prof. Cialâcu Ionel

MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE

Anumite considerente de natură teoretică au condus matematicienii la ideea de a găsi o

mulţime de numere care să cuprindă mulţimea R a numerelor reale şi proprietăţile ei.

Acestă mulţime serveşte scopului de a explica şi de a dezvolta anumite teorii . În acest

sens s-a definit numărul imaginar notat “ i “ cu proprietatea că 2 1i . Cu ajutorul

acestuia definim în cele ce urmează un alt tip de numere şi mulţimea lor.

Definiţie: Se numeşte număr complex sub formă algebrică numărul de forma:

z a b i unde , .a R b R

Părţile numărului complex sunt :

𝑎 = Re(z) = partea realǎ a lui z

𝑏 = Im(z) = coeficientul pǎrții imaginare a lui z

𝑏 · 𝑖 = partea imaginarǎ a lui z

𝑖 = unitate imaginarǎ Definiţie: Se numeşte mulţime a numerelor complexe mulţimea:

C 2, , 1z z a bi unde a b R şi i

Observaţie: Pentru b=0 obţinem z a R deci .R C

Definiţie: Fie două numere complexe

𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐂 , 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖 · 𝑏1 , 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 , 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝑹

Ele sunt egale dacă 𝑧1 = 𝑧2 ⇔ {𝑎1 = 𝑎2

𝑏1 = 𝑏2 .

Definiţie: Se numeşte sumă a numerelor complexe numărul:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2, , , ,z z C z a bi z a b i z z C

1 2 1 2 1 2z z a a b b i

Definiţie: Se numeşte produs al numerelor complexe numărul:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2, , , ,z z C z a bi z a b i z z C

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a bb a b a b i

Proprietăţi ale adunării:

1) asociativitate: 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,z z z C atunci z z z z z z

2) comutativitate: 1 2 1 2 2 1,z z C atunci z z z z

3) element neutru: 0 . . . . 0 0 , 0 0 0C aî z C z z z unde i

4) element simetric (opus):

, , ' , . . ' ' 0 , ' , 'z C z a bi z C aî z z z z unde z z z a bi

Proprietăţi ale înmulţirii:

1) asociativitate: 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,z z z C atunci z z z z z z

prof. Cialâcu Ionel

2) comutativitate: 1 2 1 2 2 1,z z C atunci z z z z

3) element neutru: 1 . . , 1 1 , 1 1 0e aî z C z z z unde i

4) element simetric (invers):

* 1 * 1 1 1

2 2

1, , . . 1,

a biz C z C a î z z z z unde z

z a b

5)Înmulţirea este distributivă faţă de adunare.

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2, ,z z z C atunci z z z z z z z

Exemple:

1) Sǎ se determine x,yR astfel încât sǎ aibǎ loc egalitatea 4+x+(5y-x)i=3y+6+2i.

Rezolvare: aplicǎm 𝑧1 = 𝑧2 ⇔ {𝑎1 = 𝑎2

𝑏1 = 𝑏2

4 3 6

5 2

x y

y x

3 2, 8, 2

5 2

x yx y

x y

2) Fie numerele complexe z 1 =3-2i, z 2 =-1+i.Calculaţi:

a) Im(-2z1+3z2),

b) Re(z1z2);

Rezolvare: a) calculǎm : -2z1+3z2=-2(3-2i)+3(-1+i)=-6+4i-3+3i=-9+7i; Im(-2z1+3z2)=7.

b) calculǎm : z1z2=(3-2i) (-1+i) =-3+3i+2i-2i2=-3+5i-2(-1)=-3+5i+2=1+5i; Re(z1z2)=1

3) Calculați 𝑅𝑒(𝑧) + 𝑅𝑒(𝑧2) pentru 𝑧 = (1 − 𝑖)(1 + 2𝑖) − 3(2 − 𝑖).

Rezolvare: z=1+2i-i-2i2-6+3i=-5+i-2(-1)+3i=-5+i+2+3i=-3+4i; z2=(-3+4i)2=9-24i+16i2=

9-24i-16=-7-24i. Re(z)+ Re(z2)=-3-7=-10.

Puterile numărului i

, 4 1

1, 4 2,

, 4 3

1, 4

n

i n k

n ki k N

i n k

n k

Exemple:

1) Calculaţi 80634217 iiiiN

Rezolvare: 4 4 1 410 2 415 3 4 20 1 1 0N i i i i i i

2) Calculaţi 24

1 i .

Rezolvare:

1224 2 12 12 4 3 121 1 2 2 2 .i i i i

3) Calculaţi

20161 1

.1 1i i

Rezolvare:

20162016 2016

4 504

2

1 1 1 1 21.

1 1 (1 )(1 ) 1

i i ii

i i i i i

4) Calculați valoarea expresiei 𝐸(𝑧) = 𝑧2014 + ⋯ + 𝑧2 + 𝑧 + 1, pentru 𝑧 = −𝑖. Rezolvare:

2015 22015 4 503 31 11 1 1 1 1 2 1( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

i iz i i i iE z i

z i i i i i i

prof. Cialâcu Ionel

Modulul şi conjugatul unui numǎr complex

Definiţie: Fie z a b i unde , .a R b R Numǎrul real 2 2z a b se numeşte

modul al numǎrului complex z.

Proprietǎți :

1. |z| ≥ 0, (∀)z ∈ C

2. |z| = 0 ⇔ z = 0

3. |z| = |z̅| = |−z|, (∀)z ∈ C

4. |z1 · z2| = |z1| · |z2|, (∀)z1, z2 ∈ C

5. |z1

z2| =

|z1|

|z2|, (∀)z1, z2 ∈ C, z2 ≠ 0

6. |z|𝑛 = |𝑧𝑛|, (∀)z ∈ C, n ∈ N

7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, (∀)z1, z2 ∈ C

8. |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2|, (∀)z1, z2 ∈ C

9. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|, (∀)z1, z2 ∈ C

10. |z|2 = z · z̅, (∀)z ∈ C

11. Re(z) ≤ |z| , Im(z) ≤ |z| , (∀)z ∈ C

Definiţie: Fie z a b i unde , .a R b R Numǎrul complex z a b i se

numeşte conjugatul numǎrului complex z.

Proprietǎți :

1. z ∈ R <=> z = z̅

2. (z̅)̅̅ ̅̅ = z, (∀)z ∈ C

3. z ∙ z̅ = |𝑧|2 (∀)z ∈ C

4. z1 + z2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = z1̅ + z2̅, (∀)z1, z2 ∈ C

5. z1 · z2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = z1̅ · z2̅, (∀)z1, z2 ∈ C

6. (z1

z2)̅̅ ̅̅ ̅ =

z1̅̅ ̅

z2̅̅ ̅, (∀)z1, z2 ∈ C, z2 ≠ 0

7. (z̅)𝑛 = 𝑧𝑛̅̅ ̅, (∀)z ∈ C, n ∈ N

8. Re(z) = z+z̅

2, (∀)z ∈ C , Im(z) =

z−z̅

2i, (∀)z ∈ C

9. z ∈ i𝑅∗ <=> z = −z̅

Observaţie: O aplicaţie importantǎ a celor douǎ noţiuni este împǎrţirea numerelor complexe.

Ea se efectueazǎ prin amplificarea fracţiei cu conjugatul numitorului : 1 1 2 1 2

2

2 2 2 2

z z z z z

z z z z

Exemple:

1) Calculaţi: 1 1

.1 2 1 2i i

Rezolvare:

2

1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2.

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) 1 4 5

i i i i

i i i i i i i i i

2) Să se determine patea reală a numărului 2 5

.3 2

iz

i

prof. Cialâcu Ionel

Rezolvare :

2

2

2 5 3 22 5 6 4 15 10 6 19 10 4 19,

3 2 3 2 3 2 9 4 9 4 13 13

4( )

13

i ii i i i iz i

i i i i

Re z

3) Calculaţi modulul numărului complex 8

.7 4

iz

i

Rezolvare: 2 2

2 2

88 8 1 651.

7 4 7 4 657 ( 4)

iiz

i i

4) Să se calculeze z ştiind că: z =

10

1

3

i

i.

Rezolvare :

1010 10

10 1010

10 10 10 510

33 33 3 1 232

1 211 1 1 1

ii iiz

i ii i

5) Determinaţi m real astfel încât Rmim

mz

1

1

Rezolvare : 1 1 1

;1 11

m m mz

m mi m mim mi

Din proprietatea

1 1 0, 1.z R z z m mi m mi mi mi m z

6) Arătaţi că numărul nn iiz )1()1( este real, ( ) .n N

Rezolvare : ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 ) ( 1 ) , , .

n n n n n n

n n

z i i i i i i

i i z z z z R

7) Să se determine numerele complexe z, astfel încât 2 2 4 .z z i

Rezolvare : Fie z = x+iy iiyxyx 422222

-2iy = -4i y = 2 şi

2 2 84 2 2 3 8 0 0,

3x x x x x x

Deci soluţiile sunt z1 = 2i şi z2 = 8

3 +2i.

8) Dacă 21 zz sunt numere complexe să se arate că 1 2 1 2w z z z z

este pur

imaginar.

Rezolvare : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 .w z z z z z z z z z z z z z z z z w

Din proprietatea : z ∈ i𝑅∗ <=> z = −z̅ se obţine că w este pur imaginar.

9) Să se determine numerele complexe z, astfel încât:

12 5

8 3

z

zi

şi

41

8

z

z

prof. Cialâcu Ionel

Rezolvare : Fie z = x+iy, atunci 18

4

z

z 4 8x iy x iy

2 22 24 8x y x y x = 6 şi analog utilizând ipoteza

3

5

8

12

zi

z

vom avea

y1 = 17 şi y2 = 8, adică numerele complexe căutate sunt z1 = 6 + 17i şi z2 = 6 + 8i.

Rezolvarea în mulţimea numerelor complexe C a ecuaţiei de gradul al doilea

Fie ecuaţia de gradul al doilea cu coeficienţi reali, 2 0, , , , 0.ax bx c a b c R a Cunoaştem faptul că atunci când ecuaţia are discriminantul 0

ecuaţia nu are rădăcini

reale . Folosind mulţimea C a numerelor complexe putem afla în acest caz rădăcinile

complexe ale ecuaţiei prin formula 1

2 2

b ix

a

.

Cele două rădăcini complexe îndeplinesc relaţiile lui Viete: 1 2

1 2

bx x

a

cx x

a

.

Ele mai au proprietăţile : 1 2 2 1

1 2

1) ,

2) .

x x x x

x x

.

Folosind prima proprietate putem determina ecuaţia de gradul al doilea cu coeficienţi reali

care admite o radacină complexă. Dacă cunoaştem 1x a b i atunci 2x a b i .

Calculăm S=x1+x2 şi P=x1x2 ; alcătuim ecuaţia după formula 2 0.x Sx P

Exemple:

1) Să se rezolve în C ecuaţia cu coeficienţi reali 2 4 0z

Rezolvare : 1, 0, 4 16 0a b c deci ecuaţia are două rădăcini complexe

conjugate. 1

2

42

2 2

b i iz i

a

2)Să se rezolve în C ecuaţia cu coeficienţi reali 4 25 4 0z z .

Rezolvare : 4 2 2 2 2

1 2

2

1 2 3 4

5 4 0, , 5 4 0, 1, 4, 1,

, 4 2 .

z z z t t t t t z

z i z z i

3) Fie 𝑧1 şi 𝑧2 rãdãcinile ecuaţiei 2𝑧2 − 4𝑧 + 3 = 0 . Calculaţi |𝑧1| + |𝑧2|

.Rezolvare 2, 4, 3 16 24 8 0a b c

12

4 2 22 2

2 2

b i iz i

a

22 2 2

1 2 2 2 2 ( 2) 2 6.z z

4) Să se determine m real astfel încât ecuaţia 0552 izimz să admită o

rădăcină reală .

prof. Cialâcu Ionel

Rezolvare : Fie x R rădăcina ecuaţiei . Atunci

2 25

5 5 0 5 ( 5) 025 5 5 0 4

xx m i x i x mx x i

m m

.

5) Să se determine 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑅 astfel încât ecuaţia 2 ( 3) 4 0x m x n să aibă soluţia

1 3 2 x i .

Rezolvare :

2

3 2 ( 3) 3 2 4 0, 9 12 4 3 2 9 6 4 0

3 8 0 17.

6 2 0 3

i m i n i m mi i n

m n n

m m

6) Să se determine ecuaţia de gradul al II-lea cu coeficienţi reali care are una dintre soluţii

egală cu 4-5i.

Rezolvare : Fie

2

1 24 5 4 5 4 5 4 5 8, 4 5 4 5 16 25 41, 8 41 0x i x i S i i P i i x x

7) Dacă z2 + z + 1 =0, să se calculeze 2015

2015

1z

z .

Rezolvare : Avem 0z ; atunci 2 2 3 31 0 ( 1)( 1) 0 1 0 1z z z z z z z

671

2015 3 671 2 3 671 2 3 2 2 2

4 3 22015 2

2015 2 2 2 2 2

1

1 1 1 1 11

z z z z z z z z

z z z z zz z

z z z z z z

8) Dacă „ε” este o rădăcină a ecuaţiei 2 1 0z z să se calculeze 2 20151 ... .

Rezolvare : Rădăcinile ecuaţiei 2 1 0z z se notează cu

1 1 2 2,z z şi au forma

algebrică 12

1 3

2

i

. Ele se numesc rădăcinile de ordin trei ale unităţii.

Notăm 12

şi reţinem următoarele proprietăţi: 2 31 0, 1,

2 2 21 , 1, 1 .

67232016 3 672

2 201511 1 1 1

1 ... 01 1 1 1

.

9)Dacă α şi sunt soluţiile ecuaţiei z2 – z + 1 = 0, să se calculeze 2015 2015

1 1E

Rezolvare : Dacă α şi sunt soluţiile ecuaţiei z2 – z + 1 = 0 21 şi 13 , iar

1,1 32 . Astfel :

1343 1343

2 2015 2 2015 4030 4030 3 3 1.b

Ea