Министерство образования Омской области Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Омской области «Омский техникум высоких технологий машиностроения»

11 МДМ 1? 11ДУАЛ Ь11Ы М П РО Е КТ

«М аги чески е к вад р аты »

Выполнил:Студент 120 группы БПОУ ОТВТМ

Специальность: И нформационные системы по от­росли м

Семенов Дмитрии Алексеевич11роверил:

Руководи гель проекта Бабаева Людмила Ивановна

Оценка:

Омск 2018 г

СОДЕРЖ АНИЕ

В В Е Д Е Н И Е ....................................................................................................................... 3

ГЛАВА 1. Что такое «магический к вад р ат» ......................................................5

1 .1 . История появления «магических к вад ратов» ........................................ 5

1.2. М агический квадрат 3x3 ....................................... ...............................................6

1.3. М агический квадрат П иф агора.......................................................................... 7

1.4. Применение магических квадратов................................................. 12

ВЫ ВОДЫ ПО П ЕРВО Й Г Л А В Е ..............................................................................14

ГЛАВА 2. Использование магических квадратов в современном

мире.......................................................................................................................................15

ВЫ ВОДЫ ПО ВТО РО Й Г Л А В Е ..............................................................................17

ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е ............................................................................................................... 18

СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы ........................................................................................... 19

П РИ Л О Ж Е Н И Я ...............................................................................................................20

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проекта и проблемы исследования заключается в при­

влечении учащ ихся к реш ению нестандартных задач. Я считаю, что магиче­

ский квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.

Великие ученые древности считали количественные отношения осно­

вой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятель­

ную жизнь, свои тайны. Поэтому числа и их соотношения занимали вели­

чайшие умы человечества. М ногие выдающиеся математики посвятили свои

работы магическим квадратам. Раньше многим был известны способы со­

ставления магических квадратов, например Бенджамин Франклин писал:

«В дни моей ю ности я в свободное время развлекался тем, что составлял...

магические квадраты». А между тем, изучение магических квадратов, их

свойств может помочь в развитии познавательного интереса к предмету ма­

тематики, к истории её развития, развитии любознательности и логического

мышления.

М агические квадраты .... От этого словосочетания сразу веет волшебст­

вом. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае

«магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз полу­

чаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат,

который мы встречаем, по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.

Цель проекта: знакомство с различными магическими квадратами и изу­

чение областей их применения.

Задачи:

• познакомиться с историей появления магических квадратов;

• выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

• выявить области применения магических квадратов;

• Научиться составлять магические квадраты.

М етоды исследования:

• Поисковый метод — использование учебной и справочной литерату­

ры, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет;

• Практический метод - составление магических квадратов на основе

полученных знаний;

• Исследовательский метод - составление психологического портрета

личности по квадрату Пифагора.

Гипотеза - изучение свойств магических квадратов позволит определить

общие способы их построения.

П редполагаемы е результаты: научиться строить магические квадраты лю ­

бого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в

деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.

4

ГЛ АВА 1. Что такое «магический квадрат»

М агический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, за­

полненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом

столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чи­

сел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Поля таблицы, в которые записываю т числа, называются клетками магиче­

ского квадрата, а сумма чисел, стоящих в лю бой строке, столбце или на диа­

гонали, - его постоянной.

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, на­

зываемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них

Пьер де Ферма.

1.1. История появления магических квадратов

По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры

в Древнем Китае, во времена правления императора Ию когда на берег из ре­

ки Ло всплыла свящ енная черепаха, на панцире которой был странный узор

из точек (рис. 1), упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами,

расположенными в определенной последовательности (рис.2). Причем при

последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9 получается символ

"печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии.

Этот символ также называется символом «Девяти императоров» (рис. 3),

считается, что он обладает очень мощной защ итной силой и в качестве та­

лисмана способен защ итить хозяина от преждевременной смерти.

Ж ители П однебесной считали таблицу Ло Ш у священной, у них даже

не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов больше­

го размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия

спустя. Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая ма­

гические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и

другие страны. Н а востоке их считали волшебными, полными тайного смыс­

ла символами, и использовали при заклинаниях.

5

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им раз­

личные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то

опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Та­

кое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало

поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от

чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно уви­

деть магические квадраты.

1.2. М агический квадрат 3x3

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено

и до сего времени. М агических квадратов 2x2 не существует, так как квадрат

с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит,

постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магиче­

ским, нужно составить 6 комбинаций (слева направо, начиная от верхнего

левого квадратика, сверху вниз, справа налево, снизу вверх и по двум диаго­

налям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3) из этого

следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что

квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат

будет образован перемещ ением строк или столбцов, поворотом на 90° или

180°.

Виды магических квадратов.

1. Нормальный М К - магический квадрат, заполненный целыми

числами от 1 до п2. (рис.4)

2. Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до

п2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической посто­

янной, а по диагоналям это условие не выполняется, (рис.5)

3. Симметричный М К , такой магический квадрат, у которого сумма

любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квад­

рата, равна одному и тому же числу: 1+п2. (рис. 6)

6

4. П андиагональный (дьявольский) М К - такой магический квадрат,

в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе

квадрата. Сущ ествует 48 дьявольских квадратов 4x4 с точностью до поворо­

тов и отражений, но только 3 сущ ественно различных квадрата,

(рис. 7)

5. И деальный М К - магический квадрат, который одновременно

пандиагональный и ассоциативный, (рис.8)

6. Соверш енный М К - магический пандиагональный квадрат поряд­

ка 4к, обладающ ий дополнительными свойствами.

Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магиче­

ским при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадра-

товЗ ,4,5 порядканесу шествует.

М ультимагический квадарат - обобщение бимагических квадратов на произ­

вольную степень п.

7. Н етрадиционный МК - если в таблицу заносится не строго нату­

ральный ряд чисел, (рис. 9)

1.3. М агический квадрат Пифагора

Великий ученый Пифагор, основавш ий религиозно-философское уче­

ние, провозгласивш ее количественные отнош ения основой сущности вещей,

считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения.

Поэтому сущность человека заключается в числе - дате его рождения. Он

создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер че­

ловека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть

достоинства и недостатки и тем самым выявить, что нужно предпринять для

его совершенствования.

Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора

(рис. 10) и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Составлю

магический квадрат для себя. Для этого возьмем дату моего

рождения 18.10.2001. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без ну-7

лей): 1+8+1+2+1=13. Далее складываем цифры результата: 1+3=4. Затем из

первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня

рождения: 13-4=9. Получили числа 18.10.2001,13,4,9

И составляем магический квадрат так, чтобы в первом столбике будут

размещены числа 1, 2, 3 сверху вниз, во втором - 4, 5, 6 также сверху вниз, в

третьем - 7, 8, 9. Нули при этом во внимание не принимаются. Если опреде­

ленных чисел в составленных ранее рядах нет, ячейка просто остается пус­

той, можно написать слово «нет». В результате квадрат будет выглядеть с

моей датой рождения.

1111 4 нет

2 нет 8

3 нет 9

1) 4) V)

2) 5) В)

3) 6) 9)

Ячейки квадрата означаю т следующее:

Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

I - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь макси­

мальную выгоду.

I I - характер, близкий к эгоистическому.

I I I - «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуника­

бельный.

1111 - лю ди сильного характера, волевые. М ужчины с таким характером

подходят на роль военных - профессионалов, а женщ ины держат семью в ку­

лаке.

11111 - диктатор, самодур.

111111 - человек жестокий, способный соверш ить невозможное; нередко по­

падает под влияние какой-то идеи.

Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душ евность, чувствен­

ность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.

Нет двоек - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти лю ­

ди воспитаны и благородны от природы.8

2 - обычные в биоэнергетическом отнош ении люди. Такие люди очень чув­

ствительны к изменениям в атмосфере.

22 - относительно больш ой запас биоэнергетики. Из таких людей получают­

ся хорош ие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого

бывают нервные стрессы.

222 - знак экстрасенса.

Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность,

пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному

«восстановлению справедливости».

Нет троек - пунктуальный и чистоплотный человек, однако замечает все ок­

ружающие его негативные нюансы.

3 - за порядком следит по настроению.

33 - люди, склонны к наукам, чистоплотны.

333 - высокая склонность к самообучению, с фанатизмом следят за чистой.

Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл ис­

кать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов,

людей в футляре.

Ячейка 4 — здоровье. Это связано с энергетическим пространством, нарабо­

танным предками и защ ищ аю щ им человека.

Нет четверок - свидетельствует о болезненности человека.

4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта реко­

мендуется плавание и бег.

44 - здоровье крепкое.

444 и более - лю ди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающ ее проявляться у таких лю­

дей уже на уровне трех пятерок.

Нет пятерок - канал связи с космосом закрыт. Эти лю ди часто ошибаются.

Сами всего добиваю тся в жизни, все пробуют «на зуб». Экспериментирую и

всегда находятся в раздумьях.

9

5 - канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, из­

влечь из нее максимальную пользу. М ало делаю т ош ибок по жизни.

55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугады­

вать ход событий. Подходящ ие для них профессии - юрист, следователь.

555 - почти ясновидящ ие, крайне редко допускаю т ошибки, всё предчувст­

вуют.

5555 - настоящ ие ясновидящ ие, часто они чувствуют не только то, что про­

исходит в этом мире, но и в потустороннем.

Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к коли­

чественному освоению мира и недоверие к качественны м скачкам и тем

более к чудесам духовного порядка.

Нет ш естерок - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как

правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией,

художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на по­

ступок.

6 - люди приземленные, могут заниматься творчеством или точными наука­

ми, но физический труд является обязательным условием существования.

М огут хорош о учиться.

66 - люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для

них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия ис­

кусством.

666 - знак Сатаны, особый и зловещ ий знак. Такие люди обязательны, однако

питаются энергией своего партнера. Высосав энергию, уходят к другому че­

ловеку. Эти лю ди обладаю т повыш енным темпераментом, обаятельны, неиз­

менно становятся в общ естве центром внимания.

6666 - эти лю ди в своих предыдущ их воплощениях набрали слишком много

заземленности, они очень много трудятся и не представляю т свою жизнь без

труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься

умственной деятельностью , развивать интеллект, хотя бы получить высшее

образование.10

Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.

Нет семерок - такие лю ди рождаются для того, чтобы зарабатывать семерки.

Ж изнь их часто тяжела, нередко приходят к религии.

7 - талант есть, но он неярко выражен, чем больше они работают, тем боль­

ше получаю т впоследствии.

77 -сильны й знак ангелоподобия. Очень одаренные, музыкальные люди, об­

ладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобрази­

тельному искусству.

777 - особый знак. Эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго.

Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедли­

вость. Они чувствительны, лю бят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и

живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 — карма, долг, обязанность, ответственность. Количество вось­

мерок определяет степень чувства долга.

Нет восьмерок - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 - чувство долго развито, натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 - у этих лю дей очень развито чувство долга, такие л юли стремятся всем

помогать, не могут никому отказать особенно слабым, больным, одиноким.

888 - знак великого долга, знак служения народу, Правитель с тремя вось­

мерками добивается выдаю щ ихся результатов.

8888 - эти лю ди обладаю т парапсихологическими способностями и исклю­

чительной восприимчивостью к точным наукам.

Ячейка 9 - ум, мудрость.

Нет девяток — свидетельство того, что умственные способности крайне ог­

раничены.

9 - эти лю ди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недос­

таток ума. Нуж но развивать вторую девятку.

99 - эти лю ди умны от рождения, любят обучаться. Они наделены чувством

юмора с ироничным оттенком, независимые.11

999 - очень умны. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им

легко. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные со­

беседники.

9999 - это лю ди резкого ума, однако часто они грубы и немилосердны. Им

открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гаранти­

рованы от провала в лю бом из своих начинаний.

Итак, решая магические квадраты, мы:

- учимся мыслить, соверш енствуем математический счет;

- можем предсказывать свою судьбу.

1.4. П рименение магических квадратов

Когда я стал изучать магические квадраты, меня заинтересовала об­

ласть их применения. Это показалось мне довольно интересным. Сегодня

очень актуальным становиться вопрос о защ ите информации. Например, на

уроке информатики изучаю т тему кодирование. С помощью магических

квадратов также можно закодировать информацию. Например, зашифровать

текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем

фразу «БУДУ В СЕМ Ь» или «КЛЮ ЧИ ПОД КОВРИКОМ », (рис. 11, рис. 12).

А еще очень популярна японская головоломка судок (яп. «су»- число,

«доку» - рядом - мудрость Востока) (рис. 13). Берет свое начало именно из

магического квадрата. Она помогает нам развивать логическое мышление и

вычислительные навыки. В настоящее время много газет и журналов печата­

ют эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задача­

ми. Эти головоломки лю бят разгадывать как взрослые, так и дети.

Традиционной сферой применения магических квадратов являются та­

лисманы (ри.14). М аги, астрологи использую т для росписи талисманов квад­

раты, составляется по определенным правилам (это схоже с магическим

квадратом). М агические квадраты использую т силу цифр и соответствующих

им рун с целью привлечения энергии планет к талисманам. Еще в древние

времена было замечено, что числа являются ключевым понятием для изуче­

ния Вселенной. Каждое из чисел что-то обозначало, а каждое математиче-1 Л

ское действие почиталось свящ енным актом творения. К при­

меру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от

кораблекруш ения и болезней, делает человека любезным, способствует пре­

дотвращ ению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье.

ВЫ ВО Д ПО П ЕРВО Й ГЛАВЕ

Все выш есказанное дает нам возможность сделать следующие выво-

1. М агический квадрат - древнекитайского происхождения.

2 . Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка

4. М агический квадрат является популярной головоломкой, часто встре­

чается в олимпиадных заданиях.

5. С помощ ью магического квадрата можно кодировать информацию.

6. Сущ ествует много видом магической головоломки.

7. Для каждого магическая головоломка определенного порядка сущест­

вуют различные способы заполнения.

1 4

ГЛАВА 2. Использование магических квадратов в современном мире

В 19 и 20 в.в. интерес к магическим квадратам вспыхнул

с новой силой. Их стали исследовать с помощ ью методов высшей алгеб­

ры и операционного исчисления. В связи с этим сфера использования маги­

ческих квадратов значительно возросла, что можно наблюдать и в наше вре-

Использование магических квадратов прослеживается

в современной школе на уроках информатики при работе с программой

М югозой Ехсе1, при изучении языка программирования Ра8са1. Однако их

роль на уроках математики тоже заметна. М агические квадраты зачастую ис­

пользуются для развития логического мышление и внимания. В начальной

школе использую тся магические квадраты с повторяющ имися цифрами для

закрепления нумерации.

М агические квадраты получили распространение даже

в сфере развлечений. На их основе созданы многие современные логические

игры. Н апример, игра «Судоку» (рис. 13). Игра представляет собой квадрат

размером 3x3 клетки. В каждую клетку помещ ается одно число от 1 до 9

причем так, чтобы сумма чисел в любом столбце, строке и по диагонали рав­

нялась 15. История судоку как игры восходит к имени знаменито­

го ш вейцарского математика, механика и физика Леонарда Эйлера (1707 -

1783). В бумагах его архива, датированных 17 октября 1776 года, содержатся

записи о том, как образовать магический квадрат с определенным числом

ячеек, особенно 9, 16, 25 и 36. В другом документе, озаглавленном «Научное

исследование новых разновидностей магического квадра­

та» Эйлер помещ ал в клетки латинские буквы (Латинский квадрат), поз­

же он заполнил клетки греческими буквами и называл квадрат греко­

латинским. Исследуя различные варианты магического квадрата, Эй­

лер обратил внимание на проблему комбинации символов таким образом,

чтобы не один из них не повторялся ни в одной строке и ни в одном столбце.ю

В современном виде головоломки судоку впервые были опубликова­

ны в 1979 году в журнале \Уогс1 Оашез т а § а г т е . Автором головоломки

был Гарвард Гарис. Он использовал принцип латинского квадрата Эйлера,

применил его в матрице размерностью 9x9 и добавил дополнительные огра­

ничения, цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3x3. Еще

одним примером использования квадратов в сфере развлечений является ма­

гический квадрат третьего порядка, который можно встретить на палубах

больших пассажирских судов - площ адка для игры в палубный шаффлборд.

Ш аффлборд - игра, в которой монеты или диски ударом биты перемещают

по расчерченной на девять клеток площадке.

Кроме того, магические квадраты используются в криптографии. Они

позволяют создать алгоритм перевода заш ифрованного текста в изображении

и наоборот. Буквы сообщ ения расставляю тся в порядке, заданном магиче­

ским квадратом. Затем каждой букве сообщения ставится в соответствие

цвет, тем самым в итоге получаем изображение. С начала эпохи Возрожде­

ния (конец XIV столетия) начала возрождаться и криптография. Наряду с

традиционными применениями криптографии в политике, дипломатии и во­

енном деле появляю тся и другие задачи - защ ита интеллектуальной собст­

венности от преследований инквизиции или заимствований злоумыш ленни­

ков. В разработанных ш ифрах перестановки того времени применяются

шифрующие таблицы, которые в сущности задают правила перестановки

букв в сообщении.

В качестве клю ча в ш ифрующ их таблицах используются:

• размер таблицы;

• слово или фраза, задающ ие перестановку;

• особенности структуры таблицы.

16

ВЫ ВО ДЫ ПО ВТО РО Й ГЛАВЕ

Таким образом, мы убедились, что в наше время магические квадра­

ты продолжают привлекать к себе внимание лю бителей математических игр

и развлечений. Возросло число книг и журналов по занимательной математи­

ке, в которых содержаться головоломки и задачи, связанные с необычными

(магическими) квадратами. Для их успеш ного решения требуется не столько

специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые зако­

номерности. Реш ение таких задач послужить прекрасной «гимнастикой для

ума». Такая «гимнастика» нравиться и взрослым и детям.

Как и много веков назад, волш ебные квадрат сейчас используют со­

временные астрологи и нумерологии, а также и «маги».

ЗАКЛЮ ЧЕН И Е

В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства

доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков при­

водили лю дей в неописуемый восторг, когда они как чуду внимали совер­

шенству незатейливых суммирующ их закономерностей.

Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить маги­

ческие квадраты самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось

таинством (волш ебством), сегодня представляется ремеслом.

В моем проекте представлены вопросы, связанные с историей разви­

тия одного из интересных вопросов математики, - магических квадратов.

Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого

применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множе­

ство незаурядных людей и способствовали развитию многих разделов совре­

менной математики: теории групп, матриц, комбинаторного анализа. Были

решены поставленные задачи: я изучил историю появления и развития маги­

ческих квадратов. По методике построения магического квадрата Пифагора

можно узнать о человеке по его дате рождения. По своей дате рождения я в

этом смог убедиться.

Была достигнута цель исследования: в процессе моего проекта я по­

знакомился с магическими квадратами и изучил их область применения.

Работая над своим проектом, я понял, что магические квадраты можно

использовать не только в учебе, в работе, а так же многие люди используют

их в своем досуге. Например, разгадывание Судоку - это поистине увлека­

тельная головоломка. Таким образом, нас повсюду окружают

магические «волш ебные» квадраты ...

ю

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. М. Гарднер «Путеш ествие во времени», М., «М ир», 1990г.

2. «Магия чисел и фигур», М осква «Глобус», 2007 г.

3. Гарднер М. М атематические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 2007.

5. Депман И .Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.:

Просвещение, 2006.

6. Трошин В.В.. М агия чисел и фигур. М.: - ООО «Глобус», 2007.

7. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // М атематика в школе, 2000,

№3

8. Ш арыгин И., Ф. Ш евкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку. - М.:

ГАЛАС, 1993.

9. ЬЦр://\у\у\у.к1а551крое2.пагос1.ги/то1те1оё.Ь1т

10. Ьйр ://п5рог1:а1 .т/5Ько1а/га2пое/НЬгагу

11 ■ЬЦр://ги.\У1к1ресИа.ощ/\У1к1/%СС%Е0%ЕЗ%Е8%Р7%Е5%Р 1%ЕА%Е8%Е9 %Е

А% Е2% Е0% Е4% Р0% Е0% Р2

12. Ьйр://хгеГега1:.ги/54/540-1 -та21сЬе5к1е-куадга1у.Ь1т1

13. ЬЦр://\у\у\у.соо1геГегаг.сот/Магические квадраты часть 3

4 9 2

3 5 7

8 1 6

П РИЛОЖ ЕНИЕ:

Рис. 1 Панцирь черепахи с узором из точек

Рис.4 нормальный магический квадрат

Рис.2 Квадрат 3 хЗ

Рис.З Символ «Девяти императоров»

8 6 4 2 — 20

6 4 2 8 —♦ 20

4 2 8 б — 20

2 8 6 4 — 20

/ 1 1 1 1 х*8 20 20 20 20

Рис.5

Полумагический квадрат

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Рис.6

Симметричный квадрат

20

Рис. 7Пандиагональный М агический квадрат

1 8 11 14

12 13 2 7

6 3 16 9

15 10 5 4

| 2 1 1 32 7 0 1| 26 || 28 | 69 122 36 65

| 4 0 | 8 1 1| 2 | 39 || 77 || 7 ^44 | 7 3 Л 6

I 6 : | | 51 || 53 | 13 | 47 | 57 || •- | 52

[ 6в | 2 3 ]| 34 | 7 1 1 9 3 3 |! $ ? [ 2 7 ; : 2 9 ;

3 ~':\ 41 I 79 | 3 | 37 | "5

16| 5 3 1| 55 !( 15 || 49 || 63 !| 11 || 48 :| 59

| 30 || 68 | 26 Ц 3 5 1| 64 | 24 :[ 31 [[ ?2 | 20

| 76 [ 9 || 38 :| 75 || 5 || 43 || 30 | 1 42

| 1 7 1| 46 !| 6 0 1| 1 3 1| 54 !| 56 || 1 2 }| 50 ’| 61 |

Рис.8 Идеальный М агический квадрат

Рис.9 Нетрадиционный магический квадрат

Рис. 10 М агический квадрат Пифагора

21

1иНУрОЬ‘с»«И4:

6 1 8

7 5 3

2 9 4

У Е С Ь В Б У Д М

Рис. 11Ш ифрование«Буду в семь»

1_и > >}' ри Ь-с ! НЫС

16 3 2 13 |К Л ю ч5 10 и 8 1И п о д9 6 7 12 к о в р4 15 14 1 ! 11 О м

МЮАИИОВДНГЮРЧОКК

Рис. 12Ш ифрование «Ключи под ковриком»

8 4 в 74

1 6 55 9 3 7 8

74 8 2 1 35 2 9

13 9 2 5

Рис. 13 Японская головоломка «Судоку»

Рис. 14 Талисман для неуязвимо неуязвимости на войне

22