1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2006)

8/7/2019 1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2006)

1/29

Svyravimai ir bangos

Svyravimai

Svyravimas judjimas ar procesas, pasiymintispasikartojimu laike.

Mechaninis svyravimas periodikai pasikartojantis materialiojotako ar kno judjimas erdvje.

doc. dr. Vytautas Stankus, Fizikos katedra, KTU


2/29


Svyravimo pradios slygos.

1. Materialus knas turi gyti daugiau energijos, negu turi stabilios pusiausvyrospadtyje.

2. J turi veikti grinanioji jga.

3. Papildoma energija, gauta, j nukreipus nuo stabilios pusiausvyros padties,

neturi bti visa ieikvota pasiprieinimui nugalti, grtant t padt.



3/29


Svyravim tipai:

Savieji svyravimai takas svyruoja veikiamas vien tikgrinanios jgos.

Laisvieji svyravimai takas svyruoja veikiamas grinanios jgosir aplinkos pasiprieinimo jgos.

Neslopstantieji svyravimai tako svyravimai pastovia amplitude kintantlaikui.

Slopstantieji svyravimai tako svyravimai majania amplitude.

Priverstiniai svyravimai pastovios svyravim amplituds palaikymas,papildant kiekvien svyravim energija.

Auto svyravimai tokie svyravimai, kurie atsiranda veikiantsistem pastovia jga ar suteikiant pastovenergijos kiek.



4/29


Harmoniniai svyravimai

Spyruoklin svyruokl vadinamas kietas knas, pakabintas anttvirtintos spyruokls.

ioje svyruojanioje sistemoje knas judaviename imatavime, t.y. tiesje.Pagal II Niutono dsn kn veikiani jgatstojamoji yra lygi impulso kitimo

spartai:Veikianios jgos ia yra spyruokls tamprumo jga (Huko dsnis):

,kxF !

Dinamikos lygtis bus:,

2

2

dt

xdm

dt

dvm

dt

dmv

dt

dpkx !!!!

T.y. II eils diferencialin lygtis ,02

2

! kxdt

xdm arba: ,02

2! x

mk

dtxd

Paymjus: , gauname:m

k!0[ ,0

2

02

2

! xdt

xd[



5/29


Harmoniniai svyravimai

ios lygties sprendinys yra vadinamo harmoninio svyravimo lygtis:

- svyravimo faz.

,02

02

2

! xdt

xd[

)sin( 00 N[ ! tAx )( 00 N[ t

TR[ 20

! - svyravimo kampinis danis.

T

1!R - svyravimo danis.

A - svyravimo amplitud.

x - svyravimo nuokrypis nuo pusiausvyrospadties.

t, s

A

x



6/29


Harmoniniai svyravimai vaizdavimas amplituds vektoriumi

)sin(sin0

N[N !! tAAxb

a!Nsin



7/29


Harmoniniai svyravimai pagrindins charakteristikos

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo faz N dydis, apibdinantis svyruojanio tako padt ir judjimo kryptkonkreiu laiko momentu.

N

A



8/29



Svyravimo fazi skirtumas (N dydis, apibdinantis svyruojanio tako padt irjudjimo krypt kito svyravimo atvilgiu.

t, s

A

t, s

A

t, s

A

t, s

A

(N!# (N!#



9/29



Svyravimo periodas T laikas, per kur vyksta pilnas vienetinis svyravimas.

Harmoniniam svyravimui turi galioti slyga:

T, s

t, s

A

T, s

mnkainTtAtAx ,...,3,2,1),)(sin()sin(0000

!!! N[N[



10/29

Svyravimo danis R svyravim skaiius per laiko vienet (SI sistemoje - 1 s),matuojamas Hercais Hz. (1 Hz 1 svyravimas per 1 s).



mg

T, s

S,m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

T

1!R



11/29



mg

T, s

S,m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo amplitud A didiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padties.



12/29



Bendrai:



13/29


Harmoningai svyruojanio kno greitis ir pagreitis

)sin()sin(

)cos()cos(

)sin(

00000

2

0

000000

00

N[N[[

N[N[[

N[

!!

!!

!

tatAa

tvtAv

tAx

2

2

)(

dt

xd

dt

dv

a

dt

dxv

tfx

!!

!

!

- Poslinkio priklausomyb nuo laiko

- Greiio priklausomyb nuo laiko

- Pagreiio priklausomyb nuo laiko



14/29


Harmoningai svyruojanio kno energija

00

2

22

0

2

cos22

N[[

!! tAmmv

Wk

00

2

22

sin22

N[ !! tkAkx

Wp

Spyruoklins svyruokls svyruojanio knoenergijas gausime stat poslink kinetins ir potencins energijos iraikas.

Kadangi: , tai0

[!m

k

00

2

22

0 sin2

N[[

! tAm

Wp

Pilna svyruojanios sistemos energija yra lygi sumai:pk WWW !

Kadangi:

Pilna svyruojanios sistemos energija:

1sincos00

2

00

2! N[N[ tt

2

22

0Am

WWW pk[

!!



15/29


Pagal II Niutono dsn sukamajam judjimui:

Fizin svyruokl absoliuiai kietas knas, kuris veikiamas savojo svorio,svyruoja aplink a, neeinani per jo svorio centr.

MLdt

d TT!

MlgmlPdt

d

Idt

d

IILdt

d TTTT

TT!!!!!!

2

2N[

I

Suprojektavus:

NN

sin2

2

mgldt

dI ! Kai kampai mai: , tada:NN }sin

NN

mgldt

dI !

2

2

02

2

! NN

I

mgl

dt

d0

2

02

2

! N[N

dt

dkur:

I

mgl!

2

0[

I ia fizins svyruokls periodas:

mgl

IT T

[

T2

2

0

!!



16/29


I fizins svyruokls periodo iraikos:

mgl

IT T

[

T2

2

0

!!

Matematin svyruokl materialus takas, pakabintas ant nesvarausir netsaus silo.

1. Esant maam mosto kampui, matematins svyruoklssvyravimo periodas nepriklauso nei nuo amplituds, neinuo svyruokls mass.

2. Matematins svyruokls svyravimo periodas yra tiesiogproporcingas kvadratinei akniai i jos ilgio ir atvirkiaiproporcingas kvadratinei akniai i jos laisvojo kritimo

pagreiio g (ems paviriuje g=9.8 m/s2).

g

lT T2!

2mRI!Materialiam takui: , tada:



17/29


Spyruokline svyruokle vadinamas kietas knas, pakabintas ant tvirtintosspyruokls.

Spyruoklins svyruokls periodas priklauso nuo spyruokls tamprumo koeficiento

ir kno mass, taiau nepriklauso nuo traukos jgos arba laisvo kritimo pagreiio.

m

k

!0[k

mT T2!

0

2

[

T

!T



18/29

ia: - sskos koeficientas.


D

IT T

[

T2

2

0

!!

Sukamoji svyruokl - horizontalioje ploktumoje svyruojantis knas, pritvirtintasprie vertikalios spyruokls ar strypo.

Grinantysis sukimo momentas atsiranda susukantspyruokl ar strypel.

Tada pagal II Niutono dsn sukamajam judjimui:

NN

Ddt

dI !

2

2

arba: 02

2

! NN

I

D

dt

dI

02

02

2

! N[N

dt

dI kur:

I

D!

2

0[

Tada periodas:

D



19/29


Vienos krypties ir skirtingo danio svyravim sudtis.

Pritaikius Furj analiz, bet kok sudtin neharmonin svyravim galima iskaidyti harmonini svyravim visum, vadinam spektru.

Spektras visuma harmoning svyravim, kuriuos sukelia koks nors altinis.

Danuminis spektras sudtingo svyravimo funkcijos iklotin pagal dan.

t, s

A

R, Hz

A

s(t) s(t)

Svyravimas Spektras



20/29


Vienos krypties ir skirtingo danio svyravim sudtis.

R, Hz

y

R, Hz

y

Svyravimas Spektras

Svyravimas Spektras



21/29


Mua

Sudjus artim dani vienos krypties harmoninius svyravimus gaunamas efektas,vadinamas muimais.Paimkime du artim dani ir vienod amplitudi svyravimus, apraomus lygtimis:

J suminis svyravimas bus:tss m 11 cos[

!tss m 22 cos[

!

ttsttssss mm2

cos2

cos2)cos(cos 12122121[[[[

[[

!!!

Pirmasis narys kinta mau daniu lyginant su atskirais svyravim

daniais, o antras reikia svyravim vykstant vidutiniu daniu: 2

21 [[

[

!

Todl sumin amplitud kinta pagal:

2cos2 12

[[ ! mss

Muim danis ir periodas yra lygs:12

[[[ !m 12

2

[[

T

!mT



22/29

Tarkime spyruoklin svyruokl svyruoja klampioje terpje.Svyruojant kn, be grainanios jgos veikia ir klampos jga.Jos dydis proporcingas judjimo greiiui ir veikia jam prieingakryptimi.

Jos projekcija judjimo ayje:

Tada judjimo lygtis pagal II Niutono dsn uraoma:


Slopinamieji svyravimai

H

dt

dsvF ss FF !!2

dt

ds

ms

m

k

m

FF

dt

sd ss F!

!

21

2

2

paymj ir gaunamem

k!

2

0[

m

FH !2

022

02

2

! sdt

ds

dt

sd[H

Slopinamj svyravim diferencialin lygt

- klampos koeficientas F - slopinimo koeficientas



23/29

Diferencialins lygties sprendinys yra:


Slopinamieji svyravimai

)sin( 00 N[H

!

teAst

022

02

2

! sdt

ds

dt

sd[H

teAtA H!0

)( - slopinamj svyravim amplituds majimas eksponentiniudsniu.

22

0H[[ ! - slopinamj svyravim cikliniu daniu.

Slopinamieji svyravimai yra neharmoniniai ir neperiodiniai.

Slopinamj svyravim periodvadiname laiko tarp, per kur pasikartojadidiausias nuokrypis.

22

0

22

H[

T

[

T

!!sT



24/29

Dviej artimiausi slopstanio svyravimo amplitudisantykis yra:


Slopinamieji svyravimai slopinimo dekrementas

s

s

T

Tt

t

km

kme

eA

eA

s

s HH

H

!!

1

1

0

0

1,

,

is santykis vadinamas slopinimo dekrementu, o jo natrinis logaritmas:

- logaritminiu slopinimo dekrementu.0!!!

s

T

km

kmTe

s

ss HHlnln

1,

,

Logaritminis slopinimo dekrementas svarbiausia svyravimo slopimocharakteristika, kurio skaitin vert atvirkia period skaiiui, per kuriuosamplitud sumaja e kart.



25/29

Svyravimai ir bangos - Priverstiniai svyravimai

Priverstiniai svyravimai atsiranda veikiant sistemiorine periodine jga, priveriant sistem svyruoti.

Tarkime turime svyruojani sistem, patalpint klampskyst. Kaip inome tokia sistema apsirao dif. lygtimi:

tFF m ;! cos302

2

02

2

! sdt

ds

dt

sd[H

Jei i sistem veiksime pastoviaperiodine jga:

Dinamikos lygti judaniam knui bus:

tm

F

dt

ds

ms

m

k

m

FFF

dt

sd msss;!

! cos321

2

2 Farba:

tFsdt

ds

dt

sd;! cos2

0

2

02

2

[Hkur: priverstins jgos

redukuotoji amplitud.mFFm

!0

Vykstant priverstiniams svyravimams, nusistovjus pusiausvyrai danis ir amplitudnekinta. Svyravimai tampa stacionars. Todl dif. lygties dalinis sprendinys yraharmoninis svyravimas:

)cos( 0N;! tss m



26/29


Nordami surasti amplitud ir fazi skirtum statome harmonini svyravim lygtir jos pirm ir antras ivestines priverstini svyravim dif. lygt:

Pakeiskime trigonometrines iraikas teigiamais kosinusais, o dydius prie kosinusatitinkamomis amplitudmis. Tada ms lygtis atrodys:

)cos(0

N;! tss m

gauname:

tFsdt

ds

dt

sd;! cos2 0

2

02

2

[H)sin(0

N;;! tsdt

dsm

)cos( 02

2

2

N;;! tsdt

sdm

tF

tststs mmm

;!

!;;;;;

cos

)cos()sin(2)cos(

0

0

2

000

2N[NHN

tAtAtAtA ;!;;; cos)cos()

2

cos()cos( 4030201 NT

NTN



27/29


Matome, kad turime trij svyravim, kurie skiriasiir amplitudmis ir fazmis sum, kuri yra lygiatstojamajam svyravimui, esaniam deinje lygtiespusje.

Trij svyravim fazs skiriasi per:

Pagal harmonini svyravim sudties taisykles,atstojamosios amplituds vektoriaus dydis yra lygusatskir svyravim amplitudi vektori vektorinei sumai:

Kadangi trys vektoriai yra statmeni vienas kitam, j moduliams

galime taikyti Pitagoro teorem:

tAtAtAtA ;!;;; cos)cos()2

cos()cos( 4030201 NT

NTN

2

T

T ir

3214 AAAA

TTTT

!

2

2

2

13

2

4 )( AAAA !staius amplitudireikmes:

2

0

2222222

04)( Fss mm !;; H[

I ia gauname atstojamojopriverstinio svyravimo

amplitud ir faz:

22222

0

0

4)( ;;

!

H[

Fsm 22

0

0

2

;

;!

[

HNtg



28/29


Gavome priverstini svyravim lygt, jos amplitudir jgos ir nuokrypio fazi skirtum:

Nekintant priverstins jgos amplitudei ir sistemos parametrams, stacionariniosvyravimo amplitud yra pastovi.

Priverstinis nusistovjs svyravimas yra svyruokl veikianios jgos dsniuvykstantis harmoninis svyravimas.

Priverstini svyravim amplitud priklauso nuo:1. svyruokl veikianios jgos,2. tos jgos poveikio danio,3. svyruokls savojo svyravim danio ir4. slopinimo koeficiento.

22222

0

0

4)( ;;!

H[

Fsm 22

0

0

2

;

;!

[

HNtg

)cos(0

N;! tss m



29/29

Svyravimai ir bangos - Rezonansas

Priverstini svyravim amplitud priklausonuo jgos poveikio danio:

i priklausomyb vaizduojamaamplituds rezonansine kreive.

Esant tam tikram daniui amplitud pasidarodidiausia.

Priverstiniai svyravimai didiausia amplitude vadinami rezonansiniais, o svyravimsisibavimo iki maksimalios amplituds reikinys rezonansu.

Rezonansin dan rasime poaknio reikinioivestin prilygin nuliui:

i lygtis turi tris sprendinius, i kuri vienas yra nulinis, o kitas neigiamas.

Todl rezonansinis danis: ir amplitud:220

2H[ !;rez

22222

0

0

4)( ;;!

H[

Fsm

08)(4 22220

!;;; H[

22

0

0

,

2 H[H

!F

srezm


1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2006)

Documents

Transcript of 1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2006)