12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. Diskretni razpredelenia.pdf0! 3 ( 2) 3 1 3...
Transcript of 12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. Diskretni razpredelenia.pdf0! 3 ( 2) 3 1 3...
-
Приложна математика пролетен триместър 2011/2012 уч.год.
гл.ас. Хр. Кулина, катедра "Приложна математика и моделиране" – [email protected]
12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ
Една дискретна случайна величина е напълно определена, ако е известен
нейният закон за разпределение или функцията на разпределение на случайната
величина.
закон за разпределение
kppppk
21
21
,
i - възможни стойности на сл.в.,
)(i
Pi
p , 1 ip .
функция на разпределение
)()( xPxF
, ),( x .
Свойства:
1) 1)(0 xF
за всяко х;
2) )()()( aFbFbaP
.
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
Задача 1. Дискретната сл.в. е зададена със закона на разпределение:
i 2 4 5 6
ip 0,1 0,3 0,2 0,4
а) Намерете функцията на разпределение на сл.в.
6при 1,
65при 0,6,
54при 0,4,
42при 0,1,
2при 0,
)(
x
x
x
x
x
xF
б) Намерете ).2(),52( PP
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
12.1. Биномно разпределена дискретна случайна величина
Случайната величина има биномно разпределение с параметри n и р
( ),( pnB ), ако възможните й стойности са nk ,,1,0 и knkk
nnqpCkPkP )()( , където )1( pq .
npE , npqD .
= {брой на “успехите” – сбъдванията, на дадено събитие A в n независими опита
на Бернули, като във всеки опит вероятността занаспътване на A е pAP )( и
остава неизменна}.
Задача 2. По канал се предава петбитово съобщение. Вероятността за грешка за
всеки бит е една и съща и е равна на 1/3.
a) Намерете вероятността за това първия и третия бит в съобщението да е грешен, а останалите битове – не;
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
.3
2
3
1
3
2.
3
2.
3
1.
3
2.
3
1)(
32
AP
б) Намерете вероятността за това втория и четвъртия бит в съобщението да е
грешен, а останалите битове – не.
.3
2
3
1
3
2.
3
1.
3
2.
3
1.
3
2)(
32
BP
в) Намерете вероятността за това два бита в соъбщението да са грешни.
.3
2
3
1.10
3
2
3
1)2(
3232
2
55
CP
г) Намерете з.р. на сл.в. = {брой сгрешени битове в съобщението}.
i 0 1 2 3 4 5
ip
243
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
Задача 3. Зар се хвърля 10 пъти.
a) Напишете з.р. на сл. в. = {брой паднали се шестици};
n = 10, p = 1/6, )6/1,10(B
kk
k
nCkPkP
10
106
5
6
1)()( , k = 0, 1, …, 10.
б) Намерете вероятността за това поне веднъж да се е паднала шестица;
.838,0162,016
5
6
11)0(1)1(
100
0
1010
CPP
в) Намерете вероятността за това броя на шестиците да е не по-малко от 2 и не
повече от 5.
5
210
)()52(k
kPP 0,513.
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
Задача 4. Отбор по футбол печели с вероятност 3/5 която и да е играна среща. Ако
отборът трябва да изиграе 6 срещи, да се състави законът за разпрезделение на
величината “брой на спечелените срещи”. Каква е вероятността:
а) да спечели повече от половината срещи;
б) да загуби всички срещи;
в) да спечели поне една.
С Mathematica PDF[BinomialDistribution[n,p],k]
Animate[ListPlot[Table[{𝑘,PDF[BinomialDistribution[𝑛,0.3],𝑘]},{𝑘,0,𝑛}],Filling−>Axis
],{𝑛,1,50,1}]
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
12.2. Поасоново разпределена дискретна случайна величина
Казваме, че дискретната случайна величина е разпределена по закона на Поасон с
параметър 0 ( )( Po ), когато приема изброимо много стойности ,,,2,1,0 n
и
ek
pkPk
k!
)( , ,,,1,0 nk
Математическото очакване и дисперсията на величина )( Po са:
DE , .
Случаи на разпределение на Поасон:
1) ),(~ pnB като параметърът е n много голям, а параметърът р – много малък
(редки явления), тогава )( Po като np .
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
2) - брой на настъпващите за даден интервал от време елементарни събития при
прост поток от събития интензивност .
Задача 5. Магазин получава 1000 бутилки минерална вода. Вероятността по пътя
една бутилка да се повреди е 0,003. Да се намери вероятността по време на
транспортирането да се повредят:
а) две бутилки;
б) по-малко от две бутилки;
в) повече от две бутилки;
г) поне от една бутилка;
n = 1 000, p = 0,003, .3 np
)3(Po
а) 224,0!2
3)2( 3
2
2 epP
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
б) 199,0!1
3
!0
3)2( 3
1
3
0
10 eeppP
г) 9502,00498,01!0
31)0(1)1( 3
0
ePP
Задача 6. Средния брой повиквания в диспечерски пункт на такси за една минута е
равно на 4. Намерете разпределението на сл.в. = {брой повиквания за една
минута}. Да се намери вероятността:
а) за една минута да няма повикване;
б) за една минута да има поне едно повикване;
в) за две минути да има 4 повиквания;
г) за две минути да има по-малко от 4 повиквания;
д) за две минути да има повече от 4 повиквания;
)4(Po
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
а) 4
4
0
0
1
!0
4)0(
eepP
б) 4
4 111)0(1)1(e
ePP
в) 0573,0!4
8)4( 8
4
eP
г)
9004,0)4()3()2()1()0((1)4(1)4( PPPPPPP .
С Mathematica PDF[PoissonDistribution[],k]
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
12.3. Числови характеристики на дискретни случайни
величини
Математическо очакване:
2211pp
ip
iE
CECECEC )(;
Дисперсия:
2)(22)( ip
ix
ip
iipE
iD
0DC
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
Задача 7. Намерете E , D и на случайната величина от Задача 1.
8,44,0.62,0.53,0.41,0.2 E .
56,1121
8328,44,0.62,0.53,0.41,0.2)(
2222222 EED .
249,1
D .
Математическо очакване и дисперсия на биномно
разпределена случайна величина
.,,:),( npqnpqDnpEpnB
Математическо очакване и дисперсия на поасоново
разпределена случайна величина
.:)( DEPo
-
гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]
Задача 8. Намерете E , D и на случайните величини на задачи 2. – 6.
Допълнителни задачи:
Зад.1. На всеки 6 изстрела един стрелец улучва целта средно 5 пъти. Да се намери вероятността
при осем изстрела той да улучи целта:
a) точно три пъти; b) между 4 и 6 пъти; c) повече от 6 пъти;
d) напишете закона за разпределение на сл. в. = „брой улучвания при осем опита“ и намерете E , D и .
Зад.2. В магазин за мъжки обувки вероятността за това клиент да търси номер 42 е една и съща
и е равна на 0,25. Намерете вероятността от 10 клиенти в магазина:
a) точно двама да търсят 42 номер; b) петима да търсят 42 номер; c) нито един да не търси 42 номер; d) поне един да търси 42 номер;
e) напишете закона за разпределение на сл. в. = „брой клиенти, носещи номер 42“ и намерете E , D и .