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Revista General de Información y Documentación ISSN: 1132-1873 Vol, 9, ni 1- 1999: 11-31 HISTORIA DEL LIBRO MATEMÁTICO: UNA APROXIMACIÓN CARLOS MANUEL DA COSTA CARBALLO Escuela Universitaria de Biblioteconomía y Documentación (UCM) «Nada puede conocerse de las cosas de este mundo sin saber las Matemáticas.» (ROGER BÁcON) Resumen: En este artículo analizamos el origen del libro matemático desde sus contenidos. Palabras clave: Historia del libro, Matemáticas. Abstract: In this article we have to analyze the origin of the mathematical book from it contents. Key words: History of book, Mathematics. 1. ESBOZO DEL ORIGEN DE LA ESCRITURA Hace algunos millones de años, nuestros antepasados sintieron la nece- sidad de expresarse y de comunicarse con los demás para lo cual utilizaron como herramienta básica de este tipo de información la pintura, sobre un soporte que eran las paredes de las cavernas que les servían de habitáculo para resguardarse de las inclemencias meteorológicas y de las fieras y ene- migos que les acechaban. Así pues, cualquier persona es productora de información desde el pre- ciso momento en que aprende a leer, a escribir, sobre todo esto último ya que un documento no es otra cosa que la escritura, o cualquier otra forma de expresión, de un determinado conocimiento que queda reflejado sobre II

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Revista General de Información y Documentación ISSN: 1132-1873Vol, 9, ni 1- 1999: 11-31

HISTORIADEL LIBROMATEMÁTICO:UNA APROXIMACIÓN

CARLOS MANUEL DA COSTA CARBALLO

EscuelaUniversitariadeBiblioteconomíay Documentación(UCM)

«Nadapuedeconocersede lascosasde estemundosin saberlasMatemáticas.»

(ROGERBÁcON)

Resumen: En esteartículo analizamosel origendel libro matemáticodesdesus

contenidos.

Palabrasclave: Historia del libro, Matemáticas.

Abstract: In this article we have to analyzethe origin of themathematicalbookfrom it contents.

Key words: History of book, Mathematics.

1. ESBOZODEL ORIGEN DE LA ESCRITURA

Hacealgunosmillonesde años,nuestrosantepasadossintieronla nece-sidadde expresarsey de comunicarsecon los demásparalo cual utilizaroncomo herramientabásicade estetipo de informaciónla pintura,sobreunsoportequeeran las paredesde las cavernasque les servíande habitáculopararesguardarsede las inclemenciasmeteorológicasy delas fieras y ene-migos que les acechaban.

Así pues,cualquierpersonaes productorade informacióndesdeel pre-ciso momentoen que aprendea leer, a escribir, sobretodo estoúltimo yaque un documentono esotra cosaque la escritura,o cualquierotra formade expresión, de un determinadoconocimientoque quedareflejado sobre

II

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Carlos Manuel da Costa carballo Historia del libro matemático: una aproximación

un soporte.Desdeestaperspectivalas pinturasrupestresde nuestrosante-pasadosson información,es decir, todo aquelloque se fija de algunama-nera en un soportepara serconsultadodespuésdebemosconsiderarloin-formación:

«...esindudablequeesosdibujosy pinturastienen,al mismo tiempo, uncarácterestético;esunaprimeraformadearte.Comoestambién,y sobreto-do, un lenguajeescrito,sucedequelos orígenesdel dibujo y los de la escri-tura se confunden.Parecequeel hombredebió empezara dibujar, no tantoparafijar en la maderao la piedrabellasformas queencontrasensus senti-dos, como para traducirmaterialmentesuspensamientos»’.

Aunqueel sociólogofrancésestáhablandode losdibujosquelos indiosde América del Norte hacenen susnurtunjas,waningasy churingas(quesonunosinstrumentoslitúrgicos ligadosal tótemde cadaclan),no cabedu-da de quepodríamoshacerextensivoesepensamientoa las primeraspin-turasrupestres,es decir, la pintura esunaforma de transmisiónde los co-nocimientos,de los sentimientos,de los pensamientos;esun lenguaje.

Pero algunosañosdespués,otros pueblostienen estamisma necesidadde comunicacióny surgela escrituracuneiformede los asiriosy la escritu-ra jeroglífica que nos han legado los egipcios en suspapiros,pirámides,etc.,esdecir, con unanuevaherramientaqueerala escritura,con un len-guajealgo diferenteal utilizado por el homo sapiensya que esteutilizabael dibujo mientrasque los otros utilizabanmásel símbolo,aunquecon unmismo soporteparapreservarla información,noslegaronun excelenteca-tálogo de costumbresgraciasa la comunicaciónexpresadaen una de susformas.

Despuésfue la imprentala que se encargóde difundir máscantidaddeinformación y de forma mucho más rápida.De estemodo, podríamosse-guir viendo múltiples ejemplosde hombresde otras civilizaciones y deotrasépocashistóricasqueutilizando lenguajesdiferentesy graciasa unasherramientasmás o menosprácticas,plasmaronsobreun soporte la in-formaciónquehoy en díapodemosconsultare interpretary que,de no ha-bersido por la iniciativa de aquelloshombres,nos enseñacomo fue nues-traexistenciacon anterioridad.

Ahora, en la rectafinal del siglo XX, la ideabásicao fundamentales lamisma, o sea, generarinformación aunquela herramientay el soporte

¡ DURKHEIM, Émile: Las fonnas elementales de la vida religiosa. Madrid: Alianza Edi-torial (Colección:El Libro de Bolsillo, Sección:Humanidades,nf 1615), 1993. Op. cil. enla p. 220.

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varían,no asíel lenguajeque es el mismo,bien en su forma escritao ensurepresentaciónpor imágenes,es decir, hoy en día tenemosla informá-tica parapoderdesarrollarestosaspectos.

De otra parte,sabemosque los pueblosque no conocensuhistoria sevenobligadosarepetirlacontodo lo queello implica,es necesarioqueem-pecemospor el estudiode laHistoria del libro matemático.Porlo tanto,lahistoria es importante.No sepuedellegara comprenderlos acontecimien-tosmásrecientesen cualquiercampodel sabersi no utilizamosla historia.¿Cómo?,como unaherramientaquenos permitarealizarun seguimientode lasmanerasenquese hanido produciendoesosacontecimientosdefor-ma progresiva.Comodice Durkheim (1858-1917)en Lesformesélémen-taires de la vie religieuse:

«Lahistoriaes,enefecto,el único métodode análisisexplicativoqueesposible aplicar. Sólo ella nos permite descomponerunainstitución en suselementosconstitutivos,pues nos los muestranaciendoen el tiempo unosdespuésdeotros. Porotraparie, situandocadaunode ellos en el conjuntodecircunstanciasen queha nacido,ponea nuestroalcanceel únicomedio quetenemosparadeterminarlascausasquelo hanprovocado.Siemprequesein-tentaexplicarun asuntohumanotomado en un momentodeterminadodeltiempo —ya se trate de unacreenciareligiosa,de unanormamoral, de unpreceptojurídico, de unatécnicaestética,de un régimeneconómico—,esprecisocomenzarpor remontarsehastasu forma másprimitiva y massjm-pie, buscarla enumeraciónde los caracterespor los quesedefineenestepe-riodode su existencia,y luegomostrarcómo, pocoa poco,sehadesarrolla-do y complicado, cómo ha llegado hasta lo que es en el momento aconsiderar»2.

JI. LOS ALBORES

La primerapreocupaciónde la humanidad,dentrode la órbitaquees-tamossiguiendofue, sin duda,el intentarsolucionarde algunamaneraelproblemadel cálculomatemático,esdecir,poderdeterminarde algunafor-ma el númerodelas cosasqueveíana sualrededor.La soluciónquesenosantojaen principioaesteproblemay en plenosiglo XX es sencilla,contarconlosdedosde las manos.A estesistemaprimigeniode contarobjetossele ha llamadosistemaquinario(cincoelementos).Perosólo hay 10 dedos,por lo quepasarde estacantidaddebióentrañarenormesdificultadesparanuestrosantepasados.

2 DURKHEIM, Émile (1993): Ibide,n. Op. dL en la p. 31.

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c,¿,lc>s Manuel da Costa Carballo Historia del libro matemático: una aproximación

El hombredel PaleolíticoSuperior(30.000a 10.000a.de C.), al no es-tarcivilizado era muyobservador,siendobastanteprobablequelos prime-ros cazadoresy posteriormentelos primeros comerciantes,aprendieronmuy pronto acontar

Es conocidoqueen esteperíodolas conchasse utilizaron ademásdepara comercomo adorno. Pero también se hanencontradounos cuantosmillares deellas queno solono servíanparacomersino queademásno ha-bíansido perforadaspor el hombreprehistórico,por lo queno hanpodidoserutilizadascomoadorno,si bienpodemospensarquese utilizabanparacontarobjetos, e incluso, algunos «osadosinvestigadores»piensanqueeranusadascomomonedas3.

Estanecesidadde contarquedaplasmadaen la existenciade todo tipode incisionesen lasparedesde las cuevaseinclusoen huesosde marfil, co-mo el encontradoen 1937 en Vestonice(Moravia, Checoslovaquia).Elhuesoes el radio de unaespeciede lobo del PaleolíticoMedio (100.000a30.000a. de C.), con55 muescasdispuestasen seriesdecinco.

Un pocomáscercade nuestraera, año 3.000a. de C., naceunade lasculturasmásimportantesde todas las épocas:Egipto. Porsupuestoquenovamosa hablarde estacivilización, perosi quenosvamosa referir a aque-llos aspectosde las matemáticasegipciasquenosinteresan.

Las fuentesde información enestecasoya no son las cuevas.Ahoranosencontramoscon los papiros. A finales del Imperio Medio, el Norte deEgipto es invadido por pueblosde origen asiático.Uno de estosinvasores,los hiesos,son losqueelaboran4el documentomatemáticomásantiguoqueseposeepor el momento:se tratadel papiro Rhind(datadoenel sigloXVII

«Los génerosNassa,Cerithium,Trochusy Columbella,planteala cuestiónde si enaquellaremotaépocaestasrarasconchasse utilizabanya comomoneda,comoocurríaenÁfrica haceapenasunos anos»[TATON, René(dir.) (1988): En la aurora de la ciencia. Lostiempos prehistóricos. Historia general de las ciencias. Las antiguas ciencias del Oriente,Barcelona:EdicionesOrbis, 1988,vol. 1 (11-23).Op. éL en la p. 20].

4 Aunque mejor tendríamosquehaberdichoreproducen,porquepor los contenidosdeldocumentose infiere que habíahabidouna progresióndesdetiempospasados,quebien portradición oral o bien porqueno han llegadohastanosotroslos documentosprimarios,porloque sepodríanconsiderarcopiaso adaptacionesdeotrosdocumentoscompuestosen el Im-perio Antiguo. Igual sucedeconotros papiros,comoporejemploel de Ebers,el Smith,etc.Es por lo tanto el Imperio Antiguo donde«hay que remontarseparafechar los descubri-mientosquefundarono establecieronsólidamentela Matemática,la Astronomía,la Medici-na. Ningunaobracientíficadeaquellaépocahallegadohastanosotros;perolos papirosma-temáticosdel Imperio Medio suponennumerosasexperienciasmasantiguasy una largaylenta elaboraciónde la cienciade los nómeros»fTATON. René(din: Las antiguas oenc,asdel Oriente: Egipto. En: TATON, René(dir.): Ibidem, vol. 1 (27-87). Op. ch en la p. 281.

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a. de C.). Perohayotrospapirosen los quesepuedeverel pensamientoma-temáticode los egipcios: papiro Moscú (de la mismaépocaqueel Rhind),papirosde Kahuny deBerlín (ImperioMedio), un manuscritode cuero(enel British Museum)y unatablilla demadera(enel Museode El Cairo).

¿Quéaportala aritméticaegipcia?En primerlugar, los egipciosteníanya un sistemade numeracióndecimal con signosespecialespara las uni-dades,decenas,centenas,etc. ~ repitiendolos signostantasvecescomo seanecesariohastaexpresarla cifra deseada,lo cual era un grave inconve-niente,comoeratambiénun gran inconvenientela falta de sistemáticaenla metrologíaantigua, y por lo tanto en la egipcia, queparacadamedida(capacidad,peso,longitud, etc.) teníanuna terminología individual conmúltiples subdivisiones.

La aritméticaegipciateníaunaventajasobrelas demás,no eranecesa-rio aprenderselas cosasde memoriacomopor ejemplonosotros,queyadesdenuestratiernainfancia nos acosanconla tablade multiplicar, dedi-vidir, etc. Veamosdosejemplos:

1) Multiplicar 25 x 9: 1 92 184 368 72

16 144

En la columnade la izquierdase partesiempredesdelaunidady sevaduplicando.En la de la derechase poneel multiplicador(enestecasoel9)y seduplica también.A continuación,enla columnade la izquierdasebus-can aquellascifras quesumadasdencomoresultadoel multiplicando(querecordemosera25): el 1, el 8 y el 16 (su sumada 25). Hechoésto,suma-mos las cifras de la columnade la derechaque les correspondaa cadaunade las anteriores(9 + 72 + 144) y ya tenemosel resultado:225.

2) Dividir3l2:6: 1 62 124 248 48

16 9632 192

5 Puedeconsultarsela numeraciónjeroglíficaegipciaenla fig. 4 dela p. 33 deTATON,

René(dir.) (1988): Las antiguas ciencias del Oriente: Egipto. Ibidem, vol. 1(27-87).

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Ahoraen vezde buscaren la columnaizquierda,buscamosen la dere-chalas cifras quesumadasdencomoresultadoeldividendo (quees312),siendoestascifras 24 + 96 + 192= 312.Buscamosenla dela izquierdalascifras queles corresponde(4; 16 y 32) y las sumamos,dandoel resultadode la operación:52.

Ademáslos egipcioselevabannúmerosal cuadrado,sabíanextraerra-ícescuadradas(paraaplicaral cálculode superficiesagrícolas),calculabanprogresionesaritméticasy geométricas,y manejabanecuacionesde segun-do grado.

Con serestomuy importanteparael períodoen que nosencontramos,el carácteraditivo (sumasde duplicaciones)de la aritméticaegipciafueunenormehandicapparael desarrollode su Astronomía, pueslos cálculossonenormementecomplejos.

Vemospuesquela necesidadde contares laqueagudizael ingeniodelas personasde aquellacivilización:

«Parapoderadministrarel conjuntodelpaís,y aunsólo paraconocerlosrecursoseconómicosy disponerde ellos, el Gobiernocentraly el provincialrequieren,en un paísquejamásllega a poseerunaunidadmonetariade re-ferencia,el desarrollode unaenormecontabilidadmaterial.(...) Comotodaslasaritméticas,la egipciase reduce,en último término, a un procesoumeo:contar»6.

Por lo tanto,el sistemasocialimperanteen las cortesfaraónicas,impu-soestegrandesarrollode lacontabilidad7.

Por las mismasfechas,3.000a. de C., aunqueenotro lugar,Mesopota-rma, surgeotraculturaquetuvo su importanciaen laciencia.Se tratade lacultura sumerio-babilónicao sumerio-akkadia.Varios pueblosabarcaestanuevacultura(los asirios,los casitas,loshititas, los hurritas,etc.) cuyaim-pronta más loable fue la tareade compilación y transmisiónde conoci-mientosquellevarona cabo.La aportaciónmásimportanterealizadaen es-ta culturaes sin dudala cienciade las listas,queempezaronsiendolistasde signos ante la complejidadinicial de la escritura, y acabaronsiendo

TATON, René(dir.) (1988): Las antiguas ciencias del Oriente: Egipto. Ibidetn, vol. 1(27-87). Op. cit. en las pp. 34-35.

«Todocomercioseoperaba,pues,portrueque,inclusoel indispensableparala vida.Además,segúnparece,la propiedadprivadaeramuy limitada; la tierrapertenecía,en la ma-yor partedelos casos,al fasaóno alos templos.Tal sistemasocial,enel queel individuo es-tá porfuerzaacargode quienlos emplea,faraóno sacerdotes,implica, a faltade toda mo-neda,unaenormecontabilidadmaterial,...»ITATON, René(dir.) (1988):Las antiguas c¡enc¡asdel Oriente. Egipto. Ibide,n, vol. 1(27-87).Op. cil. enlap. 41].

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unosexcelentesrepertoriosléxico-gráficosde casi todoslos temas:mtne-rales,plantas,animales,utensilios,vestidos,construcciones,alimentos,be-bidas,dioses,estrellas,países,ríos, montañas,estrellas,oficios, clasesso-ciales,partesdel cuerpohumano,etc.

Las fuentesde informaciónson bastantenumerosas(textosde aplica-ción práctica,catálogosde referencias,coleccionesde problemasresueltossinexplicaciónni justificación, etc.) perogeneralmenteanónimas,sin da-tar y sin contenidosteóricos,porlo quecabesuponerquela transmisiónre-al de conocimientoseraoral.Hastaahorahemosvisto quedebíanresolverproblemasmaterialescotidianos,y eso es lo quenos encontramosen losdocumentos,no habiendobasesteóricasen ninguno de ellos, por eso es«cienciaa medias»lo queestamosanalizando.

Hay un componentemágico-adivinatorio,muy importanteen estacul-tura,másavanzadoqueel de los pueblosprimitivos quenosanunciael na-cimientodel espíritucientífico:

«Enel ejerciciode su arte,el adivino exhibeunaactitud quepresagiayael espíritucientífico. Esaactitud semanifiestano sólo en la amplitudy finu-rade la observación,sino tambiénen la búsquedade laexperiencia.El adi-vino no selimita aobservarla configuraciónde los elementos,suposiciónysus relacionesrecíprocas,sus medidas,susanalogías,etc.; muy a menudoprovocaél mismo la observación»5.

Lasfuentesde informaciónsobrela cienciade los númerosenestanue-vacultura, nos las encontramosentablasnuméricas,no muy distintasalastablasquetenemoshoy en día, y tablillasde problemas,quesonunaseriede tablillasconmuy variadosejerciciosaritméticos.

Tomaremoscomoreferentela Tablilla Sumeriaque se encuentraen elMuseoSemíticode la Universidadde Harvarddatadahaciael año3.000a.de C. Estatablilla tienegrabadoscaracterescurvilíneosy cuneiformes,yen ella los expertoshanllegadoa identificardosnúmeros:el 6 y el 24. Porlo tanto podemosconsiderarestatablilla como la primera representacióngráficade escrituranumérica.

La numeraciónasirio-babilónicaes posicionalde basesexagesimal9.En principio podemosdistinguir dossistemasde numeración:unoposicio-nal y otro no posicional (de éstehablaremosmás adelante).En el primer

TATON, René(dir.) (1988): Mesopotamia.lbidetn, vol. 1(88-154).Op. cir enla p. 99.9 Sistemaéstequeesfundamentala la horade automatizarlos procesos,puessimpli-

fica mucholas operacionesde mecanizacióny permitela expresióndecantidadesmuy pe-queñasasícomomuy grandes.

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sistemacadadígito queentraa formarpartede unacifra tienedoble valorUn primervalor esel absolutoconrespectoala unidad.Un segundovaloresel relativo conrespectoa la situacióndel dígito dentro de la cifra. Porejemplo, lacifra 44 tienedos dígitosquese repiten,el 4. El valor absolutode cadaunode los dígitoshacequeel 4 de la derechatengaun valor de 4unidades,mientrasqueel de la izquierdalo tengade40. Con el valor rela-tivo ocurre lo mismo, el 4 situado a la derechaes menos significativo(equivalea 4 unidades)queel que estásituadoa la izquierda (equivalea40 unidades).Por lo tanto en estesistemacadadígito tienediferentevaloren funcióndel lugarqueocupadentrode la cifra.

Lascaracterísticasde los sistemasde numeraciónposicionalson:

— labasedel sistemanosdice cuantosdígitospodemosutilizar en elmismo: el decimal(base10) permitetrabajarcon 10 dígitos (del Oal 9), el octal (base8) conocho(del O al 7), el binario (base2) condos (el O y el 1), el hexadecimal(base 16) con dieciséisdígitos(del O a laF, es decirlos diez dígitosdecimalesy las seisprimerasletrasdel alfabeto),sexagesimal(base60);el conteode los dígitosse haceañadiendode 1 en uno los valorescorrespondientes.En cualquierbasecuandovamosa llegar al va-br máximo,si le incrementamosotra unidadse poneun O en esaposición y se acarrea1 al dígito dela izquierda.Porejemplo,enelsistemadecimal el dígito de más valor es el 9, si queremosaña-dirle unaunidad quedaráun O en posiciónde unidadesy el 1 pa-saráal lugar de las decenas.Porejemplo el 99. Al sumarIeunoquedaráun O en el sitio de las unidadesy seacarreael 1 a las de-cenasperocomose incrementaotra vezquedaun O enlas decenasy el 1 seacarreahaciael sitio de las centenas;

— cualquiernúmeroenteroN puededescomponersesegúnel Teore-ma Fundamentalde la Aritmética:

N = A0n0 + Alnl + A2n2 + ... + Aknk

Donde N es cualquiernúmeroentero,k es la cantidadde dígitosquetieneel númeromenosuno, n es la basedel númeroN repre-sentadoen decimal(base10) y A esel dígito del número.

En realidad los representantescientíficos de Mesopotamiautilizabanambossistemas,decimal y posicional de base60. El primero de ellos entextosno científicos,mientrasqueel segundoen aquellosdocumentosma-temáticosy astronómicos.

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Seguimossin tenerunarepresentacióngráfica del cero. En Mesopota-mia, como en las culturasquehemosvisto hastaahora,dejabanun espacioen blancocuandoqueríanrepresentarun cero.

En cuantoa la metrología,las unidadesestabanbastantesistematizadasya y establecenunaseriede múltiplos y submúltiplosquedenotanunabue-na coherenciacientífica. Ademásestablecieronunastablasque permitíanpasarcon sumafacilidad de una medidaa otra (volumen, longitud, peso,etc.).

Otros conocimientosqueposeíaneran:raícescuadradasy cúbicas,re-lacionesexponencialesy logarítmicas,teoremade Pitágoras,reglade tres,ecuacionesde primer y segundogradocon unao varias incógnitas,ecua-cionesde tercergrado(aunqueéstasúltimas eranficticias puespartíandelresultadoparaconstruirel enunciado),fórmulasparaestablecerel áreay elvolumendel cuadrado,rectánguloy triángulo rectángulo,etc.

Pero el problemaseguía.¿Cómocontar los objetos?’0.Fueronproba-blementelos asirios [hacia el año2000 a. de C.], aunqueotros autoresdi-cenquefueen Chinadondeapareciópor primeravezpor estasmismasfe-chascomo veremosmas adelante,los que dieron con la solución a esteproblema.Roturabanen la arenao en la tierra varios surcosparalelosen-tre sí, querepresentabancadauno deellos las unidades,decenas,centenas,etc.,y sobrelos que poníanunascuentasquepodíansersemillasde frutoso piedrecitas(calculus),pudiendocon esteartilugio haceroperacionesma-temáticas,es decir, podíancontar.Perohabíaun problema,esta«primitivacalculadora»no podíanllevárselade un lado paraotro, puesera el propiosueloquepisaban,por lo que en un momentodeterminadoa alguiense leocurrió fabricarun tableroparacontarbolas,una«calculadorade bolsillo».Esta «primitiva calculadorade bolsillo» estabaconstruidade la siguienteforma: un marcode un material determinadolleno de arenaen su interiorparapoderhacerlos surcos,acompañadode algo queles sirviesede cuen-tas.

Estaherramientafueperfeccionadapor los griegosy romanosqueuti-lizaron como materialesde fabricacióncobre o mármol en los que hacíanunashendidurasdondeponíanlascuentaso bolas.La siguienteinnovaciónfuedividir el artilugio en dospartes,colocandoen la superiorunabola querepresentabacinco unidadesy cuatroen la parteinferior queequivalíanca-

~<Losbabiloniosfueroncalculadoresenel más plenosentidode la palabra.En po-sesiondeun sistemade numeraciónmuy flexible, llegarona poseerunagranhabilidadarit-mética:sonlos inventoresdel Álgebra...»ITATON, René(dir.) (1988): Mesopotamia.Ibidem,vol. 1(88-154).Op. ch. en la p. 1321.

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da una de ellas a unaunidad. Posteriormentese sujetaronlas bolitas ocuentascon unasvarillas metálicasparalelassobrelas quese deslizabanyfacilitabanla realizaciónde operacionesmatemáticas.Otrascivilizacionesutilizaban cuerdasen vez de cuentaso bolas.Por ejemploel denominadoquipú de los incasdel Perú consistíaen unacuerdagruesade la quepen-díancordelesde coloresconnudosmásfinos1t. La forma derepresentarenestoscordelesel resultadode algúncálculo erapormedio de nudos.

Fuesecual fueseel artilugio, tuvo diferentesnombressegúnel puebloo civilización que lo utilizó: abaco abaq(queen hebreosignificapolvo),abax de los griegos(quesignificatablero),suanpanchino, stscbotyruso,sorobanjaponés,abacuslatino y castellanizándolo:~ibaco.

Este primitivo ingenio, el ábaco,permitía la realizaciónde las opera-cionesmatemáticasbásicas,a saber:suma,resta,división, multiplicación,potenciasy raícescuadradas.

El ábacoquepodemosver aúnhoy en funcionamientoesel sistemadecontarlas carambolasen unamesade billar, o el sorobanjaponésquediolugar en aquella nación, a que se creara una carrera llamada calculista deábaco.

Paraconcluir con Mesopotamia,diremos que en el desarrollode sucienciatuvo unagranimportancia,comohemospodidocomprobar,lasma-temáticas.

Siguiendoconla búsquedade los conocimientosmatemáticosnostocahablarahorade otras dos culturas situadasentre la Alta MesopotamiayEgipto. Se tratade las culturasFeniciay de Israel’2. De los primerostene-mosescasosdocumentospues escribíancasi todo en papiros(que han de-saparecidoen su granmayoría),y algo menosen inscripcionesen piedrayen tablillas de arcilla.

Los fenicioshanhecho,quizás,la mayorcontribucióna todaslas ramasdel saber,la creacióndel alfabeto(disociaciónsistemáticade los elemen-tos del lenguajeen-vocalesyconsonantes)en-la-segundamitad-del segun-do milenio a. de C., queen principio era de 30 letras parapasara finalesdel milenio a tener22. Los griegoslo quehicieronfue adaptarel alfabetoa supropia lenguay extenderloporcasi todoel mundo:«la mayorparte

Ademásdelquipó, lacienciaaritméticadela AméricaPrecolombinasebasabaenlanumeracióndecimalvigesimal, por lo quepodíanmanejarcifras grandes Vemos, una vezmas,quees la necesidaddecontarlas cosasdetodaclaselo queobliga alaspersonasdees-tasépocasa inventarartilugiosde estetipo parasolucionaresteproblema.

[2 Un buencapítulosobreel desanollocientíficodeambasculturaspuedeverseen lA-

TON, René(dir.): Fenicia e Israel. En: TATON, René(dir): Ihidem, vol. 1(155-167).

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de las escriturasmodernasderivanenforma máso menosdirectadel alfa-betofenicio»’3.

En el campoquenos interesa,el de la aritmética,pocasnovedades,almenosconla documentaciónexistente.El sistemade numeraciónesel de-cimal. Hay documentaciónen la que se apreciannumerosasadicionespe-ro no hay ningún documentoquenos indique si empleabanlas otrasope-racionesbásicas(la resta,lamultiplicación,etc.),aunquecabesuponerqueles eranconocidas.

En cuantoa la otra cultura, Israel, hayqueespecularaúnmás,puesladocumentaciónen laquese puedeestudiarsudesarrollocientíficoes la Bi-blia.

Se puedeinferir queno aportannada,sólo se dedicaronaimportarto-do lo quesusvecinosdescubríano utilizaban,y lo manejabandeformaem-pírica. Conocíanlos sistemasde numeracióndecimaly sexagesimal,eranunosbuenosorganizadoresy clasificadores,y pocomáspodemosdecír

III. LOS PRIMEROS MANUALES

En la India síque tenemosinnumerablestextos (no científicos, litera-tura especial,todoescritoen sanscrito)quenosaportantoda la seriede co-nocimientoscientíficos queposeíaestacivilización. Fue unade las civili-zacionesmaterialesmás avanzadase influyó notablementeen su entornogeográfico (Tibet, Mongolia, Indochina, Birmania, Tailandia, Camboya,Indonesia,etc.).

La documentacióntiene dos fuentes importantes,los textos Védicos(1500 a 1000 a. de C.), que son textossagradosfundamentalmente,y lostextosBre2hmana(1000 a 500 a. de C., cuandose inicia el budismo),queerancompendiosexplicativos de los anteriores’4.

TATON, René(dir.) (1988): Fenicia e Israel. Ibidem, vol. 1(155-167).Op. cit. en lap. 164.

~ «EsosescritosLíos Védicos y los Bráhmana]representanun esfuerzoen la búsque-dade leyessencillasdelas relacionesnaturales,subyacentesa la multiplicidad y variedaddelos fenómenos.Muy a menudoconsideranorgánicasy fundamentalesrelacioneso corres-pondenciasqueson superficialeso falsas.Mas no porello dejande manifestarun ardientedeseode comprenderel mundo en vez de sufrir con pasividadlas consecuenciasde leyesmisteriosaso manejarde modo empíricoalgunosmecanismoscasualmenteaprehendidos.Esosescritosdan testimoniode un espíritu científicoqueaspiravivamentea transformarlosensibleen inteligible, a someterla Naturalezaala razón» [TATON. René (dir.): La CienciaHindú antigua. En: TATON, René (dir.): Ib¿dern, vol. 1(16S-201).Op. cit. en lap. 172).

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Conocíany poseíanunatabla de senosy cosenos,que es la másanti-guaqueseconoce(y quese puedever en el Cap.II del Súryasiddhánta,ellibro de la Solucióndel Sol, escritoen el siglo IV a.de C.), manejabanmi-meroselevadosen suscálculos(potenciasde hasta1023),el teoremade Pi-tágoras,numeraciónescrita (amediadosdel siglo III a. de C.) sin el ceroen principio, empiezanla enseñanzade las matemáticas(lo que se puedecomprobaren los tratadosde Astronomíade la épocaclásicahindú), raícescuadradasy cúbicastal y como las hacemoshoy, valor de B (3.1416),no-tación del cero (en la épocaÁryabhaíahaciael siglo VI a. de CV5.

Es en la India dondenos encontramoscon el primer manual de mate-máticas(Ganitasárasangrahao Compendiode lo esencialdel cálculo es-crito por Mahávira en el siglo IX a. de C.), en el quese establecela ter-minologíaempleada,las operacionesaritméticas,las fracciones,la regladetres,áreasy volúmenesy cálculo), ademásde quepareceserqueen la In-din se utilizaba el ábacopararealizarlas raícescuadraday cúbica.

En estecamino por la historiadel libro matemático,y antesdepasaralmundogrecorromano,vamosa analizarla última cultura antigua,la civili-zaciónChina, queya en el siglo XIV a. de C. teníasuescrituratal y comola de hoy prácticamente.

Un hecho importanteen el tema central que estamostratandosucedeentrelos años220 a 280 de nuestraera,unaenormedifusióndel papel,quesehabíainventadoantes. Por lo tanto tenemosun nuevo soportede infor-mación,el papel.

Hemoscomentadoya quehaciael año2000 a.de C. los asirios,aunqueotros autoresdicenquefueen China, fueron los quedieronconla soluciónal problemadel cálculo,con la creacióndel ábaco(suanpande los chinos).El sistemaempleadopor los chinosera el siguiente:

<El papelquehandescmpeñadoentrelos latinoslas piedrecitas(calcu-Ii) lo desempeñanenChina unos bastoncillosojunquillos. Se utilizabanpa-raescribirun númerocolocándolosen unamesaregladao en un enrejado.

no habíamásquecolocarcl númerodejunquillos correspondientealasunidades,en la columnade la derecha;el correspondienteal delasdecenas,ala mismaalturaen la columnasituadainmediatamentea la izquierda:el nó-merode junquillos correspondientea lascentenas,en la columnasiguiente,etc. (...) Paraevitar errores,los junquillos se colocabanverticalesen lasco-

‘~ Aunque no lo crearonellos si hacemos casodel siguientepárrafo: «Dadoqueel ce-yo seinventó en Mesopotamiaantesde la época en quelos elementosdela culturamesopo-tán,icafueron importadosa la India por los persas,esposiblequelos hindúeslo tomarandelas matemáticasbabilónicas...»[TATON,René(dir.) (1988): La Ciencia Hindú antigua. ¡bi-den,., vol. 1(168-201).Op. cuy enla p. 191].

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lumnasimpares,empezandopor la de lasunidades,y horizontalesen laspa-res»’6.

Ya hemoscomentadoqueel ábacovarió deforma en todaslasculturas.Cuandoaparecíannúmerosnegativosen cualquieroperaciónlos junquillosdecoloreransustituidosporjunquillos negros.Esunaprimeraformadedi-ferenciarnúmerospositivosy negativos.La sumay larestaen eldamerodejunquillos se hacíacolocandotal y comohemosindicadolas cifras conjunquillos, y luego se reuníano sesubstraían’7.

Todavíano podemoshablarde máquinasen el sentidoquedamoshoyen día a estapalabra,esdecir artificios queaprovechano regulanla acciónde unafuerza.Es a partir del siglo XV cuandose vislumbra la posibilidaddecrearunamáquinaqueseacapazde realizaroperacioneso cálculossinerror y de forma automática,esdecir, empiezala gestaciónde la Calada-dora Mecánica.La causaprobablede estesucesose debió a que en estemomentolos principalesproblemasde construcciónseránresueltosfavo-rablemente,ademásde que la produccióndeestasmáquinasfue algo másrápida.Ya hablaremosmás adelantede esto.

Tambiénloschinoshacíanraícescuadradas,conocíanel teoremadePi-tágoras,y teníanunaobramatemáticallamadaKieu changsuanchu (Artedecalcularen nuevecapítulos)dondese encuentrantodos los conocimien-tos matemáticosde estacivilización: cálculode superficiesde rectángulos,trapeciosy triángulos, círculo, proporciones,tantospor ciento, regla detres, raíces cuadradasy cúbicas,volúmenes del prisma, pirámide, etc.,ecuaciones,teoremade Pitágoras,etc.

IV. ECLOSIÓN DE LA CIENCIA MATEMÁTICA

De estaformallegamosal mundogrecorromano,pudiendoafirmar,co-saqueyamuchosotrosautoressehanencargadode demostrar,que la cien-cia nació en Grecia:

«Medicina,Historia Naturaly Matemáticademostrativason considera-das,conjusticia, comolas creacionescientíficasmás hermosasdel helenis-mo. Enestostresdominios,herederosde unalargaprehistoriay por vías di-

~ TATON, René (dir.): La CienciaChina antigua. En: TATON, René(dir.): Ihidein, vol.1 (202-220). Op. ciÉ en las pp. 206/7].

‘~ La multiplicación y la división vienen muy bien explicadasenTATON, René (dir.)(1988): La Ciencia China antigua. Ibidem, vol. 1, p. 208.

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versas,aunqueparalelas,los griegos llevan a cabo, en un tiempo relativa-mentebreve,progresossorprendentesen cuantoa la extensiónde los cono-cimientosy alos métodosde pensamiento»’5.

Son los presocráticos’9los primerosque intentandar unaexplicaciónmáso menosracionaldel mundosensible,lanzandounaseriede hipótesisdesprovistasde actitudesmítico-mágicas.

Sólo vamos a comentaraquellaparte de las cienciasmatemáticasqueestamossiguiendoa lo largo de estaexposición,quees la aritmética,másconcretamentela numerología,y en Grecia el númerofueconsideradoco-moel principio de todaslas cosasporlo queelevóla aritméticaal rangodeciencia,hechoéstequeno se habíadadohastaentonces20.El númeropasaa serel modelode lascosas,llegandoa tener,sobretodo los diez primeros,virtudessecretas.Es la místicadel arithmós,connúmerosplanos,lineales,sólidos,supersólidos,etc.,quedesempeñóunafunción importantehastaelsigloXVII, llegandoa deslumbrarahombresde cienciacomoPascal.Tam-bién desarrollanun conceptoimportantísimoen la cienciahoy en día comoes la antinomiapar/imparEstablecieronlas nocionesde ángulo, línearec-ta, punto, etc. Se establecetambién la demostracióndel teoremade Pitá-goras.La «demostración»21,puesya hemosvisto que en otrasculturasloutilizaban con éxito pero no hay documentaciónque verifique la demos-tración del mismo, aspectoésteque si podemosimpugnara PitágorasdeSamos(580-500a.de C.). Por lo tanto la definición y la demostraciónesel basamentode cualquiercienciaparalos griegos.

Y así siguió siendoen Roma. Los romanosse dedicarona haceradap-tacionesy compilacionesdel conocimientogriego,en prosay en verso,pe-

8 TATON. René (dir.): La CienciaHelénica. En: TATON, René(dir.): Historia Generalde las Ciencias. Las Ciencias en el Mundo Grecorromano. Barcelona: Ediciones Orbis,1988, vol. 2 L223-246].Op. cit. en la p. 225.

L~ Entre otros tenemosquecitar aquí a Talesde Mileto, Anaximandro,Anaxímenes,Jenófanes,Pitágoras,Heráclito de Efeso, Parménides,Zenón, Empédoclesde Agrigento,AnaxágorasdeClazomene,Leucipo y Demócrito.

20 «Lospitagóricosno sehanlimitado aconvertirla geometríaenarteliberal, sino que,además,al poneren el númeroel principio de las cosas,handadoa la matemáticaeseca-rácterdecienciaporexcelenciaqueya nuncasele ha regateado.“Todo lo quesepuedeco-nocertieneun número”,escribeFilolao» [TÁTON, René (dir.): Las Matemáticas.En: TATON,

René(dir.): ibídem, vol. 2 (247-273).Op. cit. enla p. 247].21 En Greciala demostraciónfue unaexigencia.El resultadode cualquierhechodebía

deestarfundamentadoenla razón,debíapoderserexplicadoy probadoconexactitud,«tie-ne que ser capazde manifestarunaverdad»ITATON, René (dir.) (1988): Las Matemáticas.Ibidem, vol. 2 (247-273).Op. ciÉ enla p. 2631.

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ro no hicieronciencia:«Máspreocupadosantetodopor laculturaliterariay la moral y en partebajo la influencia del platonismo, los romanosten-dierona dejarlaCienciaen manosde los griegoso de los técnicos(...): nohay,pues,cienciaromana...»22.

No obstanteen Roma empiezaa producirse una prácticapoco reco-mendableen cualquiermomentoy en cualquierramadel saber:la irracio-nalidad.Cuando«lascosasdel espíritu»se apoderandela cienciaestamosabocadosal retroceso,y esto sucedióen Romapor influenciasOrientales.

Sólo se consiguióen estaépocala teoríadel mínimocomúnmúltiplo ydos sistemasde numeración:

a) El sistemano posicional,dondecadadígito sólo tendráun valorabsolutocon respectoa la unidad. El representantepor excelenciade estesistemade numeraciónes el romano. Porejemplo la cifra CCIII: vemosqueen estesistemano intervieneparanadael lugarqueocupe(el valorre-lativo) pues las tresunidadesvalen lo mismoesténdondeestén,al igualque las dos centenas.De todos modos si intervienela posición del dígitoen un caso,un númeroinferiordelanteo detrásde otro superiorPor ejem-pío, IX y XI, en el primer casolacifra inferior restaal ir seguidade unasuperior.En el segundocasosumaal ir precedidade la superior.

b) El sistemaherodiano,dondecadaunidaderarepresentadapor unasletras: 1 (unidades),II (cinco), ((diez), H (cien), X (mil) y M (diez mil),siendomuy similar al romanopuro. Por ejemplo: 6 se escribe II 1; 14 =(1111,etc.

Con cualquierade los sistemasde numeración,los cálculoscomplejossólo podíanser realizadosconlos ábacosde fichas o de bolas que, comohemoscomentadoconanterioridad,si perfeccionaronlos romanos.

Estaescasaaportacióna laciencia,sobretodo la matemática,por par-te de los romanosfue unade las causasde sucasiextinción, de la cienciaclaro: «Así,sin soluciónde continuidad,sin quelos contemporáneoslo no-ten apenas,muere la ciencia grecolatinay nace la de Bizancio, mientrasqueen el Occidenteel hundimientodelas Matemáticasesbrusco,y suex-tinción, casitotal»23,ademásde la transformaciónideológicaespiritualque

>~ TATON, René (dir.): La Ciencia Helenística y Romana.En: TATON, René(dir.): Ibi-de,n,vol. 2 (333-454). Op.cit. enla p. 342.

23 TATON, René(dir.) (1988): La CienciaHelenística y Romana. Ibídem, vol. 2 (333-454). Op. cit. en la p. 383.

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sufrió la sociedadromanay de las conmocionespolíticasy étnicasque seproducenen el Imperio.

Y llegamosala EdadMedia24,siendoeseespírituenciclopédicodequehicieron galalos árabeslo quenospermitió recuperarla cienciahelena.Sí,los árabesse encargaronde inventariartodoel conocimiento,y fue al tra-ducir a su lenguael conocimientogriegocuandoal no tenertérminosparaello tuvieronqueponersea investigary, por lo tanto,a hacerciencia: «Elafánde identificary de comprobarimpone laobservación,ladescripciónylamedidaexactas,conlo cual fortificó y desarrollóla razóncientífica»25.

Es,nuevamente,la necesidadde la vida prácticala que agudizael in-geniode los matemáticosárabes.En cuantoa la numeración,antesdel si-glo IX ya teníanun sistemade numeraciónmuy similar al de los griegos(palabraso letrasdelalfabetopararepresentarlascifras).A finalesdel mis-mo siglo importande la India el sistemadecimaly posicionalqueincorpo-rael cero.Lasoperacionesse realizabansobreun tablerocon arenao pol-yo. Posteriormentecrearán la numeraciónque todos utilizamos en laactualidad,los númerosarábigos,que se confeccionana partir de los án-gulos quequierenrepresentarcadauno de ellos (el 1 un ángulo,el 2 dosángulos...).

En Chinase sigueperfeccionandoel instrumentode cálculollegandoaldiseñodel ábacode bolas,descritoen laHerenciadenotassobreel arte delos númerosde Siu Yo. Dentro de esteábacohaydos modelos:

«La primeraconsisteen unatabla o cuadroconvarioscordonesparale-los,encadaunode los cualesestánenbebradas5 bolas;la última deéstasesdecolor distintoal de lasotrasy representacinco unidades;así, pues,enca-dacordónpuedenotarseunacifra, de O a9. La segundaformaes un cuadro

24 Que, de caraal estudioqueestamosllevando a cabo,y siguiendolas pautasde laHistoria Generalde las Cienciasqueestamosutilizando,puede«dividirse en cuatrosub-períodosprincipales:la Alta EdadMedia,caracterizadaporun bajísimonivel de los estudioscientíficos;los siglos XI y XII, en los cualesseproducela recepcióndela cienciaislámicaen Occidente,determinandola elevacióndel nivel de los conocimientoscientíficos;eí sigloXIII y el siglo XIV, en los cualesseformay florecela cienciaescolásticamedieval;la BajaEdadMedia, primeramitad del siglo XV, períodode decadenciadela cienciaescolásticayenel cual la Cienciaensí misma intentainsersarsede modo máseficazen la vida práctica,y aparecenasílos primerossignosdeunatransformaciónqueseaceleraráen el cursodelpe-ríodo subsiguiente(finalesdel siglo XV y siglo XVI). dandopaso,finalmente,a la creaciónde la Cienciamoderna>’ [TATON, René(dir): La Edad Media. En: TATON, René(dir.): Higo-ria General de las Ciencias. La Edad Media. Barcelona:EdicionesOrbis, 1988,vol. 3(461-754). Op. ch. en lasPp. 461/2).

ZS TATON, René(dir.): La Ciencia Arabe. En: TATON, René(dir.): Ibidem, vol. 3 (474-564). Op. cil. en la p. 496].

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con 9 líneasparalelas,provistodecordonesperpendicularesadichaslíneas;encadacordónestáenhebradaunaúnica bola,cuyaposiciónen el punto enqueseintersectael cordónconunalíneadada,indicala cifra quela bolare-presenta»26.

Esteábacosuplantóal quehastaentoncesse utilizaba en China, el dejunquillos, aunquehastafinalesdel siglo XIII no se generalizósu uso.Se¡legóaescribirun manualen el queseexplicabael uso del ábacode bolas(Introducción a la cienciadel cálculo de Tehu CheKie (1280-1303),es-crito en el año 1299.Estemanualfue la fuentefundamentalparael desa-rrollo del álgebrajaponés.

En Bizancio no sucediónadareseñableparael objetivo quepersegui-mos, al igual queen los puebloseslavos(polacos,checos,eslovacos,cro-atas,eslovenos,rusos,servios,búlgarosy macedonios)y en la cienciahe-brea.

En el mundocristiano,durantela Alta EdadMedia no vamosa descu-brir nadanuevo si decimosquela Cienciaestabaen decadencia.Las cau-sasquedieronlugar a estofueron,de un ladola excesivasujeciónal utili-tarismo, y por otra parteel contactoconel misticismooriental quepocoapocofue intoxicandola culturaoccidental.Ademásdeestascausashayquereseñarlas quesiemprese consideraroncomo causantesdel oscurantismomedieval:el cristianismoy las invasionesde los bárbarosdel norte.

En el campoquenosestamosmoviendopararealizaresteartículo, lasmatemáticas,destacaremosa Buda el Venerable(6737-735)quecon suLoquelaper gestumdigitorurn nosenseñótodo lo quehastaesemomentose sabíaacercadel cálculodigital.

Los árabes,en estaépoca, aportanlas cifras que llevan su nombreaunquebien es cierto quees unacreaciónhindú que los árabesintrodu-cen en occidentesobretodo paradifundir el uso del ábacopararealizarlos cálculosmatemáticos27.De todosmodosla difusión deesteábacofue

26 TATON. René (dir.): Las Ciencias en la China Medieval. En: TATON, René (dir.): fbi-dem, vol. 3 (570-583).Op. ch. en lap. 571].

27 El ábacodelos árabesdifiere del de los antiguosromanos,queeradebolas,enquesetratabade unatablaen la quelascifrastomabanun valorposicionalquevariabasegúnlacolumnaqueocupasen.Era el ábacode columnas.No empleabanaúnel cero.En estemo-delolascifraseranunasfichashechasconel extremosuperioropuntadelos cuernosqueal-gunosanimalesmudanen el año, comoel ciervo,en lasquepintabanlos númerosdel unoalnuevededos formasdiferentes:o bienconlas primerasletrasdelalfabetogriego,o bienporunaterminologíaespecial(igin el 1, andrasel 2, ormis el 3, arbasel 4, quimasel 5, caletisel6, zenisel 7, temeniasel 8 y celentisel 9). rTAToN, René(dir.): La Ciencia enel OccidenteMedieval Cristiano. En: TATON, René(dir.): lbidem. vol. 3 (624-696),Pp. 629 a 631].

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por tradiciónoral, a excepciónde un manualparauso del ábacode Ger-berto de Aurillac (940?-1003)que no sabemoscomo se titulaba peroquedebióexistir si hacemoscasoa las palabrasde William de Malmes-harry (1087-1142):«...tomóel ábacode los sarracenosy dio acercadeél reglasqueapenascomprendenloscalculistasesforzándosehastael su-dor»28.Hemosdicho anteriormentequeno seutilizabaelceroperosi pa-receque intuían su valor pues en algunasoperacionesrealizadasconelábacode columnascolocabanunaficha blancaen la columnacorrespon-dientedondehubiesequeponerun cero, llamándoseestaficha ciphero(cero), al sifr (cifra, vacío), sepos(ficha). Con el pasodel tiempolas fi-chaspasana sersustituidaspor la representaciónescritade las cantida-des,por lo que las columnasdesapareceny se utilizará el ábacode are-na o polvo, en el queescribeslas cifras que se vana utilizar parahacerunaoperación.El ábacova siendosustituidopor el algoritmoo algoris-mo (que era en aquellosmomentostodo sistemadecimalbasadoen elprincipio de posición).

Los nuevosprocedimientosde cálculoquehemoscomentadoes lagranaportaciónde laEdadMedia a la Aritmética.Desdeesemomentose iníciala redacciónde manualessobreestostemas: Tratado sobre el ábaco deAdelardode Bath (1090-1160),Líber Algorismi de numeroJndorumdeMuhammadibn al-Kbwarizini (?-í1380 1139),Líber abaci de Leonar-do Fibonaccio LeonardodePisa(1170-1240),y la enseñanzade los mis-mos:

«En 1338 poseíaFlorencia, segúnGiovanni Villani, seis escuelasdeábacofrecuentadaspor 1.000 ó 1.200 alumnosque se preparabanparaelejerciciodel comercio;..»29.

Durantelos siglosXII y XIII sevanperdiendoesasfantasíasalegórico-místicasquehabíaninundadola cienciamedieval y se va perfeccionando~

duranteel siglo XIV en Franciase ofertabaa muy buenprecio,al menoslamateriaprimaparala industriapapelera,quehabíavenidode Chinaatra-vés de prisionerosde Samarcanday de los árabes.

Con estollegamosal Renacimiento,donde«...el audazy original es-fuerzode los científicoseuropeos,al tiempoquerenovóel espíritucientí-

28 TATON, René (dir.) (1988): La Ciencia en el Occidente Medieval Cristiano. lbidem,vol. 3 (624-696).Op. cit. en la p. 631

29 TATON, René(dir.) (1988): La Ciencia en el Occidente Medieval Cristiano. lhidem,vol. 3 (624-696).Op. cit. en la p. 676.

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fico de los diferentessectoresde la ciencia,arrastróel progresode éstaenun movimientoirreversiblequese extenderá,se desarrollaráy seaceleraráen los siglos siguientes»30.

V. MANUALES DE MATEMÁTICAS

JohannesGensfleisch,más conocido por Gutenberg,inventa la im-prentaa mediadosdel sigloXV, dandolugar a unagranrevolucióndel co-nocimientocientíficopueslas cienciaspodíanahorallegaraun mayornú-mero de deseososde conocernuevascosas.En esta línea, empiezanaprodigarselas obrasde Aritmética3’ que, en un principio eranunosma-nualesprácticos,sin explicacionesni formulaciones,queveníana suplir latradiciónde la enseñanzaoral de abaquistasy maestrosdel cómputo,peroquepocoa poco se vanenriqueciendoy van abarcandotodoslos conoci-mientosmatemáticosdel momento.

Ya hemosindicadoqueel algoritmosuplantóal ábaco,es decir, el cál-culo escribiendolas cifras habíasustituidoal cálculo colocandofichas,aunqueésteúltimo seguirásiendo empleadopor todas aquellaspersonasque tenganquehacercálculosde forma prácticay rápida,como los co-merciantes,los cambistas,etc. Estotambiénseprodujo en la enseñanzadela aritméticahastabien entradoel siglo XVII, perose mantienede formaprácticahastanuestrosdíasen Orientey Rusia,e indirectamenteen otrospaíses,pues¿quiénno ha utilizado algunavez en su vida un ábacoparacontarlas carambolasen unamesade billar?

Al cambiarel métodoa la hora de haceroperaciones,al escribirlasoperaciones,nacenun sinfín deformaspararealizarlas.En el Manualanó-nimo deAritmética de Treviso(de 1478)aparecen,por ejemploparareali-zarla multiplicación,variastécnicas:por columnas,por cruz,por damero,etc., y parala división: por columnas,por barco, etc.32.

30 TATON, René (dir.): El Renacimiento. En: TATON, René (dir.): Historia General delas Ciencias.La Ciencia Moderna (De 1450a 1800).Barcelona:EdicionesOrbis, 1988.vol.4 (5-214). Op. ciÉ enla p. 7.

~‘ Como por ejemplo:Sphaera de Joannesde Sacrobosco,Theoricaenovae planeta-rum dePuerbach,Quadripartitum y Almagesto de Ptolomeo,Elementos deEuclidesdeGio-vanníCampanusdeNovara,Manual anónimo de Aritmética enTreviso,Sunima deLucaPa-cioli (1445-1514),etc.

32 Paraanalizarcadauna de estastécnicashayque leer el epígrafetitulado Los pri-merosmanualesde TATON, René(dir.) (1988): E/Renacimiento. !bidem, vol. 4(5-214),Pp.28-30.

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Es en uno de estosmanuales,el Triparty dansla sciencedesnombíesde NicolásChuquet, escritoen 1484,dondeapareceporprimeravezel ce-ro conla significaciónquele damoshoy en díay laprimeraaproximacióna la ideade logaritmo.

Tambiénse empiezaa ver en los manualesal uso los signos+ (más)y— (menos).

No vamosa comentarnadaacercade las máquinasque se empiezanadesarrollarparafacilitar los cálculosmatemáticos,puescreemosque esetemase debetrataren unaHistoriade la informática,tareaquede momen-to no es nuestrapretensiónen estetema.Solamente,paraaquellasperso-nas interesadasen esteaspectovamosa pasaraenumerarbrevementeloshitoscronológicosacaecidosen estacuestión:

— 2000 a. de C. Abaco(Primeringenio decálculo creadopor la huma-

nidad,probablementepor los Asirios).

— SigloXV Leonardoda Vinci (1452-1519) concibeel Primerpro-totipo decalculadoramecÁnica.

— 1581 Gunthercreala Reglade Cálculo.

— 1614 JohnNeper(1550-1617)desarrollala teoríade los Loga-ritmos.

— 1623 Wilhelm Schickardinventa la PrimeraCalculadora.— 1645 Blaise Pascal (1623-1663)pone en funcionamientosu

MachinaArithmetica.

— 1666 Samuel Morland fabrica su máquinaSumadora-Resta-dora.

— 1694 GodofredoLeibniz (1646-1716)creasu CalculadoraUni-versal.

— 1725 B. Bouchonaplica las TarjetasconPerforacióna la in-dustriatextil.

— 1728 M. Falconhacelo mismoqueel anterior.— 1801 Joseph-MarieJacquard(1752-1834)patentael primerte-

lar automáticocontroladopor TarjetasPerforadas.

— 1875 Baldwin comercializalaRuedadeOdbner.1878 RamónVerea García (1833-1899)crea la Calculadora

demultiplicacióndirectaen NuevaYork.

— 1887 El francésLeonBolléecrealamáquinaMillonnaire queeraidénticaa ladel españolcitadoanteriormente.

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VI. BIBLIOGRAFÍA

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