11. relac. metric. triang. rectang.

GEOMETRIA Guias 97-II

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GUIA 9TEMA: Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza CF perpendicular a la prolongación de la ceviana interior BM tal que CM es la bisectriz del ángulo BCF. Calcular AB si AM x AC =1281) 6 4) 122) 9 5) 103) 8

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH luego se trazan HF y HQ perpendiculares a AB y BC respectivamente. Calcular BH si HF x HQ x AC = K1) 2 4) 42) 3 /2 5) 5 /23)

3. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2a. Usando como centro D y como radio DA, se traza el arco de circunferencia AC. Se toma F punto medio de BC tal que AF corta en G al arco AC. Calcular la longitud de FG

1) 4)

2) 5)

3)

4. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en el cual AB = 9 y BC = 15. Calcular la longitud del radio de la circunferencia que pasa por A y es tangente en C a BC1) 20 4) 172) 19 5) 213) 18

5. En la figura: se tienen dos circunferencias tangentes exteriores, siendo O centro de la menor y B un punto de tangencia. Calcular FM si los radios miden 2 y 14 y AB = 41) 12) 1,53) 44) 35) 2,5

1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:- La proyección de un segmento sobre una

recta puede ser un punto- En un triángulo rectángulo el producto

de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa y su altura respectiva

- El teorema de Pitágoras es aplicable a cualquier triángulo

1) VVV 4) FFF2) VFV 5) FFV3) VFF

2. “a” y “c” son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa “b” mide 2cm. Si “a” es media proporcional entre “b” y “c”. Hallar el cateto “a”1) - 1 4) 2) 5) 3)

3. En un triángulo rectángulo la diferencia de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura “h” relativa a la hipotenusa. Calcular la hipotenusa1) h 4) h2) 2h 5) h3) h

4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6cm y 8cm, su altura mide 7cm. Calcular el radio del círculo circunscrito a este trapecio.

- 1 -

AB

F MO


1) 4cm 4) 2 cm2) 5cm 5) 3 cm3) 6cm

5. En la figura T es un punto de tangencia AT = 4; OB = 3. Hallar BC

1) 22) 13) 0,524) 0,655) 0,75

6. Calcular la longitud de la cuerda común a dos circunferencias ortogonales de radios 6 y 8.1) 2,4 4) 9,62) 4,8 5) 123) 8

7. Los catetos de un triángulo rectángulo son AB = 9cm y AC = 15cm. Determinar el radio de la circunferencia que pasa por el vértice B y es tangente al cateto en C.1) 16cm 4) 18cm2) 19cm 5) 17cm3) 21cm

8. En la figura AB = BC = 6, O y O1 son centros es tangente. Calcular R.

1) 62) 23) 24) 45) 4

9. En el cuadrante AOB, OE = 3m, EF = 4m. Hallar EB.

1) - 12) - 13) + 14) - 25) - 3

10. En la figura ABCD es un cuadrado, si el radio r = . Calcular la longitud de la tangente BM

1)2) 33) 24)5)

11. En la figura EF = 3m MH = 2m. Calcular ME

1) m2) ( - 1)m3) ( + 1)m4) m5) ( - 1)m

12. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 10m. Calcular MN

1) 2m2) m3) m4) 1m5) 1,5m

13. En la figura ABC es un triángulo equilátero de 2u de lado M y N son puntos medios. Calcular NF

1)

2)

3) /34) /25) - 1

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura . Si los inradios de los triángulos AHB y BHC miden 3cm y 4cm, calcular el inradio del triángulo ABC1) 5cm 4) 8cm2) 7cm 5) 10cm3) 6cm

1. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa dos segmentos que miden 18cm y 32cm. Calcular el cateto menor.1) 40 cm2) 35 cm

- 2 -

A

T

B CO

AB

C

R

O O1

O60º

E

A F

B

r

M

B C

A D

A H

B

F

C

M

E

A

B

D

C

NM

A M

BF

N

C


3) 30 cm4) 25 cm5) 20 cm

2. Se tiene un triángulo ABC, m B = 60°

inscrito en una circunferencia. Si AB = y

BC = 2. hallar AC.1) 3

2)

3)

4) 2

5)

3. En la figura el lado del cuadrado es 4cm “P” es punto de tangencia y es diámetro. Hallar PE1) 1 cm2) 2 cm3) 3 cm4) cm5) cm

4. En un triángulo rectángulo de altura relativa a la hipotenusa mide 2cm y determina en la hipotenusa dos segmentos que están en la relación de 3 a 4. hallar el cateto menor1)2)3)4)5)

5. Hallar la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo en el cual la mediana relativa a la hipotenusa es perpendicular a la mediana relativa al cateto mayor1) 1/22) 1/33) /24) /25) /3

6. Hallar la proyección de un segmento de longitud 41cm sobre una recta “L” que la

corta. Si la distancia de los extremos A y B a la recta miden 5cm y 4cm1) 40 cm2) 30 cm3) 35 cm4) 32 cm5) 25 cm

7. Calcular la diagonal de un trapecio isósceles cuya mediana mide 12m y su altura 5m1) 15 m2) 17 m3) 13 m4) 24 m5) 14 m

8. Hallar la base de un triángulo isósceles inscrito en un círculo de 5cm de radio, sabiendo que sus lados iguales miden 6 cm1) 9,6 cm2) 9,8 cm3) 12,4 cm4) 10,8 cm5) 10,6 cm

9. En la figura se tiene un cuadrado ABCD de lados 10m. Hallar del cuadrado PQRS1) 5 m2) 6 m3) 7 m4) 25) 2

10. El producto de los radio de dos circunferencias tangentes exteriores es 36m2. Hallar la longitud de la tangente común exterior1) 9 m2) 12 m3) 16 m4) 6 m5) 8 m

11. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC). La altura corta a la altura en “O” si OB = 5m y OH = 1m. Hallar OA1) m2) m3) 2 m

- 3 -


4) 3 m5) 4 m

12. Hallar el radio del cuadrante AOC. Si AB = 1cm y BC = 1)2)3) /24) /25)

13. En una circunferencia de centro O t radio 12m, una cuerda corta al diámetro en el punto medio “M” del radio . Si MD = 2MC. Calcular MC

1) 6

2) 43) 3

4) 5

5)

14. En la figura “O” es centro de la circunferencia de radio 13m. Calcular OM si: a. b. c. d = 625m4.1) 12 m2) 10 m3) 11 m4) 9 m5) 5 m

15. En la figura ABCD es un paralelogramo AC = 16m y BD = 8m. Hallar la tangente AF1) 4 m2) 2 m3) 3 m4) 6m5) 8m

16. En un triángulo rectángulo ABC recto en B; se toma el incentro I, si AI = 3cm y IC = 9

cmHallar AC1) 10 cm2) 12 cm

3) 15 cm4) 17 cm5) 18 cm

17. En el cuadrado mostrado, calcular su lado, Si AO = 1cm1) 5 cm2) 2 cm3) 2 cm4) 6 m5) 3 cm

18. Los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo rectángulo son “r” y “R”. Hallar la distancia entre sus centros1)2) 23) 24) 35) 3

1. En un triángulo rectángulo, se cumple que k2 - 4mn = 16. Calcular la longitud de la proyección de la mediana relativa a la hipotenusa sobre dicha hipotenusa siendo "m" y "n" las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa que mide "k"1) 42) 33) 14) 25) 5

2. En una semicircunferencia de diámetro , se toma un punto "T", por el cual pasa una recta tangente a la semicircunferencia. Si AB = 9 y la distancia de "B" a dicha recta tangente mide 5, calcular AT.1) 52) 43) 4,54) 65) 5,5

3. Una circunferencia es tangente a los lados de un ángulo recto en los puntos A y B. Calcular el radio de dicha circunferencia si

- 4 -


un punto que se encuentra en el menor arco AB, dista de los lados del ángulo 3m y 6m1) 10m2) 12m3) 15m4) 18m5) 20m

4. En la figura "T" es punto de tangencia, "B" es centro del arco AC. Hallar AC, si DT = 2 y TE = 9.

1) 32) 43) 54) 65) 8

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura y la bisectriz interior , las cuales se cruzan en un punto "G". hallar BG, si AB = 8 y BC = 6.1) 8/32) 8/53) 12/74) 9/55) 7/5

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior . Por F se traza una perpendicular a la hipotenusa, la cual intercepta en M a , tomando como diámetro , se traza una circunferencia que corta a en G. Hallar BF, si MG = 2 y CG = 8.1)2) 23) 34) 45) 5

7. En un triángulo ABC, la mediana y la bisectriz interior , se cortan perpendicularmente en un punto M, tal que FC = 10, MG = 2 . Hallar FM1)2)3)1) 4,5

2) 3,5

8. En la figura mostrada, si los radios de las semicircunferencias miden 6 y 8 calcular "r"

1) 12) 1,53) 0,54) 25) 2,5

9. En la figura ABCD es un cuadrado de 12m de lado. Hallar "r" siendo el diámetro y "C" y "D" centros de las otras curvas.

1) 22) 33) 2,54) 3,55) 1

10. En la figura, si AP = 1 y PQ = 8, hallar AC

1) 22) 33) 34) 26) 4

11. En la figura, si MN = 5 y BC = 9, hallar R siendo AB y AC los diámetros de las semicircunferencias.

1) 152) 123) 164) 205) 25

12. En una circunferencia de centro "O" se traza el diámetro , en cada semicircunferencia se ubican los puntos B y C, respectivamente, de los cuales se trazan las perpendiculares al diámetro (H en y E en ). Si AB = 12, AC = 4 y HE = 8. Hallar la longitud del radio de la circunferencia.1) 82) 9

- 5 -

r

A B

QC

P

AB

M

N

C RO

A

B

D

C E

T

r

B

CD

A


3) 104) 65) 4

13. En el romboide ABCD, donde BM = 7 y MC = 2, Hallar AB, si "O" es el centro de circunferencia

1) 12) 23) 34) 45) 5

14. En la figura AM = 3 y AB = 6, hallar PC, siendo B y C punto de tangencia y "O" centro de la circunferencia. 1) 22) 33) 34)5)

15. En la figura AP = PB, PF = 4, FG = 5, PD = 2. Hallar DE si A y B son puntos de tangencia

1) 122) 133) 144) 155) 16

16. En la figura ADxEF = 72 y AC = 17. Calcular ABxBC siendo "B" punto de tangencia

1) 362) 723) 184) 345) 32

17. En la figura AB = 2m, BC = 6m y AF = 1m. Hallar FD, siendo "B" punto de tangencia

1) 2m2) 2,5m3) 3m

4) 3,5m5) 4m

1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 y la altura relativa a la hipotenusa mide 6. Hallar el cateto menorA) 3 D) 3B) 3 E) 5C) 3

2. La suma de los catetos y la altura de un triángulo rectángulo es 47, si la hipotenusa mide 25. Hallar el cateto menorA) 7 D) 15B) 9 E) 20C) 12

3. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 1cm y determina sobre la hipotenusa dos segmentos que están en la relación de 1 a 3. Hallar el cateto menor

A) D)

B) E) /2C) 2

4. En un trapecio la diferencia de las bases es 8cm y los lados no paralelos miden 4cm y 6cm. calcular su altura

A) cm D) cm

B) cm E) cm

C) cm

5. La base mayor de un trapecio isósceles es igual a su diagonal y la base menor es igual a su altura. La razón entre la base menor y la base mayor es:A) 2/3 D) 4/5B) 3/4 E) 5/6C) 3/5

6. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, las medianas se corta perpendicularmente. Hallar si AF = 12mA) 12 m D) 18 m

- 6 -

A

B M

D

C

O

AP

B

GFD

E

A CBD

F

E

A

EC

F

DB

A

B

OP

CM


B) 6 m E) 12 mC) 24 m

7. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9cm y 40cm. Hallar la distancia del incentro a la hipotenusa A) 2 cm D) 5 cmB) 3 cm E) 6 cmC) 4 cm

8. En la figura ABCD es un cuadrado de lado "L". hallar el radio de la circunferencia en función del lado.A) 5L/8B) 3L/8C) 2L/3D) L/2E) 3L/4

9. Se tienen dos circunferencias de radios 5m y 12m. cuya distancia entre sus centros es 25m. Calcular la longitud de la tangente común exteriorA) 12 m D) 10 mB) 24 m E) 18 mC) 16 m

10. En la figura calcular el radio "r", si el lado del cuadrado es 32cm y las dos circunferencias inferiores son congruentes.A) 8cmB) 9cmC) 10cmD) 12cmE) 10,5cm

11. En la figura O y O1 son centros AB = 2 y BC = 10. Calcular rA) B) 2C) 2D) E)

12. En la figura AC es diámetro AP = 2cm y QC = 6cm. Hallar la tangente QTA) 4cmB) 2 cmC) 3 cmD) 2cm

E) 4 cm

13. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 2 . Hallar BFA) B) C) D) 1E) 2

14. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 10m, BM = MA. Hallar FMA) 2mB) mC) mD) 1mE) m

15. En la figura son diámetros EM = 9 y MF = 4, "O" es centro. Hallar MBA) 4B) 5C) 6D) 3E) 2

16. En la figura AB = BC, "M" y "N" son puntos medios de . El diámetro AC = 2R. Hallar EF.A) R /2B) R( -1)/2C) R( +1)D) RE) R

17. Una circunferencia de radio R es tangente a dos rectas perpendiculares, calcular el radio de la mayor circunferencia tangente a esta circunferencia y a la dos rectasA) R(2 + ) D) R(3 + 2 )B) R(3 + ) E) R( +1)C) R( -1)

18. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4m. Hallar BFA) 2B) 3C) 3D)

- 7 -

r

A C

T

P

Q

A D

CB

F

A D

CB

O

A B O1 D

r

A DE

CBF

A

B C

D

MF

AE

O

M

B

F

A O CR R

B

E M N F


E)

19. Las distancias del incentro a los vértices de los ángulos de un triángulos rectángulo miden 3cm y 9 cm . Hallar la distancia del incentro a la hipotenusaA) 9/5 D) 10/3B) 9/4 E) 8/3C) 12/5

20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura , los inradios de los triángulos rectángulos ABH y BHC miden 3 y 4 respectivamente. Hallar ACA) 20 D) 25B) 18 E) 30C) 24

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior tal que AF = 2 y FC = 10. Calcular BF si el ángulo C mide 30º.1) 3 4) 2) 5) 3)

2. En una semicircunferencia de diámetro AB = 13, se traza la cuerda AC = 5. Por C se traza una paralela a la cual corta en G al arco BC. Calcular la distancia de G a 1) 4,6 4) 4,22) 5,2 5) 4,83) 5,6

3. Exteriormente a un romboide ABCD se construye el cuadrado ADFG. Se traza . Perpendicular a . Calcular:FH2 – GH2 si el ángulo ABD mide 90°, CD = 4 y BD = 7.1) 33 4) 252) 28 5) 363) 42

4. En un trapecio ABCD de bases BC = 4 y AD = 9, las diagonales son perpendiculares entre si. Calcular AC si BD = 12.1) 9 4) 72) 5 5) 83) 6

5. En el interior de un cuadrante AOB se trazan una semicircunferencia de diámetro OB. Calcular el radio de la semicircunferencia que es tangente en A al arco AB y tangente en F al arco OB, estando su diámetro en AO, si OB = R.1) R/2 4) 2R/32) R/4 5) 3R/53) R/3

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en se toma el punto D. Se traza perpendicular a la prolongación de tal que los ángulos ACB y ACE son congruentes. Calcular BD si AD = 8 y CD = 61) 3 4) 42) 2 5) 23) 4

7. En el interior de un cuadrante AOB se traza una semicircunferencia de diámetro OB. El radio OF de dicho cuadrante corta en C al arco OB. Se traza CG perpendicular a OB. Calcular la distancia de F a OA si OG = 4 y GB =12.1) 6 4) 92) 7 5) 103) 8

8. Se tiene el trapecio rectángulo ABCD, recto en C y D, circunscrito a una circunferencia, que es tangente en F a BC. Calcular BF si AD = 6 y CD = 4.1) 2 4) 1,52) 0,5 5) 2,53) 1

9. En un rectángulo ABCD se traza perpendicular a . Calcular BF si la distancia de F a es 4 y CD = 251) 8 4) 152) 12 5) 103) 14

10. En un triángulo obtusángulo ADC, obtuso en D, la semicircunferencia de diámetro AD corta en B a AC. Se traza BH perpendicular a AD. Si CH es la bisectriz del ángulo

- 8 -


ACD, AC = 18, BH = 6 y CD = 8. Hallar AH.1) 6 4) 82) 7 5) 103) 9

11. En los lados y de un cuadrado ABCD se toman los puntos F y G respectivamente. Los segmentos y se cortan perpendicularmente en M. Calcular MG si AM = 9 y FM = 4.1) 8 4) 62) 5 5) 93) 7

12. Se tienen 2 circunferencias secantes. La prolongación de la cuerda BC de la circunferencia mayor es tangente en A a la otra circunferencia y corta en M a la prolongación de la cuerda común, tal que MC = 2 y BC = 5. Calcular AM.1) 4) 2,52) 1,8 5) 3) 2,9

13. Por un punto B exterior a una circunferencia se trazan la tangente BA y la secante BFC tal que la cuerda AF mide igual que AB. Hallar BF si AF = 4 y AC = 71) 1,96 4) 2,042) 2,14 5) 2,223) 2,28

14. En una semicircunferencia de diámetro AB = 10, se toman los arcos AD y BE tal que el arco AD mide el triple que el arco BE.(El arco AE es mayor que el AD). La recta que pasa por D y E corta en F a la prolongación de . Calcular ED si FB = 4.1) 5,6 4) 4,22) 6,2 5) 5,43) 4,8

15. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AM y de centro O. Por un punto P de AO se traza una perpendicular a AO, que corta en L al arco AM. Una recta que pasa por A corta en C y G a una circunferencia que pasa por M y P tal que C y G son

puntos exteriores a la semicircunferencia. Hallar AC si: CG = 4 y AL = 21) 3 4) 1,52) 1 5) 2,53) 2

16. En un triángulo ABC (AC = 16), se determina el baricentro G. La prolongación de corta en F a y en M a la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Calcular FM si BG = 4.1) 8,75 4) 12,82) 9,74 5) 8,243) 10,66

17. En una circunferencia se traza la cuerda AD y en el menor arco AD se toma el punto E y se trazan las cuerdas ABF y ECG tal que AC > AB, AB = CD, BE = 3, BF = 4 y EC = 2. Hallar CG.1) 4 4) 82) 6 5) 33) 5

18. Por un punto C exterior a una circunferencia se trazan la tangente y la secante CMA talque AM = 4, es diámetro. Calcular CM si AB = BC.1) 1 4) 1,52) 2 5) 2,53) 3

19. En la figura O es el centro del arco AB, FM=MG=2 y AF=OF. Calcular AM.1) 42)3)4) 25)

20. En la figura: F es punto de tangencia y los ángulos BAC y ACE son congruentes. Calcular BF si: BN = 8.1) 62) 93) 84) 105) 7

- 9 -

A

F

OG

B

M

A E G

B CF

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