120 Calculo Matricial de Porticos
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© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 1 I 66 28/04/2005
CALCULO MATRICIAL DE PÓRTICOS
U.D. CALCULO DE ESTRUCTURAS
Ramón Argüelles ÁlvarezJuan José Martínez CallejaFrancisco Arriaga Martitegui
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 2 I 66 28/04/2005
ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA INCLUIDAS LAS REACCIONES
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+++
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧++
E
D
B
A
C
KKKKKK
K
KKK
K
KKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
MP
RPE
RMRPRP
D
MPP
B
MPP
A
MRPRP
C
15
14
9
8
7
6
5
4
3
15,15
15,1414,14
15,1314,1313,13
4,15
6,135,134,13
1,15
3,132,131,13
15,1014,1013,106,105,104,103,102,101,10
15,714,713,76,75,74,73,72,71,7
15,614,613,6
15,514,513,5
15,414,413,4
6,6
6,55,5
6,45,44,43,42,41,4
15,314,313,3
15,214,213,2
15,114,113,1
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3.22,21,2
3,12,11,1
15
14
1313
1212
1111
1010
9
8
7
6
5
4
3
22
11
0000
00
·
·········
·····
·····
············
······
······
············
······
······
········
·······
······
Figura III.A.1 Figura III.A.2. Numeración de grados de libertad
R1 , componente X de la reacción en C. R2 , componente Y de la reacción en C.... ...........................................................R13 , componente X de la reacción en E.P1 , P2 , M3 ,... Cargas aplicadas en las ligaduras
según los grados de libertad indicados en la figura III.A.2.
∆ Y Θ desplazamientos y giros según gradosde libertad indicados en la figura III.A.2.
Ecuación III.A.1
{ } [ ]{ }∆= ·KPEcuación en formato resumido
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 3 I 66 28/04/2005
bal
XXl
YY
T
T
ab
ba
ab
ba
ba
ab
<−
=−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
;cos;sen
1000cossen0sencos
;1000cossen0sencos
αα
αααα
αααα
baTbabab
Taba
baTbabaab
Tabab
bababaababab
bababaababab
TT
pTPpTP
TTPTpPTp
δδ
δδ
·;·
·;·
·;··;·
=∆=∆
==
∆=∆===
Matrices de cambio de ejes: Ecuaciones de cambio de ejes:
Ecuaciones III.A.2.
Figura III.A.3.
Ecuaciones III.A.3.
p y δ fuerzas y desplazamientos en ejes locales
P y ∆ fuerzas y desplazamientosen ejes generales
EJES LOCALES Y GENERALES
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 4 I 66 28/04/2005
Ecuación III.A.4.
Figuras III.A.4.
)15(;
·
··
········
········
····
·
·2
1
,,2,1,
,21
,222221
,111211
2
1
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆
∆
∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
n
KKKK
KKKK
KKKKKKKK
P
P
PP
n
i
nninnn
niiiii
ni
ni
n
i
a) grados de libertad del sistema b) deformada y solicitaciones provo-cadas por el desplazamiento ∆7=1
c) ) deformada y solicitaciones debidos a un giro unidad del grado de libertad 3
ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA ASOCIADA A LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 5 I 66 28/04/2005
{ }
{ }
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ba
ab
abbba
abbaa
ba
ab
kk
kk
p
p
δ
δ····
:······
:···
Ecuación matricial en formato resumido
Ecuación III.A.5.
Ecuación III.A.6.
Figura III.A.5.l
EIlEI
lEI
lEA ·2;·6;·12; 23 ==== µκρε
Figura III.A.6.
Valores de los coeficientes cnc1= c2 = c3= c4= c5= c6 =c7= c8= c9= c10=1
c1= c3 =c8= 1/4; c4 =c9=1/2; c10=3/4; c2=c5= c6= c7=0
c1= c3 =c8= 1/4; c2 =c6=1/2; c5=3/4; c4=c7= c9= c10=0
c1= c2 = c3= c4= c5= c6 =c7= c8= c9= c10=0
a
b
y
x
y
x
y
x
y
xa
b cccccccc
cccccccc
mpp
mpp
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ϑδδ
ϑδδ
µκµκκρκρ
εε
µκµκκρκρ
εε
·······
2··0:··0··0:··0
00:00·······················0:2··0··0:··0
00:00
······
10974
9863
7652
4321
ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES LOCALES
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 6 I 66 28/04/2005
bababaaab
bbaabTabaab
baa
Tabab
Tab
bbaabaabbaaab
baababbaaab
KKP
TkTTkTpT
TkTkp
kkp
∆+∆=
∆+∆=
∆+∆=
+=
··
······
····
·· δδ
baabb
Tba
abbabba
Tbaba
baabT
abababbaa
Tab
baa
TkTKTkTK
TkTKTkTK
····
····
==
==
3) Ecuación matricial reducida en ejes generales
babbababa
bbaabb
Tbaaabba
Tbaba
Tba
bbaabbaabbaba
baabbabbaba
KKP
TkTTkTpT
TkTkp
kkp
∆+∆=
∆+∆=
∆+∆=
+=
··
······
····
·· δδ
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
666564
565554
464544
636261
535251
434241
363534
262524
161514
333231
232221
131211
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
KKKKKKKKK
K
Ecuaciones III.A.8.Ecuación III.A.9.
Ecuación III.A.10.
Extremo a Extremo b
Figura III.A.7.
a
2) Submatrices de rigidez en ejes generales
{ }
{ }
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∆
∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
b
a
abbba
abbaa
ba
ab
KK
KK
P
P····
:······
:···
Ecuaciones III.A.7.
4) Significado físico de los coeficientes de la matriz
b
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN EJES GENERALES DEL SISTEMA
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 7 I 66 28/04/2005
PX , PY y M reacciones en los extremos en ejes generales
∆X , ∆Y y Θ desplazamientos de los nudos de la barra en ejes generales
E, módulo de elasticidadI, momento de inercia de la sección
transversal de la barraA, área de la sección transversal de la
barral, longitud de la barra
sen α = (Ya-Yb)/l ;cos α = (Xa-Xb)/l ; a, nudo de menor numeración de la
barrac1 , c2 , c3...... coeficientes relacionados con los
enlaces de la barra, véase presentación 4/III.
a
b
Y
X
Y
X
Y
X
Y
Xa
b cccsen
sencsencsencsimetríaccsencc
ccsensencccsensencsencsencsencsencsenc
MPPMPP
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Θ∆∆Θ∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+
−−−−−−−+
−−−−−+
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
·
·2··cos··cos····2)···(5,0···cos··cos····2··cos··cos··2)···(5,0·cos·cos···
··2)···(5,0···cos··2)···(5,0···cos
10
92
82
982
82
7665
42
32
322
12
432
32
212
12
µακαραεακαρεαραε
µακακµακαραεαρεακαραεακαρεαραεακαρεαραε
Figura III.A.8.
lEI
lEI
lEI
lEA ·2;·6;·12; 23 ==== µκρε
Ecuación III.A.11.
Ecuación matricial de la barra de sección constante en ejes generales.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 8 I 66 28/04/2005
Ejercicio III.1(1)Para el sistema de barras representado en la figura III.A.9, se pide:
1) Matrices de cambio de ejes.2) Matrices de barras en ejes locales.3) Matrices de rigidez de barras en ejes generales.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
100001010
;100001010
2112 TT
Barra 1-2: cos α = (0-0)/10 = 0 ; sen α= (0-10)/10 = -1
Barra 2-3: cos α = (0-10)/10 = -1; sen α = (10-10)/10 = 0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
100010001
;100010001
3223 TT
1) Matrices de cambio de ejes
Ecuaciones III.A.2. (P. 2/III)
Figura III.A.9.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 9 I 66 28/04/2005
2) Matrices de barras en ejes locales (ejercicio III.1.(1))
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00100000··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100
.:
··:··:
:··:··
:
23332
23322
12221
12211
kk
kk
kk
kk
Barras 1-2 y 2-3
Ecuación III.A.5. (P 4/III)
1...;000.2010
01,0·10·2·2;000.610
01,0·10·6·6
/200.110
01,0·10·12·12;/000.10010
1,0·10
1021
7
2
7
2
3
7
3
7
==========
======
ccckNml
EIkNlEI
mkNlEImkN
lEA
µκ
ρε
Valores auxiliares para las dos barras (se consideran ambas barras como biempotradas) :
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 10 I 66 28/04/2005
3) Matrices de rigidez de barras en ejes generales
[ ] [ ]
[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000.400000.6:000.200000.60000.1000:0000.1000000.60200.1:000.60200.1··············000.200000.6:000.400000.60000.1000:0000.1000000.60200.1:000.60200.1
.:
··:··:
12221
12211
KK
KK
Barra 1-2 sen α=-1; cos α=0 ; sen 2α=0
Barra 2-3 sen α=0; cos α=-1 ; sen 2α=0
[ ] [ ]
[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
−−
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.4000
000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100
:··:··
:
23332
23322
KK
KK
Ecuación III.11. (P. 6/III)
Ecuación III.11. (P. 6/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 11 I 66 28/04/2005
CONDICIONES DE DEFORMACIÓN Y DE EQUILIBRIO DEL SISTEMA DE BARRAS.
1) Condiciones de continuidad de deformaciones en nudos, figuras III.A.10.a y c. En la figura a , en la que todos enlaces de las barras son rígidos se mantiene el ángulo de giro de las deformadas de las barras en los nudos Ay B . En la figura c la articulación del nudo B de la barra rompe la continuidad del giro de dicha barra en B 2) Concordancia de la deformada del sistema con las condiciones de apoyo, nudos C, D y E., figuras III.A.10.a-c 3) Equilibrio de fuerzas en todos los nudos, figura III.A.10.b. En todos los nudos de la estructura debe existir equilibrio entre la resultante de las fuerzas en los extremos de barra, con las cargas aplicadas en los nudos. Obsérvese el equilibrio de fuerzas en los nudos A y B.
Figura III.A.10.a.Continuidad de deformacionesde nudos
Figura III.A.10.c.Equilibrio de fuerzas de nudos
Figura III.A.10.b.perdida de continuidad de los giros en los enlaces articulados.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 12 I 66 28/04/2005
{ } { } { } { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )4(;·..·..··
)3(;·...·.......··
)2(;··....····
)1(;...
mimi
mj
bj
jiicicbibi
mimimii
cii
biicicbibi
mimimiicici
ciibibi
biii
imicibi
KKKKP
KKkKKKP
KKKKKKP
PPPP
∆++∆⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∑++∆+∆=
∆+∆+++++∆+∆=
∆+∆++∆+∆+∆+∆=
+++=
=
=
Ensamblaje de la matriz de rigidez
Figura III.A.11.
Figura III.A.12.
Ec. III.A.12.
Ec. III.A.14.
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }m
mj
bj
jmmimimmm
mimi
mj
bj
jiiiii
mmii
mj
bj
j
mimii
mj
bj
j
KKKKP
KKKKP
KKKKP
KKKKP
∆∑++∆++∆+∆=
∆++∆∑++∆+∆=
∆++∆++∆∑+∆=
∆++∆++∆+∆∑=
=
=
=
=
=
=
=
=
·..·..··
··········································································
·..·..··
··········································································
·..·····
·..·..··
2211
2211
22221212
12121111
Sistema lineal de ecuaciones
Ec.III.A.13.
{ }{ }{ }{ }{ }
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
{ }{ }{ }{ }{ }⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∆∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
5
4
3
2
1
35553
34443
3534533
433
23332
23322
12221
122
11
5
4
3
2
1
·
000000
000000
KKKK
KKKKKKKKKK
KK
PPPPP
Figura III.A.13.
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
Euaciones de equilibrio
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 13 I 66 28/04/2005
Figura III.A.14.
Ecuación subdividida según apoyos
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Θ∆Θ∆∆Θ∆∆Θ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++++++
000000
········
·
:···:···:···:···:···:···
························:················:···:···:···:···:···:···:···:···:···
········15
14
9
8
7
6
5
4
3
13,1312,1311,1310,132,131,1315,134,133,13
13,121,1215,123,12
13,111,1115,113,11
13,101,1015,103,10
13,21,215,23,2
13,112,111,110,12,11,115,14,13,1
13,1512,1511,1510,152,151,1515,1515,33,15
13,141,1415,143,14
13,91,915,93,9
13,81,815,83,8
13,71,715,73,7
13,61,615,63,6
13,51,515,53,5
13,41,415,43,4
13,312,311,310,32,31,315,34,33,3
1313
1212
1111
1010
22
11
15
14
9
8
7
6
5
4
3
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
RPRMRPRPRPRP
MPMPPMPPM
fffl
lfll
Figura III.A.15..Ecuación III.A.16.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Θ∆Θ∆∆Θ∆∆Θ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
15
14
9
8
7
6
5
4
3
15,15
15,1414,14
15,914,99,9
15,814,89,88,8
15,714,79,78,77,7
15,614,69,68,67,66,6
15,514,59,58,57,56,55,5
15,414,49,48,47,46,45,44,4
15,314,39,38,37,36,35,34,33,3
15
14
9
8
7
6
5
4
3
·
KKKSimetríaKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
MPMPPMPPM
ll
Ecuación reducida
Ecuación III.A.15.
MODIFICACIONES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 14 I 66 28/04/2005
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆
∆
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
n
i
nnninnn
iniiiii
ni
ni
ni
n
i
KKKKK
KKKKK
KKKKKKKKKKKKKKK
P
P
PPP
.
.
.
.
......................
..)10(.....................
....
....
....
.
.
.
.3
2
1
321
20321
33333231
22232221
11131211
3
2
1
Ecuación III.A.17.
Figuras III.A.16.
a)
b)
1) Resolución de la ecuación matricial en formato resumido
2) Resolución de la ecuación completa penalizando la matriz de rigidez
{ } [ ]{ }llll KP ∆=Ec. III.A.16.
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RIGIDEZ
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 15 I 66 28/04/2005
Ejercicio III.1 (2)Como continuación del ejemplo III.1.(1), apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:
4) Ensamblaje de la matriz de rigidez general del sistema.5) Ecuación matricial completa. 6) Ecuación matricial completa subdividida según apoyos.7) Ecuación matricial reducida.8) Desplazamientos de los nudos.9) Ecuación matricial penalizada. Fig. III.A.9.
4) Ensamblaje de la matriz de rigidez
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
23332
23322
12221
122
11
::0··········
::··········0::
KK
KKKK
KK
K
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−−−
=
000.40::000.6200.1::00000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:
000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······
:000.200000.6:000.40:0000.1000:0000.100:000.60200.1:000.60200.1
Simetría
K
Ecuación III.A.14 (P. 7/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 16 I 66 28/04/2005
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Θ∆∆
Θ∆∆
Θ∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−−−
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
1
1
··
··
·
000.40::000.6200.1::00000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:
000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······
:000.200000.6:000.40:0000.1000:0000.100:000.60200.1:000.60200.1
71,7042,4242,42
··71,7042,4242,42
··0
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
SimetríaRR
RR
5) Ecuación matricial completa (Ejercicio III.1 (2))
6) Ecuación matricial subdividida según apoyos
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∆=∆=∆=∆
ΘΘ∆∆Θ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
−−−−−
−−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−−−
0000
···
200.1000:000.6000.6200.1000000.10000:000000.100000000.1000:00000.10000000200.1:0000.60200.1000.6····················000.6000:000.40000.20000.600000.600000.6:000.20000.80000.6000.6000.2200.10000.1000:000.6000.6200.101000000.1000200.1:0000.60200.101000.6000000.6:0000.20000.6000.40
42,4242,42
··71,7071,7042,4242,42
0
3
3
1
1
3
2
2
2
1
3
3
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
RR
RR
Ecuación III.A.15. (P. 8/III)
Kll Klf
Kfl Kff
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 17 I 66 28/04/2005
7) Ecuación matricial reducida (Ejercicio III.1 (2)) :
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ΘΘ∆∆Θ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−
3
2
2,
2,
1
·
000.40000.20000.80
000.6000.6200.1010000.60200.1010000.200000.6000.40
71,7071,7042,4242,42
0
y
X
Simetría
Ecuación III.A16. (P. 8/III)
Figura III.A.17. Sistema desplazado
8) Desplazamientos:
∆X (m) ∆Y ( m) Θ (rad.) Nudo 1 0,00 0,00 0,000918 Nudo 2 -0,000371 -0,000477 -0,001725 Nudo 3 0,00 0,00 0,002702
Resolviendo el sistema:
En la figura III.A.17., se representa el sistema desplazado.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 18 I 66 28/04/2005
9) Ecuación matricial completa penalizada (Ejercicio III.1 (2))
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Θ∆∆
Θ∆∆
Θ∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++
−−
−
−+−−−+
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−−−
3
3
3
2
2
2
1
1
1
20
20
20
20
3
3
1
1
··
··
·
000.40::000.610200.1::0010000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:
000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······
:000.200000.6:000.40:0000.1000:010000.100:000.60200.1:000.6010200.1
71,7042,4242,42
··71,7042,4242,42
··0
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
SimetríaRR
RR
Ecuación III.A.17. (P. 9/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 19 I 66 28/04/2005
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
b
Y
X
a
Y
X
y
x
b
y
xa
cccccccc
cccccccc
mppmpp
·1000cossen0sencos
·1000cossen0sencos
·
2··0··0··0··0
0000··02··0··0··0
0000
10974
9863
7652
4321
αααα
αααα
µκµκκρκρ
εεµκµκκρκρ
εε
Ecuación III.A.18.
Figura III.A.18 Figura III.A.19 Figura III.A.20. Diagramas
ε,ρ,κ,µ y coeficientes cnDefinidos en la ecuación III.A.5.
ECUACIÓN DE LA BARRA NO CARGADA EN EJES LOCALES
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 20 I 66 28/04/2005
Ejercicio III.1.(3)Como continuación del ejercicio III.1., del apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:
10) Esfuerzos reacción en los extremos de barras y representación de leyes de esfuerzos de las barras
a) Barra 1-2 (α=270º)
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Θ−=∆−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Θ=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
kNmkN
kN
kNkN
mpp
mpp
Y
X
Y
X
y
x
y
x
87,5229,5
71,47·····00,0
29,571,47
001725,0000477,0000371,0
·100001010
·····000918,0
00,000,0
·100001010
·
000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00100000··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100
.·········2
1
12
21
k112 k12
k21 k221
10) EsfuerzosLas matrices en ejes locales k11
2 ... de la barra han sido calculadas en el ejercicio III.1.(1) y los desplazamientos en ejes en el ejercicio III.1.(1)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 21 I 66 28/04/2005
EJEMPLO III.1.(3) (continuación)
Figura III.A.21 Leyes de esfuerzos
b) Barra 2-3 (α=180º)
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Θ=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Θ−=∆−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
kNmkNkN
kNmkNkN
mpp
mpp
Y
X
Y
X
y
x
y
x
71,7029,513,37·····84,1729,513,37
002702,000,000,0
·100010001
·····001725,0000477,0000371,0
·100010001
·
000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100
.·········3
2
23
32
Ecuación III.A.18. (P. 10/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 23 I 66 28/04/2005
{ } [ ]{ } { }
( )
jisinjisin
MPP
mpp
sensen
MRR
PpTR
i
iY
iX
ij
y
xcj
aj n
n
i
Y
X
iij
cj
aj
Tiji
>=<=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
∑
∑
=
=
=
=
12
.1000cos0cos
·)1(
·
,
,
αααα
Ecuación III.A.19.
Figura III.A.22.
1) Reacción en el ligadura-apoyo i como suma de las reacciones de las barras
(a)
(b)
CÁLCULO DE LAS REACCIONES
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 24 I 66 28/04/2005
Ejercicio III.1 (4-fin):Como continuación del ejercicio III.1., del apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:
11) Determinar las reacciones aplicando la ecuación IIII.A.19.12) Calcular las reacciones aplicando la ecuación matricial subdividida, ecuación
III.A.20.13) Comprobar el equilibrio de los nudos 2 y 3, figura III.A.9.
11)
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−==
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
014,3757,79
71,7042,4242,42
71,7029,513,37
·100010001
·
;0
71,4729,5
029,5
71,47·
100001010
·
33232
3
3
3
3
1212
1
1
1
1
kNkN
kNmkNkN
kNmkNkN
PpTMRR
R
kNkN
kNkN
pTMRR
R
TY
x
TY
x
Ecuación III.A.19. (P. 11/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 25 I 66 28/04/2005
13) Nudo 2 Nudo 3
Σ FX=- 42,42 + 37,13 + 5,29 = 0Σ FY=- 42,42 + 47,71 - 5,29 = 0Σ M=- 70,71 + 17,84 +52,87 = 0
Equilibrio Nudo 2 Equilibrio Nudo 3Σ FX=- 37,13 - 42,42 + 79,57 = 0Σ FY=- 42,42 + 5,29 + 37,14 = 0Σ M=- 70,71 + 70,71 = 0
figura III.A.24
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=Θ−=Θ−=∆−=∆
=Θ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
kNkNkNkN
RRRR
RR
RR
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
14,3757,7971,47
29,5
28,515,3771,47
29,5
002702,0001725,0000477,0000371,0
000918,0
·
000.6000.6200.100000000.100000000.100000000.60200.1000.6
42,4242,42
3
3
1
1
3
2
2
2
1
3
3
1
1
12)
Ecuación III.A.20. (P. 11/ III)
Ejercicio III.1 (4-fin):
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 26 I 66 28/04/2005
MODELOS DE BARRAS PARA LA FORMACIÓN DE RIGIDEZ
•Enlaces de nudos de barras influyen sobre matrices de barras. Y, en consecuencia, en la matriz de rigidez completa de la estructura. •Si el extremo de la barra no se articula al nudo el enlace es rígido, véase la figura a. En ella todos los enlaces representados son rígidos.•Para elegir el modelo de enlace no se tiene en cuenta los apoyos del sistema. Así, los extremos aislados de las barras se consideran como enlaces rígidos con independencia del tipo de apoyo, véanse en la figura a los enlaces C, D y E . •La matriz de rigidez completa de la estructura no depende de los apoyos. Las estructuras representadas en la figura b, todas tienen iguales matrices completas de rigidez.
Figura III.A.25
a) Enlaces rígidos de barras b) Todos estos sistemas tienen la misma matriz completa de rigidez
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 27 I 66 28/04/2005
EL NUDO ARTICULADO
Si un nudo del sistema es una articulación común a todas las barras el coeficiente de la matriz de rigidez asociado al grado de libertad correspondiente al giro de ese nudo es igual a 0. Para el ejemplo de la figura III.A.26.a.,. este coeficiente es el K99. Al ser singular la matriz no puede resolverse el sistema. Para ello se procede de la manera siguiente:Todas las barras menos una, deben considerarse articuladas en el nudo. En la figura III.A.26.. la barra B-E, aunque articulada, se considera enlazada rígidamente.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆
∆
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
n
i
nnninnn
iniiiii
ni
ni
ni
n
i
KKKKK
KKKKK
KKKKKKKKKKKKKKK
P
P
PPP
.
.
.
.
......................
..)0(.....................
....
....
....
.
.
.
.3
2
1
321
321
33333231
22232221
11131211
3
2
1
Figura III.A.26. Nudo articulado
Ecuación III.A.22
Ecuación matricial de un sistema con un nudo articulado
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 28 I 66 28/04/2005
EJEMPLOS DE SELECCIÓN DE MATRICES BARRAS (1)
Figura III.A.27. Modelos de barras de estructuras reales
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 29 I 66 28/04/2005
SELECCIÓN DE MODELOS DE ENLACES DE LAS BARRAS (2)
Figura III.A.28. Modelos de barras de estructuras reales
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 32 I 66 28/04/2005
ETAPAS DEL CÁLCULO MATRICIAL CUANDO HAY CARGAS DE BARRA
Etapa I: Se bloquean los extremos de las barras introduciendo en ellos fuerzas en ejes locales de barra iguales a las reaccionesh En un enlace rígido las reacción es la de un apoyo empotradoh En un enlace articulado la reacción es la de un apoyo articulado
EL CÁLCULO MATRICIAL SOLO RESUELVE LA ETAPA II
Etapa II :Se aplican en los nudos cargas iguales y contrarias a las anteriores referidas a los ejes generales para poder sumarlas con las cragas procedentes de otras barras, también cargadas, concurrentes al mismo nudo; en la figura, por ejemplo el nudo A. La carga PA
E es suma de las carga de nudo PA .
Figura III.B.1. Etapas del cálculo matricial
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 33 I 66 28/04/2005
Figura III.B.2. Barra cargada
Figura III.B.3 Reacciones en ejes locales
Figura III.B.4 Cargas equivalentes en ejes generales
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+
+−−−
−−
=
23
2
23
)·(··cos12·
)2·()(·cos2
·
·sen
dldl
Plq
dldll
PlqldlP
r cab
β
β
β
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−
++−+−
−
=
)·(··cos12·
·cos)2·()·(·cos2
·
sen·
22
2
23
dldl
Plq
Pdldll
PlqldP
r cba
β
ββ
β
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }c
baT
baE
ba
cab
Tab
Eab
rTP
rTP
·
·
−=
−=
Ec.III.B.2.
Ecuaciones III.B.1
Reacciones en ejes locales debidas a la carga puntual P:
{rabc} {rba
c}
CARGAS EQUIVALENTES DE LA BARRA CARGADA
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 34 I 66 28/04/2005
EJEMPLO DE SISTEMA CARGADO
En la Etapa I se calculan las reacciones en ejes locales en la barra 2-3 supuestamente empotrada en los dos extremos ya que en este ejemplo ambos corresponden a enlaces rígidos, figura b.En la Etapa II estas reacciones cambiadas de signo y referidas a los ejes generales se introducen en los nudos. En la figura c, nudos 2 y 3. Esta etapa es la que resuelve el cálculo matricial.Los resultados finales son suma de las dos etapas I y II tanto a efectos de esfuerzos como de deformaciones, figura d.
Figura III.B.5. Ejemplo de determinación de cargas equivalentes
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 35 I 66 28/04/2005
a) b)
Ejercicio III.4.Calcular las cargas equivalentes a las cargas de barra en los nudos del pórtico representado en la figura
Figura III.B.6.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 36 I 66 28/04/2005
1) Reacciones debidas a las cargas de barra (ejercicio III.4.):a) Barra 1-2
{ } { }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−
==
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=−=
67,1612·
202
·0
;
67,1612·
202
·0
2
21
2
12
lq
lqr
lq
lqr cc
b) Barra 2-3
{ } { }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−
==
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=−=
108
·
42
0;
108
·
42
0
3223
lP
Pr
lP
Pr cc
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
100001010
;100001010
2112TT TT
2) Matrices de cambio de ejes locales a generales:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
100010001
;100010001
3223TT TT
b) Barra 2-3 (α=180º)
3) Cargas equivalentes de barra: A partir de las reacciones en ejes locales de barra, resulta:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
67,16020
67,16200
·100001010
;67,16
020
67,16200
·100001010
21
12E
Y
X
E
Y
X
MPP
MPP
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
104
0
1040
·100010001
;104
0
104
0·
100010001
32
23E
Y
X
E
Y
X
MPP
MPP
a) Barra 1-2 b) Barra 2-3
a) Barra 1-2 (α=270º)
Ecuación III.A.2. Pr(2IIII)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 37 I 66 28/04/2005
4) Cargas equivalentes en nudos:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
67,16020
1
E
Y
X
MPP
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
104
0
3
E
Y
X
MPP
Nudo 1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
67,64
20
104
0
67,16020
2
E
Y
X
MPPNudo 2
Nudo 3
4) Representación de resultados:
Figura III.B.7.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 38 I 66 28/04/2005
rxc , componente de la reacción en la dirección x en el extremo a, en ejes locales de la barra aislada ab
.........mc , momento de la reacción en el extremo b en ejes locales de la barra aislada ab
Figura III.B.8. Barra cargada
Ecuación. III.B.4.
Formato desarrollado referido a las cargas de barra y desplazamientos en ejes generales
{ }
{ }
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }⎪⎭⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
cba
cab
ba
ab
abbba
abbaa
ba
ab
r
r
kk
kk
p
p······
:······
:···
δ
δ
Ecuación III.B.3.
Formato resumido referido a los desplazamientos en ejes locales
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Θ∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
bc
cy
cx
a
c
cy
cx
b
Y
X
a
Y
X
y
x
b
y
xa
mrr
mrr
cccccccc
cccccccc
mppmpp
·1000cossen0sencos
·1000cossen0sencos
·
2··0··0··0··0
0000··02··0··0··0
0000
10974
9863
7652
4321
αααα
αααα
µκµκκρκρ
εεµκµκκρκρ
εε
b)a)
ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA CARGADA
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 39 I 66 28/04/2005
LEYES DE ESFUERZOS DE LA BARRA CARGADA
Los resultados finales son suma de las etapas I y II tanto a efectos de esfuerzoscomo de deformaciones, figura III.B.4.
Figura III.B.9. Diagramas de esfuerzos de barras cargadas
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 40 I 66 28/04/2005
Ejercicio III.5. Determinar y representar los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3 perteneciente al sistema representado en la figura III.B.10., cuya geometría de barras es la misma que la del ejercicio III.1.(1), figura III.A.9., apartado III.A.6.
Figura III.B.10. Ejemplo III.5..
1) Cálculo de cargas equivalentesInicialmente se determinan las cargas equivalentes a la carga uniformemente repartida aplicada sobre la barra 2-3 del modo siguiente:• Se calculan las reacciones de la barra 2-3, tabla
II.1.a., en ejes locales como barra biempotrada:{ -42,42, -42,42, 70,71}T en el nudo 2 y { 42,42, 42,42, -70,71}T en el nudo 3, figura III.B.11.
• Se calculan las cargas equivalentes referidas a los ejes generales:
Figura III.B.11.
[ ]{ }
[ ]{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=−=
kNmkNkN
rTP
kNmkNkN
rTP
cTE
cTE
71,7042,4242,42
71,7042,4242,42
·100010001
·
71,7042,4242,42
71,7042,4242,42
·100010001
·
32323
23232
2) Resolución del sistemaTeniendo en cuenta que las cargas equivalentes son las mismas que las del ejercicio III.1, apartado III.A.10.2., los desplazamientos de los nudos en ejes generales han sido ya determinados. Estos desplazamientos están representado en la figura III.B.12.
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 41 I 66 28/04/2005
Figura III.B.13. Leyes de esfuerzos
4) Representación de leyes de esfuerzosCalculadas las reacciones en los extremos de barra se determinan los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3, figura III.B.13., obtenidos tras iniciar el barrido de esfuerzos de barra por el nudo de menor numeración (2).
Figura III.B.12.Desplazamientos
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
+
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Θ=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Θ−=∆−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
00,014,3757,79·····
87,5271,47
29,5
71,7042,4242,42
·······71,7042,4242,42
002702,000,000,0
·100010001
········································001725,0000477,0000371,0
·100010001
·
000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100
.·········3
2
23
32
kNkN
kNmkNkN
mpp
mpp
Y
X
Y
X
y
x
y
x
3) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 2-3:Las matrices k11
2,..k221, han sido calculadas en el ejercicio III.1.(1), apartado III.A.6., y los desplazamientos
en ejes generales en el ejercicio III.1.(2)
Ecuación III.B.4. (P 13/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 42 I 66 28/04/2005
Figura III.B.14.
1) Matrices de cambio de ejes:
Ejercicio III.6.En el sistema de barras de la figura III.B.14., el nudo 2 es un nudo articulado (para el cálculo matricial se sitúa la articulación en el extremo 2 de la barra 1-2), se pide:
1) Determinar las fuerzas equivalentes a las cargas de barra.
2) Ecuación matricial reducida.3) Fuerzas en los extremos de la barra 1-2, en ejes locales, conocidos los desplazamientos en ejes generales del nudo 2: ∆2={1,555·10-4, -4,266·10-4, -1,144·10-2}T, en m y rad. 4) reacciones en el apoyo 1 en ejes generales.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
100010001
;100010001
3223 TT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=10004472,08944,008944,04472,0
;10004472,08944,008944,04472,0
2112 TT
Barra 1-2: cos α = (0-2)/4,472 = -0,4472; sen α= (0-4)/4,472 = -0,8944
Barra 2-3: cos α = (2-7)/5 = -1; sen α = (5-5)/5 = 0
Ecuaciones III.A.2. (P 2/III)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 43 I 66 28/04/2005
2) Cargas equivalentes a la carga sobre la barra 2-3 (ejercicio III.6.):
{ } { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
kNmkNr
kNmkNr cc
2530
0;
2530
0
3223
Figura III.B.15. Reacciones
Reacciones de apoyo de la barra 2-3 en ejes locales de barra, figura III.B.15.
{ }
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
kNmkN
MPP
P
kNmkN
MPP
P
E
Y
XE
E
Y
XE
2530
0
25300
·100010001
;2530
0
25300
·100010001
32
32
23
23
Ecuaciones III.B.2. (P. 12/III)
Cargas equivalentes:
3) Ecuación matricial reducida:
{ }
{ }
{ }
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
{ }
{ }
{ }⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆
∆
∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
2
1
23332
23322
12212
12211
3
2
1
····
·····
::0··········
::··········0::
····
····
KK
KKKK
KK
P
P
Pa) Ecuación matricial completaen formato resumido:
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 44 I 66 28/04/2005
b) Suprimiendo las filas y columnas asociadas a los desplazamientos nulos, resulta : { } [ ] [ ][ ]{ }2
322
1222 · ∆+= KKP
Siendo:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0000400.64150.320150.32170.16
122K [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
160.264806482,259000000.72
322K
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Θ−=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
−
−
−
radm
m
Y
X
22
42
42
10·144,110·266,4
10·555,1·
160.26480648659.64150.320150.32170.88
25300
Ecuación III.A.11. (P. 6/III) c8= 1/4; c9= c10=0 para K22
1
c1= c2= c5=1 para K223
1
222
4
4
1
21
12
00298,0
11,25133,00298,0
11,25
10·1446,110·266,410·555,1
·10004472,08944,008944,04472,0
000
·10004472,08944,008944,04472,0
·
000000056,90040556,90000490.8000490.8004050811.14050056,9004055,90000490.8000490.80
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Θ−=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Θ=∆=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
−
kNkN
kNmkN
kN
mppmpp
Y
X
Y
X
y
x
y
x
4) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 1-2
Ecuación III.A.18. (P. 10/III)
Obteniéndose:
Ejercicio III.6. (continúa)
© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 45 I 66 28/04/2005
Figura III.B.14.
5) Reacción en el apoyo 1 (ejercicio III.6.)
{ } [ ]{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−==
133,047,2220,11
133,00298,0
11,25·
10004472,08944,008944,04472,0
· 12121 pTR T
Ecuación III.A.19. (P. 11/III)
Ejercicio III.6. (continúa)