12 Physique 179191extranet.editis.com/images/300/art/doc/e/e92cb41fc5ee2f... · Nous obtenons les...

Physiqueappliquée

1re STIGénie électrotechnique

Marie-Claude DidierLycée les Iris, Lormont

Jacques LafargueLycée Gustave Eiffel, Bordeaux

Thierry LecourieuxLycée Richelieu, Rueil-Malmaison

Gérard MontastierLycée Dorian, Paris

Sous la direction de Robert Le Goff

AVANT-PROPOS

Destinée aux élèves de 1re STI, Génie électrotechnique, cette nouvelle éditiontient compte des aménagements de programme parus au BO du 20 décembre2001.

Il propose un cours évitant toute inflation, construit autour d’approches expé-rimentales et des savoir-faire que l’élève doit acquérir. La rubrique L’Essentielrésume les connaissances à retenir. Des exercices nombreux, variés, progressifs,présentés dans le cours (applications avec solutions) ou en fin de chapitre (QCM,exercices résolus, exercices avec résultats et exercices à résoudre) permettent àl’élève de contrôler et de consolider ses acquisitions.

Avec ce manuel, l’élève dispose en effet d’un outil pour découvrir et travaillerla physique appliquée à ses trois niveaux :– le niveau des connaissances scientifiques : définitions, lois, théorèmes, ordresde grandeur, unités ;– le niveau des savoir-faire expérimentaux : utilisation des appareils de mesureclassiques, protocoles expérimentaux, méthodes de mesure ;– le niveau des savoir-faire théoriques : utilisation des lois, des théorèmes, desformules, des méthodes de raisonnement et des techniques de calcul.

Les auteurs

Conception et mise en page : Jean-Pierre Delarue

Couverture : Kube

Iconographie : Bernard de Bonis

Crédits

Couverture, © F. Hanoteau, © Leroy Somer (UMV 3301 et moteur)

p. 8, © Catalogue général Didalab,

p. 14, © Catalogue général Métrix,

p. 19, © Radiopsare RS Composants,

p. 30, © P. Grace / Renault,

p. 115, © Bartel / SPL / Cosmos,

© Archives Nathan pour l’ensemble des autres photographies.

3

Lois générales de l’électricité en continu

1. Circuit électrique, intensité, tension .................................................... 5

1. Circuit électrique ........................ 52. Intensité du courant électrique ... 63. Loi des noeuds ............................ 94. Différence de potentiel ou

tension électrique ....................... 105. Loi des mailles ............................ 126. Puissances mises en jeu

dans un circuit ............................ 13

2. Loi d’Ohm pour un dipôle passif ... 191. Qu’appelle-t-on résistor ? ....... 192. Loi d’Ohm pour un résistor

linéaire ............................................ 193. Résistivité et conductivité ...... 224. Associations de résistors

linéaires .......................................... 23

3. Les dipôles actifs ............................... 301. Dipôle actif .................................... 302. Fonctionnement en

générateur ...................................... 313. Fonctionnement en

récepteur ........................................ 364. Transformation de Thévenin ... 385. Transformation de Norton ...... 42

4. Puissance et énergie électrique ... 481. Puissance électrique ................. 482. Énergie électrique ...................... 493. Conservation de l’énergie ....... 514. Rendement d’un

convertisseur ................................ 535. Conséquences de l’effet Joule ... 54

5. Les condensateurs ............................. 591. Comment forme-t-on un

condensateur ? ............................. 592. Propriétés d’un condensateur ... 603. Champ électrique et force

électrostatique ............................. 644. Associations de

condensateurs .............................. 66

Électromagnétisme

6. Le champ magnétique ..................... 731. Qu’appelle-t-on champ

magnétique ? ................................. 73

2. Vecteur champ magnétique .... 753. Action d’un champ magnétique

sur une particule chargée enmouvement ................................... 78

4. Intensité du champ magnétiqueet intensité du courant dans un circuit ....................................... 80

7. Actions électromagnétiques .......... 861. Qu’est-ce qu’une force

électromagnétique ? ................... 86

8. Induction électromagnétique ....... 941. Qu’est-ce que l’induction

électromagnétique ? ................... 942. Qu’appelle-t-on courant

induit ? ............................................ 97

9. Auto-induction ................................... 1021. Force électromotrice d’auto-

induction ....................................... 1022. Quelle relation y a-t-il entre

la tension aux bornes d’unebobine et le courant variable . 104

3. Modèles de dipôles inductifs ... 1064. Énergie électromagnétique

emmagasinée par une bobine ... 1085. Applications de l’auto-

induction ....................................... 109

10. Ferromagnétisme etferrimagnétisme ............................... 1151. Qu’appelle-t-on matériau

magnétique ? ................................. 1152. Vecteur excitation

magnétique H→

.............................. 1163. Relation B(H) dans un

matériau magnétique ................ 1184. Qu’est-ce qu’un circuit

magnétique ? ................................. 121

Régimes variables

11. Grandeurs périodiques ................ 1251. Valeur instantanée ..................... 1252. Grandeur périodique ................ 1263. Fréquence d’une grandeur

périodique ..................................... 1264. Valeur moyenne d’une grandeur

périodique ..................................... 1275. Valeur efficace d’une grandeur

périodique ..................................... 1286. Généralisation .............................. 131

SOMMAIRE

4

12. Régimes transitoires ...................... 1381. Dipôles linéaires passifs .......... 1382. Charge et décharge d’un

condensateur à travers unerésistance ....................................... 139

3. Établissement et annulation d’un courant dans une bobine ... 144

4. Charge et décharge d’uncondensateur dans un circuitinductif ........................................... 147

13. Régimes sinusoïdaux .................... 1531. Qu’est-ce qu’un régime

sinusoïdal ? ................................... 1532. Expression d’une grandeur

sinusoïdale .................................... 1543. Valeur moyenne .......................... 1554. Valeur efficace ............................. 1565. Comment représenter une

grandeur sinusoïdale ? ............. 1566. Déphasage entre deux

grandeurs sinusoïdales de même fréquence ................... 160

14. Dipôles linéaires élémentaires en régime sinusoïdal ..................... 1641. Objectif de l’étude ...................... 1642. Conducteur ohmique ................ 1653. Bobine parfaite ............................ 1684. Condensateur parfait ................ 171

15. Associations de dipôles - Résonance .......................................... 1781. Objectif de l’étude ...................... 1782. Dipôle R, L, C série .................... 1793. Résonance ...................................... 182

16. Puissances en régime sinusoïdal .. 1861. Puissance instantanée .............. 1862. Puissance active .......................... 1873. Puissance apparente ................. 1884. Puissance réactive ...................... 1895. Facteur de puissance ................ 1916. Wattmètres .................................... 192

Fonctions de l’électronique

17. Diodes et transistors ...................... 1961. Qu’est-ce qu’une diode à

jonction ? ........................................ 1962. Diode Zéner et application .... 1993. Transistor bipolaire ................... 201

18. Redressement monophasé .......... 2081. Principe de redressement

d’une tension alternative ........ 2082. Comment effectuer un

redressement double alternance ? ................................... 210

3. Filtrage d’une tension redressée ........................................ 214

19. Transistor, régime continu, régime variable ................................ 2211. Polarisation d’un transistor ... 2212. Modes de fonctionnement ...... 2253. Transistor en régime variable ... 2264. Transistor en commutation ....... 229

20. Amplificateur opérationnel ....... 2361. Amplificateur opérationnel ... 2362. Caractéristiques d’un

amplificateur opérationnel .... 2373. Amplificateur en régime

linéaire ............................................ 240

21. Transmission de signaux nongalvaniques ........................................ 2501. Étude expérimentale ................. 2502. Transmission non galvanique ... 2513. Qu’appelle-t-on longueur

d’onde ? ........................................... 2524. Optocoupleur ou

photocoupleur ............................. 2525. Fibre optique ................................ 254

138

1. dipôles linéaires passifsÀ un instant t, un dipôle soumis à une tension u esttraversé par un courant d’intensité i. Pour les dipôlesélémentaires linéaires et passifs, les grandeurs u eti sont liées entre elles par des relations linéairessimples. Il existe trois dipôles élémentaires linéaireset passifs : conducteur ohmique, bobine parfaite et condensateur. Nous utiliserons pour l’ensemble de ces dipôles la conventionrécepteur (fig. 12.1).

Conducteur ohmique (ou résistor) de résistance R (constante)Quelle que soit la forme de la tension u à laquelle le résistor est soumis, nous avons

à tout instant : (convention récepteur)

Bobine parfaite d’inductance L (constante)Reprenons l’un des résultats du chapitre 10 sur l’auto-induction : la tension uaux bornes d’une bobine parfaite parcourue par un courant d’intensité i variable

u = Ri

RÉGIMESTRANSITOIRES12

Oscillogrammesd’un régime pseudo-oscillatoired’un circuitcomprenanten particulierdes résistances,des condensateurset des bobines.

i

u

Figure 12.1. Dipôle

Dipôle

12. Régimes transitoires

139

dans le temps (mais de valeur maximale ne la saturant pas) est donnée par

l’expression : (convention récepteur)

Condensateur parfait de capacité C (constante)Dans le chapitre 5 sur les condensateurs, nous avons vu que la quantité d’élec-tricité q accumulée à un instant t sur l’une des armatures d’un condensateur, decapacité C et soumis à une tension u, est : q = Cu .Comme, par définition, l’intensité i du courant qui traverse un dipôle est égale

à nous avons : (convention récepteur)

2. charge et décharge d’uncondensateurà travers une résistance

2.1. MontageUn condensateur de capacité C = 0,1 µF est associé en série avec un résistor derésistance R = 10 kΩ. L’ensemble est alimenté par un GBF délivrant une ten-sion u en créneaux non symétriques 0 → E (E = 4 V), de fréquence f = 100 Hz.Nous opérons à partir de deux montages différents (fig. 12.2).

Un oscilloscope permet de visualiser :– la tension d’alimentation u(t) sur la voie 1 ;– la tension uC(t) aux bornes du condensateur sur la voie 2 pour le montage a ;– la tension uR(t) aux bornes de la résistance sur la voie 2 pour le montage b.

2.2. Étude expérimentale de la charged’un condensateurLe « zéro » de la voie 1 est réglé au milieu de l’écran. Celui de la voie 2 est régléen bas de l’écran. Pour les deux voies on a choisi le même calibre vertical : 2 V/division. La vitesse de balayage est 0,5 ms/division.

Voie 1

uC

uRu

R

CR

Voie 2

GBF

Le montage b est obtenu après permutation du condensateur et de la résistance du montage a.

Figure 12.2. Schémas des montages

Voie 1

uC uR

u

C Voie 2

GBF

Montage b)Montage a)

i = Cdudt

dqdt

,

u = Ldidt

Régimes variables

140

2.2.1. ObservationsOn choisit pour origine l’instant correspondant à un passage de la tension u(t)de 0 à 4 V.Nous obtenons les représentations des figures 12.3 a et b.

À partir de l’instant t = 0, le condensateur se charge (la tension à ses bornesaugmente) et un courant circule (présence d’une tension non nulle aux bornesde la résistance). La forme des signaux obtenus à l’oscilloscope montre qu’à une variation dis-continue de la tension d’alimentation correspond, d’une part, une variation conti-nue de la tension uC(t) aux bornes du condensateur et, d’autre part, une varia-tion discontinue de la tension uR(t) aux bornes de la résistance, donc de l’intensitéi(t) du courant. Au bout d’une durée que l’on évalue à 3 ms environ : la tension uC(t) atteintla valeur 4 V et se stabilise à cette valeur, et la tension uR(t) s’annule.

2.2.2. Interprétation

À tout instant : uC(t) + uR(t) = u(t) Après l’instant du passage de la tension d’alimentation de 0 à E (t > 0), nous avons :

1

Juste avant l’application de la tension E (que nous appelons instant 0–), l’in-tensité i(t) (donc uR(t)) et la tension uC(t) aux bornes du condensateur sont nulles.Il en est de même pour l’énergie électrostatique Ws emmagasinée par le conden-

sateur, car elle est égale à

Juste après l’application de la tension E (que nous appelons instant 0+), la ten-sion uC(t) est encore nulle car un condensateur ne peut pas emmagasiner ins-tantanément de l’énergie. À cet instant, en utilisant la loi d’additivité des ten-sions, nous obtenons uR(0+) = E.

Comme i(t) = nous constatons bien que i(t) passe instantanément de 0 à

donc : uC(0+) = 0 et i(0+) = E

R.

ER

,

uR (t)

R,

CuC

2

2.

uC(t) + uR(t) = E

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uR(t)

Figure 12.3 b. Oscillogrammes de uR(t) etu(t) à la charge

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uC(t)

Figure 12.3 a. Oscillogrammes de uC(t) etu(t) à la charge


141

Ensuite, au fur et à mesure que le condensateur se charge, la tension uC(t)croît et tend vers E (suivant une loi dite exponentielle), alors que la tensionuR(t) = E – uC(t), donc le courant i(t) tend vers 0.

Comme uR = Ri et i = C ,

la relation 1 devient : 2

uC(t) est la solution de cette équation. En régime établi (ou permanent), c’est-à-dire pour t → ∞, la tension uC(t) estconstante dans le temps, sa dérivée par rapport au temps est donc nulle.De la relation 2, nous déduisons que uC(∞) = EEn associant ce résultat à la relation 1, nous obtenons : uR(∞) = 0, donc i(∞) = 0.Cela est bien conforme aux oscillogrammes de uC(t) et uR(t) obtenus. À l’instant initial, juste après l’application de la tension E, nous avons uC(0+) = 0. La relation 2, applicable à tout instant,

s’écrit : uC(0+) + RC

Ce qui donne :

est le coefficient directeur de la tan-

gente à l’origine de la courbe représenta-tive de uC(t). Cette tangente coupe la droited’ordonnée E à l’instant t = RC (fig. 12.4). À l’instant t = RC, la tension uC(t) est donc inférieure à E. On montre qu’ellevaut environ 0,63 E. Ce produit est appelé constante de temps τ du circuit :

(1 ms pour notre expérience)

Plus ce produit est grand, plus le coefficient est petit (à E constant) et plus

la tangente à l’origine se rapproche de l’axe des temps : le condensateur metalors plus de temps à se charger. Cette prévision est facilement vérifiable expé-rimentalement en augmentant la valeur de C ou(et) de R du montage initial.

2.3. Étude expérimentale de la décharged’un condensateurL’étude de la décharge est semblable à celle de la charge et nous avons résuméci-après les résultats essentiels. Elle correspond à un passage de la tension u(t)de E à 0 V.

ERC

τ = RC

ERC

duC (0+)

dt=

ERC

duC (0+)

dt= E

Figure 12.4. Exploitation del’oscillogramme uC(t) à la charge

0

E

uC (V)

t (s)t = = RC ττ t = 3

Tangente à l’origine

95 %

63 % E

E

uC(t) + RCduC(t)

= Edt

duC

dt

On a pour habitude de considérer que le condensateur est complètementchargé lorsque la tension à ses bornes est supérieure à 95 % de E. Cettecondition est obtenue pour t > 3 τ (3 ms pour notre expérience).

Régimes variables

142

Avec les mêmes valeurs de E, R et C que précédemment, nous obtenons lescourbes des figures 12.5 a et b.

À tout instant : uC(t) + uR(t) = u(t) = 0 3

Comme uR = Ri et i = C la relation 3

devient : 4

La figure 12.6 résume une exploitation del’oscillogramme de uR(t) telle que nous l’avons menée pour la charge du condensateur.

2.4. Charge et décharged’un condensateur à courant constant

2.4.1. MontageNous nous plaçons dans le cas d’un con-densateur parfait de capacité C = 10 nFinitialement chargé ; la tension à sesbornes uC = U0 = 3 V.À un instant choisi pour origine, il estalimenté par un générateur de courantdélivrant une impulsion rectangulaire decourant (fig. 12.7) d’amplitude I = 5 µA pendant une durée θ = 5 ms.

U0uC

i

C

K

Figure 12.7. Charge et décharged’un condensateur à courantconstant

uC(t) + RCduC(t)

= 0dt

duC

dt,

Figure 12.6. Exploitation de l’oscillogramme uC(t) à la décharge

0

E

uC(V)

t (s)t = 3


5 % E

E37 %

t = = RCτ τ

0 V

0 V0 V

4 V

u(t)

uR(t)

Figure 12.5 b. Oscillogrammes de uR(t) etu(t) à la décharge

–4 V

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uC(t)

Figure 12.5 a. Oscillogrammes de uC(t) etu(t) à la décharge

Plus la constante de temps τ est grande, plus le condensateur met detemps à se décharger. On a pour habitude de considérer que lecondensateur est complètement déchargé lorsque la tension à ses bornesest inférieure à 5 % de E. Cette condition est obtenue pour t > 3 τ.


143

Un oscilloscope branché aux bornes du condensateur a donné l’oscillogrammede uC(t). Suivant le sens de branchement du générateur de courant, on obtientl’oscillogramme de la figure 12.8 ou celui de la figure 12.9.

2.4.2. ObservationsPendant la durée de l’impulsion de courant, la tension uC aux bornes du conden-sateur évolue linéairement dans le temps :– elle croît dans le premier cas : le condensateur se charge ;– elle décroît dans le second cas : le condensateur se décharge.


À tout instant : i(t) = C , avec i = + I = + 5 µA dans le premier cas, et

i = – I = – 5 µA dans le second cas.

En regroupant les deux cas, on peut donc écrire :

La dérivée de uC(t) étant une constante, uC(t) est donc de la forme :

uC(t) = ± t + K

La constante K se détermine à l’instant t = 0 et nous avons

uC(0) = U0, d’où

Cette relation n’est valable que pour t ∈ [0, θ]. Pour t < 0, uC(t) = U0 = 3 V, et pourt > θ :

uC(t) = t + U0, soit, à t = θ, uC(θ) = 5,5 V dans le premier cas ;

uC(t) = – t + U0, soit, à t = θ, uC(θ) = 0,5 V dans le second cas.

Ces résultats sont conformes avec les mesures que l’on peut faire sur les oscil-logrammes.

IC

IC

uC(t) = ±I

t + U0C

IC

duC (t)

dt= ±

IC

.

duC(t)dt

3 V

0 V 0 V

0,5 V

uC(t)

Figure 12.9. Décharge d’un condensateur à courant constant

3 V

0 V 0 V

5,5 VuC(t)

Figure 12.8. Charge d’un condensateur à courant constant

Régimes variables

144

3. établissement et annulationdu courant dans une bobine

3.1. MontageUne bobine, d’inductance L = 0,1 H et de résistance négligeable, est associéeen série avec une résistance R = 1 kΩ. L’ensemble est alimenté par un GBF délivrant une tension u en créneaux non symétriques 0 → E (E = 4 V), de fré-quence f = 1 000 Hz. Deux montages différents sont utilisés (fig. 12.10).

Un oscilloscope permet de visualiser :– la tension d’alimentation u(t) sur la voie 1 ;– la tension uR(t) aux bornes de la résistance sur la voie 2 pour le montage a ;– la tension uL(t) aux bornes de la bobine sur la voie 2 pour le montage b.

3.2. Étude expérimentalede l’établissement du courantLe « zéro » de la voie 1 est réglée au milieu de l’écran. Celui de la voie 2 est régléen bas de l’écran. Les deux voies ont le même calibre vertical : 2 V/division. Lavitesse de balayage est 0,05 ms/div.

3.2.1. ObservationsOn choisit pour origine l’instant correspondant à un passage de la tension u(t)de 0 à 4 V. Nous obtenons les représentations des figures 12.11 a et b.

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uL(t)

Figure 12.11 b. Oscillogrammes de uL(t) etu(t) à l’établissement du courant

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uR(t)

Figure 12.11 a. Oscillogrammes de uR(t) etu(t) à l’établissement du courant

Voie 1

uRR

uLu

L R

L

Voie 2

GBF

Montage a)

Le montage b) est obtenu après permutation de la bobine et de la résistance du montage a).

Figure 12.10. Schémas des montages

Voie 1

uR uLu

Voie 2

GBF

Montage b)


145

À partir de l’instant t = 0, la tension uR aux bornes de la résistance augmente(le courant qui la traverse est de plus en plus intense). La forme des signaux obtenus à l’oscilloscope montre qu’à une variation dis-continue de la tension d’alimentation correspond, d’une part, une variation conti-nue de la tension uR(t) aux bornes de la résistance (donc une continuité de l’in-tensité i(t) du courant) et, d’autre part, une variation discontinue de la tension uL(t)aux bornes de la bobine. Au bout d’une durée que l’on évalue à 0,3 ms environ : la tension uR(t) atteintla valeur 4 V et se stabilise à cette valeur, et la tension uL(t) s’annule.


À tout instant : uL(t) + uR(t) = u(t) Après l’instant du passage de la tension d’alimentation de 0 à E (t > 0), nous

avons : 5

Juste avant l’application de la tension E (t = 0–), l’intensité i(t) (donc uR(t)) etla tension uL(t) aux bornes de la bobine sont nulles. Il en est de même pour l’éner-

gie magnétique Wm emmagasinée par la bobine car elle est égale à

Juste après l’application de la tension E (t = 0+), la tension uR(t) est encore nullecar une bobine ne peut pas emmagasiner instantanément de l’énergie. À cet ins-tant, en utilisant la loi d’additivité des tensions, nous obtenons uL(0+) = E. La ten-sion uL(t) passe instantanément de 0 à E, donc uR(0+) = 0 (soit i(0+) = 0) et uL(0+) = E. Ensuite, au fur et à mesure que la bobine emmagasine de l’énergie, la ten-sion uR(t) croît et tend vers E (suivant une loi dite exponentielle), alors que la ten-sion uL(t) = E – uR(t) tend vers 0.

Comme uR = Ri et uL = L ,

la relation 5 devient : 6

Soit encore : i(t) +

i(t) est donc la solution de cette équation (appelée équation différentielle), dontla résolution sort du cadre du programme. En régime établi (ou permanent), c’est-à-dire pour t → ∞, l’intensité i(t) estconstante dans le temps, sa dérivée par rapport au temps est donc nulle.

De la relation 6, nous déduisons que : i(∞) =

En associant la relation 5, nous obtenons : uR(∞) = E, donc uL(∞) = 0.Cela est bien conforme aux oscillogrammes de uC(t) et uR(t) obtenus. À l’instant initial, juste après l’application de la tension E, nous avons i(0+) = 0.

La relation 6, applicable à tout instant, s’écrit : i(0+) + L

Rdi (0+)

dt=

ER

.

ER

.

LR

di (t)dt

=ER

Ri (t) + Ldi(t)

= Edt

didt

Li 2

2.

uL(t) + uR(t) = E

Régimes variables

146

Ce qui donne :


gente à l’origine de la courbe représen-tative de i(t).


gente à l’origine de la courbe représenta-tive de uR(t). Cette tangente coupe la droite

d’ordonnée E à l’instant t = (fig. 12.12).

Ce rapport est appelé constante de temps τ du circuit :

(0,1 ms pour notre expérience)

3.3. Étude expérimentale de l’annulationdu courantL’étude de l’annulation est semblable à celle de l’établissement et nous indi-quons ci-après les résultats essentiels. Elle correspond à un passage de la tensionu(t) de E à 0 V.Avec les mêmes valeurs de E, R et L que précédemment, nous obtenons lescourbes des figures 12.13 a et b.

0 V

0 V0 V

4 V

u(t)

uL(t)

Figure 12.13 b. Oscillogrammes de uL(t) etu(t) à l’annulation du courant

–4 V

0 V

0 V

4 V

4 V

u(t)

uR(t)

Figure 12.13 a. Oscillogrammes de uR(t) etu(t) à l’annulation du courant

τ = LR

LR

REL

EL

di (0+)dt

=EL

.

Figure 12.12. Exploitation de l’oscillogramme uR(t) à l’établissementdu courant

0

E

uR(V)

t (s)t = = L/Rτ τt = 3


63 % E

95 % E

Plus la constante de temps τ est grande, plus la durée du régimetransitoire est longue.On a pour habitude de considérer que le régime transitoire esttotalement terminé au bout de t > 3 τ (0,3 ms pour notre expérience).


147

Après l’instant du passage de la tension d’alimentation de 4 V à 0, nous avons :uL(t) + uR(t) = u(t) = 0 7

Comme uR = Ri et uL = L ,

la relation 7 devient :

La figure 12.14 résume une exploitationde l’oscillogramme de uR (t) telle que nous l’avons menée pour l’établissementdu courant.

4. charge et décharge d’uncondensateurdans un circuit inductif

Nous ne présentons que le cas d’un circuit R, L, C série.

MontageUne bobine, d’inductance L = 25 mH et derésistance négligeable, est associée en sérieavec un condensateur de capacité C = 100 nF,une résistance R variable (constituée par desboîtes à décades de valeurs connues × 1000,× 100, × 10), et une résistance r = 1 Ω pourla visualisation de l’intensité du courant.L’ensemble est alimenté par un GBF délivrant une tension u en créneaux nonsymétriques 0 → E (E = 4 V), de fréquence f = 100 Hz (fig. 12.15).

ObservationsNous obtenons les oscillogrammes des figures 12.16 et 12.17 pour la transition cor-respondant au passage de 0 à E de la tension d’alimentation et les oscillogrammesdes figures 12.18 et 12.19 pour la transition correspondant au passage de E à 0.

uC

uRuLu

i

L

r

R

C

GBF

ur ≈ 0

Figure 12.15. Charge d’un conden-sateur à travers un circuit inductif

Voie 2

Voie 1

Ri (t) + Ldi(t)

= 0dt

Figure 12.14. Exploitation de l’oscillogramme uR(t) à l’annulation du courant

0

E

uR (V)

t (s)t = 3τ


5 % E

37 % E

t = = L/Rτ

didt

Plus la constante de temps τ est grande, plus la durée du régimetransitoire est longue.Comme pour l’établissement du courant, on a pour habitude de considérerque le régime transitoire est totalement terminé au bout de t > 3 τ.

Régimes variables

148

Lorsque la résistance R est réglée à 100 Ω par exemple, la tension ur (image del’intensité i du courant traversant le circuit) est pseudopériodique (fig. 12.16 et 12.18).

Figure 12.16. Régime pseudopériodique Figure 12.17. Régime apériodique

Figure 12.18. Régime pseudopériodique Figure 12.19. Régime apériodique

En augmentant la valeur de la résistance R, nous observons une diminutionde la durée du régime oscillatoire (ainsi qu’une diminution rapide de l’ampli-tude des oscillations) et même la disparition de ce régime pour une résistancesupérieure à 1 000 Ω (fig. 12.17 et 12.19).

InterprétationAu cours du régime transitoire, il y a échange d’énergie entre la bobine et lecondensateur. Cet échange s’accompagne d’une dissipation d’énergie par effet Jouledans la résistance qui :– si elle est faible, fait que le système oscille avec amortissement ;– si elle est forte, fait que toute l’énergie se dissipe par effet Joule et il n’y a plusd’échange entre la bobine et le condensateur ; il n’y a plus d’oscillation, le régimeest apériodique.

Remarques On peut donc s’attendre à ce qu’il n’y ait plus d’amortissement en cas de résis-tance du circuit nulle : les oscillations sont alors sinusoïdales. Une résistance nullepour une bobine n’est pas physiquement possible, cependant elle peut être faibleet l’observation précédente peut alors être vérifiée expérimentalement.

La résistance limite à partir de laquelle il n’y a plus d’oscillation s’appelle résis-

tance critique Rc ; on montre qu’elle vaut soit 1000 Ω pour notre expérience.

2LC

,

E

EE

0

0

0

00

0

u(t)

ur(t)

E

0

0


149

L’essentiel

Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance

À la charge uc(t) + RC = E. À la décharge uc(t) + RC = 0.

Constante de temps du circuit : RC : τ = RC.

Charge et décharge d’un condensateur à courant constant

Établissement et annulation du courant dans une bobine

0

E

5% E

37% E

uR (V)


0

EL

95% E

63% E

τt = 3 τt = 3


uR

uLuR

t = = L/Rt = = L/Rτ τt (s)

uR (V)

t (s)

0

Ci

0

U0U0

uC

uC (V)

t (s)

uC (V)

t (s)

duc(t)

dt duc(t)

dt

t = = RC0

E95 % E

63 % E

uC (V) uC (V)

t (s) t (s)t = = RCτ τt = 3 ττ t = 3


0

E

5 % E

37 % E


E uCuRu C

R

0

Équation de charge d’un conden-sateur soumis à un échelon de cou-

rant 0 → I : uC(t) = + t + U0

Équation de décharge d’un conden-sateur soumis à un échelon de cou-

rant I → 0 : uC(t) = – t + U0 I

C

IC

Équation d’établissement du cou-rant dans une bobine soumise à unéchelon de tension 0 → E :

Ri (t) + L

Équation d’annulation du courantdans une bobine soumise à unéchelon de tension E → 0 :

Ri(t) + L di (t)

dt= 0

di (t)dt

= E

Constante de temps du circuit RL : τ = L

R.

Régimes variables

150

Cocher la (les) bonne(s) réponse(s).

1. Un circuit est constitué d’une sourcede tension, d’un condensateur de capa-cité C = 1 µF et d’une résistance R = 220 Ωassociés en série. Quelle est la constantede temps τ de ce circuit ? 220 µs 22 ms 4,5 ms 4,5 ns.

2. Une bobine d’inductance L = 2,2 mHet de résistance r = 3 Ω est associéeen série avec un conducteur ohmiquede résistance R = 47 Ω. Quelle est la constante de temps τ de cette asso-ciation ? 110 s 44 ms 11 ms 44 µs.

3. Un condensateur de capacité C = 10 µFinitialement déchargé est alimenté parune source de courant continu d’intensitéI = 10 µA. Quelle est la tension aux bornesdu condensateur au bout de t = 10 s ? 10 V 1 V 0,1 V 0,01 V.

4. Un condensateur de capacitéC = 470 nF initialement déchargé est ali-menté par une source de tension conti-nue E = 10 V à travers une résistanceR = 680 Ω. Quelle est l’intensité du cou-rant qui le traverse juste au début durégime transitoire ?

14,7 mA 21,3 mA 32,4 mA 71,2 mA.

5. Un circuit R, L série est soumis à unetension continue U = 10 V. Sachant queR = 100 Ω et L = 0,1 H, quelle est l’éner-gie emmagasinée par la bobine ? 0,5 × 10–3 J 10–3 J 5 × 10–3 J 7,5 × 10–3 J.

6. Un condensateur de capacité C = 22 nFinitialement déchargé est alimenté parune source de tension continue E = 5 V àtravers une résistance R = 10 kΩ. Quelleest l’énergie emmagasinée par le conden-sateur à la fin du régime transitoire ? 55 × 10–7 J 2,75 × 10–7 J 1,25 × 10–7 J 0,55 × 10–7 J.

7. La résistance critique d’un circuit R, L, C

série est : Rc = Quelle est la

nature du régime de fonctionnement ducircuit lorsqu’il est soumis à un échelonde tension? On donne R = 1 kΩ ; L = 0,1 Het C = 1 µF. régime critique régime apériodique régime pseudo-périodique régime sinusoïdal.

2

LC

.

8. Le circuit de la figure 12.20 est soumis àune tension u = –E = –4 V. Le régime est per-manent. À un instant pris pour origine, il estsoumis à un échelon de tension –4 V → 4 V.

1° Quelle est l’intensité i du courant quitraverse le circuit avant l’application del’échelon de tension ?2° Quelle est l’intensité i0 du courant quitraverse le circuit immédiatement aprèsl’application de l’échelon de tension ?3° Calculer la constante de temps τ ducircuit.4° Quelle est l’intensité iτ du courant quitraverse le circuit à l’instant t = τ ?5° Quelle est la durée θ du régime tran-sitoire ?

uR

uLu

i L = 0,1 H

R = 100 Ω

Figure 12.20

Contrôle des connaissances

Exercice résolu


151

Solution1° Appliquons la loi des mailles au cir-cuit. Nous obtenons : u = uL + uR = – E.Le régime étant permanent, l’intensité idu courant traversant le circuit est

constante : sa dérivée est nulle. Il en

sera de même pour uL car uL =

d’où uR = Ri = – E, soit i = –

Application numérique : E = 4 V ; R = 100 Ω. Réponse : i = – 40 mA.2° Dans un circuit inductif, il ne peutpas y avoir de discontinuité de courant :i0 = i0– . Donc : i0 = – 40 mA.3° La constante de temps τ du circuit se

calcule à partir du rapport τ =

Application numérique : L = 0,1 H ; R = 100 Ω. Réponse : τ = 1 ms.

4° Entre le début et la fin du régimetransitoire, la tension uR évolue entre– E et + E. La variation de tension estdonc égale à 2 E. En appliquant l’unedes observations du cours, nous pou-vons donc dire qu’entre l’instant t = 0 set l’instant t = τ, la variation de la ten-sion uR sera de 0,63 × 2 E.À l’instant t = τ, nous aurons alors : uR = 0,63 × 2 E – E = 0,26 E ;

donc iτ = 0,26

Application numérique : E = 4 V ; R = 100 Ω. Réponse : i = – 10 mA.

5° La durée θ du régime transitoire estpar définition égale à 3 τ, soit θ = 3 ms.

ER

.

LR

. L

R:

ER

.

Ldidt

,

didt

9. Considérons le circuit de la fi-gure 12.21.

1° L’interrupteur est en position 1. Le cir-cuit est en régime permanent. Quellessont les valeurs de uL, uR1

et us sachantque R1 = R2 ?2° À l’instant t = 0 s, l’interrupteur estplacé en position 2. Quelles sont lesvaleurs de uR1

, de uL (R1 est toujours égalà R2) et de us :

– au début du régime transitoire ?– à la fin du régime transitoire ?3° R1 = 2,2 kΩ, L = 0,1 H. Quelle est ladurée du régime transitoire ?4° Représenter l’évolution de us(t) dudébut à la fin du régime transitoire.

Résultats1° Régime permanent :

i = constante ⇒ uL = = 0 ;

uR1= uR2

= = 5 V ; us = uR1+ uL = 5 V.

2° Début du régime transitoire : uR1

(0+) = uR1(0–) = 5 V ;

uR2(0+) = uR2

(0–) = 5 V ;

uL(0+) = – uR1(0+) – uR2

(0+) = – 10 V ;

us(0+) = uR1

(0+) + uL(0+) = – 5 V.

Fin du régime transitoire :

i = constante ⇒ uL = = 0 V ;

uR1= uR2

= 0 V ; us = 0 V.

L didt

E2

L didt

us

uL

uR1R1

R2

2

1

L

E = 10 V

Figure 12.21

Exercice avec résultats

Régimes variables

152

10. Considérons le circuit de lafigure 12.22.

Lorsque t < 0 s, ue = + 3 V et le régime estpermanent. À l’instant t = 0 s, ue = 0 V.1° Quelles sont les valeurs des tensionsus et uL au début du régime transitoire ?2° Quelles sont les valeurs des tensionsus et uL à la fin du régime transitoire ?3° Représenter les allures de us(t) etde uL(t).

11. À un instant pris pour origine, le cir-cuit de la figure 12.23 est soumis à unéchelon de tension 0 V → 4 V. La diode estsupposée parfaite.

1° Le condensateur est initialementdéchargé. Calculer la constante de temps τc àprendre en compte pour la charge ducondensateur. Quelle est la tension aux bornes ducondensateur à l’instant t = τ ? Quelle est la durée θc du régime tran-sitoire ? Représenter l’allure de la tension uC(t)après avoir tracé la tangente à cette courbeà l’instant t = 0 s.2° Le condensateur est initialementchargé à 4 V. Calculer la constante de temps τd à ladécharge du condensateur. Quelle est la tension aux bornes ducondensateur à l’instant t = τ ? Quelle est la durée θd du régime tran-sitoire ?

Représenter l’allure de la tension uC(t)après avoir tracé la tangente à cette courbeà l’instant t = 0 s.

12. Considérons le circuit de lafigure 12.24.

1° ue = 12 V. Le circuit est en régime permanent. Quelles sont les valeursdes tensions uc, uR1

et us sachant queR1 = 2 R2 ?2° À l’instant t = 0 s, la tension ue prendinstantanément la valeur – 8 V. Quellessont alors les valeurs de uc, uR1

et us :– au début du régime transitoire ?– à la fin du régime transitoire ?3° Représenter l’évolution de us(t) dudébut à la fin du régime transitoire.

13. L’interrupteur K du montage de lafigure 12.25 est dans la position 1. Lerégime est permanent.

1° Quelle est l’intensité i du courant quitraverse le circuit ?2° Quelle est la tension uC aux bornesdu condensateur ?3° À un instant choisi comme origine,l’interrupteur K est placé en position 2.Montrer que l’équation qui régit l’évolu-tion de la tension uC(t), s’écrit :

LC + uC = 0. d2uC

dt 2 + RduC

dt

L

CR

i

uR

uC

uLE

Figure 12.25

1 K

2

us

uc ueuR1

R1R2 C

= 10 V

Figure 12.24

Figure 12.23

uC = 0,1 µF

R2 = 100 Ω

R1 = 100 ΩG

D

L R

uL us

ue

Figure 12.22

Exercices à résoudre

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