1

随机现象 ——

每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试

验时，出现的结果有一定的规律性—— 称之为统计规律性

确定性现象 ——

在一定的条件下必然出现的现象

§1.1 随机事件和运算

1

随机现象⒈掷一枚硬币,观察向上的面;⒉下一个交易日观察股市的指数上升情况;⒊某人射击一次,考察命中环数;⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量;……

确定性现象⒈抛一石块,观察结局;⒉导体通电,考察温度;⒊异性电荷放置一起,观察其关系;……

2

对某事物特征进行观察, 统称试验.

若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示

试验前不能预知出现哪种结果

基本术语

可在相同的条件下重复进行

试验结果不止一个,但能明确所有的结果

3

E1 投一枚硬币，观察正面反面出现的情况

E2 投一枚硬币3次，观察正面反面出现的情况

E3 投一枚硬币3次，观察正面反面出现的次数

E4 投一颗骰子，观察向上一面出现的点数

E5 观察某银行每天9:00~10:00接待顾客人数.

E6 观察上证综指某天某时刻的点数

4

本课程的主要研究问题之一：

随机试验中某些可能发生，也可能不发生的事件（称为随机事件）发生的可能性大小（概率）

样本空间与随机事件

5

样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果

样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为

随机事件 —— W的子集, 记为 A ,B ,…

它是满足某些条件的样本点所组成的集合.

组成的集合称为样本空间 记为W

样本点(or基本事件) 常记为w，W = {w}

注： 随机事件 是样本空间的一个子集,它是满足某些条件的样本点所组成的集合。 6

2

2 {0,1,2,3, , }N

3 1 2{( , ) }x y T x y T

其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度

3 :E 观察某地区每天的最高温度与最低温度

2 :E 某银行在某时间段需要服务的顾客人数

有限样本空间

无限样本空间

1 :E 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数

1 {0,1, 2,3}

例给出一组随机试验及相应的样本空间

7

基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.

必然事件——全体样本点组成的事件,记为W, 每次试验必定发生的事件.

随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样本点发生

不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为F ,每次试验不发生的事件.

8

1.包含关系 “A发生必导致B发生” 记为AB

A＝B AB且BA.

事件的关系和运算

9

2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作AB

n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作1

n

ii

A

可列个事件A1, A2,…, An,…至少有一个发生，记作1

ii

A

10

3.积事件: A与B同时发生，记作 AB＝AB

n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作1

n

ii

A

可列个事件A1, A2,…, An,…同时发生，记作1

ii

A

11

4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生

思考：何时A-B = ? 何时A-B =A ？12

3

5.互不相容（互斥）的事件：AB＝

1 2, , , nA A A 两两互斥

1 2, , , ,nA A A 两两互斥

njijiAA ji ,,2,1,,,

,2,1,,, jijiAA ji

13

6. 对立事件(或互逆事件) AB＝, 且AB＝ B A A记作 ，称为 的对立事件

注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念

14

符号

集合论 概率论

全集 样本空间：必然事件

空集 不可能事件

中的点（或称元素） 样本点

单点集 基本事件

的子集A 事件A

集合A包含在集合B中 事件A包含于事件B中

集合A与集合B相等 事件A与事件B相等

集合A与集合B的并 事件A与B至少有一个发生

集合A与集合B的交 事件A与事件B同时发生

集合A的余集 事件A的对立事件

集合A与集合B的差 事件A发生而B不发生

集合A与B没有公共元素 事件A与B互不相容（互斥）

_

15

事件的关系与运算完全对应着集合的关系和运算，有着下列的运算律：

吸收律

( )

A

A A

A AB A

( )

A A

A

A A B A

重余律

幂等律 A A A A A A

( )A B AB A AB

A A

16

交换律 A B B A AB BA

结合律 ( ) ( )A B C A B C

( ) ( )AB C A BC

分配律 ( ) ( ) ( )A B C A C B C

( ) ( )( )A BC A B A C

17

B

CA

( )

( )( )

A BC

A B A C

B

A CA

18

4

A B A B AB A B

1 1

n n

i ii i

A A

1 1

n n

i ii i

A A

1 1i i

i i

A A

1 1

i ii i

A A

反演律

19

A B C 例：设 、 、 为样本空间 中的三个随机

: , 件的运算表示下列随机事　、、试用事件 CBA

; 1 都不发生与发生而 CBA

; 2 都不发生、、 CBA

; 3 中恰好有一个发生、、 CBA

; 4 中至少有两个发生、、 CBA

; 5 中至少有一个发生、、 CBA

. 6 中恰好有两个发生、、 CBA

ABC ABC

ABC ABC ABC

A B C AB AC BC

ABC ABC ABC 20

例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，

以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，

试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

1

2

3

4

5

6

: :

: :

: :

: :

: :

: :

A

A

A

A

A

A

至少有一人命中目标

恰有一人命中目标

恰有两人命中目标

最多有一人命中目标

三人均命中目标

三人均未命中目标

A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC

BC AC AB

A B C ABC

21

作业: P42 习题一256

22

2019/5/7

1

§1.2 概率

随机事件A发生可能性大小的数值度量，称为A的概率。

1

设 随机试验E 具有下列特点：

基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生

则称 E 为古典概型

古典概型中概率的计算：

记 N 中包含的基本事件总数

M A组成 的基本事件个数

( ) /P A M N则

古典概率

概率的古典定义

2

加法原理 完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1

种不同的方法.

乘法原理 完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1

种不同的方法.

组合记数 (复习)

3

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有

( 1)( 2) ( 1)mnA n n n n m

全排列 !nnA n

可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地取出 m 个排成一排, 不同的排法有

mn种.4

组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放回地）组成一组，不同的分法共有

!

!( )!mn

nC

m n m

1rn rC

重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为重复组合，此种重复组合数共有

00 ! 1, 1nC

5

例 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球,求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率mkak ,

6

2019/5/7

2

7

)1()1)(()( mbababaAn mba

解（1）不放回情形

E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次

W:

记事件 A 为m个球中有k个白球，则

)!(!

)!(!

)!(!!

kmbb

kaa

kmkm

AACn kmb

ka

kmA

则m

ba

kmb

ka

km

A

AACAP

)( mkak ,

又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色m

baCn 1W1:

记事件 A 为m个球中有k个白球，则km

bkaA CCn

不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个球算得的结果相同.

因此m

ba

kmb

ka

CCC

AP

)( mkak , 称超几何分布

8

（2）放回情形

E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,重复 m 次

mban )(2

W2:

记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则

m

kmkkm

babaC

BP)(

)(

kmk

km ba

bba

aC

ba

ap

记

),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm

称二项分布 9

例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个

球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设

每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:

（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；

（4）恰有 k 个盒子中各有一球；

（3）某指定的一个盒子没有球；

（5）至少有两个球在同一盒子中；

（6）每个盒子至多有一个球.

（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )m k

k N

10

解 kn N设 (1) ~ (6)的各事件分别为 1 6A A

则1

!Am k 1

1

!( ) A

k

m kP A

n N

4

!( )

kN

k

C kP A

N

3

( 1)( )

k

k

NP A

N

2

( 1)( )

m k mk

k

C NP A

N

5

!( )

k kN

k

N C kP A

N

41 ( )P A

3( 1)k

Am N 2

( 1)m k mA km C N

4!k

A Nm C k

5!k k

A Nm N C k

6!k

A Nm C k 6 4( ) ( )P A P A 11

例 设有 n 个不能分辨的球，m个有编号的盒子，假设在盒子中球的放置方法等可能。（1）每个盒子仅能容纳一个球，求指定的k个盒子中有 球的概率。（2）每个盒子能容纳任意多个球, 求指定k （k m）个盒子中无 球的概率。

1( )n km k

nm

cP A

c

12

1

( )nn m k

nn m

cP A

c

12

2019/5/7

3

13

例 在0,1,2,3, …,9中任取四个数

(不重复)，求它们能排成首位非零的

四位不同偶数的概率.

14

解

229628

14

39

15 ACACnA

.5040410 An

设 A为“能排成首位非零的四位偶数”

四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能15C

而前三位数有 种取法,由于首位为零的四39A

位偶数有 种取法,所以有利于A发生的取1 24 8C A

法共有 种.

9041

50402296

)( AP

例 （p43）把 n 个“0”和m个“1” （m n +1）随机的排在一起，求没有两个“1”排在一起的概率。

1( )mnmn m

cP A

c

因为求没有两个“1”排在一起的概率，样本空间可以这样构造：把n个 “0”先排起来，然后再把“1”插进去，n个“0”可以排出n+1个位置，然后把n 个没区别的“1”放进去，所有的放法 ,没有两个排在一起，只要在n+1个位置中取出m个位置放入 “1”。

mn mc

1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型.

3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化.

2o 同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同一般越小越好.

n

n

计算古典概率注意事项

16

作业：习题一 8，9，10，12，16

(1)几何概型 设Ω为试验E的样本空间，若①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、

空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点;②每个样本点发生具有等可能性 ;

则称E为几何概型。

(2)几何概型概率的定义

设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随

机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:

几何概型

( )P(A)

( )

m D

m

( )m m D

注： 及 在 是区间时，表示相应的长度；

在 是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积。18

2019/5/7

4

例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.

9点 10点

10分钟

61

6010

)( AP

19

例 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.

解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 £ x < 24船2 到达码头的瞬时为 y ，0 £ y < 24

设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头．

20

x

y

24

24

y = x

224S

22 222321

AS

1207.01)( S

SAP A

}240,240),{( yxyx

{( , ) ( , ) ,

1, 2}

A x y x y

x y x y x y

21

设在 n 次试验中，事件 A 发生了m次，

频率

n

mfn 则称 为事件 A 发生的频率

22

频率的性质 0 ( ) 1nf A 1)( nf

事件 A, B互斥，则

)()()( BfAfBAf nnn

可推广到有限个两两互斥事件的和事件

非负性

规范性

可加性

稳定性

某一定数

)()(lim APAfnn

23

试验者 抛币次数n“正面向上”次数m

频率

De Morgan 2084 1061 0.518

Bufen 4040 2048 0.5069

Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005

( )nf A

抛掷钱币试验记录

频率稳定性的实例

24

2019/5/7

5

Afn , 的频率正面向上出现从上表中可以看出

, 次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n

. 5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在

可见, 在大量重复的试验中, 随机事件出现

的频率具有稳定性. 即通常所说的统计规律性.

25

例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：

A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006

26

概率的统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次

试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一

常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越

小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).

27

设 W 是随机试验E 的样本空间，若能找到

一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：

非负性： , ( ) 0A P A 归一性： ( ) 1P

11

( )i iii

P A P A

可列可加性：

其中 为两两互斥事件1 2, ,A A

概率的公理化定义

28

概率的性质

( ) 0P

( ) 1 ( )P A P A ( ) 1P A

有限可加性: 设 nAAA ,, 21 两两互斥

n

ii

n

ii APAP

11

)(

若 A B ( ) ( ) ( )P B A P B P A ( ) ( )P A P B

29

对任意两个事件A, B, 有

)()()( ABPBPABP

B

A

P(B)=P(AB)+

P(B – AB)

B - AB

AB

30

2019/5/7

6

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

)()()()( ABPBPAPBAP )()()( BPAPBAP

推广：

)(

)()()(

)()()()(

ABCP

BCPACPABP

CPBPAPCBAP

31

)()1()(

)()()(

211

1

111

nn

n

nkjikji

njiji

n

ii

n

ii

AAAPAAAP

AAPAPAP

一般：

右端共有 项.12 n

32

例 “球入盒子模型”的应用

生物系二年级有 n 个人，求至少有两

人生日相同（设为事件A ) 的概率.

33

解

为 n 个人的生日均不相同,这相当于A

本问题中的人可被视为“球”，365天为

365只“盒子”

若 n = 64，

每个盒子至多有一个球.

365 !( )

365

n

n

C nP A

365 !

( ) 1 ( ) 1 .365

n

n

C nP A P A

( ) 0.997.P A

34

例 在1,2,3,…,9中可重复地任取 n 个数（ ）,求 n 次取到的数字的乘积能被10整除的概率

2n

1 2 1 2A A A A A

解 9nn

设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积能被10整除”

设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”

A = A1 A2

35

1

5

9

n

nP A 2

8

9

n

nP A

1 2

4

9

n

nP A A

1 2

1 2 1 2

5 8 4

9

n n n

n

P A P A A

P A P A P A A

5 8 41

9

n n n

nP A

36

2019/5/7

7

例 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率

解 设 A 为所求的事件

设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4

则4

1i

i

A A

37

3! 1( ) , 1,2,3,4

4! 4iP A i

2! 1( ) , 1 4

4! 12i jP A A i j

1! 1( ) , 1 4

4! 24i j kP A A A i j k

1 2 3 4

1( )

24P A A A A

38

由加法公式

1 4 1 4

1 2 3 41 4

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5

8

i i ji i j

i j ki j k

P A P A P A A

P A A A P A A A A

39

例 某市发行A,B,C三种报纸。已知在市民中订阅A报的有45%，订阅B报道有35%，订阅C报道有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A,B,C报的有3%，试求下列事件的概率：

(1)只订A报；(2)只订A及B报；(3)至少订一种报纸；(4)不订任何报纸；(5)恰好订两种报纸；(6)恰好订一种报纸；(7)至多订一种报纸。

40

41

例 利用概率模型证明

0

, min( , )s

n k n kN M N M

k

C C C s n M

“概率为 1 的事件不一定发生”

如图，设试验E 为“随机地向边

0 1 x

Y

1 长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在红、蓝两个三角形内”

111

11)( 2

121

正方形

蓝三角形黄三角形

S

SSAP

由于点可能投在正方形的对角线上, 所以

事件A未必一定发生.

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求

42

2019/5/7

8

作业 习题一

17, 19, 22, 23

1

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附

加信息(条件)下求事件的概率.

如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将

此概率记作P(A|B).

一般地 P(A|B) ≠ P(A)

§1.3 条件概率

条件概率的概念

1

P(A )=1/6，

例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}， P(A|B)=？

已知事件B发生，此时试验所有可能

结果构成的集合就是B，

P(A|B)= 1/3.

B中共有3个元素,它们的出现是等可

能的,其中只有1个在集A中. 于是

容易看到

)(

)(

63

61

3

1

BP

ABPP(A|B)

2

例如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品

中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，

求已知取得正品的条件下取得一等品的概率。

B={取到正品}A={取到一等品}，

P(A|B))(

)(

107

103

7

3

BP

ABP

P(A )=3/10，则

3

P(A )=3/10，

B={取到正品}

P(A|B)=3/7

本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件

产品中一等品的比例.

A={取到一等品}，

计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上

“事件B已发生”这个新的条件.

这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某

个缩小了的范围内来考虑问题.4

若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有上面的定义式.

设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

)(

)()|(

BP

ABPBAP

AB AB

为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

5

条件概率也是概率, 故具有概率的性质：

0)( ABP

1)( AP

11 ii

ii ABPABP

非负性

规范性

可列可加性

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P B B A P B A P B A P B B A

( ) 1 ( )P B A P B A

1 2 1 1 2( ) ( ) ( )P B B A P B A P B B A 6

1 2, ,B B （ 两两互斥）

2

利用条件概率求积事件的概率即乘法公式

)0)(()()( APABPAPABP

)0)(()()( BPBAPBPABP

推广

)0)((

)()(

121

12112121

n

nnn

AAAP

AAAAPAAPAPAAAP

乘法公式

7

例 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求:（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求:

第一次取得的是二等品的概率.

解: 令 Ai 为第 i 次取到一等品

（1）10

3

4

2

5

3)()()( 12121 AAPAPAAP

8

(3) 213121321 )( AAAPAAPAPAAAP

101

33

41

52

)()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP （2）

5

3

4

2

5

3

4

3

5

2

9

(4) )(

)()()()(

2

212

2

2121 AP

AAPAPAPAAP

AAP

5.015

3

103

完备事件组

n

iiA

1

nAAA ,,, 21 若 两两互斥，且

nAAA ,,, 21 则称 为完备事件组

1A nA

1nA2A

3A

nAAA ,,, 21 或称 为 的一个划分

10

B1Bn

AB1

AB2

ABn

1

n

ii

i j

B

B B

1

( )( )

n

ii

i j

A AB

AB AB

1

( ) ( )n

ii

P A P AB

1

( ) ( )n

i ii

P B P A B

全概率公式

A

Bayes公式( )kP B A ( )

( )kP AB

P A

1

( ) ( )

( ) ( )

k kn

i ii

P B P A B

P B P A B

全概率公式与Bayes 公式

B2

11 12

例 某保险公司把被保险人分为：谨慎

的、一般的和冒失的3种，其中分别依

次占20%、50%、和30%。一年内他们

出事故的概率分别为0.05, 0.15和0.30。

现有一被保险人出事故了，求是谨慎的

被保险人的概率。

3

13

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3

1

1 11

{ }

={ } { } { }

( ) 0.2 ( ) 0.5 ( ) 0.3

( | ) 0.05 ( | ) 0.15 ( | ) 0.3

( ) ( ) ( | ) 0.175

( ) ( | )( | ) 0.0571

( )

i ii

A

B B B

P B P B P B

P A B P A B P A B

P A P B P A B

P B P A BP B A

P A

解： 出事故 ，

谨慎的 ， 一般的， 冒失的

， ，

， ，

14

例 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0, 1, 2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1；一顾客欲购买一箱

玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看四只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求（1）顾客购买此箱玻璃杯的概率 ;（2）在顾客买的此箱玻璃杯中确实没有次品的概率。

4 419 184 420 20

4 12( ) 0.8 0.1( ) 0.8 0.1( ) 0.94

5 19

C CP A

C C

0 00

( ) ( | ) 0.8(2) (B ) 0.85

( ) 0.94

P B P A BP A

P A

解（1）记A：“顾客购买下他所看的那箱玻璃杯”， Bi “箱子中有i件次品”， i= 0, 1, 2

有三个考生参加面试，面试时三个考生顺序抽签答题，并且考签不再放回，共10张签，其中3张难签，求每个考生抽到难签的概率。

例 (抽签问题 ）

解 设 Ai 表示第i个考生抽到难签, i = 1，2，3

1 12 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A P A P A A

1 13 1 2 3 1 2 2 3 2

2 2 1 2 1 21 3 1 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A P A A P A A A P A A P A A A

P A A P A A A P A A P A A A

例 每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品的概率为

i 0 1 2 3 4

P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求

（1）一批产品通过检验的概率（2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率（3）没通过检验的产品，恰有几件次品的概率大？

解:设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4

A 为一批产品通过检验

1

,

, , , 0,1,2,3,4

n

ii

i j

A B

B B i j i j

则

已知P( Bi )如表中所示，且10100

10100

( ) , 0,1,2,3,4ii

CP A B i

C

由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与

( ), 0,1,2,3,4iP B A i

结果如下表所示

( )iP A B

( )iP B A

4

0

( ) ( ) ( )i ii

P A P B P A B

0.814

( ) ( )( ) , 0,1,2,3,4

( )i i

i

P B P A BP B A i

P A

i 0 1 2 3 4

P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

1.0 0.9 0.809 0.727 0.652

0.123 0.221 0.397 0.179 0.080

4

称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因

称 ( ) 0,1,2,3,4iP B A i 为后验概率，它是

得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正

上例中， i 较小时， ( ) ( )i iP B A P B

( ) ( )i iP B A P Bi 较大时，

例 某台机器正常工作时，所生产的一等品与二

等品各为50%。该机器未正常工作时，生产的一等

品为25%，二等品为75%。这台机器有10%的时间不

能正常工作．

1）如果该机器在此特定的时间内正常工作，试求

取到的为4件一等品，1件二等品的概率；

2）如果取到的为4件一等品，1件二等品，试求该

机器在此特定时间内正常工作的概率．

20

解 设事件A表示“机器正常工作”，事件B表示“该机器生产的是一等品”，则

( ) 0.9 ( ) 0.1 ( | ) ( | ) 0.5P A P A P B A P B A

( | ) 0.25 ( | ) 0.75P B A P B A

设事件C表示“在选取的5个产品中有4个一等品和1个二等品”，则由，得

4 45(1) ( | ) (0.5) (1 0.5) 5 / 32 0.15625P C A C

21

(2) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A P C A P A P C A

415

415

( ) ( | ) ( | )

( ) ( | ) ( | )

P A C P B A P B A

P A C P B A P B A

5 45[0 .9 (0 .5) 0 .1(0 .25) 0 .75]

5 0 .02842 0 .1421.

所以该机器在该特定时间内正常工作概率为

5( ) ( | ) 0 .9 (0 .5)( | ) 0 .9897

( ) 0 .02842

P A P C AP A C

P C

22

例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?

则 表示“抽查的人不患癌症”.C

CC

已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04

求解如下: 设 C ={抽查的人患有癌症}，A ={试验结果是阳性}，

求 P(C|A).23

现在来分析一下结果的意义.

由贝叶斯公式，可得

)|()()|()(

)|()()|(

CAPCPCAPCP

CAPCPACP

代入数据计算得 P(C｜A)=0.1066

2. 检出阳性是否一定患有癌症?

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？

24

5

如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率

患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为

从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.

P(C｜A)= 0.1066

P(C)=0.005

25

试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.1066

2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症

，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大

约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来

确认.

26

P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件

B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大

小的认识.

当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发

生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.

贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的

先验概率和后验概率.

27

5/7/2019

1

1.5 随机事件的独立性

引例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .

,)( 12 AAP ,)( 12 AAP,)(,)( 21 APAP

解

,8/3)( 12 AAP ,8/3)( 12 AAP,)(8/3)( 21 APAP

)()()( 12212 AAPAPAAP 事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响

可视为事件A1与A2相互独立

)()()8/3()( 1212

21 AAPAPAAP )()( 21 APAP

注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何

一个事件出现的概率不受另一个事件出现

与否的影响.

定义 设 A , B 为两事件，若

)()()( BPAPABP 则称事件 A 与事件 B 相互独立

两事件相互独立的性质

两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的

若 )()(,0)( ABPBPAP 则

若 )()(,0)( BAPAPBP 则

若 ,0)(,0)( BPAP则“事件 A 与事件 B 相互独立”和“事件 A 与事件 B 互斥”

不能同时成立

四对事件 BABABABA ,;,;,;,

任何一对相互独立,则其它三对也相互独立

试证其一 独立独立 BABA ,, 事实上

)()()()( BAPAPBAAPABP

)()()(1)( BPAPBPAP

)()()( BPAPAP

三事件 A, B, C 相互独立是指下面的关系式同时成立：

注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立

)()()(

)()()(

)()()(

CPBPBCP

CPAPACP

BPAPABP

(1)

)()()()( CPBPAPABCP (2)

A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立

定义

5/7/2019

2

, 21

CPBPAP

, BPAP

41

ACP

41

ABP

,P A P C

41

BCP . CPBP

. 两两独立、、即事件 CBA

但是　 41

ABCP .　CPBPAP

例 设有一均匀的四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，蓝一种颜色，第四面涂上红黄蓝三种颜色，现以A，B，C分别记投一次四面体底面出现红，黄，蓝颜色的事件，则

n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立

是指下面的关系式同时成立

)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP

njiAPAPAAP jiji 1),()()(

nkjiAPAPAPAAAP kjikji 1),()()()(

定义

例 已知事件 A, B, C 相互独立，证明事件

A 与 B C 也相互独立证 ( ) ( ) ( )P A B C P B C P A B C

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P B P C P BC

P AB P AC P ABC

( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P BC ( ) ( )P A P B C

结论：

若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，将这 n个事

件任意分成 k 组，同一个事件不能同时 属于两个

不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对

立等运算所得到的 k 个事件也相互独立

0 ( ) 1,0 ( ) 1,

( | ) ( | ) 1.

,

P A P B

P A B P A B

A B

例 设 且

证明

相互独立.

, 例 设有两门高射炮 每一门击中飞机的概率都

: , 0.6 求下列事件的概率是

? 1 中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击

99% , 2 以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空

? , 炮问至少需要多少门高射击中它

解 , 而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设 kAk

, 6.0 , , 2,1 于是且之间相互独立则 kk APAk

21 1 AAP 211 AAP 211 AAP

211 APAP 24.01 . 0.84

, 2 由题知门高射炮设至少需要 n

21 nAAAP 1 21 nAAAP

1 21 nAAAP nAPAPAP 211

n4.01 0.99

, 01.00.4 n

, 解之得 . 026.54.0ln01.0ln

n

即

5/7/2019

3

利用独立事件的性质计算其并事件的概率

若 A1, A2, …, An 相互独立, 则

)()( 211

n

n

ii AAAPAP

n

iiAP

1

))(1(1

)(1 21 nAAAP

n

iiAP

1

)(1

)(1 21 nAAAP

)(1

n

iiAP

n

iiAP

1

))(1(1

pAP i )(当 ，则

nn

ii pAP )1(1)(

1

特别，

B

C

E

DF

GH

95.0 95.0 95.0

70.0

70.0

70.0

75.0

75.0

例 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.

A

解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有

其中

P(W) 0.782代入得

P W P A P B P C D E P F G P H

1P C D E P C P D P E 0.973

1P F G P F P G 0.9375

B

C

E

DF

GH

95.0 95.0 95.0

70.0

70.0

70.0

75.0

75.0A

例 已知电路系统如图所示

1 2 3 4

6

5

L R

设每个开关闭合的概率为 p ，且各个开关是否闭合是相互独立的，求此电路从左到右是通路的概率。

解 设事件 B 表示电路从左到右是通路事件 Ai 表示开关 i 闭合，i = 1,2,…,6

则 4 1 5 2 3 6 3 2 5( ) ( )B A A A A A A A A A

4 1 5 2 3 6 3 2 5( ) ( ) ( )P B P A A A A A A A A A

4 1 5 2 3

6 3 2 5

1 5 2 3 6 3 2 5

( ){ ( )

( )

( ) ( ) }

P A P A A A A

P A A A A

P A A A A A A A A

3 2 3(2 2 5 2 )p p p p

4 1 5 2 3

6 3 2 5

1 6 3 5 2 3 2 5 2 3 5

( ){ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )}

P A P A P A A A

P A P A A A

P A P A P A A A A A A A A A

4 1 5 2 3 6 3 2 5( ) ( ) ( )P A P A A A A A A A A

5/7/2019

4

解二2 2B A A

2A1 5

4

36

2 4 1 6 5 3( ) ( ) {( )( )}P B A P A P A A A A 2 2(2 )p p p

2A

2 4 1 5 6 3( ) ( ) {( ) ( )}P B A P A P A A A A 2 4(2 )p p p

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P B A P A P B A 2 2 2 2 4(2 ) (1 ) (2 )P p p p p p p

3 2 3(2 2 5 2 )p p p p

1 54

36

n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次的概率 记为 )(kPn

AA,10,)( ppAP且

伯努利试验概型

每次试验的结果与其他次试验无关——称为这 n 次试验是相互独立的

试验可重复 n 次

每次试验只有两个可能的结果：

n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型：定理 在n重伯努力概型中，设一次试验中事件A发生的概率

( ) , (0 1), ( ) 1 ,P A p p P A p

则事件A发生k次的概率为

( ) (1 ) , 0,1, ,k k n kn nP k C p p k n

例 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时, 目标就被击毁. 如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率.

解 设一门炮击中目标为事件 A , P ( A) = 0.6

设目标被击毁为事件B, 8

88

2

( ) 0.6 0.4k k k

k

P B C

1

88

0

1 0.6 0.4k k k

k

C

0.9914

则

例 一批产品共 N 件，其中有 N-M 件正品，M 件次品，现进行逐件有放回地抽取。求下列事件的概率：（1）若取了n件产品，设A={n件产品中有k件次品}（2）若取到r件（r≥1）次品为止，设B={取了k件产品}

5/7/2019

5

例 一批产品共 N 件，其中有 N-M 件正品，M 件次品，现进行逐件不放回地抽取。求下列事件的概率：（1）若取了n件产品，设A={n件产品中有k件次品}（2）若取到r件（r≥1）次品为止，设B={取了k件产品}