13. Teori Graf

8/20/2019 13. Teori Graf

1/17

MODUL PERKULIAHAN

MatematikaDiskrit

Teori Graf

FakultasProgram

Studi

Tatap

MukaKode MK Disusu Ole!

Ilmu Komputer Teknik

Informatika "#MK Harni Kusniyati, ST.,MKom.

A$stra%t KompetesiGraf adalah suatu diagram yang

memuat informasi tertentu untuk

visualisasi obyek-obyek agar lebih

mudah dimengerti. Setiap diagram

suatu graf memuat sekumpulan obyek

(berupa titik atau node) beserta garis

garis penghubungnya.

Setelah membaca modul ini, mahasiswadiharapkan mampu memahami tentanggraf, macam-macam graf, mampumenyebutkan komponen graf, mampumembedakan antara walt, path, dansirkuit.

8/20/2019 13. Teori Graf

2/17

8/20/2019 13. Teori Graf

3/17

%(G) ' / *akarta, Bandung, #irebon, Semarang, *ogya 0

&(G) ' / e1, e$, e2, e3, e4, e5, e6, e70,

e1 ' *alan 8ingkar (8oop).

e3 dan e5 adalah garis paralel.

13.3 Graf Tak Berarah

9aitu graf yang tanpa tanda panah. :kan dibahas graf bipartite (bipartisi), graf sederhana,

graf lengkap.

13.3.1. Graf Bipartite ( %(G) ' %1(G1) ; %$(G$) )

Suatu graf G disebut Bipartite apabila %(G) merupakan gabungan dari

$ himpunan yang tak kosong %1 dan %$ , dan setiap garis dalam G

menghubungkan suatu titik dalam %1 dengan itik dalam %$.

:pabila dalam graf Bipartite, setiap titik dalam %1 berhubungan

dengan setiap titik dalam %$, maka graf-nya disebut Graf Bipartite

Lengkap.

*ika %1 terdiri dari m titik dan %$ terdiri dari n titik, maka Graf

Bipartite 8engkapnya sering diberi symbol Km,n .

Sebelum membicarakan Graf Bipartite, terlebih dulu tentang

a). Graf Sederhana (Simple Graph) yaitu graf yang tak mempunyai

loop ataupun garis parallel.

'("# 3

Matematika DiskritPusat )a!a A*ar da eLearig

+arni usniyati, S.,om httpwww.mercubuana.ac.id

8/20/2019 13. Teori Graf

4/17

Contoh Soal:

Gambarlah semua graf sederhana yang mungkin dapat dibuat dari

2 titik (a, b, c ) dan dua garis <

a!a":

arena sebuah garis memerlukan dua titik, maka banyaknya

Garis yang bisa dibuat ada ' 2#$ ' 2< ($< 1

8/20/2019 13. Teori Graf

5/17

Contoh-#ontoh Graf Lengkap:

Contoh Soal Graf Bipartite:

a!a":

(a). *elas bahwa titik-titik graf-nya terbagi men"adi $ bagian yaitu

%1' / v1, v$, v2 0 dan %$' / v3, v4 0. Setiap titik dalam %1 dihu-

bungkan dengan setiap titik dalam %$, "adi graf-nya adalah

graf bipartite lengkap ( 2,$ ).

(b). itik-titik graf-nya terbagi men"adi $ bagian yaitu %1' / v1, v2 0

'("# 5



8/20/2019 13. Teori Graf

6/17

dan %$' / v$, v3 0. :kan tetapi, tidak semua titik dalam %1 dihu-

bungkan dengan setiap titik dalam %$ (v1 tidak dihubungkan

dengan v3), "adi graf-nya adalah bukan graf bipartite lengkap,

yaitu graf bipartite sa"a.

(c). !engan pengaturan letak titik-titiknya, maka graf (c) di atas men-

"adi

v1= = v$ ampak bahwa titik-titiknya terbagi men"adi

$ bagian, yaitu %1' / v1, v2, v40 dan

v2= = v3 %$' / v$, v3, v50

idak ada garis v4 > v$. *adi graf-nya tidak

v4= = v5 lengkap (Graf Bipartite tidak lengkap).

(d). Graf (a) dan (d) tampak berbeda, tapi titik v1 ditarik ke bawah,

maka graf (d) akan men"adi bentuk graf (a), yaitu terbagi

%1' / v$, v1, v20 dan %$ ' / v3, v40.

*adi graf-nya adalah graf bipartite lengkap( 2,$ ).

13.3.2. Komplemen Graf

omplemen suatu graf G (simbol Gc) dengan n titik adalah suatu graf dengan

1. itik-titik Gc sama dengan titik-titik G. *adi %(Gc) ' %(G).

$. Garis-garis Gc adalah komplemen garis-garis G terhadap graf

lengkap (n). *adi

&(Gc) ' &(n) > &(G)

'("# 6



8/20/2019 13. Teori Graf

7/17

itik-titik yang dihubungkan dengan garis dalam G tidak terhubung

dalam Gc. Sebaliknya, titik-titik yang tidak terhubung dalam G

men"adi terhubung dalam Gc.

Contoh Soal:

Gambarlah graf lengkap dan komplemen dari graf G di bawah ini <

a!a":

Setelah ditambah garis putus-putus merah men"adi graf lengkap dan

yang berwarna merah (garis putus-putus) adalah

graf komplemen. !alam graf lengkap (n), maka setiap titiknya

harus mempunyai n - 1 garis. isalnya (a). titik v1 mempunyai 2 garis.

'("# 7



8/20/2019 13. Teori Graf

8/17

13.3.3. S$" Graf % &pa Graf '

onsep sub graf sama dengan konsep himpunan bagian.

arena graf merupakan himpunan titik-titik dan himpunan garis-garis,

aka + dikatakan subgraf dari G "ika semua titik dan garis dalam +

"uga merupakan titik dan garis dalam G.

Definisi

isalkan G adalah suatu graf. Graf + dikatakan s$"graf dari G

a. %(+)

⊆

%(G)

b. &(+)

⊆

&(G)

c. Setiap garis dalam + mempunyai itik u"ung yang sama

dengan garis tersebut dalam G.

!ari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan

1. Sebuah titik dalam G merupakan subgraf dari G.

$. Sebuah garis dalam G bersama-sama dengan titik - titik

u"ungnya merupakan subgraf dari G.

'("#



8/20/2019 13. Teori Graf

9/17

2. Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya sendiri.

3. !alam subgraf berlaku sifat transitif

*ika + subgraf dari G dan G subgraf dari + subgraf dari .

13.3.(. Dera)at

isalkan v adalah suatu titik dalam suatu graf G.

Dera)at titik * ( simbol +%*' ) adalah "umlah garis yang berhubungan dengan titik v

( dan garis suatu loop dihitung dua kali. )

Dera)at total G % +%G' ' adalah "umlah gera"at semua titik dalam G.

Contoh Soal:

entukan dera"at tiap-tiap titik dalam graf di bawah ini <

!an berapa dera"at totalnya?

a!a":

!era"at tiap-yiap titik

d(v1) ' 3, ( karena garis yang berhubungan dengan v1 ada dua

dan satu loop yang dua kali.)

d(v$) ' $, d(v2) ' d(v4) ' 1, d(v3) ' $, d(v5) ' @,

!era"at total seluruh titik ' d(G) ' 3 A $ A 1 A 1 A $ A @ ' 1@

'("# !



8/20/2019 13. Teori Graf

10/17

13.3.. alk, ath +an Sirk$it

Definisi:

Misalkan G a"ala# suatu $raf, "an misal % "an & a"ala# "ua titik

dalam G. Suatu /LK dari v ke w adalah barisan titik-titik

berhubungan dan garis secara berselang-seling, diawali dari titik v

dan diakhiri pada titik w.

alk dengan pan"ang n dari titik v ke w dituliskan sebagai berikut

v@ e1 v1 e$ vn-1 en vn dengan v@ ' v, vn ' w.

vi-1 dan vi adalah titik-titik u"ung garis ei .

ath dengan pan"ang n dari titik v ke w adalah alk dari v ke w

yang semua garisnya berbeda. Cath dari v ke w dituliskan

v ' v@ e1 v1 e$ vn-1 en vn ' w dengan ei D e ", i D ".

ath Se+erhana dengan pan"ang n dari titik v ke w adalah ath

dari v ke w yang semua titiknya berbeda.

ath dari v ke w dituliskan

v ' v@ e1 v1 e$ vn-1 en vn ' w dengan ei D e ", i D "E vk D vm, k D m.

Sirk$it dengan pan"ang n adalah ath yang diawali dan diakhiri

'("# '(



8/20/2019 13. Teori Graf

11/17

pada titik yang sama.

Sirk$it adalah Cath dari v ke w dituliskan v@ e1 v1 e$ vn-1 en vn

dengan v@ ' vn .

Sirk$it Se+erhana dengan pan"ang n adalah Sirkuit yang semua

titiknya berbeda.

Sirk$it Se+erhana berbentuk v@ e1 v1 e$ vn-1 en vn

dengan ei D e ", i D "E vk D vm, k D m, kecuali v@ dan vn .

13.3.0 Sirk$it $ler

Definisi

isalkan G adalah suatu Graf. Sirk$it $ler G adalah sirkuit di mana

setiap titik dalam G muncul paling sedikit sekali dan setiap garis

dalam G muncul tepat satu kali.

!efinisi di atas dibuat untuk mengenang ahli matematika 8eonhard &uler yang

berhasil memperkenalkan graf untuk memecahkan masalah tu"uh "embatan onigsberg

pada tahun 1625. u"uh garis dalam graf di bawah ini adalah "alan yang semuanya melalui

sebuah "embatan.

'("# ''



8/20/2019 13. Teori Graf

12/17

dapat dibuktikan bahwa sirkuit pada graf di atas bukan

Sirkuit &uler, yaitu ada garis("embatan) yang tidak dilewati, "adi masalah

di atas tidak mungkin dilaksanakan.

eorema G adalah Sirkuit &uler bhb setiap titik (verte) dalam G berdera"at genap.

Contoh alk, ath, Sirk$it, Trail :

Fngat alk ' barisan titik dan garis berselang-seling dari graf terhubung G.

ath ' alk yang semua titik beda.

ath Se+erhana ' alk yang semua titik dan garisnya beda.

' Cath yang semua garisnya beda.

Sirk$it ' Cath yang titik awal sama dengan titik akhir.

Sirk$it Se+erhana' Cath seferhana yang titik awal sama dengan titik akhir.

Trail alk dengan semua garis beda.

Contoh: lihat graf berikut ini

1) :, B, #, !, &, H, #, :, B, !, #→ alk

'("# '2



8/20/2019 13. Teori Graf

13/17

$) :, B, #, !, &, H, #, :→ rail

2) :, B, #, :→ #ycle

3) :, B, !, #, B, !, &→ alk

4) :, B, #, !, &, #, H→ rail

5) :, B, !, #, &, !→ rail

6) :, B, !, &, H, #, :→ #ycle

7) :, B, #, &, H→ Cath

I) B, !, #, B→ #ycle

1@) #, :, B, #, !, &, #, H, & → rail

11) :, B, #, &, H, #, :→ rail

Soal

entukan mana di antara barisan titik dan garis pada gambar di bawah ini

9ang merupakan alk, Cath, Cath Sederhana, Sirkuit dan Sirkuit Sederhana ?

13.(. Graf Berarah % Digraph '

Grag berarah adalah graf yang setiap garisnya mempunyai arah atau tanda panah.

Definisi:

*umlah garis yang keluar dari suatu titik v disebut dera"at keluar

'("# '3



8/20/2019 13. Teori Graf

14/17

(out degree) titik v ( simbol dA(v) ), sedangkan "umlah garis yang masuk

( in degree ) titik v ( simbol dJ(v) ).

Titik terasing * adalah titik dalam G yang dA(v) ' dJ(v) ' @

Titik pen+an * adalah titik dalam G yang dA(v) ' dJ(v) ' 1

!ua garis berarah dikatakan paralel "ika keduanya mempunyai titik

awal dan titik akhir yang sama.

13.. epresentasi Graf +alam atriks

!engan merepresentasikan graf ke dalam suatu matriks, maka

perhitungan-perhitungan yang diperlukan dapat dilakukan dengan

mudah. esulitannya adalah tidak semua informasi dalam graf dapat

direpresentasikan dalam matriks.

13..1 atriks 4$"$ng

atriks +ubung ( Adjacency Matrix ) adalah matriks yang digunakan

untuk menyatakan graf dengan elemen-elemen matriks berupa "umlah

garis yang menghubungkan antara dua titik, termasuk garis loop yang

menghubungkan dengan dirinya sendiri.

arena "umlah garis yang menghubungkan titik v i dengan v " selalu sama

dengan "umlah garis yang menghubungkan titik v " dengan vi , maka "elas

bahwa matriks hubung selalu merupakan matriks simetris (ai") ' (a "i).

!an matriks (ai") adalah matriks bu"ur sangkar.

'("# '4



8/20/2019 13. Teori Graf

15/17

:da beberapa hal yang bisa dicatat merepresentasikan graf dengan matriks hubung

1. Graf tidak mempunyai loop semua elemen diagonal ' @

$. !era"at ( degree ) titik vi adalah "umlah semua komponen matriks

baris kolom ke-i

d(vi) ' K " ai" ' Ki ai"

!era"at graf G adalah "umlah semua elemen matriks ' Ki K " ai"

2. Graf G adalah graf lengkap semua elemen diagonal ' @, dan

semua elemen di luar diagonal ' 1.

13.0. ohon Graf

Struktur pohon banyak dipakai dalam struktur data, struktur kalimat,

struktur susunan organisasi.

13.0.1 ohon +an h$tan

Definisi:

isalkan G adalah suatu graf sederhana yaitu tidak memiliki garis

paralel dan loop.

G disebut ohon G tidak memuat sirkuit dan terhubung.

ohon Sem$ (Trivial Tree) adalah Cohon yang hanya terdiri dari sebuah titik.

'("# '5



8/20/2019 13. Teori Graf

16/17

ohon Kosong (Empty Tree) adalah Cohon yang tidak mempunyai titik.

G disebut 4$tan (Forest ) G tidak memuat sirkuit.

13.5. Graf Berla"el

Graf yang berupa peta, maka graf berlabel adalah graf yang garis- garisnya berlabel angka-

angka pan"ang "alan.

Graf yang berupa "aringan listrik, maka graf berlabel adalah graf yang

garis-garisnya berlabel angka-angka bobot biaya pengadaan "aringan.

Graf yang berupa rencana pelaksanaan proyek, maka graf berlabel

adalah graf yang garis-garisnya berlabel angka-angka lama waktu pelaksanaan

peker"aan.

#ontoh d(:,+) ' "arak terpendek (:-B-!-&-G-H-+) ' 2 A 2 A $ A 2 A 2 A 7 ' $$

S6/L-S6/L

1. Berapa banyak graf sederhana dapat dibuat dari 1@ titik dan 7 garis ?

$. !iketahui graf berarah tanpa loop dan tanpa garis parallel G.

Cada kondisi apakah relasi d(v1,v$) A d(v$,v2) ' d(v1,v2) terpenuhi ?

2. !alam sebuah graf G yang terdiri dari n titik, hanya satu titik yang bera"at gan"il.

berapa banyak titik berdera"at gan"il yang ada pada komplemen G ?

3. Graf G yang terdiri dari $1 garis memiliki 6 titik berdera"at 1, 2 titik ber-

dera"at $, 6 titik berdera"at 2, dan sisanya berdera"at 3.Berapa banyak titik dalam G ?

'("# '6



8/20/2019 13. Teori Graf

17/17

)aftar *ustaka

Bahri, S., $@@5, Logika dan impunan! ;niversitas ataram, ataram.

Simangunsong ilson, atematika dasar, ( *akarta &rlangga, $@@4)

httpperpustakaancyber.blogspot.com

'("# '7


13. Teori Graf

Documents

Transcript of 13. Teori Graf