102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

download 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

of 148

Transcript of 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    1/148

    ! $

    &

    ! $ ' 0

    2

    ! 4 ' ! 7

    2

    4 ' @ 0 '

    FH G I P Q S TW V X X Y ` P

    a

    S T

    b P c G S f g X S f

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    2/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    3/148

    ! " # $ " " %& ' " ( ) % (0 $ " ( # 1 3 4 5 67 % 5 % # % ( 8 ) 5 % 9

    ' % ( "0 # %7 # ) $ " " 4 $ " (0 # % # " 4 BC # % D E GI H " # % ) " $ # " $ 5 PQ $ # R

    % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (V U H P S W! # % $ 9 H # ! " # $0 5 5 % # " BQ ` % ) 6

    ( a@ ' 5 # b 9 8 % " % # ) $ 5 %F c ' % # " XT H " # % $ ( # % @ 4 ) $ ( ' $ 5 5 6@ ' 5 (

    # ' ( % " # eT 9C " $ # ) $ 5 5 5 Q $ " (0 # % " c ' % X 12 ) 0 $ 9 #

    ) $ ( % "g # ' ( % " # eh ` % 1 B 9& $ # % 9& $ # Q $ " ( % # # % )! 8 ) % 8 $ ) % # % 9

    B ) 8 5 % 8 $ ) # 8 $ # " "7 ` $ ) ' 9& $ # % 9& $ # $ 5p 9 8 % # # " X H #

    8 ) ` ( % & " R ( % 8 # % " ) 9 @ % " # " 9 8 ) # $ " # @ $ ) % $ BC 9C " $ # )

    6C ) % ) 4 $ " q " 4 @ $ " (@ % " $ " " 4 C # ' ( % " # e 8 ) 5 % 9C R 5 ` " 4 F # $ # T $ " (

    # ) $ # % 4 % X % & B ' ) # % )h # 9C ' 5 $ # % # ' ( % " # ed " # % ) % #F B )T B ' # ' ) %

    # ' ( 6 B 9& $ # % 9& $ # X

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    4/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    5/148

    H "A # % DT " # % (g E # $ # % B G 9@ % ) $ bF # %! % 5 % # " g 8 ) % 7 5 % $ ( " 4

    # 8 $ ) # 8 $ # " "& # %h H " # % ) " $ # " $ 5 PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (3 U H P S W

    " # B $Q % ) % B " $ # " $ 52 " # % # C $ 5 5 % (! # % G 9@ % ) $ " PQ $ # R

    % 9& $ # 2 " # % # U G P W d # % G 9@ % ) $ " PQ $ # % 9& $ # 2 " # % #

    U G P W # % G 9@ % ) $ "& H " ` # $ # " $ 5 PQ $ # % 9& $ # " $ $ 9 " $ # "

    U G H P "r W b $ " (& # % DT " # % (Q E # $ # % B G 9@ % ) $ PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (

    U D E G P S W &p $ ) # 8 $ # " " # % G H P " $ " ( # % D E G P S 6 " R

    ` # $ # "7 " 5 6 b $ % ( " 8 % ) B ) 9 & $ " % "! # %@ 8 ) % % ( " 4 % $ $ 9 BF # %

    % c ' % " % X % PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (3 E ' 9 9 % ) &p ) 4 ) $ 9 U P S E & W

    $3 B ' ) R 12 % % " # % " ` % Q # ) $ " " 4 ! 8 ) 4 ) $ 9i B )& $ ) ' " ( " %Q ' " ( ) % (

    ` % ) 6 Q 8 ) 9@ " 4C # ' ( % " # 1 $ ` % ) % " # & # %C # 8 "Q # % G 9@ % ) $ "

    PQ $ # % 9& $ # 9 8 % # # " X % $F # ' ( % " # r ) % 8 ) % % " # " 4 # % DT " # % (

    E # $ # % B G 9@ % ) $ " # % H PQ S $ ) %! % 5 % # % ( " # % $ B@ # % )

    D E G PQ S ) % & $ " (3 B ' ) # % )C # % # " 4 # $ # # $ % 8 5 $ %@ ( ' ) " 4 P S E &

    ) ' 4 ' # P S E &p b B ' 5 5 ( $ 6 BT 5 $ % @ $ " ( % $ # % " ` %@ 8 ) 5 % 9i % #

    4 ` %7 # ' ( % " # ! # ) ' 4 8 ) % 8 $ ) $ # " "A % ` % ) $ 5 9 8 ) # $ " # Q $ ) % $ B

    9& $ # % 9& $ # X % % # 8 3 " 5 ' ( % ! 9C " $ # ) $ 5 F $ ) 4 ' 9@ % " # 3 $ " (

    ( % " # # % b C 4 % " % ) $ # " 4 B ' " # " bC 4 ) $ 8 A # % ) 6 bC ) % ' ) ` % ) % 5 $ # " b

    ' 9 T $ " (Q 8 ) ( ' # b 8 ) $ 5 # 6 b " ' 9 % ) # % ) 6 b 8 5 6 " 9 @ $ 5 b # % ) 6

    Bd % c ' $ # " b 9@ 8 5 % $h " ' 9 % ) "C 4 % 9@ % # ) 6 b $ 5 4 ) # 9 r 8 ) B b 9 R

    " $ # ) $ 5 $ " (@ $ ( ` $ " % (C 4 % 9@ % # ) 6 b B ' " # " $ 5 % c ' $ # " b $ " (C 5 $ $ 5

    " % c ' $ 5 # % X

    ST 5 6 9 @ 8 $ ( R # 6 5 % % $ $ 9 T " # B2 % ` % ) $ 5 $ 5 5 % " 4 " 4C % $ 63 8 ) 5 % 9

    2 ) ) % # 5 ' # " h B # % "7 ) % c ' ) %@ ( % % 8 $ " $ 5 6 h $ " (7 $ ) % B ' 5 $ ) 4 ' 9@ % " # X

    ST 5 6 9 @ 8 $ (& c ' % # " $ "3 % % 9 9 8 % " % # ) $ 5 % # & # %@ " ` % b 6 % # 9@ #

    $ " %C 5 ` % ( 1 # 3 % 5 % 9@ % " # $ ) 6Q 4 Q 5 9& $ # % 9& $ # # % " c ' % b

    (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    6/148

    5 % ` % ) 5 6& $ 8 8 5 % (

    T % ) % & 9 %3 $ ( ` %Q B )& # ' ( % " # 1 $ # # % 9 8 #@ # %7 8 ) 5 % 9 # $ #

    B 5 5 1

    r $ %Q 6 ' )@ # 9 % r % ) 6! B % 1f " # % # $ " # & $ " 5 ` %3 $ 5 5T # %Q 4 ` % "

    8 ) 5 % 9

    ) 6 # 9& $ %r " " % # " % # 12 % % "@ 8 ) 5 % 9@ X G " 9 8 ) # $ " # # % 9 %

    B # 12 ) p $ 5 5 9 8 ) # $ " # # % " c ' % $ " ( ( % $ d B % $ # ' ) % ( "h # %

    & $ 8 8 % $ ) 9@ ) % # $ "& " %

    ST 5 6 9 @ 8 $ (@ 8 ) 5 % 9 2 ( " # ) $ " 9 9@ % ( $ # % 5 6 X # % 8 $ # % " # X ) 6

    ( % % ) % " # Q $ 8 8 ) $ % X " $ 8 % ) 9@ % " # 1 # 9@ 8 5 %@ $ % X H " 9 %

    $ % b 12 ) " 4 $ 1 $ ) (@ B ) 9V # %h ( % ) % (Q ) % ' 5 # % 5 8 B ' 5 X

    "p ` % " BF 6 '! $ "! 5 ` % $Q 8 ) 5 % 9 ( 7 ) % $ ( # %& 5 ' # " X % 6

    9 $ 6! " # $ " 9 %& ( % $ # $ #@ ( ( " #@ ' ) " 6 ' )@ 5 ' # " b

    $ " (Q # % 6 9 $ 6 ( ' F # ) $ # % 4 $ " (& # $ # $ 5p $ 8 8 ) $ % # $ #T $ "

    %! ' % (A % 5 % 1 % ) % X %7 5 ' # " 3 $ ) % $ 5 9@ ( % 5 B@ % 5 % 4 $ " #

    8 ) % % " # $ # " # $ #& 6 ' ' 5 ( % 9C ' 5 $ # % b ' #& # % 6 B # % "0 ' ) %

    # %3 # ) # ' ) ' @ 8 ) % Bh " ` % # 4 $ # " r B $ 5 %& # $ ) # b " 8 ) $ # "

    $ " ( $ # # % " # " # 7 ( % # $ 5 # $ #C 5 % ( # 7 # % 9 & % " 6 ' ) % $ ( # %

    5 ' # " b p # ) 6 # 3 ) % " # ) ' #@ # %@ # " " 4 # $ # 12 % " # " # Q # % 9

    G 6 ' ) % 5 B b & $ # 12 % ) % # % % 6h ( % $ ( " 17 $ " Hp $ 8 8 5 6h # % %

    ( % $ 2 B ' ) # % ) ( "

    0

    $ # # %F ) 4 " $ 5 8 ) 5 % 9V 5 $ # % ) b $ " ( @ % % Bd 6 '@ $ "& 5 ` % #

    " $ ( % % ) % " # 1 $ 6 X PQ $ " 6 Bd # % T 8 ) 5 % 9 $ ` % 9C ' 5 # 8 5 %r 5 ' # " b

    ' #T " # $ 5 5d $ ) %F ' # 5 " % (& % ) % X

    P& % $ " " 4 B ' 5 8 ) 5 % 9 5 ` " 4 2 # $ % p 8 ) $ # % X 1 "d e # 4 % #p ( ' ) $ 4 % (

    B 6 ' $ ` %2 # ) ' 5 % $ # 2 ) # X 4 )r $ ( ( # " $ 5 8 ) $ # % b ' % # %

    "& # %h ) % $ ( " 4 5 # X

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    7/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    8/148

    $ " # & R " 4 & R ' d b $ " ( 9 &d % ) ) " 1 F % 5 8 % ( 1 #

    # 6 8 % % # # " 4 b 8 ) B ) % $ ( " 4C $ " (& 8 ) % 8 $ ) " 4C 5 ' # " X

    PQ $ " 6C 8 ) 5 % 9 2 $ ) %T % # % )T " 8 ) % ( 6 ) $ ( $ 8 # % (@ B ) 9 9& $ # % 9& $ # $ 5

    " # % # " ( % % ) % " # ' " # ) % F $ " (@ B ) 9V # %F B 5 5 1 " 4 ' ) " $ 5

    ! " # $ %' & # ( ( ) 03 2 4 # 5 67 2 4 & 8 9 @B # C 2

    DE 5 F 8 4 2 7 03 2 4 5 67 2 4 & 23 H 6 P8 ( 2 Q 2 9 D ( 67 2 C 2

    & % ( (@ ' ) % # # # %F $ 5 5 # %T ) 4 " $ 5 ' ) % Bd # % T 8 ) 5 % 9 "C # %

    5 ' # "@ % # " & % % $ 8 ) % T ' ) ( % % 8 % #h $ 8 8 ) % $ # " # C # %F ) 4 " $ 5

    8 ) 8 % ) Bp # % h 8 ) 5 % 9

    (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    9/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    10/148

    "

    G E P " G 9@ % ) $ " T 4 & E 5 PQ $ # % 9& $ # " $ $ 9 " $ # "

    G H P " G 9@ % ) $ "@ H " ` # $ # " $ 5 PQ $ # % 9& $ # " $ $ 9 " $ # "

    G P G 9@ % ) $ " PQ $ # % 9& $ # 2 " # % #

    G P G 9@ % ) $ " PQ $ # % 9& $ # 2 " # % # 1 & ) % 8 5 $ % G E P "

    G P G 9@ % ) $ " % 4 " $ 5 PQ $ # % 9& $ # % $ 4 ' %

    H PQ S H " # % ) " $ # " $ 5 PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (

    D E G P S DT " # % (Q E # $ # % B G 9@ % ) $ PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (

    P S E & PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (C E ' 9 9 % ) &p ) 4 ) $ 9

    &p ' # " $ 9 % & 5 5 $ 9 12 % 5 5 &p ' # " $ 9 PQ $ # % 9& $ # $ 5 9 8 % # # "

    E # &d % # % ) ' ) 4 E # X &d % # % ) ' ) 4 U % " " 4 ) $ ( W PQ $ # % 9& $ # $ 5 ST 5 6 9 @ 8 $ (

    # " & # ( ) % 1 3 " 6 7 6 "

    8 # %F % # Bp " # % 4 % )

    8 9 # %F % # Bp " # % 4 % ) 9@ ( ' 5 @

    B # %F % # B 8 # ` %F " # % 4 % )

    B C # %F % # Bp " " " % 4 $ # ` % F " # % 4 % )

    D

    # %F % # Bp ) $ # " $ 5 " ' 9 % )

    D E

    # %F % # B 8 # ` %F ) $ # " $ 5 " ' 9 % )

    D

    C

    # %F % # Bp " " " % 4 $ # ` % F ) $ # " $ 5 " ' 9 % )

    D

    9

    # %F % # B @ R # ' 8 5 % Bp ) $ # " $ 5 " ' 9 % )

    G # %F % # Bp ) % $ 5d " ' 9 % )

    G

    E

    # %F % # B 8 # ` %F ) % $ 5d " ' 9 % )

    G

    C

    # %F % # Bp " " " % 4 $ # ` % F ) % $ 5d " ' 9 % )

    G

    9

    # %F % # B @ R # ' 8 5 % Bp ) % $ 5d " ' 9 % )

    H

    # %F % # Bp 9@ 8 5 % $C " ' 9 % )

    P

    9

    U R U

    P

    W W # %F % a@ % " # Bp # % h # % ) 9

    P

    9

    "& # % 8 5 6 " 9 @ $ 5 R U

    P

    W

    S

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    11/148

    # " & 3 " 1 6 ) !

    #

    # %h " ' 9 % ) Bp % 5 % 9@ % " # "@ % #

    #

    # $ & #

    $h 8 ) 8 % )T ' % # B

    &

    # ( & #

    $h ' % # B

    &

    # ) & #

    1 # ' #

    &

    #0 2 3 &

    # %h " # % ) % # " Br % #

    #

    $ " (

    &

    # 4 &

    # %h ' " " Bp % #

    #

    $ " (

    &

    5 6

    #

    # %h % 5 % 9@ % " #

    5

    % 5 " 4 # # %h % #

    #

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    12/148

    ! " % &

    ( ) 0 ! 3 5 78 &9

    @ @ A 7 ! 7% D

    E ! " F @ 0 5 7G E

    H ! A ! @ 0 5 7% E E

    R 7 0 " 7 ! " F @ 0 5 7 H H

    S 7 0 " 7 ! A ! @ 0 5 7T U V

    3 0 7 7 FW Q E H X

    " Y ! 3a E R R

    S

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    13/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    14/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    15/148

    P ) $ " ( P& ) X % # $ 1 $ " # # " $ 9 %& # % ) $ 6 % # $ # $ #@ #

    9@ " 4 ) $ 9 U 2 ) # b 9 @ ( ( 5 % b $ " ( @ 5 $ #r " # $ 5 W 1 5 5 % "@ $ 5 8 $ % # $ 5

    ) ( % ) 1 # " @ 5 % # # % ) h ) % 8 % $ # % ( 1 9& $ " 6@ ' 9@ " 4 ) $ 9 $ ) %

    8 5 % (

    % # ' ( % " #2 5 % ) $ # ST 5 6 9 @ 8 T 4 C $ ) % " ' 9 % ) % ( " % ' # ` % 5 6

    % 4 " " " 4 1 # A 5 % )3 " ' 9 % ) % 8 5 $ # ! ( 4 # Q ' % ( #

    " ' 9 % )p # % 5 % ) p # # 1 F % " # 2 $ 8 % % X ' b #p # # 1 F % " #

    # Q 5 $ % 5r 5 % )h " ' 9 % ) & $ " (3 B ' )F % " # # & 5 $ % 52 5 % )h " ' 9 % )

    H B #T # ! # $ % # C 5 $ % 5r $ 5 5 # % 5 % ) b 1 9& $ " 6C 5 % )

    $ ) %h # % ) % $ # # %F 5 (

    # % # @ % $ "@ ( (& " # % 4 % ) 4 ) % $ # % ) # $ " &p ) ` % # $ #2 # % h % c ' % " %

    &

    @

    ' (

    &

    @

    ' ( ) ) ) (

    &

    @

    9

    0 1

    3

    '

    " # $ " $ "& ( (& " ' 9 % ) Bp ( ( & " ' 9 % ) X

    % 1 9& $ " 6 8 # ` % " # % 4 % ) F " # % $ % % ( " 4 $ ) % 9C ' 5 # 8 5 % B

    # ) % ' #T " # 4 (

    4 % #

    P 5

    )

    # % 4 7 $ 8

    ) ) )

    8

    (

    1 % ) %@ # % ( 4 # h $ ) % # $ " % ( 6 1 ) # " 4@ # %C " # % 4 % ) # ) ' 4

    "3 ) ( % ) X 4d " ( 3 # %

    8 # 9 @ ( 4 # # Q # %C ) 4 # B # %@ ( % 9 $ 5

    8 " # X

    7 12 % " # 6 2 ` % 6 F $ " ( # 12 % " # 6 2 ` %h 4 ) 5 #F $ ) ' " ( $ # $ 5 % X &p ) ` %

    # $ # # r $ 5 1 $ 6 8 5 % # 2 " ( $ 8 % ) " # B 1 % " % 4 )

    $ ) %h 4 ) 5 X

    $G #7 # % % " ( B $ 8 ) B % " $ 5 1 5 " 4 # ' ) " $ 9@ % " # bh # % # 8

    4

    1 5 % ) $ ` % $@ 8 5 $ 6 R % 4d ) # B 4 1 5 B % %C 5 % )F ) % % ` %

    4 C D& 8 ) q %@ $ " (3 # % 1 " " % ) 1 5

    B # "7 $ " # % )h 4 $ 9 % %C 5 % )

    Bp # r 4 $ 9 % ) % % ` % ) % % ` % E % C DF 8 ) q %h $ " (C # % 1 " " % ) 1 5 B

    %@ 5 % ) B # 4 $ 9 %h ) % % ` %

    G # 9 @@ 8 ) q %& $ " (7 # % 1 " " % ) 1 5

    B % 1 " " % ) Bd # r 4 $ 9 %2 4 % # H Cd 8 ) q %F $ " (C # %T 5 % )r 4 % #

    9

    @

    8 ) q % X H "7 1 9& $ " 6& ) ( % ) h $ " 1 5 % )

    B # ) ' 4

    B 4@ ) % % ` %

    # %h 8 ) q % (

    82 G 8 ( % ) $ @ " %& $ " ( " %Q %& B ) % $ BF # @ % 4 # 5 % 4 X

    H "& 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # T ) ( % ) $ "& # %F 8 ( % ) 8 ' # "& # 2 T $ " (

    % b $ ' 9@ " 4 # $ # b " % $ C 5 % 4 b # % 9C ' # % 8 ' # " % B ) %

    # %h % (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    16/148

    GV ( ) $ 1 % ) " $ ( $ ) % " % ( ! ) 9I " # $ " & ) % (! b 8 & 4 ) % % "

    b

    77 5 ' %Q 3 $ " (

    %7 5 $ X GI 6 ' " 4 # % )& % 5 % #

    r " % $ # $F # 9 %p B ) 9 g # % ( ) $ 1 % )r ' # ' " $ 5 % # h % %T # %T 5 )

    B2 # %C h ( ) $ 1 " & $ # F # % 9& $ 5 5 % #T " ' 9 % ) B2 # $ #

    9C ' # %F % 5 % # % ( # 4 ' $ ) $ " # % % # $ #2 # % T % 5 % # "& " # $ " $ #2 5 % $ #

    8 $ ) ( U G 8 $ ) Bd # 1 h 2 B # % T $ 9 %2 5 ) X h

    9 $ 6 %F ' " # % ( " 9@ ) % # $ "& " % 8 $ ) X W

    0

    ` % " $& ) $ # " $ 5r " ' 9 % ) b 1 ) # % # $ $@ B ) $ # " "3 5 12 % #h # % ) 9

    $ " (C $ 5 ' 5 $ # % # % 8 ) ( ' # Bd # % ) % ' 5 # " 4h " ' 9@ % ) $ # )2 $ " (C ( % " 9 R

    " $ # ) X 4 )2 1 9& $ " 6h ) $ # " $ 5 " ' 9 % ) % # 12 % % " $ " ( 1 5 5

    %F # %h ) % ' 5 # " 4C 8 ) ( ' # (

    1T % # % ) 9@ " %h # % " ' 9 % ) B 1 $ 6 # @ % 2 ` % " ' 9 % ) B ) 9 f # %

    2 ) #2 % 4 # % % " 8 # ` %T " # % 4 % ) 2 ' # $ # $ " 6 # 1 h % "& " ' 9 % )

    ( % % ) 6 $ #2 5 % $ #

    H " $@ ) 9f " # $ " " 4 8 % 8 5 % b

    #$ #F 5 % $ #F " % 8 % ) " $

    " # $ % " $ " ( 1 # 3 % ` % ) 6 " %@ % 5 % "3 # %@ ) 9 & $ # h # %

    9 $ $ 9 ' 9A " ' 9 % ) B 8 % 8 5 % "& # %F ) 9 # $ # ' 5 ( $ ` % $ % "

    $ " ( 1 # @ % ` % ) 6 " % h % 5 % (

    # 4d " ( # %2 " ' 9 % ) B ) ( % ) % ( c ' $ ( ) ' 8 5 % U

    P

    1

    (

    P

    3

    (

    P

    (

    P

    Wd B 8 # ` %

    ( (& " # % 4 % ) # $ # $ # B 6

    P

    1

    P

    3

    P

    P 5

    8

    % 4d " # % 5 6 9& $ " 6h $ ) ( T $ ) %F 8 5 $ % ( " # 1 # $ b 1 # 9@ ) %T $ ) ( "

    # %F 5 % B # # $ # $ "@ # %h ) 4 # X "r $ & $ ) ( $ " % ) 9@ ) %T ( # " #

    " $ 9 % 1 ) # # % " " # b $ 5 # ' 4 ( % % ) % " # & $ ) ( 9 $ 6 $ ) %Q 9 %

    " $ 9@ % X 4 )2 % $ " $ 9@ % b 1 % ( % 2 " % $ 8 # 5 6 9@ ` " 4 F % ` % ) 6& $ ) (

    # $ # $ # $ # " $ 9 % 1 ) # # % " " # # Q # %& 8 8 # %C # $ X &p ) ` %

    # $ # # T $ 5 1 $ 6 8 5 % # C % " ( ' 8 1 # 9@ ) %F $ ) ( "& # %h ) 4 #

    # $ 67 8 " 4 Q % ` % ) $ 5T ( # " # " $ 9@ % br $ " (! ( " 4 "! # ' ) " # %

    ' %F ) ) % 8 " ( " 4 # % $ " $ 9 %

    4 4 )2 1 9& $ " 6 8 $ ) Br " % ' # ` % h " # % 4 % ) "@ # %h % #

    (

    (

    ( ) ) ) (

    " C $ ) ) 6 " 4 C ) % c ' ) % ( 1 % "& # % # 1 " # % 4 % ) F $ ) %h $ ( ( % ( (

    7 T " % $ ) " $! ) 1i $ ) % # %7 ' 8 % ( 6 $ # ' ( % " # 3 $ " (

    &p ) B % ) GT 5 8 $ #2 % # $ b h $ " (

    0

    $ 9 9 $ % %7 # ) % %! 8 ) B % )

    $ ) ) ` % % B ) % @ # % $3 # ' ( % " # C $ " (7 ( % ( % # Q %@ # % ) $ )

    # $ #& % $ 0 8 ) B % ) 1 5 5 % % # 12 % % " # 1 ! # ' ( % " # X H "0 1

    9& $ " 6 1 $ 6 r $ " &p ) B % ) GT 5 8 $ #2 % # $ b $ " (

    0

    $ 9 9 $2 %T # % )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    17/148

    $ ) (

    $ &p ) ` % # $ # $ 9@ " 4h $ " 6 7F ( # " # 8 # ` % " # % 4 % ) " # % $ % % ( " 4

    F # % ) %h $ ) %2 B ' ) ( % % ) % " # " % b

    5

    (

    (

    (

    (

    ' # $ #

    5

    5

    )

    8 GI 5 ( $ $7 % # B 73 ( # " # & 5 X "r $ 0 5 B " %

    B 9& $ # % ) $ 5 ' ) 2 8 4 & 9 ( ( #@ q % 8 67 2 ) ) 9 6 5 6 A ) 2 Q " 5 %

    5 ) ) 5 A " Q 5 5 C 9 Q 5 5 ) ) ( p $ " ( % $ 8 % & Q & ) 5 9 # 5 2 " ( C 9

    8 2 Q 5 9E 4 Q 2 C " ) 5 1 9& $ " 6 5 "& # % % #F $ ) % ( % % ) % " #T B ) 9

    # % ' ) 2 8 4 & 6 5 6 Q 5 7 & Q & ) 5 " % $ $ # 5 6 # 1 1 $ 6 ( U % ( (

    6 5 6 Q 5 8 2 Q 5 ' $ 5 X W

    $ 5 5 $ $ R ( 4 #r # % 5 % 8 " % T " ' 9 % ) ( 1 (

    3

    (

    (

    ( " ( # ( $ 6 5 67 ( Q 2 ) 5 B

    # %@ 8 ) % 2 $7 % c ' % " % (

    1(

    3

    (

    % $ $ # 5 67 # %@ $ 9 % $ % # % ) B # %

    % c ' % " % (

    ( " ( # ) ( " ( # ( $ U 8 5 6 # W GT ' 9 @ " 4 # $ #r % $

    ( $ " %7 $ " 6 B # %Q # % "0 ( % 9 $ 5 ( 4 #

    (

    (

    ( ) ) ) (

    2 " ( # %

    " ' 9 % ) B ( % % ) % " # 9 % 9@ ) $ 5 %2 # % 5 % 8 " % h " ' 9 % ) X

    1 B # %C c ' $ ) % B $ $ ' $& % % ) $ ) ( $ ) % 8 $ " # % (7 6 % 5 5 1

    $ " (@ # %T ) % # $ ) % 8 $ " # % (C 4 ) % % " 1 h 5 )r % 9 % $ ) %T % c ' ` $ 5 % " #

    B2 " % $ " % # $ " % (& B ) 9f # % # % ) 6Q $ 8 8 5 6 " 4 $@ ) # $ # " "

    # %T 8 5 $ " %2 B # % $ ) ( 1 9& $ " 6F " % c ' ` $ 5 % " # p 5 ) p % 9 % $ ) %

    8 5 % (

    H " 1 9& $ " 6 1 $ 6 d $ " " %2 $ ) ) $ " 4 % 2 # % 2 " ' 9 % ) # % 4 7

    $ $ " ( 8 F ' # $ #T # %h ' 9 Br % ` % ) 6@ B ' ) " % ' # ` % " ' 9 % )

    ( ` 5 % 6 # (

    % # ) % $F % # 1 # $h % 5 % 9@ % " # X H "C 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # 1 $ 6 r $ "

    " %@ % 5 % # # 1 Q " # " % % $ ) 5 67 ( # " # ' % # B ) # $ #h # %

    ' " " BT # % # 1 Q ' % # ) ( %C ) ( % ) BT # %C % 5 % # " ! ( %

    " # 9& $ # # % ) r B ) % $ $ 9@ 8 5 %C # % 8 $ ) BF ' % #

    5

    (

    (

    ( ( ( 3 ( 4

    ) % 8 ) % % " # h # %F $ 9 %T % 5 % # " $ # % 8 $ )

    ( ( ( 3 ( 4

    (

    5

    (

    # r G % # B 8 # ` %7 " ' 9 % ) $ 3 # % 4 Q 2 C " ) 5 Q ( 5 Q 4 B # $

    # ) % % ! ( # " #Q % 5 % 9@ % " # # $ #3 $ ) %7 # %7 5 % " 4 # BC # %7 ( % B $

    # ) $ " 4 5 % 1 %& $ ) % $ 8 # ` % X 2 " ( % ) % #

    %

    (

    4

    (

    7

    ( ) ) ) (

    @ B

    " % ' # ` % 8 # ` %Q " # % 4 % ) bh $ 5 5 B 1 %3 # % " R % 5 % 9@ % " #& ' % #

    $ ` %& # %Q # ) $ " 4 5 %@ 8 ) 8 % ) # 6 X & $ # C # %& 5 $ ) 4 % # 8 5 %Q ` $ 5 ' %

    B @ (

    % % #

    #

    $ " (

    &

    %@ ( " #F % # 1 %C ' " " h # %@ % # B " $ # ' ) $ 5

    " ' 9 % ) XI E 1 # $ #& B )& % ` % ) 6 " $ # ' ) $ 5 h " ' 9 % ) @ # % ) % % $ #

    ( # " #

    5

    (

    @Q ' # $ #

    5

    (

    (

    5

    ( #

    )

    5

    (

    (

    5

    ( &

    )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    18/148

    4 %0 " ) % $ " 4 A % c ' % " %

    (

    #

    (

    %

    (

    (

    (

    (

    #

    ( ) ) )

    " # B3 $ 5 5

    # % 8 # ` %F " # % 4 % ) 1 Q $ ) % 8 12 % ) B

    # )T ' 9 Br ( # " #

    8 12 % ) B # 4d " ( C # % h # % ) 9 Bd # 2 % c ' % " % U 1 % ) % 2 # %

    r # % ) 9

    # # % # % ) 93 b $ " ( " W

    7 "p ` % ) 6C $ ) ( " $h ( % $ $h 8 # ' ) % Bd " % $ 8 % ) 5 % b c ' $ ) % b

    )F # ) $ " 4 5 % b 1 8 $ " # % ( "Q " % B # ) % %C 5 ) ) % ( d 5 ' % b

    )& 4 ) % % " 4 ' ) # % ) 9@ ) % bF % $ 5 ) Q $ 8 8 5 % ( "0 " % BC # ) % %

    $ ( % Y 5 4 # b 9@ % ( ' 9 3 b ) ( $ ) X % ( % $ $C $ ) ( b 1 #

    % ` % ) 6 $ 8 % R 5 ) R $ ( %h 9C " $ # " C ) % 8 ) % % " # % ( GA % # Br # ) % %

    $ ) ( p B ) 9 A # % ( % p $ 5 5 % ( & ( 6 ' ) 5 6 7 5 C 4 2 Q Bd $ 5 5 B # % 2 B 5 5 1 " 4

    # $ # % 9@ % " # T $ ) %F # ) ' %

    U $ W "p # % )@ % $ BF # %Q # ) % %Q $ ) ( $ $ ( % % ) % " # $ 8 % )@ $ 5 5

    # ) % % Bp # % F $ ) ( $ ` %F # %F $ 9 % $ 8 %

    U W "p # % )r % $ B # % # ) % % $ ) ( $ $ ( % % ) % " # r 5 ) )r $ 5 5 # ) % %

    Br # % F $ ) ( $ ` %F # %F $ 9 %T 5 ) X

    U W "p # % )@ % $ Bh # %& # ) % %3 $ ) ( $ $ ( % % ) % " # $ ( % )@ $ 5 5

    # ) % % Bp # % F $ ) ( $ ` %F # %F $ 9 % $ ( % X

    1 9& $ " 6 ( % % ) % " # T 9@ 8 5 % 9@ % " # $ ) 6 # ) % % R $ ) (Q % # h $ ) %F # % ) % (

    $ G # $ 9& $ # 3 $ 9 8 d % ` % ) 6 i # ' ( % " # $ ) % % $ $ # 5 67 " %@ 9 9 "

    B ) % " ( # 3 U H B

    #

    $@ B ) % " ( B

    &

    p # % "

    &

    $@ B ) % " ( B

    #

    GT 5

    #

    2 " # 1 "C B ) % " ( W E ' 8 8 % 8 % ) " $ # %F 5 $ ) 4 % #

    " ' 9 % ) Bd B ) % " ( X 1T % # % ) 9@ " % 1 $ # # $ # " ' 9 % )2 X

    8 E ' 8 8 % # $ # $ 6 ! $ " ( # 4 ) 5 Q 5 " % ' 8 " $0 ) 1 % # )

    %! # %! " ' 9 % ) B@ 8 5 $ % " # %! ) 1 1 % ) % $ 6A $ " ( $ 4 ) 5

    $ ) % # $ " ( " 4 " % $ # # 0 % $ V # % ) X 4 ) % $ $ 9@ 8 5 % bh B )3 # % ) 1

    & &

    &

    &

    &

    &

    &

    1 % $ ` % )

    5

    4d " ( 7 # %

    $ ` % ) $ 4 % C ` $ 5 ' % B )A U BF $ 5 5 8 5 %C ) ( % ) B # % % 8 % 8 5 %& $ ) %

    " ( % ) % ( W

    G ) % (& # ' ( % " # 1 $ 5 2 ( 1 " $ $ 5 5 # $ # " # $ " $ ) 1 Br 5 % (

    5 % ) b " ' 9 % ) % ( #

    % % 8 % " p # % p 5 % )d " ' 9 % ) % ( b $ " (

    # % "Q $ 5 # % ) " $ # % % # 12 % % "Q 8 8 " 4 @ $ " ( 8 % " " 4C % $ Q 5 % (& 5 % )

    # % ) % $ B # % ) X & % " %3 ) % $ % & # %3 % " ( B # % $ 5 5 b2 # % Q # ' ( % " #

    # ' ) " C $ ) ' " ( $ " (7 # $ ) # $ X % 8 % " # % 2 ) #C 5 % (! 5 % )

    % % " ' " # % ) b $ " ( C # % "@ $ 5 # % ) " $ # % % # 12 % % "@ 8 8 " 4 h $ " ( 8 % " " 4

    % $ 7 5 % (7 5 % )h # % ) % $ B # % ) X %C # ' ( % " # " # " ' % 1 $ " ( % ) " 4

    $ Q $ " (Q B ) # "Q # 9& $ " " % )T ' " # 5d % ` % ) 63 5 % ) 8 % " & $ #

    2 # %h " ' 9 % ) Bp # % h 5 $ # 5 % ) % 8 % " (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    19/148

    # % # @

    5

    1

    #

    1

    1 9& $ " 6 8 # ` % " # % 4 % )2 ( ` ) B @

    3

    $ ) %T 5 %

    # $ " @Q ' # ( C " # ( ` ( % @ (

    # H " $ "& $ ) % " $ b % $ Q ) 1 $

    h % $ # X S " % ( $ 6 b

    h # ' ( % " # h $ ) %

    9@ " 4 # @ $ # # % " ( $ % ) 9& $ # H # " 5 6C " 1 " # $ # $ # 9@ #

    # # ' ( % " # F $ ) %T B ) 9 V # %h $ 9 %T 5 X H Bp # ' ( % " # B ) 9 V # %h $ 9 %

    5 9C ' #p # "C # % $ 9 % ) 1h b ( % # % ) 9@ " % # % 9@ " 9 ' 90 " ' 9 % )

    Br ) 1 # $ # 9C ' # %F ) % % ) ` % ( Q B )2 # % % # ' ( % " # X

    # % #

    5

    $ "& " # % 4 % ) b

    %

    0

    ` % " # $ #

    C C C

    $ # 8 $ ( 4 # T $ " ( # $ #T # 2 ) # U 5 % B # 9@ # Wr ( 4 # b 1 9& $ " 6

    % 5 % 9 @ % " # B $ ` % $ # % ) 5 % B # 9@ #r ( 4 # (

    # # 4 ) 1 $ #3 ` $ 5 ' % B @ ( 0 # % ) % % $ # $ " ' 9 % ) # $ #

    $ " % 1 ) # # % " "7 # %@ B ) 9

    5

    1

    5

    9 U 1 #

    5

    1

    6

    (

    5

    3

    6

    (

    ( ) ) ) (

    5

    9

    6

    ( ) ) ) (

    @ W " U @

    W ) 9@ ) % 1 $ 6 (

    # % % #T # %h ' 9 B $C % # Br " ' 9 % ) %h # %h ' 9 Br # % 5 % 9@ % " # X % #

    ) % $h % # B 8 # ` % " # % 4 % ) b " " %F 4 ) % $ # % ) # $ " 4 p E ' 8 8 % "

    # 1 ( " #p ' % # B ) $ ` %T # %T $ 9 % ' 9 & $ # r # % F 5 $ ) 4 % #

    ' 9 $ % # ) 1 # & # % %h 8 ) 8 % ) # % F $ " $ ` % (

    # 4 % ) %F $ ) % $ #r 5 % $ #p B ' ) p $ " ( 6 $ ) " @ U @ % W $ % "r $ C # 9 %

    P ) 4 $ # $ 5 5 1 % ( # Q 8 # 1 $ % p # $ %C " %C $ " ( 6 $ )F B ) 9

    % $ Bd # % # 1 $ % b $ " (C 8 ' #2 # %T $ " ( 6 $ ) r " # $F # ) ( $

    1T % # % ) 9@ " % B # F $ 5 1 $ 6 8 5 % # & 8 ' #F $ 5 5p # % $ " ( 6 $ ) F " #

    " % $

    # 7 1T % # % ) 9@ " % b 1 # 7 8 ) B b B # 8 5 % # 3 $ ) ) $ " 4 %

    (

    ( ) ) ) (

    " $h ) 10 ' # $ # # %h $ ` % ) $ 4 % Br $ " 6 8 $ ) Bp ( # " #T " ' 9 % )

    " # 5 $ # % ( " % # 12 % % "Q # % # 1 " ' 9 % ) X

    # $ % #

    #

    1

    #

    3

    ) ) )

    #

    1

    3

    % $3 ) % 4 ' 5 $ ) ( ( % $ 4 " 1 # $ # C % " # % ) X

    p ) $ " 4 ' 5 $ ) ) % 4 "

    # #

    E

    1 Q U $ " (

    #

    1

    5 #

    1WF $ ) % #

    % 5 ) % (Q ) % ( 5 ' % b 4 ) % % "d b )T 6 % 5 5 1 ' # $ # $ ( $ % " # T ) % 4 "

    $ ) %& 5 ) % ( " ( % % ) % " # @ 5 ) X H "! 1 9& $ " 6 1 $ 6 $ " # %

    ( " % (

    # 8 % ) %h $ ) % @ 8 % 8 5 % $ # $ 8 $ ) # 6 X "r $ 8 % ) " $ $ "C % ` % "@ " ' 9 % )

    B B ) % " ( $ #p # % 8 $ ) # 6 X U T % ) % B ) % " ( 8 $ 9C ' # ' $ 5 ) % 5 $ # " 8 W

    &p ) ` % # $ #C # % ) %7 $ ) % # 1 8 % 8 5 % 1 $ ` % $ " % ` % " " ' 9 % ) B

    9 9 "h B ) % " ( $ #2 # % 8 $ ) # 6 X

    # T 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # % ' %7 $ ) ) $ 6 1 %& % " # ) % @ $ ) %Q $ 5 5 Q $ " (

    $ ` %T # %T 8 ) 8 % ) # 6 # $ #2 # % T ' 9 Bd # % T % " # ) % "C % $ & ) 1

    C $ " (& # %F ' 9 Bp # % h % " # ) % "@ % $ Q 5 ' 9 " (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    20/148

    % G0 c ' $ ) % Bp ( 9@ % " " U @

    W ' U @

    W 2 ( ` ( % (@ " # U @

    W

    3

    ' " #p c ' $ ) % " # % ' ' $ 5 9& $ " " % ) X "r $ B # % @

    3

    ` % ) # % 2 B # % %

    c ' $ ) % # %T 5 ) % (@ ) % ( )2 5 ' % X 4d " ( C # %F " ' 9 % ) B ( % % ) % " #

    5 ) " 4 r ' # $ #2 % $ @ ' " #r c ' $ ) % $ % $ $ # 5 6 # 1 h ) % (@ ` % ) # % X

    U 1 Q 5 ) " 4 3 % 9 % C $ ) %& ) % 4 $ ) ( % ( $ ( % % ) % " # B $ # 5 % $ # " %

    ` % ) # % $ 5 ) % ( ( % % ) % " # 5 6 "@ # % # 1 % 9@ % X W

    % E $ # 6 R B ' ) $ 5 5 $ ) %h % 8 $ ) $ # % (Q " # C % ` % ) $ 5d 8 5 % X G # % $ Q # % 8 1 %

    $ ) %h $ 5 5 1 % ( # @ $ 8 8 5 6@ # %F B 5 5 1 " 4 8 % ) $ # " &p # 1 C 8 5 % b $ 6

    8 5 % 1 # R $ 5 5 F $ " (Q 8 5 % 1 # $ 5 5 T $ " ( R

    (

    $ " (3 # % "

    ) % 9@ ` % $ 5 5 r B ) 9 V 8 5 % V $ " (& 8 ' # # % 9 "@ 8 5 %

    )

    &p ) ` % # $ # #

    8 5 % # 8 ' #T $ 5 5 # % $ 5 5 2 " # " %F 8 5 % X

    % G0 4 $ 9 % Bp 5 # $ ) % 2 8 5 $ 6 % ( 1 # $ 2 " # %T " ' 9 % ) Bp " " " % 4 $ # ` %

    " # % 4 % ) X S "3 # % 2 ) # 9@ ` %F # %C 8 5 $ 6 % )T ( % 4 " $ # % h " % " # % 4 % ) $

    ) 2 Q " 5 2 $ " ( ) % 8 5 $ % & $ " # % )C " # % 4 % ) 6 $ " 67 " " " % 4 $ # ` %& " # % 4 % )

    # ) # 5 6 9& $ 5 5 % ) # $ "C # %T ( % 4 " $ # % (@ 5 $ ) 4 % " # % 4 % ) X S "@ ' % c ' % " #

    # % 8 @ 8 5 $ 6 C 9@ 5 $ ) b % $ % 8 # # $ # " # % 4 % )C ) % 8 5 $ % ( 9C ' # %Q # %

    " %T ( % 4 " $ # % ( $ 2 5 $ ) 4 % "@ # %F 8 ) % ` ' 8 5 $ 6 X &p ) ` % # $ # "@ 9 %

    2 " # %F " ' 9 % ) Bp # % 8 T 8 5 $ 6 9C ' #2 % " (

    % #

    0

    ` % " )

    (

    (

    (2 ) ) ) (

    @ 1 % $ ) %C $ 5 5 1 % ( # 9@ ( B 6 # "Q $ " 6& " %

    Bp # % T B 5 5 1 " 4 1 $ 6

    U $ W B

    6

    ) $ ( (& # %F % 5 % 9@ % " #

    U W B @

    6

    )2 b ( % 5 % # %h # %h % 5 % 9@ % " # @

    U WC B ) @

    B

    6

    ) $ " (

    6

    )2 b ( % 5 % # %h # %h % 5 % 9@ % " #

    $ " (Q $ ( (& # %F % 5 % 9@ % " #

    )

    E ' 8 8 % # $ # # 8 5 % 6 ' 9@ ( 2 $ # " # # $ " $

    % c ' % " %

    @

    (

    # $ ) # " 4 1 #

    $ " ( % " ( " 4 1 #

    @ " 1 % $ BF # %

    9

    ' % # B

    (

    ( ) ) ) (

    @ 3 $ 8 8 % $ ) % $ $ # 5 6! " % X &p ) ` % # $ # @

    5

    B ) 9 %

    % % % ) %0 $ ) % 7 " " $ # $ 5 % X 4 )

    5

    (

    ( ) ) ) (

    "

    ' % " F " % 9C ' #C # ' ) "0 ` % ) % $ $ # 5 6 h " X &p ) ` % # $ # #

    $ 5 1 $ 6 8 5 %@ % # % ) # 9& $ %@ $ 5 5 BT # %& " h B $ % ' 8 ) #

    9& $ %T $ 5 5 Bp # % h " 2 B $ %F ( 1 "d b ' # " # #

    % 44 )

    (

    ( ) ) ) (

    @ $ " (g % $ BQ # 7 " " % 9@ 8 # 6 ' % # $0 ' " c ' %

    2 ) 4 5 Q C 2 4 C " 8 6 ( % 2 " % ( $ p B 5 5 1 GT ) ) $ " 4 %T # % " ' 9 % ) "C # %

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    21/148

    ' % # "& ( % ) % $ " 4 & ) ( % )h $ " (Q # % " % 4 " " " 4 1 # Q # %h 5 $ ) 4 % # b

    $ 5 # % ) " $ # % 5 6Q $ ( (3 $ " (Q ' # ) $ #F ' % ` % C " ' 9 % ) X U 4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b

    # % $ 5 # % ) " $ # " 4 ' 9V B )

    (

    (

    %

    (

    7

    (

    7 %

    5

    7 $ " (

    B )

    4 # 2 9@ 8 5 6

    4W 4d " ( @ # %T ' 9 Br $ 5 5 ' & $ 5 # % ) " $ # " 4 ' 9

    B ) @

    5

    $

    % 7 H " $@ 4 $ 9 % B @B # ( 6 # 1 Q 8 5 $ 6 % ) $ 5 # % ) " $ # % 5 63 # $ % # % "& B ) 9

    $ 4 R 6 R $ 4 ) ( Br ' " #T c ' $ ) % X @ # $ % $C # % b # %h 8 5 $ 6 % )T %

    " % B2 # % C ) % 9& $ " " 4 C c ' $ ) % bd # % "7 ) % 9@ ` % U % $ # " Wh $ 5 5p c ' $ ) %

    B ' " ( " # % c ' $ ( ) $ " # ( % 2 " % ( 6h # % 5 % B #p % ( 4 % U % $ # % " ( % (@ ' 8 1 $ ) ( W

    $ " (! # %& 5 1 % ) % ( 4 % U % $ # % " ( % ( ) 4 # 1 $ ) ( W BF # %& % " c ' $ ) % X

    4 ) % $ $ 9@ 8 5 % bp # % & # %& ( % # % ) 9@ " % ( 67 # % $ ( % ( c ' $ ) % "! # %

    ( $ 4 ) $ 9 12 ' 5 (3 ) % 9@ ` %C # % $ ( % ( c ' $ ) %& $ " (7 # %@ B ' )h c ' $ ) %

    9& $ ) % ( 6 '

    U % c ' $ ) % 1 # # 1 ) 9@ ) %F ( # # % (Q % ( 4 % $ ` % % % "3 ) % 9@ ` % (

    B ) 9I # %& ) 4 " $ 5 $ ) ( "! 8 ) % ` ' 9@ ` % X W % % # BT # %

    4 $ 9 % # 9& $ %T " % e 8 8 " % " # # $ %F # %h 5 $ # # % X %F ( $ 4 ) $ 9

    1 T " % Br # % 9& $ " 6C ' % # Bp # % h % # B # 4 ' " # c ' $ ) % # $ #

    $ "h ' ) p ( ' ) " 4 T # %r 4 $ 9 % B 2 9 8 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # d ' % #

    $ ) % # % ) % "3 $ 5 5 (! H " 5 ' ( % # %h B ' 5 5 $ ) (7 $ " (Q # % % 9@ 8 # 6 $ ) ( "

    6 ' ) ' " # X

    % $"r $ c ' $ ) % B $

    8' & % $ ) (! " # $ " % # % ) )

    C ' # $ #h # %@ # # $ 52 " ' 9 % ) BT c ' $ ) % C " # $ " " 4 h ( ( "

    % $ Q ) 10 $ " (& % $ & 5 ' 9 " &p ) ` % # $ # # %F " ' 9 % ) B 1 # %F ' " #

    c ' $ ) % T " # $ " " 4 % ` % "

    % 8 % # ) % $T ' % # B

    (

    (

    #

    ( ) ) ) (

    8 r ' # $ # " # 1 9 % 9 % )

    B ) ( % % ) 6 % ) $ & $ # T # % 5 $ ) 4 % #T " ' 9 % ) Br % 5 % 9@ % " # )

    $ " $ ` % (

    % GA 5 $ B 2 B # % % " 6 F $ " ( 2 B # % % " 3 4 ) 5 % $ # % (7 $ ) ' " ( $C ) ' " (

    # $ 5 % X % )2 # % $ % ) 1 % # 8 $ ) ' 8@ # %T # ' ( % " # T $ " ( $ " ( C ' #

    2 B # % % " Q # % # " %h # % # # C % $ 8 $ ) X

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    22/148

    G r # % # % $ % ) p 8 ) % 8 $ ) " 4 # F % 5 % #2 # % 8 $ ) r $ " ( $ " ( ' #r # %

    # % # b % 12 " ( % ) # Q 9@ % 5 B b 1 9& $ " 6& % $ # " 4 7 $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #

    12 ' 5 (3 $ 5 5 1 9 % # 9& $ # ' 8 6 4 ) 5 8 $ ) F # # " 4 " % $ # # & % $

    # % ) 1 # ' # $ ` " 4 # $ $ " 6! # ' ( % " # # $ " 4 %Q )@ % )

    % $ # ( " GT " 1 % )p # % 2 # % $ % ) e r c ' % # " U 1 T % $ # " 4h $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #

    $ ) % ) % 4 $ ) ( % ( $ % " 4@ # % $ 9 % Br " % $ " % # $ " % (& B ) 9f # %

    # % ) 6 $h ) # $ # " W

    4 1 @ c ' $ ) % " $ " 8 ' 8@ % $ ) ( $ ) % $ 5 5 % ( 4 ( & # C " B # % 6

    $ ` % $ #T 5 % $ #T " %h 9 9 "@ ` % ) # % $ 1T % # % ) 9@ " % B # 8 5 %h B )

    $C " 4 # % 4 " "3 9 %F c ' $ ) %@ $ " (Q ` #h $ 5 5d # % c ' $ ) % % $ $ # 5 6

    " % "& ' $ 1 $ 6 # $ #F $ 5 5 9 @ ` % % $ % 8 #F # % 2 ) #F $ ) % 9& $ ( %T " #

    c ' $ ) % T # ' " 4 $ "& % ` % "& " ' 9 % ) Bp c ' $ ) % F $ 5 ) % $ ( 6 C ` # % (

    4 Gg # # $ 5 B

    C ) % ( % " # h 5 ` % " $@ ' 5 ( " 4 1 # $ 8 $ ) # 9@ % " # X

    & %2 $ 5 5 $ " $ 8 $ ) # 9@ % " #E ( F 5 Q ( ) 2 4 5 2 B # % ) %F $ ) % $ #r 5 % $ # 4 8 % 8 5 %

    5 ` " 4! # % ) % X "p ` % ) 6 ( $ 60 # %! " $ # $ " # B $ " ` % ) 8 8 ' 5 $ # % (

    $ 8 $ ) # 9@ % " # $ ` % $ c ' $ ) ) % 5r $ " (Q % $ 3 4 % % # $ ( % % ) % " # $ 8 $ ) # R

    9@ % " # "& # %h ' 5 ( " 4 & U @ # % 6& $ "Q $ ` (@ % $ Q # % )

    W

    )

    H # # ) ' %

    # $ # # 8 ) % 1 5 5 " % % $ ) 5 6 %F 9@ 8 5 % # % (& 9 % ( $ 6 (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    23/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    24/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    25/148

    (

    H " $7 # ' ) " $ 9@ % " #C % $ 0 8 5 $ 6 % )C 8 5 $ 6 % ( % $ $ # 5 6 " %Q 4 $ 9 %Q $ 4 $ " #

    % $ Br # % F # % )T 8 5 $ 6 % ) X H "& % $ & 4 $ 9 %T # % 1 " " % ) 1 $ $ 1 $ ) ( % (

    8 " # b # % T 5 % )r 4 # 8 " # b $ " ( C % $ C B # % # 1 F 8 5 $ 6 % ) r % $ ) " % (

    8 " # Bh # %Q 4 $ 9 % 1 $ $7 # % X G B # % )@ # %Q 9@ 8 5 % # " Bh # %

    # ' ) " $ 9@ % " # b # 1 $ T B ' " ( # $ # % $ $ # 5 6 $ 5 B B2 # % 8 " # F % $ ) " % (

    6C % $ @ 8 5 $ 6 % ) 12 % ) %F % $ ) " % ( "@ 4 $ 9 % r $ 4 $ " #r # % T # % "& 8 5 $ 6 % ) 1 #

    # %h 5 % $ #2 " ' 9 % ) B 8 " # X U H " 8 $ ) # ' 5 $ ) b % $ Bp # % F # % "& 5 12 % #

    ) " 4! 8 5 $ 6 % ) C % $ ) " % ( $ 5 B Bh % ) 8 " # & $ 4 $ " # # %Q # % )

    " " % B # %@ # % " W & $ # 1 $ h # %@ # # $ 5r " ' 9 % ) B 8 5 $ 6 % ) "3 # %

    # ' ) " $ 9@ % " # (

    % # @ % $ " ( ( " # % 4 % )& 4 ) % $ # % ) # $ " 4d " ( # %3 " ' 9 % ) B

    8 % ) 9C ' # $ # " R Bp # % h % #

    (

    ( ) ) ) (

    @ T B ) 1

    R U W

    R U W

    R U @ W

    @

    5

    @

    3

    )

    #H " $A % c ' % " % B7 "V # % 0 " %0 $ " % % 8 $A ) % ) ( B3 # %

    " ' 9 % ) BQ " # $ " % 1 % " $0 # $ 5 9 9@ % ( $ # % 5 6 B 5 5 1 % ( 6

    $ % $ ( $ % $ ( 9 9@ % ( $ # % 5 67 B 5 5 1 % ( 6 $ % $ ( h % # X & %

    ( % " # %3 # % % 6 2 % # X 4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b " # %Q % c ' % " %

    B

    47 "0 # % 1 %3 % ) ` % # $ #

    # % ) % ! $ ) % 2 ` % # ) % % # 1 F $ " ( B ' ) f ' % R

    c ' % " % X T 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # & % c ' % " % B

    43 " # % 1 5 5

    " # $ " % $ $ # 5 6 # 1 @ # ) % % C B ' ) $ " ( 2 ` %

    ' % c ' % " % (

    % % #

    # 5

    U

    5

    1

    (

    5

    3

    ( ) ) ) (

    5

    3

    C C 1 W % $3 % c ' % " % B 8 # ` %Q " # % 4 % ) X

    % # %F # %h " ' 9 % ) B

    #R % 5 % 9@ % " #2 ' % c ' % " % U

    5

    (

    5

    (

    5

    W 1 #

    b ' # $ #

    5

    5

    5

    C $ " (

    5

    5

    5

    2 " ( % ) " 4@ $ 5 5 ' & % c ' % " %

    #

    2 " (& # %h 4 ) % $ # % #T ` $ 5 ' % B

    4 12 % " # 6 R # ) % % 8 % 8 5 % B 8 # ` %C " # % 4 ) $ 5 12 % 4 # ( % ( % # 3 8 5 $ 6

    B # $ 5 5 X % 6@ % 5 % # " % 8 % ) " $ ) % B % ) % % $ " (C # % "& 8 5 # ' 8@ " #

    # 1 R 8 % ) " Q # % $ 9 Bp % c ' $ 5d # # $ 5 1 2 % 4 # X H # # ' ) " T ' # # $ # "

    9& $ # # % ) 1 ) % B % ) % % # $ "3 $ 5 1 $ 6 %h ( " % X &p ) ` % # $ #F $ 5 5 #

    8 % 8 5 % $ ` %T % c ' $ 5 12 % 4 # X

    7 1T % # % ) 9@ " %2 # % 9& $ 5 5 % #d " # % 4 % ) @ @ % b B ) 1 " %2 $ " %

    B ' ) ( % % ) % " # T " ' 9 % )

    5

    ( ( (

    B ) 9f $ " 6 @Q ( # " #T " # % 4 % ) T '

    # $ #

    5

    2 ( ` 5 % 6

    $G 9& $ 5p $ ) ) % ) ( % 5 ` % ) 9& $ 5 # Q # %@ " " % # % % " ' % "7 # %@ % $ #

    ( % B " 5 9g E # ) % % # X %T $ ) ) % )r " # % # $ # " # 1 $ ( $ % " # r ' %

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    26/148

    (

    % ` % )r 4 % # 9& $ 5 " # %2 $ 9 % ( $ 6 b ' # # $ #p # % ) %T $ ) %2 " % ` % ) 9@ ) % # $ "

    # 1 F ' % " $T ) 1 # $ #p 4 % # " 9& $ 5 " # %T $ 9 % ( $ 6 X 1 9& $ " 6

    ( % % ) % " # 8 $ # # % ) " B 9& $ 5 ( % 5 ` % ) 6& $ ) % 8 5 % (

    8 4 )

    5

    (

    ( ) ) ) (

    b 5 % # % $ % # B 2 ` %F % 5 % 9@ % " # b $ " (3 $ ' 9 %

    # $ #p B ) r % ` % ) 6

    2

    5

    % # %T # %T 5 $ ) 4 % #

    " ' 9 % ) B ) 1 # % ) % % $ #

    ( ) ) ) (

    $ 9@ " 47 # %Q % "

    % # 1 #

    2

    1

    5

    4d " ( 3 # % 9@ " 9 ' 9V ` $ 5 ' % B ` % )h $ 5 5

    8 5 %F " # $ 5 % B

    1 % 2 " % $ ( 67 C ( # % $ "h ) ( % ) % ( 8 $ ) B 8 4 C & 4 8 # ` %r " # % 4 % ) X

    G Q ( 5 Q 8 5 5 C & 5 B ( 9@ " $ 5 #d B ( # " #p ( 9@ " " 1

    # % 2 ) #F ) ( " $ # % Br % $ 8 $ )F $ B # % )T # % 2 ) #F % c ' $ 5 T # %h % " (

    ) ( " $ # % Bp # % 9 9@ % ( $ # % 5 6h 8 ) % % ( " 4 8 $ ) b $ " ( " 1 U

    (

    W

    $ " ( U

    (

    W ( Q " # ( 4 #7 $ 8 8 % $ )h B )C $ " 6 F $ " ( % #

    C %& # %

    % # Br $ 5 5 ( 9 @ " 1 %F ) ( " $ # % T $ ) % " 5 $ ) 4 % ) # $ " % 4d " (

    # %T 5 % " 4 # Bd # % T 5 " 4 % #2 8 ) 8 % ) % c ' % " % Bd ( 9 @ " # $ #2 $ " %

    B ) 9 % (C ' " 4 C # %F ( 9@ " B

    C

    4d " ( 3 # %C " ' 9 % ) B2 ' % # B

    ( ) ) ) (

    b # %C ' 9 B 1 %

    % 5 % 9 @ % " # ( ` 5 % 6 4

    % # % $ 2 " # %@ % # B 8 # ` %C " # % 4 % ) $ " (

    #

    $& ' % # B

    &p ) ` % # $ #T # % ) % % $ # $C ' % #

    &

    B i ' # $ #

    #

    % c ' $ 5 F # %

    % # Br % 5 % 9@ % " # B 1 & ( ` ( % $ "Q ( (& " ' 9 % ) Br % 5 % 9@ % " # B

    &

    G0 # $ B% F $ ) ( 2 5 $ % 5 % ( 1 # @ # %T " # % 4 % ) 2 B ) 9 #

    1 # ( % % ) % " # T " # % 4 % ) " ( % % ) % " # F $ ) ( X %h $ ) ( "& # %h # $

    $ ) %@ " # "! " ' 9@ % ) $ 5r ) ( % ) X %@ # 8! $ ) ( ) % 9@ ` % (3 B ) 9I # %

    # $ Q $ " (Q 8 5 $ % ( "Q # % # $ 5 % b $ " ( Q # % " % $ #T $ ) ( "Q # % # $

    9@ ` % ( # C # % # # 9 Bp # % h # $ X %h " % 10 # 8& $ ) ( ) % 9@ ` % (

    B ) 9 # % # $ 3 $ " (3 8 5 $ % ( "Q # % # $ 5 % b # @ # % ) 4 # B2 # % $ ) (

    $ 5 ) % $ ( 67 # % ) % bT $ " ( # % " % $ #C $ ) ( " # %& # $ 9@ ` % ( # 7 # %

    # # 9 B # %C # $ X F 8 ) % 8 5 $ " 4 & # %C # 83 $ ) ( # & # %

    ) 4 # Bd # % F $ ) ( F $ 5 ) % $ ( 6 "@ # %F # $ 5 %F $ " ( 9@ ` " 4F # % " % $ # $ ) (

    "h # %2 # $ # F # % # # 9 B # % 2 # $ p ) % 8 % $ # % (C ' " # 5 $ 5 5 $ ) (

    $ ) % "@ # %F # $ 5 % X H # r B ' " ( # $ # b ) % $ ( " 4 5 % B # # h ) 4 # b # % T 5 $ % 5

    "3 # % $ ) ( $ ) %C " 1 "3 $ % " ( " 4 Q ) ( % )

    (

    (

    #

    ( ) ) ) (

    (

    H "7 # %& ) 4 " $ 5r # $ BT $ ) ( br 1 9& $ " 6Q $ ) ( 12 % ) % $ ` % @ # %

    $ ) ( & 5 $ % 5 % (

    (

    # 4 ) 9 $ ' h ) % % " 1 # & ' " # ) % % " X T H " # $ 5 5 6 b # % ) %C $ ) %

    9@ ) % # $ " ' F ' " #T ) % % " 1 7 $ ) % ( C H "7 $ " 6 '

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    27/148

    (

    ) % % " $ T " $ T # % ) %C $ ) % # ' " #T ) % % " 1 Q $ ) % ( p # % %

    ) % % " ! # ' ) " %! $ ' # 9& $ # $ 5 5 6 X &p ) ` % # $ #F # % 1 5 %h ) % % "! $ "

    " % ` % ) %h # # $ 5 5 6 %

    % H " $ " a@ % b $ #F ` $ ) ' T # 9 % T ( ' ) " 4 & # % ( $ 6 b # % F 4 ` % F # %

    % ) % # $ ) 6 $3 5 % # # % ) # 7 # 6 8 % 2 % $ # 9 %C 8 ' # # " 4 7 # %& 5 % # # % ) " # 8

    Bh # %Q 8 5 % " # %Q % ) % # $ ) 6 e & " R $ & % " # % ) % @ # 9 % p # %

    % ) % # $ ) 60 # $ % C # %Q # 8 5 % # # % ) %0 # %Q 8 5 %& $ " ( # 6 8 % @ # X % ) %

    $ ) %F " " % T 5 % # # % ) # %F # 6 8 % (& ( ' ) " 4 # % ( $ 6 b $ " ( @ # % ( % 5 ` % )

    # % 9 "7 # %@ ) ( % )

    (

    (

    #

    (

    %

    (

    4

    (

    7

    (

    $

    (

    8

    (

    & 5 %C 5 % $ ` " 4 @ B )h 5 ' "

    # %! % ) % # $ ) 6A # % 5 5 $ 5 5 % $ 4 ' % # $ #Q 5 % # # % ) 8 $ 3 $ 5 ) % $ ( 6 % % "

    # 6 8 % ( 2 ' # $ 6 C " # " 4 Q % 5 % $ ' # # % 9@ ) " " 4 F # 6 8 " 4 %

    5 5 % $ 4 ' % 12 " ( % ) 1 B # %@ " " %C 5 % # # % ) ) % 9& $ " # %C # 6 8 % (

    $ B # % )r 5 ' " @ $ " ( " 1 $ #r ) ( % )r # % 6 1 5 5 % # 6 8 % ( # $ % ( ' 8 " # %

    $ ` %F " B ) 9& $ # "d b 1 9& $ " 6C ' 2 4 5 Q $ ) C & # 4 1 C " ( Q 5 Q 8 $ ) %

    8 5 % ( U $ #2 # % ) %h $ ) % " 5 % # # % ) 5 % B # # %F # 6 8 % ( 2 " % Bd # %

    8 5 # % X W

    4 % # @ % $ 8 # ` %T " # % 4 % ) X &p ) ` % # $ #

    9

    C

    &

    @

    '

    &

    @

    U @

    W

    '

    5

    &

    @

    @

    ')

    7 % # $ " ( @ % 8 # ` % " # % 4 % ) Xr E ' 8 8 % # $ # $F 4 ` % "C ) % # $ " 4 5 %

    $ " %Q # 5 % ( 6 $7 9C " $ # " B ) q " # $ 5 ' # ) 8 Q $ " (

    ` % ) # $ 5 @ ' F # ) 8 X &p ) ` % # $ # #2 $ " %h # 5 % (@ ' " 4 C " 5 6C " % B

    # % # 1 # 6 8 % X

    $

    0

    ` % " $ " " # $ 5 % c ' % " %

    5

    1

    (

    5

    3

    ( ) ) ) (

    5

    9 Bh ) % $ 5F " ' 9 % ) b 1 %

    8 % ) B ) 9 $& % ) % BT # % 8 X G #h % $ ! # % 8 1 %@ ) % 8 5 $ %@ # %C ' ) ) % " #

    % c ' % " %

    P

    1

    (

    P

    3

    ( ) ) ) (

    P

    9 1 #

    P

    1

    5

    (

    P

    3

    5

    (2 ) ) ) (

    P

    9

    5

    B )

    9 %

    5

    )

    4 )2 % $ Q # % 8d b # % h ` $ 5 ' % B

    5

    $ " % ( % % ) % " # X

    U $ W &p ) ` % # $ # # $ 5 1 $ 6 8 5 % # & # $ "Q # %C " ' 5 5r % c ' % " %

    " # " 4 Br $ 5 5

    U W 1T % # % ) 9@ " % 1 # h 8 ) B # % 9@ " 9 ' 9 " ' 9 % ) B # % 8 r ) % c ' ) % (

    ) % 4 $ ) ( 5 % Br " # $ 5 % c ' % " % b # C # $ "@ # %F " ' 5 5 % c ' % " % X

    8 %h % c ' % " %

    5

    9 9

    1 $ # 2 % T # %F " ( # "

    5

    1

    5

    (

    5

    3

    5

    (

    5

    9

    5

    @

    5

    9 0 1

    @ U @

    W

    5

    9 0

    3

    U

    W

    9

    @

    (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    28/148

    (

    @ # 1T % # % ) 9@ " %T # % % $ 8 5 #r B ) 9 B

    4

    9

    5

    5

    9

    &

    @

    '

    5

    9

    0 1

    #

    &

    @

    '

    5

    9

    0

    3

    U @

    W

    &

    @

    @

    '

    5

    3

    @

    &

    @

    @

    '

    5

    1

    )

    4 ) $ % #

    #

    b 5 % #

    #

    $ " ( U

    #

    W ( % " # %h # %h " ' 9 % ) Br # % F % 5 % 9@ % " #

    "

    #

    $ " (& # %F ' 9 Bp % 5 % 9@ % " # "

    #

    b ) % 8 % # ` % 5 6 XF U H B

    #

    5

    (

    # % "

    # 5

    U

    #

    W

    5

    W % # ) % $h % # B 8 # ` %T " # % 4 % ) T ' # $ #

    U $ WC # % ) %C $ ) % # 1 " ' 9 % )

    P

    (

    6

    ) 1 # & 4 ( U

    P

    (

    W

    5

    U WC B )T $ " 6 # 1 C " ' 9 % )

    P

    (

    6

    )

    P

    6

    )

    % # %& # %Q % # B $ 5 5 8 # ` %& " # % 4 % ) C " # " ) &p ) ` % # $ #

    U W

    3

    H " $Q B ) % #& % $ B ! $ " 9& $ 5 h 5 ` % " # 1 " $ ` % bT $ " ( # % ) %

    % $ $ # 5 6 " %3 % 8 $ ) $ # % 8 $ # % # 12 % % "g $ " 6 # 1 BC # % %7 $ ` % X

    #2 % B ) %F # %F % 5 % # " @ B ) 4 ) % #

    0

    ' 9 8 F " 4 Bp # % 4 ) % # b 9 % B

    # % $ " 9& $ 5 9& $ % $ "& % 5 % # " & $ 9 8 $ 4 " "r $ Q $ 9 8 $ 4 " R 9@ $ " 4

    $ " 9 $ 5 U 4 ) % #

    0

    ' 9 8 $ " ( ( $ # % W ` # r % $ Bd # % F # % )

    $ ` % % $ $ # 5 6& " % b ' % F " 5 6& # % 8 $ # T B ) 9@ ` " 4 F B ) 9f $ ` % #

    $ ` % b p " % ` % ) # ' ) " B ) 9 " % 8 $ # # 3 $ " # % ) % # 12 % % " # %@ $ ` % b

    $ " (C ) % # ' ) " # h # 1 "C $ ` % $ #r # % T % " ( Bd # % T $ 9 8 $ 4 " d X H # 2 $ 5

    " 1 " # $ # " 8 $ # % # 12 % % " # 1 $ ` % 2 ' % ( 6 9@ ) % # $ "@ " %

    )

    4d " ( & # % 9 $ $ 9 ' 9 8 5 %F " ' 9 % ) B p e X

    4 ) $ % c ' % " %

    #

    1

    ( ) ) ) (

    #

    9 Br ' % # B

    ( ) ) ) (

    @ h $ " ( $ 8 % ) 9 ' R

    # $ # " B )

    5

    ( ) ) ) (

    @ 1 % ( % 2 " %h # %h ( $ 4 " $ 5 % #

    U

    #

    1

    (

    #

    3

    ( ) ) ) (

    #

    9 W

    5

    6

    )

    6

    #

    )

    & $ # r # % 9 $ $ 9 ' 9 8 5 % " ' 9 % )r B ( # " #r % # 1 C $ "

    ' ) $ ( $ 4 " $ 5 % # B ) $ " 4 5 %F % B

    #

    1

    ( ) ) ) (

    #

    9 (

    Gg ' % # B

    (

    (

    #

    ( ) ) ) (

    4 ( % h " #F " # $ "3 # ) % %C % 5 % 9@ % " #

    1 %7 8 ) ( ' # $ 8 % ) B % #3 c ' $ ) % X 1T % # % ) 9@ " %3 # % 9 $ $ 9 ' 9

    " ' 9 % ) Bp % 5 % 9@ % " # "

    # 4d " ( $ 5 5 2 " # %& % c ' % " % U

    P

    C

    (

    P

    1

    ( ) ) ) (

    P

    9 W ' # $ # B )C % ` % ) 6

    @

    P

    % c ' $ 5 & # %3 " ' 9 % ) B # 9 % $ 8 8 % $ ) "0 # %

    % c ' % " % X

    %1T % # % ) 9@ " % B # 8 5 % # 8 $ ) # # "C # %F % # B 8 # ` % " # % 4 % )

    " # & % # i $ " ( A ' # $ # ( % " #h " # $ "! $ " 6

    #R % 5 % 9@ % " #

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    29/148

    (

    $ ) # 9@ % # @ % c ' % " %3 $ " ( g ( % C " #C " # $ "! $ " 6 " 2 " # %& $ ) # R

    9@ % # T % c ' % " % X

    4 2 " ( % )& # %3 % # " B 4 R ( 4 # 8 # ` %Q " # % 4 % ) 1 %3 ( % 9 $ 5

    ) % 8 ) % % " # $ # " $ ) % 8 % ) 9C ' # $ # " B& # % ( 4 # # % 4

    1T % # % ) 9@ " % B # 8 5 % # 8 $ ) # # " "T " # h % #

    #

    $ " (

    &

    '

    # $ #T # % ' 9 Br # % h c ' $ ) % B2 # %h % 5 % 9@ % " # "

    #

    T % c ' $ 5 # C # %

    ) ) % 8 " ( " 4 @ ' 9V B )

    &

    7 % # @ % $ 8 # ` %r " # % 4 % ) X 4d " ( # % " ' 9 % )d B 8 5 6 " 9 @ $ 5 U

    P

    W

    1 # & % a@ % " # "

    (

    (

    (

    # ' # $ # U W

    5

    @

    $ % # @! $ " (

    % 8 # ` %h " # % 4 % ) h ' # $ #

    1

    3

    @

    3

    @ 4d " (

    # %@ 5 % $ # " ' 9 % ) B ) 1 # 8 5 % # Q 8 5 $ %@ % $ B

    8 $ 1 " " $ c ' $ ) % B $ " @ ' @3 % $ ) ( # $ # " @ 5 ' 9 " )

    ) 10 " # $ " $ 5 B

    $ ( $ % " # ' " ' 8 % (Q c ' $ ) % X

    8 H " $F % ) # ' ) " $ 9@ % " # b % $ C # % $ 9V 8 5 $ 6 r % $ @ # % )2 # % $ 9 % $ $ # 5 6

    " %3 $ " ( ) % % ` % # 8 " # C B ) $ 1 " 8 " # B ) $3 ( ) $ 1 $ " (

    8 " # C B ) $3 5 X G B # % )C # %Q # ' ) " $ 9@ % " # b # @ % ) ` % ( # $ #

    # % ) % $h # % $ 9 1 $ # & % $ ) " % (& # % 9@ #r # # $ 5 8 " # $ " (

    1 "@ # % 5 5 8 4p 4 $ 9@ % X 4d " ( @ # % 9& $ 5 5 % #r " ' 9 % ) Bp # % $ 9 "C # %

    # ' ) " $ 9@ % " #r B ) 1 & # 8 5 % X

    % #

    5

    1

    ( ) ) ) (

    5

    9 %@ # % 2 ) #C ) 1 B $& # ) $ " 4 ' 5 $ ) $ ) ) $ 6 1 #

    5 6

    (

    )

    4d 5 5 "Q # %C % " (! ) 1

    1

    ( ) ) ) (

    9 0 1F $ ) ( " 4 # & # %C ) ' 5 %

    5

    B

    5

    5

    5

    E

    1

    5

    B

    5

    5

    5

    E

    1

    )

    4d 5 5 "Q # %C ) % 9& $ " " 4

    ) 1 3 9@ 5 $ ) 5 6 X 1T % # % ) 9@ " % 1 # A 8 ) B@ # % 9 $ $ 9 ' 9 8 5 %

    " ' 9 % ) B "& # %F ) % ' 5 # " 4@ $ ) ) $ 6 X

    # % ) %7 $ ) % 3 # % " # % B 2 4 ) 2 C 1 ! $ ) 5 " % " # ) 5F $ 5 5 B

    # % 4 # % # 12 % % "3 # %F # % X "r $ 8 $ ) Br # % " " % # % ( 6

    % $ $ # 5 6C " % 4 #T U " # @ ( ) % # " W X &p ) ` % # $ #r " %F $ ) 5 " % $ "

    8 ) ` ( % # 1 @ # ) $ ` % 5 " 4@ 6 5 % 1 # Q % $ 3 6 5 % 8 $ " 4@ # ) ' 4 $ "

    ( (7 " ' 9 % ) B # % C $ " ( 1 # " & 9 9 "& # % $ ) % ( 6Q # %

    # 1 C 6 5 % X

    # 2 E ' 8 8 % # $ # % $ 8 # ` %F " # % 4 % ) " # 4 ) % $ # % ) # $ " @ U @

    3

    @

    # W @ 2 5 ) % (@ " % B # 1 5 ) F U ) % ( )r 5 ' % W Xr E 1 # $ #

    # % ) % 9C ' # % $ 9@ " ) 9& $ # @ R # % ) 9A % c ' % " %

    5

    1

    5

    3

    5

    9& $ # B 6 " 4

    5

    3

    5

    1

    5

    5

    3

    5

    9

    5

    9 0 1

    )

    # % % #

    (

    ( ) ) ) (

    #@ 8 $ ) # # " % (Q " # C # ) % % % #

    # &

    b $ " (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    30/148

    (

    1 # Q % $ 3 % #h " # $ " " 4 @3 " ' 9 % ) X 1T % # % ) 9@ " % 1 # Q 8 ) B B #

    F $ 5 1 $ 6 8 5 % # & %C " % " ' 9 % )T ' # B2 % $ 3 % # # $ #

    " % Bp # % %h " ' 9 % ) # %F ' 9 Bp # % h # % ) # 1

    # # GT ' 9 % # $ # % $ BT # % # P S & 8 % ) $ % $ $ # 5 67 " %C B $ ` ) # %

    % h ` $ ) $ " #F $ " ( % $ $ # 5 6Q " %h B $ ` ) # %h 5 $ $ 5 r " % c ' $ 5 # 6 X "r $

    P S & 8 % )C 5 # h # " B ) 9& $ # " " $Q ' ) ` % 6 X G 9@ " 4@ # %@ ' ) ` % 6

    ) % 8 " % b # % ) %3 $ ) % % $ $ # 5 6 ( % % ) % " # B $ ` ) # %@ % @ ` $ ) $ " #

    $ " ( % $ $ # 5 6 ( % % ) % " # p B $ ` ) # %p " % c ' $ 5 # % X % # @ %2 # %2 " ' 9 % )

    B P S & 8 % ) ' # $ #p # % 2 " ' 9 % )d B P S & 8 % ) 1 F 5 # % (

    B $ ` ) # %h " % c ' $ 5 # 6 F 4 ) % $ # % ) # $ "Q # %C " ' 9 % ) B P S & 8 % ) 1

    5 # % ( r B $ ` ) # %T % F ` $ ) $ " # X &p ) ` % # $ # @

    # % E # $ ) # " 4 3 B ) 9 $3 # ) 8 5 % U

    5

    ( (

    W Bh " " " % 4 $ # ` %& " # % 4 % ) b $ 67 ( F 5

    " # Bp " 4 # 1 Bp # % 93 b $ 6

    P

    $ " (

    b $ " (@ ) % 8 5 $ " 4 C " %

    Bp # % 9 6C % # % )

    P

    )

    P

    4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b " %T $ " 4 h B ) 9

    U

    #

    (

    4

    (

    $W # U

    #

    (

    4

    (

    %W "h " % 9@ ` % X &p ) ` % # $ #d # % ) % % $ # $T " # $ " #

    ! ' # $ # 1 % " % ` % )

    5

    ( ( (

    @0 $ ) % 8 # ` %3 " # % 4 % ) 1 #

    5

    ( (

    9

    b # % ) % $T % c ' % " % B $ # 9@ # @ 9@ ` % p # ) $ " B ) 9@ " 4

    U

    5

    (

    (

    Wp " # U

    5

    (

    (

    W 1 #

    5

    5

    # 4Gg ) % # $ " 4 ' 5 $ ) $ ) ) $ 6 B " ' 9 % ) h 4 ` % " H "7 % $ 7 ) 1g $ " (3 % $

    5 ' 9 "d b # % ' 9g B $ 5 5 # % " ' 9 % ) $ " " # % 4 % ) X &p ) ` % # $ #r % $

    " " " # % 4 ) $ 5 " ' 9 % )

    P

    " # %3 $ ) ) $ 6! $ " % $ " 4 % ( " # 3 % # % )

    P

    )

    P

    # $ # # %Q ) 12 R ' 9 $ " ( # %& 5 ' 9 @ " R ' 9 h ) % 9& $ "

    ' " $ " 4 % ( U T # % # $ #

    P

    # %@ 5 % $ # " # % 4 % ) 4 ) % $ # % ) # $ " )

    % c ' $ 5 #

    P

    1 5 %

    P

    # %F 4 ) % $ # % #T " # % 4 % )T 5 % # $ " ) % c ' $ 5 #

    P

    W

    # 7 G 2 " # % % # Br U ( # " # W 8 # ` %2 " # % 4 % ) p $ 5 5 % ( $ % $ 8 5 4 B % $

    B # % 2 " # % 4 % ) p ( ` ( % p # % 2 ' 9 B # % 9 A $ 5 5 X &p ) ` % # $ #p % ` % ) 6 2 " # %

    % # B 8 # ` %T " # % 4 % ) $h ' % # Bp 9 % 1F E R % # X

    # $ 12 % 5 ` % 9C ' $ " 1

    (

    3

    ( (

    1

    3

    4 $ # % ) $ # $ 12 % % R 5 " 4 $ 9 R

    % ) 9C ' T B % # ` $ 5 X "r $ ( $ 6 b # % ) % " %h % ( ' 5 % (3 " % ) #h $ " (

    9 % BT # % 9C ' $ " F 8 5 $ 6 1 5 %@ # %@ # % ) C 5 # % " $ 9 % 9 % )

    BF # %3 $ ' ( % " % X 4 )

    5

    (

    ( ) ) ) (

    (

    5 % # %Q # %& " ' 9 % ) B

    " % ) # " 1 9C ' $ " 8 5 $ 6 b $ " ( 5 % #

    5

    1

    3

    1

    3

    )

    1T % # % ) 9@ " %r # % 9@ " 9 ' 9 ` $ 5 ' % B d ' # $ # # 8 5 %r B ) p % $

    9C ' $ " # C 5 # % " $ $ 9 % 9 % ) Br # % $ ' ( % " % b # @ $ 5 5 # %h # % )

    9C ' $ " X

    # 8 G " ' @Q $ ) ) $ 6 2 5 5 % ( 1 # @ # %F " ' 9 % )

    (

    ( ) ) )

    @ b % $ @ ' % (

    % $ $ # 5 6 g # 9@ % Xd E 1 # $ #r " %2 $ "@ $ 5 1 $ 6 8 % ) 9C ' # % # % " ' 9 % )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    31/148

    (

    1 # "& 5 ' 9 " # @ $ ) ) $ " 4 % # $ # % $ 3 ) 10 " # $ " % ` % ) 6Q " ' 9 % )

    (

    ( ) ) ) (

    @ % $ $ # 5 6@ " % X

    # % #r % #

    5

    (

    ( ) ) ) (

    @ 1 % ) % @ # G ' % # ) B p $ ( #

    % 8 ' ) 4 6 $ "@ $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #r B # % T % 5 % 9@ % " # B B $ " % 5 % 9@ % " #r " #

    " )3 ' ) "C # %F $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #r 9 % 1 % ) % % # 12 % % " # 1 h % 5 % 9@ % " #

    B ) 4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b # 4 % h 8 5 #

    (

    (

    # ' # " #

    #

    (

    %

    (

    4 &p ) ` %

    # $ #r B ) $ " 6 @

    h ' % # B b % $ & " # $ " " 4 $ #2 5 % $ # h $ " ( $ #

    9@ # @

    T % 5 % 9@ % " # b # % ) % $ "@ $ ) ) $ " 4 % 9@ % " # Bd # % F # %T % 5 % 9@ % " #

    B 1 & 8 5 # T $ 5 5 Bp # % 9

    % GV 8 5 % B @ 8 % 5 % F 8 5 $ % ( " $@ ` % ) # $ 5r 5 ' 9 " F " 2 4 R

    ' ) $ # " 9@ ( 2 % (! $ ) ( " 4 # 7 # %@ B 5 5 1 " 4 @ ) ' 5 % X G 8 % 5 %

    $ " % 9@ ` % ( B # $ #h # %C # 8 B $& 5 ' 9 " 1 7 " # $ " $ #

    5 % $ # # 1 9@ ) % 8 % 5 % # $ "C # %T 5 ' 9 " 9 9@ % ( $ # % 5 6 # h # 2 ) 4 # X

    U H BT # % ) %Q $ ) % " 8 % 5 % # Q # %@ ) 4 # b # " BT # $ $& 5 ' 9 "

    1 # 8 % 5 % X W G #@ % $ # $ 4 % bT % $ 8 % 5 %& B ) 9 $ 9@ " 4

    # % # $ #h $ " % 9@ ` % ( U BT # % ) %Q $ ) %& $ " 6 Wh $ " (! 8 5 $ % # $ #h # %

    # 8 B2 # % 5 ' 9 " # & # F ) 4 # X H B " 8 % 5 % h $ " % 9@ ` % (d b # %

    " 2 4 ' ) $ # " @ $ 5 5 % ( $ C 2 ) & ( C " Q 2 4 ( C 4 )C % $ @ 2 1

    # $ # b " 9& $ # # % ) 1 $ #h % C $ ) % 9& $ ( % $ # % $ 7 # $ 4 % br # % 2 " $ 5

    " 2 4 ' ) $ # " Q # $ " % ( T ' " c ' % X 1T % ) % # $ #T " 2 4 ' ) $ # " "

    # % ) 9 B @

    % % #

    &

    9 %@ # %@ % # BF $ 5 5r " $ ) 63 # ) " 4 BT 5 % " 4 # @

    0

    ` % " # 1

    # ) " 4 U

    5

    W

    9

    1

    $ " ( U

    W

    9

    1

    ( % 2 " %2 # % 2 ( # $ " % % # 12 % % "C # %2 # ) " 4

    $

    U U

    5

    W

    (

    U

    W W

    5

    9

    1

    5

    )

    % # 9 % $0 ' % # B

    &

    9 % % # 9 7 $ 5 5 % ( $ 5 Q 5 & 4

    5 Q Q ( Q ! & ( Q Q 5 & 4 C " & ( 5 @ @ ( ! ) 5 C " 4 # @ 2 C 4 ( ) 5 Q 2 C & 5 Bp B )

    % $ # ) " 4 U

    W "

    &

    9 # % ) % $Q ' " c ' %& # ) " 4 U

    W " 9 1 #

    U U

    W

    (

    U

    W W &p ) ` % # $ #T # % ) % " & " Br 5 % " 4 #

    C $ " (

    # 5 % ) $ " %

    % 1T % # % ) 9@ " % B # 8 5 % # $ ) ) $ " 4 %T # % " ' 9 % )

    (

    (

    (

    ( ) ) ) (

    @

    (

    @C ' # $ #p # % ) %T $ ) % T " ' 9 % ) % # 12 % % " # 1 @ 1 % "

    @

    5

    @

    5

    p $ " ( @

    5

    U 4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b B ) @

    5

    %

    % # % # ' $ "& $ ) ) $ " 4 % 9@ % " # X W

    % # % #

    (

    (

    @ %h " # % 4 % ) T ' # $ # @

    1T % # % ) 9@ " %

    # % 9 $ $ 9 ' 90 q % B $F ' % # ) Bp # % T % #

    (

    ( ) ) ) (

    F ' # $ #

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    32/148

    (

    " @Q ( # " # % 5 % 9@ % " # B ) $ ( ( ' 8 #

    % % 2 G " " ( % ) % $ " 4 % c ' % " % C

    (

    1

    ( ) ) )

    B " " " % 4 $ # ` %& " # % 4 % )

    $ ( # % 8 5 Q 2 4 F 5 B

    E

    B )& $ 5 5F " " " % 4 $ # ` %

    " # % 4 % )

    (

    X E ' 8 8 %

    9 $ " (

    9 0 $ ) % # 1 A ' 8 % ) $ ( ( # ` %

    % c ' % " % bp $ " (& 5 % #

    9 %h # % " " ( % ) % $ " 4 @ % c ' % " % 1 # Q # %

    8 ) 8 % ) # 6 # $ #T % $ 3 " # % 4 % )h $ 8 8 % $ ) "

    9 $ 9& $ " 6@ # 9 % $ "

    9 h $ " (

    9 h 9C " % ( p E 1 # $ #

    9 $ 5 C ' 8 % ) $ ( ( # ` % X

    % 4 %F " ' 9 % ) 2 B ) 9 # @

    3

    @ $ ) %F ) $ " ( 9 5 6C $ ) ) $ " 4 % ( "& # %

    % 5 5 d B $ " @ ' @h ' " #d c ' $ ) %2 4 ) ( 4 )p $ " 6 8 $ ) B " ' 9 % ) d # ' $ # % (

    "@ # %h $ 9 %T ) 1 ) "@ # %h $ 9 %T 5 ' 9 "d b # % F ) $ # Br # % F 4 ) % $ # % )

    " ' 9 % ) # 3 # % 9& $ 5 5 % )h " % C $ 5 ' 5 $ # % ( % & # 2 Q 2 & 4 5 Q 8 4 & B

    # % $ ) ) $ " 4 % 9@ % " # Q # % 9& $ 5 5 % # B@ # % % @

    3

    U @

    W@ B ) $ # " X

    1T % # % ) 9@ " %T # %h 5 $ ) 4 % # 8 5 %F ` $ 5 ' % Bp # % $ ) $ # % ) # X

    % 7 4 ) $F % # )2 b 5 % # ) ( % " # %T # %T " ' 9 % )r B % 5 % 9@ % " # " ) % #

    #

    %

    $C % # 1 #

    # 5

    @ d $ " (Q 5 % #

    #

    1

    (

    #

    3

    ( ) ) ) (

    #

    9 % ' % # B

    #

    1 #

    #

    @ p E ' 8 8 % # $ #p B )r % $ R % 5 % 9@ % " #r ' % #

    #

    B

    #

    b # % ) % $h ' " c ' % d ' # $ #

    # ( #

    &p ) ` % # $ #

    # 2 #

    5

    B ) $ 5 5 @

    % $ E ' 8 8 % # $ # 1

    ( ) ) ) (

    9C $ ) % ) % $ 5 " ' 9 % ) X &p ) ` % # $ #r # % ) % % $ #

    $h % # )

    (

    (

    ( ) ) ) (

    @ F ' # $ #

    )

    2

    (

    (

    (

    B ) @

    (

    $ " (

    7

    9

    1

    )

    % 8 % # @

    (

    (

    % 8 # ` %p " # % 4 % ) 1 # @

    % # ) % $2 " " % 9@ 8 # 6

    % # B

    R % 5 % 9@ % " #& ' % # B

    ( ) ) ) (

    @ 1 # # %7 8 ) 8 % ) # 6 # $ #

    % ` % ) 6 U

    W R % 5 % 9 @ % " #@ ' % # B

    ( ) ) ) (

    @ Q " # $ " % $ $ # 5 6

    % 5 % 9 @ % " # B ) &p ) ` % # $ # ) 9C ' #r " # $ " % ` % ) 6

    R % 5 % 9@ % " #r ' % #

    B

    ( ) ) ) (

    @

    % G % # r $ 5 5 % ( 5 F 5 CF B # $ $ "C % ` % "@ " ' 9 % ) Bd % 5 % 9@ % " # X % # @

    % $ 8 # ` %T % ` % "Q " # % 4 % ) b $ " (& 5 % # )

    1

    (

    )

    3

    ( ) ) ) (

    ) 9 %h % ` % "& ' % #

    B # %3 % # )

    5

    (

    ( ) ) ) (

    @ &p ) ` % # $ #& # % ) % % $ # C $ " (

    @p b ' # $ # )

    2

    )

    % ` % "

    4 % #

    #

    1

    (

    #

    3

    ( ) ) ) (

    &

    1

    (

    &

    3

    ( ) ) )

    %F % # T ' # $ #

    #

    1

    5

    &

    1

    5

    #

    9

    E

    1

    5 P

    P

    6

    &

    9

    (

    &

    9

    E

    1

    5 #

    9

    4 &

    9

    #

    9

    2 &

    9

    (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    33/148

    (

    B )h $ 5 5 8 # ` %h " # % 4 % ) @ 1T % # % ) 9@ " %C $ 5 5d # % 8 # ` %h " # % 4 % ) @

    ' # $ #

    &

    9

    5

    4 H ) $ " E ' 8 8 % # $ # )

    5

    (

    ( ) ) ) (

    @ C $ " ( # $ #

    #

    1

    (

    #

    3

    ( ) ) )

    #

    $ ) % ' % # B ) ' # $ #T B )T % ` % ) 6 1

    (

    3

    (

    (

    (

    1 %

    $ ` %

    #

    4 #

    4 #

    4 #

    @

    )

    &p ) ` % # $ #

    9

    0

    3

    )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    34/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    35/148

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    36/148

    G E P " 8 P& ) X $ " ( P& ) X % # $ 1 $ " # # " $ 9 % # % ) $ 6 % # $

    # $ #@ # 9@ " 4 ) $ 9 U 2 ) # b 9@ ( ( 5 % b $ " ( 5 $ #& " # $ 5 W 1 5 5 %

    "7 $ 5 8 $ % # $ 5 p ) ( % ) 1 # " & 5 % # # % ) ) % 8 % $ # % ( 1 9& $ " 6& '

    9@ " 4 ) $ 9 r $ ) % 8 5 % (

    % 8 5 % 9@ " 4 ) $ 9 r $ ) %

    # &

    (

    #

    ( ) ) ) (

    (

    (

    )

    G " 6 # 12 R % 5 % 9@ % " # ' % # BF # % 2 ) #

    43 5 % # # % ) BF # %Q $ 5 8 $ % # b

    1 % "7 ' % ( "! $ 5 8 $ % # $ 5 r ) ( % ) b 1 5 5p 8 ) ( ' % $& ' # $ 5 % 9@ " R

    4 ) $ 9 1 % "3 9C " % ( 1 #

    4 ) % $ $ 9@ 8 5 %

    "

    (#

    5

    #

    (

    "

    1 5 5

    8 ) ( ' %

    #

    "

    4 ' ) # % ) 9@ ) % b # Q % ` % ) 67 ' # $ 5 % 9@ " 4 ) $ 9f # % ) %

    ) ) % 8 " ( % $ $ # 5 6C " % # 12 R % 5 % 9@ % " #r ' % # B

    #

    (

    &

    (

    ( ) ) ) (

    ' b # % $ " 1 % ) # % " ' 9 % ) B # 12 R % 5 % 9@ % " #2 ' % # # $ # $ "

    %T B ) 9 % ( B ) 9 $ % # B

    4h 5 % # # % ) b $ " (@ # % ) % $ ) % $

    3

    "

    3 &

    5

    # h '

    ' % # X

    ' ( ) %@ 5 $ # " # $ 5 2 $ % ( $ #

    H BT # % 2 ) #

    " # $ 5

    #

    # %h % " ( 3 " # $ 5 9C ' # % " % B

    &

    (

    (

    ( ) ) ) (

    # % ) % $ ) % % % B ) # %h % " ( H Br # % 2 ) #T " # $ 5

    &

    b # % ) %

    $ ) %

    # % B )2 # % h % " ( Q " # $ 5

    (

    (1

    6 ( ) ) ) (

    2 " # " ' " 4

    "@ # 1 $ 6 1 %F % % # $ # # %h " ' 9 % ) B 9@ " 4 ) $ 9

    %

    #

    ) ) )

    )

    D %F # %F B ) 9C ' 5 $

    ) ) )

    @

    5

    @ U @ W

    # # $ "& # %h $ " 1 % )

    3

    3

    "

    3

    5

    #

    G E P "

    %@ # ' ( % " # 5 % ) $ # ST 5 6 9 @ 8 T 4 ! $ ) %@ " ' 9 R

    % ) % (& " % ' # ` % 5 6 % 4 " " " 4 1 # @ 5 % )2 " ' 9 % ) %T 8 5 $ #

    ( 4 # 2 ' % ( # C " ' 9 % )2 # % F 5 % ) T # # 1 % " # F $ 8 % % X ' b #

    # # 1 @ % " # # @ 5 $ % 5p 5 % )F " ' 9 % ) @ $ " (Q B ' )T % " # # @ 5 $ % 5

    5 % ) 2 " ' 9 % ) H B #r #

    !

    # $ %# 5 $ % 5d $ 5 5 # % F 5 % ) b 1

    9& $ " 6 5 % ) T $ ) %F # % ) % $ #2 # % h 5 (

    %3 5 % )& 5 $ % 5 " 47 ) % c ' ) % # $

    )

    %

    )

    5

    7 8 $

    ( 4 # X % ) # ) ' 4

    @ ) % c ' ) %

    @ ( 4 # b 5 % ) @ # ) ' 4

    T ) % c ' ) %

    5

    8T ( 4 # b $ " (C 5 % ) ' T # ) ' 4

    G T ) % c ' ) %

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    37/148

    #

    5

    $ F ( 4 # X T % " %h # %T ) % 9& $ " " 4 F 5 % ) 2 ) % c ' ) %" 7 8 $

    $

    8

    5

    %

    82 ( 4 # b T # % ) % 9C ' # %

    %

    8

    %

    5

    9@ ) %

    5 % ) b % $ C ' " 4 T B ' )r ( 4 # X H "@ $ 5 5 b # % ) %F $ ) %

    5

    # ' ( % " #T 5 % ) X

    # % ` # $ PQ $ # % 9& $ # $ 9

    $ ) $ % # @ % $ "@ ( (& " # % 4 % ) 4 ) % $ # % )

    # $ " &p ) ` % # $ # # %h % c ' % " %

    &

    @

    '

    (

    &

    @

    '

    ( ) ) ) (

    &

    @

    9 0 1

    3

    '

    " # $ " $ "& ( (& " ' 9 % ) Bp ( ( & " ' 9 % ) X

    % ' 9 B # % " ' 9 % ) " # % 4 ` % " % c ' % " %T % c ' $ 5

    &

    @

    '

    &

    @

    '

    &

    @

    @

    '

    5

    U

    9

    W

    5

    9 0 1

    (

    1 $ "& ( (@ " ' 9 % )T $ " (@ # %h " 5 ' " @ B 5 5 1

    %G P # 1 9& $ " 6 8 # ` %@ " # % 4 % ) C " # % $ % % ( " 4

    $ ) % 9C ' 5 # 8 5 % B # ) %C ' # " # 4 (

    4 ) " # % 4 % ) p " # % $ % % ( " 4 b # % ) % $ ) %

    #

    5

    7 7 $9C ' 5 # 8 5 % B

    #C $ " (

    %

    5

    4 9C ' 5 # 8 5 % B

    % %F # # $ 5 b

    7 $ b ' " # T # %

    5

    7 7 9C ' 5 # 8 5 % B # 1 % b @ # % ) %

    $ ) %

    7 $

    7 7

    5

    9C ' 5 # 8 5 % B

    # )

    %4 ) 9g # % % 1 % % $ 5 ' ( %

    # %

    4

    5

    # # 9C ' 5 # 8 5 % B 4Q $ " (7 # %

    5

    9C ' 5 # 8 5 % B " %3 # % %7 $ ) % 9C ' 5 # 8 5 % B 4 12 % ` % ) bT #

    % $ 5 ' ( % C # %

    7

    5

    # #9C ' 5 # 8 5 % B

    7 # 1 % b 1 % 9C ' #

    ) % R " 5 ' ( % # % % X % " ' 9 % ) B " # % 4 % ) r $ # B 6 " 4T # %2 " ( # "

    # #

    # #

    5

    8

    4 G E P " 8 # % #

    P

    5

    )

    # % 4 7 $ 8

    ) ) )

    8

    (

    1 % ) %@ # % ( 4 # h $ ) % # $ " % ( 6 1 ) # " 4@ # %C " # % 4 % ) # ) ' 4

    "3 ) ( % ) X 4d " ( 3 # % 8 # 9 @ ( 4 # # Q # %C ) 4 # B # %@ ( % 9 $ 5

    8 " # X

    $ #3 # % 2 ) #

    8 #! ( 4 # b $ " ( 5 % #

    ( % " # %

    # %

    8 # 9 @C ( 4 # X & % 9 $ 6& ) % $ 7 # h # ) " 4 BT ( 4 # F " # Q # ) % %

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    38/148

    % 4 9 @ % " #

    )

    # % 4 7 $ 8

    ) ) )

    8

    ) ) )

    )

    # &

    % ) %T $ ) %

    T ( 4 # "

    #

    5

    8 "

    &

    b % " %

    8 #

    8

    5

    $ %

    " 1T ` ( " 4 $ % 6 # 1 %@ 4 % #6 4 8 1 # 7 ) % 9& $ " ( % ) '

    I " # B # % 2 ) #

    4 8 #R ( 4 #C " # % 4 % ) Xf E " %3 # % 2 ) #

    #R

    ( 4 # " # % 4 % ) Q U " # ) W # %6 4 8 C D # R ( 4 # " # % 4 % )

    4 8

    5

    7 $ '

    5

    $

    7 12 % " # 6 2 ` % 6 F $ " ( # 12 % " # 6 2 ` %h 4 ) 5 #F $ ) ' " ( $C # $ 5 % X &p ) ` %

    # $ # # r $ 5 1 $ 6 8 5 % # 2 " ( $ 8 % ) " # B 1 % " % 4 )

    $ ) %F 4 ) 5 X

    4 ) # % $ % Br " # ) $ ( # " 1 % $ ' 9 % # $ #

    # % ) % $T % $ # " 4 $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #r ' # $ #r # % ) % " h " % # # " 4 "

    % # 12 % % " # 1 F 4 ) 5 X & %2 $ 5 5 $ ) ( & T $ " 6h 4 ) ' 8C B 4 ) 5 U 6 Wp # # " 4

    " % $ # # T % $ C # % )r $ " (h $ " ( 1 % ( 6 6 U 4 ) 5 W B ) 9 # ( % X

    # 6@ ' )T $ ' 9 @ 8 # "d b % $ & 4 ) 5 5 $ $ # 9@ # h 4 ) 5 $ " (& # % ) %

    $ ) % $ #r 5 % $ # 6 " # % 4 $ 8 % # 12 % % " # 1 F " % ' # ` % 4 ) 5 5 X

    T % " % # % ) %T $ ) % $ #d 5 % $ #

    4

    5

    # 4 ) 5 5 r $ " ( $ #d 5 % $ # ' #

    6 2 # # " 4 " % # 12 % % "Q # % #F 4 $ 8 % # 12 % % "Q 4 ) 5 r 5 X # ' # 1 %

    " 5 6 $ ` % 4 6 b $ " # ) $ ( # " % ) % B ) %2 ' )p $ ' 9 @ 8 # " 1 $

    1 ) " 4& $ " ( # F $ 5 1 $ 6 8 5 % # 2 " (3 9@ % " %h # # " 4 % # 12 % % "

    # 1 4 ) 5 X

    ' ( ) & %h $ 4 $ "Q $ 8 8 ) $ Q " ( ) % # 5 6 6Q $ ' 9 @ " 4

    # $ #h # % ) % $& % $ # " 4 7 $ ) ) $ " 4 % 9@ % " #h ' # $ # " Q " % # # " 4

    " % # 12 % % " # 1 3 4 ) 5 X & %C B ' ) # % )& $ ' 9 % # $ # # % 6 $ ) %& # # " 4

    8 # "

    5

    1

    (

    5

    3

    ( ) ) ) (

    5

    " C " $@ ' " # % ) 5 1 %C ) ( % )C U

    5

    " C

    " % $ # #

    5

    1W 1 1 %Q 8 5 #@ # % 9 " # # 1 ! # $ 5 % 1 # % $ # " 4

    ) ( % ) U

    5

    1

    (

    5

    (

    5

    "

    ( ) ) ) (

    5

    WT $ " ( U

    5

    3

    (

    5

    (

    5

    #

    ( ) ) ) (

    5

    " C W b % $ "& ' " R

    # % ) 5 1 %F ) ( % ) X % " 6C ' ) $ ' 9 @ 8 # "d b " 4 ) 5 $ ) % " % $ # #

    % $ C # % ) " # %T ) % ' 5 # " 4 # 1 F % $ # " 4 $ ) ) $ " 4 % 9@ % " # X % "@ # % ) %

    $ ) % $ # 9@ # C 4 ) 5 T # # " 4& $ ) ' " (Q % $ 3 " % 1A # $ 5 %F B ) $C # # $ 5 B

    $ # 9@ # %C 4 ) 5 b $C " # ) $ ( # " % ) % B ) % ' )F $ ' 9 @ 8 # " 1 $

    1 ) " 4F $ " ( # r $ 5 1 $ 6 8 5 % # 2 " ( 9@ % " %2 # # " 4 " % # 12 % % "

    # 1 4 ) 5 X

    $G E P "

    8 8G #2 # % T % " ( B $h 8 ) B % " $ 5 1 5 " 4h # ' ) " $ 9@ % " # b

    # %h # 8

    4 1 5 % ) $ ` % $ 8 5 $ 6 R % 4d ) #

    B 4 1 5

    B % %h 5 % )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    39/148

    ) % % ` % E 4 C DT 8 ) q %F $ " ( # % 1 " " % ) 1 5 B # "@ $ " # % )r 4 $ 9@ % X %

    5 % )r B # p 4 $ 9 %r ) % % ` % 2 ) % % ` %

    F % C DT 8 ) q %T $ " ( # % 1 " " % ) 1 5

    B %r 5 % )d B # d 4 $ 9 %d ) % % ` % # 9 @r 8 ) q % $ " (F # % 1 " " % ) 1 5

    B % 1 " " % ) Bd # r 4 $ 9 %2 4 % #

    H Cd 8 ) q %F $ " (C # %T 5 % )r 4 % #

    9

    @

    8 ) q % X H "7 1 9& $ " 6& ) ( % ) h $ " 1 5 % ) B # ) ' 4 B 4@ ) % % ` %

    # %h 8 ) q % (

    % ) %C $ ) %

    %C 4 $ 9 % "& % ` % ) 6Q 8 5 $ 6 R %r b $ " (& % $ Q 4 $ 9 %

    $ 8 5 % ' # 9@ % X 4 )h % $ 7 % c ' % " % B %& ' # 9@ % b # %

    8 ) q % @ $ ) % $ 1 $ ) ( % ( " $ ( % % ) % " # 1 $ 6 X ' # % ) %Q $ ) %

    5

    7

    8 5 %h ) ( % ) X

    8 G P G0 8 ( % ) $ 2 " %T & $ " (C " %F % B )2 % $ Bd #

    % 4 #h 5 % 4 X H "7 1 9& $ " 6 ( % % ) % " # ) ( % ) $ "! # %C 8 ( % ) 8 ' # "

    # 2 $ " (@ % b $ ' 9 @ " 4 # $ # b "C % $ @ 5 % 4 b # % T 9C ' # %

    8 ' # " % B ) %h # %F % (

    ' 9 % )T # % 8 ( % ) e F 5 % 4 B ) 9 h # ) ' 4

    8b $ " (Q 5 % #

    5

    $ " (

    ( % " # %& # %Q $ " ( % # $ # 1 5 5 4 "! 5 % 4

    G

    8 5 %7 $ ) ) $ " 4 % 9@ % " # B # %Q Q $ " ( % $ 8 % ) 9C ' # $ # "

    BC # % $ # % % "A 6 9 5

    5

    1

    (

    1

    ( ) ) ) (

    5

    (

    " 1

    5

    8 ) % % ( %

    B )

    8 % ) %3 $ ) %

    78 % ) 9C ' # $ # " BF # % $ # % % "

    6 9 5 b2 $ " (

    5

    1@ 8 ) % % ( %

    1 " % $ $ # 5 6 $ 5 B Bh # % % b ) 7

    8 % ) 9C ' # $ # " X F E 9@ 5 $ ) 5 6 b

    5

    3

    8 ) % % ( %

    3

    " % $ $ # 5 6 $ 5 B B2 # % b

    ) 7

    3

    8 % ) 9C ' # $ # " X 2 " # " ' " 4 1 %& $ " " 5 ' ( % # $ #

    5

    8 ) % % ( %

    B )

    8 " % $ $ # 5 6

    7

    8 % ) 9C ' # $ # " X

    G E P " 8 7 G ( ) $ 1 % ) " $ ( $ ) % " % ( ! ) 9I " # $ " & ) % (

    b

    8 4 ) % % "A b

    7 5 ' %7 7 $ " (

    % 5 $ 0 X G

    6 ' " 4 # % )Q % 5 % # 3 & " % $ # $! # 9 %& B ) 9 # %7 ( ) $ 1 % )& ' #

    ' " $ 5 % # C % %h # %h 5 ) Bp # % h T ( ) $ 1 " & $ # # % 9& $ 5 5 % #

    " ' 9 % ) B # $ # 9C ' # %7 % 5 % # % ( # 4 ' $ ) $ " # % % # $ #& # %

    % 5 % # "Q " # $ " $ #2 5 % $ # 8 $ ) ( U G 8 $ ) Bp # 1

    BF # %& $ 9 %C 5 ) X 3 9 $ 6 %& ' " # % ( " 9@ ) % # $ "! " %

    8 $ ) X W

    4 ) $ " 63 % 5 % # " $ # 9@ #F " %@ B % $

    5 ) 1 5 5 %T 5 % B #r ' " 8 $ ) % (d b $ " ( C # $ 8 8 % " Bd $ " (C " 5 6 B $ "C ( (

    " ' 9 % ) B2 B # $ #T 5 ) T % 5 % # % ( ' %@ h ' a %

    $ # 9@ # % 1 5 5 %T ' " 8 $ ) % (d b 5 % $ ` " 4 $ #2 5 % $ # " 8 $ ) X 12 % ` % ) b

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    40/148

    # 1 5 5 ( r E " % # 2 " #2 # %F ' 9 Bd B ' ) 2 ( (@ " ' 9 % ) b $ # 9@ #

    #@ ' # B

    #1 5 5 %C ' " 8 $ ) % ( S "7 # %C # % ) $ " ( 1 5 5

    C ( 4 ( B2 # % @ " ' 9 % ) B ) % ( d 4 ) % % " p 5 ' % b p $ " (3 5 $ Q C $ ) %

    4 4 4 $b # % "7 B ' )h $ ) %@ ' " 8 $ ) % ( d 5 % $ ` " 4

    8 $ ) X '

    # h # %

    9@ " 9 ' 9

    ' ( ) &p ) % % (3 " ( ' # ` % 5 6 X H B 1 %F ) % c ' ) %h " 5 6C " %

    8 $ ) b # % " #r ' a@ % # h % 5 % #

    4F X P& ) % ` % ) b % 5 % # " 4

    %F

    ( % " # 4 ' $ ) $ " # % % $ 8 $ )F " % 1 % 9@ 4 # % 5 % # " % B % $

    5 ) X

    H B 1 % ) % c ' ) % # 1 8 $ ) bd # % " #F ' a@ % # & % 5 % # $@ $ " 6

    % # B

    $@ 9C ' #F " # $ " $ 8 $ ) B 1 % ) % 9@ ` % # 8 $ ) b d # % "

    # %T ) % 9& $ " " 4 4F 1 5 5 " # $ " $h % " ( 8 $ ) $ 2 1 " $ ` % X

    S "C # %T # % ) $ " (

    7T 9@ 4 #d " # $ "

    #F 4 ) % % " b 5 $ b ) % (

    $ " ( 5 ' % Q % " %@ " 5 6Q " % 8 $ ) X ' $& F # % 9& $ 5 5 % #

    " ' 9 % ) # 4 ' $ ) $ " # % % # 1 8 $ ) X

    E 9@ 5 $ ) ) % $ " " 4 1 # $ # 1 % 9C ' # ( ) $ 1 2 # 4 ' $ ) $ " # % %

    # 8 $ ) bd $ " ( "Q 4 % " % ) $ 5 b R #@ # 4 ' $ ) $ " # % % R 8 $ ) X

    B ) 9C ' 5 $ @ % $ 5 6 8 ) ` % ( 6 9& $ # % 9& $ # $ 5r " ( ' # " '

    #

    T $ ) %h " % % ( % ( # 4 ' $ ) $ " # % % 8 $ ) X

    G H P "

    0

    ` % " $& ) $ # " $ 5p " ' 9 % ) b 1 ) # % # $ $C B ) $ # " "

    5 12 % #d # % ) 9 r $ " (h $ 5 ' 5 $ # %2 # %2 8 ) ( ' # B # %2 ) % ' 5 # " 4F " ' 9@ % ) $ # )

    $ " (h ( % " 9 " $ # ) X 4 )d 1 9& $ " 6T ) $ # " $ 5 " ' 9 % ) % # 12 % % " T $ " (

    1 5 5 %F # %h ) % ' 5 # " 4C 8 ) ( ' # (

    4 ) $C B ) $ # " # % "Q 5 12 % #F # % ) 9@ b # F " ' 9@ % ) $ # )

    $ " (F ( % " 9 " $ # ) 9 C ' # %r ) % 5 $ # ` % 5 6T 8 ) 9@ % X ' p $ " 6T 8 ) 9 %d B $ # )

    # $ #F ' ) "3 # %C " ' 9@ % ) $ # )T $ " " #h ' ) "3 # %C ( % " 9 " $ # ) b

    $ " (0 ` % R ` % ) $ X % ) % $ ) %3 % 4 #& 8 ) 9 %& B $ # ) B " $ 9@ % 5 6

    (

    #

    (

    4

    (

    $

    (

    (

    #

    (

    $

    (

    $ " ( 4 )F % $ B # % %C 8 ) 9 %F B $ # ) bd " %

    9C ' #F ( % ( % & " 5 6 1 % # % ) #h ' ) "! # %@ " ' 9@ % ) $ # ) ) "! # %

    ( % " 9 " $ # ) X % %Q % 4 #C ( % " C $ " % 9& $ ( % " $Q # # $ 5 B

    5

    4 71 $ 6 X 12 % ` % ) bp " # $ 5 5 BT # %

    4 7& ) % ' 5 # " 4& B ) $ # "

    1 5 5 %C 5 % # $ " h H " ( % % ( d # % 6Q $ " % 4 ) ' 8 % (7 " # 8 8 $ )

    B ) % 8 ) $ 5 b r % $ ! " # $ " " 4 % $ $ # 5 63 " %C B ) $ # " 7 5 % # $ "

    ' T # % " ' 9 % ) Br ) $ # " $ 5d " ' 9 % ) 1 # Q # %h ( % ) % (3 8 ) 8 % ) # 6

    8

    1T % # % ) 9@ " %h # % " ' 9 % ) B 1 $ 6 # @ % 2 ` % " ' 9 % ) B ) 9 f # %

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    41/148

    2 ) # % 4 # % % " 8 # ` % " # % 4 % ) ' # $ # $ " 6 # 1 h % "@ " ' 9 % )

    ( % % ) 6 $ # 5 % $ #

    % #

    5

    1

    5

    3

    5

    5

    5

    " %Q # % 2 ` %& % "

    " ' 9 % ) X 2 " ( % ) Q # %7 " ' 9 % ) U

    1

    (

    3

    (

    (

    (

    " W

    5

    U

    5

    1

    (

    5

    3

    (

    5

    (

    5

    #

    (

    5

    "

    %W % "

    1

    (

    3

    (

    (

    (

    "& $ ) % 2 ` %& ( # " #

    " ' 9 % ) C B ) 9 # % 2 ) #@ B ' ) # % % " 8 # ` %Q " # % 4 % ) X 2 " ` % ) % 5 6 b

    B ) 9I $ " 6 2 ` %C ( # " #h " ' 9 % )

    1

    3

    " 1 %C $ "

    ) % " # ) ' # U

    5

    1

    (

    5

    3

    (

    5

    (

    5

    (

    5

    " W

    5

    U

    1

    (

    3

    (

    (

    #

    (

    " % W

    # & # $ " 2 ` % " ' 9 % ) T $ # B 6 " 4@ # % " ( # " B2 # % 8 ) 5 % 9

    ' 1 %Q B ' " ( $! " % R # R " % 9& $ 8 8 " 4 % # 12 % % "A # %7 % # B 2 ` %

    " ' 9 % ) d $ # B 6 " 4T # %r 4 ` % "h " ( # " p $ " (h # %2 % # B 2 ` %2 ( # " #

    " ' 9 % ) T B ) 9 # % 2 ) #F B ' ) # % % " 8 # ` %h " # % 4 % ) X % ) % B ) % # %

    $ " 1 % ) $

    1

    "

    &

    5

    G E P " $ 8 H " $C ) 9f " # $ " " 4 8 % 8 5 % b # $ #F 5 % $ #

    " % 8 % ) " $ 2 " # $ % " $ " ( 1 # @ % ` % ) 6 " % F % 5 % "@ # %T ) 9

    & $ # # % 9 $ $ 9 ' 9 " ' 9 % ) B 8 % 8 5 % "& # %h ) 9 # $ # ' 5 (

    $ ` % $ % " $ " ( 1 # @ % ` % ) 6 " %h % 5 % (

    $ % 5 # % 8 % 8 5 %

    #

    1

    (

    #

    3

    ( ) ) ) (

    #

    "@ ' $ 1 $ 6 # $ #

    #

    1h $ " (

    #

    3

    $ ) % $ 8 $ ) # $ # ( (Q " # $ % $ " ( 1 # Q % $ Q # % ) X

    &d 5 6C % ` % ) 6& # % ) 8 $ ) B 8 % 8 5 %F $ " ( b # $ # " 5 6

    #

    1

    $ " (

    #

    3

    ( ( " # $ % 1 # % ` % ) 6 " %Q % 5 % X % ) % B ) % b $ # 9@ #

    8 % 8 5 %F $ " ( 1 # @ % ` % ) 6 " %h % 5 % X

    #G H P "

    84d " ( & # %h " ' 9 % ) Bp ) ( % ) % ( c ' $ ( ) ' 8 5 % U

    P

    1

    (

    P

    3

    (

    P

    (

    P

    W B 8 # ` %F ( (@ " # % 4 % ) # $ # $ # B 6

    P

    1

    P

    3

    P

    P 5

    8

    "r $

    P

    T $ " %@ ) % 8 5 $ % ( 6

    1 % ) %

    $

    8 # ` %F " # % 4 % ) X #2 % $ ' %

    8

    5

    1

    U

    W

    5

    1

    %

    #2 B 5 5 1 # $ #

    4

    5

    1

    "r $ & ' c ' $ ( ) ' 8 5 % U

    1

    (

    3

    (

    (

    W

    ) ) % 8 " ( " $ " % R # R " %F B $ " # $ ) 1 B 4 F " % # $ # $

    % % "! % 8 $ ) $ # % (! " # C B ' )F 4 ) ' 8 6Q # %C " % ) # " B2 # ) % %@ q % ) X

    4 ) % $ $ 9@ 8 5 % b U $

    (

    4

    (

    (

    8 Wd ) ) % 8 " ( #

    )

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    42/148

    % ) %@ $ ) % $

    " C

    &

    5

    7 1 $ 6 # & " % ) #h # ) % %@ q % ) h " # & # % 2 B # 6

    8 $ % % # 12 % % " $ ( $ % " # " % X

    % D E E 7 8 4d " # % 5 6 9& $ " 6C $ ) ( h $ ) %h 8 5 $ % ( " # 1 @ # $ b 1 #

    9@ ) % $ ) ( "@ # %T 5 % B #2 # $ # $ "@ # %F ) 4 # X "r $ & $ ) ( $ 2 " % )

    9@ ) %F ( # " # " $ 9 % 1 ) # # % " "Q # b $ 5 # ' 4 ( % % ) % " # F $ ) ( 9 $ 6

    $ ) %T 9 % " $ 9@ % X 4 )2 % $ " $ 9@ % b 1 % ( % 2 " % $ 8 # 5 6 9@ ` " 4

    % ` % ) 6 $ ) ( # $ # $ # $ # " $ 9 % 1 ) # # % " " # # F # % 8 8 # %2 # $ X

    &p ) ` % # $ # # $ 5 1 $ 6 8 5 % # % " ( ' 8 1 # 9@ ) % $ ) ( "@ # %

    ) 4 #T # $ 6& 8 " 4 @ % ` % ) $ 5r ( # " # " $ 9@ % b $ " (Q ( " 4 "Q # ' ) "

    # %F ' %F ) ) % 8 " ( " 4 # C % $ " $ 9 %

    U # 6 S $ q T ) W & % 1 5 5 8 ) ` % # % # $ # % 9@ % " # 6

    " ( ' # " " @p b # % " ' 9 % ) B2 ( # " # " $ 9 % T 8 ) % % " # X $ 5 5p # %

    5 % B # F # $

    "

    $ " (7 # %C ) 4 #F # $ 4 )F $ % @

    5

    d " % C ' %

    1 5 5 ( C # %

    & %2 " 1! $ ' 9 % # $ # 1 % $ ` %2 8 ) ` % " # %2 # $ # % 9@ % " #d B ) @ " $ 9 %

    U B )h 9 % 8 # ` % " # % 4 % ) @ W p $ " (7 " ( % ) # %@ $ % 1 # @

    " $ 9@ % X $ 5 5 # % 2 ) # @ " $ 9 %

    5

    1

    (

    5

    3

    ( ) ) ) (

    5

    9 b $ " ( h 5 % #d # % 2 " % 1 " $ 9 %

    %

    5

    % ) % $ ) % # 1 C $ % X

    @ 2 8 5 %T " ' 9 % ) B

    "

    $ ) ( " # $ " " 4F " 5 6 # % " $ 9 %

    5

    p 5 % # $ " )p % c ' $ 5 # F # %2 " ' 9 % ) B $ ) ( r " # $ " " 4T " 5 6

    # % " $ 9 %

    5

    & %2 $ "C 4 " ) % # % " $ 9 %

    5

    $ " ( ' %T # %T " ( ' # "

    6 8 # % # 8 % ) B ) 9 ) % c ' ) % ( ' % C ' " 4 7 9 %C ' % #

    Br # % @ " $ 9 %

    5

    1

    (

    5

    3

    ( ) ) ) (

    5

    9& $ " ( 1 % 1 5 5 %h ( " % 2 # % ) %C $ ) %

    " 1 9@ ) % Br # % % ) % 9& $ " " 4 $ ) ( "& # $ # $ " "Q # $

    "

    b $ " (@ " %F # % ) % 12 % ) % $ #2 5 % $ # $ 9& $ " 6 " 5 6

    5

    " $ ) ( "

    # $ " "

    "

    b # % 2 " $ 5d " 2 4 ' ) $ # " $ 9@ ) %h $ ) ( " # $ "

    "

    "

    @ 2 8 5 %C " ' 9 % ) B

    "

    $ ) ( h " # $ " " 4 & " 5 6& # % " $ 9 %

    5

    4 ) % $ # % ) # $ "Q # %h " ' 9 % ) B $ ) ( F " # $ " " 4 " 5 6@ # %

    " $ 9 %

    5

    % " 1 % 8 % ) B ) 9 " % ' % 1 # 3 # % " $ 9 %

    5

    1 %

    % " ( ' 8 $ # # % % 4 " " " 4 B $ % h $ " ( 1 %h $ ) %h ( " % X

    H "Q % # % )h $ % b 1 % $ " 2 " Q ' )F " ( ' # ` % # % 87 $ " (3 ' )T 8 ) B

    9@ 8 5 % # % X

    4G H P "

    4 )F 1 9& $ " 6 8 $ ) B " % ' # ` % C " # % 4 % ) "3 # %

    % #

    (

    (

    ( ) ) ) (

  • 7/27/2019 102 Combinatorics Problems - Titu Andreescu

    43/148

    " C $ ) ) 6 " 4 C ) % c ' ) % ( 1 % "Q # % # 1 C " # % 4 % ) T $ ) % $ ( ( % ( (

    % # @ $ ` % $C ( % 9 $ 5d ) % 8 ) % % " # $ # "

    5

    H Br " % B

    5

    (

    )

    4 7 $ )

    8b # % " ! # % ) % 1 5 5 %@ $ ) ) 6 " 4 1 % " @! $ " (

    @ F $ ) % $ ( ( % ( H B

    5

    C $ " (

    5

    ) B

    5

    5

    C $ " (& % # % )