12 Formulario Cadogan
-
Upload
hector-fabian-caniza-mendieta -
Category
Documents
-
view
242 -
download
0
description
Transcript of 12 Formulario Cadogan
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
LOGARÍTMO................................................................................................................................................................31. Logaritmo decimal o de base 10.......................................................................................................................32. El número e – base de los logaritmos naturales...............................................................................................33. Logaritmo natural o de base e..........................................................................................................................34. Propiedades de los logaritmos (cualquiera sea la base)...................................................................................3TRIGONOMETRÍA.......................................................................................................................................................35. Principales relaciones trigonométricas.............................................................................................................36. Funciones trigonométricas hiperbólicas...........................................................................................................46.1. F. Trigon. Hiperbólicas Inversas......................................................................................................................5ÁLGEBRA DE VECTORES.........................................................................................................................................57. Módulo y Fase..................................................................................................................................................57.1. Cosenos directores............................................................................................................................................58. Suma – Producto..............................................................................................................................................6GEOMETRÍA ANALÍTICA..........................................................................................................................................79. Puntos en el plano cartesiano...........................................................................................................................710. La línea recta....................................................................................................................................................811. Cónicas.............................................................................................................................................................811.1. Circunferencia..................................................................................................................................................811.2. Parábola............................................................................................................................................................911.3. Elipse................................................................................................................................................................911.4. Hipérbola........................................................................................................................................................1011.5. Excentricidad de las Cónicas..........................................................................................................................1112. Ecuación completa de 2º grado en X e Y.......................................................................................................1112.1. Análisis del discriminante (C).................................................................................................1113. Traslación y Rotación de ejes.........................................................................................................................1114. Coordenadas polares.......................................................................................................................................11CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL................................................................................................................1215. Propiedades de las desigualdades...................................................................................................................12LÍMITES.......................................................................................................................................................................1216. Operaciones indefinidas y definidas en el cálculo.........................................................................................1217. Propiedades de los límites..............................................................................................................................13CÁLCULO DIFERENCIAL........................................................................................................................................1418. Tabla de derivadas..........................................................................................................................................14CÁLCULO INTEGRAL..............................................................................................................................................1819. Propiedades de la integral...............................................................................................................................1820. Integrales inmediatas......................................................................................................................................1821. Integrales de funciones trigonométricas.........................................................................................................1921.1. Fórmulas de recurrencia de Funciones Trigonométricas................................................................................2021.2. Integrales que dan lugar a Funciones Trigonométricas Inversas....................................................................2021.3. Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas........................................................................................2022. Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.................................................................................2122.1. Integrales que dan lugar a F. Trigonom. Hiperbólicas Inversas.....................................................................2122.2. Fórmulas de recurrencia de F. Trigonom. Hiperbólicas.................................................................................2222.3. Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas...................................................................2223. Método de Integración por Partes (MIP)........................................................................................................2224. Método de Integración por Fracciones Simples (MIFS)................................................................................2324.1. Caso I: Factores Lineales Distintos................................................................................................................2324.2. Caso II: Factores Lineales Repetidos.............................................................................................................2324.3. Caso III: Factores Cuadráticos Distintos........................................................................................................2324.4. Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos......................................................................................................2325. Método de Integración por Sustituciones Trigonométricas (MIST)..............................................................2326. Integral definida.............................................................................................................................................2426.1. Volumen de un sólido de revolución:.............................................................................................................25VARIABLE COMPLEJA............................................................................................................................................2627. Álgebra de números complejos......................................................................................................................2627.1. Formas de escribir un número complejo........................................................................................................26
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
27.2. Operaciones con números complejos.............................................................................................................2627.3. Desigualdad triangular....................................................................................................................................2727.4. Desigualdad Triangular generalizada.............................................................................................................2727.5. Relaciones entre complejos............................................................................................................................2727.6. Regiones en el plano complejo (C).................................................................................................................2727.7. Funciones Trigonométricas............................................................................................................................2827.8. Funciones Trigonométricas Inversas..............................................................................................................2827.9. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.......................................................................................................2827.10. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.........................................................................................2927.11. Relaciones entre f. Trigonométricas circulares e hiperbólicas.......................................................................29LÍMITES.......................................................................................................................................................................3028. Propiedades de los límites..............................................................................................................................30CÁLCULO DIFERENCIAL........................................................................................................................................3029. Ecuaciones de Cauchy – Riemman (ECR).....................................................................................................3130. Ecuación de Laplace.......................................................................................................................................3131. Operadores diferenciales................................................................................................................................31CÁLCULO INTEGRAL..............................................................................................................................................3332. Integral compleja de línea..............................................................................................................................3333. Propiedades de la Integral..............................................................................................................................3434. Integral real y compleja de línea....................................................................................................................3535. Teorema de Green el plano............................................................................................................................3536. Forma compleja del T. de Green en el plano.................................................................................................3537. Teorema de Cauchy – Goursat.......................................................................................................................3538. Teorema de Morera........................................................................................................................................3539. Fórmulas integrales de Cauchy......................................................................................................................35
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
LOGARÍTMO.
Logaritmo decimal o de base 10.
1. LogaB = N aN = B a: base del Logaritmo. Si a = 10 (Log decimal o de base 10).
1.1. Log 0 = No Log (Número Negativo) = No .
1.2. Log 1 = 0 100 = 1.
1.3. Log 100 = 2 102 = 100.
1.4. Log 0,1 = – 1 10–1 = 0,1.
El número e – base de los logaritmos naturales.
e = 2,718281828........
Logaritmo natural o de base e.
Log e B = N eN = B e: base del Logaritmo natural o Neperiano
Ln e = 1 Ln 1 = 0 e0 = 1 Ln (Número Negativo) = No .
Propiedades de los logaritmos (cualquiera sea la base).
2. LogaB = N aN = B.
3. Log(A.B) = LogA + LogB.
4. Log (A/B) = LogA – Log B.
5. Log (An) = nLogA.
6. Cambio de base: LogaX = Y aY = X Aplicamos: Ln(aY) = LnX YLn(a) = LnX.
. .
TRIGONOMETRÍA.
Principales relaciones trigonométricas.
7.
8.
9. sen2X + cos2X = 1. . .
10. sec2X – tg2X = 1. cosec2X – cotg2X = 1.
11. sen(A ± B) = senA.cosB ± senB.cosA. Si A = B = X: sen(2X) = 2senXcosX.
12. . Si A = B = X: cos(2X) = cos2X – sen2X.
13. . 14. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
15. 16. .
17. 2senA.cosB = [sen(A + B) + sen(A – B)].
18. 2senA.senB = [cos(A – B) – cos(A + B)].
19. 2cosA.cosB = [cos(A + B) + cos(A – B)].
20. Ley del seno: .
21. Ley del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos
Funciones trigonométricas hiperbólicas.
Son funciones exponenciales, no periódicas, relacionadas con la hipérbola.
22. D{senhX} = R{senhX} = (– ; ).
23. D{coshX} = (– ; ) R{coshX} = [1; ).
24. D{tghX} = (– ; ) R{tghX} = [–1; 1].
25. .
D{ctghX} = (– ; ) R{ctghX}= (– <Y< –1); (+1 < Y < ) [–1; 1].
26. D{sechX} = (– ; ) R{sechX} = [0; 1].
27. D{csechX} = R{csechX} = (– ; ).
28. cosh2X – senh2X = 1.
29. tgh2X + sech2X = 1 ctgh2X – csech2X = 1.
30. senh(A ± B) = senhA.coshB ± senhB.coshA.
31. cosh(A ± B) = coshAcoshB ± senhAcoshB.
32. .
33. .
F. Trigon. Hiperbólicas Inversas.
34.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
35.
36.
37.
38. .
39. .
ÁLGEBRA DE VECTORES.
Módulo y Fase.
40. Vector en 2 dimensiones: .
41. Versores: .
42. Módulo de : .
43. Fase de : .
44. Vector en 3 dimensiones: .
45. Versores: .
46. Módulo de : .
Cosenos directores.
El vector forma ángulos con los ejes coordenados: con OX: ; con OY: ; con OZ: .
47.
48.
48.1. .
Suma – Producto.
49. Suma de vectores: .
50. Resta de vectores: .
51. Producto escalar de vectores: : el resultado es un escalar (un número). Es
conmutativo. : es el ángulo definido entre los dos vectores.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
51.1. Producto escalar de versores: ; ;
.
.
51.2. Producto escalar: .
52. Producto vectorial de vectores: el resultado es otro vector, perpendicular al
plano definido por los dos factores y . No es conmutativo.
: es el ángulo definido entre los dos vectores.
52.1. Producto vectorial de versores: ; ;
.
. .
. .
. .
52.2. Producto vectorial: .
52.3. Cálculo del producto vectorial a través de determinante:
.
GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Puntos en el plano cartesiano.
53. Distancia entre 2 puntos P1(X1; Y1) y P2(X2; Y2):
.
54. Coordenadas del punto que divide a un segmento de recta en una proporción “R”.
Si P está dentro del segmento P1P2: .
Si P está fuera del segmento P1P2: P1P y PP2 tienen diferente sentido
Si P divide al segmento en dos partes iguales R = 1, fórmula del punto medio.
55. Coordenadas del punto medio: .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
56. Coordenadas del baricentro: .
57. Pendiente de la recta definida por P1 y P2: .
58. Angulo entre 2 rectas definidas por sus pendientes: .
59. Dos rectas paralelas: Si: L1 // L2 m1 = m2.
60. Dos rectas perpendiculares: Si: L1 L2 .
61. Área de un polígono de vértices conocidos:
La línea recta.
62. Se conocen dos puntos de la misma: .
63. Ecuación Punto Pendiente de la Recta: (Y – Y1) = m(X – X1).
64. Ecuación General de la Recta: AX + BY + C = 0.
64.1. Si A = 0 Y = K (recta horizontal);
64.2. Si B = 0 X = K (recta vertical);
64.3. Si C = 0 Recta que pasa por el origen de Plano Cartesiano.
65. Ecuación Normal de la Recta: cosX + senY – p = 0.
cos = KA sen = KB – p = KC.
K2(A2 + B2) = 1;
.
Signo{radical} = – Signo{C} Si C 0 Signo{radical} = Signo{B} Si C = 0.
66. Distancia de un punto a una recta: .
d > 0: Si P1(X1; Y1) y el origen (0;0) están a diferentes lados de la recta.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
X1cos + Y1sen – (p + d) = 0 .
d < 0: Si P1(X1; Y1) y el origen (0;0) están del mismo lado de la recta.
X1cos + Y1sen – (p – d) = 0 .
Cónicas.
Definición cónica: excentricidad de la cónica. PF: distancia del punto genérico
al Foco de la cónica. PM: distancia del punto genérico a una recta fija llamada directriz.Circunferencia.
Lugar Geométrico (LG) de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.
67. Circunferencia con centro C(h; k) y radio R: (X – h)2 + (Y – k)2 = R2.
68. Circunferencia con centro en el origen y radio R: X2 + Y2 = R2 .
69. Ecuación General de la Circunferencia: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0.
;
; ; .
Parábola.LG de los puntos cuya distancia a un punto fijo, FOCO, es igual a la distancia a una
recta fija, Recta Directriz (LL’). .
70. Eje de la Parábola sobre X; V (0; 0); Abertura de la Parábola hacia:
70.1. + X: Y2 = + 4aX. F(a; 0); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ X = – a.
70.2. – X: Y2 = – 4aX. F(– a; 0); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ X = + a.
71. Eje de la Parábola // X: Vértice: V (h; k). Abertura hacia:
71.1. + X: (Y – k)2 = + 4a(X – h); F{(h + a); k}; LL’: X = h – a.
71.2. – X: (Y – k)2 = – 4a(X – h); F{(h – a); k}; LL’: X = h + a.
72. Eje de la Parábola sobre Y; V (0; 0); Abertura de la Parábola hacia:
72.1. + Y: X2 = + 4aY. F(0; a); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ Y = – a.
72.2. – Y: X2 = – 4aY. F(0; – a); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ Y = + a.
73. Eje de la Parábola // Y: V (h; k). Abertura hacia:
73.1. + Y: (X – h)2 = + 4a(Y – k) F:{h; (k + a)} LL’: Y = k - a.
73.2. – Y: (X – h)2 = – a(Y – k) F:{h; (k – a)} LL’: Y = k + a.
74. Ec. General: Eje // X: CY2 + DX + EY + F = 0. Eje // Y: AX2 + DX + EY + F = 0.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Elipse.
Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia a dos puntos fijos llamados
FOCOS es constante e igual a 2a.
75. PF + PF' = 2a a2 = c2 + b2. c2 = a2 – b2.
76. Eje Mayor sobre X; Centro: C(0; 0). Focos: F(c; 0) F’(– c ; o)
Vértices sobre el eje mayor: V( a; 0) Vértices sobre el eje menor: v(0; b)
; ; Recta Directriz: LL’: . Distancia Focal:
DF = 2c. Longitud del eje mayor EM = 2a. Longitud del eje menor em = 2b.
77. Eje mayor sobre Y; C(0; 0). F(0; c); V(0; a); v( b; 0). LL': .
78. Eje mayor // X; C(h; k); V [(h a); k]; LL': .
79. Eje mayor // Y; C (h; k); V [h; (k a)]; LL': .
80. Ecuación General de la Elipse: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; sig(A) = sig(C).
81. , si a = b e = 0 Circunferencia.
Hipérbola.
Lugar Geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos llamados
FOCOS es constante e igual a 2a.
82. PF – PF’ = 2a a2 = c2 – b2. c2 = a2 + b2.
83. Eje Transversal sobre X; Centro: C(0; 0). F( c; 0); V( a; 0); v(0; b);
; ; Recta Directriz: LL’: ; Distancia Focal:
DF = 2c. Long. eje transversal = 2a; Long. eje conjugado = 2b. Asíntotas (igualamos a
cero Ec. de la hipérbola y tenemos una diferencia de cuadrados): ;
.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
84. Eje Transversal sobre Y; C(0; 0). F(0; c); V(0; a); v( b; 0);
; Recta Directriz: LL’: . Long. eje transversal = 2a. Lon. eje
conjugado: 2b. Asíntotas (la ec. de la hipérbola igualamos a cero y tenemos una
diferencia de cuadrados): ; .
85. Eje real // X, Centro: C(h; k); V [(h a); k]; LL':
Asíntotas: .
86. Eje real // Y, Centro: C(h; k); V [h; (k a)]; LL': ;
Asíntotas: .
87. Ec. Gral. de la Hipérbola: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; sig(A) = – sig(C).
Excentricidad de las Cónicas.
e = 1 Parábola.
e < 1 Elipse. e = 0 Circunferencia.
e > 1 Hipérbola.
Ecuación completa de 2º grado en X e Y.
AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F = 0.
Cuando B 0 La cónica está rotada con respecto al sistema cartesiano normal.
Análisis del discriminante (C).
Si: < 0 Ec. Elíptica – Lugar Geométrico (LG): Elipse; si estamos ante una cónica
degenerada será: Circunferencia; Punto (Cia. De radio = 0); o Nada (Elipse imaginaria).
Si: = 0 Ec. Parabólica –LG: Parábola; si estamos ante una cónica degenerada será:
Dos Rectas paralelas; o Una recta.
Si: > 0 Ec. Hiperbólica – LG: Hipérbola; cónica degenerada será Dos rectas.
Traslación y Rotación de ejes.
88. Traslación de ejes: X = h + X' Y = k + Y'
89. Rotación de ejes: X = X’cos – Y’sen . Y = X’sen + Y’cos
90. Traslación y Rotación de ejes: X = h + X’cos – Y’sen. Y = k + X’sen + Y’cos
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
91. Angulo que permite anular el término en XY (B).
Coordenadas polares.
92. X = Rcos Y = Rsen .
93. Simetría en coordenadas polares, con respecto al:
93.1. Eje polar: Sustituimos por (– obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica
con respecto al eje polar.
93.2. Eje Y: Sustituimos por ( – ) obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica con
respecto a la perpendicular al eje polar que pasa por el polo (eje Y).
93.3. Polo: Sustituimos R por – R; o por ( + ) obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica con respecto al Polo.
94. Distancia entre dos puntos:
95. Circunferencia con centro en C1(R1; 1) y radio: a: .
96. Cónicas en Coordenadas Polares: e < 1: Elipse. e = 1: Parábola. e > 1 Hipérbola.
97. Recta directriz (LL’) al eje polar: ; (+) a la der. (–) a la izq. Del polo.
98. Recta direc (DD’) // al eje polar: ; (+) encima; (–) debajo. Del eje polar.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Propiedades de las desigualdades.
Si a una desigualdad le sumamos o restamos una cantidad positiva el sentido de la
misma no cambia.
Si a una desigualdad le multiplicamos (o dividimos) una cantidad positiva el sentido de
la misma no cambia.
Si a una desigualdad le multiplicamos (o dividimos) una cantidad negativa el sentido de
la misma se invierte.
99. Desigualdad Triangular:
99.1. .
99.2. .
99.3. .
99.4. .
99.5. Desigualdad Triangular generalizada.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
LÍMITES.
Operaciones indefinidas y definidas en el cálculo.
Indeterminaciones:
(0.) ( – ) (00) (0) 1( )
Operaciones definidas en el Cálculo (A una cantidad cualquiera):
0.A = 0 0 = 0 – = 0
= .A =
A = =
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Propiedades de los límites.
1. Existencia del Límite: si el Límite Lateral Izquierdo = Límite Lateral Derecho:
LLI = y LLD = , .
2. Unicidad del Límite: Si el Límite existe es único. ;
Entonces: L1 = L2.
3. Límite de una constante: .
4. Límite de una función por una constante: .
5. Límite de la Suma (o Diferencia): .
6. Límite del Producto: .
7. Límite del Cociente: .
8. Límite de función potencial: .
9. Límite de función exponencial:
10. Límite de la raíz: es la raíz del límite:
11. Límite del Logaritmo: es el Log del Límite:
.
12. Límite de función trigonométrica: .
.
100. Definición rigurosa de límite: (adoptado) > 0 y pequeño, y > 0 y pequeño tal que: |f(X) – L | < siempre que 0 < | X – a | < .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
CÁLCULO DIFERENCIAL.
101. Definición de derivada de F(X): .
Tabla de derivadas.
Sean las funciones: f(X); g(X); u(X); v(X); K constante.Funciones Algebraicas
FUNCIÓN DERIVADA
K 0
K.f(X) K.f ’(X)
XN NXN – 1
(u ± v) u' ± v'
(u.v)’ u'.v + u.v'
Regla de la Cadena: F[u(X)]
F[g{u(X)}]
F(u + v) F'(u + v).[u' + v']
F(u.v) F'(u.v).[u'.v + u.v']
Ln(u)
(aX) aX Ln a
Loga(X)
Funciones Trigonométricas
FUNCIÓN DERIVADA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
sen(u) cos(u).u’
cos(u) – sen(u).u’
tg(u) sec2(u).u’
ctg(u) – csec2(u).u’
sec(u) sec(u).tg(u).u’
csec(u) – csec(u).ctg(u).u’
Funciones Trigonométricas Inversas
arcsen(u) = – arccos(u)
arctg(u) = – arcctg(u)
arcsec(u)= – arccsec(u)
Funciones Trigonométricas Hiperbólicas
FUNCIÓN DERIVADA
senh(u) cosh(u).u’
cosh(u) senh(u).u’
tgh(u) sech2(u).u’
ctgh(u) – csech2(u).u’
sech(u) – sech(u)tgh(u).u’
csech(u) – csech(u)ctgh(u).u’
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Funciones Trigonométricas Hiperbólicas inversas
argsenh(u)
argcosh(u)
argtgh(u) = argcotgh(u)
argsech(u)
arcgcosech(u)
102. “Una función derivable será siempre continua pero una función continua no siempre
será derivable”.
103. Condiciones de continuidad.
(I) F(a) = .
(II) .
(III) .
104. Teorema de L’Hopital.
Sirve para levantar indeterminaciones del tipo: .
Para levantar la indeterminación se deriva numerador y denominador: .
105. Teorema de continuidad.
“Si f(X) es un polinomio, función racional, función potencial o función trigonométrica,
entonces f(X) es continua en cualquier punto de su intervalo de definición”.
106. Teorema de la continuidad lateral.
“f(X) es continua por la derecha en a si y solo si: ”.
“f(X) es continua por la izquierda en a si y solo si: ”.
107. Teorema de los valores extremos.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
“Si F(X) es continua en un Intervalo cerrado la misma tendrá un valor máximo y un
valor mínimo”. Estos serán valores máximos y mínimos absolutos.
108. Teorema del valor intermedio.
“Si f(X) es continua en un intervalo cerrado [a; b], c pertenece al intervalo: a c b,
entonces f(c) = L, tal que: f(a) L f(b) ”.
109. Teorema de Bolzano (T. de localización de raíces).
“f(X) es continua en el intervalo cerrado a; b siendo f(a) y f(b) de signos opuestos
existe al menos un punto c en a; b, tal que f(c) = 0”. Asegura una raíz dentro del
intervalo y también un número impar de raíces.
Teoremas de Existencia: T. del Valor Intermedio y T. de Bolzano.
110. Teorema de Rolle.
“f(X) es continua y derivable en un I cerrado [a; b], si F(a) = F(b) existirá un punto XC
dentro del intervalo tal que F’(XC) = 0”. Otra forma de enunciar el T. de Rolle:
“Si f(X) cruza el eje X dos veces entonces debe existir un punto entre dos cruces
consecutivos, en el que la tangente sea paralela al eje X F’(XC) = 0”.
111. Teorema del Valor Medio – Teorema de Lagrange.
“Si F(X) es continua y derivable en un intervalo cerrado: I: [a; b], existe un punto c
dentro del intervalo tal que: ”.
Interpretación Geométrica del Teorema del Valor Medio: a < c < b, es un punto del
intervalo donde la tangente a F(X) tiene pendiente igual a la secante que pasa por a y b.
112. Teorema del Valor Medio Generalizado – Teorema de Cauchy.
Sea F(X) y G(X) continuas en el intervalo cerrado I = [a; b], entonces:
Donde c [a; b].
113. Determinación de máximos y mínimos relativos:
113.1. Valores críticos y Puntos críticos: F’(X) = 0 permite calcular (Xc) valor crítico donde
F(X) tendrá un máximo o un mínimo relativo. Punto crítico P{Xc; F(Xc)}.
113.2. Criterio de la 1a derivada: (F creciente) y (F
decreciente). Al pasar X por Xc: si F’ cambia de + a –: F(X) tiene un máximo relativo
(PMR); y si F’ cambia de – a +: F(X) tiene un mínimo relativo (pmr).
113.3. Criterio de la 2a derivada: Si F’’(Xc) < 0 F tiene un máximo (PM).
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Si F’’(Xc) > 0 F tiene un mínimo (pm), Si F’’ = 0 o el criterio no decide, en ese
caso se aplica el criterio de la primera derivada.
114. Punto de inflexión: F’’(X) > 0 curva cóncava hacia arriba. F’’(X) < 0 curva
cóncava hacia abajo. Si F’’ = 0 y F(X) es cóncava hacia arriba a un lado y cóncava
hacia abajo al otro lado de XI (concavidad de F(X) cambia de un lado a otro del punto
donde F’’ = 0) tenemos un punto de inflexión. La curva atraviesa la tangente.
CÁLCULO INTEGRAL.Propiedades de la integral.
115. Primitiva de f(X) .
116. Primer Teorema Fundamental del Cálculo.
117. .
118. .Integrales inmediatas.
119. n –1.
120. . .
121. . .
122. .
123. .
124. .
125. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Integrales de funciones trigonométricas.
126. .
127. .
128. ; .
129. .
130. ; .
131. ; .
132. .
133. .
134. .
135. .
136. .
137. .
Fórmulas de recurrencia de Funciones Trigonométricas.
138. .
139. .
140. .
141. .
142. .
143. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Integrales que dan lugar a Funciones Trigonométricas Inversas.
144. .
145. .
146. .
147. .
Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas.
148. .
149. .
150. .
151. .
152. .
153. .
Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.
154. .
155. .
156. .
157. .
158. .
159. .
160. .
161.
162. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
163. .
Integrales que dan lugar a F. Trigonom. Hiperbólicas Inversas.
164. .
165. .
166. .
167. .
168. .
Fórmulas de recurrencia de F. Trigonom. Hiperbólicas.
169. .
170. .
171. .
172. .
173. .
174. .
Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.
175. .
176. .
177. .
178. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
179. .
180. .
Método de Integración por Partes (MIP).
luego integramos
.
181. LnXdX = XLnX – X + C.
Método de Integración por Fracciones Simples (MIFS).
Método de Reducción a Fracciones Simples (Fracción Racional Impropia).
Caso I: Factores Lineales Distintos.
182. Para cada factor (aX + b) en el denominador corresponde una fracción: .
Caso II: Factores Lineales Repetidos.
183. Para cada factor (aX + b) que aparezca n veces en el denominador corresponde una
suma de fracciones:
Caso III: Factores Cuadráticos Distintos.
184. Para cada factor (aX2 + bX + C) en el denominador corresponde una fracción:
.
Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos.
185. Para cada factor (aX2 + bX + C) que aparezca n veces en el denominador corresponde
una suma de fracciones:
.
Método de Integración por Sustituciones Trigonométricas (MIST).
186. En el integrando aparece un factor de la forma: .
X a
Z
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
187. En el integrando aparece un factor de la forma: .
188. En el integrando aparece un factor de la forma: .
;
Integral definida.
189. 2º Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow).
190. Inversión de los límites de integración:
191. Partición del intervalo de integración:
a < b < c
192. Cálculo del área de una Región:
192.1. Debajo de una curva F(X) desde a hasta b.
192.2. Definida entre dos curvas: F(X) y G(X) desde a hasta b.
Siendo que F(X) > G(X)
a
X
Z
X
a
Z
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
193. Teorema del valor medio del cálculo integral.
194. Tercer Teorema Fundamental del cálculo integral.
a < X < b
G’(X) = f(X)
195. Regla de Leibniz. .
196. Integrales de Riemann: Cálculo de áreas de regiones del plano limitadas por Ecuaciones
Paramétricas a b
a b.
197. Longitud de arco S de la curva C:
197.1. Desde A[a; f(a)] hasta B[b; f(b)].
198. Longitud de arco si la curva está definida por ecuaciones parámetricas: X(); Y():
Volumen de un sólido de revolución:
198.1. Método del disco: Al girar un cuerpo geométrico sobre X, limitado por: f(X), las
ordenadas correspondientes a X = a, X = b y el eje de abcisas, se forma un cuerpo de
revolución cuyo volumen está dado por: .
198.2. Método de la arandela: Al girar una región limitada por dos funciones sobre X, es
como si se formara un cuerpo geométrico limitado por las funciones y las ordenadas
correspondientes a X = a, X = b, se forma un cuerpo de revolución cuyo volumen está
dado por: .
Donde: f(X) : Radio exterior de la arandela;
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
g(X) : Radio interior de la arandela.
VARIABLE COMPLEJA.
Álgebra de números complejos.
199. Unidad imaginaria: .
200. Número complejo: Z = X + iY = Re{Z} + iIm{Z}.
200.1. Módulo de Z: .
200.2. Fase de Z: .
201. Número real puro: Z = (X; 0); Z = X.
202. Número imaginario puro: Z = (0; Y); Z = iY.
203. Fórmula de Euler:
204. Identidad de Euler: .
Formas de escribir un número complejo.
205. Forma Binómica: .
206. Forma de Par ordenado: Z: (X; Y).
207. Forma Trigonométrica: .
208. Forma Exponencial: .
209. Forma polar: cos + isen
209.1. k: = 0; ± 1; ± 2; ± 3 ......
210. Dado Z = X + iY: Número Complejo Conjugado: Z* = X – iY.
211. Dado Z = X + iY: Número Complejo Opuesto: .
Operaciones con números complejos.
212. Adición: .
213. Resta: .
214. Producto: .
214.1. Producto Escalar: Z1. Z2 = Re{Z1*Z2} = (X1 X2 + Y1Y2).
214.2. Producto Vectorial: Z1xZ2 = Im{Z1*Z2}= (X1Y2 – X2Y1).
215. Cociente: . .
216. Potencia: 216.1. Fórmula de De Moivre: (ei)n = (cos + isen)n cos(n) + i sen(n)].
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
217. Radicación: .
k: = 0; ± 1; ± 2; ± (n-1).
Desigualdad triangular.
218. .
219. .
220. .
221. .
Desigualdad Triangular generalizada.
222. Z1 + Z2 +… + Zn Z1+ Z2+ …+Zn.
Relaciones entre complejos.
223. .
224. .
225. .
226. .
Regiones en el plano complejo (C).
227. Circunferencia con centro en el origen y radio R = 1: ; .
228. Región exterior a la Circunferencia Unitaria: .
229. Circunferencia: centro en Z0 y radio R: .
230. Disco Unitario (circulo) Cerrado: .
231. Disco (circulo) Unitario Abierto: .
232. Disco Circular Abierto: Vecindad de Z0
233. Disco CircularCerrado: .
234. Anillo Circular Abierto o Corona Abierta:
235. Ec. de la recta en el plano complejo: .
236. Dado ; : ; .
Funciones Trigonométricas.
237. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
238. ; .
239. ; .
240. . .
241. ; .
Funciones Trigonométricas Inversas.
242. .
243. .
244. .
245. .
246. .
247. .
Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.
248. .
249. .
250. .
251. .
252. .
253. .
254. .
255. .
256. .
Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
257. .
258. .
259. .
260. .
261. .
262. .
Relaciones entre f. Trigonométricas circulares e hiperbólicas.
263. . .
264. . .
265. . .
266. .
267. .
268. .
269. .
269.1. .
269.2. .
269.3. .
LÍMITES.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
Dadas dos funciones F(Z) y G(Z): .
270.
271. .
272. Límite del producto: .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
273. Límite del cociente: .
274. .
275. Límite de la función exponencial: .
276. Límite de la función potencial: .
277. Definición rigurosa de límite: , existe si (adoptado)
tenemos que: con la restricción: y deben ser positivos y pequeños.
CÁLCULO DIFERENCIAL.
278. .
279. (K.F)’ = K.F’.
280. Derivada de la Suma: (F + G – H)’ = F’ + G’ – H’.
281. Derivada del Producto: (F.G)’ = F’G + FG’.
282. Derivada del Cociente: .
283. Regla de la cadena: .
284. Función exponencial: . .
285. Logaritmo natural: F(Z) = Ln(Z). .
Ecuaciones de Cauchy – Riemman (ECR).
286. Coordenadas Cartesianas: .
287. Coordenadas Polares: .
288. . .
.
289. .
Ecuación de Laplace.
290. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
291. Coord. Cartesianas: .
292. Coord. Polares:
Operadores diferenciales.
293. ; .
294. ; .
295. . .
296. .
297. . .
298. .
299. .
300. .
301. . Si se cumplen las ECR.
302. .
303. .
304. .
305. .
306. .
307. Laplaciano .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
308.
309. grad(A + B) = grad(A) + grad(B).
310. grad(A.B) = A.grad(B) + B.grad(A).
311. div(A + B) = div(A) + div(B).
312. rot(A + B) = rot(A) + rot(B).
313. , si F es real, o si Im{F} es armónica.
314. , si F es Imaginario, o si Re{F} es
armónica.
CÁLCULO INTEGRAL.
Integral de funciones especiales.
315. N –1.
316. N = –1.
317. .
318. .
319. .
320. .
321. .
322. .
323. .
324. .
325. ; .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
326. ; ;
.
327. ; ; .
328. .
329. .
330. .
331. .
332. .
333. .
334. .
335. .
336. .
337. .
338. .
339. .
340. .
341. .
342. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Integral compleja de línea.
343. .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Propiedades de la Integral.
344. .
345. .
346. .
347. .
348. .
349. a < b < c
350. |f(Z)| M es una cota superior de F(Z) sobre C y L es la longitud
de la trayectoria C.
Integral real y compleja de línea.
351. .
352. .
Teorema de Green el plano.
353. .
Forma compleja del T. de Green en el plano.
354. .
Teorema de Cauchy – Goursat.
355. . F(Z) analítica en R, simple o múltiplemente conexa, y en la frontera C.
Teorema de Morera.
356. Si F(Z) es continua en R que es simplemente conexa y alrededor de
cada curva simple cerrada C en R Entonces podemos concluir que F(Z) es Analítica en
R.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan
Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero
Fórmulas integrales de Cauchy.
357. .
358. .