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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE DOS

Presentado a:William de Jesús Montoya enao

!"tor

Entre#ado $or:

Ana Milena Pre%iado &am'aC(di#o: )*+,-+.*

Natalia Andrea Moreno COlinaC(di#o: ///-*0).*/

1idy Mar%ela Ma2e%2a Moreno

C(di#o: )*+,+).,

An#ela &a'riela &on3ale3 Man%illaC(di#o: -)-0,4*0

5666666 56666 566666C(di#o: 66666

&r"$o: /,,4/*74.

UNI8ERSIDAD NACIONAL A9IER!A 1 A DIS!ANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS 9ASICAS !ECNOLO&IA E IN&ENIERIA

PRO&RAMA DE IN&ENIERIA DE ALIMEN!OSCEAD JOS; ACE8EDO 1 & del *,/-9O&O!? D@C@

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IN!RODUCCION

La ecuación diferencial es una herramienta versátil para análisis. Siendo unaexcelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoríaasociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.Múltiples problemas de significativa importancia en diversos campos del ser humano,re uieren para su estudio de la elaboración de un modelo matemático ue losrepresente. Las cuales han ad uirido una importancia relevante con el crecimiento deestudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinas ue modelan yestudian como la !ngeniería, la economía, dado a ue es más a"ustado a la realidad.

Las ecuaciones diferenciales es un tema nuevo para nosotros. #un así ya estamosfamiliari$ados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuacionesalgebraicas, y tambi%n tenemos una idea clara de lo ue es una solución aun cuandoen muchos casos se nos es difícil encontrarla, como es el caso de las ecuaciones dealto grado o ue involucran funciones trascendentes.

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DESARROLLO DE LA AC!I8IDAD INDI8IDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior

!ndi ue cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homog%neas con

coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homog%neas yresu%lvalas.

PUN!O 9

y ´ ´ +8 y ´ +16 y= 0

&espuestaNom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:

1ID1 MARCELA MA EC A MORENO

PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI

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PUN!O C y´ ´ +2 y´ − y= 0


Natalia Andrea Moreno Colina


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y= c1 e(− 1+√ 2) x+c 2 e

(− 1− √ 2 ) x

21 c1 e(−1 +√ 2) x(0 )+c 2 e(− 1−

√ 2 ) x(0)

0= c1+c

2

c 1=− c 2c 2=− c 1

√ 2− 1 ¿e(√ 2−1 )(0)+c2 (−√ 2− 1)e (−√ 2− 1)(0)

1= c 1¿

1= c 1 (√ 2− 1)+c 2 (−√ 2− 1)

− c

(¿¿1)(−√

2− 1)1= c 1 (√ 2− 1)+¿

1= c 1 √ 2 − c 1+c 1 √ 2+c 1

1= 2 c 1√ 2

c 1=1

2 √ 2

3ondiciones propuestas

)onde y /2012 y4/201&eempla$ando

c 2= −12 √ 2

c 1=− c 2c 2=− c 1

√ 2− 1 ¿e(√ 2−1 )(0)+c2 (−√ 2− 1)e (−√ 2− 1)(0)

−1= c 1¿

− 1 = c 1 (√ 2− 1)+c2 (− √ 2− 1 )

− c

(¿¿1)(− √ 2− 1)− 1= c 1(√ 2− 1)+¿

− 1= c 1√ 2− c1 +c 1 √ 2+c1

− 1 = 2 c1 √ 2

Solución de 3 , y 3- teniendo encuenta los fundamentos propuestoscomo condiciones

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c 1= − 12 √ 2

c 2= +12 √ 2

PUN!O D

} +14 {y} ^ {´} + 8y=0! y¿


Ana Milena Pre%iado &am'a


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m=

− 14!

±√− 00$2

=

− 14!

±10 √

!i

2

Se reali$a operaciones y se simplifica

x1=

− 14

! +10

√

! i

2 = − %! + √ ! i

x2=

− 14!

− 10√

! i

2 = − %

! −

√ !

i

Se cambian signos en las operaciones

en x1 y x2

y= c1 e−%/ ! x&"s( √ ! x)+c 2 e−%/! x sen( √ ! x) (sta es la solución general

P"nto E

y ´ ´ − 4 y ´ +4 y= 0

&espuesta

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Nom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:

An#ela &a'riela &on3ale3 Man%illa


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1e2

= C 1+C 2 1

)espe"andoc

1 y rempla$ando enla ecuación

− ! c 2= 2c 1− !2

c2= c 1

(n 11e2

= c 1+c 2

1e2

= − !2

c2+c 2

1e2

= −12

c2

− 2e 2

= c 2

− 0'2%= c2

c 1=− !2

c2

c 1=− !2

(− 0'2%)

c 1= 0'41

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*@ Demostrar "e 6 0 y 6 0 son sol"%iones linealmente inde$endientes de lasi#"iente e%"a%i(n di eren%ial:

x2 y− 4 x dydx

+6 y= 0

!ntervalo − ∞< x

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y= c1 e ! lnx +c 2 e 2 lnx

y= c1 el( x! +c 2 e

l( x2

y= c1 x! +c2 x2

x! y| x| ! Si − ∞< x

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Natalia Andrea Moreno Colina


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¿cosx . 1&"s2 x

= 1&"s x

= sec x

u1=∫ w1w dx=− ∫secx. ta( x

1 . dx=− sec x+c

u2=∫ w 2w dx= ∫ sec x .dx = l( | ta( x+se y = u1 y1+u2 y2

y =− secx. &"s x+l | ta x+sec x| . sen

y = − 1&"s x

. &"s x+senx. l( | ta( x+secx|

y =− 1+senx. l |ta x+sec x|

;allando la solución participar

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( x! − 2 x) ( x2− 1)*ara dar solución a esta ecuación se debe

x − x! − 2 x! +2 x &esolver

! 6= x − x! − 2 x! +2 x

! = x4− ! x2− 6 x2 +2

! 4= 20 x! − 6 X − 12 x

! ! = 60 x2− 6− 12

! 2= 120 x

! 1= 120 = 0

(l operador ue anula es )=

x+! xye6 x )e la x el operador es )-

( ! − α )n ( ! − 6 )2 debemos encontrar el operador de la otraecuación

! 2( ! − 6)2 x+! xye6 x

! 2− 12 ! +!6 resultado

x e x

n= 2 y α = 1

( ! − 1)2 "l o e#ado# dife#encial $ue anula

xn− 1 e ax es ( ! − α )n

( ! − 1)2 x e x= 0

y( x)= x e x

y ´ ( x)= e x+ x e x

y ´ ´ ( x)= e x+e x+ x e x= 2 e x+ x e x

resultado

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! 2− 2 ! +1

2 e x+ x e x− 2 (e x+ x e x)+ xe x= 02 e x+ x e x− 2 e x− 2 x e x+ x e x= 0

0= 0

=0 6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:

x2 y ´ ´ + x y ´ + y= 0

Nom're est"diante "e reali3a el eBer%i%io: AN&ELA &A9RIELA &ON=ALE=MANCILLA

PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESION MA!EMA!ICA

RA=ON O E5PLICACION

y= xm

y ´ = xm− 1

y ´ ´ = m(m− 1 ) xm −2

x2 . m(m− 1 ) xm− 2 + x m xm− 1 + xm= 0

xm m2− m+ xm m+ xm= 0

m(¿¿2− m+m+1)= 0

xm ¿

m(¿¿2+1)=0

xm

¿

− b± √ b2− 4 ac

2 a

− 0± √ 0 2− 4)1)1

2)1

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0 ±√ − 4

2

0 ±√ 2%

2

0 ± 1 %

m1= 0+1 % m2= 0− 1% ∝ = 0 &= 1

' = X ∝ [C 1 &"s (&lnx)+c 2 si( (&lnx)]

' = X 0[C 1 &"slnx+c 2 si lnx ]' = C 1 &"slnx+c 2 si lnx

' = C 1 &"slnx+c 2 si lnx RESUL!ADO

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DESARROLLO DE LA AC!I8IDAD COLA9ORA!I8A

Primera A%ti idad

8na masa ue pesa > lb, estira un resorte ? pulgadas al llegar al reposo en e uilibrio yse le aplica una velocidad de @- piesAseg dirigida hacia aba"o. )espreciando todas lasfuer$as de amortiguación o externas ue puedan estar presentes, determine laecuación de movimiento de la masa "unto con su amplitud, periodo y frecuencia natural.3uánto tiempo transcurre desde ue se suelta la masa hasta ue pasa por la posiciónde e uilibrioB

PROPOSICION ENUNCIADO O E5PRESIONMA!EMA!ICA

RA=ON O E5PLICACION

!nicialmente el resorte no esta estirado.

(l resorte se estira por causa de la masa Sunidades de longitud hasta uedar ene uilibrio por balances de fuer$as.

− m( +)* = 0(1)

− m d2 x

d t 2 =− m( +) (*+ x)

− m d2 x

d t 2 =− m( +)* +)x

Se despla$a hacia aba"o x unidades mediantela acción de un fuer$a por balance de fuer$as

m d2 x

d t 2 =− )x

C

d 2 xd t 2

= − )xm

La ecuación / 0 se deduce

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d 2 xd t 2

+)xm

= 0

#2 + ) m=0

#= ±√ ) m i(sta es la ecuación característica

x(t )= c 1 e0 t &"s√ ) m t +c2 e 0 t sen √ ) m t x(t )= c 1 &"s√ ) m t +c 2 sen√ ) m t x (t )=− c 1√ ) m sen√ ) m t +c 2√ ) m &"s√ ) m t

Se aplica esta ecuación

x(0 )= 0

x (0 )=− √ 2 ies/se(

#demás − m( +)* = 0

)onde

*= ! ul(1 ie12 ul)= 14 ie

Se asumo ue el nivel o de movimiencuando la masa estira el resorte hasta ele uilibrio.

y m= 4 lb!2 ie/se( 2

= 18

luego

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) = 414

1 =

x(t )= c 1 &"s√1618

t +c2 sen√1618

t Se reempla$a

x(t )= c 1 &"s8 √ 2 t +c 2 sen 8 √ 2 t

x (t )= ¿ D 8 √ 2c 1 sen 8 √ 2 t +8 √ 2 c 2 &"s8√ 2 t

Se simplifica

x(0 )= 0 = c 1 &"s 8 √ 2 /20E c2 sen 8 √ 2(0)

0 = c 1 &"s0 +c 2 sen 0

0= c 1

x (0 )=− √ 2= 8 √ 2 c2 &"s8√ 2(0 )

− √ 2 = 8 √ 2 c 2

− √ 28 √ 2

= c 2

− 18

= c 2

Se utili$an estos valores iniciales pardeterminar las contantes c 1 y c2

x(t )= − 18

sen 8 √ 2 (t )

x (t )=− √ 2&"s8 √ 2 (t )

(stas ecuaciones describen el movimiento

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#mplitud118

*eriodo12 +

8 √ 2=

√ 28

+

'recuencia11

e#iodo= 4

√ 2+

Se obtienen datos de amplitud, periodo frecuencia

− 18

sen (8 √ 2 t )= 0

8 √ 2 t = +

t = + 8 √ 2

t = 0)2%se(

La masa pasa de nuevo por el punto dee uilibrio en el instante en ue x /t012. *ortanto

t = 0)2%se( (s el tiempo ue transcurre desde ue sesuelta la masa hasta ue pasa por la posiciónde e uilibrio

Por

Mar%ela Ma2e%2a

02

2

=+ xmk

dt xd 3omo estamos en el caso de una Fibración

simple no amortiguada, tenemos la ecuación

)()cos()( 21 t mk

senC t mk

C t x +=La sol"%i(n #eneral es

4

1

4 k mg ==*ara encontrar G observamos ue la masa de> Lb, estira el resorte ? pulgadas o H de pie.(mpleando la ley de ;oo:e, se tiene

288/1

16 ==mk Lo ue implica G1 = lbApie. 3omo g

pieAseg-, se tiene m1>A?-1 AI *or lo tan

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)28()28cos()( 21 t senC t C t x +=

Luego,

2

1

28)0´(2

)0(2

1

C xC x==

==!mponiendo las condiciones iniciales son

J121 = *ulgadas 1 K pie y J4/20 12

pieAseg, donde

)28(81

)28cos(21

)( t sent t x +=Lo ue implica

81

21

21 == yC C por lo tanto la

ecuación del movimiento de la masa es

326.1)4arctan(

)28(817

)(

4)tan(,817

2

122

21

==

+=

===+=

φ

φ

φ

Con

t sent x

Entonces

C C C C A (ntonces de la forma Senoidal

817= A

*or lo tanto la amplitud es

2428

2 π π ==T (l periodo +

π 24= F

La frecuencia es

16042,028

28

==

−=

=+

t

t

t

φ π π φ 'inalmente el tiempo t ue trascurre desde

ue suelta la masa hasta ue pasa por la

posición de e uilibrio verifica

Se#"nda A%ti idad

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EJERCICIO 1 SOLUCI

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)33cos(4 213 t senC t C e t +−−

*ara1)0( = x y

0)0(' = x, se tiene el

sistema

11 C =

,

21 430 C C +−=

*or

tanto11 =C

y43

2 =C

'inalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma

)3cos43

3()( 4 t t senet x t += −

Caso 2:10=b

La ecuación característica es0252 =++ λ λ b

, cuyas raíces

son5

21001010 2 =−±−

La ecuación de movimiento tiene laforma

t t t et C C teC eC t x 5215

25

1 )()( +=+=t t et C C eC t x 5

215

2 )(5)(' +−=

*ara1)0( = x y

0)0(' = x, se tiene el

sistema11 C = ,

12 50 C C −=

*or tanto11 =C y

52 =C


)51()( 5 t et x t +=

Caso 3:14=b

La ecuacióncaracterística es

a. 0252 =++ λ λ b

, cuyas raíces

x(t )= c1 e− t +c 2 t e− t

3omo x/201 y x (0 )= 0

x(0 )= c 1 e− (0 )+c 2 t (0 )e

− (0 )= 1

c 1= 1

x (t )=− c 1 e− t +c2(e− t − t e− t )

x (t )=− e− t +c 2 (e− t − t e− t )

x (0 )=− e− (o)+c 2(e− (0)− (0)e− (0 ))

x (0 )=− +c 2= 0

c 2=

La (cuación de movimiento es x(t )= e− t + t e− t

x(t )= e− t (1 + t )

Caso 3:

La ecuación de movimiento es x(t )=(24 +%√ 2448 )e (−%+√ 24)t +(24 − %√ 2448 )e(− %− √ 24)t

*or Marcela Mahecha

Caso 1:6=b

La e%"a%i(n %ara%ter sti%a es:

0252 =++ λ λ b,

Cuyas raíces sona = 1b = 6c = 25

= − b±√ b2− 4 ac2 a

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son247

21001414 2 ±−=−±−

La ecuación de movimiento tiene laforma

t t

eC eC t x )247(

2)247(

1)( −−+− +=t eC eC t x (2

)247(1 )247()247()('

−−+− −−++−=

*ara1)0( = x

y0)0(' = x

, se tieneel sistema

211 C C +=

)247()247(0 21 −−++−= C C

*or tanto48

247241

+=C y

4824724

2

−=C


t et x )247(48

2472448

24724)( −−

−+

+=

= − 6 ±√ 6 2− 4 (1 )(2 )

2 (1)

λ=

i432

10066 2 ±−=−±−

= − 6 ±√ !6 − 100

2=− ! ± 4 i

= −6

±√ −

642 =− ! ± 4 i

= − 6 ± 8 i2

=− ! ± 4 i

Dividiendo o tene!os: =− ! ± 4 i

"a ecuación de !ovi!iento tiene la for!a:' = C 1 eαx si( βx+C 2 eαx &"s βx

= α + βi

Reemplazando nuestros valores en lasolución general

x(t )= C 1 e− ! t si( 4 t +C 2 e− ! t &"s4 t

En la solución que ofrece el ejercicio,se encuentra este error, que se cambió

el orden de los términos α y β

t eC t seneC t x t t 3cos3)( 424

1−− +=

++−= − )3cos3(3)(' 21

41

t C t senC et x t

)33cos(4 213 t senC t C e t +−−

#e de e tener en cuenta las condicionesiniciales $ara deter!inar los valores de C 1 y

C2.

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1)0( = x ,

0)0(' = x

x(t )= C 1 e− ! t si( 4 t +C 2 e− ! t &"s4 t

x(0)=C 1 e− !∗0 si(4 ∗0+C 2 e−!∗0 &"s4∗0= 1

x(0)= C 1 e 0 si(0 +C 2 e 0 &"s0= 1

x(0 )= C 1∗0 +C 2∗1= 1

C 2 = 1

++−= − )4cos4(3)(' 21

3 t C t senC et x t

)44cos(4 213 t senC t C e t −−

++−= −

)0*4cos0*4(3)0(' 210*3

C senC e x

)0*40*4cos(4 210*3 senC C e −−

++−= )0cos0(3)0(' 210 C senC e x

)00cos(4 210 senC C e −

= %

+−= )(3)0(' 2C x )(4 1C = %

− ! (1)+4 C 1 = 0

C 1=!4

*or tanto C 1 =!4 y

C 2= 1

'inalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma

)3cos433()( 4 t t senet x t += −

x(t )= !4

e− ! t si(4 t +e− ! t &"s4 t

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4 t !4

si( 4 t +&"s ¿

x(t )= e− ! t ¿

0252

2

=++ xdt dx

bdt

xd

Caso 2:10=b

La ecuación característica es0252 =++ λ λ b

,!u"as raíces son

52

1001010 2=

−±−

#o es $a %or&a correcta e a$$ar $as raíces

e esta ecuación, "a ue tiene raícesi*ua$es " e +a$or ne*ati+o. La %or&a

$antea a se e-e e ar ara n/&erosco& $e os.

Factorizando tenemos

( 1 + )( + ) = 0

2=− y 2=−

La ecuación e &o+i&iento tiene $a %or&at t t et C C teC eC t x 521

52

51 )()( +=+=

#ocorres on e e-i o a $a situación anterior.

x(t )= c1 e− t +c 2 t e− t (1)

Ahora hallamos la derivada

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t t et C C eC t x 521

52 )(5)(' +−=

$ ri&ert r&ino no se eri+ó " $as raíces co&o sa-e&osno corres on en.

x-

(t )=− c1 e− t

+c 2− c 2 t e− t

=(− c 1+c 2− c 2 t )

(2)

ara1)0( = x

3 !uan o 4 5 1, t 5 0 Procedimiento adicional

1= c 1 e− (0)+c 2(0 )e− (0 ) (1)

1= c 1+0

6 ora0)0(' = x

3 !uan o 4´5 0, t 5 0− c 1+c 2− c 2(0)e− (0 )

0= ¿ (2)

0=− c 1+c 2− 0

0 =− (1)+c 2− 0= c2+0

or tanto11 =C

"52 =C

7ina$&ente, $a ecuación e &o+i&iento tiene $a%or&a

Remplazo en la ecuación particular

x(t )= e− t

+ t e− t

(1)

)51()( 5 t et x t += 8es uesta errónea

x (t)5 (1+ t )e− t

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0252

2

=++ xdt

dxb

dt

xd

Caso 0: 'K/4

"a ecuación característica es:

a.0252 =++ λ λ b

,!u"as raíces son

2472

10014914 2 ±−=−±−

#o es $a %or&a correcta e a$$ar $as raíces

e esta ecuación.or $o tanto

7

7

07):7)(:(

2

1

11

−=−=

=

λ λ

λ λ

La ecuación e &o+i&iento tiene $a %or&a

t

t t

C eC t x

eC eC t x

2)247(

1

)247(2

)247(1

247()247()(

)(±−

±−±−

±−+±−=′+=

!o&o $os atos no corres on en entoncest t eC eC t x )7(2

)7(1)(

−− +=

t t eC eC t x )7(2)7(

1 )7()7()( −− −+−=′

ara ; (0)51 " x′

&%'=% se tiene elsiste!a

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4824724

4824724

)247()247(0

1

21

21

21

−=+=

±−+±−=+=

yC C

C C

C C

Procedimiento adicional

01

!!1

1

)0(72

)0(71

+=+ −−

C

ee

6 ora0)0(' = x

3 !uan o 4´5 0, t 5 0*t t eC eC t x )7(2

)7(1 )7()7()(

−− −+−=′

t eet x

C C

C C

()247(

21

21

)48

24724()

4824724

()(

)247()247(0

1

±− −++=

±−+±−=+=

0)7(2

0)7(1

)7(2

)7(1

)7()7()0()7()7()(

−−−−

−+−=′−+−=′

eC eC xeC eC t x

t t

2

2

2

2

21

021

02

01

14

7777

7)1(07

770

)77()0(

)7()7()0(

C

C C

C

C C

eC C x

eC eC x

==+ +−=

+−=+−+−=

−+−=′−+−=′

(or lo tanto: C1=1 y, C2=1)

*inal!ente, la ecuación de !ovi!iento

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tiene la for!a:

t eet x 247()247(48

2472448

24724)( +−−−

−+

+=

(ste falso

1+14 ¿e− %t x(t )= e− %t +14 e−%t x (t )= ¿

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CONCLUSIONES

• Los m%todos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden se basan /a menos ue sea una ecuación con coeficientes

constantes0 en la suposición de ue es sencillo hallar /normalmente por simpleinspección0 o nos viene dada una solución particular de la homog%nea asociada.•

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REFERENCIAS 9I9LIO&R?FICAS

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