e podemos formular o seguinte

Teorema

O valor esperado de um operador que comuta com o hamiltoniano eacute uma constante do movimento (ou seja natildeo se modifica quando o estado do sistema evoluir)

Jaacute que todo operador comuta consigo mesmo temos em particular que [HH] = 0 ou seja que a observaacutevel E eacute conservada Eacute claro que a energia natildeo seraacute conservada quando o potencial depender do tempo U = U(xt) Em tal caso o hamiltoniano tambeacutem seria dependendo do tempo o que acabamos de excluir Deveriacuteamos entatildeo escrever dltEgtdt = ltpartUparttgt

Na mecacircnica claacutessica existe uma equaccedilatildeo muito parecida agrave equaccedilatildeo (35)

dQ(t)dt = partQpartt + QH (36)

onde todas as grandezas satildeo funccedilotildees e natildeo operadores Q[xi(t)pi(t) i = 123N = Q(t) eacute uma observaacutevel claacutessica (ou uma variaacutevel dinacircmica) para um sistema unidimensional de N partiacuteculas cujo hamiltoniano eacute H

QH o colchete ou parecircntese de Poisson eacute definido por

QH = sumi=1N (partQpartxi partHpartpi - partQpartpi partHpartxi) (37)

6- 13

651 A conservaccedilatildeo da paridade

A demonstraccedilatildeo da natildeo conservaccedilatildeo da paridade foi gratificado com o precircmio Nobel no ano 1957 Ateacute 1956 pensava-se que paridade fosse um princiacutepio fundamental da Natureza todos os fenocircmenos naturais obedeceriam a leis invariantes mediante a reflexatildeo no espelho (transformaccedilatildeo esquerdo - direito) Em 1956 os fiacutesicos sino-americanos Chen Ning Yang e Tsung Datildeo Lee sugeriram que as leis do decaimento β violariam a paridade e suas previsotildees foram prontamente confirmadas em experiecircncias realizadas por Chien-Shing Wu tambeacutem sino-americana e colaboradores (Chen Ning Yang e Tsung Datildeo Lee receberam o precircmio Nobel de 1957 pelos seus trabalhos sobre as leis de paridade em partiacuteculas elementares)

Agora resta saber o que eacute o operador de paridade Π (Veja tambeacutem 454)

Considere uma funccedilatildeo ψ(x) Define-se o operador de paridade Π pela seguinte relaccedilatildeo

Πψ(x) = ψ(-x) (38)

Logo o operador de paridade transforma cada coordenada cartesiana em seu negativo

O operador Π eacute linear pois

Π[ψ1(x) + ψ2(x)] = ψ1(-x) + ψ2(-x) = Πψ1(x) + Πψ2(x)

e Π [cψ(x)] = cψ(-x) = c Πψ(x)

Aleacutem disso podemos mostrar que Π eacute um operador hermiteano pois da definiccedilatildeo do produto interno segue

(Πψφ) = int-infininfin ψ(-x) φ(x) dx = int-infininfin ψ(x)φ(-x)dx

onde foi usada a substituiccedilatildeo x = -x Visto que o valor da integral natildeo depende do nome da variaacutevel da integraccedilatildeo temos

(Πψφ) = int-infininfin ψ(x)φ(-x)dx = (ψΠφ)

o que significa que Π eacute hermiteano

O operador Π2 equivale a multiplicar por um isto eacute o operador Π2 corresponde ao operador unidade ou seja Π2 = I Isso podemos ver do seguinte caacutelculo

6- 14

Π2ψ(x) = Π ψ(-x) = ψ(x) jaacute que Π(Πψ) = Π(ψ(-x)) = ψ(x) = ψ

Da hermitecidade de Π segue que os autovalores de Π satildeo reais Efetivamente a equaccedilatildeo dos autovalores Πψ = λψ pode ser multiplicada por Π dando

Π2ψ = λΠψ = λ2ψ

Poreacutem como operar com Π2 equivale a multiplicar por 1 entatildeo λ2 = 1 e daiacute λ = plusmn 1 Essa equaccedilatildeo nos diz que os autovalores do operador Π2 satildeo +1 e -1 Se λ = +1 entatildeo diz-se que ψ eacute uma funccedilatildeo par Quando λ = -1 diz-se que ψ eacute uma funccedilatildeo iacutempar

Para a autofunccedilatildeo ψ(x) = senx encontramos Πψ(x) = sen(-x)= - senx = -1middotψ(x) o que nos diz que λ = -1 e que ψ eacute uma funccedilatildeo iacutempar

Para ψ = cosx teremos Πψ(x) = +1middotψ(x) logo ψ = cosx eacute uma funccedilatildeo par

Da forma similar veremos que ψ = e-x natildeo eacute uma autofunccedilatildeo do operador Π uma vez que ψ = e-x natildeo possui uma paridade definida pois vemos que

Πψ = ex e isso significa que Πψ ne plusmn 1middotψ

Finalmente vamos demonstrar que no caso de um sistema com potencial simeacutetrico por exemplo no caso V(-x) = V(x) o hamiltoniano do sistema e o operador de paridade comutam isso eacute ΠH = HΠ ou seja [ΠH] = 0

Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)

Hψ(x) = - ħ22m d2ψ(x)dx2 + V(x)ψ(x) e

ΠHψ(x) = - ħ22m Πd2ψ(x)dx2 + ΠV(x)ψ(x)

= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)

= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(x)ψ(-x) = HΠψ(x)

Sendo esta equaccedilatildeo vaacutelida para qualquer funccedilatildeo temos

HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed

Isso tem como consequumlecircncia que dltΠgtdt =0 como vimos no paraacutegrafo anterior (se [HQ] for zero tambeacutem dltQ(t)gtdt = 0)

615

652 O Teorema de Ehrenfest

A mecacircnica claacutessica como limite da mecacircnica quacircntica

Paul Ehrenfest 1811880 - 2591933 veja a biografia na paacutegina

httpwww-groupsdcsst-andacuk~historyMathematiciansEhrenfesthtml

A mecacircnica quacircntica substitui o sistema mecacircnico sob estudo por uma funccedilatildeo de onda ψ As propriedades de ψ se deduzem das do sistema mecacircnico real Quando se trata de uma partiacutecula esta funccedilatildeo de onda seraacute em geral um pacote de ondas Se a partiacutecula eacute descrita por uma funccedilatildeo de onda ψ que pode ou natildeo ser um pacote de ondas os valores meacutedios das coordenadas e do momento linear satisfazem agraves equaccedilotildees

m dltxgtdt = ltpxgt = mltvxgt

m dltygtdt = ltpygt = mltvygt

m dltzgtdt = ltpzgt = mltvzgt

que podemos escrever como

dltrgtdt = ltvgt (40)

o que eacute anaacuteloga agrave equaccedilatildeo drdt = v

O conteuacutedo da equaccedilatildeo (40) constitui o teorema de Ehrenfest Z Phys 45455 (1927) que agora vamos a demonstrar (O processo do caacutelculo eacute longo mas natildeo tem dificuldade nenhuma O representaremos detalhadamente por ser seguramente instrutivo)

Comeccedilaremos calculando a derivada com respeito ao tempo de ltxgt

dltxgtdt = ddt intV ψxψ dV = intpartψpartt xψdV + intψ xpartψpartt dV

Substituiacutemos partψpartt e partψpartt utilizando a equaccedilatildeo de Schroumldinger dependente do tempo e sua complexa conjugada confira a Eq 31

616

dltxgtdt = int xψ [iħ2m ∆ψ - iUħ ψ]dV + int xψ[-iħ2m ∆ψ + iUħ ψ]dV

= iħ2m int (xψ ∆ψ - xψ ∆ψ)dV (41)

Logo demonstraremos que o segundo termo do integrando pode ser transformado confira Eqs 46-53 Essa transformaccedilatildeo nos proporcionaraacute

dltxgtdt = = iħ2m int ψ [x ∆ψ - ∆(xψ)]dV (42)

Eacute faacutecil mostrar que ∆(xψ) = x∆ψ + 2 partψpartx o que daacute

dltxgtdt = - iħ2m intψ(2partψpartx)dV = -iħm int ψ partψpartx dV (43)

Tomando em conta que ltpxgt = -iħintψ partψpartx dV resulta finalmente

dltxgtdt = m-1 ltpxgt (44)

ou seja a primeira componente da Eq (40) qed Devemos dar-nos conta de que este resultado foi somente possiacutevel porque ltpxgt foi adequadamente definido Eacute evidente que um caacutelculo idecircntico daraacute as equaccedilotildees faltantes

dltygtdt = m-1 ltpygt e dltzgtdt = m-1 ltpzgt (45)

Antes de fazer um comentaacuterio sobre o teorema de Ehrenfest vamos derivar a expressatildeo usada para reduzir o segundo termo do integrando da Eq (41)

Observamos que este termo pode integrar-se por partes Para fazer isso comprovaremos primeiro a seguinte identidade

div[xψ grad ψ] = (xψ) ∆ψ + grad ψ middot grad (xψ) (46)

com as seguintes definiccedilotildees

otilde ψ = grad ψ = partψpartx i + partψparty j + partψpartz k (otilde = Nabla (hebr))

∆ ψ = otilde2 ψ = div grad ψ = otildemiddototilde ψ = part2ψpartx2 + part2ψparty2 + part2ψpartz2

observe que otilde middot otilde = otilde2 = ∆ (= operador de Laplace)

div f = otilde f = partfxpartx + partfyparty + partfzpartz

617

Exemplo div (f F) = part(f Fx)partx + part(f Fy)party + part(f Fz)partz

Mas part(f Fx)partx = f partFxpartx + Fx partfpartx etc Finalmente resulta

div (f F) = f (partFxpartx + partFyparty + partFzpartz) + Fx partfpartx + Fy partfparty + Fz partfpartz ou

div (f F) = f (div F) + F middot grad f = f (otildemiddot F) + Fmiddototildef (47)

tomando f = xψ e F = grad ψ = otildeψ resulta

div (xψ otildeψ) = xψ (div grad ψ) + grad ψmiddot grad (xψ)

= (xψ) (otildemiddototildeψ) + otildeψmiddototilde(xψ) ou seja

div (xψ otildeψ) = (xψ) (∆ψ) + otildeψmiddototilde(xψ) ) (48)

Com este resultado volvamos agrave integral (41)

dltxgtdt = iħ2m intV (xψ ∆ψ - xψ ∆ψ)dV

onde substituiacutemos xψ∆ψ por (div(xψ otildeψ) - otildeψ middot otilde(xψ))

intV (xy)∆ψdV = intV [div(xψ otildeψ) - otildeψ middot otilde(xψ)] dV (49)

Usando agora o teorema de Gauss para transformar uma integral sobre um volume numa integral sobre a superfiacutecie do volume

intV div A = intS Amiddotds (50)

Obteremos

intV (xy)∆ψdV = ints (xψ otildeψ)middot ds - intV otildeψ middot otilde(xψ) dV

ψ deve sempre anular-se ao longo da superfiacutecie S jaacute que ψ deve tender a zero para grandes distacircncias do origem Assim a primeira integral se anula e resulta

intV (xψ)∆ψdV = - intV otildeψ middot otilde(xψ) dV (51)

Repetimos agora o processo que acabamos de fazer com o uacuteltimo integrando Vale a seguinte identidade

618

div[ψotilde(xψ)] = ψ otilde2(xψ) + otildeψmiddot otilde(xψ) (52)

Podemos introduzir em (51) a expressatildeo otildeψmiddototilde(xψ) que tiramos da Eq (52)

intV (xψ)∆ψdV = -intV div[ψotilde(xψ)] - ψ otilde2(xψ)dV

e volvendo a aplicar o teorema de Gauss tenderemos

intV (xψ)∆ψdV = -intS [ψotilde(xψ)]middotds + intV ψ otilde2(xψ)dV

Pelas mesmas razotildees que antes a integral sobre a superfiacutecie se anula e fica

intV (xψ)∆ψdV = intV ψ otilde2(xψ)dV (53)

Podemos finalmente voltar agrave integral (41) que queriacuteamos calcular

O teorema de Ehrenfest que acabamos de demonstrar eacute soacute um caso especial do lei de correspondecircncia de Bohr que agora poderiacuteamos pronunciar assim

A cada lei da mecacircnica claacutessica corresponde uma lei anaacuteloga na mecacircnica quacircntica lei que se obteraacute substituindo as variaacuteveis claacutessicas pelos valores meacutedios das variaacuteveis quacircnticas correspondentes

Assim por exemplo quando na mecacircnica claacutessica existe um potencial temos para a forccedila F = m dvdt = dpdt = - grad U A lei anaacuteloga na mecacircnica quacircntica seraacute dltpgtdt = - grad ltUgt

Vemos assim que a mecacircnica claacutessica pode ser considerada como limite da mecacircnica quacircntica De outra maneira pode-se demonstrar isso observando que para comprimentos de onda muito pequenos a equaccedilatildeo de Schroumldinger se transforma na equaccedilatildeo claacutessica de Hamilton-Jacobi que eacute uma equaccedilatildeo diferencial parcial de primeira ordem nas n + 1 variaacuteveis independentes q1q2q3 qnt


httpwww-groupsdcsst-andacuk~historyMathematiciansE

A mecacircnica quacircntica substitui o sistema mecacircnico sob estudo





dltrgtdt = ltvgtemspemsp(40)


O conteuacutedo da equaccedilatildeo (40) constitui o teorema de Ehrenfest

Comeccedilaremos calculando a derivada com respeito ao tempo de lt


6- 2

φ = Aψ = A sumcmξm = sum cmAξm = sumdm ξm (2)

com cm = ltξmIψgt ou (ξmψ) e dm = ltξmIφgt ou (ξmφ) Os dm ficam para ser determinados veja isso no que segue

Tomamos em conta que A (c f(x)) = c (A f(x)) quaisquer que sejam A e f contanto que c seja uma constante

Para achar φ(x) precisamos pois previamente encontrar o efeito que tem o operador A sobre as funccedilotildees ξm

Ao aplicar A sobre ξm obteremos uma nova funccedilatildeo que poderemos a sua vez projetar sobre os eixos Suponhamos que ao fazer isso obteremos a expansatildeo

A ξm = sumn Anmξn = A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + (3)

Substituindo isso na expansatildeo (2) obteremos

φ = summ cm (A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + ) = summ cm A1 m ξ1 + summ cm A1 m ξ1 + summ cm A2 m ξ2

+ = d1 ξ1 + d2 ξ2 + = summ dm ξm (4)

sendo dn = summinfin cm Anm (5)

Uma vez determinados os coeficientes An m podemos calcular por meio de (5) todos os componentes dn do vetor φ

Estes componentes podem ser distribuiacutedos em forma matricial formando a matriz representativa do operador A ( a forma desta matriz depende da base)

]A[

AAA

AAA

3AAA

]A[333231

232221

1211

nm =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= (6)

Usamos colchetes para as matrizes infinitas e parecircnteses para as finitas

A matriz (6) representa ao operador A jaacute que determina sem ambiguumlidade alguma o vetor (ou a funccedilatildeo) φ que se obteacutem ao aplicar A sobre uma funccedilatildeo ψ dada

O vetor φ definido por seus componentes dn = summinfin cm Anm escreve-se em notaccedilatildeo matricial como

6- 3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ccc

AAA

AAA

AAA

ddd

(6)




Anm = (ξnAξm) (7)






(φAψ) = (A+φψ) (9)




mn ou A+nm

= Amn Ou seja



6- 4

Exemplo


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=

93iiba3i6iibai3

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+minusminusminus

=93iiba

3i6iibai3

AT


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=+

93iiba3i6iibai3

A





⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα

α

=

0

0]A[ 3

2

1

(11)



6- 5




ξn = U ξn n = 1 2 3 (12)





Definiccedilatildeo


U U+ = U+U = I (14)





6- 6





temos tambeacutem
















6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ccc

AAA

AAA

AAA

ddd

(6)




Anm = (ξnAξm) (7)






(φAψ) = (A+φψ) (9)




mn ou A+nm

= Amn Ou seja



6- 4

Exemplo


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=

93iiba3i6iibai3

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+minusminusminus

=93iiba

3i6iibai3

AT


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=+

93iiba3i6iibai3

A





⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα

α

=

0

0]A[ 3

2

1

(11)



6- 5




ξn = U ξn n = 1 2 3 (12)





Definiccedilatildeo


U U+ = U+U = I (14)





6- 6





temos tambeacutem
















6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 4

Exemplo


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=

93iiba3i6iibai3

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+minusminusminus

=93iiba

3i6iibai3

AT


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminusminus

+=+

93iiba3i6iibai3

A





⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα

α

=

0

0]A[ 3

2

1

(11)



6- 5




ξn = U ξn n = 1 2 3 (12)





Definiccedilatildeo


U U+ = U+U = I (14)





6- 6





temos tambeacutem
















6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 5




ξn = U ξn n = 1 2 3 (12)





Definiccedilatildeo


U U+ = U+U = I (14)





6- 6





temos tambeacutem
















6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 6





temos tambeacutem
















6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 7








Podemos escrever


A = U+A U = U-1AU (18)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=

n

n33

n2232

n113121

AAAAAA

A (19)


6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 8













6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 9





qed












6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 10


















6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 11

















6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 12


Teorema








6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 13





Πψ(x) = ψ(-x) (38)











6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























6- 14










Pois temos

H = p22m + V(x) com V(x) = V(-x)



= - ħ22m d2ψ(-x)dx2 + V(-x)ψ(-x)



HΠ -ΠH = [HΠ] = 0

qed


615
















616



















617















Obteremos





618

























615
















616



















617















Obteremos





618

























616



















617















Obteremos





618

























617















Obteremos





618

























618

























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