名称

图 形 概 念 性质与边角关系 判 定

等

腰

三

角

形

A

B C

有两边相等的三角形是等腰三角形。

2. 等边对等角

3. 三线合一

4. 是轴对称图形

2. 等角对等边

1. 两边相等1. 两腰相等

回顾旧知，引入新知

等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。

我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。

想想看，等腰三角形的性质可用于等边三角形吗？

A

B C

等边三角形性质探索 :

A

B C

已知： AB=AC=BC ，求证： ∠ A= B= C= 60°∠ ∠

性质的符号语言表述 ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB=AC=BC ， ∠ A= B= C= 60°∠ ∠

证明 : AB∵ ＝ AC( 已知） ∴∠C ＝∠ B.( 等边对等角） 又∵ AB ＝ BC ( 已知） ∴ ∠C ＝∠ A.( 等边对等角） ∴∠A ＝∠ B ＝∠ C.

∵ ∠A+ B+ C= 180°∠ ∠ ∴ ∠A= B= C=60°∠ ∠

求证： 等边三角形的三个内角都相等且等于 60° 。

2. 等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？指出它的对称轴？• 结论 : 等边三角形是轴对称图形， 有三条对称轴，对称轴是 顶角平分线或底边上的高， 中线所在的直线

B C

A

3. 等边三角形每边上的中线 , 高和所对角的平分线都三线合一吗 ? 为什么 ?

结论 : 等边三角形各边上中线 , 高和所对角的平分线都三线合一 , 它们交于一点 , 这点叫三角形的中心 .

B C

A

等边三角形的性质1. 等边三角形的内角都相等 , 且等于 60 °

2. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 .

3. 等边三角形各边上中线 , 高和所对角的平分线都三线合一 .

例 1 、 在正三角形 ABC 的边 AB 、 AC 上分别取点M 、 N ，使得∠ 1= 2∠ ，连接 BN 、 CM 。（ 1 ）求证： BN=CM ；（ 2 ）求∠ NOC 的度数 .（ 1 ）证明： ∵ △ ABC 是正三角形，

∴AB=BC ， ∠ A= ABC= 60°.∠在△ ABN 和△ BCM 中，

∴ △ABN ≌ BCM△ （ ASA ）∴BN=CM.

1 2

,

,

A MBC

AB BC

（ 2 ）解：由三角形外角性质得 ∠NOC= ∠ 2+ ∠ OBC 又∵ ∠ 1= 2∠ ∴ ∠NOC = ∠ 1+ ∠ OBC = ∠ ABC = 60°.

A

B C

MNO

12

A

D E

B C

例 2. 如图， △ ABC 是等边三角形， DE//BC, 交 AB,AC 于 D,E . 求证 : ADE△ 是等边三角形

证明：∵ △ ABC 是等边三角形

∴ ∠A= B= C∠ ∠

∵ DE//BC

∴ ∠ADE= B, AED= C∠ ∠ ∠

∴ ∠A = ADE= AED∠ ∠

∴ △ADE 是等边三角形

1 、下列推理错误的是（ ）．

A ．因为∠ A= B= C∠ ∠ ，所以△ ABC 是等边三角形

B ．因为 AB=AC ，且∠ B= C∠ ，所以△ ABC 是等边三角形

C ．因为∠ A=60° ，∠ B=60°, 所以△ ABC 是等边三角形

D ．因为 AB=AC ，且∠ B=60° ，所以△ ABC 是等边三角形

2. 在等边三角形 ABC 的边 AB 、 AC 上分别截取 AD ＝ AE ，则 △ ADE （填“是”或“不是”）等边三角形

A

D E

B C

3. 如图，△ ABC 是等边三角形， CD 是∠ ACB 的平分

线，过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 E ，已知△ ABC 的

边长为 a，则 EC 的长是（ ）．

A ． B ．

C ． D ．无法确定

ED

CB

A1

2a

2

3a

3

5a

4. 如图，等边三角形 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，

∠ BDE= CDF=60°,∠ 图中与 BD 相等的线段共

有 条A

B CD

E F

5. 等边三角形 ABC 的一条内角平分线长为 4cm,

则该角所对边上的中线长为 cm,

高线长为 cm

例 3 如图①，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM 、△ CBN 是等边三角形，直线 AN 、 MC 交于点 E ， BM 、 CN 交于点 F.

(1) 求证： AN=BM;

(2) 求证：△ CEF 为等边三角形 ;

N

M

FE

C BA

2 、如图，△ ABC 是等边三角形，∠ B 和∠ C 的平分线相交于 D ， BD 、 CD� 的垂直平分线分别交 BC 于 E 、 F ，求证： BE=CF ．

2

1

E

D

C

A

B F

性质

判定方法

与相关知识的综合

对称性 角 边

边和角 角 边