1.1. Realni i Kompleksni Brojevi. Algebarske Operacije s Kompleksnim Brojevima

0. UVODNE NAPOMENE

OSNOVNO O KOLEGIJU

1Tehničko veleučilište - Elektrotehnički

odjel

0.1. IZVOĐAČI NASTAVE• Predavanja i usmeni ispit: mr.sc. Bojan Kovačić,

predavač;

• Auditorne vježbe i kolokviji: Luka Marohnić,asistent (grupa D), dr.sc. Danilo Rastović, asistent(grupa E), mr.sc. Bojan Kovačić, predavač (grupa F),Renata Opačić, asistent (grupa G)

• Pismeni ispiti: Luka Marohnić, dr.sc. DaniloRastović, Renata Opačić

• Demonstrature: Andrijana Petrović i MartinaVučićević, studentice


odjel

0.2. SADRŽAJ KOLEGIJA

• Kompleksni brojevi• Matrice i determinante• Sustavi linearnih jednadžbi• Vektori• Funkcije (opći dio)• Elementarne funkcije• Nizovi• Granične vrijednosti nizova i funkcija• Diferencijalni račun i primjene


odjel

0.3. LITERATURA

• Popis službene literature: na internetskojstranici predmeta

• Za ponavljanje srednjoškolskoga gradiva:udžbenici i zbirke zadataka iz matematike zaopće gimnazije i tehničke škole

Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel

4

1. KOMPLEKSNI BROJEVI

1.1.REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI. ALGEBARSKE

OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA.


odjel

1.1.1.SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA

• Jednadžba x2 = –1 nema rješenja u skupu realnih brojeva R

• Zamišljeno (imaginarno) rješenje te jednadžbe označava se s i inaziva imaginarna jedinica

• Za svaki cijeli broj k ∈ Z vrijede sljedeće jednakosti:

• i4 · k = 1, i4 · k + 1 = i, i4 · k + 2 = –1, i4 · k + 3 = –i

• “Broj” oblika a + b · i, gdje su a, b ∈ R, naziva se kompleksan broj

• Skup svih kompleksnih brojeva označava se s C

• Dakle, C = {a + b · i: a, b ∈ R}

• Svaki realan broj a ∈ R možemo shvatiti kao kompleksan broj a ++ 0 · i. Zbog toga vrijedi skupovna inkluzija: R ⊂ C.

• Općenito, vrijede sljedeće skupovne inkluzije: N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


odjel

1.1.2. OSNOVNE VELIČINE • Za zadani kompleksan broj z = a + b · i, pri čemu su

a, b ∈ R, definiramo:

• realni dio kompleksnoga broja (oznaka: Re(z)) := a;

• imaginarni dio kompleksnoga broja (oznaka: Im(z)):= b;

• konjugirano-kompleksni broj: ;

• apsolutnu vrijednost (modul): ;• Napomena: Za svaki z ∈ C vrijede jednakosti:


7

:z a b i= − ⋅

[ ] [ ]2 2 2 2: Re( ) Im( )z z z a b= + = +

2

1.) ;

2.) .

z z

z z z

=

⋅ =

1.1.3. JEDNAKOST KOMPLEKSNIH BROJEVA

• Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo akosu istodobno međusobno jednaki njihovi realnidijelovi i međusobno jednaki njihovi imaginarnidijelovi

• Formalno, ako su z1 = a1 + b1 · i i z2 = a2 + b2 · i,pri čemu su a1, b1, a2 i b2 ∈ R, onda vrijedi:

• (z1 = z2)⇔ ((Re(z1) = Re(z2)) ∧ (Im(z1) = Im(z2)))

• Jednostavnije zapisano:• (z1 = z2)⇔ ((a1 = a2) ∧ (b1 = b2))


8

1.1.4. KOMPLEKSNA ILI GAUSSOVA RAVNINA

• Svakom kompleksnom broju z = a + b · i, pri čemu sua, b ∈ R, jednoznačno možemo pridružiti uređeni par(Re(z), Im(z)), tj. (a, b)

• Grafički prikaz skupa svih tako dobivenih uređenihparova naziva se kompleksna ili Gaussova ravnina

• Kompleksna ravnina je, zapravo, “običan” pravokutnikoordinatni sustav u ravnini, pri čemu os apscisa (os x)predstavlja os realnih dijelova (kraće: realnu os), a osordinata (os y) predstavlja os imaginarnih dijelova(kraće: imaginarnu os)


9

1.1.5. GEOMETRIJSKO ZNAČENJE OSNOVNIH

VELIČINA• Poistovjetimo li kompleksan broj z = a + b · i s

točkom Z = (a, b) u kompleksnoj ravnini, onda je:

• Re(z) – ortogonalna projekcija točke Z na realnu os;

• Im(z) – ortogonalna projekcija točke Z na imaginarnuos;

• – osnosimetrična slika točke Z s obzirom na realnuos;

• – udaljenost točke Z od ishodišta kompleksneravnine (tj. od točke O := (0,0))


10

z

z

1.1.6. ALGEBARSKE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM

BROJEVIMA• Kompleksne brojeve možemo zbrajati, oduzimati,

množiti i dijeliti

• Za kompleksne brojeve z1 = a1 + b1 · i i z2 = a2 ++ b2 · i, pri čemu su a1, b1, a2, b2 ∈ R, definiramo:

• zbroj: z1 + z2 := (a1 + a2) + (b1 + b2) · i

• razliku: z1 – z2 := (a1 – a2) + (b1 – b2) · i

• umnožak: z1 · z2 := (a1 · a2 – b1 · b2 ) + (a1 · b2 ++ a2 · b1 ) · i


11

1.1.7. ALGEBARSKE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM

BROJEVIMA• količnik (u slučaju kad je z2 ≠ 0):

• Zbroj, razlika, umnožak i količnik dvaju kompleksnihbrojeva su ponovno kompleksni brojevi

• Operacije zbrajanja i množenja imaju sva svojstva(komutativnost, asocijativnost, distributivnost) kojaimaju analogne operacije u skupu realnih brojeva R


12

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2

2 2 2 2 22

:z z z a a b b a b a b

iz a b a bz

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= = + ⋅

+ +

1.1.8. SVOJSTVA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI (MODULA)

• Realna funkcija f : C → R definirana formulom f(z) = |z|ima sljedeća svojstva:

• f (z) ≥ 0, za svaki z ∈ C;

• f (z) = 0⇔ z = 0;

• f (z1 · z2) = f (z1) · f (z2) i , za sve z1, z2 ∈

C;• , za svaki z ∈ C;

• f (zn) = [f (z)]n, za svaki z ∈ C i svaki n ∈ N;

• f (z1 + z2) ≤ f (z1) + f (z2), za sve z1, z2 ∈ C.


13

1 1

2 2

( )

( )

z f zf

z f z

=

( ) ( )f z f z=

1.1.9. SVOJSTVA KONJUGIRANJA

• Kompleksna funkcija g : C → C definiranaformulom g(z) = ima sljedeća svojstva:

• g(z) = 0 ⇔ z = 0;

• g(z1 ± z2) = g (z1) ± g (z2), za sve z1, z2 ∈ C;

• g[g(z)] = z, za svaki z ∈ C;

• g (z1 · z2) = g (z1) · g (z2) i , za sve z1, z2 ∈ C;

• g(z) = z ako i samo ako je z ∈ R;

• g(z) = –z ako i samo ako je z ∈ {b ⋅ i : b ∈ R}.Tehničko veleučilište - Elektrotehnički

odjel14

z

1 1

2 2

( )

( )

z g zg

z g z

=

1.1.10. PRIMJER 1.• Za kompleksne brojeve z1 = 1 – 2 · i i z2 = –2 + i izraču-

najte i prikažite u kompleksnoj ravnini sljedeće brojeve:

• a) z1 + z2;

• b) z1 – z2;

• c) z1 · z2;

• d) ;

• e) ;

• f) .


15

1

2

z

z

1 23 2z z⋅ + ⋅

215

5

zz⋅ −

1.1.11. PRIMJER 2.• Za kompleksan broj definiramo .

• Pokažite da za svaki vrijede jednakos-ti:

• Potom izračunajte za .Tehničko veleučilište - Elektrotehnički

odjel16

1 1:z

z

−=

( )

12

1

11

) ;

1) ;

) .

zz

z

zz

z z

−

−

−−

=

=

=

a

b

c

3z i= − +

{ }\ 0z ∈C

0z ≠

14 z−

⋅

1.1.12. PRIMJER 3.

• Pokažite da na skup C ne možemo proširitistandardni uređaj ≤ koji vrijedi na skupu R.

• Zbog toga za bilo koja dva kompleksna brojamožemo jedino ustvrditi jesu li međusobnojednaki ili međusobno različiti.


17

1.1.13. PRIMJER 4.

• Zadani su kompleksni brojevi i z2 = = (1 + i)3 + (1 – i)3.

• a) Prikažite u kompleksnoj ravnini zadanekompleksne brojeve, pa sa pripadne slike odreditenjihove apsolutne vrijednosti.

• b) Izračunajte i zapišite dobiveni

rezultat kao potenciju s bazom 4.Tehničko veleučilište - Elektrotehnički

odjel18

2010 2011

1 2012 2013

i iz

i i

+=

−

2012

1 2

1

4z z

− ⋅

1.1.14. PRIMJER 5.• Zadan je kompleksan broj

• a) Prikažite zadani broj u kompleksnoj ravnini.

• b) Izračunajte apsolutnu vrijednost zadanoga broja.

• c) Odredite realne brojeve x i y tako da kompleksanbroj z1 = (2 · x – y – 2) + (x – 2 · y + 12) · i budejednak zadanom broju.


19

50 (2 ) (3 ) (2 ) (3 )3

7 7 7

i i i iz

i i

− ⋅ + + ⋅ − = ⋅ − − + −

1.1.15. PRIMJER 6.

• a) Neka su z0 ∈ C i r ≥ 0 proizvoljni, ali fiksirani.Pokažite da je grafički prikaz skupa S = {z ∈ C : |z – z0| == r} u kompleksnoj ravnini kružnica sa središtem u točkipridruženoj broju z0 i polumjerom r.

• b) U kompleksnoj ravnini skicirajte skupove točaka:• S1 = {z ∈ C : |z| = 1};

• S2 = {z ∈ C : |z – i| ≤ 2};

• S3 = {z ∈ C : |z + i| ≥ 3};

• S4 = {z ∈ C : |z – 1 + 2 · i| < 4};

• S5 = {z ∈ C : |z – 2 – 3 · i| > 5}.


20

1.1.16. PRIMJER 7.

• U kompleksnoj ravnini skicirajte sljedećeskupove točaka:


21

{ }

( ) ( ){ }{ }

1

2

3

4

) : Re( ) Im( ) 0 ;

) : Im 2 Re 2 2 ;

) : Re( ) Im( ) ;

) : 1 .

S z z z

S z z z

S z z z z

z zS z

zz

= ∈ + =

= ∈ ⋅ − − ⋅ =

= ∈ − =

= ∈ + =

a C

b C

c C

d C

1.1. Realni i Kompleksni Brojevi. Algebarske Operacije s Kompleksnim Brojevima

Documents

Transcript of 1.1. Realni i Kompleksni Brojevi. Algebarske Operacije s Kompleksnim Brojevima