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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA

SALESIANA ÁREA DE CIENCIAS EXACTAS

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA 1 EJERCICIOS ANÁLISIS VECTORIAL

SECCIÓN NOCTURNA

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1. Dados los vectores 𝑴 = −10 𝒂𝑥 + 4 𝒂𝑦 − 8 𝒂𝑧 y 𝑵 = 8 𝒂𝑥 + 7 𝒂𝑦 − 2 𝒂𝑧, calcular:

a) Un vector unitario en la dirección − 𝑴 + 2𝑵

b) La magnitud de 5 𝒂𝑥 + 𝑵 − 3𝑴

c) |𝑴| |2𝑵| (𝑴 + 𝑵)

2. Un campo vectorial está dado por 𝑮 = [24𝑥𝑦 𝒂𝑥 + 12(𝑥2 + 2) 𝒂𝑦 + 18 𝑧2 𝒂𝑧]. Dados dos

puntos P(1, 2, -1) y Q(-2, 1, 3), encontrar:

a) 𝑮 en P

b) Un vector unitario en la dirección de 𝑮 en Q

c) Un vector unitario de Q a P

d) La ecuación de la superficie en la que |𝑮| = 60

3. Los vértices de un triángulo se encuentran en A(-1, 2, 5), B(-4, -2, -3) y C(1, 3, -2). Calcular:

a) El perímetro del triángulo

b) Un vector unitario dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC

4. Dado los puntos M(0.1, -0.2, -0.1), N(-0.2, 0.1, 0.3) y P(0.4, 0, 0.1). Encontrar:

a) El vector 𝑹𝑀𝑁

b) 𝑹𝑀𝑁 . 𝑹𝑀𝑃

c) La proyección escalar de 𝑹𝑀𝑁 sobre 𝑹𝑀𝑃

d) El ángulo entre 𝑹𝑀𝑁 y 𝑹𝑀𝑃

5. a) Expresar con componentes y variables cilíndricas el campo 𝑫 = (𝑥2 + 𝑦2)−1 (𝑥 𝒂𝑥 +𝑦 𝒂𝑦)

b) Evaluar D en el punto donde (𝜌 = 2, ∅ = 0.2𝜋, 𝑧 = 5), expresando el resultado en

coordenadas cilíndricas y cartesianas.

6. Expresar en componentes cilíndricas:

a) El vector desde C(3, 2, -7) hasta D(-1, -4, 2)

b) Un vector unitario en D dirigido hacia C

c) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen

7. Expresar el campo vectorial uniforme 𝑭 = 5 𝒂𝑥 en:

a) Componentes cilíndricas

b) Componentes esféricas

8. Convierta los vectores siguientes a coordenadas esféricas en los puntos dados:

a) 10 𝒂𝑥 en el punto 𝑃(𝑥 = −3, 𝑦 = 2, 𝑧 = 4)

b) 10 𝒂𝑦 en el punto 𝑄(𝜌 = 5, ∅ = 30𝑜 , 𝑧 = 4)

c) 10 𝒂𝑧 en el punto 𝑀(𝑟 = 4, 𝜃 = 110𝑜 , ∅ = −120𝑜)