12 - Equações Diferenciais Básicas Adimensionais - Teorema Pi de Buckingham

Mecânica dos Fluidos 1

Aula 12

Equações Diferenciais Básicas Adimensionais

Teorema Pi de Buckingham

Determinação dos Grupos Pi

Equações diferenciais básicas adimensionais

• Equações governantes dimensionais (camada limite):

– Conservação da massa

– Conservação da quantidade de movimento linear na direção x:

– Condições de contorno:

Mecânica dos Fluidos 1 1

2

2

1 dpu u uu v

x y dx y

0u v

x y

0 0u x,

0 0v x,

u x V,


• Equações governantes adimensionais (camada limite):

– Conservação da massa

– Conservação da quantidade de movimento linear na direção x:

– Condições de contorno:


2

2

1* * * ** *

* * * *

L

u u dp uu v

x y dx Re y

0u v

x y

* *

* *

0 0u x* *,

0 0v x* *,

1u xL

* *,


• Equações governantes e adimensionais (camada limite):

– Conservação da energia e condições de contorno:

– Conservação da energia (adimensional):

– Condições de contorno (adimensionais):


2

2

T T Tu v

x y y

0S

T x T,

T x T,

2

2

1

L

T T Tu v

x y Re Pr y

* * ** *

* * *

0 0T x* *,

1T x* *,

Análise dimensional

• Como pouquíssimos escoamentos reais podem ser solucionados com exatidão usando-se apenas métodos analíticos, a mecânica dos fluidos tem dependido muito de métodos experimentais.

• A situação do escoamento real é aproximada por meio de um modelo matemático simples o suficiente para fornecer uma solução.

• Medições experimentais são realizadas para verificar a solução analítica.



• Contudo, o trabalho experimental é simultaneamente caro e demorado.

• Em trabalhos experimentais, o objetivo é ter o máximo de informações com o mínimo de experiências.

• A análise dimensional é uma importante ferramenta para a obtenção desse objetivo.



• Quando a realização de testes experimentais em um protótipo de tamanho real é impossível ou muito caro, o único modo viável de resolver o problema é através de modelos em laboratório.

• Natureza da análise dimensional:

– A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos depende de parâmetros geométricos, cinemáticos e dinâmicos, bem como de propriedades do fluido. Por exemplo:


F f D V, , ,


• Análise dimensional do escoamento em torno de uma esfera: – Imagine uma série de experiências para determinar a dependência de

F com relação às outras variáveis.

– Para se obter uma curva F x V para valores fixos de , e D seria necessário 10 testes (mínimos) para a obtenção de 10 valores de V.

– Para explorar o efeito do diâmetro, cada teste seria repetido para esferas de diâmetros diferentes (10 no mínimo).

– Se o procedimento fosse repetido para 10 valores de e de , ou seja, 104 experimentos deveriam ser realizados.


F f D V, , ,


• Análise dimensional do escoamento em torno de uma esfera : – Em vez de fazer todos esses experimentos, pode-se através da análise

dimensional determinar a força de arrasto (relação funcional adimensional) da seguinte forma:

– Neste caso, apenas a razão VD/ deve ser variada.

– Isto pode ser simplesmente conseguido através da variação apenas da velocidade, por exemplo.


F f D V, , ,

12 2

F VDf

V D

Teorema PI de Buckingham

• O emprego do teorema PI de Buckingham permite desenvolver os parâmetros adimensionais de modo simples.

– Dado um problema físico, o parâmetro dependente é uma função de n-1 parâmetros independentes:

– Expressando a equação anterior de forma equivalente:

– Onde g é uma função não especificada diferente de f.

– Por exemplo, para a força de arrasto numa esfera:


1 2 3 nq f q q q, ,...,

1 2 30

ng q q q q, , ,...,

F f D V, , , 0g F D V, , , ,


– Dada uma relação entre n parâmetros da forma:

– Os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais (parâmetros ):

– O número m é usualmente (mas nem sempre) igual ao número mínimo r de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros q1, q2, q3, ..., qn.

– Os n-m parâmetros adimensionais são independentes.

– Um parâmetro não é independente se ele puder ser formado por um produto ou quociente dos outros parâmetros do problema. Neste exemplo os parâmetros são independentes:


1 2 30

ng q q q q, , ,...,

1 20

n mG , ,...,

1 1 2 3

oun m

G

, ,...,

15

2 3

2

3 4

16 2

3

/


• Como determinar os parâmetros ?

1. Liste todos os n parâmetros envolvidos. • Se todos os parâmetros importantes não forem incluídos, o fenômeno

não será completamente representado.

• Se alguns parâmetros não importantes forem adicionados, a análise dimensional mostrará que eles não entram na relação a ser determinada.

2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias): • MLt (massa, comprimento e tempo).

• FLt (força, comprimento e tempo).

3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias.



• Como determinar os parâmetros ? 4. Selecione da lista um número r de parâmetros que, em

conjunto, incluam todas as dimensões primárias. • Esses parâmetros serão todos combinados com cada um dos parâmetros

remanescentes e serão chamados de parâmetros repetentes.

• Nenhum desses parâmetros pode ter dimensões que sejam potências de dimensões de outro parâmetro de repetente.

• E.g. não inclua simultaneamente um comprimento L e um momento de inércia L4 como parâmetro repetente.

5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no item 4 com cada um dos outros parâmetros para formar grupos dimensionais. • Resolva as equações dimensionais para obter os n-m grupos

adimensionais.

6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional.


Teorema PI de Buckingham Exemplo: força de arrasto numa esfera

1. Liste todos os n parâmetros envolvidos.

• n = 5 parâmetros dimensionais.

2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias): M, L e t.

3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias.

• r = 3 dimensões primárias.

4. Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias.

• m = r = 3 parâmetros repetentes.


F D V

2 3

VFD

ML L M ML

t t L Lt

eV D,

Teorema PI de Buckingham Exemplo: força de arrasto numa esfera

4. Obs.: a escolha , V e D como variáveis repetentes leva, em geral, a um conjunto de parâmetros adimensionais que tem se mostrado como os mais adequados para correlacionar uma ampla faixa de dados experimentais.

5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no item 4 com cada um dos outros parâmetros para formar grupos dimensionais.

• n – m = 2.

6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional.


1 2 2

F

V D 2

VD

1 2 2 2

Ff ou f

V D VD


• Exercícios:

– Problema 7.1 (5ª Ed.) ou 7.7 (6ª Ed.) do Fox.




• Trabalho 3.3-A (prazo de entrega: uma semana):

– Obter a forma adimensionalizada das equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento permanente, bidimensional e incompressível (vide seção 7.1 do Fox).

– Determine quais os grupos adimensionais que surgem desta adimensionalização e o significado físico de cada um destes grupos (vide seção 7.5 do Fox).



• Trabalho 3.3-B (prazo de entrega: uma semana):



Referências

• FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introdução à mecânica dos fluidos. 5ª e 6ª ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2006. xiv, 798 p.


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