11. 2. OSTROSŁUPY Ostrosłupy - zstwl.nazwa.plzstwl.nazwa.pl/matematyka/11. Stereometria/11.2....
Transcript of 11. 2. OSTROSŁUPY Ostrosłupy - zstwl.nazwa.plzstwl.nazwa.pl/matematyka/11. Stereometria/11.2....
11 2 OSTROSŁUPY
Ostrosłupy
ściana boczna - troacutejkąt podstawa ostrosłupa - dowolny wielokąt
Wysokość ostrosłupa H ndash odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy prostopadły do podstawy Czworościan - ostrosłup troacutejkątny ( podstawą tego ostrosłupa jest troacutejkąt) Ostrosłup prawidłowy ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest wielokąt foremny a ściany boczne są przystającymi troacutejkątami roacutewnoramiennymi Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
bpc PPP += HPV p sdot=3
1
H
Kąty w ostrosłupie
Ostrosłup prawidłowy czworokątny α ndash kąt płaski przy wierzchołku α β ndash kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ ndash kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ ndash kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi δ γ β Ostrosłup prawidłowy troacutejkątny
α ndash kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy β ndash kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ ndash kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ ndash kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi δ γ α β
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest kwadrat a ściany
boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
d ndash przekątna podstawy 2ad =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
12
2
14 haaPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego HaV sdot= 2
3
1
b H
1h
05d 05a a
Przykład 1121 Przekroacutej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez
płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest
troacutejkątem prostokątnym o polu 18 2cm Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane Wzory
218cmP = =cP 12
2
14 haaPc sdotsdot+=
deg= 90α =V HaV sdot= 2
3
1
2ad =
2bP =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat
to 2aPp = zatem HaV sdot= 2
3
1
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ 2aPp =
oraz powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem
12
2
14 haaPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystujemy roacutewnieŜ
wzoacuter na przekątną kwadratu 2ad = Przekrojem ostrosłupa jest troacutejkąt prostokątny ADF o przyprostokątnych b
Zatem pole tego troacutejkąta 2bP = 2bP =
232918
18 2
=sdot==
=
b
b
Obliczamy b
( ) ( ) ( )
23
18
2362
21818
21818
2
2
2
222
222
=
=
=
=+
=+
=+
a
a
a
a
a
dbb
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość podstawy ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
( )
( )22
2
222
182
2
50
=
+
=+
aH
bdH
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
3
918
184
182
184
2
2
2
22
=minus=
=sdot+
=+
H
H
H
aH
( )
( )
2
63
2
69
2
54
4
544
18
4
72
184
18
182
23
50
1
21
21
21
22
21
2221
=sdot==
=
minus=
=+
=
+
=+
h
h
h
h
h
bah
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
2
12
318183491812918
2
6323218
2
14
cm
haaPc
+=sdot+=+=
=sdotsdot+=sdotsdot+=
32 18318
3
1
3
1cmHaV =sdotsdot=sdot=
Obliczamy V i cP
Przykład 1122 Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ktoacuterego krawędź podstawy ma długość 36 m Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem deg70 Ile sztuk dachoacutewek naleŜy kupić
aby pokryć ten dach wiedząc Ŝe do pokrycia 1 2m potrzebne są 22 dachoacutewki
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α
221 2 minusm dachoacutewki
Wzory 12
14 haPb sdotsdot=
Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem 12
14 haPb sdotsdot=
1
1
8170cos
50cos
h
h
a
=deg
=α
26534200
81
8134200
1
1
asymp=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h
Wykorzystujemy definicję kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos
21 87237265632
2
14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=
Obliczamy powierzchnię dachu
221 2 minusm dachoacutewki
xm minus287237 dachoacutewek
1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek
Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest kwadrat a ściany
boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
d ndash przekątna podstawy 2ad =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
12
2
14 haaPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego HaV sdot= 2
3
1
b H
1h
05d 05a a
Przykład 1121 Przekroacutej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez
płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest
troacutejkątem prostokątnym o polu 18 2cm Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane Wzory
218cmP = =cP 12
2
14 haaPc sdotsdot+=
deg= 90α =V HaV sdot= 2
3
1
2ad =
2bP =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat
to 2aPp = zatem HaV sdot= 2
3
1
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ 2aPp =
oraz powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem
12
2
14 haaPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystujemy roacutewnieŜ
wzoacuter na przekątną kwadratu 2ad = Przekrojem ostrosłupa jest troacutejkąt prostokątny ADF o przyprostokątnych b
Zatem pole tego troacutejkąta 2bP = 2bP =
232918
18 2
=sdot==
=
b
b
Obliczamy b
( ) ( ) ( )
23
18
2362
21818
21818
2
2
2
222
222
=
=
=
=+
=+
=+
a
a
a
a
a
dbb
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość podstawy ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
( )
( )22
2
222
182
2
50
=
+
=+
aH
bdH
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
3
918
184
182
184
2
2
2
22
=minus=
=sdot+
=+
H
H
H
aH
( )
( )
2
63
2
69
2
54
4
544
18
4
72
184
18
182
23
50
1
21
21
21
22
21
2221
=sdot==
=
minus=
=+
=
+
=+
h
h
h
h
h
bah
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
2
12
318183491812918
2
6323218
2
14
cm
haaPc
+=sdot+=+=
=sdotsdot+=sdotsdot+=
32 18318
3
1
3
1cmHaV =sdotsdot=sdot=
Obliczamy V i cP
Przykład 1122 Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ktoacuterego krawędź podstawy ma długość 36 m Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem deg70 Ile sztuk dachoacutewek naleŜy kupić
aby pokryć ten dach wiedząc Ŝe do pokrycia 1 2m potrzebne są 22 dachoacutewki
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α
221 2 minusm dachoacutewki
Wzory 12
14 haPb sdotsdot=
Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem 12
14 haPb sdotsdot=
1
1
8170cos
50cos
h
h
a
=deg
=α
26534200
81
8134200
1
1
asymp=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h
Wykorzystujemy definicję kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos
21 87237265632
2
14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=
Obliczamy powierzchnię dachu
221 2 minusm dachoacutewki
xm minus287237 dachoacutewek
1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek
Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
W obliczeniach wykorzystujemy roacutewnieŜ
wzoacuter na przekątną kwadratu 2ad = Przekrojem ostrosłupa jest troacutejkąt prostokątny ADF o przyprostokątnych b
Zatem pole tego troacutejkąta 2bP = 2bP =
232918
18 2
=sdot==
=
b
b
Obliczamy b
( ) ( ) ( )
23
18
2362
21818
21818
2
2
2
222
222
=
=
=
=+
=+
=+
a
a
a
a
a
dbb
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość podstawy ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
( )
( )22
2
222
182
2
50
=
+
=+
aH
bdH
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa
Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =
3
918
184
182
184
2
2
2
22
=minus=
=sdot+
=+
H
H
H
aH
( )
( )
2
63
2
69
2
54
4
544
18
4
72
184
18
182
23
50
1
21
21
21
22
21
2221
=sdot==
=
minus=
=+
=
+
=+
h
h
h
h
h
bah
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
2
12
318183491812918
2
6323218
2
14
cm
haaPc
+=sdot+=+=
=sdotsdot+=sdotsdot+=
32 18318
3
1
3
1cmHaV =sdotsdot=sdot=
Obliczamy V i cP
Przykład 1122 Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ktoacuterego krawędź podstawy ma długość 36 m Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem deg70 Ile sztuk dachoacutewek naleŜy kupić
aby pokryć ten dach wiedząc Ŝe do pokrycia 1 2m potrzebne są 22 dachoacutewki
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α
221 2 minusm dachoacutewki
Wzory 12
14 haPb sdotsdot=
Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem 12
14 haPb sdotsdot=
1
1
8170cos
50cos
h
h
a
=deg
=α
26534200
81
8134200
1
1
asymp=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h
Wykorzystujemy definicję kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos
21 87237265632
2
14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=
Obliczamy powierzchnię dachu
221 2 minusm dachoacutewki
xm minus287237 dachoacutewek
1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek
Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
3
918
184
182
184
2
2
2
22
=minus=
=sdot+
=+
H
H
H
aH
( )
( )
2
63
2
69
2
54
4
544
18
4
72
184
18
182
23
50
1
21
21
21
22
21
2221
=sdot==
=
minus=
=+
=
+
=+
h
h
h
h
h
bah
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
2
12
318183491812918
2
6323218
2
14
cm
haaPc
+=sdot+=+=
=sdotsdot+=sdotsdot+=
32 18318
3
1
3
1cmHaV =sdotsdot=sdot=
Obliczamy V i cP
Przykład 1122 Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ktoacuterego krawędź podstawy ma długość 36 m Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem deg70 Ile sztuk dachoacutewek naleŜy kupić
aby pokryć ten dach wiedząc Ŝe do pokrycia 1 2m potrzebne są 22 dachoacutewki
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α
221 2 minusm dachoacutewki
Wzory 12
14 haPb sdotsdot=
Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem 12
14 haPb sdotsdot=
1
1
8170cos
50cos
h
h
a
=deg
=α
26534200
81
8134200
1
1
asymp=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h
Wykorzystujemy definicję kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos
21 87237265632
2
14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=
Obliczamy powierzchnię dachu
221 2 minusm dachoacutewki
xm minus287237 dachoacutewek
1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek
Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α
221 2 minusm dachoacutewki
Wzory 12
14 haPb sdotsdot=
Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i
wysokości 1h zatem 12
14 haPb sdotsdot=
1
1
8170cos
50cos
h
h
a
=deg
=α
26534200
81
8134200
1
1
asymp=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h
Wykorzystujemy definicję kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos
21 87237265632
2
14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=
Obliczamy powierzchnię dachu
221 2 minusm dachoacutewki
xm minus287237 dachoacutewek
1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek
Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a
ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa
h ndash wysokość podstawy 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
b
1h H
r h R a
Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6
Rozwiązanie Komentarz
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt
roacutewnoboczny to4
32aPp = zatem
Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Dane Szukane Wzory
6=a =V Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
deg= 30α =cP 1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
6
3ar =
3
3aR =
4
32aPp = oraz powierzchnię boczną
tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o
podstawie a i wysokości 1h zatem
1
2
2
13
4
3ha
aPc sdotsdot+=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
6
3ar = oraz na promień okręgu opisanego
na podstawie 3
3aR =
3
330
a
Htg
R
Htg
=deg
=α
2
363323
3
3
363
3
==
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa
ααα
__
__
przykatnaprzyprosto
naprzeciwkatnaprzyprostotg =
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3
3aR =
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
1h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 6
3ar =
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
7
43
46
36
26
3
1
21
22
1
22
21
2221
=
+=
+
=
+
=
+=
h
h
h
ah
Hrh
36233
212
3362
4
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
79397334
336
762
13
4
36
2
13
4
3 2
1
2
+=sdot+=
=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa
Pc
Obliczamy V i cP
Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi
a ndash krawędź czworościanu
H ndash wysokość czworościanu 3
6aH =
h ndash wysokość ściany 2
3ah =
r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę
hr3
1= 6
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na ścianie
hR3
2= 3
3aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4
34
2aPc sdot=
Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha
V sdotsdot=4
3
3
1 2
a h H
r h R a
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
2336 cmPc = =V Wzory
4
34
2aPc sdot= H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
3
6aH =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1 PoniewaŜ
podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny
to4
32aPp = zatem H
aV sdotsdot=
4
3
3
1 2
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem
4
34
2aPc sdot=
WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest roacutewna3
6aH =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie3
3aR =
3
6
9
6
9
3
3
3
22
222
22
2
222
aH
aH
aaH
aa
H
aRH
=
=
minus=
=
+
=+
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
6
36
33336
4
34
2
2
2
==
=
sdot=
a
a
a
aPc
Wykorzystując wzoacuter 4
34
2aPc sdot= obliczamy
długość krawędzi czworościanu a
623
66
3
6 === aH
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzoacuter 3
6aH =
218296
18662336212
336
624
36
3
1
4
3
3
1 22
=sdot=
==sdot=sdot
=sdotsdot=sdotsdot= Ha
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie Komentarz
Szukane Wzory
cos =α 2
3ah =
6
3ar =
Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego
2
3ah = oraz promień okręgu wpisanego
w ścianę 6
3ar =
3
1
3
2
6
3
2
36
3
cos =sdot===a
a
a
a
h
rα
Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa
stokatnaprzeciwpro
y_αkatna_ przprzyprostocosα =
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny
a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi
a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna
1h - wysokość ściany bocznej
H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3ar =
R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =
Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
b H
1h
r R a
Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
Rozwiązanie Komentarz
Dane Szukane
91 =h =cP
π8=minus wo PP =V
Wzory
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
2RPo π= 2rPw π=
2
3ar = aR =
Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3
1
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny to 6
36
2aPp sdot=
zatem Ha
V sdotsdotsdot=4
36
3
1 2
Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ
6
36
2aPp sdot= oraz powierzchnię
boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i
wysokości 1h zatem
1
2
2
16
4
36 ha
aPc sdotsdot+sdot=
W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w
podstawę 2
3ar = promień okręgu
opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter
na pole koła 2rP π=
π8=minus wo PP
ππππ 822 =minus rR
82
32
2 =
minus a
a
24
32
3234
484
3
2
22
22
=
=
=minus
sdot=minus
a
a
aa
aa
Obliczamy długość krawędzi podstawy a
Wykorzystujemy wzory 2
3ar = i
aR =
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
2
122 hrH =+
( )
57
2481
6281
812
324
92
3
2
22
22
22
2
=
minus=
minus=
=
sdot+
=
+
H
H
H
H
aH
Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
Wykorzystujemy wzoacuter 2
3ar =
( )
19481991657316574
3322
574
3246
3
1
4
36
3
122
=sdot=sdot=sdot=
=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha
V
( )
2108348
210838623634
3326
9242
16
4
3246
2
16
4
36
2
1
2
+=
=+sdot=sdot+sdot=
=sdotsdotsdot+sdot=
=sdotsdot+sdot= haa
Pc
Obliczamy V i cP
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1
ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości
cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
schemat oceniania Numer
odpowiedzi Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie wysokości ostrosłupa 1
2 Podanie wysokości ściany bocznej 1
3 Podanie długości krawędzi podstawy 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego
wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1
2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania
Numer odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktoacutew
1 Podanie długości krawędzi podstawy 1
2 Podanie wysokości ostrosłupa 1
3 Podanie wysokości ściany bocznej 1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1
5 Podanie objętości ostrosłupa 1