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1/6

A N o t e o n \ Z i p p e l D e n e s t i n g "

S u s a n L a n d a u

M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t

W e s l e y a n U n i v e r s i t y

C O I N S

U n i v e r s i t y o f M a s s a c h u s e t t s

J u l y 1 6 , 1 9 9 3

A b s t r a c t

R a d i c a l s i m p l i c a t i o n i s a n i m p o r t a n t p a r t o f s y m b o l i c c o m p u t a t i o n

s y s t e m s . Z i p p e l 7 ] g a v e a s u c i e n t c o n d i t i o n f o r a n e s t e d r a d i c a l t o b e

e x p r e s s e d i n t e r m s o f r a d i c a l s o f l o w e r n e s t i n g d e p t h . W e l l a l a c u n a

i n h i s p r o o f , a n d s h o w t h a t h i s s u c i e n t c o n d i t i o n i s a l s o n e c e s s a r y .

P r e v i o u s w o r k b y L a n d a u a n d M i l l e r 4 ] l e a d s t o a n a l g o r i t h m f o r t h e

p r o b l e m .

R a m a n u j a n o b s e r v e d a n u m b e r o f c u r i o s i t i e s a m o n g s t n e s t e d r a d i c a l s :

4

s

3 + 2

4

p

5

3 ? 2

4

p

5

=

4

p

5 + 1

4

p

5 ? 1

q

3

p

2 8 ?

3

p

2 7 = 1 = 3 (

3

p

9 8 ?

3

p

2 8 ? 1 )

3

r

5

q

3 2 = 5 ?

5

q

2 7 = 5 =

5

q

1 = 2 5 +

5

q

3 = 2 5 ?

5

q

9 = 2 5

S y m b o l i c c o m p u t a t i o n m a d e s u c h m a n i p u l a t i o n s m o r e t h a n c u r i o s i t i e s . F o r

e x a m p l e :

q

5 + 2

p

6 =

p

2 +

p

3

m e a n s t h a t f 1 ;

p

2 ;

p

3 ;

p

6 g i s a b a s i s f o r Q (

q

5 + 2

p

6 ) o v e r Q . T h e b a s i s

f 1 ;

p

2 ;

p

3 ;

p

6 g i s s i m p l e t o m a n i p u l a t e . A n i m p o r t a n t i s s u e t h e n , i s t h e

S u p p o r t e d b y N S F g r a n t s D M S - 8 8 0 7 2 0 2 , a n d C C R - 8 8 0 2 8 3 5 . P a r t o f t h i s w o r k w a s

d o n e w h i l e t h e a u t h o r w a s v i s i t i n g t h e Y a l e U n i v e r s i t y M a t h D e p a r t m e n t .

1

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\ d e n e s t i n g " o f r a d i c a l s { a t e r m w h i c h w i l l b e p r e c i s e l y d e n e d i n t h e n e x t

s e c t i o n .

I n 1 9 8 5 , B o r o d i n , F a g i n , H o p c r o f t a n d T o m p a 1 ] g a v e a n e c i e n t a l -

g o r i t h m f o r d e c r e a s i n g t h e n e s t i n g d e p t h o f a c l a s s o f e x p r e s s i o n s i n v o l v i n g

s q u a r e r o o t s . M o r e r e c e n t l y L a n d a u s h o w e d h o w t o d e n e s t r a d i c a l s b y c o m -

p u t i n g i n t h e s p l i t t i n g e l d o f t h e n e s t e d r a d i c a l 3 ] .

E a r l i e r w o r k b y Z i p p e l 7 ] i n 1 9 8 5 g a v e a s i m p l e s u c i e n t c o n d i t i o n

u n d e r w h i c h a r a d i c a l c o u l d d e n e s t . Z i p p e l ' s t h e o r e m o m i t t e d a h y p o t h e s i s .

W e r e p a i r t h i s l a c u n a , a n d s h o w t h a t Z i p p e l ' s s u c i e n t c o n d i t i o n i s a l s o

n e c e s s a r y . F i n a l l y w e o b s e r v e t h a t p r e v i o u s w o r k b y L a n d a u a n d M i l l e r 4 ]

y i e l d s a n e x p o n e n t i a l t i m e a l g o r i t h m f o r t h i s t e c h n i q u e .

1 A n A l g o r i t h m f o r a S u b c l a s s o f N e s t e d R a d i -

c a l s

W e b e g i n w i t h t h e d e t i o n o f n e s t i n g d e p t h . F o l l o w i n g 1 ] , a f o r m u l a o v e r a

e l d k a n d i t s d e p t h o f n e s t i n g a r e d e n e d a s f o l l o w s :

( 1 ) a n e l e m e n t o f k i s a f o r m u l a o f d e p t h 0 o v e r k ,

( 2 ) a n a r i t h m e t i c c o m b i n a t i o n ( A B , A B , A / B ) o f f o r m u l a s A a n d B i s

a f o r m u l a w h o s e d e p t h o v e r k i s m a x ( d e p t h ( A ) , d e p t h ( B ) ) , a n d

( 3 ) a r o o t

n

p

A o f a f o r m u l a A i s a f o r m u l a w h o s e d e p t h o v e r k i s 1 + d e p t h ( A ) .

W e w i l l s a y t h e f o r m u l a A c a n b e d e n e s t e d o v e r t h e e l d k i f t h e r e i s a

f o r m u l a B o f l o w e r d e p t h t h a n A s u c h t h a t v a l u e ( A ) = v a l u e ( B ) . F o r a n y ,

w e d e n e t h e d e p t h o f o v e r k t o b e m i n i m u m f d e p t h ( A ) v a l u e ( A ) = g

W h e n w e a r e g i v e n a f o r m u l a A o f v a l u e s u c h t h a t A c a n b e d e n e s t e d , w e

w i l l s o m e t i m e s i n s t e a d s a y t h a t c a n b e d e n e s t e d .

W e w i l l b e u s i n g s e v e r a l c l a s s i c t h e o r e m s . L e t

n

b e a p r i m i t i v e n

t h

r o o t

o f u n i t y .

T h e o r e m 1 . 1 L e t k b e a e l d , w i t h K a c y c l i c e x t e n s i o n o f k o f d e g r e e n ,

a n d s u p p o s e

n

i s i n k . T h e n t h e r e i s a i n K s u c h t h a t K = k ( ) , a n d

i s a r o o t o f x

n

? b f o r s o m e b i n k

T h e o r e m 1 . 2 L e t k b e a e l d w i t h

n

i n k , a n d s u p p o s e i s a r o o t o f

x

n

? b . T h e n k ( ) i s c y c l i c o v e r k o f d e g r e e d , w h e r e d d i v i d e s n , a n d

d

i s

a n e l e m e n t o f k

2

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3/6

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t o w e r o f e l d s :

L = K F

K F

K \ F

k

T h e n t h e f o l l o w i n g i s w e l l - k n o w n :

T h e o r e m 1 . 3 ( L a n g 5 ] , p p . 1 9 6 - 7 ) L e t t h e e l d s b e a s a b o v e , a n d a s s u m e

t h a t F i s a G a l o i s e x t e n s i o n o f k . T h e n K F i s G a l o i s o v e r K , a n d F i s

G a l o i s o v e r K \ F . L e t G b e t h e G a l o i s g r o u p o f K F o v e r K , a n d H t h e

g r o u p o f F o v e r K \ F I f i s i n G , t h e n t h e r e s t r i c t i o n o f t o F i s i n H ,

a n d t h a t r e s t r i c t i o n m a p i s a n i s o m o r p h i s m f r o m G o n t o H

Z i p p e l s t u d i e d t h e c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h a r a d i c a l i n L c a n b e

d e n e s t e d i n a e l d o f l o w e r n e s t i n g d e p t h . T h a t i s , s u p p o s e L = K (

d

p

) f o r

s o m e i n K . H e s o u g h t a n e l e m e n t i n k s u c h t h a t i s a d

t h

p o w e r o f

a n e l e m e n t i n K , s a y . ( A s s u m e t h a t

d

l i e s i n k . ) T h e n ( ) =

d

i m p l i e s

t h a t

d

p

= =

d

p

1

T h u s

d

p

m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a n e l e m e n t

o f l o w e r n e s t i n g d e p t h . W e c a l l s u c h a d e n e s t i n g a \ Z i p p e l d e n e s t i n g . "

Z i p p e l 7 ] p r e s e n t e d t h e f o l l o w i n g e x a m p l e : l e t k = Q , K = Q (

p

6 ) , a n d

= 5 + 2

p

6 ; d = 2 . S i n c e

2 ( 5 + 2

p

6 ) = ( 2 +

p

6 )

2

;

w e k n o w t h a t

q

5 + 2

p

6 =

2 +

p

6

p

2

=

p

2 +

p

3

Z i p p e l o b s e r v e d t h a t i n s o m e c a s e s , i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a s s o c i a t e d

e l d s w i l l t e l l u s e n o u g h t o c o m p u t e a d e n e s t i n g . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m

w h i c h o m i t t e d , b u t i m p l i c i t l y a s s u m e d , t h e h y p o t h e s i s t h a t F i s a G a l o i s

e x t e n s i o n o f k , r s t a p p e a r e d i n Z i p p e l ' s p a p e r .

T h e o r e m 1 . 4 ( Z i p p e l 7 ] ) A s s u m e K i s a n e x t e n s i o n o f k , a e l d c o n t a i n -

i n g a p r i m i t i v e d

t h

r o o t o f u n i t y . L e t L = K (

d

p

) b e a n e x t e n s i o n o f d e g r e e

d , w h e r e i s i n K . I f t h e r e i s a e l d F w h i c h i s a G a l o i s e x t e n s i o n o f

k = K \ F , a n d L = K F , t h e n t h e r e i s a i n k s u c h t h a t i s a d

t h

p o w e r

o f a n e l e m e n t o f K . F u r t h e r m o r e , F = k (

d

p

)

1

N o t e t h a t Z i p p e l i s u s i n g t h e c o n v e n t i o n o f c h o o s i n g t h e r o o t

d

p

, r a t h e r t h a n s o m e

o t h e r d

t h

r o o t . A d i e r e n t r o o t

i

d

d

p

m a y h a v e a h i g h e r d e p t h o f n e s t i n g d u e t o t h e

n e s t i n g i n t h e r o o t o f u n i t y .

3

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4/6

P r o o f B y T h e o r e m 1 . 3 , L = K F i s G a l o i s o v e r K I f G i s t h e G a l o i s

g r o u p o f L o v e r K , a n d H i s t h e g r o u p o f F o v e r k , t h e n t h e r e i s a m a p

: G ! H w h i c h s e n d s i n G t o r e s t r i c t e d t o t h e e l d F . T h i s m a p i s

a n i s o m o r p h i s m . T h e n b y T h e o r e m 1 . 2 , t h e e x t e n s i o n L o v e r K i s c y c l i c o f

d e g r e e d , a n d t h u s s o i s F o v e r k . T h e r e f o r e , b y T h e o r e m 1 . 1 , F = k (

d

p

)

f o r s o m e i n k

L e t b e a g e n e r a t o r o f G , t h e n (

d

p

) =

d

d

p

. S i n c e t h e r e i s a n

i s o m o r p h i s m f r o m G t o H , w e k n o w (

d

p

) =

c

d

d

p

f o r s o m e c r e l a t i v e l y

p r i m e t o d . L e t u c

? 1

( m o d d ) , a n d m = ? u . T h e n

c m

d

=

? c c

1

d

=

? 1

d

W e l e t =

m

. T h e n w e h a v e :

(

d

p

d

p

) = (

d

p

) (

d

p

) =

d

d

p

( (

d

p

)

m

) =

d

d

p

c m

d

(

d

p

)

m

=

d

? 1

d

d

p

d

p

=

d

p

d

p

T h u s

d

p

d

p

i s x e d b y G , a n d i s t h e r e f o r e i n K S o =

d

f o r s o m e i n

K . T h e n

d

p

= =

d

p

F i n a l l y o b s e r v e t h a t m a n d d a r e r e l a t i v e l y p r i m e . T h u s k (

d

p

) =

k (

d

p

m

) = k (

d

p

) = F

A n y d e n e s t i n g o f t h i s f o r m w i l l c a u s e c e r t a i n b e h a v i o r o f a s s o c i a t e d e l d s .

W e h a v e t h e f o l l o w i n g c o n v e r s e t o Z i p p e l ' s t h e o r e m .

T h e o r e m 1 . 5 L e t b e a n e l e m e n t o f a e l d K . S u p p o s e t h a t

d

p

i s o f

d e g r e e d o v e r K , a n d t h a t

d

p

= =

d

p

w i t h i n K , a n d i n k K

A s s u m e t h a t t h e d

t h

r o o t s o f u n i t y l i e i n k . T h e n t h e e l d F = k (

d

p

)

s a t i s e s : ( i ) F o v e r k i s G a l o i s a n d t h e G a l o i s g r o u p o f F o v e r F \ K

i s i s o m o r p h i c t o t h e g r o u p o f F K o v e r K , ( i i ) F K = K (

d

p

) , a n d ( i i i )

k = F \ K

P r o o f S i n c e F = k (

d

p

) , i t i s c l e a r t h a t F o v e r k i s a G a l o i s e x t e n s i o n .

T h e n t h e e l d s k ; F ; K ; F K s a t i s f y t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 1 . 3 , a n d G =

t h e G a l o i s g r o u p o f F K o v e r K i s i s o m o r p h i c t o H , t h e G a l o i s g r o u p o f F

o v e r F \ K . N o t e t h a t w e h a v e F K = k (

d

p

) K = K (

d

p

) = K (

d

p

) . T h a t

k F \ K i s c l e a r . T o s h o w t h a t t h e c o n t a i n m e n t i s a n e q u a l i t y i t s u c e s

t o o b s e r v e t h a t d = K (

d

p

) : K = F : F \ K F : k d . T h i s i s

p o s s i b l e o n l y i f k = F \ K

N o t e t h a t t h e h y p o t h e s i s \

d

p

i s o f d e g r e e d o v e r K " i s n e c e s s a r y . F o r

e x a m p l e

6

q

7

3

p

2 0 ? 1 9 ;

4

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5/6

i s o f d e g r e e 3 o v e r Q (

3

p

2 0 ) , b e c a u s e 7

3

p

2 0 ? 1 9 i s a s q u a r e i n Q (

3

p

2 0 ) I n

t h i s c a s e t h e r e i s m o r e t h a n t h e u s u a l a m b i g u i t y i n t h e d e n e s t i n g : i f

d

p

i s

n o t o f d e g r e e d o v e r K , t h e n t h e r o o t s o f x

d

? a r e n o t c o n j u g a t e o v e r K

B y T h e o r e m s 1 . 4 a n d 1 . 5 , a Z i p p e l d e n e s t i n g e x i s t s i t h e r e i s a e l d F ,

w i t h F K = K (

d

p

) a n d F G a l o i s o v e r k = F \ K . T o d o s o , w e s e a r c h

s u b e l d s o f L = K (

d

p

) c o n t a i n i n g k

I n 4 ] e c i e n t a l g o r i t h m s w e r e g i v e n f o r c o m p u t i n g m a x i m a l s u b e l d s .

I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m 2 . 9 a n d A l g o r i t h m 2 . 2 o f 4 ] t h a t :

T h e o r e m 1 . 6 ( L a n d a u & M i l l e r 4 ] ) I f f ( x ) i n Z x i s i r r e d u c i b l e o f d e g r e e

m w i t h r o o t s ;

2

; : : : ;

m

, t h e n t h e r e i s a n a l g o r i t h m t o c o m p u t e

0

; : : : ;

j

,

w h e r e Q (

0

; : : : ;

j

) i s a m a x i m a l s u b e l d o f Q ( ) . T h e r u n n i n g t i m e f o r t h e

a l g o r i t h m i s t h e t i m e r e q u i r e d t o f a c t o r f ( x ) o v e r Q z = f ( z ) p l u s t h e t i m e

n e e d e d t o c a l c u l a t e m

3

g c d ' s o f p o l y n o m i a l s ( o f d e g r e e l e s s t h a n d e g ( f ( x ) ) ,

w i t h c o e c i e n t l e n g t h l e s s t h a n m

2

l o g f ( x ) ) o v e r a e l d c o n t a i n i n g t w o

r o o t s o f f ( z )

T h e o r e m 1 . 7 ( L a n d a u & M i l l e r 4 ] ) L e t f ( x ) ; g ( x ) i n Z x b e i r r e d u c i b l e

a n d m o n i c o f d e g r e e m a n d r r e s p e c t i v e l y , a n d h ( x ) o f d e g r e e n i n Q z ; x = f ( z )

b e a n i r r e d u c i b l e f a c t o r o f g ( x ) i n Q z = f ( z ) . T h e r e i s a n a l g o r i t h m t o

c o m p u t e B ( x ) = b

l

x

l

+ b

l ? 1

x

l ? 1

+ + b

0

, a p o l y n o m i a l i n Q x ; z = f ( x )

w h o s e c o e c i e n t s d e t e r m i n e t h e e l d Q x = f ( x ) \ Q x = g ( x ) , i n t h e s e n s e

t h a t Q ( b

l

; : : : ; b

0

) = Q x = f ( x ) \ Q x = g ( x ) . T h e a l g o r i t h m r u n s i n t h e t i m e

r e q u i r e d t o f a c t o r N

Q z = f ( z )

( h ( x ? c z ) ) , ( c

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6/6

T h e e x p o n e n t i a l c h a r a c t e r o f t h e a l g o r i t h m c o m e s f r o m s e a r c h i n g p o t e n -

t i a l l y a l l t h e s u b e l d s o f K (

d

p

) i n o r d e r t o n d F . W e c o n j e c t u r e t h a t

t h e r e i s a f a s t e r w a y t o h a n d l e t h e s e a r c h t h a n t h e e s s e n t i a l l y b r u t e f o r c e

a p p r o a c h w e a r e s u g g e s t i n g h e r e . D e s p i t e i t s e x p o n e n t i a l c h a r a c t e r , f o r o f

s m a l l d e g r e e o v e r k , t h i s a l g o r i t h m i s r e a s o n a b l y e c i e n t .

O b s e r v e t h a t t h i s m e t h o d , e v e n i f u s e d r e p e a t e d l y , i s n o t g u a r a n t e e d t o

n d a m i n i m a l d e n e s t i n g o f t h e r a d i c a l .

A c k n o w l e d g e m e n t s : T h a n k s t o T s u n e o T a m a g a w a a n d W a l t e r F e i t f o r

s e v e r a l i n t e r e s t i n g a n d i n f o r m a t i v e c o n v e r s a t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 ] A . B o r o d i n , R . F a g i n , J . H o p c r o f t a n d M . T o m p a , D e c r e a s i n g t h e N e s t -

i n g D e p t h o f E x p r e s s i o n s I n v o l v i n g S q u a r e R o o t s , J . S y m b . C o m p u t . ,

1 ( 1 9 8 5 ) , p p . 1 6 9 - 1 8 8 .

2 ] B . C a v i n e s s a n d R . F a t e m a n , S i m p l i c a t i o n o f R a d i c a l E x p r e s s i o n s ,

P r o c . S Y M S A C 7 7 , p p . 3 2 9 - 3 3 8 .

3 ] S . L a n d a u , S i m p l i c a t i o n o f N e s t e d R a d i c a l s , t o a p p e a r , S I A M J . o f

C o m p u t .

4 ] S . L a n d a u a n d G . M i l l e r , S o l v a b i l i t y b y R a d i c a l s i s i n P o l y n o m i a l T i m e ,

J . C o m p u t . a n d S y s . S c i . , 3 0 ( 1 9 8 5 ) , p p . 1 7 9 - 2 0 8 .

5 ] S . L a n g , A l g e b r a , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s . , 1 9 7 1 .

6 ] S . R a m a n u j a n , P r o b l e m s a n d S o l u t i o n s , C o l l e c t e d W o r k s o f S . R a m a n u -

j a n , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 2 7 .

7 ] R . Z i p p e l , S i m p l i c a t i o n o f E x p r e s s i o n s I n v o l v i n g R a d i c a l s , J . S y m b o l i c

C o m p u t a t i o n , 1 ( 1 9 8 5 ) , p p . 1 8 9 - 2 1 0 .

6