1.1 Oscilações
-
Upload
angelo-costa -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of 1.1 Oscilações
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 1/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 1
Vibrações e Ondas2º ano LEEC
Movimento Oscilatório
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Movimento Oscilatório
• Todo o movimento resultante de uma força a actuar num corpoproporcional ao seu deslocamento, com direcção oposta ao domovimento.
Exemplos do dia-a-dia
2
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 2/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 2
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Tipo de Movimento Oscilatório
• Movimento Harmónico Simples (MHS) – Há conservação de energia mecânica do sistema. Sistema
ideal.
• Movimento Harmónico Amortecido – A energia mecânica do sistema vai diminuindo. Sistema real.
• Oscilações Forçadas – A aplicação de uma força externa pode compensar a perda deenergia mecânica.
3
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Movimento Harmónico Simples
restauradoraF kx
ma kx k a x
m
Sempre direccionada para o ponto deequilíbrio do movimento.
Recordando:
.
2
2
dv d xa
dt dt a v x
Equação do diferencialdo movimento:
Equação do movimento(solução da eq.diferencial):
0k
x xm
( ) c o s ( ) x t A t
Condição necessária e suficiente para existir MHS:A aceleração é proporcional ao deslocamento relativoa uma posição de equilíbrio, e tem o sentido oposto.
4
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 3/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 3
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Características do movimento
• ..\ph14e\ph14e\springpendulum.htm
Parâmetros Característicos do Movimento
A [m]: Amplitude do movimento;T [s]: Período; f [Hz]: Frequência; [rad/s]: Frequência angular; [rad]: Fase.
22 f
T
( ) c o s ( ) x t A t
k
m
5
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Valores máximos
( ) c o s ( ) x t A t
( ) s in ( )d x
v t x A t d t
2
2
2 2-
( )
c o s ( ) ( )
d xa t x
d t
A x t t
m a xv A
2
m a xa A
6
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 4/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 4
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Exercício de aplicação
Suponha o sistema da figura. Sabe-se que ao puxar a massa para forada sua posição de equilíbrio, na direcção representada, se obtém umaforça proporcional ao deslocamento. Neste caso, a intensidade daforça observada é de 4 N relativa a um deslocamento de 0,02 m . Amassa de 2 kg é puxada até uma distância de 0,04 m e posteriormentelargada. Determine a constante da mola.
7
k
m
a. Determine o período e a frequência deoscilação.
b. Calcule a velocidade máxima atingida
pela massa.c. Calcule a aceleração máxima.d. Determine a velocidade e a aceleração
quando o corpo está a meio do seudeslocamento máximo (para o centro).
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Energia do Oscilador Harmónico Simples
Não existindo atrito, haverá conservação da energia mecânica dosistema:
Recordando: 21
2 p o te nc ia l
E k x21
2c i n é t i c a
E m v
2 21 1( ) ( )
2 2m ec â nic a c in étic a p ote n cia l E E E m v t k x t
A energia mecânica é constante: Porque tem este valor?21
2t o t a l
E k A
8
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 5/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 5
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
s e n 0g
L
Pêndulo Simples
• Forças a actuar no sistema: T e P:• variável angular que descreve o movimento:
Recordando:
m ax( ) c o st t g
L
9
s L
2
2sen
d sF mg m
dt
s e n
2 L
T g
(pequenas oscilações)
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Vários Pêndulos
10
• Pêndulo simples: – Período do movimento (pequenas oscilações):
• Pêndulo composto: – Período do movimento:
• Pêndulo de torção: – Período do movimento:
2T g
2 I
T mgd
2 I
T
[m4]: constante de torção;
I [kgm2]: momento de inércia;
m[Kg]: massa; d [m]: distância do pivot ao centro de massa;
[m ]: comprimento do fio; g [ms-2]: aceleração da gravidade;
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 6/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 6
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Oscilações Amortecidas
Na realidade, em sistemas harmónicos simples, devemos sempre considerar asforças dissipadoras, e.g., a fricção, que são forças que vão atenuar o movimento efazer diminuir a energia mecânica do sistema Força retardadora Movimentoamortecido.
retardadoraF v v[ms-1]: velocidade;
[N/ms-1]: constante de amortecimento;
restauradoraF m a kx v
2( ) c o s ( )et
m x t A t
2
2
k
m m
Equação do movimento
Frequência angular de oscilação0
k
m
Frequência natural de oscilação
Oscilador SEMamortecimento
11
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Tipos de Movimento Amortecido
• Movimento Fracamente Amortecido – Movimento que apresenta oscilações, cuja amplitude decai com o tempo.
• Movimento Criticamente Amortecido – Não há movimento oscilatório.
A amplitude decresce rapidamente até zero.
• Movimento Fortemente Amortecido – A força retardadora é muito superior à força restauradora. O sistema
retorna lentamente ao seu ponto de equilíbrio.
http://www.math.ualberta.ca/~ewoolgar/java/Hooke/HookeWindow.html
maxv kA
02crítico m
02m
12
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 7/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 7
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s • Movimento Fracamente Amortecido
– Movimento que apresenta oscilações, cuja amplitude decai com o tempo.
• Movimento Criticamente AmortecidoA amplitude decresce rapidamente até zero.
• Movimento Fortemente AmortecidoA amplitude decresce rapidamente até zero.
Equações do movimento amortecido
2( ) c o s ( )et
m x t A t
13
2( ) ( )et
m x t A B t
2( ) ( )e e et
t t m x t A B
2
2
k
m m
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Comparação entre movimentos
14
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 8/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 8
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Oscilações Forçadas
Exemplo de aplicação: Porquê?
A aplicação de uma força externa pode compensar a perda de energia mecânica.
A força externa do“empurrão” periódico, poderepor a quantidade de energiaque se dissipa devido aomovimento amortecido.
cos( )externaF F t
Fext[N]: amplitude da força (constante); [rads-1]: frequência angular da força externa;
cos( )ext mx kx x F t Equação diferencial do movimento
( ) ( ) cos( ) x t A t com 2
22 2
0
ext F
m A
m
15
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Ressonância
16
– A amplitude tem um valor muito alto para um factor de amortecimentodesprezável ( 0);
– À medida que se aproxima de
, a amplitude de oscilação tende paraum valor cada vez mais alto, condicionado apenas pelo amortecimentopresente;
– A amplitude diminui à medida que o amortecimento aumenta ;
– A curva de ressonância alarga com o aumento do amortecimento.
– O factor de qualidade, Q , de um oscilador determinao quanto próximo ele estará de ser um sistema não-amortecido;
– A potência P (energia por unidade de tempo)do oscilador (sistema oscilante) é determinada por:
– Nesta circunstâncias, a força externa F, e a velocidade v, estão em fase.
0
1
Q
P F v
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 9/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 9
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Curvas de ressonância
17
2
22 2
0
ext F
m
A
m
..\ph14e\ph14e\resonance.htm
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM ar q u e s
Outros exemplos de ressonância
18
http://br.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
http://mysite.verizon.net/vzeoacw1/impedance.html
7/23/2019 1.1 Oscilações
http://slidepdf.com/reader/full/11-oscilacoes 10/10
VIBON - LEEC 14-10-2011
Arcelina Marques 10
V I B ON2 0 0 8
© A r c el i n aM
ar q u e s
Bibliografia
• Tippler & Mosca – Physics for Scientists and Engineers , 5th ed.• Capítulo 14: pág. 403 – 432.
• Serway & Jewett – College Phys ics, 7th ed.• Capítulo 13: pág. 424 – 441.
• Halliday, Resnick, Walker – Fundamentals of Physics , 8th ed.• Capítulo 13: pág. 389 – 413.
19