13098-Sigma 1P NN 1. - Gyldendalweb2.gyldendal.no/nyhetsbrev/vgs/06/aug/matematikk/pdf/Sigma_1P_kap...

1.1 Matematikkermeir enn berre � kunne rekne

Du skal l�re^ kor viktig det er � gjere overslag og vurdere kor rimeleg svaret er^ � tolke, vurdere og diskuterematematisk innhald i skriftlege framstillingar

EKSEMPEL1

«Flere og flere velger radhuset framfor kirken nar barnets start pa livet

skal feires. Oslo har hatt en vekst pa over 50 % pa tre ar.» Dette skreiv

Aftenposten i 2005. Tabellen i margen er saksa fra artikkelen.

Eit foreldrepar som hadde valt dap, vart intervjua. Avisa gjorde eit

poeng av at dei valde dette «selv om trenden sier navnefest uten

religiøse trekk».

Meiner du at avisa gir korrekt informasjon?

Om vi ikkje les tabellen, kan informasjonen tolkast som om det er

stor nedgang nar det gjeld dap. Men tabellen syner at det er noksa

stabilt kor mange som vel dap gjennom heile perioden.

Ein pastand i teksten er at talet pa namnefestar hadde ein vekst pa

meir enn 50 %. Stemmer det med tabellen?

50 % vekst vil seie at vi legg til halvparten av det opphavlege talet.

Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsrekning ha vist at

ca. 460þ 230 ¼ 690 barn hadde namnefest. Det stemmer ikkje med tabellen.

I artikkelen stod det 50 % vekst over ein trearsperiode. Tabellen viser ein firearsperiode. Det kan

vere at prosenten er korrekt, ettersom tabellen gjeld Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen.

EKSEMPEL 2

Overslag. Kor rimeleg er svaret?

Ein dag kom Kari over billig parkett pa timesal. Dette

tilbodet ville ho dra nytte av. Ho hadde ikkje tid til

a fa malt opp rommet sitt, men visste at det var litt under

5 meter langt og om lag 2;5 meter breitt.

Kari gjorde overslag og bestemte seg for a kjøpe

17 m2 parkett.

a) Korleis kom ho fram til dette talet?

Meiner du at det var nok?

Da Kari skulle betale, var rekninga pa 1938 kroner.

Ho syntest det var mykje for 17 m2 parkett. Ho

kontrollrekna og fann at ho skulle betale halvparten av dette.

b) Kva kan ekspeditøren ha gjort feil?

UTVIKLING

Oslo og Akershus

—rBorgarlegnamnefest D�p

2000 464 4580

2001 467 4562

2002 479 5218

2003 578 4416

2004 633 4582

Kjelde: Human-Etisk Forbund ogDen norske kyrkja

FØR228,- per m2NO75 % rabatt

10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDTOSS

Løysing:

a) Kari ma vere sikker pa at ho kjøper nok om ho ikkje skulle fa tak i

parkettypen seinare. 17 m2 kan ho ha kome fram til ved a gjere

overslag over breidda og rekne med ei breidd pa 3 m. Sa har ho gonga

5 og 3 med kvarandre og lagt til 2 m2 med tanke pa svinn.

b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kosta

17 � 228 kroner ¼ 3876 kroner. Summen pa kassa er halvparten

av dette, sa ekspeditøren har nok berre trekt fra 50 % rabatt.

Ein mate a rekne ut rett sum pa er a dele full pris pa 4.

75 % rabatt vil seie at ho skal betale 25 % av prisen.

Det er det same som ein firedel.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.1Gjer først overslag. Rekn sa ut dei eksakte svara:

a) 23þ 9þ 48þ 78þ 129þ 31

b) 347� 62� 39� 117

c) 18 � 33

Oppg�ve1.2Trine gjer overslag nar ho handlar, for a vite om

beløpet ho skal betale, stemmer.

Ein dag handla ho 2 liter mjølk til 11;50 kr per liter,

ca. 2 kg eple til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr,

toalettpapir til 11;90 kr og eit tidsskrift som kosta

48;90 kr.

Gjer overslag og finn ut om lag kor mykje ho skal

betale.

Oppg�ve1.3Det er haustsal i ein klesbutikk. Lene finn mange

gode tilbod, og ho ønskjer a handle inn jule-

presangar til familien. Ho har plukka med seg

tre genserar til 160 kroner per stykk, og her gjeld

«ta 3, betal for 2». Vidare ønskte ho a kjøpe to

treningsdressar til 249 kroner per stykk, ei bukse

som var sett ned til 119 kroner, og ein kjole til

180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og

har ikkje meir pengar pa bankkortet.

Gjer eit overslag og vis om ho har rad til a kjøpe

alt dette.

Paroppg�ve1.4Ein ungdomsklubb vart pussa opp og modernisert.

I tillegg vart det fleire aktivitetar. Som ei følgje av

dette auka medlemstalet. Tabellen viser medlems-

talet dei fire første manadene etter oppussinga:

Den siste fredagen i manaden blir det servert pizza,

og da plar om lag 50 % av medlemmene a kome.

Dei som har ansvaret for pizzakvelden i mai,

skal rekne ut kor mykje pizza dei ma bestille.

Dei reknar fire personar per pizza.

a) Individuell oppgave: Prøv a rekne ut kor mange

medlemmer det er i mai.

b) Paroppgave: Forklar korleis de har tenkt.

Samanlikn svara. Kor mange pizzaer ville de ha

gatt inn for a kjøpe?

Utfordring1.5Bjørn og Kristin gar fottur. Ein dag valde dei ein

tur der ein tredel av løypa gjekk i lett terreng og

to tredelar i brattare terreng. I lett terreng held dei

ein fart pa ca. 5 km=h, mens dei bruker 3 km=h

i brattare lende.

Bjørn og Kristin byrja a ga klokka 10 og skal ga

30 kilometer. Dei hapar a na fram til middag klokka

19. Vil dei rekke det?

Manad januar februar mars april

Medlemstal 35 42 58 84

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDTOSS 11

1.2 Vegen om 1 ^ ein praktisk framgangsm�te

Du skal l�re^ � l�yse praktiske oppg�ver ved � g� ßvegen om1�

Butikkane sel varer i ulike pakningar. For at vi forbrukarar lett skal kunne

samanlikne prisane, pliktar forretningane a opplyse om prisen i for

eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter.

Gjennom nokre eksempel viser vi korleis du kan rekne med

«vegen om 1». Det vi gjer, er a finne kor mykje som svarar til

ei eining. Deretter kan vi finne kor mykje ein gitt storleik svarar til.

EKSEMPEL 3

I ein butikk kostar safta Tropisk 23;90 kroner for ei flaske pa

1;5 liter, og 16;90 kroner for ei literflaske. Literprisen er ogsa gitt

for den største flaska, men vi vil likevel kontrollrekne det.

Kva slags flasketype av Tropisk lønner det seg a kjøpe?

Saft i flaska pa 1;5 liter:23;90 kroner

1;5 liter� 15;93 kroner per liter

Det lønner seg a kjøpe saftflaska pa 1;5 liter.

EKSEMPEL 4

For ein kalkun pa 3;8 kg betaler Eli 171 kroner.

a) Kva er prisen per kilogram for kalkunen?

b) Kva ville ein kalkun pa 4;2 kg ha kosta?

Løysing:

a) Prisen er171 kroner

3;8 kg¼ 45 kroner per kilogram

b) 4;2 kg kalkun ville ha kosta 4;2 � 45 kroner ¼ 189 kroner.

EKSEMPEL 5

Du har fatt 750 danske kroner av ei tante i Danmark.

Du vekslar inn pengane i ein norsk bank ein dag det kostar

105;30 norske kroner for 100 danske kroner.

Dette kallar vi kursen pa danske kroner.

Banken krev eit vekslingsgebyr pa 35 kroner.

Kor mange norske kroner far du utbetalt?


Løysing:

100 danske kroner svarar til 105;30 norske kroner.

Ei dansk krone svarar til105;30 kroner

100¼ 1;053 norske kroner

750 danske kroner svarar til 750 � 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner.

Før du far utbetalt pengane, trekkjer banken fra gebyret.

Du far altsa utbetalt 789;75 kroner� 35 kroner ¼ 754;75 kroner.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.6Ole og Petter skulle beise husa sine. Ole

kjøpte beis i eit tilitersspann til 498 kroner.

Per kjøpte ein annan type beis. Han betalte

188 kroner for beis i eit firelitersspann.

Kven kjøpte den billigaste beisen?

Oppg�ve1.7I ei oppskrift pa farikal star det at 1;2 kg kjøtt

og 1;6 kg kal er høveleg til fire personar.

Kor mykje kjøtt og kor mykje kal ma vi kjøpe inn

til fem personar?

Oppg�ve1.8Vi skal handle sjokoladepulver. Vi plar kjøpe store

boksar pa 500 gram til 36;00 kroner. Ein dag er det

tilbod pa sma boksar pa 200 gram. Ein liten boks

kostar 23;50 kroner, men pa tilbod kan vi «ta tre og

betale for to». Lønner det seg a kjøpe dei sma

boksane?

Oppg�ve1.9Bente trenar pa stigar i ei rundløype som er 3;5 km

lang. Rekorden hennar er 14 minutt 30 sekund.

Trine plar springe ein runde pa ein veg som er

4;8 km lang. Den raskaste tida ho har sprunge pa,

er 22 minutt.

Kven har best kilometertid?

Oppg�ve1.10Ei forretning tilbyr pakkar med fire beger yoghurt

til 14;90 kroner. Kvart beger inneheld 125 ml

yoghurt. Den same forretninga tilbyr ogsa

enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner.

Samanlikn prisane per liter yoghurt for dei to

tilboda.

Oppg�ve1.11Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen

opplyser banken at du ma betale 80;40 norske

kroner for 100 svenske kroner.

Kor mange norske kroner ma du betale nar

banken krev eit vekslingsgebyr pa 40 kroner?

Utfordring1.12Bjørnar kjøper eit smørbrød pa danskebaten.

Smørbrødet kostar 40 danske kroner. Bjørnar

betaler med 100 norske kroner og far att

50 danske kroner i vekslepengar.

a) Kva for ein kurs pa 100 danske kroner svarar

det til?

Da Bjørnar kom heim, fann han ut at kursen den

aktuelle dagen hadde vore 104;30.

b) Samanlikn kursen rekna ut i a med den faktiske

kursen. Kommenter.


1.3 Dekadiskem�leiningar.M�lepresisjon

Du skal l�re^ om dekadiskem�leiningar^ � gjere ommellom dekadiskem�leiningar^ omm�lepresisjon, gjeldande si¡er og avrunding av svar

I margen repeterer vi nokre av dei dekadiske einingane du kjenner fra

grunnskulen. Vi kallar einingane dekadiske fordi vi kan gjere om

mellom dei ved a gonge eller dele med 10. Deka tyder ti.

Nar vi gjer om fra ei eining til ei anna, kan vi tenkje slik:

– For kvart steg vi gar oppover i trappa, deler vi med 10.

– For kvart steg vi gar nedover i trappa, gongar vi med 10.

Vi lagar nye einingar ved hjelp av forstavingar: kilo tyder tusen, og

desi tyder tidel. Vi far da for eksempel kilometer, km, som tyder

tusen meter, og desimeter, dm, som tyder tidelen av ein meter. I tillegg

har somme einingar eigne namn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg.

I margen gir vi eit oversyn over dei vanlegaste forstavingane.

EKSEMPEL 6

Gjer om 4;2 cm til meter.

Løysing:

Vi skal dividere med 10 to gonger. Det gjer vi ved a flytte desimal-

kommaet to plassar mot venstre. Vi far 4;2 cm ¼ 0;042 m.

Nar vi maler avstandar i geometrien pa skulen, bruker vi oftast linjal.

Har du tenkt over at vi da ikkje kan male lengder heilt nøyaktig? For

eksempel ser du at lengda pa figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriv «ca.» for a

streke under at det ikkje er mogleg a male lengda heilt nøyaktig. Vi seier at

2;4 cm er ein tilnærmingsverdi med to gjeldande siffer for den gitte lengda.

Det vil seie at den «korrekte» lengda ligg ein eller annan stad mellom

2;35 cm og 2;45 cm.

Nar vi treng større presisjon, ma vi bruke andre malereiskapar. Det

vanlegaste i industrien er skuvelære og mikrometerskrue. Skuvelæret kan

male nøyaktig ned til ein tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan

male nøyaktig ned til ein hundredels millimeter.

Dei mest moderne matane a male større avstandar pa baserer seg pa

laserteknologi. Ein laserpuls blir send ut, reflektert og motteken i ut-

gangspunktet. Den tida laserlyset bruker pa dette, blir sa malt. Dermed kan

vi rekne ut lengda.

DEKADISKE EININGAR

km

kg hg

hl g

m dm

cm

l dl

cl

mm

mg

ml

FORSTAVINGAR

giga G milliardmega M millionkilo k tusenhekto h hundredeka da tidesi d tidelcenti c hundredelmilli m tusendelmikro m milliondel

0 1 2 3


Nar vi reknar ut eit svar, ma vi ikkje skrive svaret meir nøyaktig enn dei

storleikane vi gjekk ut fra. Nar vi gongar eller deler, rundar vi av svaret

til like mange gjeldande siffer som det vi starta med.

EKSEMPEL 7

Finn arealet av eit rektangel med lengda 3;6 cm og breidda 2;4 cm.

Løysing:

Dei to storleikane vi gar ut fra, har to gjeldande siffer.

Da rundar vi ogsa av svaret til to gjeldande siffer.

Altsa: 3;6 cm � 2;4 cm � 8;6 cm2.

Vi reknar ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s:

km

h¼ 1 km

1 h¼ 1000 m

60 � 60 s¼ 1000 m

3600 s¼ 1

3;6m=s

Vi kan altsa gjere om fra km=h til m=s ved a dividere med 3;6.

Omvendt kan vi gjere om fra m=s til km=h ved a gonge med 3;6.

EKSEMPEL 8

Gjer om 25 m=s til kilometer per time (km=h).

Løysing:

Vi gongar med 3;6 og far 25 m=s ¼ 25 � 3;6 km=h ¼ 90 km=h.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.13Gjer om

a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram

Oppg�ve1.14Vi maler høgda til ei jente. Kva fortel vi

a) dersom vi set høgda til 162 cm

b) dersom vi set høgda til 162;0 cm

Oppg�ve1.15Rekn ut arealet av eit rektangel med lengda 4;38 dm

og breidda 3;67 dm.

Oppg�ve1.16a) Gjer om 72 km=h til meter per sekund (m=s).

b) Gjer om 30 m=s til kilometer per time (km=h).

c) Ida syklar 20 km pa 1 time 15 minutt.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i km=h og i m=s.

Dr�fting1.17Ei alen tok utgangspunkt i ei olbogelengd,

det vil seie avstanden fra olbogen til fingerspissen.

Finn den gjennomsnittlege olbogelengda i klassen.

Kva er problemet med ei slik maleining?

Utfordring1.18Ein pasient skal fa tilført medisin intravenøst med

16 dropar per minutt. Vi reknar at 1 milliliter (ml)

svarar til 20 dropar.

Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til saman.

Medisineringa byrjar kl. 09:45. Nar er ho ferdig?

Miniprosjekt1.19Søk pa nettet og finn ut kva Justerstellet

i Noreg arbeider med. Lag eit lite oversyn

for gruppa.

SIFFERREGEL

Rund av svaret til likemange gjeldande si¡ersom det du gjekk ut fr�.

MELLOM km/h OG m/s

km/hm/s

3, 6

3, 6


1.4 Lommereknaren

Du skal l�re^ reknerekkjef�lgja ved talrekning, som ogs� er lagd inn i lommereknaren^ at vi kan rekne vidaremed det siste svaret ved � bruke Ans^ skilnaden p� rekneminus og forteiknsminus^ at vi oftem� hjelpe lommereknarenmed � setje parentesar^ korleis vi rettar feil inntasting p� lommereknaren

Vi skal bruke lommereknaren mykje i dette kurset. Du skal fa lære

framgangsmatane etter kvart som du treng dei. Men alt no skal vi øve inn

nokre grunnleggjande operasjonar. La oss med ein gong kontrollere at

lommereknaren er rett innstilt.

CASIO TEXAS

Trykk MENY og vel RUN

pa Casio. Trykk SHIFT SETUP.

Nedanfor ser du korrekt oppsett.

Bruk pil ned og flytt markøren til

linjer med feil. Gjer sa rett val.

Avslutt med EXIT.

Trykk MODE pa Texas.

Nedanfor ser du korrekt oppsett.

Om det ikkje stemmer, bruker du

piltastane, flytter markøren til

rett felt og trykkjer ENTER.

Avslutt med 2nd QUIT.

I margen har vi repetert reknerekkjefølgja vi bruker for a kunne rekne rett.

Vi viser ei utrekning der denne rekkjefølgja er brukt:

4þ 5 � 23 ¼ 4þ 5 � 8 ¼ 4þ 40 ¼ 44

Denne reknerekkjefølgja er lagd inn i lommereknaren. Vi kan derfor

trykkje 4þ 5 � 23 nøyaktig som det star, og avslutte med EXE pa Casio og

ENTER pa Texas. Legg merke til at lommereknaren har ein eigen tast for

potens, ^:

CASIO TEXAS

I uttrykket 4þ 5 � 23 er det altsa gale a starte med a leggje saman 4 og 5.

Dersom meininga var at vi skulle ha innleidd med det, ville reknestykket

sett slik ut:ð4þ 5Þ � 23 ¼ 9 � 23 ¼ 9 � 8 ¼ 72

Dette kan vi ogsa trykkje nøyaktig som det star pa lommereknaren:

CASIO TEXAS

REKNEREKKJEFØLGJE

1 Parentes2 Potens3 Gonge og dele4 Pluss ogminus


Nar vi skal bruke svaret direkte vidare i ei utrekning, for eksempel 72 � �,

trykkjer vi berre gongetast og � slik:

CASIO TEXAS

Lommereknaren gjer altsa bruk av det siste svaret ved hjelp av Ans, som er

ei forkorting for «answer». Du oppdaga kanskje ogsa at lommereknaren

har ein eigen tast for � som vi bruker i staden for det unøyaktige 3;14.

Vi kan og plassere Ans midt i ei utrekning ved a trykkje SHIFT Ans pa

Casio og 2nd ANS pa Texas:

CASIO TEXAS

I uttrykket �22 � 4 er det første minusteiknet eit forteiknsminus. 22 skal

jo ikkje trekkjast fra noko tal. Minusteiknet i midten er eit rekneminus som

fortel at vi skal trekkje 4 fra resultatet av utrekninga �22. Derfor finst det

bade forteiknsminus, (�) , og rekneminus, � , pa lommereknaren. Texas

gir feilmelding nar vi ikkje bruker rett minusteikn. Legg merke til at vi

bruker tasten x2 for a opphøgje i andre potens:

CASIO TEXAS

Brøkar og rotteikn skriv vi ofte utan parentesar, no som vi veit korleis dei

skal reknast ut. For eksempel er

5þ 7

2 � 3 ¼12

6¼ 2

Dersom vi vil rekne ut svaret utan mellomrekning pa lommereknaren, ma

vi hjelpe til med a sla parentesar om teljaren og nemnaren:

CASIO TEXAS

Pa same maten ma vi trykkjeffipð98� 56Þ for a fa

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi98� 56p

. Vi kan ga

attende og rette inntastingar ved a bruke venstrepil pa Casio og 2nd ENTRY

og venstrepil pa Texas. Læraren hjelper deg med overskriving, DEL og INS.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.20Rekn ut pa lommereknaren:

a) 4þ 8 � 97� 3 � 54 b) �3þ 3

2� ð92 � 2 � 5Þ

Oppg�ve1.21Rekn ut pa lommereknaren:

a)�4 � 5� 52

52 � 32b)

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi132 � 122

q


1.5 Reknerekkjef�lgje og forteikn ^ nyttige reglar

Du skal l�re^ � bruke reknerekkjef�lgja i eigne utrekningar^ � reknemed forteikn

EKSEMPEL 9

Vi repeterer at lommereknaren kan gi feilmelding dersom vi ikkje

skil mellom rekneminus, �, og forteiknsminus, (�).

I reknestykket 8� 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at talet 5 skal trekkjast

fra talet 8. Her fungerer minus som rekneminus, og vi bruker �.

I reknestykket �2þ 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at vi har det negative

talet 2. Her er minusteiknet eit forteiknsminus, og vi bruker (�).

Feil som kjem av galen reknerekkjefølgje, kan samanliknast med a setje

komma pa feil stad: «Heng han ikkje, vent til eg kjem» tyder noko heilt

anna enn «Heng han, ikkje vent til eg kjem»!

EKSEMPEL10

Trine, Ellen og Knut har prøvd a rekne ut denne oppgava:

2 þ 3 � 6 � 2 � ð�5þ 2ÞDei fekk ulike svar og kontrollerte utrekninga pa lommereknaren.

Det synte seg at Ellen hadde rekna rett. Hjelp Trine og Knut med

a finne ut kva dei har gjort gale.

Som reknerekkjefølgja viser, gjorde Trine feil fordi ho starta med a leggje

saman dei to første tala. A leggje saman og trekkje fra gjer vi etter

a ha fullført dei andre rekneoperasjonane.

Knut gjorde feil da han skulle gonge inn i parentesen. Talet som stod utanfor

parentesen, gonga han berre med det eine talet inni parentesen. Knut ville ikkje

gjort feil i denne oppgava dersom han først hadde trekt saman inni parentesen.

MINUS PA

LOMMEREKNAREN

Rekneminus er tasten�.Forteiknsminus er tasten (�).

REKNEREKKJEFØLGJE

1 Parentes2 Potens3 Gonge og dele4 Pluss ogminus


EKSEMPEL11

Her viser vi korleis vi i tillegg til rett reknerekkjefølgje

ma passe pa forteikna:

a) 32 � ð�4Þ � ð�2Þ ¼ 9 � 8 ¼ 72 (reglane 2 og 3)

b) �32 þ 4 � ð�2Þ ¼ �9� 8 ¼ �17 (reglane 2, 3 og 4)

c) ð�3Þ2 þ 4 � ð�2Þ ¼ 9� 8 ¼ 1 (reglane 2, 3 og 4)

d) 2 � ð3� 7Þ2 ¼ 2 � ð�4Þ2 ¼ 2 � 16 ¼ 32

(reglane 1, 2 og 3)

Kontroller at du far same svaret pa lommereknaren.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.22Rekn ut utan lommereknar:

a) 8 þ 4 � 6 b) 8 : 2 � 3

c) 9 � 2 þ 18 : 3 d) 32 � 2 þ 6 : 2 þ 5

Oppg�ve1.23Rekn ut med og utan lommereknar:

a) 3 � ð�4Þ2 � 3 þ 4 � ð�2Þb) �23 � ð�3þ 4Þ � 2

c) 3 � ð�4Þ � ð�2Þ : ð2 � 3Þd) 5 þ 3 � ð�2Þ4 � 3 � 7 þ 3 þ 4 � ð�2Þ

Oppg�ve1.24Trass i at vi kan la lommereknaren gi oss svaret, har

hovudrekning den fordelen at det somme gonger gar

raskare. Tipset er a leggje saman eller gonge to tal

som gir tal som er lette a rekne med.

For eksempel kan vi raskt løyse oppgava

2þ 17þ 8þ 3 ved a leggje saman 2þ 8 og

17þ 3 kvar for seg. Da far vi 10þ 20 ¼ 30.

Rekn ut i hovudet:

a) 26þ 18þ 14þ 42

b) 1þ 2þ 3þ 4þ 5þ 6þ 7þ 8þ 9þ 10

c) 23 � 2 � 5 � 10

d) 3 � 15 � 0 � 47

Paroppg�ve1.25Løys denne oppgava munnleg:

Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til

19 kroner per stykk. Ein kveld han var pa kino,

betalte han 80 kroner for kinobilletten, to gonger

20 kroner for togbillettane, og han kjøpte 250 gram

smagodt til 10 kroner per hektogram. Veka etter

fekk han utbetalt lønn for a ha jobba fem timar.

Timelønna hans var 110 kroner. Ole var skuldig

Hanne 1000 kroner, og han fann ut at han kunne

betale henne tre firedelar no.

Har Ole rad til a ta ein ny tur pa kino

til same prisen som sist?

Utfordring1.26Vi veit at 2þ 3 � 4 ¼ 20 er gale,

mens ð2þ 3Þ � 4 ¼ 20 er rett.

Føy til parentesar slik at desse stykka

blir korrekte:

a) 2 � 52 þ 6 ¼ 106

b) 3 � 4þ 5 � 6 ¼ 162

HUGS!

2 � 3 ¼ 682¼ 4

ð�2Þ � 3 ¼ �6 �82¼ �4

2 � ð�3Þ ¼ �6 8�2 ¼ �4

ð�2Þ � ð�3Þ ¼ 6�8�2 ¼ 4


1.6 Enkel algebra

Du skal l�re^ � reknemedparentesar^ � reknemedbr�k

Mellom anna i formelrekning kan det vere behov for a rekne med

parentesar. Vi repeterer derfor nokre reglar.

EKSEMPEL12

Kva for reglar er nytta her?

a) 2þ ðx� 1Þ ¼ 2þ x� 1 ¼ xþ 1

b) 2� ðx� 1Þ ¼ 2� xþ 1 ¼ �xþ 3

EKSEMPEL13

Kva er regelen nar eit tal skal gongast inn i ein parentes?

2 � ðx� 1Þ ¼ 2 � x� 2 � 1 ¼ 2x� 2

I det neste eksemplet repeterer vi korleis vi gongar to parentesar med

kvarandre.

EKSEMPEL14

Her har vi to parentesar som skal gongast med kvarandre.

Vi gongar da kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd

i den andre:

ðxþ 4Þð2xþ 1Þ ¼ x � 2x þ x � 1 þ 4 � 2x þ 4 � 1¼ 2x2 þ xþ 8xþ 4

¼ 2x2 þ 9xþ 4

EKSEMPEL15

I desse reknestykka finst det parentesar med berre ein type ledd.

Kva kan det da vere lurt a gjere?

a) 2 ð3þ 1Þ ¼ 2 � 4 ¼ 8

b) ð3xþ xÞðxþ 2Þ ¼ 4x � ðxþ 2Þ ¼ 4x � xþ 4x � 2 ¼ 4x2 þ 8x

Vi har ogsa behov for brøkrekning i oppgaver. Vi repeterer den viktigaste

rekninga fra grunnskulen.

REKNING MED PARENTESAR

1 Pluss framfor parentes:^ Parentesen kan fjernast.

2 Minus framfor parentes:^ Fjern parentesen og skiftsamstundes forteikn p�ledda inni parentesen.

3 Tal gonga medparentes:^ Gong taletmedkvart leddi parentesen.

4 Parentes gonga medparentes:^ Gong kvart ledd i den eineparentesenmedkvart leddi den andre.

5 Dra saman ledda inniparentesen dersom det berreer e¤ in type ledd.

PARENTES MED PARENTES

Vimultipliserer kvart leddi den eine parentesenmedkvart ledd i den andre:


EKSEMPEL16

Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a)3

4þ 7

4¼ 3þ 7

4¼ 10

4¼ 5 � 6 2

2 � 6 2 ¼5

2

b)2

3� 1

4¼ 2 � 4

3 � 4�1 � 34 � 3 ¼

8

12� 3

12¼ 8� 3

12¼ 5

12

c)5

4� 23¼ 5 � 2

4 � 3 ¼10

12¼ 5

6

d)2

3� xþ x

3� 5 ¼ 2

3� x1þ x

3� 51¼ 2x

3þ 5x

3¼ 7x

3¼ 7

3� x1¼ 7

3x

EKSEMPEL17

1

2ðxþ 2Þ �

�2x� 5

2

�� 3x

2¼ x

2þ 2

2� 2xþ 5

2� 3x

2

¼ x

2þ 2

2� 4x

2þ 5

2� 3x

2

¼ x� 4x� 3x

2þ 2þ 5

2

¼ � 6x

2þ 7

2¼ �3xþ 7

2

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.27Rekn ut:

a) 3 ð2xþ 5Þ b) �2 ðxþ 3Þc) �3 ðx� 2Þ þ 2 ð2xþ 7Þ d) 3� 2 ð5� xÞe) �2 ðx� 4xÞ � ð2xþ 7Þ f) x2 � x ðx� 3Þ


a) ðxþ 2Þðxþ 3Þ b) ðx� 2Þðx� 3Þc) ð4� 2Þð2xþ 7Þ d) ð3x� 2Þð2xþ 7Þ

Oppg�ve1.29Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a)1

3þ 4

3b)

1

4� 3

4

c)1

3þ 5

12d)

2

5� 1

6Kontroller svara pa lommereknaren.

Oppg�ve1.30Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a)1

3� 25

b)12

20� 52

c)3

10� 15

6d)

3

5� 12� 43

Kontroller svara pa lommereknaren.


a)2x

3� 1

3ðxþ 2Þ b)

2

3ðx� 1Þ � x� 2

3

� �

Utfordring1.32I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom dei

to nevøane sine, Knut og Per, og naboen Hansen.

Hansen skulle fa halve arven, Knut tre tidelar og

Per resten. I arveoppgjeret fekk Per 640 000 kroner.

Kor mykje fekk kvar av dei to andre?

BRØK PLUSS OG

MINUS BRØK

^ Utvid eventuelt br�kaneslik at dei f�r lik nemnar.

^ Dra saman teljarane oghald fast ved nemnaren.

^ Kort svaret ommogleg.

BRØK GONGA MED BRØK

^ Gong teljar med teljarog nemnarmed nemnar.

^ Kort svaret ommogleg.


1.7 Likningar

Du skal l�re^ � l�yse enkle likningar^ � setje opp og l�yse uoppstilte likningar

I margen har vi sett opp forslag til reglar for a løyse likningar. Det er

ikkje alle reglane som ma brukast kvar gong. Det kjem an pa oppgava.

Nedanfor viser vi nokre typiske eksempel.

EKSEMPEL18

5x� 3 ¼ 9� x

5xþ x ¼ 9þ 3

6x ¼ 12

6 6x

6 6 ¼12

6

x ¼ 2

. . . Vi flytter over og skifter forteikn

. . . Vi dreg saman p� kvar side

. . . Vi delermed 6 p� kvar side

. . . Vi kortar og reknar ut svaret

EKSEMPEL19

3

2þ x ¼ 3 ðxþ 2Þ � 4x

3

2þ x ¼ 3xþ 6� 4x

3þ 2x ¼ 6xþ 12� 8x

2x� 6xþ 8x ¼ 12� 3

4x ¼ 9

6 4x

6 4 ¼9

4

x ¼ 9

4

. . . Vi gongar ut parentesen

. . . Vi gongar overaltmed 2

. . . Vi l�yser som i eksempel18

Mange praktiske problem kan løysast ved at vi set opp informasjonen

som ei likning. Ein av dei ukjende kallar vi x. Ut fra opplysningane

i oppgava finn vi ut kva dei andre ukjende ma kallast.

Det kan lønne seg a la den minste storleiken vere x, eller vi let x vere det

vi samanliknar med flest gonger.

LØYSING AV LIKNINGAR

^ Gong inn i og opne paren-tesane.

^ Gong alle leddmed sam-nemnaren.

^ Saml x-ledda p� venstreside og tala p� h�gre side.

^ Skift forteikn n�r du £ytterover ledd.

^ Dra saman x-ane ogtala kvar for seg.

^ Delmed talet framfor xp� begge sider.Korteventuelt svaret.

UOPPSTILT LIKNING

N�r x er eit tal, har vi:

2x er det doble av talet

x þ 3 er 3 meir enn talet

2 ðx þ 3Þ er det doble av3 meir enn talet


EKSEMPEL 20

Ole, Trine og Bente er til saman 43 ar. Ole er dobbelt sa gammal som

Trine, og Bente er tre ar eldre enn Trine. Kor gamle er kvar av dei?

Løysing:

I denne oppgava kan det vere lurt a kalle den yngste for x.

Trine er da x ar, Ole er 2x ar, og Bente er ðxþ 3Þ ar:

Trineþ Oleþ Bente ¼ 43 ar

xþ 2xþ ðxþ 3Þ ¼ 43

4x ¼ 40

6 4x

6 4 ¼40

4

x ¼ 10

Trine er 10 ar, Ole er 20 ar, og Bente er 13 ar.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.33Løys likningane:

a) 3xþ 2 ¼ 12þ 2x

b) 4 ðx� 2Þ ¼ 3� ð5xþ 2Þc) 3þ 4 ðx� 3Þ ¼ 9� 2x

d) 3xþ 2 ðx� 5Þ ¼ 3x

2

Oppg�ve1.34Per er dobbelt sa gammal som Ola. Kari er ti ar

eldre enn Ola. Til saman er dei 78 ar.

a) Ga ut fra at Ola er x ar gammal.

Kva blir da uttrykket for alderen til Per og Kari?

b) Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei er.

Oppg�ve1.35Geir og Line har til saman 73 kroner.

Line har 19 kroner meir enn Geir.

Kor mange kroner har dei kvar?

Oppg�ve1.36Marit, Britt og Elin lagar keramikkfigurar som dei

sel til turistar. Ei veke har dei til saman laga

70 figurar. Britt har laga ni fleire enn Marit, og

Marit har laga fire færre enn Elin. Kor mange

figurar har kvar av dei laga?

Oppg�ve1.37Lise, Erik og Petter har til saman 420 kroner.

Kor mange kroner har Lise, Erik og Petter kvar

nar Erik har dobbelt sa mykje som Lise, og Erik

har 20 kroner mindre enn Petter?

Løys oppgava ved a setje opp ei likning.

Oppg�ve1.38Ellen, Mari og Per sel til saman 900 lodd.

Ellen sel dobbelt sa mange lodd som Per,

og Mari sel 100 lodd meir enn Per.

a) Set opp ei likning og finn kor mange lodd kvar

av dei sel.

b) Noko av inntekta fra loddsalet far dei som lønn.

Kor mykje far kvar av dei i lønn nar dei til

saman far 540 kroner?

Utfordring1.39I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,

tredelen vel styrketrening, mens resten, fire elevar,

er sjuke eller har gløymt gymtøyet.

Set opp ei likning og finn kor mange elevar som er

med i gruppa.


1.8 Kvadratiske likningar. Ulikskapar

Du skal l�re^ l�ysingsformelen for ei kvadratisk likning^ korleis vi l�yser enkle ulikskapar

I avsnittet framanfor løyste vi enkle likningar. Men har du

tenkt over kva ei likning eigentleg er? For a forsta det

ma du kjenne til omgrepet open utsegn.

«Eg er høgare enn deg» er ei utsegn vi kan avgjere om

er sann eller usann. Nar Nina seier det til Erik, er det

jo sant. Slike pastandar som vi kan finne ut om er sanne

eller usanne, kallar vi matematiske utsegner.

«Heia Rosenborg» kan vi derimot ikkje ta standpunkt til pa

denne maten. Det er ikkje ei matematisk utsegn.

«x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til nar vi far

vite kva x er. Er x lik 2, blir utsegna sann. Er x lik 4, blir ho

usann. Vi kallar det ei open utsegn med variabelen x.

Likningar og ulikskapar er slike opne utsegner. A løyse ei likning eller ein

ulikskap vil seie a finne alle verdiane av x som gjer at utsegna blir sann.

Nar variabelen i ei likning er opphøgd i andre potens, har vi ei kvadratisk

likning. Likninga x2 ¼ 9 er derfor eit eksempel pa ei kvadratisk likning.

A løyse likningar vil seie a finne alle verdiar av x som gjer at likninga blir

oppfylt. Vi ser med ein gong at x2 ¼ 9 er oppfylt nar x ¼ 3 , fordi x2 ¼ 32 ¼ 9.

Likninga har ogsa løysinga x ¼ �3, for vi har ogsa x2 ¼ ð�3Þ2 ¼ 9.

Vi skriv dei to løysingane til likninga x2 ¼ 9 under eitt som x ¼ �3.

Sidan 3 ¼ffiffiffi9p

, far vi løysingsformelen som er skriven i margen.

EKSEMPEL 21

Løys dei kvadratiske likningane:

a) 2x2 ¼ 32 b) ðxþ 3Þ2 ¼ 25

Løysing:

a) I likninga 2x2 ¼ 32 dividerer vi med 2 pa begge sider.

Vi far likninga x2 ¼ 16, som har løysinga x ¼ �ffiffiffiffiffi16p

¼ �4.

b) I likninga ðxþ 3Þ2 ¼ 25 ser vi pa xþ 3 som ein ny ukjend.

Da kan vi bruke løysingsformelen for kvadratiske likningar.

ðxþ 3Þ2 ¼ 25 gir xþ 3 ¼ �ffiffiffiffiffi25p

¼ �5

Sa reknar vi ut for pluss og minus kvar for seg:

xþ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5� 3 ¼ 2

xþ 3 ¼ �5 gir x ¼ �5� 3 ¼ �8

Eg erhøgare enn deg.

KVADRATISKE

LIKNINGAR

Likninga

x2 ¼ a

har løysinga

x ¼ �ffiffiffiap


Vi løyser enkle ulikskapar pa same maten som vi løyser likningar. Men det

er ein skilnad, nemleg nar vi multipliserer eller dividerer pa begge sider av

ulikskapsteiknet med eit negativt tal. Vi skal forklare det med �4 < 6, som

vi veit er sant. Nar vi dividerer begge tala med �2, far vi desse verdiane:

�4

�2¼ 2 og

6

�2¼ �3

Men 2 er som kjent større enn �3. For at ulikskapen framleis skal vere

sann, ma vi derfor snu ulikskapsteiknet og skrive 2 > �3. Tilleggsregelen

blir altsa at vi ma snu ulikskapsteiknet nar vi multipliserer eller dividerer

pa begge sider av ulikskapen med eit negativt tal.

EKSEMPEL 22

2

3x þ 3 >

3x

2� 1

3

6 62

� 2

6 3 x þ 6 � 3 > 6 63

� 3x

6 2 � 6 62

� 1

6 3

4x þ 18 > 9x � 2

4x � 9x > �2 � 18

�5x > �20

�5x

�5<�20

�5

x < 4

. . . Vimultipliserer alle leddmed samnemnaren 6

. . . Vi kortar ogmultipliserer ut

. . . Vi flytter over og skifter forteikn

. . . Vi reknar saman

. . . Vi dividerer p� begge sidermedtalet framfor x. Sidan talet er negativt,m� vi snu ulikskapsteiknet.

. . . Vi kortar og reknar ut x

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.40Løys likningane:

a) x2 ¼ 25 b) 3x2 ¼ 27

c) ðxþ 2Þ2 ¼ 36

Oppg�ve1.41Løys ulikskapane:

a) 2x > 12 b) xþ 3 < 4x� 3

c) 4� x

2< 1� x

3d)

1

3x > 2� 3x

6

Oppg�ve1.42Elham er seljar og far to tilbod om manads-

betaling:

A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per sal

B: Ingenting fast, men kr 800 per sal

Ga ut fra at Elham har x sal per manad.

Set opp ein ulikskap og finn ut nar det lønner seg

med tilbod A.

Utfordring1.43

Løys likninga x ðx� 2Þ þ 2

3¼ 1

2x� 5

2ðx� x2Þ.

ENKLE ULIKSKAPAR

Vi bruker reglane for enklelikningar. I tilleggm� vihugse p� � snu ulikskaps-teiknet n�r vimultipliserereller dividerer p� begge siderav ulikskapenmed eitnegativt tal.


1.9 Rekningmed formlar

Du skal l�re^ kva vimeinermed einmatematisk formel^ � bruke einmatematisk formel

Ordet formel kjem fra latin og tyder «liten regel». I matematikk

bruker vi mange formlar. Dersom vi kjenner radien i ein sirkel, finn

vi for eksempel arealet av sirkelen ved hjelp av formelen A ¼ �r2.

Formlar er ogsa vanlege a bruke i andre fag som økonomi og naturfag,

og i mange yrke.

I rekning med formlar kan vi ofte velje mellom fleire framgangsmatar.

Somme gonger er det enkel rekning fordi den ukjende star aleine pa

venstre side i formelen. Andre gonger far vi ei likning som ma løysast.

Vi kan eventuelt gjere om pa formelen, slik at vi slepp a rekne med

likningar. Ein tredje variant er a bruke ferdig oppsette «trekantformlar».

EKSEMPEL 23

Ein sirkel har eit areal pa 95;0 cm2. Kor lang er radien?

Løysing:

Formelen for arealet av ein sirkel er gitt ved A ¼ �r2.

Nar vi set inn det gitte arealet i formelen,

far vi ei likning som ma løysast:

95;0 ¼ �r2

95;0

�¼ r2

30;24 � r2

r ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi30;24

p� 5;5

Radien er 5;5 cm lang.

EKSEMPEL 24

Pa ein 185 km lang biltur var gjennomsnittsfarten 74 km=h.

Kor lenge varte bilturen?

Løysing:

Vi har formelen strekning ¼ fart � tid, som vi kan skrive s ¼ v � t.Ettersom det er tida t vi skal finne, kan vi først gjere om pa

formelen. Da slepp vi a matte løyse ei likning. Vi far t ¼ s

v.

Tida t som bilturen varte, er185 km

74 km=h¼ 2;5 h.

ALTERNATIVE

FRAMGANGSMATAR

^ Set inn tall i formelen fordet som er kjent. L�ys opp-g�va som ei likning.

^ Gjer om formelen slik atden ukjende kjem �leinep� venstre side.Finn svaret.

^ Skriv formelen som einßtrekantformel� (sj� nesteside). Finn svaret.

r

95,0 cm2


EKSEMPEL 25

Else sprang 400 meter pa 64 sekund. Kor stor fart heldt ho?

Vi kan bruke same formelen som i eksemplet framanfor.

Men denne gongen vel vi a bruke ein sakalla «trekantformel».

Vi set inn for s og t og finn at farten v er lik400 m

64 s¼ 6;25 m=s.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.44a) Oda gar med farten 6 km=h.

Kor langt kjem ho etter 1;5 timar?

b) Ein bilførar køyrer med farten 80 km=h.

Kor lang tid bruker han pa a køyre 280 km?

c) Simen brukte 8;2 sekund pa 60-meteren.

Rekn ut farten hans i meter per sekund.

Dr�fting1.45Sja pa skrivematane nedanfor.

Veit de kva dei star for?

O ¼ 2� � r H2OC4 ¼ B3 � A2=100 U ¼ R � I

Diskuter i gruppa:

a) Kva for uttrykk ovanfor er matematiske formlar?

b) Kva tyder dei ulike symbola?

c) Finst det reglar for val av symbol?

d) Kva er fordelen med a bruke formlar?

e) Kven bruker formlar?

Oppg�ve1.46Snikkarverkstaden AS har spesialisert seg pa a

lage gardinstenger. Materialet til ei gardinstong

kostar 15 kroner, mens faste kostnader som lønn,

straumutgifter og leige av lokale utgjer 2600 kroner

dagen.

a) Snikkarverkstaden AS produserer x gardin-

stenger om dagen. Forklar at formelen for

samla kostnader per dag, K, kan skrivast

K ¼ 15xþ 2600.

b) Rekn ut kor store dei samla kostnadene blir

ein dag dei produserer 120 gardinstenger.

c) Kor mange gardinstenger vart produserte da

dei samla kostnadene var 3950 kroner?

Dr�fting1.47Kroppsmasseindeksen KMI er eit mal pa for-

holdet mellom kor mange kilogram du veg,

og kvadratet av høgda di.

Formelen kan skrivast slik: KMI ¼ m

h2.

Her maler vi m i kilogram og h i meter.

a) Rekn ut KMI for ein gut som veg 66 kg og

er 1;76 m høg.

b) Ei jente som er 1;66 m høg, har KMI lik 20;9.

Kor mykje veg jenta?

c) Kva meiner de om bruken av ein slik indeks?

Utfordring1.48Ida og Sara har same typen telefonabonnement.

Dei betaler ein fast sum i tillegg til at dei betaler

for kor mange teljarskritt dei ringjer. Den siste

telefonrekninga var pa 480 kroner for Ida,

som hadde ringt 225 teljarskritt, mens Sara

hadde ringt 175 teljarskritt og matte betale

440 kroner.

Lag ein formel som viser kor mykje som ma

betalast nar dei ringjer x teljarskritt.

TREKANTFORMEL

s

v t


1.10 Sm� og store tal

Du skal l�re^ korleis vi kan skrive sm� og store tal p� standardform^ korleis lommereknaren reknarmed sm� og store tal

Du hugsar kanskje at vi gongar med 10 ved a flytte desimalkommaet

ein plass mot høgre: 75;43 � 10 ¼ 754;3.

Pa same maten deler vi med 10 ved a flytte desimalkommaet ein plass

mot venstre: 75;43 : 10 ¼ 7;543.

Potensen 102 fortel at vi skal gonge med 10 to gonger. Vi flytter

desimalkommaet to plassar mot høgre og far 75;43 � 102 ¼ 7543.

I matematikk er det vanleg a bruke skrivematen 10�2 nar vi skal dele

med 10 to gonger. Altsa flytter vi desimalkommaet to plassar mot venstre

og far 75;43 � 10�2 ¼ 0;7543.

Lommereknaren forstar denne skrivematen. Vi tastar 75:43� 10^�2

og far det same svaret. Her ma vi hugse a bruke forteiknsminus (�)

pa lommereknaren.

EKSEMPEL 26

Rekn ut pa lommereknaren:

a) 24 000 000 � 5630 b)1

128 000Løysing:

a) Svaret pa lommereknaren er 1:3512 E 11.

Det star for talet 1;3512 � 1011 ¼ 135 120 000 000.

b) Svaret pa lommereknaren er 7:8125 E -6.

Det star for talet 7;8125 � 10�6 ¼ 0;000 007 812 5

Eit hydrogenatom veg 1;67 � 10�27 kg. Nar vi skriv talet pa desimalform,

far vi 0;000 000 000 000 000 000 000 000 001 67.

Avstanden fra sola til planeten Pluto er 5;96 � 109 km.

Dette er ein annan skrivemate for talet 5 960 000 000.

Du ser kor oversiktleg det kan vere a skrive tala med tiarpotensar!

Vi seier at tala er skrivne pa standardform.

I dei neste to eksempla skal vi øve oss pa denne skrivematen.

VI FLYTTER

DESIMALKOMMAET

102 vil seie � gongemed 10to gonger.V| £ytter desimal-kommaet to plassarmoth�gre.

10�2 vil seie � delemed 10to gonger.V| £ytter desimal-kommaet to plassarmotvenstre.

SKRIVEMATEN

PA LOMMEREKNAREN

8:3 E 5 st�r for talet

8,3 � 105 ¼ 830 000

8:3E - 5 st�r for talet

8,3 � 10�5 ¼ 0,000 083

TAL PA

STANDARDFORM

a � 10 k

^ a er eit talmellom1 og 10

^ k er eit heilt tal


EKSEMPEL 27

Skriv tala pa standardform:

a) 5200 b) 0;000 063

Løysing:

a) 5200 ¼ 5;2 � 1000 ¼ 5;2 � 103

b) 0;000 063 ¼ 6;3 : 100 000 ¼ 6;3 � 10�5

EKSEMPEL 28

Planeten Saturn er 1;43 � 1012 meter unna oss. Lyset gar med

ein fart pa 3;0 � 108 meter per sekund. Ein romsonde sender

eit signal til jorda fra Saturn. For a finne kor lang tid signalet

bruker, ma vi dividere strekninga med farten:

Tid ¼ strekning

fart¼ 1;43 � 1012 meter

3;0 � 108 meter per sekund� 4770 sekund

Nar vi bruker lommereknar til a rekne med tal pa standardform, er det av

og til nødvendig a setje parentesar for a unnga feil. Vi kan sleppe a setje

parentesar dersom vi skriv inn tala pa denne maten:

Casio: Talet 8;3 � 105 skriv vi inn som 8:3 EXP 5.

Texas: Talet 8;3 � 105 skriv vi inn som 8:3 2nd EE 5.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.49Rekn ut ved hjelp av lommereknaren og skriv

svara bade pa standardform og som vanlege tal:

a) 7 020 000 � 820 000 b) 2 900 000 � 51 000

c)73

19 000 000 000d)

850

271 000 000

Oppg�ve1.50Skriv svara pa standardform:

a) Gjer om 13;2 meter til millimeter.

b) Gjer om 7;5 kilometer til centimeter.

c) Gjer om 2 desimeter til kilometer.

Oppg�ve1.51Eit lysar er den avstanden lyset gar pa eit ar.

Eit lysar er lik 9;46 � 1015 meter.

a) Gjer om talet fra standardform til vanleg tal.

b) Kor mange meter per sekund er lysfarten?

Dr�fting1.52Bakteriane økslar seg ved at ei bakteriecelle

deler seg og blir til to celler. Dersom bakteriane

har nok mat og plass, kan denne delinga skje

kvar time. Etter ein time er det to bakteriar,

etter to timar er det 2 � 2 ¼ 4 bakteriar,

og sa vidare.

a) Kor mange bakteriar kan det teoretisk bli

etter eitt døgn? Skriv svaret pa standardform.

b) Kan denne auken halde fram vidare i same

tempoet? Kommenter.

Utfordring1.53

Kvart hydrogenatom har massen 1;67 � 10�27 kg.

Kor mange atom er det i 1 kg hydrogen?


1.11 Forholdstal ^ kormykje av kvar del?

Du skal l�re^ � reknemed forhold og forholdstal i praktiske oppg�ver

I mange situasjonar i dagleglivet gjer vi bruk av talforhold.

Kart, arbeidsteikningar og blandingsforhold er nokre eksempel.

EKSEMPEL 29

Pa ei flaske hushaldssaft star det at vi skal blande ein del

saft med fire delar vatn. Forholdet mellom saft og vatn skriv

vi da 1 : 4. Motsett er forholdet mellom vatn og saft lik 4 : 1.

a) Kor mykje vatn ma blandast med 3 dl saft?

b) Kor mykje saft har vi brukt dersom vi set til 6 dl vatn?

c) Kor mykje rein saft ma blandast med vatn for a lage 2 liter

ferdigblanda saft?

Løysing:

a) Ein del saft skal blandast med fire delar vatn. Da ma 3 dl saft

blandast med 3 dl � 4 ¼ 12 dl vatn.

b) Det skal vere fire gonger sa mykje vatn som saft. Det gir6 dl

4¼ 1;5 dl saft.

c) Ferdigblanda saft inneheld ein del saft og fire delar vatn.

Saftmengda er derfor 1=5 av den totale blandinga. Vi gjer om

til desiliter og far 2 liter ¼ 20 dl. Mengda av rein saft er20 dl

5¼ 4 dl.

EKSEMPEL 30

a) Eit sim-kort har lengda 2;5 cm og breidda 1;5 cm.

Kva er forholdet mellom lengda og breidda?

b) Eit rektangel med lengda 21 cm er formlikt med sim-kortet.

Kor breitt er rektanglet?

Løysing:

a) Forholdet mellom lengda og breidda er2;5 cm

1;5 cm� 1;67.

b) Her kan vi rekne ut det motsette talforholdet.

Forholdet mellom breidda og lengda av sim-kortet er1;5 cm

2;5 cm¼ 0;6.

Breidda av rektanglet blir da 21 cm � 0;6 ¼ 12;6 cm.

Vi kunne og ha delt lengda med talforholdet i a.

Det gir21 cm

1;67� 12;6 cm.


Orienteringskart har ofte malestokken 1 : 10 000. Vi seier «ein til ti tusen».

1 cm pa kartet er 10 000 cm i terrenget, som er det same som 100 m.

EKSEMPEL 31

Vi har eit orienteringskart i malestokken 1 : 10 000.

a) Kor mange meter i terrenget er det i luftlinje mellom

to postar nar avstanden pa kartet er 5;7 cm?

b) Kor mange centimeter er det mellom to innteikna postar

pa eit kart nar det i luftlinje er 1200 meter mellom postane?

Løysing:

a) Her gongar vi med 10 000 fordi vi gar fra kart til terreng.

Avstanden i terrenget blir 5;7 � 10 000 cm ¼ 57 000 cm ¼ 570 m.

b) 1200 m er lik 120 000 cm. Vi deler pa malestokken ð10 000Þfordi vi gar fra terreng til kart.

Avstanden pa kartet blir120 000 cm

10 000¼ 12 cm.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.54Eit turkart har malestokken 1 : 50 000.

a) Kva viser denne malestokken i praksis?

b) Kor lang er ein tur som maler 11;5 cm pa kartet?

c) Avstanden mellom to fjelltoppar er 14 km

i luftlinje. Kva svarar det til pa kartet?

Paroppg�ve1.55Ei arbeidsteikning er laga i malestokk 1 : 10,

mens ei anna arbeidsteikning er i malestokk 10 : 1.

Kva er skilnaden?

Prøv a finne eksempel som kan passe til dei

to malestokkane.

Oppg�ve1.56Ein dag betalte vi 7;90 norske kroner for 1 euro.

a) Kor mange norske kroner fekk vi da for

117 euro?

b) Kor mange euro fekk vi for 3500 norske kroner?

Dr�fting1.57Ei lightsaft skal blandast i forholdet 1 : 9, det vil

seie ein del saft og ni delar vatn. Arne vil rekne ut

kor mykje saft som gar med til a lage 5 liter ferdig-

blanda saft. Han set opp dette reknestykket:

5 liter � 19� 0;56 liter ¼ 5;6 dl

Forklar korfor utrekninga til Arne er feil.

Rekn ut den korrekte saftmengda.

Miniprosjekt1.58a) Vi har to linjestykke pa 1;2 m og 1;5 m.

Rekn ut det lineære talforholdet mellom den

lange og den korte linja.

b) Vi har to kvadrat, det eine med sider

pa 1;2 m og det andre med sider pa 1;5 m.

Kva er forholdet mellom areala av det store

kvadratet og det vesle kvadratet?

c) Forklar kva forholdstalet mellom det største og

det minste volumet er nar vi har to kubar med

sidene 1;2 m og 1;5 m.

d) Kva slags samanheng er det mellom talforholda

for volum, areal og rette linjer?


1.12 Prosent og prosentpoeng ^ kva er skilnaden?

Du skal l�re^ � l�yse oppg�vermedprosent n�r vi kjenner den opphavlege verdien og prosenten^ � reknemedprosentpoeng^ � forklare skilnaden p� prosentvis endring og prosentpoeng

Nar vi reknar med prosent, er det viktig a vere klar over at prosenten

heng saman med kva som er grunnlaget. 10 % rabatt pa eit par sokkar

er mykje mindre i kroner enn 10 % rabatt pa ei dyr jakke.

EKSEMPEL 32

Ein haust sel ei sportsforretning syklar med 35 % rabatt.

Line vurderer a kjøpe ein sykkel som har kosta 5600 kroner.

Kor mange kroner blir rabatten pa?

Løysing:

Rabatt ¼ opphavleg verdi � prosent

100¼ 5600 kr � 35

100¼ 1960 kr

Rabatten blir 1960 kroner.

EKSEMPEL 33

I skulearet 2005–2006 var det 660 elevar ved ein vidaregaande skule.

Aret etter hadde elevtalet auka med 5 %.

Kor mange elevar hadde skulen i 2006–2007?

Løysing:

Vi bruker same formelen som ovanfor. I tillegg ma vi hugse pa

a leggje auken til den opphavlege verdien:

Auke ¼ 660 elevar � 5100

¼ 33 elevar

660 elevarþ 33 elevar ¼ 693 elevar

I skulearet 2006–2007 hadde skulen 693 elevar.

Mange bruker prosent og prosentpoeng om kvarandre. Prosentpoeng

er vanleg a bruke nar vi for eksempel skal presentere framgang og

tilbakegang for politiske parti. Vidare gar indeksrekning (kapittel 5) ut pa

a samanlikne endringar i prosentpoeng.

PROSENT

Prosent tyder per hundreeller hundredel.For eksempel er

7 % ¼ 7100¼ 0,07

ENDRING

Vi finn endringa somopphavleg verdi � prosent

100

NY VERDI

Ny verdi ved ein auke:opphavleg verdi þ auke

Ny verdi ved ein nedgang:opphavleg verdi � nedgang


EKSEMPEL 34

Lise har fatt ein renteauke fra 2;5 % til 3;0 % pa eit bustadlan.

Kor stor var renteauken

a) i prosentpoeng b) i prosent

Løysing:

a) Auke i prosentpoeng: 3;0� 2;5 ¼ 0;5

Renteauken var pa 0;5 prosentpoeng.

b) Auke i prosent:endring � 100 %

opphavleg verdi¼ 0;5 � 100 %

2;5¼ 20 %

Renteauken var pa 20 %.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.59Kor mykje er

a) 5 % av 340 kroner

b) 27 % av 125 000 kroner

c) 0;65 % av 860 gram

d) 230 % av 12;40 kroner


a) Ei bukse kosta opphavleg 920 kroner.

Prisen vart sett ned 70 %.

Kor mykje kosta buksa pa sal?

b) Ein bustad steig i verdi med 28 %. Kva var

verdien etter denne stigninga nar bustaden

i utgangspunktet var verd 960 000 kroner?

c) Ein fotballspelar ønskjer a auke trenings-

mengda med 40 %. Han trenar gjennomsnittleg

12;5 timar i veka. Kor mykje ma han trene per

veke for a greie malsetjinga si?

Oppg�ve1.61Truls Olsen har ei arslønn pa 205 000 kroner.

Under eit lønnsoppgjer far han eit lønnstillegg

pa 5;2 %.

a) Kor mange kroner var lønnsauken pa?

b) Kva blir den nye lønna til Truls Olsen?

Dr�fting1.62Det blir gjort ein del feil ved bruk av prosent.

Vi kan tenkje oss dette sitatet: «Tilskot til lag

og foreiningar har i gjennomsnitt gatt ned med

5 %, fra 30 % til 25 %, dei siste ara.»

Korfor er dette feil? Gi ei forklaring.

Utfordring1.63Fra Aftenposten i 2002 saksar vi: «SAS har mistet

tillit i det norske folk. Hele 43 % oppgir at de har

et negativt inntrykk av bedriften. Siden aret før

har andelen nordmenn med et darlig inntrykk av

selskapet økt med 25 prosentpoeng.»

Kor stor var auken i prosent fra 2001

til 2002?

Utfordring1.64Eit par damesko kosta 1250 kroner. Skoa kjem pa

sal, og prisen blir sett ned 15 %.

Etter salet blir prisen sett opp att 15 %.

a) Forklar utan a gjere utrekningar korfor skoa

ikkje vil koste det same som i utgangspunktet.

Blir skoa billigare eller dyrare enn

1250 kroner?

b) Rekn ut kor mykje skoa kosta etter at prisen

vart sett opp att.

PROSENT OG PROSENTPOENG

I prosentrekningm� vi ta ut-gangspunkt i opphavleg verdi.Prosentpoeng er di¡eransenmellom to prosenttal.


1.13 Prosentrekning ^ n�r prosenten er ukjend

Du skal l�re^ � rekne ut prosenten n�r vi kjenner den opphavlege verdien og endringa^ � rekne ut prosenten n�r vi kjenner den opphavlege verdien og den nye verdien

I somme situasjonar i kvardagen kan det vere interessant a rekne ut kor stor

prosenten er. Eit eksempel kan vere kor mange prosent ein bil har tapt seg i

verdi. Vi viser to reknematar: «vegen om 1» og rekning med formel.

EKSEMPEL 35

Per og Anne skulle løyse ei oppgave: Billigmøblar AS ønskjer a selje

ut kommodane dei har pa lager. Store kommodar er sette ned med

350 kroner fra 1200 kroner, og sma kommodar med 200 kroner fra

750 kroner. Kva slags kommodetype har størst prosentvis avslag?

Per løyste oppgava ved a bruke formel:

Stor kommode: Prosent ¼ 350 kroner � 100 %

1200 kr� 29;2 %

Liten kommode: Prosent ¼ 200 kroner � 100 %

750 kr� 26;7 %

Anne løyste oppgava ved a ga «vegen om 1»:

Stor kommode: 1 % svarar til1200 kroner

100¼ 12 kroner.

350 kroner svarar til350

12% � 29;2 %.

Liten kommode: 1 % svarar til750 kroner

100¼ 7;50 kroner.

200 kroner svarar til200

7;50% � 26;7 %.

Den store kommoden har størst prosentvis avslag.

EKSEMPEL 36

Ein bustad steig i pris fra 1 270 000 kroner til 1 358 900 kroner.

Kor stor var prisstigninga?

Løysing:

Vi reknar først ut endringa. Sa bruker vi ein av reknematane ovanfor.

Auke i verdi: 1 358 900 kr� 1 270 000 kr ¼ 88 900 kr

Prosent med formel:endring � 100 %

opphavleg verdi¼ 88 900 kr � 100 %

1 270 000 kr¼ 7 %

Prisstigninga var 7 %.

VI FINN PROSENTEN

Formel:

Prosent ¼ endring � 100 %opphavleg verdi

ßVegen om 1�:Opphavleg verdi er 100 % .

^ 1 % eropphavleg verdi

100.

^ Del endringa med dettetalet.


AKTIVITETAR

Oppg�ve1.65Kor mange prosent utgjer

a) 12 av 20

b) 12 av 200

c) 24 av 200

d) 6 av 200

Oppg�ve1.66Silje har nettopp sett personleg rekord i lengde pa

4;78 meter. Den gamle rekorden var 4;69 meter.

Kor mange prosent var forbetringa pa?

Oppg�ve1.67Av 280 bilar som passerte ein fartskontroll,

køyrde 35 for fort. Sju av desse bilførarane miste

førarkortet.

a) Kor mange prosent køyrde for fort?

b) Kor mange prosent køyrde for fort, men miste

ikkje førarkortet?

c) Kor mange prosent av dei som køyrde for fort,

miste førarkortet?

Oppg�ve1.68Tiril er 159 cm høg, mens Marion er 172 cm høg.

a) Kor mange prosent høgare er Marion enn Tiril?

b) Kor mange prosent lagare er Tiril enn Marion?

c) Kommenter svara.

Oppg�ve1.69Eit gartneri reklamerer med at kundane kan velje

tre rosebuskar og betale for to.

Diskuter kor mange prosent avslaget er pa.

(Tips: Nar det ikkje er gitt tal i prosentoppgaver,

kan du sjølv setje inn tal.)

Dr�fting1.70Ved ein vidaregaande skule arbeidde elevradet

med a setje i verk tiltak for a redusere elev-

fraværet ved skulen. Dei hapa at fraværet skulle

ga ned fleire hundre prosent.

Diskuter om dette er mogleg.

Miniprosjekt1.71Omar og Karl vurderer a kjøpe heimekinoanlegg.

Dei ser pa eit anlegg fra Sony til 12 000 kroner.

Under romjulssalet er prisen sett ned 50 %. Siste

salsdagen blir prisen sett ned ytterlegare 30 %.

«Flott,» seier Karl, «no har eg rad til a kjøpe

heimekinoanlegget, for no er det sett ned 80 %.

No skal eg berre betale 2400 kroner.»

Omar er ikkje samd i resonnementet til Karl.

Han meiner at Karl skal betale 4200 kroner.

Kven har rett?

Kor mange prosent er prisen sett ned totalt?


1.14 Prosentrekning ^ n�ropphavleg verdi er ukjend

Du skal l�re^ � rekne ut den opphavlege verdien n�r du kjenner prosenten og endringa^ � rekne ut den opphavlege verdien n�r du kjenner prosenten og den nye verdien

Nar den opphavlege verdien er ukjend, kan vi ga «vegen om 1».

I neste kapittel skal vi lære a løyse slike problem med vekstfaktor.

Vekstfaktoren høver godt nar det er fleire prosentvise tillegg,

men vi kan og bruke metoden pa oppgavene i dette kapitlet.

EKSEMPEL 37

I ein annonse for langrennsski star det at skia er sette ned 60 %.

Det svarar til 1260 kr i avslag. Kor mykje kosta skia opphavleg?

Løysing:

Her er endringa 1260 kr. Det svarar til 60 %:

1 1 % svarar til1260 kr

60¼ 21 kr.

Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:

2 100 % svarar til 100 � 21 kr ¼ 2100 kr.

Skia kosta opphavleg 2100 kr.

EKSEMPEL 38

Stig og Anne Hansen selde huset sitt for 2 520 000 kroner.

Det var 80 % meir enn dei sjølve hadde betalt for huset.

Kor mykje kosta huset da dei kjøpte det?

Løysing:

Ein auke pa 80 % gir ein «total prosent» pa 100 %þ 80 % ¼ 180 %.

Den nye verdien er altsa 180 % av den opphavlege verdien.

Den nye verdien er 2 520 000 kr. Det svarar til 180 %.

Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:

1 1 % svarar til2 520 000 kr

180¼ 14 000 kr.

2 100 % svarar til 100 � 14 000 kr ¼ 1 400 000 kr.

Huset kosta 1 400 000 kr da Stig og Anne kjøpte det.

OPPHAVLEG VERDI

NAR VI KJENNER

PROSENTEN OG ENDRINGA

Rekninga g�r i to etappar:

1 Finn kva 1 % svarar til.2 Opphavleg verdi er 100 %.

OPPHAVLEG VERDI

NAR VI KJENNER

PROSENTEN OG NY VERDI

F�rstm� vi rekne ut denßtotale prosenten�.

Deretter bruker vi dei sameto etappane som ovanfor:

1 Finn 1 % somny verdi

«total prosent»

2 Opphavleg verdi er 100 %.


AKTIVITETAR

Oppg�ve1.72Finn den opphavlege verdien nar

a) 20 % utgjer 350 kroner

b) prisen er 13 000 kroner etter at han

er sett opp 8 %

c) prisen er 740 kroner etter at han er sett ned 38 %

d) 135 % utgjer 420 kroner

Oppg�ve1.73Ulrik arbeider som flyteknikar. Kvar manad bruker

han 7500 kroner til a betale faste utgifter. Det

svarar til 40 % av det han far utbetalt kvar manad.

Kor mykje far Ulrik utbetalt i manaden?

Oppg�ve1.74Ein bilforhandlar ma auke utsalsprisen pa bruktbilar

med 2;5 % pa grunn av endra valutakursar.

a) Kva blir den nye prisen pa ein bil som tidlegare

kosta 150 000 kroner?

b) Ein bil kostar no 248 000 kroner.

Kor mykje kosta denne bilen før prisauken?

Oppg�ve1.75Tine kjøper ein mobiltelefon til 1999 kroner etter at

prisen er sett ned 20 %. Kor mykje kosta mobil-

telefonen ordinært?

Oppg�ve1.76Familien Moe har redusert straumforbruket

med 8 % i 2005 til 29 850 kWh.

Kor stort var straumforbruket i 2004?

Oppg�ve1.77Ein klesbutikk kjøpte inn klede for 35 000 kroner

medrekna meirverdiavgift pa 25 %.

Kor mykje kosta desse kleda utan meirverdiavgift?

Utfordring1.78Fra 2004 til 2005 gjekk løyvingane til ein

sjukeheim ned med 4;5 %. Fra 2005 til 2006

auka løyvingane med 3;0 %. Kor stor var løyvinga

i 2004 nar ho var 2 150 000 kroner i 2006?

Utfordring1.79Ein familie har ei fast inntekt per manad.

I august brukte dei 3600 kroner til mat.

Matutgiftene i september var 1;5 % høgare.

a) Kor store var matutgiftene i september?

b) I september utgjorde matutgiftene 12 % av

inntekta. Kor stor var inntekta?

c) Vi reknar med at resten av inntekta gar til anna

forbruk og sparing. Kor mange prosent av

inntekta gar til sparing nar anna forbruk utgjorde

15 400 kroner i september?


1.15 Probleml�ysing ^ mange vegar tilm�l

Du skal l�re^ � analysere og l�yse praktiske oppg�ver^ � bruke varierte l�ysingsmetodar

EKSEMPEL 39

Kari leigde bil til ein ferietur. Ho matte betale ein fast sum pa

1200 kroner, i tillegg til 1;60 kroner per kilometer. Da ho kom att-

ende fra ferien, betalte ho 2600 kroner. Kor langt hadde Kari køyrt?

Løysing:

Vi kan starte med a trekkje fra den faste summen:

2600 kroner� 1200 kroner ¼ 1400 kroner

Vi finn kor mange kilometer Kari køyrde, ved a dele 1400 kroner

pa prisen per kilometer. Kari køyrde1400 kroner

1;60 kr=km¼ 875 km

EKSEMPEL 40

Familien til Per driv ein kennel, og i hagen har dei ein stor

andedam. Nar Per blir spurt om kor mange hundar og ender dei

har, svarar han: «Vi har 40 dyr, og dei har 116 bein til saman.»

Anne, Bente og Cato greidde a løyse problemet. Som du ser,

løyste dei problemet pa ulike matar:

Prøv-deg-fram-metoden

Anne prøvde seg fram. Dersom det er 10 hundar, blir det til

saman 4 � 10 ¼ 40 bein. Da ma det i sa fall vere 30 ender,

med til saman 60 bein. Anne legg saman og finn at det

berre blir 100 bein. Sa prøver ho med 20 hundar og

20 ender. Det blir 80þ 40 bein, altsa fire bein for mykje.

Anne forstar at det ma vere to færre hundar. Per ma ha

18 hundar og 22 ender for at det skal bli 116 bein til saman.

Talet pa bein er 18 � 4þ 22 � 2 ¼ 72þ 44 ¼ 116.

Logisk resonnement

Cato veit at talet pa bein endrar seg med 4 per hund og med 2 per and.

Om Per berre hadde hatt hundar, ville det ha vore 116=4 ¼ 29 hundar.

For kvar hund mindre blir det to ender meir for at talet pa bein skal

vere det same. Det skulle vere 40 dyr i alt, slik at med 11 færre hundar

ma det vere 11 � 2 ¼ 22 ender for at talet pa bein framleis skal vere 116.

Per hadde da 29� 11 ¼ 18 hundar.


Likningssett

Bente hugsa at dei lærte likningssett pa ungdomsskulen.

Ho kallar talet pa hundar x og talet pa ender y:

Likning I: hundar i alt þ ender i alt ¼ 40

x þ y ¼ 40

Likning II: bein pa hundane þ bein pa endene ¼ 116

4x þ 2y ¼ 116

Da ho løyste dette likningssettet, fekk ho x ¼ 18 og y ¼ 22.

Altsa var det 18 hundar og 22 ender.

Som eksempel 40 viser, er det ofte fleire framgangsmatar som fører til

svaret. Det er bra, for vi tenkjer jo ikkje likt!

Nar du arbeider med problemløysing, er det viktig a sja etter om det er

noko mønster i opplysningane, og a jobbe systematisk. Det er lurt a

tenkje gjennom kva slags løysingsmetodar som kan passe. I margen har

vi skrive opp ein del nyttige tips til problemløysinga.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.80Kva blir dei tre neste tala?

a) 2; 4; 6; . . . b) 1; 4; 7; 10; . . .

c) 1; 3; 6; 10; 15; 21; . . .

Oppg�ve1.81

1 4 9

Vi kan tenkje oss at dei tre tala 1, 4 og 9

dukkar opp som vist pa figuren.

a) Kva blir det neste talet (tal nummer 4)?

b) Kva blir tal nummer 8?

c) Kva kallar vi desse tala?

Oppg�ve1.82Det skal setjast opp gjerde rundt eit jorde. Jordet

har form som eit rektangel, der den stuttaste sida

er 23 meter. Kor lang er den lengste sida nar det gar

med 116 meter gjerde?

Oppg�ve1.83Ei stor balje rommar 200 liter. Nar vasskrana er

skrudd pa fullt, renn det 16 liter per minutt.

a) Kor lang tid tek det a fylle balja?

Ein dag vart balja fylt med vatn fra ein hageslange

i tillegg til vasskrana. Da tok det atte minutt a fylle

balja.

b) Kor mange liter per minutt rann det gjennom

hageslangen?

Utfordring1.84Ola tenner to stearinlys som er like lange.

Det eine lyset bruker fem timar pa a brenne ned,

det andre berre tre timar. Ola let lysa brenne

ei stund før han blæs dei ut. Da er det eine

lyset tre gonger sa langt som det andre.

Kor lenge let Ola lysa brenne?

(Tips: Teikn deg fram til svaret.)

PROBLEMLØYSING

1 Teikn situasjonen.2 Skriv ned det du veit.3 Pr�v � finne ut kva som erproblemet.

4 Er det nokre opplysningarsommanglar?


1.16 Samansett eksempelEKSEMPEL 41

Dersom ei trapp skal vere god a ga i, bør steghøgda

(oppsteget) ikkje vere større enn 170 mm, og innsteget bør

vere minst 230 mm. Trappeformelen kan uttrykkjast slik:

To oppsteg pluss eitt innsteg utgjer til saman 630 mm:

a) Korfor trur du det er laga ein trappeformel?

b) Set opp trappeformelen med ditt eige val av

symbol.

c) Kor langt ma innsteget vere etter trappeformelen

dersom oppsteget er 150 mm?

d) Kor langt ma oppsteget vere etter trappeformelen

dersom innsteget er 290 mm?

e) Vi ønskjer a byggje ei trapp i ei 4;25 meter høg skraning.

Finn ut om det gar opp i eit heilt tal trappesteg nar vi let

oppsteget vere først 150 mm og deretter 170 mm.

Vi ønskjer a lage ei trapp i tre og studerer prisane hos ulike

trelasthandlarar. Det billigaste alternativet pa trykkimpregnerte plankar

er 8;60 kroner per meter. Firmaet gir 7 % rabatt ved kontant betaling.

f) Kor mykje kostar dei trykkimpregnerte plankane per meter

med 7 % rabatt?

Naboen har ogsa kjøpt plankar til trappa si hos denne trelasthandlaren.

Han betalte 4700 kroner for materialane. Da hadde han fatt rabatt,

for den ordinære prisen var 5370 kroner.

g) Vi vil finne ut kor mange prosent rabatt naboen fekk, for a krevje det

same dersom dette tilbodet var betre. Kor mange prosent rabatt

fekk naboen?

Løysing:

a) Det blir tilradd a følgje trappeformelen nar vi skal lage

ei god trapp a ga i. Har trappa for sma steg, blir ho

slitsam a ga i, mens for høge oppsteg kan vere

brysamt særleg for barn og eldre.

b) Vi kallar oppsteget o og innsteget i. Da far vi formelen

2 � oþ i ¼ 630

c) Nar vi skal finne innsteget, kan vi gjere om formelen og skrive

i ¼ 630� 2 � oDet gir

i ¼ 630� 2 � 150 ¼ 630� 300 ¼ 330

Innsteget ma vere 330 mm.

OPPSTEG

INNSTEG


d) Nar oppsteget er ukjent, kan vi skrive o ¼ 630

2� i

2.

Vi set inn og far o ¼ 315� 290

2¼ 315� 145 ¼ 170.

Oppsteget ma vere 170 mm.

e) Med oppsteg pa 150 mm:4250 mm

150 mm� 28;3 trappesteg

Med oppsteg pa 170 mm:4250 mm

170 mm¼ 25 trappesteg

Det gar opp i eit heilt tal trappesteg nar oppstega er 170 mm.

f) Rabatten er8;60 kroner � 7

100� 0;60 kroner.

Plankane kostar 8;60 kroner� 0;60 kroner ¼ 8;00 kroner.

g) Naboen fekk rabatt pa 5370 kroner� 4700 kroner ¼ 670 kroner.

1 % svarar til5370 kroner

100¼ 53;70 kroner.

Rabatten i prosent var670 kroner

53;70 kroner� 12;5 %.

AKTIVITETAR

Oppg�ve1.85Samanhengen mellom temperaturen malt i grader

celsius og i grader fahrenheit er gitt ved formelen

F ¼ 9

5C þ 32

a) Kor høg er temperaturen malt i fahrenheitgrader

nar det er 25 grader celsius ð25 �CÞ?b) Gjer om formelen slik at celsiusgrader blir

uttrykt ved fahrenheitgrader.

c) Kor mange grader celsius er det nar det er

50 grader fahrenheit ð50 �FÞ?

Ein temperaturskala som blir brukt i fysikken, er

kelvinskalaen. Det er den absolutte temperaturen

som blir malt i kelvin ðKÞ, og samanhengen mellom

kelvin og grader celsius er gitt ved formelenC ¼ K � 273;15

d) Rekn ut kor mange celsiusgrader som svarar

til 150 kelvin.

e) Kor mange kelvin er dobbelt sa høg temperatur

som 0 grader celsius?

Oppg�ve1.86Tonehøgda maler vi i talet pa svingingar per

sekund, som vi kallar frekvens. Eininga for frekvens

er hertz ðHzÞ.1 Hz er lik ei svinging per sekund.

I musikk har tonane pa skalaen eit fast forhold til

kvarandre. Ein lag C har frekvensen 264 Hz.

Her er forholdstala for nokre av dei andre tonane

i høve til lag C:

D:9

8; E:

5

4; F:

4

3

Desse forholdstala ma stemme for at vi skal

oppfatte musikken som «rein». Nar eit piano,

ein fiolin eller ein gitar er ustemd, er ikkje

forholdet mellom tonane korrekt lenger.

a) Bruk det gitte forholdstalet for D i høve til lag C.

Kva er frekvensen til D?

b) Kva er forholdet mellom G og lag C nar G har

frekvensen 396 Hz?

c) Rekn ut frekvensforholdet mellom F og G.

d) Pa eit piano hadde E frekvensen 330 Hz.

Finn ut om pianoet var ustemt.


SAMANDRAGM�lepresisjon og gjeldande si¡er. s. 14^15.Storleiken 3;74 m har tre gjeldande siffer. Storleiken

1;8 har to gjeldande siffer. Produktet 3;74 � 1;8 m2

skal da ha den lagaste siffermengda av dei gitte

storleikane, nemleg to. Svaret blir 6;7 m2.

Reknerekkjef�lgje og forteiknsreglar. s. 18^19.1 Parentes 2 Potens

3 Gonge og dele 4 Pluss og minus

– I uttrykket 3þ 4 � 6 «bind» gongeteiknet sterkare

enn plussteiknet, slik at vi reknar ut 4 � 6 først.

Vi far 3þ 4 � 6 ¼ 3þ 24 ¼ 27.

Merk at ð3þ 4Þ � 6 ¼ 7 � 6 ¼ 42.

– Hugs forteiknsreglane:

«minus gonger minus er pluss»

«minus gonger pluss er minus»

Enkel algebra. s. 20^ 21.– Nar vi skal multiplisere eit tal med ein

parentes, multipliserer vi talet med kvart

ledd inni parentesen:

2 ðxþ 3Þ ¼ 2 � xþ 2 � 3 ¼ 2xþ 6

– Med minus framfor ein parentes opnar vi

parentesen og skifter forteikn:

5� ð3x� 1Þ ¼ 5� 3xþ 1 ¼ 6� 3x

– Ved multiplikasjon av to parentesar multipliserer

vi kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd

i den andre:

ð3xþ 9Þðx� 3Þ ¼ 3x2 � 9xþ 9x� 27 ¼ 3x2 � 27

Br�krekning. s. 21.– Nar vi skal leggje saman to brøkar, gjer vi om

til same nemnaren og summerer teljarane:

2

3þ 1

2¼ 4

6þ 3

6¼ 4þ 3

6¼ 7

6

– Ved multiplikasjon av to brøkar multipliserer vi

teljar med teljar og nemnar med nemnar og kortar:3

4� 56¼ 3 � 5

4 � 6 ¼15

24¼ 5

8

Likningsl�ysing. s. 22^ 23.Dei viktigaste hovuddraga nar vi skal løyse

likningar, er:

– Gong inn i parentesane og opne dei.

– Gong alle ledd med samnemnaren.

– Saml ledda med x pa venstre side.

– Skift forteikn nar du flytter over ledd.

– Divider med talet framfor x og kort brøken.

Kvadratiske likningar. s. 24.For den kvadratiske likninga x2 ¼ a gjeld

x2 ¼ a ða 0Þ gir x ¼ �ffiffiffiap

L�ysing av ulikskapar. s. 25.Ved ulikskapar gar vi fram som ved likningar,

men med ei endring:

– Vi snur ulikskapsteiknet nar vi multipliserer eller

dividerer med eit negativt tal.

Formelrekning. s. 26^ 27.Vi har sett pa tre alternative framgangsmatar ved

formelrekning:

– Vi set inn tal i formelen og løyser formelen som

ei likning.

– Vi far den ukjende aleine pa venstre side.

– Somme formlar kan setjast opp som «trekantformlar».

Standardform. s. 28^ 29.Eit tal pa standardform er skrive slik: a � 10 k.

a er eit tal mellom 1 og 10, og k er eit heilt tal.

Talet 236 000 pa standardform blir 2;36 � 105.

Vi flytter kommaet fem plassar mot venstre.

Pa lommereknaren skriv vi: 2:36 E 5

Talet 0;000 41 blir 4;1 � 10�4 pa standardform.

Vi flytter kommaet fire plassar mot høgre.

Pa lommereknaren skriv vi: 4:1 E -4

Prosent. s. 32^35.– Prosent tyder per hundre, slik at

85 % ¼ 85

100¼ 0;85

– Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal.

– Vi finn endringa som

endring ¼ opphavleg verdi � prosent

100

– Vi finn prosenten som

prosent ¼ endring � 100 %

opphavleg verdi

— f|nne opphavleg verdi.s. 36^37.Vi bruker «vegen om 1». Opphavleg verdi svarar

til 100 %. Ein pris har auka med 15 % til kr 276.

Vi skal finne den opphavlege prisen:

115 % utgjer kr 276.

1 % utgjer: kr276

115¼ kr 2;40

100 % utgjer da kr 240.


TEST DEG SJ�LV

Test1.AHege skal kjøpe plantar i hagesenteret. Ho ønskjer

a kjøpe minst fire ulike planteslag. Gjer eit

overslag og finn ut kva Hege kan kjøpe for om lag

1250 kroner nar roser kostar kr 55, georginar kr 29,

løytnantshjarte kr 38, rododendron kr 120 og

spirea kr 70.

Test1.BGjer om til meter:

a) 253 cm b) 17 mm c) 1;48 km

Test1.CRekn ut og skriv svaret sa enkelt som rad:

a) 5þ 23 � 3 b) 5 ð2þ xÞ � ð4þ xÞ

c)1

4þ 5

6� 3

2� 12

Test1.DLøys likningane:

a) 5þ 2x ¼ 3xþ 7 b) 4 ðxþ 2Þ ¼ 5� ðxþ 2Þ

c)x� 2

3� 3 ¼ x� 5

Test1.EMassing er ei legering av sink og kopar.

Kor mange prosent sink er det i ein massing-

lysestake nar vektforholdet mellom sink og kopar

er 1 : 4?

Test1.FArealet av ein trekant er gitt ved formelen

A ¼ g � h2

a) Rekn ut arealet av ein trekant med grunnlinja

4;0 cm og høgda 3;0 cm.

b) Ein annan trekant har eit areal pa 9;6 cm2.

Grunnlinja er 4;0 cm. Kor stor er høgda?

Test1.Ga) Ein genser kosta 450 kroner.

Kor mykje kostar genseren nar prisen steig 6 %?

b) Pa tilbod er prisen pa ein tannkremtube sett

ned fra 15;90 kroner til 11;50 kroner.

Kor mange prosent er prisen pa tannkrem-

tuben nedsett?

c) Ein bil blir seld for 228 900 kroner etter ein

prisauke pa 9 %. Kor mykje kosta bilen

opphavleg?

Test1.HSimen har eit bustadlan pa 850 000 kroner. Han

betaler 5 % rente i aret, men far vite fra banken

at renta skal hevast til 6;45 % per ar.

a) Kor mange prosentpoeng aukar renta?

b) Kor mange prosent aukar renta?

c) Kor mange kroner utgjer renteauken per ar nar

vi tek utgangspunkt i det opphavlege lanet?

Test1.Ia) Ein gigabyte er 1 012 048 064 byte.

Skriv dette talet pa standardform.

b) Ei nautisk mil er 1852 meter. Vis at dette talet

har sitt opphav i omkrinsen av jorda ved ekvator

pa 4;0 � 107 m, gradtalet til jorda pa 360� og

minuttalet 60.

Test1.JDei to nabofamiliane Eng og Bakke reiste til ei

felles feriehytte. Familien Eng tok raskaste vegen

til hytta, mens familien Bakke drog pa ein 15 mil

lengre tur rundt eit vakkert fjellomrade. Etter at

hytteferien var over, reiste Bakke raskaste vegen

heim, mens Eng tok ein veg som var dobbelt sa lang.

Dei to familiane køyrde 143 mil til saman.

Kor langt var det til feriehytta?


�vingsoppg�ver

1.1 Matematikkermeir enn berre � kunne rekneA1.87Gjer først eit overslag. Rekn deretter ut dei eksakte

svara:

a) 27þ 12þ 15þ 24� 36þ 17

b) 248� 32� 67� 50

c) 29 � 31

A1.88Ada kjøper inn tre flasker brus til kr 8;90 per flaske,

tre sjokoladar til kr 9;90 per stykk og 0;5 kg eple

til kr 22;30 per kilogram. Gjer eit overslag og

finn ut om ho har nok pengar dersom ho berre

har 70 kroner i pungen.

A1.89

Artikkelen er fra VG, som gjorde ei undersøking

av prisane i ein butikk. Gjer hovudrekninga som er

nemnd i artikkelen.

B1.90Per Olav er skuleelev og har ekstrajobb pa laurdagar.

Han har ei fast timelønn pa kr 125 heile den tida

han jobbar. Per Olav har ei eiga timeliste pa jobben

der han skriv opp tidspunktet nar han kjem, og nar

han gar. Han far lønn for heile den tida han er til

stades pa jobben.

Til jobben: Fra jobben:

09.33 16.08

09.44 16.32

10.05 16.07

09.59 16.04

Kor mykje skal Per Olav ha i lønn denne manaden?

B1.91Per og Kari gar pa skule og har tilleggsjobb i ein

kiosk. Per arbeider kvar attande ettermiddag, og

Kari arbeider kvar sjette ettermiddag. Ein etter-

middag er begge pa jobben. Kor mange dagar gar

det før begge pa nytt arbeider same ettermiddagen?

B1.92Tala 1; 2; 4; 7 og 14 er dei heile tala som er

mindre enn 28 og gar opp i 28. Det vil seie at 28

er deleleg med desse tala. Men vi har ogsa at

28 ¼ 1þ 2þ 4þ 7þ 14

Det vil seie at 28 er eit tal som er lik summen av

alle tala mindre enn 28 som gar opp i 28. Det er

vanleg a kalle slike tal perfekte tal.

a) Finn ut om 24 er eit perfekt tal.

b) Finn det minste perfekte talet.

c) Vis at 496 er eit perfekt tal.

C1.93Nokre gode venner var ute pa restaurant. Kvar av

dei bestilte nøyaktig det same, og rekninga for

kvar av vennene var eit heilt tal. Den samla

rekninga kom pa kr 4913. Kor mange venner var

det i selskapet?

C1.94Per og Kari har kvar si gamle klokke. Pers klokke

saktnar litt jamført med Karis. Dei stiller klokkene

likt. Nar det har gatt 40 minutt etter Karis klokke,

syner Pers klokke at det har gatt 39 minutt.

Kor lenge gar det til begge klokkene pa nytt viser

same tid?


1.2 Vegen om 1 ^ein praktisk framgangsm�te

A1.95Vi betaler 47;25 kroner for 2;5 kg eple.

Kva er prisen per kilogram?

A1.96Kor mange norske kroner far vi for 9000 japanske

yen nar 1 japansk yen svarar til 6;00 kroner?

A1.97I ei oppskrift pa biff star det at vi treng 600 gram

biff til fire personar. Kor mange gram biff gar med

til sju personar?

A1.98Eit stearinlys er forma som ein sylinder med høgda

20 cm. Vi tenner lyset for første gong og let det

brenne i 40 minutt. Da er det att 18 cm av lyset.

Kor lang tid kan vi rekne med at dette stearinlyset

framleis kan brenne?

B1.99Kor mange engelske pund far vi for kr 5800 nar

1 engelsk pund svarar til 11;60 norske kroner?

B1.100Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal

kjøpe raudlauk i buntar til kr 24;90 eller i laus vekt

til 29;90 kr/kg. Han finn at bunten veg 0;6 kg.

Samanlikn prisane.

B1.101Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen

opplyser banken at vi ma betale 108 norske kroner

for 100 danske kroner. Kor mange norske kroner

ma vi betale nar banken krev eit vekslingsgebyr

pa kr 40?

B1.102Vi fyller tanken pa bilen heilt full med bensin.

Etter a ha køyrt 75 mil ma vi fylle 60 liter pa

tanken for at han skal bli full att.

a) Kor mange liter har vi brukt per mil?

b) Kor mange mil har vi køyrt per liter?

B1.103Pa ein skule er det 320 elevar. Fordelinga av jenter

og gutar er 5 : 3. Kor mange jenter og kor mange

gutar er det pa skulen?

C1.104Knut landar pa Seychellane. Han veit ikkje kursen

pa seychelliske rupiar (SCR), men vekslar inn

200 euro og far 1742;07 SCR. Kor mange norske

kroner svarar 100 rupiar til nar 1 euro er 7;40 kroner

og vi ser bort fra gebyr?

C1.105Du kappspring 100 meter med ein sprintar. Ho kjem

i mal nar du har att 10 meter av distansen. Som ein

gest til deg føreslar ho at de skal springe 100 meter

ein gong til, men at ho denne gongen skal starte

10 meter bak startlinja. Kven vinn denne gongen?

1.3 Dekadiskem�leiningar.M�lepresisjon

A1.106Gjer om til liter:

a) 15 ml b) 13;4 dl

A1.107a) Gjer om 34;7 ml til liter.

b) Gjer om 1;57 kg til gram.

c) Gjer om 1;3 l til centiliter.

d) Gjer om 3;2 g til hektogram.

e) Gjer om 2;7 m til millimeter.

f) Gjer om 4;8 mm til meter.

g) Gjer om 2;1 dm til millimeter.

h) Gjer om 4;3 ml til desiliter.

A1.108Finn arealet av eit rektangel med lengda 4;32 m

og breidda 7;73 m.

A1.109a) Gjer om 0;42 kg til gram.

b) Gjer om 43;3 mm til meter.

c) Gjer om 2;3 dl til milliliter.


A1.110Gjer om til kilometer per time (km=h):

a) 12 m=s b) 19 m=s

A1.111Gjer om til meter per sekund (m=s):

a) 100 km=h b) 37 km=h

A1.112Kva slags malereiskap vil du bruke til a male

a) diameteren pa ein leidning

b) tjukkleiken pa papir

A1.113a) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;5 m.

b) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;55 m.

B1.114Ein bil bruker ein og ein halv time pa a køyre 95 km.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i kilometer per time og

i meter per sekund.

B1.115Ellen og Erik gar ein fast kveldstur rundt eit vatn.

Turen er pa 4;7 km, og dei bruker 45 minutt.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i meter per sekund

og i kilometer per time.

B1.116Gjer om til mikroliter ðmlÞ:a) 15 ml b) 0;014 l c) 1;25 dl

B1.117Ein pasient blir medisinert fra kl. 14:10 til kl. 16:50

med 15 dropar per minutt. Kor mange dropar blir

det i alt? Kor mange liter væske blir det nar vi

reknar at 20 dropar svarar til ein milliliter?

C1.118Ein 10 000-meterløpar forbetrar tida fra 27:11;08

til 27:10;50. Banen er 400 m. Tidene blir oppnadde

pa to ulike banar. Kor nøyaktig ma banane vere

malt for at det verkeleg er ei forbetring?

1.4 Lommereknaren

A1.119Rekn ut pa lommereknaren:

a) 2 � ð3þ 4 � 3Þ � 5 � 6 b) 32 � 4� 22 � 3


a) 4 � 1;52 � 2;32 b) �32 � 3 � 2c) �ð�3Þ2 � 3 � 2


a)3þ 39

3 � 2 b)4 � 5� 2

2 � 4 c)�42 � 3

3 � 22 � 4


a)ffiffiffiffiffiffiffiffi169p

b)ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi12 � 13þ 133p

c)ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi52 � 42p

B1.123Rekn ut pa lommereknaren:

a) 3 � 4� 2 � 52 þ 32 � 4b) 2� 4 ð22 � 3Þ þ 5 ð1� 22Þ

c)�4 � 52 � 5 � 42

�4 � 52

d)ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi122 � 112p

B1.124Rekn ut pa lommereknaren:

a)�4þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi144� 102p

2 � 3

b)5� 2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi132 � 102p

�2 � 3

c)

�52 � 42

��42 � 32

�32 � 22� �

22 � 12� �

C1.125

Vi opplyser at x og y er gitt ved x ¼ �1;742 � 2 �ffiffiffi3p

og y ¼ �3 � x2 þ 4x� 1. Rekn ut verdien av y

sa nøyaktig som rad pa lommereknaren.


1.5 Reknerekkjef�lgje ogforteikn ^ nyttige reglar

A1.126Rekn ut utan lommereknar:

a) 3þ 4 � 2 b) ð3þ 4Þ � 2c) 2 � 32 d) ð2 � 3Þ2


a) �3 � ð�4Þ þ 5 � 3b) �2 � ð7� 2Þ � ð�3Þ � ð�2Þ


a) 32 b) �42

c) ð�5Þ2 d) �ð�6Þ2


a) 2 � 32 � 3 � 2 b) 2 � 32 � 3 � 22 þ 4

c) 2 � 42 � 3 � 22 � 2 d) 2 � 32 � 5� 3 � 22 � 5


a) 2 � ð32 � 3Þ � 2 b) ð2 � 32 þ 1Þ � 4c) 2 � ð2 � 32 � 4Þ � 5

B1.131Rekn ut i hovudet:

a) 37þ 58þ 13� 8 b) 2 � 179 � 5þ 300 : 30

B1.132Rekn ut utan lommereknar:

a) �32 � 2 � ð�4Þb) ð�3Þ2 � 2 � ð�3Þc) �ð�3Þ2 � 2 � ð�3Þ2

d) �2 � ð�3Þ2 � 3 � ð�2Þ3

C1.133Rekn ut 1þ 2þ 3þ . . .þ 1000.

1.6 Enkel algebra

A1.134Rekn ut:

a) 3þ ðx� 3Þ b) 4x� ðx� 2Þc) 4� ð4� xÞ d) 2 ðx� 3Þe) �2 ðx� 4Þ f) 3� 2 ð4� 2xÞ

A1.135Rekn ut:

a) ðxþ 3Þðxþ 4Þ b) ðx� 3Þðxþ 3Þc) ð2x� 3Þð3x� 2Þ d) ð3x� 4Þð5� 2xÞ

A1.136Rekn ut:

a) 3 ðx� 2Þ � 2 ðxþ 3Þ b) 4x ðx� 3Þ � 3x ðx� 4Þ

A1.137Rekn ut som brøk:

a)3

4þ 3

4� 5

4b)

1

4� 23

c) 4 � 52

A1.138Rekn ut som brøk:

a)1

3� 1

4b)

2

5þ 2

3c)

1

2þ 2

3� 3

4

A1.139Ved eit skuleval røysta 1=3 av elevane pa Arbeidar-

partiet, mens 1=6 av elevane røysta pa Sosialistisk

Venstreparti. Kor stor del av elevane røysta pa desse

to partia til saman?

B1.140Pa ein skule er det 120 elevar i 1. klasse, 100 elevar

i 2. klasse og 80 elevar i 3. klasse. Av elevane

i 1. klasse er 2=3 jenter. I 2. klasse er jentedelen 3=5,

og i 3. klasse lik 1=2.

Kor mange jenter er det i alt pa denne skulen?

B1.141Rekn ut:

a)x

2� 1

2ðx� 2Þ b)

x

5� 3

5

x

3� 5

� �


B1.142Rekn ut:

a)2

3� 1

2

� �� 1� 1

7

� �b)

2

3� 1

2� 1

3

� �� 95

B1.143Eva let etter seg ein formue. Ektefellen arvar 2=3,

eit humanitært fond far 1=12, og resten skal delast

likt mellom tre nevøar. Kor stor brøkdel av arven

far kvar av nevøane?

C1.144I eit selskap kom 1=2 av gjestene i bil, 1=4 kom

med buss, mens dei tre siste gjestene kom til fots.

Kor mange gjester kom til selskapet?

1.7 Likningar

A1.145Løys likningane:

a) 3x ¼ 15 b) 4x� 12 ¼ 0

c) 8x� 3 ¼ 4xþ 5 d) 3t � 2 ¼ 5þ 4t


a)x

3¼ 7 b) 2þ x

2¼ 3� x

c)1

2x� 4 ¼ 2� x

3d)

x

3� x

2¼ xþ 1

6


a) 2� ðx� 1Þ ¼ 3� 2x

b) x� 2 ð3x� 2Þ ¼ �ðx� 3Þc) 3� 5 ðx� 3Þ ¼ 4� 4 ðx� 5Þ

A1.148Eva er tre gonger sa gammal som dottera Pia.

Til saman er dei 52 ar. La alderen til Pia vere x ar,

set opp ei likning og finn alderen hennar.

A1.149Nar du set deg i ei drosje, star taksameteret

pa 42 kr. Sjølve køyringa kostar 10 kr per kilometer.

Du har berre 100 kr pa deg. La x vere den køyrde

distansen i kilometer. Set opp ei likning og

finn kor langt du kjem for pengane dine.

B1.150Løys likningane:

a)x

3� 2 ðx� 1Þ ¼ x� ð2� xÞ

b)1

2x� 1

3ðx� 3Þ ¼ 2 ðx� 1Þ

B1.151To firma konkurrerer i same bransjen. Eit ar sel

firmaet Datasoft for 7;8 millionar kroner og firmaet

Bytes for 9;5 millionar kroner. Etter planane som

leiinga i begge firma legg, skal Datasoft auke salet

med 0;75 millionar kroner per ar og Bytes

med 0;47 millionar kroner per ar.

a) Set opp uttrykka for kva Datasoft og Bytes etter

planane skal selje for om x ar.

b) Kor mange ar gar det før begge firma har

like stor omsetning?

B1.152Eli og Espen har laga bollar for a selje dei under

eit idrettsstemne. Bollane vart selde for kr 5 per stk.

Da fekk dei 22 bollar til overs. Dersom dei i staden

hadde selt bollane for kr 4;50 per stk., ville dei fatt

selt alle saman og fatt den same inntekta.

Kor mange bollar hadde dei bakt?

C1.153Om to ar er Kari dobbelt sa gammal som Per var

for tre ar sidan. Kari er ti ar eldre enn Per.

Kor gamle er dei?


1.8 Kvadratiske likningar.Ulikskapar

A1.154Løys ulikskapane:

a) 5x� 12 > 0 b) x� 4 > �2xþ 3

c)x

2� 1

3> x� 1 d)

1

4x� 2 < x� 3


a) x2 ¼ 121 b) x2 � 81 ¼ 0

c) 2x2 � 162 ¼ 0

B1.156Løys likningane:

a) ðx� 3Þ2 ¼ 25 b) ðaþ 5Þ2 ¼ 62

c) 3ðy� 10Þ2 ¼ 363

B1.157Kostnadene ved a produsere x einingar av ei vare

er K ¼ 4000þ 120x. Inntektene ved sal av

x einingar er I ¼ 500x. Avgjer nar kostnadene er

større enn inntektene.

B1.158Ein seljar av mobiltelefonar far to tilbod:

A: kr 120 for kvar telefon ho sel

B: ein fast sum pa kr 2000 og kr 85 for kvar

telefon ho sel

Lag ein ulikskap og finn kor mange telefonar

som ma seljast for at tilbod A skal vere betre

enn tilbod B.

B1.159Ein gong kjem det kanskje symjebasseng pa manen?

Dersom vi hoppar fra høgda h meter,

er farten i meter per sekund nar vi rakar vatnet,

gitt vedv2 ¼ 3;2h

Finn farten nar vi hoppar fra h ¼ 3;0 m.

1.9 Rekningmed formlar

A1.160Ei forretning har studert samanhengen mellom talet

pa kundar og omsetninga. Dei er komne fram

til formelen

O ¼ 94;00 � kder O er omsetninga i kroner, og k er talet pa kundar.

a) Forklar denne formelen med ord.

b) Kor stor vart omsetninga ut fra formelen ein dag

det var 188 kundar innom butikken?

c) Kor mange kundar kan vi rekne med var innom

butikken ein dag omsetninga var kr 11 300?

A1.161a) Magnus brukte 36 minutt pa ein 5 km lang

joggetur. Kor stor var farten hans i kilometer

per time?

b) Den raskaste farten systera hans har hatt

pa same joggeturen, er 12;5 km=h.

Kva er da persen hennar?

A1.162Arealet av eit rektangel er gitt ved A ¼ l � b.

a) Kor stort er arealet av eit rektangel nar lengda

l ¼ 4 cm og breidda b ¼ 3 cm?

b) Kva er lengda av eit rektangel nar breidda

er 2;4 m og arealet er 15;6 m2 ?

c) Kor stor er breidda av eit rektangel med lengda

20;0 dm og eit areal lik 272;0 dm2 ?

A1.163a) Omkrinsen av ein sirkel er gitt ved formelen

O ¼ 2�r

1 Rekn ut omkrinsen nar radien er 2;0 cm.

2 Rekn ut omkrinsen nar radien er 4;0 cm.

3 Rekn ut radien nar omkrinsen er 35;2 cm.

b) Arealet av ein sirkel er gitt ved formelen

A ¼ �r2

1 Rekn ut arealet nar radien er 2;0 cm.

2 Rekn ut arealet nar radien er 4;0 cm.

3 Rekn ut radien nar arealet er 116;9 cm2.

c) Kva skjer med omkrinsen og arealet nar vi

doblar radien i ein sirkel?


B1.164Ohms lov seier at U ¼ RI, der U er spenninga

malt i volt ðVÞ, R er resistansen malt i ohm ð�Þ,og I er straumen malt i ampere ðAÞ.a) Finn spenninga nar resistansen er 10 � og

straumen er 5 A.

b) Finn straumen nar spenninga er 220 V og

resistansen er

1) 2;0 � 2) 4;0 � 3) 10 �

B1.165Effekt er energi per tidseining:

P ¼ E

t

Her er E energien malt i joule ðJÞ, og t er tida

i sekund ðsÞ. Effekten er malt i watt ðWÞ.a) Løys formelen med omsyn til t.

b) Kor lenge ma vi bruke ein effekt pa 40 W

for a fa ein energi pa 500 J?

C1.166Finn t nar

a) p ¼ bt b) q ¼ 1

2bt2 c) q ¼ a

t2

1.10 Sm� og store tal

A1.167Rekn ut pa lommereknaren og skriv svara bade

pa standardform og som vanlege tal:

a) 10 � 20 � 30 � 40 � 50 � 60 � 70

b) 560 000 � 21 000

c) 1 : 123 456 789

d) 0;000 83 � 0;0004

e) 750 000 � 94 000

A1.168Ei eske har kvadratisk botn med sider

lik 48;1 cm. Høgda i eska er 86;5 cm.

Kor stort volum ði cm3Þ har eska nar formelen

for volumet er lengda � breidda � høgda?

Rund av svaret og skriv det pa standardform.

A1.169Skriv pa standardform:

a) 1014 b) 0;012

c) 2500 � 102 d) 0;013 � 10�4

A1.170Skriv som vanlege tal:

a) 1;2 � 103 b) 1;41 � 10�3

c) 0;87 � 10�2 d) 1;15 � 10�5

B1.171I kraftig regnver svarar fire vassdropar til 1 ml vatn.

I ein regnmalar pa Blindern hadde det samla seg

0;86 liter vatn.

a) Kor mange vassdropar var det i malaren?

b) Kva blir volumet av ein million vassdropar?

c) Kor mange dropar gar det pa eitt tonn vatn?

C1.172Avstanden fra midten av jorda til midten av

manen er 3;84 � 108 m. Maneradien er 1740 km,

og jordradien er 6371 km.

a) Vi sender eit lyssignal med farten

v ¼ 3;0 � 108 m=s fra jordoverflata til manen.

Kor lang tid gar det før signalet kjem

attende etter a ha vorte reflektert?

b) Tenk deg at du reiser til manen. Farten er

1000 m=s. Kor lang tid tek turen?

Gi svaret i ei høveleg eining.

1.11 Forholdstal ^kormykje av kvar del?

A1.173Marte og faren var i jordbærakeren. Faren plukka

i snitt 3 korger for kvar korg Marte greidde a plukke.

a) Kor mange korger greier Marte a plukke

dersom faren plukkar 18 korger?

b) Kor mange korger plukkar dei til saman

dersom Marte plukkar 4 korger?

c) Da dei var ferdige, hadde dei plukka 36 korger

til saman. Kor mange korger hadde faren plukka,

og kor mange hadde Marte plukka?


A1.174Ein manad sende Ase 70 tekstmeldingar. Det kosta

48;30 kroner. Manaden etter sende ho 90 tekst-

meldingar. Kor mykje kosta det a sende 90 tekst-

meldingar nar prisen per melding var den same?

A1.175Kari skal kjøpe gardinstoff. Ho har funne ein

stofftype som ho liker godt.

I «Stoffbua» kostar stoffet 1596 kroner for ein

rull pa tolv meter.

I «Klipp og Sy» kostar stoffet 1088 kroner for

ein rull pa atte meter.

Vurder kvar Kari bør kjøpe stoffet.

A1.176Eit kart har malestokken 1 : 50 000.

a) Avstanden mellom to stader pa kartet er 7;3 cm.

Finn avstanden mellom dei to stadene

i terrenget.

b) Avstanden mellom to postar i eit orienteringsløp

er 2;7 km. Kor langt er det mellom desse to

postane pa kartet?

A1.177a) Ein sirkel med diameter lik 12;0 cm har

ein omkrins pa 37;7 cm.

Rekn ut talforholdetomkrins

diameter.

b) Ein annan sirkel har diameter lik 5;8 cm og ein

omkrins pa 18;2 cm. Rekn ut talforholdet

mellom omkrinsen og diameteren i denne

sirkelen og.

c) Kva tal far vi nar vi deler omkrinsen pa

diameteren?

B1.178Ole skulle blande fugemasse. Pa pakken stod det at

fugemasse og vatn skulle blandast i forholdet 3 : 1.

Ole tok 5 dl fugemasse, men ved eit mistak tok

han 2 dl vatn slik at fugemassen vart for flytande.

Kor mykje meir fugemasse matte han tilsetje for at

blandingsforholdet skulle bli korrekt?

B1.179I tilknyting til vegutbygging vart det reist

ein 2 meter høg støyskjerm. I endane av støyskjermen

brukte dei stuttare plankar for a lage ei gradvis

avslutning. Fra a vere 2;00 m lang malte neste planke

1;60 m, deretter 1;28 m, 1;024 m og 0;819 m.

a) Forklar at den som var hjernen bak dette, ma ha

tenkt forholdstal. Kva slags forholdstal er det

rekna med?

b) Kor lang ville den attande planken ha vore

dersom dei hadde gatt vidare med systemet?

C1.180Ein biolog ønskte a finne ut kor mange rein det var

i eit omrade. I staden for a telje alle reinsdyra gjorde

han eit overslag ved a trekkje eit utval. Denne

stikkprøvemetoden gar ut pa at vi først samlar inn

nokre dyr som vi merkjer. Dyra blir sa sleppte fri,

og etter ei stund samlar vi inn nokre dyr att.

Dersom dyra er tilfeldig blanda og ingen dyr er

døde eller fødde eller har vandra til og fra omradet,

kan metoden gi eit bra overslag.

Ved første innsamling hadde biologen 42 reinsdyr,

som han merkte. I neste fangst samla han inn 70 dyr.

Av dei var 14 merkte.

Finn ut om lag kor mykje rein det var i omradet.

C1.181Ein brannbil er utstyrt med ein skuvbar stige. Stigen

byrjar 2;2 m over bakken. Nar stigen er pressa

saman med maksimal stigning, er han 3;1 m lang,

og det øvste punktet er 4;8 m over bakken.

Fullt utstrekt maler stigen 11;0 m. Rekk stigen opp

til eit vindauge 11;0 m over bakken?

C1.182Ein sirkel med radius 2;0 cm skal illustrere folke-

talet i by A, som utgjer 225 000. To andre byar har

folketal pa 500 000 (by B) og 150 000 (by C).

Illustrer folketalet i byane B og C pa same maten,

slik at alle tre sirkelareala stemmer innbyrdes.


1.12 Prosent og prosentpoeng ^kva er skilnaden?

A1.183Ein sykkel kostar kr 6500. Prisen blir sett ned 30 %.

a) Kor stort var prisavslaget i kroner?

b) Kva er tilbodsprisen?

A1.184Ein bil kostar kr 450 000. Kor mykje kostar bilen

a) nar prisen aukar 12 %?

b) nar prisen minkar 12 %?

A1.185Du har lyst pa eit stereoanlegg som kostar

6990 kroner, men har berre 6000 kroner. Butikk-

innehavaren seier at han kan gi deg 15 % rabatt.

Har du nok pengar til a kjøpe stereoanlegget?

A1.186Prisen pa ein oppvaskmaskin i El-Butikken var

5000 kroner, mens den same maskinen kosta

5800 kroner hos El-Giganten. Oppvaskmaskinen

kjem pa sal i begge butikkane. El-Butikken set ned

prisen 25 %, mens El-Giganten set ned prisen 35 %.

Kvar lønner det seg a kjøpe oppvaskmaskinen?

A1.187Jakker med ein normalpris pa kr 1200 far eit

prisavslag pa 10 %. Bukser med ein normalpris

pa kr 650 blir sette ned 20 %.

a) Vurder utan a bruke lommereknar kva for eit

plagg som blir sett ned mest i kroner.

b) Kor mykje ma vi betale for to jakker og

tre bukser til nedsett pris?

B1.18830.6.2005 uttalte sentralbanksjefen at renta skulle

aukast fra 1;75 % til 2;00 % (Aftenposten).

a) Kor mange prosentpoeng auka renta?

b) Kor mange prosent auka renta?

c) Forklar skilnaden mellom prosentvis endring

og prosentpoeng.

B1.189Ingvill far eit brev fra banken om at renta pa lanet

hennar er sett ned fra 3;75 % per ar til 3;25 %.

a) Kor mange prosentpoeng er rentesatsen endra?

b) Kor mange prosent er renta sett ned?

B1.190I 2005 var Framstegspartiet og Arbeidarpartiet dei

store vinnarane av skulevalet i dei vidaregaande

skulane. Ap gjekk fram 10;1 prosentpoeng til 21;8 %.

Størst oppslutning hadde FrP med 24;9 %. Det var

ein framgang pa 10;8 prosentpoeng.

Som vi ser, auka FrP litt meir enn Ap nar vi tek

for oss prosentpoenga. Kva for eit parti auka mest

i prosent?

B1.191Anne tente 247 000 kroner i 2003. Dei to neste

ara fekk ho ein lønnsauke pa først 3;4 %

og deretter 2;7 %.

a) Forklar korfor vi ikkje kan leggje saman dei

to prosentane og rekne med 6;1 % i staden for

først a rekne 3;4 % og sa 2;7 %.

b) Dersom vi hadde rekna med 6;1 % i staden,

trur du svaret ville ha vorte større eller mindre

enn den reelle lønna?

c) Rekn ut kor mykje Anne har i lønn etter dei

to lønnspaslaga. Rekn ogsa ut kor stor lønna

ville ha vorte om ho hadde fatt ein lønnsauke

pa 6;1 % i staden.

B1.192Ei jakke til kr 1500 blir sett ned 30 %. Dei siste

salsdagane blir tilbodsprisen sett ned enda 40 %.

a) Kor mykje kostar jakka dei siste salsdagane?

b) Somme trur nok at prisen no er sett ned 70 %

totalt. Forklar korfor prisen faktisk er sett ned

mindre enn 70 %.

c) Kor stort var det samla prosentavslaget?

Prøv deg fram.

C1.193Ein tøyrull inneheld 21 meter tøy. Ein seksdel av

tøyrullen blir seld til full pris, halvparten blir seld

med 20 % rabatt, mens resten blir seld til halv pris.

Da har forretninga fatt inn i alt 2310 kroner for rullen.

Kva var full pris per meter?


1.13 Prosentrekning ^n�r prosenten er ukjend

A1.194a) Kor mange prosent er kr 150 av kr 500?

b) Kor mange prosent er kr 3;50 av kr 70?

c) Kor mange prosent er kr 11;50 av kr 355?

A1.195a) Av kr 152;50 i ei lommebok er kr 12;50

smamyntar. Kor mange prosent utgjer

smamyntane?

b) Pa ein skule er det 240 jenter og 172 gutar.

Kor mange prosent er gutar?

c) Ein sykkel er sett ned kr 2000. Førprisen var

kr 8900. Kor mange prosent er avslaget pa?

B1.196

Ein familie kjøper inn to løpejakker og tre trøyer

til tilbodsprisane i annonsen. Kor mange prosent

sparer dei jamført med rettleiande prisar?

B1.197Familien Dahl omfattar to vaksne og tre barn.

Dei skal feriere i Syden og ventar med a bestille

billettar til prisen er sett ned fra kr 8200 til kr 7200

for vaksne og fra kr 4200 til kr 3600 for barn.

a) Kor mange prosent sparte dei i alt?

b) Kva for ein pris vart redusert mest i prosent?

C1.198Ein restaurant har kvar dag ein dagens rett til fast

pris. For a fa nye faste kundar kjem restauranten

med eit tilbod: Kvar sjette gong du et dagens rett,

slepp du a betale. Ein gjest et ein manad

dagens rett 14 gonger. Kor mange prosent har han

spart pa denne ordninga jamført med a betale

normal pris for alle maltida?

C1.199Prisen pa ei vare som opphavleg kosta 3250 kroner,

aukar først 4 % for sa a bli sett ned 3 %.

Til sist blir prisen sett opp 7 %.

Finn den samla prosentvise endringa av prisen.

C1.200Meirverdiavgifta pa klede auka fra 24 % til 25 %.

Kor mange prosent dyrare vart det a kjøpe klede?

1.14 Prosentrekning ^ n�ropphavleg verdi er ukjend

A1.201a) Eit par ski er sette ned 40 % og kostar no kr 2400.

Kor mykje kosta dei i utgangspunktet?

b) Etter at prisen pa eit fjernsynsapparat er sett ned

20 %, kostar det kr 7400. Kor mykje kosta

apparatet opphavleg?

c) Etter at prisen er sett ned 25 % kostar eit par

joggesko kr 720. Kor mykje kosta skoa før

prisnedgangen?

A1.202Ved ein rideskule auka timeprisen for a ri ein hest

med kr 25. Det utgjorde ein auke pa 11 %.

Kva var den opphavlege timeprisen?

B1.203Folketalet i ein kommune auka 2;4 % fra eit ar til

eit anna. Arsaka var at 20 personar døydde, 69 vart

fødde, og 38 personar var innflyttarar til kommunen.

Kor mange innbyggjarar var det i kommunen det

første aret?

B1.204Ved kontroll av speedometeret pa ein bil fann ein

at det viste 7 % for mykje. Kor stor var den verkelege

farten nar speedometeret synte 85 km=h?

B1.205a) Etter ein prisauke pa 8 % kostar ei vare 540 kroner.

Kor mykje kosta vara før prisauken?

b) Kva er full pris nar 20 % rabatt utgjer 1500 kroner?

c) Kva er full pris nar vi betaler 150 kroner etter

a ha fatt 25 % rabatt?


1.15 Probleml�ysing ^mange vegar tilm�l

A1.206Kan du plassere tala 1; 2; 3; . . . ; 9 i rutene pa eit

ark med 3� 3 ruter slik at du far same summen

nar du summerer kvar rad, kvar kolonne og kvar

av dei to diagonalane? (Tips: Start med talet

i midten.)

A1.207Dei tre brørne Per, Pal og Espen er til saman

58 ar. Per er fem ar eldre enn Pal. Espen er

tre ar eldre enn halvparten av alderen til Per.

Kva er alderen til kvar av brørne?

A1.208Eit tal minus to tredelar av talet blir 18.

Kva for eit tal er det?

B1.209I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,

ein tredel vel styrketrening, mens resten, atte elevar,

er sjuke eller har gløymt gymtøyet.

Kor mange elevar er med i gymtimen?

B1.210Ein bonde hadde tre barn. Han fastsette at den eldste

skulle arve 2=5 av dyra, den mellomste 1=3 og den

yngste resten.

a) Kor stor del arva den yngste?

b) Kor mange dyr var det pa garden nar

den yngste arva tolv dyr?

B1.211Pa ein juletrefest var det 124 personar til stades.

Billettprisen for barn var kr 40, mens vaksne betalte

kr 70. Til saman var billettinntektene kr 6310.

Kor mange barn og kor mange vaksne var med

pa juletrefesten?

1.16 Blanda oppg�ver

Oppg�ve1.212Ein vaksen person har eit dagsbehov for vitamin C

pa 30 mg. Kva er det samla dagsbehovet for

vitamin C nar vi gar ut fra at det er 3;4 millionar

vaksne personar i Noreg?

Oppg�ve1.213Ei forretning sel poteter for kr 5,90 per kilogram.

Forretninga tilbyr dei same potetene i posar med

2,5 kg for kr 16,50. Kor mange prosent dyrare er

potetene i posar jamført med dei same potetene

i laus vekt?

Oppg�ve1.214Vi kjøper 3000 svenske kroner. Denne dagen

opplyser banken at du ma betale 80;40 norske kroner

for 100 svenske kroner. Kor mange norske kroner

ma vi betale nar banken krev eit vekslingsgebyr

pa kr 40?

Oppg�ve1.215Pa ei eske Casco husfix star det at pulveret skal

blandast med vatn i forholdet ein vektdel vatn til

fire vektdelar pulver.

a) Kor mange gram vatn og pulver ma du bruke

for a fa 250 g ferdig blanding?

b) Du har 600 gram pulver med husfix.

Kor mykje vatn ma du blande i pulveret for

a fa rett blanding?

Oppg�ve1.216I denne oppgava skal du ikkje bruke lommereknaren.

a) Rekn ut:

1) 2 þ 3 � ð4� 2Þ 2) 2 � ð�3Þ2 � 42

b) Rekn ut:

1)3

4þ 2 � 3

22)

1

2� 1

3

� �� 5

2� 4

2

� �

c) Løys likningane:

1) 3x � 1

3¼ x

22) 2x2 ¼ 50

d) Løys likninga:x

2� x

3¼ 1

4

�x� 1

3

�

e) Rekn ut:

1) 4 ðx� 3Þ � 3 ðx� 4Þ 2) ð2x� 1Þðx� 2Þ


Oppg�ve1.217Ei legering (blanding) av to metall, A og B,

inneheld 120 g av A og 200 g av B.

a) Kor mange prosent av metallet A er det

i legeringa?

b) Kor mange gram av metall A ma vi tilføre

legeringa dersom det skal bli 50 % av kvart

metall?

Oppg�ve1.218I 1997 kosta ein laserskrivar kr 3800. Prisen steig

med 8 % i 1998, men vart sa sett ned 15 % i 1999.

a) Kor mykje kosta laserskrivaren i 1999?

b) Kor stor prosentvis endring i prisen fra

1997 til 1999 svarar det til?

c) Forklar korfor svaret ikkje er lik

8 %� 15 % ¼ �7 %.

Oppg�ve1.219Eit fat olje rommar 259 liter. Oljeprisen er

66;50 dollar per fat. Rekn ut prisen for ein liter olje

i norske kroner nar kursen pa dollar er 7;50.

Oppg�ve1.220Halvarstala fra Opplysningsradet for Vegtrafikken

(OFV) viser at Peugeot-importørane har hatt minst

auke. Mens den samla auken i bilsalet har vore

27;5 %, har Peugeot berre auka salet med 3;3 %

eller rundt 100 bilar. Peugeot sit att med ein

marknadsdel pa 7;1 %. Det er ein tilbakegang pa

1;3 prosentpoeng samanlikna med aret før.

a) Kva meiner vi med at Peugeot har hatt

tilbakegang?

b) Kor stor var Peugeots prosentvise tilbakegang

nar det gjeld marknadsdelar?

Oppg�ve1.221Eit medisinfirma hadde 240 tilsette i 2003, mens

det i 2004 berre var 185 tilsette. Fra 2004 til 2005

gjekk talet pa tilsette ned med 11;2 %.

a) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa

tilsette fra 2003 til 2004?

I 2006 rekna bedrifta med a auke talet pa tilsette

med 15;2 %.

b) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa

tilsette fra 2003 til 2006?

Oppg�ve1.222Ei kule som fell loddrett, har etter tida t falle

ei strekning s, der s ¼ 1

2gt2. Vi ser bort fra

luftmotstanden, og g ¼ 9;8 m=s2.

a) Rekn ut s nar t ¼ 2;1 s.

b) Kor lang tid t har kula falle nar s ¼ 19;8 m?

c) Finn ein formel for t uttrykt ved s og g.

Oppg�ve1.223Pa eit vegskilt star det at ein radiostasjon sender pa

103;2 MHz.

a) Kor mange hertz (Hz) er det?

I eit e-verk blir det lese av eit forbruk pa 103 GW.

b) Kor mange watt (W) er det?

Oppg�ve1.224Vi har gitt tala a ¼ 42 000 og b ¼ 0;000 076.

Bruk dette til a rekne ut

a) a � b b)a

bc)

b

ad)�a2 � b

�3

Oppg�ve1.225Det trengst 4200 J til a varme opp ein liter vatn 1 �C.

a) Kor mykje energi trengst det til a varme opp

250 liter vatn 1 �C?

b) Kor mykje energi trengst det til a varme opp

250 liter vatn 30 �C?

Ved eit karbad gar vi ut fra ein person bruker 250 liter

vatn som er varma opp fra 10 �C til 40 �C.

c) Kor mykje kostar eit karbad nar

1 kWh ¼ 3;6 MJ kostar ca. kr 0;50?

Oppg�ve1.226Ei straumrekning omfattar ei fast avgift pa kr 2500

og i tillegg kr 0;34 per kilowattime. Ein student

leiger eit rom i ein bustad og far sin eigen

straummalar. Ho betaler for eigne kilowattimar og

i tillegg sin del av den faste avgifta. Forholdet

mellom det ho skal betale i fast avgift, og kr 2500,

er lik forholdet mellom forbruket hennar og heile

bustaden. Malaren til studenten viser 3769 kWh,

mens resten av bustaden har 8260 kWh.

Kor mykje skal ho betale?


Oppg�ve1.227Ei forretning set ned prisen pa ei vare fra

kr 56;50=kg til kr 51;30=kg.

a) Kor mange prosent er avslaget pa?

Forretninga reknar med ein auke i salet pa 35 %

pa grunn av prisavslaget. Tidlegare vart det selt

50 kg av vara per dag.

b) Kor mange kilogram reknar forretninga no

med a selje per dag?

c) Kva blir salsverdien per dag?

d) Kor mange prosent auka salsverdien per dag?

Oppg�ve1.228(Eksamen 1MY)

Avstanden fra Oslo til Trondheim malt langs vegen

er om lag 500 km. Avstanden fra Kristiansand til

Kirkenes malt langs vegen er om lag 3000 km.

a) Kor mange gonger ma ein bil køyre strekninga

Oslo–Trondheim for at det skal svare til

avstanden fra Kristiansand til Kirkenes?

b) Ein bil bruker 0;7 liter bensin per mil.

Kor mykje kostar det a køyre fra Kristiansand

til Kirkenes nar bensinen kostar 8;50 kroner

per liter?


Sommaren 2002 vann nordmannen Thor Hushovd

ein etappe i Tour de France. Han brukte 4 timar

28 minutt 28 sekund pa etappen. Favoritten

Lance Armstrong brukte 11 minutt 42 sekund meir.

a) Kor lang tid brukte Armstrong?

Etappen var 176;5 km lang.

b) Kor stor var gjennomsnittsfarten til Thor

Hushovd i meter per sekund og i kilometer

per time?


Arne vinn 5 millionar kroner i lotto. Som kjent

er ikkje lottomillionærar som andre millionærar,

og Arne krev a fa heile gevinsten utbetalt

i tikronestykke. For ein tikroning gjeld:

– Vekta er 6;80 g.

– Tjukkleiken er 2;00 mm.

a) Kor høg er ein stabel der 50 tikroningar ligg

oppa kvarandre? Kor høg ville stabelen ha vore

dersom alle tikroningane i lottogevinsten lag

oppa kvarandre?

b) Kor mykje veg premien dersom han blir

utbetalt i tikroningar? Gi svaret i kilogram.

c) Arne vil telje tikroningane for a kontrollere at

han har fatt det han har krav pa. Gjer fornuftige

overslag over kor raskt han tel, og finn ut

kor lang tid han bruker pa a telje pengane.

Oppg�ve1.231(PISA 2003)

Biletet syner fotavtrykka til ein mann som gar.

Steglengda P er avstanden mellom bakre kant av

to etterfølgjande fotavtrykk. For menn gir formelen

n=P ¼ 140 eit tilnærma forhold mellom n og P,

der n er talet pa steg per minutt, og P er steg-

lengda i meter.

a) Dersom formelen gjeld for Haralds mate a ga pa,

og Harald tek 70 steg i minuttet, kva blir

steglengda til Harald? Vis korleis du fann svaret.

b) Bjarte veit at steglengda hans er 0,80 meter.

Formelen gjeld for hans mate a ga pa.

Rekn ut kor fort Bjarte gar i meter per minutt

og i kilometer per time. Vis utrekningane dine.


Oppg�ve1.232Samanhengen mellom temperaturar malte i grader

celsius ð�CÞ og i grader fahrenheit ð�FÞ er gitt ved

formelen

C ¼ 5

9ðF � 32Þ

a) Gjer om desse temperaturane til celsiusgrader:

1) �4 �F 2) 90 �F

b) Gjer om desse temperaturane til fahrenheitgrader:

1) 0 �C 2) 37 �C 3) 100 �C

Oppg�ve1.233I 1976 var utsleppa av fosfor til vatn 5500 tonn,

mens dei i 1985 var 4500 tonn.

a) Kor stor var nedgangen i utslepp i prosent

fra 1976 til 1985?

Fra 1970 til 1976 var det ein nedgang

i fosforutsleppa pa 19;1 %.

b) Kor store var utsleppa i 1970?

I 1985 fordelte utsleppa seg slik:

– fra bustader: 2500 tonn

– fra industri og landbruk: 500 tonn

– fra naturen sjølv: 1500 tonn

Vi tenkjer oss at utsleppa fra bustader kan halverast

fra 1985 til 1990, mens dei andre utsleppa er

konstante.

c) Kor mange prosent vil det totale utsleppet

ga ned i denne perioden?

Oppg�ve1.234I juli 1986 var oljeproduksjonen i OPEC-landa

20;5 millionar fat i døgnet. Av denne produksjonen

stod Irak for 1;9 millionar fat. Alle landa bortsett

fra Irak vart samde om a redusere produksjonen

med 20 %. Irak heldt produksjonen pa same nivaet

som før.

a) Kore stor vart den nye samla døgnproduksjonen

for OPEC-landa?

b) Kor mange prosent fall den samla døgn-

produksjonen?

Før reduksjonen var oljeprisen 9;8 dollar per fat.

Etter reduksjonen steig prisen til 15;2 dollar per fat.

c) Kor mange prosent steig da Iraks oljeinntekter?

d) Finn den prosentvise endringa i dei samla olje-

inntektene for OPEC-landa ved denne nedgangen

i produksjonen.

Oppg�ve1.235Sommaren 1983 undersøkte Norges Automobil-

forbund korleis prisane pa reservedelar varierte

hos forhandlarane.

a) Hos ein forhandlar kosta ein bestemt reservedel

210 kroner. Hos ein annan forhandlar var den

same delen 21 % dyrare. Kor mykje kosta

delen hos denne forhandlaren?

b) Hos forhandlar A kosta bremseskiva til ein viss

bil 349 kroner. Den same bremseskiva matte ein

betale 836 kroner for hos forhandlar B. Kor mange

prosent dyrare var bremseskiva hos forhandlar B

enn hos A?

Oppg�ve1.236Etter a ha fatt tillegg i lønna to gonger hadde

Anne ei manadslønn pa 4620 kroner. Det første

tillegget i lønna var pa 200 kroner, mens det andre

utgjorde 5 % av manadslønna etter det første

tillegget. Rekn ut kor stor manadslønn Anne hadde

like før ho fekk det første tillegget i lønna.

Oppg�ve1.237(Nasjonal prøve)

Finn talet som høver til denne forklaringa:

– Talet er mindre enn 30.

– Faktoriserer du talet ved hjelp av berre primtal,

blir faktorane berre 3-tal og 2-tal.

– Dersom du legg saman sifra i talet, far du eit

kvadrattal. Kva for eit tal er det?


Ein bonde plantar epletre i eit kvadratisk mønster.

For a skjerme trea mot vind plantar han naletre

kring frukthagen. Nedanfor ser du eit diagram som

viser mønsteret av epletre og naletre for ymse rader

(n) av epletre:

xxx

xxxxx

x

xx

xxx xx

xxx

xxxxx

x

xx

xxx xx

x

xx

xx

xx

xx

xxxx x x x

n = 1 n = 2 n = 3

x = nåletre

= epletre


a) Fullfør tabellen:

n Epletre i alt Naletre i alt

1 1 8

2 4

3

4

5

b) Det er to formlar du kan bruke for a rekne ut

talet pa epletre og naletre i mønsteret som er

vist framanfor:

epletre i alt ¼ n2

naletre i alt ¼ 8n

der n er talet pa rader av epletre.

Det finst ein verdi av n der talet pa epletre

er lik talet pa naletre. Finn denne verdien av

n og vis utrekningane dine.

c) Tenk deg at bonden vil lage ein mykje større

frukthage med mange rader av tre. Nar han

gjer frukthagen større, kva aukar da raskast:

talet pa epletre eller talet pa naletre?

Forklar korleis du kom fram til svaret.


Farten til ein racerbil langs ein 3 km bane(andre runde)

Fart(km/h)

Denne grafen viser korleis farten til ein racerbil

varierer i den andre runden av ein flat bane pa

3 kilometer.

a) Kor stor er den omtrentlege avstanden fra

startstreken til byrjinga av den lengste rette

strekninga pa banen?

b) Kvar vart den lagaste farten malt i den andre

runden?

c) Kva kan du seie om farten til bilen mellom

merka for 2;6 km og 2;8 km?

A Farten til bilen er konstant.

B Farten til bilen aukar.

C Farten til bilen minkar.

D Farten til bilen kan ikkje finnast ut fra

grafen.

d) Her er figurar av fem banar:

A

B

E

C

D

S S

S S

S

s: startpunkt

Langs kva for ein bane vart bilen køyrd

for a lage fartsgrafen som er vist framanfor?

Oppg�ve1.240(TIMSS 2003)

Pa ei framføring var 3=25 av tilskodarane barn.

Kor mange prosent av tilskodarane utgjorde det?


Ein ny motorveg reduserer den gjennomsnittlege

reisetida mellom to byar fra 25 minutt til

20 minutt. Kor mange prosent gar reisetida mellom

dei to byane ned?


Ein lærar og ein lege har 45 bøker kvar. Nar 4=5 av

bøkene til læraren og 2=3 av bøkene til legen er

romanar, kor mange fleire romanar har da læraren

enn legen?


John og Carina vart bedne om a dele eit tal med 100.

Ved eit mistak gonga John talet med 100 og fekk

svaret 450. Carina delte heilt rett talet med 100.

Kva vart svaret hennar?



Bensintanken pa ein bil rommar 45 l. For kvar 100

km som bilen køyrer, bruker han 8;5 l bensin.

Ved starten pa ein 350 km lang tur er tanken full.

Kor mange liter bensin var det att pa tanken da

turen var over?


Ein dataklubb hadde 40 medlemmer, og av dei var

60 % jenter. Seinare vart 10 gutar med i klubben.

Kor mange prosent av medlemmene er no jenter?


Figurane nedanfor er bygde opp av fyrstikker etter

eit mønster.

Figur 1 Figur 2

Figur 3

Kor mange fyrstikker treng vi til den tiande figuren

dersom mønsteret held fram?


Geir har dobbelt sa mange bøker som Bjørn.

Cato har seks bøker meir enn Bjørn. Dersom Bjørn

har x bøker, kva for eit uttrykk nedanfor viser

kor mange bøker dei tre gutane har til saman?

a) 3xþ 6 b) 3xþ 8 c) 4xþ 6

d) 5xþ 6 e) 8xþ 2


Kva slags alternativ er korrekt nar

L ¼ 4, K ¼ 6 og M ¼ 24?

a) L ¼ M

Kb) L ¼ K

Mc) L ¼ KM

d) L ¼ K þM e) L ¼ M � K


Dei tre figurane nedanfor er delte inn i sma og like

trekantar.

12

12

34

56

78

Figur 1 Figur 2 Figur 3

a) Fullfør tabellen nedanfor. Fyll først ut kor mange

sma trekantar det er pa figur 3. Finn sa kor

mange sma trekantar det vil vere pa figur 4

dersom rekkja held fram.

Figur Talet pa sma trekantar

1 2

2 8

b) Rekkja held fram til figur 7. Kor mange sma

trekantar er det pa figur 7?

c) Rekkja med figurar held fram til figur 50.

Forklar utan a teikne og telje korleis vi kan

finne kor mange trekantar det er pa figur 50.

Oppg�ve1.250(TIMMS 1995)

For a lage maling med ein særskild farge blandar

Arne 5 liter raudmaling, 2 liter blamaling og 2 liter

gulmaling. Kva er forholdet mellom volumet av

raudmalinga og volumet av heile blandinga?


I ein klasse er det 28 elevar. Forholdet mellom talet

pa jenter og talet pa gutar er 4 : 3.

Kor mange jenter er det i klassen?


I to grupper med turistar var det 60 personar

i kvar gruppe. 3=4 av den første gruppa og 2=3 av

den andre gruppa reiste vidare til eit museum.

Kor mange fleire personar fra den første gruppa

reiste vidare enn fra den andre gruppa?



Børre skal finne tre heile tal som følgjer etter

kvarandre nar summen av dei tre tala er 81.

Han skreiv denne likninga:

ðn� 1Þ þ nþ ðnþ 1Þ ¼ 81

Kva star n for?


Ekspertar seier at i 25 % av alle alvorlege sykkel-

ulykker far syklisten hovudskadar, og av alle

hovudskadane er 80 % dødstrugande.

Kor stor prosent av alle alvorlege sykkelulykker

fører til dødstrugande hovudskadar?


Fra eit parti med 3000 lyspærer vart 100 pærer

plukka ut tilfeldig for a bli testa. Ein fann at

fem av desse pærene var ubrukande. Kor mange

lyspærer av heile partiet kan vi rekne med er

ubrukande?


Systrene Bjørklund kom med pastandane nedanfor.

Dersom Vera fortalde sanninga, kven av dei andre

fortalde da ogsa sanninga?

Lill: «Dersom teppet er i bilen, er det ikkje

i garasjen.»

Silje: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det

i garasjen.»

Vera: «Dersom teppet er i garasjen, er det i bilen.»

Klara: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det ikkje

i garasjen.»


Pa Hardas skule skal 24 elevar delast inn i grupper

pa anten tre, fire eller fem elevar. Det skal vere

minst ei gruppe av kvar storleik. Kor mange

ulike kombinasjonar av gruppestorleikar gar det an

a lage med desse 24 elevane?

Oppg�ve1.258(Nasjonal prøve, litt endra)

Skriv eit rekneuttrykk som passer til kvar av

oppgavene nedanfor:

a) Prisen pa pærer er 12;90 kr=kg.

Kor mykje kostar 2;6 kg?

b) Morten kjøper smagodt til 7;60 kr=hg.

Kor mykje far han for 36 kroner?

c) 1 kg pølser kostar 79;90 kroner.

Kor mykje kostar 0;68 kg?


Set inn det som manglar i tabellrutene:

a b 2aþ b a2b 2b� a

2 3 7 12 4

4 9

10 5


Eit tal er skrive med fire siffer. Du far desse

opplysningane om sifra:

– Det første sifferet er eit primtal som er

mindre enn 6.

– Det andre sifferet er eit oddetal som er

mindre enn det første sifferet.

– Det tredje sifferet er lik summen av dei

to første sifra.

– Det fjerde sifferet er eit partal som er

mindre enn det tredje sifferet.

Finn tre tal som kan vere løysingar til oppgava.


a) Dersom aþ b ¼ 27, sa blir aþ bþ 2 ¼ . . .

b) Dersom eþ f ¼ 8, sa blir eþ f þ g ¼ . . .



a) Skriv 1=8 som prosenttal.

b) Skriv 0;373 som brøk.

c) Skriv 8;3 % som desimaltal.


Kakao blir seld i ulike pakningar til ulik pris.

Nadia fann ut at ho hadde desse vala:

– Merke A: 450 g kakao til 34;90 kroner

– Merke B: 96 g kakao til 11;90 kroner

– Merke C: 250 g kakao til 13;90 kroner

Kva for eit merke bør ho kjøpe for a fa mest

for pengane?


13098-Sigma 1P NN 1. - Gyldendalweb2.gyldendal.no/nyhetsbrev/vgs/06/aug/matematikk/pdf/Sigma_1P_kap...

Documents

Transcript of 13098-Sigma 1P NN 1. - Gyldendalweb2.gyldendal.no/nyhetsbrev/vgs/06/aug/matematikk/pdf/Sigma_1P_kap...