10

48. Tri kondenzátory s rovnakými elektrickými kapacitami sú pripojené k zdroju. V ktorom prípade akumulujú viac energie a koľkokrát – pri ich sériovom alebo paralelnom radení?

49. Máme nabitý doskový kondenzátor a zväčšíme trojnásobne vzdialenosť medzi jeho doskami. Ako sa zmení: a) elektrická kapacita kondenzátora, b) intenzita elektrického poľa medzi doskami, c) rozdiel potenciálov na doskách, d) elektrostatická energia poľa v kondenzátore?

50. Dva nesúhlasné bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti vytvárajú elektrostatické pole. Vysvetlite, prečo vo všetkých bodoch poľa, ktoré sú rovnako vzdialené od obidvoch nábojov, je smer intenzity poľa rovnobežný so spojnicou týchto nábojov.

51. Akú prácu treba vykonať na preklopenie dipólu s dipólovým momentom p z polohy súhlasne rovnobežnej s vonkajším elektrickým poľom intenzity E do polohy nesúhlasne rovnobežnej?

52. Aký je tok intenzity elektrického poľa cez uzavretú plochu, obopínajúcu elektrický dipól?

1.3 Riešené príklady

1.1 Akou vzájomnou silou na seba pôsobia dve rovnako nabité železné guľôčky s hmotnosťami 1 g vo vzdialenosti 2 m od seba, ak majú celkový elektrický náboj elektrónov o 1 % väčší ako celkový kladný elektrický náboj všetkých jadier?

RiešenieElektrostatická odpudivá sila medzi guľôčkami je spôsobená prebytočným elektrickým nábojom

elektrónov na každej z guľôčok. Počet atómov železa v guľôčke s hmotnosťou m = 1 g je:

A A

mN n N N

M , kde n je látkové množstvo, M je molárna hmotnosť, NA je Avogadrova konštanta.

Po dosadení číselných hodnôt: N = 1,081022. Celkový kladný elektrický náboj každej guľôčky bude: Q = 26 e N = 4,5104 C. Keďže celkový náboj elektrónov každej guľôčky je o 1% väčší, bude na každej guľôčke nevykompenzovaný záporný elektrický náboj veľkosti Qe = 4,5102 C. Vzájomná

odpudivá sila medzi týmito guľôčkami je Coulombova sila veľkosti: 2e

204π

QF

R = 4,51014 N.

1.2 Elektrické náboje – Q, 3Q, –5Q, 3Q sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a. V strede štvorca je umiestnený elektrický náboj Q. Vypočítajte veľkosť a smer výslednej sily, pôsobiacej na tento elektrický náboj! Číselne vypočítajte pre Q = 0,4 mC, a = 0,2 m!

RiešenieUmiestnenie štvorca v súradnej sústave xyz je výhodné podľa obr.1.10. Potom na elektrický náboj

Q v strede štvorca budú podľa Coulombovho zákona pôsobiť sily:2 2

2 20 0

2 2

2 20 0

1 1 3( ), ,

4π 4π

1 5 1 3 2, ( ), kde

4π 4π 2

Q Q

u u

Q Qu a

u u

1 2

3 4

F i F j

F i F j

Výsledná sila je vektorový súčet týchto síl:

2

20

2

π

Q

a 1 2 3 4F F F F F i , F = 2,9105 N.

Výsledná sila F pôsobiaca na elektrický náboj Q v strede štvorca má smer osi x, jej veľkosť je 2,9105 N.

- Q - 5Q

3Q

Q

3Q

F1F4

F3

F2

a

x

y

Obr.1.10

11

1.3 Dva elektrické náboje rovnakej polarity a s veľkosťami Q1 = 2nC a Q2 = 8 nC sú vo vzájomnej vzdialenosti ℓ = 9 cm (obr.1.11). V akej vzdialenosti medzi nimi máme umiestniť tretí elektrický náboj a akú musí mať veľkosť a polaritu, aby výsledná sila, pôsobiaca na každý elektrický náboj bola nulová?

RiešenieVložený elektrický náboj Q0 musí byť záporný, aby mohla nastať rovnováha síl. Pre každý

elektrický náboj môžeme písať vektorové rovnice: F10 + F12 = 0, F01 + F02 = 0, F20 + F21 = 0.Pre veľkosti síl musí potom platiť:

0 1 0 201 02 2 2

0 04π 4π ( )

Q Q Q QF F

x x

odkiaľ vyjadríme hľadanú vzdialenosť

2 11x

Q Q

.

Z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q1

dostaneme veľkosť náboja Q0:2

1 0 1 210 12 0 22 2

0 04π 4π

Q Q Q Q xF F Q Q

x

.

Analogicky by sme mohli vypočítať veľkosť Q0 z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q2, t.j. z rovnice F20 = F21. Po číselnom dosadení dostaneme: x = 3 cm, Q0 = 8/9 nC.

1.4 Dve rovnaké kovové guľôčky hmotností 20 mg sú každá zavesená na nitiach dĺžky 0,2 m, ktoré sú upevnené v jednom bode závesu. Jednu z guľôčok oddialime a nabijeme elektrickým nábojom Q. Po vzájomnom dotyku guľôčok sa rozostúpia tak, že nite zvierajú uhol 60°. Určte veľkosť elektrického náboja dodaného prvej guľôčke!

RiešenieNa obr. 1.12 je znázornená situácia pred nabitím a po nabití guľôčky elektrickým nábojom Q.

Elektrický náboj Q sa po vzájomnom dotyku guľôčok rozdelí a každá z guľôčok bude nabitá elektrickým nábojom Q/2. Guľôčky sa rozostúpia v dôsledku vzájomného odpudivého pôsobenia

týchto nábojov. Na každú z guľôčok pôsobia 3 sily: tiažová sila Fg, sila elektrostatického pôsobenia (Coulombova sila) Fe a sila reakcie nite Fr. V statickej rovnováhe musí platiť podmienka pre výslednicu síl, pôsobiacich na zavesenú guľôčku:

Fg + Fe + Fr = 0. Pretože Fe Fg bude pre veľkosti síl platiť:

2

2e 0

g

16πtg

2

Q

F b

F mg

, pričom rozostup nábojov b dostaneme

z trigonometrického vzťahu: b/2 = ℓ sin α/2. Po dosadení b do predošlej rovnice a úprave, vyjadríme nakoniec hľadaný elektrický náboj Q:

2

02 2

0

tg 8 sin π tg2 2 264π sin

2

QQ mg

mg

. Číselne Q 45 nC.

Poznámka: Príklad môžeme riešiť aj pomocou momentovej podmienky rovnováhy g e rF F 0FM M M . Ak si

za momentový bod zvolíme bod závesu, bude pre veľkosti momentov platiť: 2

g e 20

sin( / 2) sin(90 / 2)16πF F

QM M mg

b

. Odtiaľ po úprave dostaneme rovnaký výsledok pre Q.

Q1

Q0

Q2

x

F21F20

F01 F02

F12

F10

Obr.1.11

b

Fg

Fe

Fr

Obr.1.12

12

1.5 Nabitá guľôčka hmotnosti 10 g zavesená na niti sa pohybuje po kružnici polomeru 5 cm konštantnou uhlovou rýchlosťou 10 s–1. Pod bodom závesu A sa nachádza v bode B nepohyblivý rovnako veľký elektrický náboj, pričom platí AS = SB, uhol α = 45°, (obr.1.13). Vypočítajte elektrický náboj Q!

RiešenieNa zavesenú guľôčku opäť pôsobia 3 sily: tiažová sila Fg,

Coulombova sila Fe a sila reakcie nite Fr. Výslednica týchto síl je dostredivá sila, spôsobujúca rovnomerný pohyb guľôčky po kružnici s polomerom R. Úlohu budeme riešiť zo stanoviska spolurotujúcej vzťažnej sústavy – teda neinerciálnej sústavy. Preto okrem spomínaných reálnych síl musíme uvažovať aj silu zotrvačnosti Fz, smerujúcu od stredu kružnice. Z hľadiska tejto vzťažnej sústavy sú guľôčky v rovnovážnom stave a môžeme použiť momentovú podmienku rovnováhy, t.j. g e r z 0F F F FM M M M . Ak si za

momentový bod zvolíme bod závesu A a jednotkový vektor 0 smeruje pred nákresňu, potom jednotlivé momenty síl sú:moment tiažovej sily: MFg = ℓ mg sin (– 0), moment zotrvačnej sily:

MFz = ℓ m2R sin (/2–) (0), moment Coulombovej sily: 2

e 020

sin( 2 )4πF

Q

M , moment

sily reakcie nite MFr = 0. V pravouhlom trojuholníku ďalej platí: ℓ = R/sin.. Po dosadení momentov do momentovej podmienky, dosadením ℓ a predelením rovnice jednotkovým vektorom 0 dostávame:

22 2

0

sin sin 2 cot g 04π

QmgR m R

R

.

Odtiaľ vyjadríme hľadaný elektrický náboj: 2

02πsin cos sin

R g RQ m

, číselne Q 137,5 nC.

Poznámka: V elektrostatike najčastejšie riešime úlohu nájsť intenzitu a elektrický potenciál poľa daného rozloženia elektrického náboja. Pokiaľ je pole vytvorené sústavou diskrétnych elektrických nábojov, platí princíp superpozície polí. Ak je pole vytvorené spojito rozloženým elektrickým nábojom, rozložíme si celkový elektrický náboj na sústavu elementárnych nábojov dQ a počítame integrovaním (cez celú oblasť zaplnenú nábojom) výslednú intenzitu alebo elektrický potenciál. Stačí určiť jednu z týchto veličín a potom využiť súvis medzi intenzitou a elektrickým potenciálom na určenie tej druhej veličiny. Pri symetrickom rozložení elektrických nábojov je výhodné na výpočet intenzity použiť Gaussov zákon.

1.6 Vypočítajte intenzitu výsledného elektrostatického poľa v bode A(4,3), budeného dvomi bodovými elektrickými nábojmi Q1 = 2 nC, ktorý je v bode (3,1) a Q2 = – 1 nC, ktorý je

umiestnený v bode (1,4). Súradnice bodov sú v m.

RiešenieUmiestnenie elektrických nábojov je znázornené na

obr.1.14. Elektrostatické pole v bode A je superpozíciou polí od elektrických nábojov Q1 a Q2. Pre výslednú intenzitu platí E = E1 + E2, pričom intenzity elektrostatických polí od bodových

elektrických nábojov sú: 1 23 3

0 1 0 2

,4π 4π

Q Q

r r 1 1 2 2E r E r

kde r1, r2 sú polohové vektory bodu A vzhľadom na body, v ktorých sídlia elektrické náboje Q1 a Q2. Vo vektorových

trojuholníkoch platí: , 1 0 1 2 0 2r r r r r r , pričom

, , 0 1 2r r r sú polohové vektory bodu A, elektrického náboja Q1

B

Q

A

S

Q

R

Fg

Fe

Fr

Fz

Obr.1.13

Q2

Q1

A

0 2

2

x

y

r2´

r1´

r0

r1

r2

E

E1

E2

Obr.1.14

13

a Q2 vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy. Po dosadení odpovedajúcich súradníc dostávame:

1 22 , 5 m 3 , 10 mr r 1 2r i j r i j .

Keďže polarita elektrického náboja Q2 je záporná, bude mať intenzita E2 smer vektora (– r2) (do výsledku už dosadíme potom absolútnu hodnotu elektrického náboja Q2). Vektor výslednej intenzity je:

1 23 3

0 1 2

1( 2 ) (3 ) (0,75 3,5 )

4π

Q Q

r r

E = i j i j i j Vm–1, jej veľkosť je E = 3,58 Vm–1.

1.7 Ekvipotenciálna hladina prechádza bodom poľa s intenzitou E1 = 5 kVm–1, vzdialeným od elektrického náboja, ktorý toto pole vytvára o R1 = 2,5 cm. V akej vzdialenosti od elektrického náboja máme viesť ďalšiu ekvipotenciálnu hladinu, aby napätie medzi ekvipotenciálnymi hladinami bolo 25 V?

RiešenieEkvipotenciálne hladiny elektrostatického poľa v okolí bodového elektrického náboja sú

sústredné guľové plochy a siločiary sú z elektrického náboja radiálne vystupujúce vektory. Pre

veľkosť intenzity vo vzdialenosti R1 od bodového elektrického náboja Q platí: 1 20 14π

QE

R a

elektrický potenciál na tejto ekvipotenciálnej hladine je: 1 1 10 14

QV E R

R . Hľadáme polomery

ekvipotenciálnych hladín R2, R2´, pre ktoré má platiť: V2 = V1 – V, resp. V2´= V1 +V. Dosadením výrazov pre elektrické potenciály V2, V1, (resp.V2´):

21 1

20 2 24

Q E RV

R R , V1 = E1 R1, dostaneme rovnicu, z ktorej

vyjadríme polomer hľadanej ekvipotenciálnej plochy :2 2

1 1 1 11 1 2

2 1 1

E R E RE R V R

R E R V

, resp.

21 1

21 1

E RR

E R V

.

Po dosadení číselných hodnôt dostaneme polomery R2 = 3,125 cm, R2´= 2,08 cm.

1.8 Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa budeného lineárnym vodičom konečnej dĺžky, rovnomerne nabitým s dĺžkovou hustotou elektrického náboja = 3 nCm–1 v bode A, ktorého vzdialenosť od vodiča je a = 5 cm, uhly α1 = 15°, α2 = 50° (obr.1.16).

RiešeniePríspevok k intenzite elektrostatického poľa v bode A od elektrického náboja dQ úseku vodiča dy je:

2 20 0

d dyd

4π 4π

QE

r r

, pričom platí:

2

dcos , tg dy

cos

a ya

r a

. Po dosadení r a dy do

predošlej rovnice, dostávame príspevok dE už len ako funkciu

jednej premennej – uhla α: 0

d d4π

Ea

.

Pre x -ovú a y -ovú zložku intenzity platí:

dEx = dE cosα =0

cos d4π a

, dEy = dE sinα =

0

sin d4π a

.

Integráciou cez premennú α dostaneme zložky Ex, Ey výslednej intenzity v bode A od celého vodiča konečnej dĺžky:

E

R1

R2

Q

R2´

V2

V1V2´Obr.1.15

dy

y

a

r

21

A

dEx

dEydE

Obr.1.16

14

2

1

2 10 0

cos d (sin sin )4π 4πxE

a a

, 2

1

1 20 0

sin d (cos cos )4π 4πyE

a a

.

Veľkosť výslednej intenzity dostaneme 2 2x yE E E .

V našom príklade Ex = 552,7 Vm–1, Ey = 174,3 Vm–1, E = 580 Vm–1.

Poznámka: V limitnom prípade môžeme z uvedených výsledkov dostať intenzitu od priameho nekonečného

homogénne nabitého vodiča. Dosadením α1 = α2 = 90° dostaneme: 0

, 02πx yE E

a

.

1.9 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa vo vzdialenosti r od priameho nekonečného vodiča, ktorý je homogénne nabitý, dĺžková hustota elektrického náboja je λ.

RiešenieIde o symetrické rozloženie elektrického náboja, preto na výpočet intenzity je výhodné použiť

Gaussov zákon. Gaussovu plochu (obr.1.17) zvolíme v tvare koaxiálneho valca s polomerom r a

výškou ℓ. Gaussov zákon bude mať tvar: 00

dd

�E S = .

Vodič predstavuje ekvipotenciálnu hladinu, intenzita má smer kolmý na vodič. Preto tok cez podstavy valca je nulový ( dE S = 0, pretože E dS), tok cez plášť valca bude:

0

2πE r

� . Odtiaľ pre intenzitu dostaneme E(r) = 02 r

. Zo

súvisu medzi intenzitou a potenciálom: dV = – E dr dostaneme integráciou pre elektrický potenciál:

0

( ) C ln2π

V r r

, kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri výpočte napätia, teda

rozdielu potenciálov, odčíta a bude platiť: 21 2

0 1

ln2

RU V V

R

.

Poznámka: Porovnajte výslednú intenzitu s limitným výsledkom príkladu 1.8!

1.10 Nekonečný priamy vodič rovnomerne nabitý elektrickým nábojom s dĺžkovou hustotou nábojaλ1 = 310–7 Cm–1 a úsek vodiča dĺžky ℓ = 20 cm rovnomerne nabitý s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ2 = 210–7 Cm–1 sú umiestnené v jednej rovine navzájom kolmo (obr.1.18) vo vzdialenosti a = 10 cm. Vypočítajte silu vzájomného pôsobenia medzi nimi!

RiešenieNekonečný vodič vytvára vo svojom okolí elektrostatické pole, ktorého intenzita (podľa príkladu 1.9) so vzdialenosťou od vodiča klesá. V tomto poli sa nachádza úsek vodiča ℓ. Na elektrický náboj dQ = λ2 dr úseku vodiča pôsobí potom elektrostatické pole silou dF:

12

0

d d d2

F E Q rr

. Celkovú silu vypočítame integráciou:

1 2 1 2

0 0

dln

2π 2π

a

a

r aF

r a

= 1,210–3 N.

1.11 Homogénne nabitý vodič tvaru polkružnice s polomerom R = 2 m má elektrický náboj Q = 10 nC rozložený s dĺžkovou hustotou λ. Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa v strede polkružnice!

r

E Obr.1.17

a

Obr.1.18

15

RiešeniePodľa obr.1.19 bude veľkosť intenzity v strede S od elektrického náboja dQ = λ dx, ktorý leží na elemente

dx = R d polkružnice: 2 2

0 0 0

d dd d

4π 4π 4π

Q xE

R R R

. Výsledná intenzita bude vektorovým

súčtom takýchto príspevkov, jej smer bude v smere osi symetrie polkružnice – teda v smere osi x. Zložky intenzity v smere osi y sa v dôsledku symetrie zrušia, Ey = 0.Pretože platí: dEx = dE cos , dostaneme výslednú intenzitu integráciou:

π 2

2 20 0 0π 2

cos d4π 2π 2 πx

QE

R R R

, kde sme dosadili

dĺžkovú hustotu elektrického nábojaπ

Q

R . Pre výslednú intenzitu platí:

E = Ex i + Ey j =2 2

02 π

Q

Ri = 14,3 i Vm–1.

1.12 Elektrický náboj Q je rozložený s dĺžkovou hustotou λ na kružnici s polomerom R (obr.1.20). Vypočítajte elektrický potenciál vo vzdialenosti x od stredu kružnice na osi kružnice! Z vypočítaného potenciálu odvoďte vzťah pre intenzitu elektrostatického poľa! Aká bude intenzita a elektrický potenciál v strede kružnice? Nájdite extrémy intenzity poľa a zakreslite približný priebeh V(x), E(x)!

RiešenieElektrický potenciál poľa budeného spojito

rozloženým elektrickým nábojom vypočítame integráciou:

0

1 d

4π

QV

r , kde r je vzdialenosť bodu A(x),

v ktorom elektrický potenciál počítame od elementu dQ, ktorý toto pole vytvára. Tento elektrický náboj môžeme vyjadriť pomocou dĺžkovej hustoty náboja λ. Úsek kružnice dx, kde tento náboj sídli, pomocou uhla d a polomeru kružnice R: dQ = λ dx = λ R d.. Pre

vzdialenosť r platí: 2 2r R x . Dosadením týchto vzťahov do integrálu a integrovaním cez uhol dostaneme hodnotu elektrického potenciálu ako funkciu polohy bodu A na osi x:

2π

2 2 2 20 0 0

1( ) d

4π 2

R RV x

R x R x

.

Pre výpočet intenzity poľa E na osi kružnice použijeme súvis medzi E a V:

2 2 3 20

( ) grad2 ( )

V R xx V

x R x

E i = i ,

výsledná intenzita má smer osi x. Hodnoty elektrického potenciálu a intenzity v strede kružnice sú: V(0) = λ /(20), E(0) = 0. Ak chceme poznať priebeh funkcií V(x), E(x), nájdeme si extrémy týchto funkcií. Z podmienky

max0

d0 0 (0)

d 2

Vx V V

x

. Extrémy funkcie E(x) určíme:

2 2 2

max2 2 5 20 0

30

2 ( ) 2 3 3

dE R R x x Rx E

dx R x R

.

Približné priebehy funkcií V(x), E(x) sú znázornené na obr. 1.21.

dE

dEy

dExR

S

d

dx

Obr.1.19

– dEy

E-Emax

V

Emax

Vmax

xmax

-xmax

0 x

E,V

Obr.1.21

0

Ed

dx

R

A(x)

Obr.1.20

r

x

16

1.13 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa v okolí homogénne nabitej nekonečnej roviny! Elektrický náboj na rovine je rozložený s plošnou hustotou .

RiešenieIntenzita elektrostatického poľa bude vektor kolmý na nabitú rovinu. Z dôvodov symetrie je

vhodné použiť na jej výpočet Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr.1.22) si zvolíme povrch valca,tok cez povrch plášťa bude nulový, pretože je tu E dS. Tok cez základne (E dS) bude

2

d 2S

E S E S . Elektrický náboj obopnutý Gaussovou plochou (leží

na vyšrafovanej plôške) môžeme vyjadriť pomocou plošnej hustoty

náboja dS

Q S S . Dosadením do Gaussovho zákona

dostaneme:

0 0 0

d 22

Q SE S E

E S =� .

Intenzita nezávisí od vzdialenosti od roviny, v okolí nekonečnej roviny je vytvorené homogénne elektrické pole. Pre elektrický potenciál

dostaneme: 0

( ) d C 2

V r r

E r = , kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri

výpočte napätia, teda rozdielu potenciálov, odčíta (analogicky ako v príklade 1.9) a bude platiť:

AB B A0 0

( )2 2

U r r d

. Elektrický potenciál je lineárne klesajúca funkcia na obidve strany od

nabitej roviny, ekvipotenciálne hladiny sú roviny rovnobežné s nabitou rovinou, napätie UAB medzi dvomi ekvipotenciálnymi hladinami je teda úmerné vzdialenosti týchto rovín d.

1.14 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa, ak je elektrický náboj spojito rozložený: a) s plošnou hustotou náboja na povrchu gule s polomerom R; b) s priestorovou hustotou náboja vo vnútri gule s polomerom R! Znázornite graficky približné priebehy E(r), V(r)!

Riešeniea) Uvažujeme elektrický náboj symetricky rozložený na povrchu gule, preto je výhodné pri výpočte intenzity poľa využiť Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr.1.22) si zvolíme povrch sústrednej guľovej plochy s polomerom r.Ak r R , Gaussova guľa neobopína žiaden náboj, preto bude

platiť: 0

d 0 , konšt.Q

V

0E S = E =�

Ak r R z Gaussovho zákona vyplýva: 2

22 2

0 0 0

14π ( )

4π

Q Q RE r E r

r r

, pričom sme vyjadrili

elektrický náboj Q pomocou plošnej hustoty náboja Q = 4 R2 .Pre r = R, teda na povrchu nabitej gule bude platiť:

20 0

( )4π

QE R

R

Pre elektrický potenciál v oblasti r R dostaneme integráciou: 2

20 0 0

1( ) d

4π 4π

r Q Q RV r r

r r r

.

V oblasti r R je elektrický potenciál konštantný a z dôvodov spojitosti rovnaký ako na povrchu

E

S S S

r

Obr.1.22

E, V

R

r

r

E

0R

V

Obr.1.23

17

nabitej gule, teda 0 0

( )4π

Q RV R

R

. Priebehy E(r), V(r) elektrostatického poľa plošne nabitej gule

sú načrtnuté v obr. 1.23.

b) Riešme teraz prípad objemovo nabitej gule s objemovou hustotou elektrického náboja34

π3

Q

R .

V prípade, že polomer Gaussovej plochy zvolíme väčší ako polomer nabitej gule, r R , obopneme celý elektrický náboj a z Gaussovho zákona dostaneme pre intenzitu analogickú závislosť od

vzdialenosti r ako v predošlom prípade: 3

22 2

0 0 0

14π ( )

4π 3

Q Q RE r E r

r r

a takisto

elektrický potenciál 3

0 0

1( )

4 3

Q RV r

r r

bude závislý od 1/r. Na

povrchu gule (r = R) bude platiť: 2

20 0 0 0

( ) , ( )4π 3 4π 3

Q R Q RE R V R

R R

.

V oblasti r R , obopne Gaussova guľa len časť z celkového

elektrického náboja, ktorá sa bude nachádzať v objeme 34π

3r ,

z Gaussovho zákona preto vyplýva, že intenzita poľa v oblasti vnútri nabitej gule nebude nulová (ako tomu bolo pri plošne nabitej guli), ale bude lineárne narastať s polomerom r:

3

23

0 0 0 0

4π

3d 4π3 4π

rQ QE r E r r

R

�E S .

Elektrický potenciál poľa v tejto oblasti dostaneme integráciou: 2

0 0

( ) d C3 6

V r r r r

.

Integračnú konštantu C dostaneme z podmienky spojitosti elektrického potenciálu na povrchu gule pre

r = R: 2 2 2

0 0 0

C3 6 2

R R RC

. Výsledný tvar elektrického potenciálu v tejto oblasti bude:

22

0

( ) ( )2 3

rV r R

. Znázornenie priebehov E(r), V(r) pre objemovo nabitú guľu je na obr.1.24.

Poznámka: Všimnite si, že pole v okolí plošne alebo objemovo nabitej gule (r R) je rovnaké ako v prípade bodového elektrického náboja, umiestneného v strede gule.

1.15 Odvoďte vzťah pre elektrickú kapacitu rovinného kondenzátora, ak jeho dosky sú nabité elektrickým nábojom s plošnou hustotou , resp. – , každá z nich má plochu S a vzdialenosť dosiek kondenzátora je d. Okrajové efekty zanedbajte! Odvoďte vzťah pre výslednú elektrickú kapacitu pri sériovom a paralelnom radení kondenzátorov!

RiešenieAk máme dve nekonečné roviny nabité s rovnakou plošnou hustotou

elektrického náboja ale opačnej polarity (obr.1.25), výsledné pole dostaneme superpozíciou polí. Veľkosť intenzity poľa od nekonečnej

roviny (podľa príkladu 1.13) je 1 202

E E

. V priestore medzi

rovinami dostaneme výslednú intenzitu danú súčtom týchto intenzít, teda 0

E

, z vonkajšej

+

E1

E2

Obr.1.25

r

E

0 R

V

E, V

Obr.1.24

18

strany rovín bude E = 0. Rovinný kondenzátor si môžeme predstaviť ako nabité rovnobežné dosky, každá má plochu S, a ich vzájomná vzdialenosť je d. Kladný elektrický náboj Q a rovnako veľký

záporný náboj Q sú na doskách rozložené rovnomerne s hustotami = Q

S a medzi doskami

vytvárajú homogénne pole s intenzitou 0 0

QE

S

. Potom napätie medzi doskami je

0

QU E d d

S . Elektrická kapacita kondenzátora je 0

Q SC

U d .

Pri sériovom radení kondenzátorov (obr.1.4) bude v dôsledku elektrostatickej indukcie na

všetkých kondenzátoroch rovnaký elektrický náboj a bude platiť: ii i i

Q QU U

C C . Pre

výslednú elektrickú kapacitu takejto kondenzátorovej batérie dostaneme: 1 1

i iC C . Pri paralelnom

radení kondenzátorov majú všetky vetvy spojené uzlom rovnaké napätie a bude platiť pre celkový elektrický náboj .i i

i i

Q Q CU CU Výsledná elektrická kapacita je .ii

C C

1.16 Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu batérie kondenzátorov (obr.1.26), ak C1 = C5 = 4 μF, C2 = 3 μF , C3 = 5 μF, C4 = 2 μF a napätie medzi bodmi AC, ak napätie medzi bodmi AB je 100V.

RiešenieVýsledná elektrická kapacita medzi bodmi AB je CAB = C1 + C2 + C3 =12 μF, výsledná elektrická

kapacita medzi bodmi BC je CBC = C4 + C5 = 6 μF. Výsledná elektrická kapacita sériového radenia

týchto kapacít potom bude: AB BC

1 1 1 1

4C C C , odtiaľ

C = 4 μF. Elektrický náboj na úseku AB musí byť rovnaký ako na úseku BC, bude teda platiť:

AB ABAB AB BC BC BC

BC

C UQ C U C U U

C = 200 V,

napätie na celom úseku AC bude UAC = UAB + UBC = 300 V.

1.17 Vypočítajte elektrickú kapacitu valcového kondenzátora, ktorý je tvorený sústavou súosových vodivých valcov dĺžky ℓ a polomerov R1, R2. Dokážte, že za podmienky R2 – R1 << R1, bude elektrická kapacita valcového kondenzátora približne rovnaká ako elektrická kapacita doskového kondenzátora! Určte S, d odpovedajúceho doskového kondenzátora!

RiešenieNa vnútornom valci kondenzátora (obr.1.27) s polomerom R1

je homogénne rozložený elektrický náboj +Q, na vonkajšom valci s polomerom R2 elektrický náboj – Q. K výpočtu elektrickej kapacity kondenzátora potrebujeme určiť elektrické napätie poľa medzi valcami kondenzátora. Určíme si najprv pomocou Gaussovho zákona intenzitu elektrického poľa. Zvolíme si súosový Gaussov valček s polomerom r a počítame tok vektora intenzity cez jeho plášť (tok cez základne je nulový). Gaussov valček obopol celý elektrický náboj +Q vnútorného valca, preto platí:

0 0 0

d 2π2π

Q Q QE r E

r

�E S

E

R2

r

R1

Obr.1.27

A

C1

C2

C4

C3C5

B

Obr.1.26

C

19

Napätie potom vypočítame integráciou: 2 2

1 1

2

0 0 1

d d ln2π 2π

R R

R R

Q Q RU r

r R

E r .

Hľadaná elektrická kapacita bude: 0 0 1

2 2 1

1

2π 2π, resp.

ln

Q RC C

RU R RR

� , kde sme použili vzťah:

2 2 1 2 1

1 1 1

ln ln 1R R R R R

R R R

. Valcový kondenzátor bude mať rovnakú elektrickú kapacitu ako

rovinný kondenzátor, ktorého plocha dosiek je S = 2 R1 ℓ a vzdialenosť medzi doskami d = R2 – R1 .

1.18 Vypočítajte, akou rýchlosťou sa musí pohybovať elektrón, nachádzajúci sa vo valcovom kondenzátore, aby opisoval kružnicu s polomerom r(R1, R2). Sú dané polomery valcových plôch R1 = 2 cm, R2 = 10 cm a napätie na kondenzátore U = 450 V!

RiešenieRýchlosť elektrónu musí byť taká, aby sila elektrického pôsobenia na elektrón medzi valcami

kondenzátora bola silou dostredivou, spôsobujúcou pohyb elektrónu po kružnici s príslušným

polomerom. Musí teda platiť: 2m e E r

e Er m

v

v . Z predošlého príkladu 1.17 môžeme

vyjadriť napätie na valcoch kondenzátora pomocou intenzity poľa v priestore medzi valcami na

kružnici s polomerom r: 2 2

0 1 1

ln ln2π

Q R RU E r

R R

, kde sme úpravu urobili na základe vzťahu

02π

QE

r

. Ak vyjadríme súčin (E r) z rovnice pre napätie U a dosadíme do výrazu pre rýchlosť

dostaneme výraz: 6 1

2

1

7 10 m sln

eUR

mR

�v .

1.19 Medzi horizontálne uloženými doskami nenabitého kondenzátora sa rovnomerne pohybuje olejová kvapôčka s rýchlosťou v0 = 110–3 ms–1. Pripojením kondenzátora na napätie, vznikne v ňom homogénne elektrické pole s intenzitou E = 2106 Vm–1 a kvapôčka sa bude voľne vznášať. Vypočítajte elektrický náboj voľných elektrónov a ich počet na kvapôčke! Hustota oleja je 0 = 900 kgm–3, dynamická viskozita vzduchu je = 1,710–5 Pas a hustota vzduchu v = 1,29 kgm–3.

RiešenieV prípade E = 0, pôsobia na kvapku oleja nasledovné sily:

tiažová sila Fg = m g j = 0 g τ j =0 g 34π

3R j , vztlaková sila FA = mV g (– j) = v g

34π

3R (– j),

Stokesova sila odporu prostredia FR = 6 R v0 (– j). Kladný smer jednotkového vektora j sme zvolili v smere pohybu kvapky. Pohybová rovnica kvapky v tomto prípade bude mať tvar: Fg + FA + FR = m a = 0, pretože kvapka sa pohybuje s konštantnou rýchlosťou (a = 0). Po dosadení síl,

dostaneme skalárnu rovnicu v tvare: 30 0

4( ) π 6π = 0

3g R R v v , z ktorej si vyjadríme neznámy

polomer kvapky: 0

0

9

2 ( )R

g

v

v.

V druhom prípade, keď E = 2106 Vm–1, bude pohybová rovnica kvapky: Fg + FA + FRe + FE = m a = 0,

20

pričom Stokesova sila bude nulová, pretože kvapôčka sa bude vznášať (vE = 0): FRe = 6 R vE (– j) = 0.Silu od pôsobenia elektrického poľa môžeme písať: FE = Q E = n e E (– j), kde n je počet voľných elektrónov kvapky. Dosadením do pohybovej rovnice kvapky v elektrickom poli dostaneme:

30

4( ) π 0

3g R QE v . Hľadaný elektrický náboj

30 0 0

0

4π ( ) 18π

3 2 ( )

g RQ

E E g

v

v

v v,

kde sme dosadili výraz pre polomer kvapky. Číselne Q = 4,7210–19 C, počet voľných elektrónov n = Q/e = 3.

1.20 Dva protóny v jadre hélia sú vzdialené od seba o vzdialenosť R = 1,510–15 m. Aká práca sa musela vykonať, aby sme protóny do tejto vzdialenosti dostali?

RiešeniePráca externej sily pri prenesení dvoch elektrických nábojov rovnakej polarity z nekonečna do

vzdialenosti R je rovnaká ako práca elektrostatickej odpudivej sily medzi týmito elektrickými nábojmi pri ich vzdialení z daného miesta do nekonečna. Preto platí:

2 2 2

3 20 0 0

d d 1

4π 4π 4πR R

e e r eW

r r R

r r� 1,5410–13 J 1 MeV

1.21 Bodové elektrické náboje Q1 = 17 nC, Q2 = 20 nC ležia na rovnakej spojnici s elektrickým nábojom Q0 = 30 nC a sú od neho vzdialené o ℓ1 = 2 cm, ℓ2 = 5 cm. Akú prácu vykonajú sily poľa, aby si elektrické náboje Q1, Q2 vymenili miesto?

RiešeniePrácu, ktorú konajú sily poľa, aby si elektrické náboje vymenili svoje polohy, môžeme vyjadriť

ako úbytok potenciálnej energie, t.j. W = Ep1 – Ep2, kde Ep1 je potenciálna energia pôvodnej konfigurácie elektrických nábojov (obr. 1.28, stav 1), Ep2 je potenciálna energia konečnej polohy elektrických nábojov (stav 2). Pre potenciálne energie platí:

0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2p1

0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 2 1

0 2 0 1 1 2 0 2 0 1 1 2p2

0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 2 1

1

4π 4π 4π ( ) 4π

1

4π 4π 4π ( ) 4π

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QE

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QE

Dosadením do výrazu pre prácu W dostaneme:

0 1 2 0 2 1 0 1 2 2 1p1 p2

0 1 2 0 1 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )

4π 4π

Q Q Q Q Q Q Q Q QW E E

.

Pri číselnom dosadení treba správne dosadiť aj polaritu elektrických nábojov, potom W = – 310–4 J. Poznámka: Stav 1 má menšiu potenciálnu energiu ako stav 2, a je teda stabilnejší. Ak chceme, aby si náboje vymenili svoje miesta, musíme pôsobiť vonkajšou silou, prekonávajúcou sily poľa. Práca tejto sily bude W = 310–4 J.

1.22 Uvažujme lineárny kryštál ako nekonečný rad elementárnych elektrických nábojov, umiestnených v rovnakých vzájomných vzdialenostiach pozdĺž priamky, a ich znamienka sa striedajú. Vypočítajte potenciálnu energiu ktoréhokoľvek z týchto elektrických nábojov!

RiešenieAk si zvolíme ľubovoľný elektrický náboj (obr.1.29), potom môžeme pre jeho potenciálnu

Obr.1.28

Q0

Q1 Q2

1

2

1)

1

Q0

Q2 Q1

2

2)

21

energiu spočítať vždy dva symetrické príspevky od rovnakých elektrických nábojov vo vzdialenostiach a, 2a ,3a ...

2 2

p0 0 0 0 0

2( ) 2( ) ( ) 2( ) 2 1 1... 1 ... ln 2

4 4 2 4 3 4 2 3 2

e e e e e e e eE

a a a a a

,

pretože pre súčet nekonečného radu platí: 2 3 4

ln(1 ) ...2 3 4

x x xx x .V našom prípade je x = 1.

Výsledok môžeme vyjadriť v tvare: 2

p04

eE

a

, kde = 2 ln2 je Madelungova konštanta.

Poznámka: Energia je záporná, preto na rozloženie takéhoto kryštálu na jednotlivé ióny je treba vykonať prácu. Rovnováha v pozdĺžnom smere je nestabilná, v priečnom smere stabilná, pretože pri vychýlení ľubovoľného elektrického náboja z rovnovážnej polohy v priečnom smere existujú výsledné elektrostatické návratné sily, ktoré vracajú náboj do rovnovážnej polohy, čo neplatí pre pozdĺžny smer.

1.23 Vypočítajte potenciálnu energiu sústavy rovnakých bodových elektrických nábojov Q = 4 μC, ktoré sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a = 8 mm, ak: a) všetky elektrické náboje majú rovnakú polaritu, b) susedné vrcholy sú obsadené nábojmi opačnej polarity.

Riešenie

Potenciálnu energiu opäť počítame ako súčet príspevkov p0

1 1

2 4πi j

j ii j i j i ij

Q QE Q V

r

.

a) V prípade rovnakej polarity elektrických nábojov dostaneme:2

p0 0

1 (4 2)

4π 4π2 2

Q Q Q Q Q Q QE Q Q Q

a a a a aa a

� 97,3 J

b) Ak sa polarita elektrických nábojov vo vrcholoch strieda: 2

p0 0

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4)( )

4π 4π2 2

Q Q Q Q Q Q QE Q Q Q

a a a a aa a

� – 46,5 J.

1.24 Molekula kyseliny soľnej je umiestnená v súradnej sústave xy, os H – Cℓ leží v smere osi x. Molekulu môžeme považovať za elektrický dipól, ktorého elektrický dipólový moment smeruje od Cℓ k H pozdĺž osi x a jeho veľkosť je p = 3,410–30 Cm. Vypočítajte elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa na osi dipólu, ako aj na osi symetrie dipólu vo vzdialenosti r = 10–10 m.

Riešenie

Elektrický potenciál elektrického poľa dipólu v ľubovoľnom bode je d 304π

Vr

p r

r

a intenzita

má tvar 2d 5

0

13

4πr

r E p r r p . Na osi dipólu platí p r, teda skalárny súčin p r = p r.

Potom elektrický potenciál na osi dipólu bude d 204π

pV

r � 3 V, intenzita poľa na osi dipólu je:

Ed = 25 3

0 0

12

4π 4πr

r r �

pp = 6,11010 i Vm–1, intenzita má rovnaký smer ako smer elektrického

dipólového momentu p.

a

+e +e e e e

Obr.1.29

22

Na osi symetrie dipólu platí p r, teda skalárny súčin p r = 0. Elektrický potenciál v každom bode

na osi symetrie Vd = 0. Intenzita na osi symetrie dipólu bude: 2

d 5 30 04π 4π

r

r r

�p p

E 31010 (– i) Vm–1,

má smer opačný ako smer elektrického dipólového momentu p.

1.25 Vypočítajte moment dvojice síl, pôsobiacich na elektrický dipól, umiestnený v homogénnom elektrickom poli E, ak je daný elektrický moment dipólu p = 210–30 Cm, intenzita elektrického poľa E = 5105 Vm–1 a smer vektora p zviera so smerom E uhol = 30°! Aký bude úbytok potenciálnej energie dipólu pri jeho otočení do smeru E?

RiešenieMoment dvojice síl M = p x E, ktorý otáča elektrický dipól umiestnený v homogénnom

elektrickom poli má veľkosť: M = p E sin = 510–25 Nm. Jeho smer bude kolmý na rovinu xy a orientovaný za nákresňu: M = M (– k). Uhol pootočenia je konvenciou zavedený proti smeru otáčania

hodinových ručičiek, preto vektor pootočenia bude d = d k. Úbytok potenciálnej energie dipólu sa rovná práci, ktorú vykonajú sily elektrostatického poľa pri jeho otočení do smeru intenzity E:

0 0

p

p p1 p2

d sin d ( ) cos ( cos0)

E W pE pE pE

E E E

M k .k =

Úbytok potenciálnej energie Ep = pE (1–cos) 1,310–25 J.

1.4 Neriešené príklady

1.26 Dva rovnaké ióny navzájom vzdialené o R = 10–9 m pôsobia na seba elektrostatickou silou F = 2,0710–9 N.Aký je elektrický náboj na každom ióne? Koľko elektrónov chýba každému iónu?

1.27 V akej vzájomnej vzdialenosti sú dva protóny, ak elektrostatická odpudivá sila, pôsobiaca na protón od druhého protónu, sa rovná jeho tiaži na zemskom povrchu?

1.28 Vypočítajte pomer elektrostatických a gravitačných síl vzájomného pôsobenia medzi dvomi elektrónmi a medzi dvomi protónmi! Určte hodnotu špecifického elektrického náboja Q /m pri interakcii rovnakých častíc, pri ktorej by sa tieto sily čo do veľkosti rovnali!

1.29 Predpokladajte, že elektrón v Bohrovom modeli atómu vodíka sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom a0 = 5,310–11 m. Vypočítajte jeho rýchlosť, frekvenciu a kinetickú energiu!

1.30 Dve guľôčky s rovnakou hmotnosťou m a elektrickým nábojom Q sa pohybujú po kružnici polomeru R okolo elektrického náboja – Q1, pričom sa náboje nachádzajú na koncoch rovnakého priemeru (obr.1.31). Nájdite uhlové rýchlosti pohybu nábojov!

1.31 Vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka so stranou a = 1 cm sa nachádzajú tri rovnaké elektrické náboje s veľkosťou 3 nC. Určte veľkosť sily pôsobiacej na elektrický náboj v ľubovoľnom vrchole!

1.32 Dva bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti Q = 2 nC sa nachádzajú vo vzájomnej vzdialenosti 15 cm. Akou silou a v akom smere pôsobia na jednotkový kladný elektrický náboj, nachádzajúci sa vo vzdialenosti 15 cm od každého z nich?

Q

Q – Q1

R

Obr.1.31

y

x

z

p E

Obr.1.30

d

23

1.33 V strede štvorca sa nachádza kladný elektrický náboj veľkosti Q1 = 200 nC. Aké záporné rovnako veľké elektrické náboje musíme umiestniť do vrcholov štvorca, aby bola sústava v rovnováhe?

1.34 Na tenkej niti zanedbateľnej hmotnosti je zavesená guľôčka s hmotnosťou 6 g a s neznámym elektrickým nábojom Q1 (obr. 1.32).Ak k nej priblížime opačne nabitú guľôčku s elektrickým nábojom Q2 = 3.10–7 C, odkloní sa niť s guľočkou o uhol 45°, pričom vzdialenosť elektrických nábojov je a = 7 cm. Nájdite elektrický náboj Q1!

1.35 Elektrický náboj Q1 = 400 μC je rovnomerne rozložený na tenkom kovovom drôte dĺžky ℓ = 10 cm. Tento náboj pôsobí silou F = 810–4 N na bodový elektrický náboj Q2, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti a = 8 cm od stredu drôtu na predĺžení priamky, prechádzajúcej v smere drôtu. Nájdite veľkosť elektrického náboja Q2!

1.36 V uhlíkovej guľôčke s priemerom d = 1 cm pripadá na jeden milión protónov jeden nadbytočný elektrón. Vypočítajte elektrický náboj guľôčky a intenzitu elektrostatického poľa na povrchu guľôčky, ak hustota materiálu je = 1,7103 kgm–3.

1.37 Elektrostatické pole je vytvorené superpozíciou polí dvoch bodových elektrických nábojovQA = 1 μC, QB = – 2 μC, umiestnených v bodoch A (1,0,0) m, B (0,1,0) m. Vyjadrite vektor intenzity výsledného elektrostatického poľa, veľkosť intenzity a výsledný potenciál poľa v počiatku súradníc.

1.38 V bode A(5, 0) vypočítajte výslednú intenzitu elektrostatického poľa, ktoré je superpozíciou elektrostatického poľa bodového elektrického náboja Q = 1 nC, umiestneného v bode B(3, 4) a poľa dlhého priameho vodiča, rovnobežného s osou y vo vzdialenosti xλ = 8 m. Dĺžková hustota náboja na vodiči je λ = 210–10 Cm–1, súradnice bodov sú v m.

1.39 Elektrostatické pole je vytvorené dvomi nekonečne dlhými vodičmi, ktoré sú navzájom rovnobežné a ich vzájomná vzdialenosť je a = 8 cm. Dĺžková hustota náboja na jednom z nich je λ1 = 210-8 Cm–1, na druhom λ2 = 510–8 Cm–1. Vypočítajte výslednú intenzitu elektrostatického poľa v bode A, ktorý leží v priestore medzi vodičmi v rovnakej vzdialenosti od obidvoch vodičov.

1.40 Homogénne nabitý vodič s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ = 410–9 Cm–1 je ohnutý do tvaru: a) štvrťkružnice, b) písmena U. Polomer zakrivenia je R = 2 cm. Vypočítajte veľkosť intenzity elektrického poľa v strede štvrťkružnice, resp. polkružnice!

1.41 Dve nekonečné navzájom rovnobežné rovinné dosky sú homogénne nabité elektrickým nábojom. Na jednej doske je záporný elektrický náboj s plošnou hustotou 1 = 110–5 Cm–2, na druhej kladný elektrický náboj s hustotou 2 = 310–5 Cm–2. Vypočítajte: a) intenzitu elektrostatického poľa v jednotlivých častiach priestoru I, II, III, ktoré tieto roviny vytvárajú,b) intenzitu poľa v prípade, že dosky budú navzájom kolmé?

1.42 Elektrický náboj Q = 410–6 C sa nachádza v elektrostatickom poli nabitej roviny s plošnou hustotou náboja = 100 Cm–2. Vypočítajte, aká sila pôsobí na tento bodový elektrický náboj!

1.43 Kvapôčky ortuti s priemerom d = 2 mm sú nabité rovnakým elektrickým nábojom. Po ich zliatí do jednej kvapky bude celkový elektrický náboj kvapky Q = 610–13 C a výsledný elektrostatický potenciál na povrchu zliatej kvapky V = 2,96 V. Koľko kvapôčok sme zliali do výslednej kvapky a aký elektrický náboj bol na každej z nich?

1.44 Na siločiare homogénneho elektrického poľa sa nachádzajú body A, B, C, D, E v rovnakých vzájomných vzdialenostiach. Nájdite elektrické potenciály bodov B, D, ak budete postupne voliť body A, C, E za body nulového potenciálu. Napätie medzi bodmi B a D je 50 V.

a

Q1 Q2

Obr.1.32

24

1.45 Guľôčka s polomerom R = 2 cm a s elektrickým nábojom Q = 18 pC vytvára vo svojom okolí elektrostatické pole. Nájdite polomery ekvipotenciálnych hladín, ktorých elektrické potenciály sa navzájom líšia o hodnotu V = 1,5 V.

1.46 Elektrický náboj 0,5 nC je rovnomerne rozložený na povrchu dutej kovovej guľôčky polomeru 2,5 cm. Nájdite elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa v strede guľôčky, na jej povrchu a vo vzdialenosti 5 cm od stredu guľôčky.

1.47 Vypočítajte priebeh intenzity E(r) elektrostatického poľa medzi dvomi súosovými valcami s polomermi R1, R2, keď vnútorný valec je nabitý na elektrický potenciál V a vonkajší je uzemnený!

1.48 Elektrický filter odpadových plynov pozostáva z trubice s polomerom Rk = 0,5 m, ktorá predstavuje katódu a z drôtu s polomerom Ra = 1 mm, tvoriaceho anódu, ktorý je umiestnený v osi trubice. Vypočítajte, aké musí byť napätie medzi elektródami, aby v blízkosti anódy dochádzalo k ionizácii plynu! Intenzita elektrického poľa, potrebná na zionizovanie plynu je Em = 32 kVcm–1.

1.49 Vypočítajte tok intenzity elektrostatického poľa každou zo stien kocky, keď bodový elektrický náboj Q = 1 C je umiestnený v jednom vrchole kocky.

1.50 *Vypočítajte tok intenzity elektrostatického poľa cez plášť valca, ak sa v strede valca nachádza bodový elektrický náboj Q = 210–5 C. Rozmery valca sú R = 20 cm, h = 60 cm.

1.51 Vypočítajte elektrickú kapacitu guľového kondenzátora, ktorý je tvorený sústavou dvoch koncentrických dutých vodivých gúľ s polomermi R1, R2. Dokážte, že za podmienky R2 – R1 << R1, bude elektrická kapacita guľového kondenzátora približne rovná elektrickej kapacite doskového kondenzátora a určte príslušné parametre takéhoto doskového kondenzátora!

1.52 Rovinný vzduchový kondenzátor je nabitý na napätie U = 500 V, dosky kondenzátora sú vo vertikálnej polohe, ich vzdialenosť je d = 5 mm. V priestore kondenzátora sa pohybuje kvapka oleja s hmotnosťou m = 2,310–9 g. Vypočítajte elektrický náboj kvapky, ak odklon jej dráhy od vertikálneho smeru je = 8°! Odpor vzduchu zanedbajte! Vypočítajte veľkosť výslednej sily, pôsobiacej na kvapku!

1.53 Nabitá kvapka ortuti sa vznáša v rovinnom vzduchovom kondenzátore, ktorého vzdialenosť dosiek je d = 0,03 m a kondenzátor je nabitý na napätie U1 = 800 V. Kvapka sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od obidvoch dosiek kondenzátora. Ak znížime napätie na kondenzátore o U = 10 V, začne sa kvapka pohybovať. Vypočítajte čas, za ktorý dosiahne spodnú dosku kondenzátora! Odpor vzduchu a vztlakovú silu zanedbajte!

1.54 Dve kovové guľôčky majú rovnaký elektrický náboj Q = Q1 = Q2 = 210–9 C. Ak ich spojíme tenkým vodičom, budú mať obidve rovnaký elektrický potenciál V = V1 = V2 = 200 V. Vypočítajte polomer prvej guľôčky R1, ak elektrická kapacita druhej guľôčky C2 = 10 pF!

1.55 Jedna z guľôčok je nabitá elektrickým nábojom Q1 = 13 nC, druhá elektrickým nábojom Q2 = 18 nC.Guľôčky sme prepojili vodičom. Aké bude konečné rozdelenie elektrických nábojov na guľôčkach, ak ich polomery sú R1 = 8 cm, R2 = 18 cm? Kapacitu spojovacieho vodiča zanedbajte!

1.56 Kondenzátor s elektrickou kapacitou C1 = 1 F je nabitý na napätie U1 = 210 V. Ak k nemu paralelne pripojíme nenabitý kondenzátor s elektrickou kapacitou C2 = 2 F, ako sa rozdelí elektrický náboj na jednotlivých kondenzátoroch, a aké napätie bude na každom z nich?

25

1.57 Vypočítajte elektrickú kapacitu C doskového kondenzátora, ktorého rozmery dosky sú 20 cm x 3 cma vzduchová medzera medzi doskami je 1 mm. Aký je elektrický náboj na doskách kondenzátora, ak ho pripojíme k napätiu 12 V? Aká bude výsledná elektrická kapacita siete (obr.1.33) medzi bodmi A,B, ak platí C1 = C2 = C3 = C ?

1.58 Kondenzátor s premennou elektrickou kapacitou má maximálnu hodnotu elektrickej kapacity Cmax = 350 pF. Koľko dosiek tvaru polkruhu s polomerom R = 5 cm obsahuje kondenzátor, ak vzdialenosť medzi nimi je d = 1 mm?

1.59 Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu batérie kondenzátorov na obr.1.34, ak elektrické kapacity sú: C1 = C3 = C5 = C7 = 4 F, C2 = C4 = C6 = 1 F.

1.60 Vypočítajte energiu kondenzátorovej batérie, ktorú tvoria tri sériovo radené kondenzátory s elektrickými kapacitami C1 = 2 F,C2 = C3 = 4 F, ak napätie na batérii je U = 200 V. Aký elektrický náboj je na každom z kondenzátorov, a aké sú úbytky napätia na jednotlivých kondenzátoroch?

1.61 Vypočítajte energiu elektrického poľa každého z kondenzátorov a celkovú akumulovanú energiu kondenzátorovej batérie, ktorá je vytvorená tromi paralelne radenými kondenzátormi, ak ich elektrické kapacity sú C1 = C2 = C3 = 1200 pF a napätie na batérii je U = 200 V.

1.62 Máme tri nekonečné homogénne nabité a navzájom rovnobežné roviny. Plošné hustoty elektrických nábojov na nich sú: , 2, –3 , kde = 110–5 Cm–2, vzdialenosť medzi doskami je d = 1,5 cm. Aká práca sa vykoná pri prenesení elektrického náboja 1 C zo strednej dosky na pravú?

1.63 Elektrón je urýchľovaný v homogénnom poli, vytvorenom dvomi rovnobežnými rovinami. Vzdialenosť týchto rovín je 1,5 cm a intenzita elektrického poľa je 2104 Vm–1. Na začiatku pohybu sa elektrón nachádzal v blízkosti zápornej dosky v pokoji. Vypočítajte jeho rýchlosť, ktorou vyletí malým otvorom kladne nabitej dosky!

1.64 Elektrón s počiatočnou rýchlosťou v0 = 2,4106 ms–1 sa pohybuje rovnobežne s elektrickým poľom v0 E, ktorého intenzita má veľkosť E = 8,4102 Vm–1. Akú vzdialenosť prejde, kým sa začne pohybovať opačným smerom?

1.65 Jadro atómu hliníka je ostreľované urýchlenými protónmi. Vypočítajte najmenšiu vzdialenosť od jadra hliníka, do ktorej sa dostane protón, pohybujúci sa rýchlosťou v = 5106 ms–1, ak elektrické náboje považujeme za bodové!

1.66 Elektrón v obrazovej elektrónke televízora je urýchľovaný zo stavu pokoja potenciálovým rozdielom 5000 V. Aká je zmena potenciálnej energie elektrónu? Akú rýchlosť nadobudne elektrón v dôsledku tohto urýchlenia?

1.67 Nekonečný valec polomeru R0 = 10 cm je rovnomerne nabitý elektrickým nábojom s plošnou hustotou = 110–12 Cm–2. Valec je zdrojom elektrónov. Vektor rýchlosti vyletujúceho elektrónu je kolmý na povrch valca. Aká musí byť rýchlosť elektrónov, aby sa mohli vzdialiť od osi na vzdialenosť väčšiu ako R1 = 103 m?

1.68 Akú prácu treba vykonať, aby sme dva elektrické náboje Q1 = Q2 = 3 C nachádzajúce sa vo vzájomnej vzdialenosti 60 cm posunuli do vzdialenosti 20 cm?

C1 C3

C6C4C2

C7 C5

Obr.1.34

A BC1

C2

C3Obr.1.33

26

1.69 Elektrostatické pole je vytvorené nekonečne dlhým drôtom, nabitým s dĺžkovou hustotou náboja = 4 Cm–1. Vo vzdialenosti R1 = 5 cm od drôtu sa nachádza bodový elektrický náboj Q = 8 nC.Akú prácu vykoná elektrostatické pole pri vytlačení tohto elektrického náboja v smere intenzity poľa o vzdialenosť R = 10 cm z pôvodného miesta?

1.70 Vypočítajte prácu, ktorú treba vykonať pri priblížení dosiek rovinného kondenzátora zo vzdialenosti d1 = 10 cm na vzdialenosť d2 = 2 cm, keď plocha dosiek kondenzátora je 25 cm2 a kondenzátor bol nabitý na napätie 200 V.

1.71 Päť rovnakých elektrických nábojov veľkostí 2 C je umiestnených na priamke v rovnakých vzájomných vzdialenostiach a = 1 mm. Susedné body sú obsadené vždy elektrickými nábojmi opačnej polarity. Vypočítajte celkovú potenciálnu energiu tejto sústavy nábojov!

1.72 Vypočítajte potenciálnu energiu sústavy rovnakých bodových elektrických nábojov Q = 610–19 C,ktoré sú umiestnené vo vrcholoch pravidelného šesťuholníka so stranami a = 6 nm, ak: a) všetkyelektrické náboje majú rovnakú polaritu, b) susedné vrcholy sú obsadené elektrickými nábojmi opačnej polarity.

1.73 Iónové kryštály si môžeme predstaviť ako priestorové usporiadanie kladných a záporných nábojov. Uvažujme kocku so stranou a ako element kubickej mriežky, kde vo vrcholoch kocky sú umiestnené ióny s elektrickým nábojom – Q a v strede kocky ión s elektrickým nábojom + Q.Vypočítajte potenciálnu energiu tejto kocky!

1.74 Jednomocný kladný ión sa nachádza vo vzdialenosti r = 210–9 m na osi symetrie elektrického dipólu, ktorého veľkosť momentu p = 510–30 Cm. Vypočítajte elektrickú silu, pôsobiacu na jednomocný ión, ak jeho elektrický náboj považujeme za bodový!

1.75 Molekula vody sa chová ako elektrický dipól, ktorého veľkosť elektrického momentu p = 610–30 Cm. Uhol medzi väzbami HOH = 104°. Vypočítajte: a) dĺžku väzby OH, b) elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa dipólu v bode A, ležiacom vo vzdialenosti r = 2 nm na predĺženej osi dipólu!

1.76 Vzdialenosť medzi atómami uhlíka C a kyslíka O vo väzbe C = O je 1,210–10 m, elektrický dipólový moment je 810–30 Cm. Vypočítajte: a) elektrický náboj atómov C, O, b) elektrický potenciál poľa tohto dipólu vo vzdialenosti 910–10 m od kyslíka na predĺženej osi dipólu, c) porovnajte tento potenciál s elektrickým potenciálom poľa, vytvoreného len atómom kyslíka s rovnakým elektrickým nábojom v rovnakej vzdialenosti!

1.77 *Elektrický bodový náboj Q0 = 10 nC sa nachádza v elektrickom poli elektrického dipólu, ktorý má dĺžku ℓ = 4 cm a elektrický dipólový moment p = 310–10 Cm. Vypočítajte prácu síl elektrického poľa pri premiestnení elektrického náboja Q0: a) zo stredu dipólu (bod S) (obr.1.35) pozdĺž jeho osi symetrie do bodu C, b) z bodu A do bodu B, ak kolmá vzdialenosť bodov A, B, C od priamky dipólu je a = 6 cm.

1.78 Dipólový moment molekuly HCℓ je 3,410–30 Cm. Vzdialenosť medzi atómami je 110–10 m. Aký je elektrický náboj každého atómu? Aký maximálny moment sily bude pôsobiť na tento dipól v elektrickom poli s intenzitou 2,5104 Vm–1?

1.79 Dipólový moment molekuly HCℓ je 3,410–30 Cm a nachádza sa v elektrickom poli intenzity 2,5104 Vm–1. Aká práca je potrebná na otočenie jednej molekuly o 45° z rovnovážnej polohy s minimálnou potenciálnou energiou?

Q + Q

B C A

S

a

Obr.1.35

Q0