1. U V O D Posle kratkog pregleda istorijskog razvoja Otpornosti materijala, u Uvodu se definiu neki osnovni pojmovi, neophodni za dalje izlaganje: kruta i vrsta tela, spoljanje i unutranje sile tela, napon, vrste optereenja i deformacije. Najzad, ukratko se utvruje zadatak Otpornosti materijala. 1.1. Osnovni pojmovi U Statici smo govorili o ravnotei apsolutno krutih tela. Pri tom smo zanemarivali deformacije tela, tj. promenu oblika i zapremine pod dejstvom sila. U Otpornosti materijala tela emo napraviti vrstim, tj. deformabilnim. U Otpornosti materijala interesuju nas, pre svega, sile ijem dejstvu je izloen materijal koji ini telo. Sile koje optereuju posmatrani element materijala delimo na spoljanje i unutranje. Spoljanje sile su one koje potiu od drugih tela. One mogu biti povrinske i zapreminske. Povrinske sile se prenose preko povrine tela. One mogu biti koncentrisane, ili kontinualno rasporeene, kao to je pokazano na sl. 1.1a. Zapreminske sile deluju na svaki deli tela, tj. rasporeene su po celoj zapremini tela. Na primer, sila tee elementarne

Sl. 1.1 zapremine V je

G = V

(1.1),

gde je =dG/dV specifina teina. Zapreminske sile mogu biti i inercionog karaktera. Na primer, pri obrtanju osovine OA oko ose 0, zapreminska inercijalna sila na elementu zaprenine dV jedFn = dVx 2in

(1.2),

gde su: -gustina, x- rastojanje ose obrtanja, a -ugaona brzina. Unutranje sile su meumolekularne sile unutar tela. One uvek postoje i zahvaljujui njima telo ima odreeni oblik. Meutim, u Otpornosti materijala polazimo od neutralnog naponskog stanja tela, koje predstavlja stanje kada nema spoljanjih uticaja (sila, temperaturskog polja i slino) na telo. Smatramo, naime, da u sluaju neutralnog stanja nema unutranjih sila. Pri delovanju spoljanjih sila (ostale spoljanje uticaje neemo navoditi) dolazi do promene oblika i zapremine tela i pojave unutranjih sila. Deformisanje traje sve do trenutka izjednaavanja dejstva spoljanjih i unutranjih sila, tj. do uspostavljanja ravnotee sila za svaki element tela. Unutranje sile tee da telo vrate u prvobitno, nedeformisano stanje. Ako su deformacije male, posle prestanka dejstva spoljanjih optereenja doi e do vraanja tela u prvobitni oblik; tada kaemo da je telo deformisano elastino. Posle odreene granice deformisanja u nekom elementu materijala dolazi do trajne, plastine deformacije. Definiimo, u cilju jasnoe u daljem izlaganju, element materijala i elementarnu zapreminu tela. Elementarna zapremina dV je upravo ona ije su dimenzije zanemarljivo male u odnosu na dimenzije tela, ali su daleko vee od mikro duina koje definiu dimenzije molekula, kristala, meuatomska rastojanja i slino. Materijal koji zauzima u okolini posmatrane take tela zapreminu dV je element materijala u toj taki tela. Tela kod kojih je granica elastinih deformacija vea kaemo, u irem smislu, da su elastina (elik, guma, mnogi metali itd.). Krta su tela koja gotovo da nemaju elastinih deformacija (sivi liv, kamen, beton, staklo itd.). Pri prouavanju naponskog stanja i deformacija tela, koristiemo, u okviru ovih izlaganja, izvesne idealizacije u pogledu mehanikih osobina tela. Tako, smatraemo da su tela homogena, tj. da imaju iste mehanike osobine u svim takama. Dalje, smatraemo da su tela izotropna u svim takama, tj. da imaju iste mehanike osobine u svim pravcima.

1.2. Napon Napon u nekoj taki materijala definie se na sledei nain. Posmatrajmo taku A materijala i uoimo elementarnu zapreminu V oko te take (sl. 1.2). Zamislimo da smo izdvojili elemenat zapremine V koji je u ravnotei. Uticaj materijala van zapremine V na posmatrani element materijala moemo, prema Koijevom principu, prikazati povrinskim silama koje se prenose preko povrine A koja obuhvata elementarnu zapreminu V. Ako sada uoimo elementarnu povrsinu A, ija je normala n , onda je ukupna povrinska sila, koja na nju deluje, F . Napon na povrini A je, po definiciji,

[t ]

n sr

=

F A

(1.3).

Sl. 1.2

Sl. 1.3

Ako dalje smanjujemo povrinu A, smanjie se i sila F , a kolinik e teiti vektoru napona u taki, tn : F (1.4). A0 A Kao to se vidi, vektor napona t n ima dimenziju [sila/povrinu], i meri se najee u N/m2 ili Pa, ili kN/cm2. U svakoj taki materijala, moemo, na osnovu gornje definicije, da utvrdimo skup vektora t n koji odgovaraju razliitim pravcima normala n . Vektor t n moemo razloiti na normalni i tangencijalni pravac i tako dobiti normalni napon n i tangencijalni n , pri emu vai relacija:

t n = lim

tn = n + n

(1.5),

kako je ve na sl. 1.2 pokazano. Iz prethodnog izlaganja sledi da je napon ustvari sila po jedinici povrine koja se u posmatranoj taki materijala prenosi preko elementarne povrine odreenog pravca. Svaka povrina ima svoju pozitivnu i negativnu stranu, pa se smatra da je napon t n sila (po jedinici povrine) kojom materijal sa pozitivne strane povrine deluje na materijal sa negativne strane. Na kraju, moe se iz uslova ravnotee elementa materijala prikazanog na sl. 1.3 videti da je napon sa jedne strane povrine jednak negativnom naponu sa druge strane, tj.

t n = t n

(1.6).

Naprezanje materijala, ili optereenje mehanikim silama, u posmatranoj taki definisano je skupom vektora napona t n za sve mogue pravce n . Naponsko stanje tela definisano je vektorskim poljem (skupom vektora t n ) u svim takama tela. Odavde se moe stei utisak da je odreivanje naponskog stanja tela vrlo sloen zadatak. Meutim, kasnije emo videti, da se, uz definisanje vektora napona za utvrene ravni kroz sve take tj. za koordinantne ravni, mogu potpuno utvrditi naponi za sve mogue ravni kroz sve take tela. 1.3. Osnovne vrste optereenja i naponskih stanja Na primeru tapa, najee primenjenom elementu konstrukcija, definisaemo osnovne vrste optereenja i odgovarajuih naponskih stanja. U zavisnosti od poloaja delovanja spoljnih sila prema osi tapa, razlikujemo etiri osnovna vida optereenja: - aksijalno optereenje (sl. 1.4a i b), - optereenje na smicanje (sl. 1.4c), - optereenje na uvijanje (sl. 1.4d) i - optereenje na savijanje (isto - sl. 1.4e i savijanje silama - sl. 1.4f). Poseban sluaj aksijalnog optereenja na pritisak, sl. 1.4g, kada je duina tapa prema poprenom preseku velika, je izvijanje,pri emu se javlja napon na izvijanje. Ovaj oblik naprezanja bie posebno obraen. U skaldu sa izloenom podelom optereenja smatraemo da postoje odgovarajua etiri osnovna naponska stanja, i to: - aksijalno naponsko stanje (sl. 1.4a - zatezanje i sl. 1.4b - pritisak), - napon pri smicanju (sl. 1.4c),

Sl. 1.4- napon pri uvijanju (sl. 1.4d) i - napon pri savijanju (sl. 1.4e i f). U praksi se vrlo esto sreu sluajevi sloenih optereenja, koji predstavljaju istovremeno dejstvo osnovnih, tako da se javlja i sloeno naponsko stanje. 1.4. Deformacija Kao mera deformisanosti tela (u odnosu na neutralno stanje) uvodi se pojam deformacije. Isto kao kod napona, definiemo pojam deformacije u posmatranoj taki materijala. Pri tom se razlikuju dve vrste deformacije: longitudinalna (deformacija promene duine) i smicanja (deformacija promene oblika).

Sl. 1.5

Srednja longitudinalna, ili normalna deformacija (x)sr u pravcu ose x u taki A elementa L, predstavlja relativnu promenu duine linijskog elementa u AB = L ,

( x )sr = d (L )L

(1.7),

to znai da ona predstavlja promenu jedinice duine u pravcu ose x, sl. 1.5a. Logino je, dalje, da e longitudinalna deformacija u samoj taki A u pravcu ose x biti:

x = lim

d (L ) L 0 L

(1.8).

Pri deformisanju se menja relativni poloaj izmeu taaka tela. Promena rastojanja ismeu dve take tela u okolini posmatrane take zavisna je od poloaja take tela i od pravca u kome utvrujemo promenu duine. Pri deformisanju se i pravac linijskog elementa L (sl. 1.5a), menja, ali ako govorimo o linijskoj ili longitudinalnoj deformaciji onda promena pravca nema znaaja. Zato je na sl. 1.5a predpostavljeno da pravac AB ostaje nepromenjen. Dakle, x predstavlja promenu jedinine duine elementa koji je pre deformacije imao pravac ose x. Pri definiciji jednaine (1.7) jasno je da se radi o elementu male duine, jer, ako bi se uzeo element konane duine - on pri deformisanju postaje kriv tako da, u optem sluaju, nema smisla govoriti o longitudinalnoj deformaciji kao karakteristici promene rastojanja izmeu dveju taaka na velikom meusobnom rastojanju.

Sl. 1.6 Ima, meutim, primera deformisanja tela kada se moe definisati i longitudinalna deformacija za konane duine, kao to je sluaj istezanja tapa prikazanog na sl. 1.6, kada je L (1.9). x = L

Moe se aproksimativno smatrati da je deformacija x ovde konstantna du ose tapa. Meutim, na sl. 1.6b ematski je prikazan uraj pomou koga se ostvaruje istezanje, odakle se moe videti (a to se i eksperimentalno moe utvrditi) da promene duina nisu iste na svakom mestu, pa ima smisla, pri tanijem prouavanju, govoriti o raspodeli longitudinalne deformacije du ose tapa. Smicajna deformacija je karakteristika promene oblika tela u posmatranoj taki. Ona se definie kao promena pravog ugla izmeu elemenata koji su pre deformisanja materijala bili meusobno upravni. Tako, ako su linijski elementi pre deformisanja materijala imali pravce osa x i y, (sl. 1.5b), a posle deformisanja pravce x i y, onda je smicajna deformacija u toj taki, a koja se odnosi na ose x i y, veliina xy, definisana kao

xy = +

(1.10).

U posmatranoj taki A moe se definisati smicajna deformacija za bilo koja dva meusobno upravna pravca. Na primer, prema sl. 1.5c imamo da je

uv =

2

(1.11).

Ovako definisane deformacije odnose se samo na sluajeve malih promena duina i oblika tela, kakvi se inae u Otpornosti materijala prouavaju. Razlog da se ovako definiu deformacije lei ne samo u tome to se time utvruje promena zapremine i oblika tela kao celine i pojedinih njegovih delova, ve i u injenici da se mogu uspostaviti direktne zavisnosti izmeu deformacije i napona, kao izraz karakteristika materijala. Pomenute zavisnosti utvruju se eksperimentalno. Moemo rei da znamo stanje deformisanosti tela ako znamo deformacije u svim takama tela, tj. ako znamo polje deformacije.1.5. Zadatak Otpornosti materijala

U Otpornosti materijala izuavaju se prvenstveno problemi dimenzionisanja nosaa. Dimenzionisanje podrazumeva odreivanje takvih dimenzija nosaa tako da on sa dovoljnom sigurnou moe da nosi pri tom dato optereenje. U tom sluaju se tei uvek da materijal bude to bolje iskorien, tj. da se koristi onoliko materijala koliko je upravo neophodno da se zadovolje eljeni kriterijumi sigurnosti. Osim navedenog problema, na osnovu Otpornosti materijala mogu se reavati i obrnuti problemi, to podrazumeva proveravanje napona, deformacija ili stabilnost usvojenih konstrukcija.

U Otpornosti materijala, u najveem broju sluajeva, radi se o statikim optereenjima, pa se s toga ona esto zove "statika deformabilnih vrstih tela". U sluaju optereenja dinamikog karaktera, kao i pri pojavi oscilacija, moraju se posmatrati naponi i deformacije pri dinamikom optereenju, to je daleko sloeniji problem od statikih.1.6. Osnovne predpostavke (hipoteze) Otpornosti materijala

Na kraju Uvoda naveemo neke osnovne pretpostavke (hipoteze) Otpornosti materijala. U stvarnosti, prema optoj teoriji neprekidnih sredina, naponsko stanje i stanje deformacije deformabilnih (vrstih) tela je u direktnoj vezi sa strukturom materijala - rasporedom atoma u kristalnoj reetki. Utvrivanje ponaanja materijala u makrorazmerama, polazei od mikrostrukturnih relacija, je zadatak fizike metala, koji je, inae, vrlo sloen i do danas nije reen tako da bi dao odgovore na sva pitanja interesantna za proraune konstrukcija. Zato se formulisanje matematikih relacija koje dovoljno tano opisuju ponaanje deformabilnog tela, u Otpornosti materijala, zasniva na eksperimentalno utvrenim mehanikim karakteristikama (u makro razmerama). Za jednostavne, praktino iroko primenjene proraune konstrukcija, uvodimo idealizacije u pogledu ponaanja vrstih tela. Naime, najee (a u ovom kratkom kursu uvek) smatramo da je vrsto telo idealno elastino (Hukovo). Ovo znai da postoji idealna linearna zavisnost izmeu napona i deformacije i da se pri uklanjanju napona deformacije potpuno gube. Zatim, smatramo da je materijal koji ini vrsto telo kontinualno rasporeen u delu prostora koga telo zauzima. Naponska stanja tela u sluaju kada se pojavljuju pukotine su posebno sloena i daleko prevazilaze zadatke postavljene u ovom kratkom kursu. U Otpornosti materijala mi emo prouiti problem ravnotee elastinih tela. Pri tom moramo imati u vidu da ravnotea spoljanjih i unutranjih sila tela nastupa tek poto deformacije u svim takama tela dostignu odgovarajue veliine. Smatraemo, kako je ve reeno, da su deformacije male, to upravo znai da emo postavljati uslove ravnotee za telo (ili tela) nepromenjenog oblika. Dakle, uslovi ravnotee ostaju onakvi kakvi bi bili da je telo apsolutno kruto. Ovde, meutim, treba dodati da se uslovi ravnotee mogu postaviti i za svaki element tela, a da, pored statikih uslova ravnotee na raspolaganju stoje i dopunski uslovi. Ti dopunski uslovi predstavljaju veze izmeu napona i deformacija, koje su, kako je reeno, linearnog oblika.

U okviru take 1.3 ve je reeno da emo u Otpornosti materijala smatrati da je materijal izotropan, tj. da ima iste mehanike osobine u svim pravcima, i da je homogen - ima iste mehanike ooobine u svim takama. Najzad, pomenimo jo Sen-Venanov princip ekvivalentnosti optereenja. On se, ukratko, sastoji u sledeem. Telo izloeno mehanikom dejstvu drugih tela optereeno je na odreenim delovima povrine. Raspored napona u materijalu u okolini povrine gde deluju spoljanje sile logino je da zavisi od rasporeda povrinskih sila. Meutim, prema Sen-Venanovom principu, ako se povrinske sile na posmatranom delu povrine zamene statikim ekvivalentnim sistemom, ova zamena ima samo lokalno dejstvo, tj. izaziva promenu napona samo u okolini dejstva sila, dok e naponi u takama na dovoljnom udaljenju (udaljenju velikom u odnosu na dimenzije povrine gde sile deluju) ostati praktino nepromenjeni. Ovaj princip je veoma znaajan i olakava reavanje praktinih problema.

2. GEOMETRIJSKE KARAKTEKISTIKE RAVNIH PRESEKA

Pre nego to preemo na prouavanje pojedinih vrsta problema u Otpornosti materijala izloiemo neke osnovne pojmove u vezi karakteristika ravnih preseka (povrina) - momenata inercije. Kao to e se iz daljih izlaganja videti (u vezi, savijanja, uvijanja greda itd.), naprezanja i deformacije nosaa, prouzrokovane dejstvom sila, zavise od geometrijskih karakteristika preseka. 0ve su upravo izraene povrinama i momentima inercije preseka. Dalje e se, najpre, definisati momenti inercije ravnih preseka, a zatim teoreme o promenama momenata inercije pri promeni koordinantnog sistema. Zatim slede definicije glavnih osa inercije i elipsa inercije. Ukratko se objanjavaju standardni profili i izlae problem odreivanja geometrijskih karakteristika sloenih preseka. Na kraju se izloena materija ilustruje sa nekoliko primera.2.1. Vrste momenata inercije 2.1.1. Statiki moment povrine. Neka je data povrina veliine A, sl. 2.1. Moemo, kako je u Statici izloeno, utvrditi statike momente - momente prvog reda, Sx i Sy, u odnosu na ose usvojenog koordinaiitnog sistema x i y:

S x = ydAA

S y = xdAA

(2.1).

Poznato je iz Statike da se ovi momenti mogu izraziti preko relacija:S x = ydA = A y cA

S y = xdA = A xcA

(2.2),

gde su xc i yc koordinate teita C povrine A.2.1.2. Aksijalni moment inercije elementarne povrine dA za osu x, dIx, predstavlja proizvod kvadrata udaljenja elementarne povrine od ose x i veliine te povrine dA, tj.

Sl. 2.1

dI x = y 2 dA

(2.3).

Moment inercije povrine A za osu x je zbir elementarnih momenata inercije dIx, koji se izraava integralom:I x = dI x = y 2 dAA A

(2.4).

Analogna je definicija momenta inercije za osu y:I y = x 2 dAA

(2.5).

Ove veliine, kao to se vidi iz (2.4) i (2.5), uvek su pozitivne, imaju dimenziju L4, a predstavljaju karakteristiku poloaja povrine u odnosu na osu. To su tzv. aksijalni momenti inercije.2.1.3. Polarni moment inercije elementarne povrine u odnosu na neku taku 0 je,

dI o = r 2 dAa polarni moment inercije povrine A je dat relacijom:I o = r 2 dAA

(2.6),

(2.7).

On karakterie poloaj povrine u odnosu na posmatranu taku 0 i takoe je uvek pozitivan. Korienjem izraza (2.4) i (2.5) i kao i izraza (2.7), lako se dokazuje da vai sledea relacija,I o = x 2 + y 2 dA = x 2 dA + y 2 dA = I x + I yA A A

(

)

(2.8),

jer je, na osnovu sl. 2.1 oigledno da je

r 2 = x2 + y2 .Relacija (2.8) vai za bilo koje dve meusobno upravne ose i taku u kojoj se one seku.2.1.4. Centrifugalni moment za ose x i y elementarne povrine dA se definie kao

dI xy = x y dAodakle je centrifugalni moment povrine A,I xy = x y dAA

(2.9),

(2.10).

Poto su koordinate x i y na prvom stepenu, sledi da moment inercije Ixy moe biti pozitivna ili negativna veliina, a i jednaka nuli. Na primer, ako je osa y osa simetrije (sl. 2.2), onda, poto svakoj povrini veliine dA i koordinati x odgovara ista tolika povrina dA=dA=dA, ija je koordinata x= -x, a ista koordinata y, sledi da je odreeni integral (2.10) jednak nuli, tj.,

x y dA = x y dA + x y dA =A A A

= x y dA + ( x ) y dA = 0A A

Dalje emo navesti primere odreivanja momenata inercije za najee koriene poprene preseke u praksi.

Sl. 2.22.1.5. Momenti inercije pravougaonika. Elementarnu povrinu dA, pri odreivanju aksijalnog momenta inercije za osu x uzimamo oblika kao na sl. 2.3a, jer je za sve take povrine ista koordinata x. Tako, zamenom u jednaini (2.4) dobijamo da se dvostruki integral svodi na jednostruki:1 1 I x = y 2 dA = y 2 a dy = a b3 = b 2 A 3 3 A o Koristei sl. 2.3b dobijamo da jeb

(2.11).

1 1 I y = x dA = x 2 b dx = b a 3 = a 2 A 3 3 A o2

a

(2.12).

Sl. 2.3Iz jednaine (2.8) dobijamo polarni moment inercije,

1 1 Io = I x + I y = a b b2 + a 2 = a 2 + b2 A 3 3 Jednostavno je izraunavanje centrifugalnog momenta za osu x i y:I xy = x y dA = x dx y dy =A o o a b

(

)

(

)

(2.13).

1 2 2 A2 a b = 4 4

(2.14).

pri emu je uzeto da je dA=dxdy, a dvostruki integral je sveden na proizvod jednostrukih. Momente inercije za teine ose dobijamo slinim postupkom, s tim to se menjaju granice integrala, pa je, 1 1 a b3 , I = a 3 b , 12 12 1 Ic = a b a 2 + b2 12I = I = 0

i (2.15).

(

)

2.1.6. Momenti inercije kruga. Izraunajmo, prvo, polarni moment inercije za sredite 0 kruga. Ako, uzmemo elementarnu povrinu oblika krunog prstena elementarne debljine d, tako da je (sl. 2.4)

dA = 2 d ,onda, poto je udaljenje svakog delia elementarne povrine dA od take 0-, sledi da jeIo = Io =2 2 3 dA = 2 d = 2 d = A o o R R

2R 4 4

R D 1 = = A R2 2 32 24 4

(2 .16 ).

Ose x i y su ose simetrije i jasno je da su momenti inercije za ove ose isti, tj. IX=IY. Na osnovu jednaine (2.8) i (2.16) imamo da je 1 R4 D4 1 I x = I y = I0 = = = A R2 2 4 64 2 (2.17).

Ose x i y su ose simetrije pa je centrifugalni moment jednak nuli, tj. IXY=0.

S1. 2.4 Momenti inercije povrine oblika krunog prstena, poluprenika r i R, (sl. 2.4b), mogu se odrediti integraljenjem kako je ve pokazano, uzimajui da se menja izmeu r i R. Ili, jednostavnije, primenom jednaina (2.16) i (2.17) i uzimanjem da je povrina unutar kruga poluprenika r negativna, tj. oduzimanjem odgovarajuih momenata inercije. Tako imamo da su: D4 1 4 1 1 R r 4 = R4 1 4 = 1 4 2 2 2 32 D4 1 1 4 4 4 4 I x = I y = R r = R 1 = 1 4 4 4 64 Io =

(

)

(

) )(2.18),

(

)

(

)

(

gde je =r/R. Ukoliko se radi o prstenu veoma male debljine , onda je moment inercije Io = 1 4 1 4 R (R ) R 4 R 4 + 4 R 3 = 2 R 3 2 2

[

]

(

)

pri emu su vii stepeni zanemareni. Dakle, imamo da je I o = 2 R3 = 1 3 D 4 (2.19).

Primenom jednaine (2.8) dobijamo veliine aksijalnih momenata inercije

1 I x = I y = R3 = D3 (2.20). 8 Postoje izraunate vrednosti momenata inercije i za niz drugih karakteristinih poprenih preseka, a daju se u tablicama koje idu uz udbenike iz Otpornosti materijala.2.2. Promena momenata inercije pri translaciji koordinantnog sistema (tajnerova teorema)

Iz definicija momenata inercije sledi, da e se, u optem sluaju, moment inercije povrine u odnosu na osu promeniti ukoliko se povrina pomeri u odnosu na osu, ili ukoliko osa promeni poloaj u odnosu na povrinu. Isti zakljuak vai i za polarni moment inercije, kao i za centrifugalni moment. Mi emo ovde, prvo, utvrditi promenu momenata inercije pri translatornom pomeranju (bez obrtanja) koordinantnih osa.

Sl. 2.5 Posmatrajmo povrinu A i koordinantne sisteme x,y i x,y (sl. 2.5). Veze izmeu jedne iste take povrine u dva posmatrana koordinantna sistema su:x = x, + a y = y, + b

(2.21).

Zamenom u jednainu (2.4) dobijamo da je:

I x = ( y + b ) dA = y 2 dA + 2 b y dA + b 2 dA =2 A A A A 2

(2.22),

= I x + 2 b S x + b A pri emu su Ix i Sx moment inercije i statiki moment za osu x. Na analogan nain moemo izraziti moment inercije Iy.I y = x 2 dA = ( x + a ) dA = I y + 2 a S y + a 2 A2 A A

(2.23).

Primenom jednaine (2.8) dolazimo do veze izmeu momenta inercije za take 0 i 0: I c = I x + I y = I x + I y + 2 (b S x + a S y ) + a 2 + b 2 A =2

= I o + 2 (b S x + a + S y ) + ro A

(

)

(2.24). Veza izmeu centrifugalnih momenata za ose x, y i x', y' se odreuje prema sledeem:I xy = x y dA = ( x + a ) ( y + b ) dA = x y dA +A A A

+ a y dA + b x dA + a b dA = I xy +A A A

(2.25).

+ a S x + b S y + a b A

Jednaine (2.22), (2.23), (2.24) i (2.25) definiu promenu momenta inercije pri translaciji koordinantnog sistema. 0ve jednaine moemo reiti po Ix, Iy, Io i Ixy , pri emu je rezultat isti kao da smo pretpostavili da od koordinantnog sistema x', y' prelazimo na x, y, uzimajui da su pomeranja izvrena za -a i -b. U sluaju da su ose x, y paralelno pomerene u sredite (teite) C povrine, onda, poto su statiki momenti u odnosu na teine ose jednaki nuli, tj., S = Ac = 0 , S = A c = 0

gde su c=0 i c=0 koordinate teita u odnosu na teine ose i , sledi da e jednaine (2.22) do (2.25) prei u oblik:

I x = I + b2 A ,

I y = I + a 2 A

(2.26), (2.27), (2.28).

I o = I c + rc2 A I xy = I + a b A

Jednaine (2.26) izraavaju tajnerovu teoremu o aksijalnim momentima inercije: moment inercije povrine za neku osu jednak je zbiru momenta inercije za teinu osu paralelnu posmatranoj (to je tzv. sopstveni moment inercije) i proizvoda kvadrata udaljenja tih osa i veliine povrine (ploajni moment inercije). Jednaina (2.27) izraava tajnerovu teoremu za polarni moment inercije, a (2.28) za centrifugalni moment paralelnih osa. Treba primetiti da je moment inercije najmanji za teinu osu u poreenju sa momentima inercije svih drugih osa paralelnih posmatranoj. Ovo sledi iz injenice da je poloajni moment inercije uvek pozitivan, a jednak nuli za teinu osu. Na isti nain dolazimo do zakljuka da je najmanji polarni moment inercije za teite. Moemo napisati i izraze za momente inercije teinih osa: (2.29), I = I x b 2 A , I = I y a 2 A I c = I o rc2 A I = I xy a b A koji slede iz jednaina (2.26) do (2.28).2.3. Promena momenta inercije pri rotaciji koordinantnog sistema

(2.30), (2.31),

Prouimo sada promenu momenta inercije koja nastaje pri obrtanju koordinantnog sistema. Veza izmeu koordinata iste take u dva koordinantna sistema x, y i u, v data je koordinantnom transformacijom:

x = u cos v sin y = u sin + v cos

(2.32).

Sl. 2.6 Koristei ove jednaine moemo dobiti za moment inercije,I x = y 2 dA = (u sin + v cos ) dA =2 A A

= sin u dA + cos 2 v 2 dA + 2 sin cos u v dA =2 2 A A A

= I u cos + I v sin + 2 I uv sin cos 2 2

(2.33),

pri emu su Iu, Iv i Iuv momenti inercije za ose u i v. Analognim postupkom odreujemo moment inercije za osu y, kao i centrifugalni moment Ixy:

I y = x 2 dA = (u cos v sin ) dA =2 A A

= cos u dA + sin 2 v 2 dA 2 sin cos u v dA =2 2 A 2 2 A A

= I v cos + I u sin 2I uv sin cos I xy = x y dA = (u cos v sin )(u sin + v cos )dA =A 2 A

(2.34),

= sin cos u dA v 2 dA + cos2 u v dA sin 2 u v dA = = (I v I u )sin cos + I uv cos 2A A A A

(2.35).

Rezultate (2.33) do (2.35) moemo, uz korienje trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla napisati u obliku:1 (I u + I v ) + 1 (I u I v )cos 2 + I uv sin 2 2 2 1 1 I y = (I u + I v ) + (I u I v )cos 2 I uv sin 2 2 2 1 I xy = I uv cos 2 (I u I v )sin 2 2 Ix =

(2.36).

Momente inercije za ose u, v moemo odrediti polazei od osa x, y i korienjem jednaina (2.36), u kojima treba umesto staviti -. Dakle, imamo:1 (I x + I y ) + 1 (I x I y )cos 2 I xy sin 2 2 2 1 1 I v = (I x + I y ) (I x I y )cos 2 + I xy sin 2 2 2 1 I uv = I xy cos 2 + (I x I y )sin 2 2 Iu =

(2.37).

Na osnovu ovih jednaina lako je zakljuiti da postoje sledee jednakosti:I u + I v = I x + I y = J1 = I 0 I u I v I 2uv = I x I y I 2 xy = J 2

(2.38),

pri emu, dakle, J1 i J2 za odreenu taku predstavljaju konstante nezavisno od izbora koordinantnog sistema; one se zovu prva i druga invarijanta momenata inercije. Druga invarijanta moe se napisati i pomou determinante:J2 = Ix I xy I xy Iy = Iu I uv I uv Iv

(2.39).

2.4 Glavni momenti inercije

Momenti inercije posmatrane povrine za ose u, v pravouglog sistema zavise od ugla izmeu tih osa i osa sistema x, y, postavljenih kroz istu taku 0..

Utvrdimo ugao pri kome e momenti inerciie Iu i Iv imati ekstremne vrednosti. Izjednaavanjem sa nulom prvih izvoda funkcija Iu () i Iv () dolazimo do jednaina:dI u = (I x I y )sin 2 2 I xy cos 2 = 0 d dI v = (I x I y )sin 2 + 2 I xy cos 2 = 0 d

Ove dve jednaine su identine i njihovo reenje = odreuje pravac osa u i v pri kome momenti inercije Iu i Iv imaju ekstremne vrednosti: 2 I xy (2.40). tg 2 = Ix I y Ako naemo druge izvode funkcija Iu () i Iv () pri = , videemo da je d2Iu/d2 < 0, a d2Iv/d2 > 0, tj.: d 2 Iu = 2(I x I y )cos 2 + 4 I xy sin 2 = d 2 = = 2(I x I y )2

(I

= 2(I x I y ) + 4 I xy < 02

x

I y ) + 4 I 2 xy2

Ix I y

4 I xy

(I

x

I y ) + 4 I xy2

2 I xy

2

=

(2.41),

d 2 Iv 2 = 2(I x I y )cos 2 4 I xy sin 2 = d = =2

(I

= 2(I x I y ) + 4 I xy > 02 2

x

I y ) + 4 I xy2

(I

x

Iy )

2

+ 4 I xy

(I

x

I y ) + 4 I 2 xy2

2 I xy

=

(2.42),

pri emu su koriene relacije veze sin2 i cos2 preko tg2.

sin 2 = cos 2 =

tg 2 1 + tg 2 2 1 1 + tg 2 2

= =

(I (Ix

x

I y ) + 4 I xy2

2 I xy

2

I y ) + 4 I 2 xy2

Ix I y

(2.43).

Ose u i v, koje u odnosu na ose x i y zaklapaju ugao odreen jednainom (2.40), zovu se glavne ose inercije povrine za datu taku 0. Na osnovu (2.41) i (2.42) zakljuujemo da moment inercije Iu ima maksimum, a Iv minimum. Dakle, od svih osa koje prolaze kroz posmatranu taku 0 osa u (odreena uglom ) ima najvei, a osa v najmanji moment inercije. Osa u tako odreena zove se prva glavna osa, osa v druga glavna osa, a odgovarajui momenti inercije se oznaavaju sa I1 i I2 i zovu se glavni momenti inercije. Zamenom vrednosti za sin2 i cos2 na osnovu jednaina (2.43) u (2.37) dobijamo da su: 1 (I x + I y ) + 1 2 2 1 1 I 2 = (I x + I y ) 2 2 I12 = 0 I1 =

(I

x

I y ) + 4 I 2 xy2

(I

x

I y ) + 4 I 2 xy2

(2.44).

Iz jednaina (2.44) sledi da su glavne ose inercije povrine u posmatranoj taki one za koji je centrifugalni moment jednak nuli. Utvrivanje poloaja glavne ose [1] vri se na osnovu analize jednaina (2.40) i (2.43), pri emu se uoava da je (0,2). Detaljna anaiiza intervala ugla data je prema tabeli 2.1. Glavna osa [2] je pomerena za /2,u odnosu na osu [1], u smeru suprotnom od kazaljke na satu. Za praktino korienje jednaine (2.40) potrebno je napomenuti da je dobijeni ugao 2 ugao u odnosu na pravac x ose. Za razne sluajeve vrednosti Ix,Iy i Ixy ucrtani su pravci osa [1] i [2]. Dakle, iz trigonometrijskih tablica treba odrediti apsolutnu vrednost ugla 2, a zatim se koristiti tabelom 2.1 u kojoj su uzeti u obzir odnosi izmeu Ix i Iy, kao i znak Ixy.

Tabela 2.1Ix IyI xy 0

1

3 2 2 2 3 4

2

Ix Iy I xy 0

0 2 0

2

4

3

Ix IyI xy 0

2

2

4

2

4

Ix Iy I xy 0

2

3 2 3 2 4 2

Glavne ose inercije u teitu C povrine zovu se glavne centralne ose inercije. Glavni centralni momenti inercije I1,2 mogu se izraziti pomou momenata inercije za teine ose i , primenom jednaine (2.44) u obliku: I12=0, I 1, 2 = 1 (I I ) 1 2 2

(I

I ) + 4 I 2

2

(2.45).

Ukoliko elimo da odredimo pravac osa ekstremnog centrifugalnog momenta, onda treba da izvod Ixy(), jednaine (2.36), izjednaimo sa nulom, tj.,

dI uv = 2 I xy sin 2 + (I x I y )cos 2 = 0 d

,

Sl. 2.7 odakle je, pri =, tg 2 = Ix Iy 2 I xy = 1 tg 2 (2.46).

Odavde vidimo da je:

= + 4

(2.47),

to znai da pravci ekstremnog centrifugalnog momenta polove prav ugao izmeu glavnih osa inercije, to je prikazano na sl. 2.7. Maksimalni i minimalni centrifugalni momenti su:I I , II = (I xy )max,min = 1 = (I 1 I 2 ) 2 1 2

(I

x

2 I y ) + 4 I xy = 2

(2.48).

pri emu, (Ixy)max odgovara jednom smeru osa I i II, a (Ixy)min suprotnom smeru istih osa. esto se momenti inercije za neke ose u i v izraavaju preko glavnih momenata inercije i ugla izmeu tih osa i glavnih osa (sl. 2.7). Tada jednaine (2.37) imaju jednostavniji oblik:1 (I1 + I 2 ) + 1 (I1 I 2 )cos 2 2 2 1 1 I v = (I1 + I 2 ) (I1 I 2 )cos 2 2 2 1 I uv = (I1 I 2 )sin 2 2

Iu =

(2.49).

2.5. Elipsa inercije

Momenti inercije u posmatranoj taki mogu se grafiki odrediti i predstaviti pomou kruga inercije i elipse inercije. Meutim, zbog kratkoe izlaganja, ovde e biti izloeno samo grafiko predstavljanje pomou elipse inercije, kao korisnije i ilustrativnije. Definiimo, najpre, poluprenik inercije za neku osu u. On je odreen relacijom:iu = Iu A

(2.50),

odakle jeI u = iu A2

(2.51).

Sl. 2.8

Sl. 2.9

Iz poslednje jednaine se moe sagledati i geometrijsko tumaenje poluprenika inercije. Kao to je i na sl. 2.8 pokazano, poluprenik inercije iu za neku osu u je ono rastojanje na kome treba postaviti celokupnu povrinu A da moment inercije ostane nepromenjen. Pretpostavimo da smo ose x i y izabrali tako da se poklapaju sa glavnim osama u taki 0, sl. 2.9. Dalje, uzmimo na osi u takvo rastojanje r od koordinantnog poetka da bude obrnuto proporcionalno kvadratnom korenu momenta inercije Iu, tj., k (2.52). r= Iu Koeficijent proporcionalnosti (k) bie kasnije odreen. Koristei jednaine (2.37), od kojih se prva moe napisati u obliku I u = I1 cos 2 + I 2 sin 2

i sl. 2.9 sa koje jex = r cos , y = r sin

dobijamo da je x2 y2 I u = I1 2 + I 2 2 r r Korienjem relacije (2.52) dalje sledi,k 2 = I1 x 2 + I 2 y 2

(2.53).

(2.54).

Odavde vidimo da je skup taaka u ravni x, y, koje su na udaljenjima r od take 0, odreenim jednainom (2.53), ustvari kriva drugog reda - elipsa. Ako uvedemo poluprenike inercije i1 i i2, saglasno jednaini (2.51), dalje dobijamo:k2 2 2 = i1 x 2 + i2 y 2 , odnosno A k2 x2 y2 = 2+ 2 2 2 i1 i2 i2 i1

(2.55),

pri emu smo dobili bezdimenzioni oblik jednaine deljenjem sa i1i2. Uobiajeni kanonski oblik jednaine elipse,

x2 y2 + 2 =1 2 i2 i2

(2.56),

dobiemo izjednaavanjem leve strane jednaine (2.55) sa jedinicom, tj.,k2 =1 2 2 i1 i2 A

odakle odreujemo koeficijent proporcionalnosti k,k = i1 i2 A

(2.57).

Uporeenjem jednaina (2.58) i (2.53), moemo zakljuiti da je moment inercije za neku osu u obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja take preseka M (sl. 2.9) ose i elipse od centra elipse 0, tj.,k 2 i1 i2 A (2.58). = r2 r2 Moe se, dalje, pokazati da je poluprenik inercije za osu u upravo odreen kao rastojanje izneu ose u povuene kroz taku 0 i ose u povuene paralelno osi u, ali tako da tangira elipsu. Ovo je pokazano na sl. 2.9. Dokaz je radi kratkoe izlaganja izostavljen. Elipsa inercije ima vrlo korisno geometrijsko znaenje. Njen oblik i poloaj u posmatranoj taki upravo odraava raspored, odnosno poloaj povrine u odnosu na posmatranu taku. Primetimo da se pravac ose najmanjeg momenta inercije poklapa sa prvom (veom) poluosom elipse. Dakle, vidi se da osi [1] odgovara najvei poluprenik inercije (upravno se nanosi na nju) a osi [2] najmanji poluprenik inercije. Iu =2.6. Sloeni preseci (povrine)2 2

U praksi se najee sreemo sa takvim oblicima preseka (povrina) za koje nije mogue odrediti momente inercije neposredno integraljenjem, ili je takav postupak sloen. Radi toga, ove povrine delimo na vie prostijih preseka za koje moemo odrediti momente inercije neposredno integraljenjem, ili korienjem tablica. U ovim sluajevima radi se o sloenim presecima (povrinama). Sloeni

preseci se esto javljaju i u sluaju kombinacija vie standardnih profila. Postupak odreivanja geometrijskih karakteristika sloenog preseka sastoji se u sledeem: 1) Sloeni presek se izdeli na vie prostijih preseka ije se geometrijske karakteristike znaju. U sluaju sloenog preseka sa vie profila svaki presek standardnih profila predstavlja elementarni presek. Odrede se, u odnosu na teita elementarnih preseka i usvojene teine ose xi, yi veliine momenta inercije I x ,i

I zi i I xi yi . 2) Zatim se odredi teite sloenog preseka, u odnosu na prizvoljno usvojene ose x, y, preko izraza:xc = Sy A =

A x ,y Ai i i

c

=

Sx = A

A y Ai i

i

(2.59).

3) Poto se odrede poloaji teita pojedinih preseka - koordinate i, i u odnosu na teine ose , , odreuju se teini momenti inercije, koristei tajnerovu teoremu, jednaine (2.26) do (2.28), koje sada prelaze u:I = I xi + i Ai2 2

I = I xi y i + i i Ai

I = I y i + i Ai

(2.60).

4) Odreuju se glavni momenti inercije korienjem jednaina (2.44). 5) Poloaj glavne ose inercije [1] odreuje se preko tg2, jednaina (2.40), kao i na osnovu analize izvedene u tabeli 2.1. 6) Poluprenici inercije izraunavaju se korienjem jednaine (2.60), koja prelazi u oblik:i1 = I1 A I2 = I2 A

,

(2.62).

Na osnovu i1 i i2 crta se elipsa inercije. 7) Momenti inerciie Iu, I v i Iuv za ose zaokrenute u odnosu na glavne ose za ugao , raunaju se prema jednaini (2.49). Ceo postupak se obino, iz praktinih razloga, izvodi tabelarno, to e biti pokazano kroz primere.

2.7. Primeri

Na nekoliko primera, elementarnih i sloenih preseka (povrina), ilustrovae se izloena materija u vezi geometrijskih karakteristika ravnih preseka.P r i m e r 2.1. Za pravougaonik ije su stranice a=4 cm i b=2 cm, odrediti aksijalne momente inercije i centrifugalni moment za teine ose i , i polarni moment inercije za teite IC . Nai momente inercije za ose x , y, koje su pomerene prema sl. 2.10, za o=3 cm i o= 2 cm. Odrediti pravac glavnih centralnih osa inercije i vrednosti glavnih momenata inercije. Nacrtati elipsu inercije. Nai momente inercije za zaokrenute ose u, v za ugao =40. Proveriti vanost invarijanti. Reenje: Povrina poprenog preseka je:A = a b = 4 2 = 8cm 2 .

Vrednosti centralnih momenata inercije za teine ose i teite dobijamo korienjem jednaina (2.15), pa je:1 1 a b 3 = 4 23 = 2,667cm 4 , 12 12 1 1 I = a 3 b = 43 2 = 10,667cm 4 , 12 12 I = 0, I = Ic = 1 1 a b a 2 + b 2 = 4 2 4 2 + 2 2 = 13,333cm 4 . 12 12

(

)

(

)

Momente inercije za pomerene ose x, y odreujemo korienjem tajnerove teoreme, jednaine (2.26) do (2.28), pa je:I x = I + o 2 A = 2,667 + 2 2 8 = 34,667cm 4 , I y = I + o 2 A = 10,667 + 32 8 = 82,667cm 4 , I xy = I + o o A = 0 + 3 2 8 = 48cm 42

i

I o = I c + ro A = 13,333 + 3,606 2 8 = 117,359cm 4 .

S obzirom da je centrifugalni moment I=0, to se moe zakljuiti da su ose i glavne. Utvrivanje pravca ose[1] vri se prema jednaini (2.40), pri emu je:tg 2 = = +0 2 I I I = 20 = 2.667 10.667

Koristei dobijeno reenje konstatujemo da je ugao, prema tabeli 2.1, gde je I0, prema analizi u tabeli 2.1, 3 2 ,2 , tj., 2 2 = 270o , = 135o.

Poluprenici inercije su, prema jednaini (2.50),i1 = i2 =

1,028 I1 = = 0,585m, 3 AI2 = A

0,806 = 0,518m, 3

na osnovu kojih je, na sl. 2.13, nacrtana elipsa inercije. Prema jednainama (2.38) proveriemo vanost invarijanti:J1 = I1 + I 2 = 1,028 + 0,806 =

= I + I = 0,917 + 0,917 = 1,834m 4 ,J 2 = I1 I 2 I12 2 = 1,028 0,806 0 2 =

= I I I 2 = 0,917 0,917 0,1112 = 0,829m 4 ,

ime su ujedno i provoreni dobijeni rezultati za momente inercije.

P r i m e r 2.4. Za dati sloeni presek, sl. 2.13, sastavljen od standardnih pofila, [10 i Z10 (JUS C.B3), nai poloaj glavnih teinih osa inercije i glavnih teinih momenata inercije. Nacrtati elipsu inercije. Izraunati monente inercije za u i v osu koje su zaokrenute za ugao =15 u odnosu na glavne teine ose. Dobijena reenja proveriti preko invarijanti. R e e n j e: U ovim sluajevima se, radi preglednosti, ceo postupak izvodi tabelarno, tabela 2.2, a grafiki prikaz dat je na sl. 2.13. Teite date povrine odreuje se prema jednaini (2.59), to je tabelarno sreeno u kolonama od 1 - 6. Dobija se:

Sl. 2.13xc = 1,842cm, yc = 2,579cm,

u odnosu na postavljeni koordinantni sistem x, y prema sl. 2.13. Teini momenti inercije celog preseka odreuju se prema jednainama (2.60), to je tabelarno sreeno u kolonama od 7 17, pri emu su dobijene vrednosti:I = 431,299cm 4 , I = 551,239cm 4 , I = 311,273cm 4 .

Glavni teini momenti inercije odreuju se prema jednainama (2.45), pa je:I1 = 808,266cm 4 , I 2 = 174,272cm 4 .

Poloaj glavne ose [1] odreuje se relacijom (2.40), pa se dobija da jetg 2 = 5,190.

Kako je I< I i I>0, to se radi o sluaju 4, tabela 2.1, pa je 3 2 , . 2

Dalje reavamo,arctg 5,187 = 79o10, ,

to predstavlja ugao prema osi, pa je,2 = 1800 + 79o10, = 259o10, , odnosno traeni ugao je:

= 129o35,.Poluprenike inercijei1 = 5,373cm i i2 = 2,495cm,

odreujemo preko relacija (2.62), a elipsa inercije je ucrtana na sl. 2.13. Momenti inercije za zaokrenute ose u, v za ugao =15, dobijamo preko jednaina (2.49), pa je:I u = 765,796cm 4 , I v = 216,742cm 4 , I uv = 158,498cm 4 .

Provera dobijenih vrednosti preko invarijanti, vri se korienjem jednaina (2.38).J1 = I1 + I 2 = 808,266 + 174,272 =

= I + I = 431,299 + 551,239 = 982,538cm 4 ,

J 2 = I1 I 2 I12 2 = 808,266 174,272 02 = = I I I 2 = 231,299 551,239 311,2732 140858cm 4 , odakle proizlazi da su izraunate vrednosti tane. Tabela 2.2

P r i m e r 2.5. Odrediti aksijalni moment inercije za horizontalnu teinu osu preseka datog na sl. 2.14, u zavisnosti od duine C. R e e n j e: Vrlo esto je, u sluajevima dimenzionisanja sloenih preseka, potrebno odrediti aksijalni moment inercije za neku osu. Najee je to jedna od teinih osa. To su najee sloene povrine, pri emu se mogu primeniti dva postupka za izraunavanje momenata inercije za osu: primenom tajnerove teoreme prelaskom sa sopstvenih teinih osa na teinu osu cele povrine, (primer 2.3 i 2.4); ili, vri se odreivanje momenta inercije za neku pomonu osu x, a onda se sa te ose, preko tajnerove teoreme,prelazi na teinu osu. Drugi nain, radi ilustracije, koristiemo u ovom zadatku. Povrina poprenog preseka je:A = 3c c + c 3c = 6c 2 .

Sl. 2.14 Koristei pomonu koordinantnu osu x odreujemo poloaj teita, jednaina (2.59),1 1 Ai yi = ( A1 y1 + A2 y2 ) = A A c 1 2c 3 3c + 3c 2 c = . 2 2 2 6c 2 yc =

Moment inercije za osu x je,

I x = (I x )1 + (I x )2 =

1 1 (3c ) c 3 + c (3c )3 = 10c 4 , 3 3

pri emu se za odreivanje momenta inercije (Ix)1 za osu x povrine A1 i (Ix)2 za osu x - povrine A2, koriste jednaine (2.11). Primenom tajnerove teoreme, prema jednaini (2.60), dobijamo:17 c I = I1 = I x yc 2 A = 10 c 4 6 c 2 = c 4 2 2 s obzirom da je I=0, posmatrana povrina je simetrina, to je, moment inercije za osu glavni moment inercije I1.2

3. AKSIJALNO NAPREZANJE

Ako na telo deluju kolinearne sile, onda kaemo da je telo napregnuto aksijalno du ose. Mi emo posmatrati aksijalno napregnuti tap, koji predstavlja aksijalno optereeno telo kod koga je jedna dimenzija znatno vea od preostale dve. Najpre emo definisati napone i deformacije za ovaj sluaj naprezanja, a materija e biti upotpunjena eksperimentalno utvrenom zavisnou izmeu napona i deformacije i matematikom obradom te veze u podruju elastinosti. Zatim e se ukazati na neke uticaje na izdrljivost materijala, kao to su: vreme, prornena temperature, vrste optereenja, poetno stanje i drugi. Pored aksijalno optereenog tapa, kao poseban primer aksijalnog naponskog stanja obrauje se kruni prsten izloen ravnomernom pritisku na povrinu. Zatim se utvruju osnovne vrste zadataka pri aksijalnom optereenju tela kao to su: odreivanje napona i deformacija date konstrukcije, dimenzionisanje, utvrivanje sila koje konstrukcija moe nositi i pitanje reavanja statiki neodreenih problema. Na kraju, izlaganje se ilustruje sa nekoliko primera.3.1. Napon u poprenom preseku

Neka je telo, oblika prizmatinog tapa (sl. 3.1), poprenog preseka A optereeno aksijalnom silom F. Telo e se deformisati i dostii neko ravnoteno stanje. Da bismo odredili napon u preseku tapa upravnom na uzdunu osu, zamisliemo da smo tap presekli sa ravni p-p upravnom na tu osu. Povrinske sile u raznim takama preseka imaju u stvarnosti razliite veliine, pa dijagram normalnog napona ima oblik dat na sl. 3.1b. Dakle, elementarna normalna sila dF na povini dA je:dF = x ( x, y )dA

gde z(x,y) predsavlja funkciju kordinata x i y. Aproksimiranjem stvarnog naponskog stanja idealnim, tj. uzimajui da je

z const.

moemo doi do srednjeg normalnog napona u poprenom preseku. Naime, iz uslova ravnotee dela tapa levo od preseka p-p, (sl. 3.1e), sledi

Sl. 3.1

F + z dA = 0A

F + z dA = 0A

(3.1).

F +zA = 0

z =

F A

Pri ovom izvoenju uzeto je, oigledno, da je

dA = A - veliinaA

poprenog

preseka. Normalni napon istezanja smatramo pozitivnim, dok se pritisak smatra negativnim. Ako, u optem sluaju aksijalno optereene grede, odredimo dijagram aksijalne sile Fa (takav dijagram je prikazan za primer na sl. 3.1c, onda je u nekom poprenom preseku nornalni napon

z =

Fa A

(3.2).

Ovde treba napomenuti da se aksijalna sila Fa odreuje na nain kako je uobiajeno u Statici, deo II tj.Fa = Fa = Fal+ +

d

(3.3).

Ovde su naznaeni pozitivni smerovi pri odreivanju aksijalne sile sa leve strane, Fa1 , i sa desne - Fad . Analiza napona na ravnima kosim u odnosu na osu tapa bie izloena u odeljku 4.1, poto ona za potrebe dimenzionisanja tapova pri aksijalnom optereenju nije neophodna.3.2. Deformacije

Pri delovanju aksijalnih sila javljaju se uzdune i poprene deformacije. Pod predpostavkom da su ravnomerne deforrnacije du tapa, apsolutno izduenje (skraenje) raunamo preko izraza:

l = l lo

(3.4).

Specifino izduenje (skrenje) z, koje predstavlja izduenje (skrenje) jedinice duine, dobijamo prema jednaini (1.9),

z =

l lo

(3.5).

Ovako odreena dilatacija se esto zove relativna i predstavlja bezdimenzionu veliinu. Ponekad se izraava u procentima, tj.

z [%] =

l 100 lo

(3.6).

Napomenimo, to je reeno i kod jednaine (1.9), da z definisano gornjom jednainom predstavlja srednju deformaciju tapa. U stvarnosti z nije isto za razne take poprenog preseka i za razne preseke, tj. imamo da je

z = z ( x, y, z ).Eksperimentalno se utvruje da pri aksijalnom naprezanju nastaju i deformacije u poprenom pravcu, pri emu je deformacija u poprenom pravcu p proporcionalna uzdunoj deformaciji z, tj.

p = x = y = z

(3.7).

Ovde je - Poasonov koeficijent kao karakteristika materijala, koji je za razne materijale odreen eksperiraentalnim putem. Za metale priblino je =1/3. Znak minus u jednaini (3.7) pokazuje da je poprena deformacija suprotnog znaka od uzdune, to znai da se pri istezanju popreni presek smanjuje, a pri pritisku poveava. Naravno i ovde treba imati u vidu da su deformacije odreene jednainom (3.7) u stvari srednje deformacije svih taaka preseka i svih posmatranih preseka. Odredimo promenu zapremine prizmatinog tapa strana a,b i duine l, (sl. 3.1d), pri istezanju. Pri uzdunoj deformaciji z javie se poprene,

x = y = p = z =

pa su strane a, b i l posle deformacije: b, = b (1 y ) = b (1 ) l , = l (1 z ) = l (1 ) tako da je zapremina V posle deformacije,V , = a , b , l = a (1 x ) b (1 y ) l (1 z ) = = abl [1 + (1 2 ) ] = V [1 + (1 2 ) ]

a , = a (1 x ) = a (1 ) i

(3.8),

pri emu su zanemarene velicine 2 i 3 kao male veliine vieg reda. Prema tome relativni prirataj zapremine je: V = (1 2 ) V (3.9).

Uzimajui za metale da je =0,3 iz jednaine (3.9) vidimo da se pri istezanju poveava zapremina. Naravno da pri dejstvu pritiskajuih sila dolazi do smanjenja zapremine jer je 10=zd to znai da je u delu tapa BC, u ovom sluaju, prekoraen dozvoljeni nanon, pa usvojeni presek ne zadovoljava. Iz navedene analize moe se zakljuiti da poetno stanje konstrukcije moe znaajno uticati na dimenzionisanje konstrukcije.

P r i m e r 3.5. Kruta greda AB vezana je deformabilnim tapovima M1N1, M2N2 i M3N3 duina prema sl. 3.16, koji su od istog materijala modula elastinosti E=2.1104 kN/cm2, a poprenih preseka A1, A2 i A3. Greda AB je teine G=20 kN, kontinualno optereena celom duinom sa q=10 kN/m, a na kraju A koncentrisanom silom F=40 kN. Dimenzionisati tapove ako je dozvoljeni napon na aksijalna naprezanje zd =12 kN/cm2, a preseci su takvi da je A=A1/2=A2=A3. R e e n j e: Da bi smo odredili sile u tapovima oslobodimo veza krutu gredu AB, sl. 3.16a, tako da moemo postaviti sledee statike jednaine ravnotee:

Y = F + S + S + S G 4 q a = 0 M = F 4a + G 2a + 4q 2a S 2a Si

1

2

3

B

1

2 a

=0

(a).

Kako imamo tri nepoznate sile veze (S1, S2 i S3), a dve statike jednaine ravnotee (a), znai da je zadatak jedanput statiki neodreen, tj. data konstrukcija na sl. 3.16 je jedanput statiki neodreena, pa je potrebno postaviti dopunsku jednainu. Dopunsku jednainu postavljamo iz uslova deformacija. Pretpostavimo da e se deformisanje tapova izvesti prema sl. 3.16b, tj. da e se svi tapovi izduiti, iz ega, posmatrajui sline trouglove DCEKHC, na osnovu proporcionalnosti strana dobijamo,l1 l3 2a odnosno, = , a l2 l3 l1 + l3 2l2 = 0

(b).

Dopunska jednaina (b), korienjem jednaine (3.14), prelazi uS1 l1 S l S l + 3 3 2 2 2 = 0 , E1 A1 E3 A3 E2 A2

a uvodei vezu izmeu duina, povrina i modula elastinosti tapova, dobijamoS1 + S3 4 S 2 = 0

(c).

Iz jednaina (a) i (c) odreujemo sile u tapovima:S1 = 130kN , S 2 = 20kN , S3 = 50kN

Dobijena sila S3 u tapu M3N3 ima negativan predznak to znai da je suprotnog smera od pretpostavljenog (smer ispravljen na sl. 3.10a), tj. ovaj tap je optereen na pritisak. S obzirom

Sl. 3.16 na ovu izmenu i plan pomeranja je drukiji, a prikazan je na sl. 3.16c. Napomenimo da ove izmene smera sile i plana pomeranja ne utiu na vrednost sila. Oigledno da je presek A1 najoptereeniji, ije dimenziije odreujemo prema jednaini (3.33),

A1

zd

S1

=

130 = 10,83cm 2 . 12

Prenik tapa jed1 4 A1 = 3,71cm ,

pa usvajamo standardni prenik tapa M1N1d1, = 38mm , sa A1, = 11,34cm 2

Ostala dva preseka raunamo na osnovu zadate vezeA2 = A3 = A1 = 5,415cm2 , 2

pa su prenici tapova M2N2 i M3N3,d 2 = d3 = 4 A2 = 2,63cm .

Usvajamo standardne prenike tapovad 2, = d 3, = 28mm , sa A2, = A3, = 6,15cm 2

4. SMICANJE

U Uvodu smo videli da je u sluaju delovanja spoljnih sila na malom meusobnom rastojanju (sl. 4.1a) greda napregnuta na isto smicanje. Takvo naprezanje javlja se u stablu zakivka pri delovanju poprenih sila F (sl. 4.1c), kao i pri uvijanju tankozidne cevi prikazane na sl. 4.1d. U sluaju optereenja grede poprenim silama, mogue je sile redukovati na neku silu FS (sl. 4.1b) koja izaziva smicanje grede; ovde se javlja i naprezanje na savijanje o emu e biti detaljno izlagano u poglavlju 7. Pod specijalnim uslovima ravanskog naprezanja, kada je z=y=, (sl. 4.1e), ravni pod uglom od /4 napregnute su samo na smicanje (isto smicanje). U poglavlju 5 ovaj sluaj ravanskog naprezanja bie posebno analiziran. U daljem izlaganju razmotriemo malo detaljnije napone i deformacije u sluaju istog smicanja. Ukazae se na neke eksperimentalne rezultate ispitivanja materijala na smicanje. Dalje e se uoiti neki osnovni problemi smicanja materijala, a na kraju e se dati upustvo o primeni navedene teorije smicanja, to e se ilustrovati na nekoliko primera.4.l. Naponi pri istom smicanju

Posmatrajmo deo grede I (sl. 4.1a), posebno izdvojen, u ijem preseku su normalni naponi jednaki nuli (n=0), (sl. 4.2). Tada presek AS optereuje napadna sila FS, a ravnotea se odrava unutranjim poprenim silama, pri emu je sila dF na elementarnoj povrini dF = dAS Prema tome, za posmatrani deo grede, statiki uslov ravnotee je: (4.1).

Y = i As

s

dAs Fs = 0

(4.2).

Ako je tangencijalni napon po celom preseku ravnomeran, tj. s(x, y)=s=const., jednaina (4.2) prelazi u oblik:

Sl. 4.1

s As Fs = 0pri emu je usvojena aproksimacija da je smicajni napon isti u svim takama preseka. Odavde je smicajni napon s:

s =

Fs As

(4.3).

Sl. 4.2

4.2. Deformacije pri smicanju

Razmotrimo, dalje, deformacije koje se javljaju pri smicanju. Radi toga posmatrajmo pravouglu prizmu ABCDEFGH, na ijim stranama deluju ravnomeno raspodeljene sile, tj. naponi na smicanje (sl. 4.3a), pri emu se ta prizma nalazi u ravnotei. Njena deformacija, prirodno, svodi se na to da se ona iz pravougaone pretvara u kosu usled malog obrtanja i pomeranja svake od njenih strana u pravcu naznaenih napona, prema sl. 4.3b. Pri tome svaki popreni presek prizme prelazi iz pravougaonika u paralelogram, (sl. 4.3c) - gde su, radi uoavanja, izvrena pokolapanja stranica AB i AB.

Sl. 4.3 Oigledno je sa sl. 4.3c da je pomeranje stranice DC izvreno za veliinuDD = CC klizanjem strane DC paralelno strani AB. Ovako opisana deformacija zove se deformacija smicanja, a odseak DD apsolutno smicanje ravni DCGF u

odnosu na ravan ABCD, koje emo oznaiti sa ms,

ms = DD = CC [cm], ,

(4.5).

S obzirom da veliina apsolutnog smicanja (ms) zavisi od rastojanja izmeu ravni smicanja (h), to je podesnije da se za karakteristiku deformacije smicanja koristi relativno smicanje, tj. odnos

ms DD = h AD

,

.

Sa slike se vidi da je

DD ms = tg = h AD

,

,

pa kako je pri malim deformacijama mala veliina to je tg, tj.

=

ms [rad ] h

(4.6),

gde je ugao smicanja. Oigledno da e pravi uglovi pre deformacije, BAD i BCD, posle deformacije biti jednaki /2 - , odnosno /2 + , pri emu je dolo do promene za ugao smicajne deformacije , definisane jednainom (1.11) u odeljku 1.6.

4.3. Ispitivanje materijala na smicanje

Ako elimo da dimenzioniemo neki element, ili odredimo nosivost gotove konstrukcije, neophodno je poznavanje izdrljivosti materijala pri naprezanju na smicanje u razliitim uslovima korienja konstrukcije. Radi pravilnog sagledavanja navedenih problema izloiemo neke, eksperimentima utvrene, karakteristike materijala pri naprezanju na smicanje. Slino dijagramu - (sl. 3.3) moe se eksperimentalnim putem dobiti, u sluaju istog smicanja, zavisnost izmeu smicajnog napona i smicajne deformacije, koja je grafiki prikazana na sl. 4.4. Dijagram je vrlo slian dijagramu dobijenom pri zatezanju (sl. 3.3), ali eksperimenti pokazuju da je granica razvlaenja R znatno nia i da iznosi oko 80% od granice razvlaenja istog materijala pri zatezanju. Radi ovog neslaganja, u novije vreme se posebno ispituje izdrljivost materijala na smicanje. Ovo je posebno znaajno kod konstrukcija koje su dinamiki optereene. I pri odreivanju stvarne izdrljivosti materijala na smicanje mora se uzeti u obzir niz uticaja na izdrljivost materijala kao to su: vrsta optereenja, koncentracija napona, uticaj temperature, poetnog stanja konstrukcije i drugi, na slian nain kako je navedeno u odeljcima 3.5 i 3.6 pri aksijalnom naprezanju materijala. Radi prorauna konstrukcija koristi se dozvoljeni napon na smicanje, koji je definisan izrazima:

Sl. 4.4- kod statikog optereenja,

sd =

SM

(4.7),

gde je sM -stvarna maksimalna vrstoa materijala pri smicanju a, -stepen sigurnosti, - kod dinamikog optereenja

sDd =

sD D

(4.8),

gde je sD stvarna dinamika vrstoa materijala (sDj jednosmerna, ili sDn naizmenina), a D dinamiki stepen sigurnosti. Propisima JUS-a tano je utvren nain ispitivanja izdrljivosti materijala na smicanje, a u tablicama, kao karakteristike materijala, daju se podaci o izdrljivosti materijala na smicanje. Uobiajeno je da se u praksi dozvoljeni napon na smicanje rauna na osnovu dozvoljenog napona na zatezanje korienjem pribline veze

sd = (0,75 + 0,80) zd

(4.9),

4.4. Hukov zakon pri smicanju

Sa sl. 4.4 vidi se da je na delu OP dijagram prava linija, pa se moe uspostaviti linearna zavisnost izmeu smicajnog napona i smicajne deformacije , tj. (4.10), = G gde je G - modul klizanja i za veinu elika iznosi G=0,81104 kN/cm2. Jednaina (4.10) predstavlja Hukov zakon pri smicanju. Kasnije emo u odeljku 5.2.5 na drugi nain pokazati da vai jednaina (4.10), pri emu emo uspostaviti vezu izmeu modula klizanja G, modula elastinosti E i Poasonovog broja .4.5. Osnovne vrste zadataka pri smicanju

U praksi postoji vie vrsta zadataka u oblasti naprezanja na smicanje. Ovde emo sve zadatke podeliti u nekoliko karakteristinih grupa. Proveravanje napona u izvedenoj konstrukciji vri se prema jednaini (4.3) radi uporeenja sa dozvoljenim naponom, jednaina (4.7). Ako je zadovoljena relacija F (4.11), s = S sd AS onda su naponi u konstrukciji u granicama dozvoljenih. Odreivanje smicajne deformacije vri se korienjem relacija (4.5) i (4.6) na osnovu kojih se moe odrediti pomeranje bilo koje take tela pri naprezanju na smicanje. Dimenzionisanje elemenata optereenih na smicanje vri se iz uslova (4.11), odakle je

As

sd

FS

(4.12).

Nosivost poznatog elementa konstrukcije napregnutog na smicanje odreujemo iz jednaine (4.11), odakle je:

FS = AS sd

(4.13).

4.6. Primena teorije istog smicanja

Veliki broj praktinih zadataka moe se reiti primenom teorije istog smicanja, smatrajui da su nosai ili delovi nosaa optereeni na isto smicanje. Inae se u stvarnost vrlo retko pojavljuje samo isto smicanje. Ovde emo ilustrovati primenu ove teorije kod zakivaka i vijaka. Pri tome emo smatrati da se pojavljuje samo naprezanje na smicanje (isto smicanje), zanemarujui ostala naprezanja (na savijanje i drugo). Kako je, kod prorauna zakivaka i vijaka, od bitnog znaaja i povrinski pritisak, to emo navesti kratku analizu raspodele povrinskog pritiska.4.6.1. Smicanje zakivnka i vijaka. U praksi su esti sluajevi zakovanih i vijaanih spojeva (sl. 4.7 i sl. 4.8). Ovde emo posmatrati podeene vijke (nema zazora izmeu stabla vijka i otvora). Na sl. 4.5a sa Fsl, oznaena je sila smicanja stabla vijka, odnosno zakivka, na jednoj povrini smicanja As. Oigledno je sa slike da je stablo optereeno i na savijanje spregom koga ine sile Fsl.

Sl. 4.5Kako su spojeni elementi relativno male debljine (limovi), to se spreg koji izaziva savijanje (Ms =Fsl ) moe zanemariti. Smicajna sila Fsl, koja deluje na jednoj povrini smicanja As, moe se, u optem sluaju raunati preko izraza:

FS 1 =

F N X Y

(4.14),

gde je: F - sila koja optereuje ceo sastavak, N - broj zakivaka (vijaka) sastavka, X - broj ravni smicanja jednog vijka i Y - faktor ravnomernosti noenja sile (kod zakivaka se uzima Y=1, a kod vijaka Y=1/2). Prema tome, srednji napon na smicanje rauna se i proverava prema jednaini (4.11),

S =

FS1 sd AS

(4.15).

Dimenzionisanje poprenog preseka vri se, saglasno jednaini (4.12), odakle dobijamo

AS =

d 2 FS 1 odnosno , 4 sd4 Fs1 sd

d

(4.16).

Ukupnu nosivost sastavka moemo raunati, koristei jednaine (4.14) i (4.16), preko izraza:

F = N X Y AS sd

(4.17).

4.6.2. Povrinski pritisak zakivaka i vijaka. Na stablu zakivaka (vijaka) javlja se povrinski pritisak, kao posledica dejstva povrinske sile Fsl. U daljem izlaganju naveemo neke osnovne relacije za odreivanje povrinskog pritiska. Najpre emo definisati povrinski pritisak na ravnim povrinama. Ako se dva tela, (sl. 4.6a), dodiruju po idealno ravnoj povrini Ap, optereena normalnom silom Fp, svaka taka dodirne povrine bie izloena dejstvu odreene povrinske sile; ova sila svedena na jedinicu povrine zove se povrinski pritisak (p). Srednji povrinski pritisak je Fp (4.18), p= Ap

ija je dimenzija [F/L2], a obino se izraava u kN/cm2. U stvarnosti pritisci u svim takama povrina nisu isti, ali ovde neemo ulaziti u dalju analizu rasporeda pritisaka, ve emo koristiti srednji pritisak p. Za sluaj dodirivanja dvaju tela po cilindrinoj povrini (kod zakivaka i vijaka, cilindrinih leita i slino) postoji nekoliko hipoteza o zakonu raspodele povrinskog pritiska, od kojih navodimo dve najee primenjivane: hipoteza ravnomerne raspodele i hipoteza raspodele po sinusnom zakonu. U praksi se najee primenjuje hipoteza po kojoj je raspodela pnovrinskog pritiska ravnomerna po dodirnoj povrini (sl. 4.6b). Na elementarnu povrinu dA koja je

dA =

d d , 2

deluje normalna sila

dFN = p dA =

1 p d d . 2

Jednaine ravnotee sila koje deluju na cilindrino telo su:

Z

/2i

= Fsl 2 /2i

o

1 p d sin d = 0 2

X

=2

o

1 p d cos d = 0, 2

odakle je srednji povrinski pritisak:p= FS1 F = S1 d Ap

(4.19).

Ovde je Ap=d - projekcija dodirne povrine na ravan upravnu na pravac napadne linije spoljne pritisne sile Fsl. Po drugoj hipotezi raspodela povrinskog pritiska je po sinusnom zakonu (sl. 4.6c), tako da je najvei pritisak na sredini dodirne povrine dok je na krajevima jednak nuli. Postavljanjem uslova ravnotee sila, kao i kod prethodne hipoteze,

Sl. 4.6 moe se doi do maksimalnog pritiska. On iznosi 1,27 p, gde je p - srednji pritisak odreen jednainom (4.19). Detaljnija analiza rasporeda pritisaka je potrebna pri proraunu mainskih elemenata (u disciplinama kao to su: Mainski eleraenti i sl.). Kod prorauna zakivaka i vijaka se primenjuje jednaina (4.19), na osnovu koje se moe odrediti potrebna povrina Ap:p= FS 1 Pd Ap

(4.20),

gde je pd - dozvoljeni napon na povrinski pritisak. Veliina pd se, za razne vrste materijala, odreuje relacijom pd = pM (4.21),

gde je pM - povrinska vrstoa slabijeg materijala (jer se, u optem sluaju, radi o dodiru razliitih materijala) koja se odreuje eksperimentalno, a - stepen sigurnosti. Na osnovu jednaine (4.20) moe se, dakle, proveriti povrinski pritisak, dimenzionisati ili odrediti nosivost po ve uobiajenom postupku.

4.7. Primeri

Ovde se navode primeri dimenzionisanja zakivaka i vijaka, odreivanja smicajnog napona i povrinskog pritiska, a u jednom primeru se odreuje maksimalna sila smicanja.P r i m e r 4.1. Dvoredni zakovani sastavak na preklop izveden je prema sl. 4.7. Odrediti prenike zakivaka iz uslova smicanja ako sva etiri (N=4) zakivka ravnomerno prenose popreno optereenje F=20 kN, a dozvoljeni napon materijala zakivaka je sd=8 kN/cm2. Ako je debljina lima =12 mm proveriti smicajne napone lima u opasnom preseku, pri emu uzeti da je dozvoljeni napnon na smicanje lima sd=6 kN/cm2. Proveriti povrinski pritisak izmeu lima i zakivka, ako je dozvoljeni povrinski pritisak lima pd=5 kN/cm2 (lim je slabiji materijal), a prepust e=15 mm. Proveriti napon na zatezanje u limu, ako je zd=8 kN/cm2 i b=60 mm. R e e n j e: Usvaja se pretpostavka da svi zakivci ravnomerno prenose optereenje (Y=1), koja je kod zakivaka realna. Prema sl. 4.7 vidi se da su zakivci jednoseni pa je X=1. Dakle, prema jednaini (4.14), raunamo smicajnu silu Fsl koja deluje na jednu povrinu smicanja As, Fsl = F 20 = = 5kN N X Y 4 1 1

Sl. 4.7

Prenik zakivka raunamo koristei jednainu (4.16), odakle dobijamo:d 4 FS1 45 = = 0,89cm . sd 3,14 8

Usvajamo standardni prenik zakivaka d=10 mm. Lim je maksimalno optereen na smicanje u preseku Asl (prikazano isprekidanim linijana pp), pa je napon (svi indeksi "" odnose se na lim)

S1, =

FS1 2 AS1,

=

FS1 5 = = 1,39kN / cm 2 . 2 e 2 1,2 1,5

Kako je sl =1,390, pa je K