(g o f) (x) = g(f(x)) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio

E.2. Olkoon f(x) = 2x + 3 ja g(x) = 4x - 5. Muodosta funktio a) f o g b) g o f a) f o g (x) = f(g(x)) = f (4x – 5)

= 2(4x – 5) + 3 = 8x – 7

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

E.4. Olkoon f(x) = √x-1 ja g(x) = lg (2 - x). Mikä on funktion f o g määrittelyjoukko? b) 1 x < 2

Yhdistetyn funktion derivaatta

D(g o f)(x) = g´(f(x)) · f ´(x) E.6. Derivoi h(x) = (2x - 3)4

h’(x)= 4(2x – 3)3 ·2

=8(2x – 3)3

Funktio f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, jos f(g(x)) = x ja g(f(x)) = x Siis merkintä funktion f käänteisfunktiolle: f -1

4

5

4

1)( xxg

xxxxgf 555)4

5

4

1(4))(( xxxxfg

4

5

4

5

4

5)54(

4

1))((

E.2. (t. 21 a) Tutki, ovatko funktiot f ja g toistensa käänteisfunktioita f(x) = 4x + 5

V: ovat

1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

Käänteisfunktion arvon laskeminen alkuperäisen funktion avulla Jos pitää laskea f -1(y) = x. Tehdään yhtälö f(x) = y, josta ratkaistaan x. E.4. Funktiolla f(x) = 2x - 1 on käänteisfunktio. Määritä x, kun a) f -1(x) = 5 b) f -1(7) = x. a) f(5) = 2 5 – 1 = 9 b) f(x) = 7 : 2x – 1 = 7 x = 4

Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen 1) Merkitse y = f(x) 2) Ratkaise siitä x 3) Vaihda x y 4) Kirjoita muodossa y = f -1(x)

E.5. Laske f -1(x), kun a) f(x) = 2x + 3 a) y = 2x +3 2x = y – 3 x = ½y – 1½ y = ½x – 1½ f -1(x) =½x – 1½

E.6. Piirrä funktion f(x) = x2 - 2x - 3, x ³ 1 kuvaaja ja sen perusteella käänteisfunktion kuvaaja. x f(x) (x,y) f -1 1 -4 (1,-4) (-4,1) 2 -3 (2, -3) (-3, 2) 3 0 (3, 0) (0, 3) 4 5 (4, 5) (5, 4)

1.2.2. Käänteisfunktion olemassaolo Jos funktio on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin funktiolla on käänteisfunktio

E.8. Osoita, että funktiolla f(x) = x3 + 4x - 5 on käänteisfunktio. f’ (x) = 3x2 + 4 4 > 0 kaikilla x, joten funktio f on aidosti kasvava => funktiolla f on käänteisfunktio

Funktion ja sen käänteisfunktion arvo- ja määrittelyjoukot Mj(f -1) = Aj(f) ; Aj(f -1) = Mj(f) E.10. Funktiolla f: [1,2] ->[3,4] on käänteisfunktio. Mitä on a) Mj(f -1) b) Aj(f -1)?

a) [3,4] b) [1,2]

E.12. Olkoon f(x) = x2 + 2x, x -1. Laske (f -1)´(3) f(x) = 3 x2 + 2x = 3 x2 + 2x – 3 = 0 x = -3 (x = 1)

(f -1)´(3) = 4

1

2)3(2

1

)3´(

1

f

Käänteisfunktion derivaatta tietyllä kohdalla (f -1)´(y0) = , missä y0 = f(x0)

)´(

1

0xf

aban nb ja 0b

2.1.3. Laskusääntöjä

n parillinen

aban nb

n pariton

Yleisen juuren laskusääntöjä

nnn baab

n

n

n

b

a

b

a

parillinenn kun ,a

paritonn kun a,n na

aa nn )(

1.

2.

3.

4.

0a ja Zn

1

nn aa

0a ja Zn m, )( m n

m

nn m aaa

Murtopotenssit

ks. E.3. s. 28

2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön

Olkoon a, b 0. Tällöin

a = b a2 = b2, a < b a2 < b2

2.2.2. Neliöjuuriyhtälöt

Neliöönkorotuksella saatu yhtälö ei aina ole yhtäpitävä alkuperäisen kanssa.

Tulos tarkistettava.

E.1. (t. 64a)

a) 23 x ( )2

x + 3 = 4

x = 1

Tarkistus:

231

Vastaus: x = 1

tai

Määritelty, kun x + 3 0

x -3

23 x ( )2

x + 3 = 4

x = 1 24 tosi

E.3. (t. 67c)

( )2

rtk-kaavalla

2.2.3. Neliöjuuriepäyhtälöt

E.5. (t. 65a)

2x määritelty, kun x 0

| ( )2

0 kun x ,4 x

Vastaus: 0 x < 4

E.6. (t. 65c)

592 x

Määritelty, kun x2 + 9 0

eli kaikilla x R

592 x | ( )2

x2 + 9 25

x2 – 16 0

-4 4

+ + -

Vastaus:

2.2.4. Muut juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt

E.8. (t. 72a)

| ( )3

2x – 1 = -125

2x = -124

x = -62

2.3.1. Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39)

0) (x 2

1

xxD

Yleisesti:

en)positiivin ja aderivoituv (f )(2

)(')(

xf

xfxfD

E.1. (t. 91c) E.2. (t. 92c)

½

2

x

xD

E.3. Derivoi 12)( xxf

12

1

122

2)('

xxxf

en)positiivin ja aderivoituv (f )(2

)(')(

xf

xfxfD

2.3.3. Yleisen juurifunktion ja murtopotenssifunktion derivaatta

0)(x 1 1

11

nn xn

Dx

0)(x 1

n

m

n

m

xn

mDx

Muuta potensseiksi ja derivoi potenssin derivoimissääntöä käyttäen Palauta murtopotenssit juurimuotoon

E.4. Derivoi funktio a) f(x) = x2/3 b) f(x) = (2x - 1)5/4

13

2

3

2)(')

xxfa 3

1

3

2

x

)12()12(4

5)(')

14

5

xDxxfb 2)12(4

54

1

x 4

1

)12(2

5 x

3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

f(x) = kx (k > 0, k ≠ 1)

Määrittely- ja arvojoukko Mf = R, Af = R+

Jatkuvuus Funktio f on jatkuva

Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1

Funktio f aidosti vähenevä, kun 0 < k < 1

Asymptootit positiivinen x-akseli (k > 1)

negatiivinen x-akseli (0 < k < 1)

Laskusäännöt

1) km ∙ kn = km+n nm

n

m

kk

k )2 3) (km)n = kmn 4) k0 = 1 xk

1 k )5 x-

E.3.

a) Kirjoita luvun 2 potenssina

4

1

8 4

1

3 )2( 4

3

2

b) Laske

3

1

8 3

1

3 )2( 221

c)

Esitä a:n potenssina, (a >0)

aa 2

1

aa 2

3

a

3.1.2. Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt

Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantaluku Siirrä termit eri puolelle yhtälöä kx = ky x = y E.4. a) 3x = 9 3x = 32 x = 2 b) 7x-3 = 49x

7x-3 = (72)x

7x-3 = 72x

x - 3 = 2x

x = -3

Epäyhtälöt Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantaluku Siirrä termit eri puolille epäyhtälöä. kx < ky x < y (kun k > 1) Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantaluku Muuten samoin kuin yllä, mutta

Käytä sääntöä kx < ky x > y (kun 0 < k < 1) E.5. a) 3x > 81 3x > 34 x > 4

b ) 4x-1 < 8 (22)x -1 < 23 22(x - 1) < 23

2(x - 1) < 3 2x - 2 < 3 2x < 5 x < 2,5

c) (½)x < 8

(½)x < 23

(½)x < (½)-3

x > -3

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = ex

Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = kx

ex on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e 2,718281828 (laskimella)

y = ex

(ks. kirja s. 54 - 55)

Eksponenttifunktion f(x) = ex ominaisuuksia Mf = R Af = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy eu = ev u = v

E.1. Sievennä a) e2xe-x

= e2x – x = ex

b) e3(ex+1)2

= e3e2x+2

= e3+2x+2 = e2x + 5

E.2. Ratkaise yhtälö a) ex+2 = e-x

x + 2 = -x 2x = -2 x = -1

b) e3x – 6 = 1 e3x -6 = e0

3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2

3.2.2. Funktion y = ex derivaatta

D(ex) = ex

E.3. Derivoi a) f(x) = 2ex + 3x b) f(x) = (ex + 1)2 a) f’(x) = 2ex + 3 b) f’(x) = 2ex(ex + 1)

Olkoon f derivoituva funktio. D(ef(x)) = ef(x) · f ´(x) E.4. Derivoi a) f(x) = e2x d) f(x) = e2x ·x3 a) f‘ (x) = 2e2x

b) f‘(x) = 2e2x· x3 +e2x ·3x2 = x2e2x(2x + 3)

Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f ´(1), kun f(x) = e2x - x3 f’(x) = 2e2x – 3x2 f’(1) = 2e2 - 3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, kT = f ´(x0) E.6. Mikä on käyrän y = e1-x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f ’ (x) = –e1-x

f ’ (1) = -e1-1 = -e0 = -1

E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e4x + e-4x

f ’ (x) = 4e4x – 4e-4x

f ’ (x) =0: 4e4x – 4e-4x = 0 4e4x = 4e-4x

e4x = e-4x

4x = -4x 8x = 0 x = 0

4.1.1. Kymmenkantainen logaritmi

Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen x siten, että

a = 10x

luku x on luvun a kymmenkantainen logaritmi

Merkintä:

x = lga tai x = log10a

Siis

Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi

eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a

E.1.

a) lg1000

= 3,

koska 103 = 1000

b) lg6

0,78

koska 100,78 6

c) Minkä luvun logaritmi on 2 102 = 100

Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen

Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina

a = 10lga

lg10b = b

E.2. Montako numero luvussa

21000 =

(10lg2)1000 =

10lg21000 = 10301

302

4.1.2. Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona

k-kantainen logaritmifunktio logka tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a. Eli olkoon k > 0, k1 Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi logk a = b a = kb

E.3.Laske a ) log3 9 = 2, koska 32 = 9 I: 3x = 9 II: log332 = 2 3x = 32 x = 2

b) log2 8 = 3, koska 23 = 8

I: 2x = 8 log223 = 3

2x = 23

x = 3

4.1.3. Luonnollinen logaritmi

LUONNOLLINEN LOGARITMI Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e. Luonnollinen logaritmi logea = lna (a > 0): se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a. Luonnollinen logaritmifunktio y = lnx ja eksponenttifunktio y=ex ovat toistensa käänteisfunktioita:

lna = b a = eb

elna = a ( a > 0) lnea = a (a R)

E.5. a) eln5 = b) lne2 = a) 5 b) 2

E.6. Laskimella ln5 1,61

E.7. Mikä on funktion f(x) = ln (5 - x) määrittelyjoukko? 5 – x > 0 x < 5 E.8. (t. 181a)

lnx = 1

x = e1

x = e

4.1.4. Logaritmifunktion ominaisuuksia

Luonnollisen logaritmifunktion f(x) = lnx ominaisuuksia 1) Mf = ]0,[ Af = R 2) Funktio f on jatkuva 3) Funktio f on aidosti kasvava 4) Käyrällä y = lnx on asymptoottina negatiivinen y-akseli

ks. kirja s. 68 – logaritmifunktion ominaisuuksia

4.2.1. Logaritmien laskusäännöt

Logaritmin laskusääntöjä Olkoon a, b > 0 ja k > 0, k ≠ 1 logkab= logka + logkb logk(a/b)= logka - logkb logk a

n = n · logka E.9. a) lg2 + lg5 = lg (2 5) = lg10 = 1 b) lga2 + lg(1/a) (a>0) = 2lga + lg1 - lga =2lga + 0 - lga = lga

c) Esitä lg3:n avulla

lg3000

= lg(3 1000)

= lg3 + lg 1000

= lg3 + 3

E.10. Esitä yhtenä logaritmina a) lna + ln6 b) ½ln16 + 1 c) 2ln4 – 3ln2 a) lna + ln6 = ln6a b) ½ln16 + 1 = ln16½ + lne = ln4 + lne = ln4e c) 2ln4 – 3ln2 = ln42 – ln23

= ln16 – ln8 = ln (16/8) = ln2

E.11. (t. 203a,c) Olkoon a = logk2 ja b=logk3. Esitä a:n ja b:n avulla a) logk (3/2) = logk 3 – logk2 = b – a b) logk12 = logk (4 · 3) = logk 4 + logk3 = logk2

2 + logk3 = 2logk2 + logk3 = 2a + b

4.2.2. Eksponenttiyhtälöitä

E.12. 2x = 7 lg2x = lg7 xlg2 = lg7 x = lg7 /lg2 2,807 tai

2,807 2lg

7lg7log2 x

ks. kantaluvun vaihto edellä

E.13. (t. 210a)

3x+1 = 20

lg3x+1 = lg20

(x+1)lg3 = lg20

3lg

20lg1x

13lg

20lgx

x 1,72

E.14.

Kuinka monessa vuodessa talletuksen arvo viisinkertaistuu, jos vuotuinen korko on 8% ?

a = talletuksen arvo alussa

1,08x a = 5a | :a

1,08x = 5

lg 1,08x = lg 5

x lg 1,08 = lg 5

x = lg 5/ lg1,08 =20,9

V: 21 vuodessa

c

E.15. (t. 221b)

5x = 17 4x

)0( )( bb

a

b

an

nn

174

5

x

x

17)4

5( x

17lg)4

5lg( x

17lg)4

5lg( x

)4/5lg(

17lgx 12,7

4.2.3. Logaritmiyhtälöitä

E.16. (t. 212a) a) Ratkaise yhtälö log2 (3x – 1) = 1 Määrittelyehto: 3x – 1 > 0 eli x > 1/3 2 1 = 3x – 1 3x = 3 x = 1

logku = logkv

u = v

(u, v > 0)

b)

lgx + lg(x - 3) = 1 (x > 3)

lgx(x-3) = lg 10

x(x - 3) = 10

x2 - 3x - 10 = 0, ratkaisukaavalla ( x = -2), x = 5

E.17.

2lnx = 1 Mj: x>0

lnx = ½

x = e½

x = √e

E.18.

ln3 = -ln(1 – x) Mj: x < 1

ln3 = ln(1 – x)-1

3 = (1 – x)-1

xx

1

1

1

3

1

13

3(1- x) = 1

1 - x = 1/3

x = 2/3

E.19. (t. 223a)

4

3lglg3lg x Määritelty, kun x > 0

4

3lg

3lg

x

4

33

x

123 x

x = 4

4.3.1. Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta

1) D(ln x) = (x >0)

x

1

)(

)('

xf

xfx

1

(f derivoituva ja f(x) > 0)

Todistus: elnx = x Delnx = Dx Dlnx · elnx = 1 Dlnx · x = 1 Dln x =

2) Dlnf(x) =

E.1. Derivoi a) f(x) = 6ln x b) f(x) = ln x5

a) f’(x) = 6 · x

1

x

6 b) f ’ (x) =

5

45

x

x

x

5

(x > 0)

(x > 0)

TAPA 2

b) f(x) = ln x5

= 5lnx f ‘(x) =

xx

515

E.2. Derivoi a) f(x) = x3 · ln 3x b) f(x) =

a) f ’ (x) = 3x2 ln3x + x3 x3

3

= x2 (3ln3x + 1)

3

ln

x

x

6

23 3ln1

)('x

xxxxxf

46

2

6

22 ln31)ln31(3ln

x

x

x

xx

x

xxx

(x > 0)

(x > 0)

E.3. (t. 238a, c) Laske funktion f derivaatan nollakohdat

)1ln( ) 2 xDa1

22

x

x

01

22

x

x

0

02

x

x

c) D(lnx)3

= 3(lnx)2 x

1

01

)(ln3 2 x

x 0 lnx 1 x

Funktion monotonisuus (kasvava /vähenevä) tutkitaan derivaatan merkeillä Ääriarvojen laskeminen Laske mahdolliset ääriarvokohdat, f´:n merkit, hahmottele kulku ja päättele ääriarvo Funktion suurin ja pienin arvo Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sillä on varmasti suurin ja pienin arvo Lasketaan mahdolliset ääriarvokohdat, funktion arvot näissä ja valitaan niistä suurin / pienin Epäyhtälön oikeaksi osoittaminen Käytetään periaatetta: Jos pienin arvo on positiivinen, niin kaikki arvot ovat positiivisia

E.4. Milloin funktio f(x) = ln (x2 + 3) - ½ln x on vähenevä?

f ’(x) = xx

x

xx

x

2

1

3

21

2

1

3

222

xx

xxx

2)3(

)3(1222

2

xx

xx

2)3(

342

22

xx

x

2)3(

)1(32

2

0 1

x2 - 1

2x

- +

+ +

f ’(x)

f (x)

- +

Määritelty, kun x > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva

V: Vähenevä, kun 0 < x < 1

4.3.2. Derivaatan sovelluksia

E.5. Määritä funktion f(x) = x - ln x suurin ja pienin arvo välillä [½,e]

Määritelty, jatkuva ja derivoituva välillä [½,e]

f ’ (x) = x

11

f ’(x) = 0:

01

1 x

01

xx

x

01

x

x

x = 1

f(½) = ½ - ln½ 1,193

f(1) = 1 – ln1 = 1

f(e) = e – lne = e – 1

Suljetulla välillä jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan suurin ja pienin arvo saavutetaan joko päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa

V: Suurin arvo e – 1 Pienin arvo 1

E.6. Osoita, että ln (x + 1) x kaikilla x > -1.

ln(x + 1) - x 0

tutkitaan funktiota f(x) = ln(x + 1) - x

MJ: x > -1

11

1)('

xxf

0)(' xf

011

1

x

01

1

1

1

x

x

x

01

x

x

x = 0

-1 0

f ’(x)

f (x)

+ -

Suurin arvo, kun x = 0

f(0) = ln(0 + 1) – 0 = 0

=> Kaikki arvot 0

E.7. Määritä vakio a siten, että funktion f(x) = ln x - 4x + a maksimiarvo on 5. MJ: x > 0

41

)(' x

xf

:0)(' xf

041

x

041

x

x

x

041

x

x

Osoittaja määrää merkin

0 1/4

f ’(x)

f (x)

+ -

max

f(¼) = ln ¼ - 4·¼ + a

ln ¼ - 4·¼ + a = 5

ln4-1 - 1 + a = 5 -ln4 + a = 6 a = 6 + lna