10 - PMI2632 - 2014 - Criterios de Ruptura

CRITRIOS DE RUPTURA

Escola Politcnica da Universidade de So PauloDepartamento de Engenharia de Minas e de Petrleo

PMI 2632 - Mecnica de Rochas Aplicada Minerao

Prof. Eduardo Csar Sansone

As rochas podem estar submetidas a diferentes tipos de solicitaes mecnicas: compresso, trao, cisalhamento, flexo etc., ou mesmo combinaes destas.

Se suficientemente grandes, estas tenses, atuando em conjunto, podem levar ruptura ou plastificao da rocha.

Assim, para se caracterizar o estado de tenses em que ocorrer a ruptura ou a plastificao so utilizados critrios baseados em diferentes mecanismos de ruptura e/ou plastificao, caractersticos de cada litologia.

NECESSIDADE DE UM CRITNECESSIDADE DE UM CRITRIO DE RUPTURARIO DE RUPTURA

Mudana de comportamento: elstico plstico

CRITCRITRIOS DE RUPTURARIOS DE RUPTURA

A expresso bsica de um critrio de ruptura para um material isotrpico serdada por:

Considerando-se um ponto no interior do macio rochoso onde os esforos atuantes resultem nos valores das tenses principais: s1, s2 e s3. Pode-se definir a seguinte tenso efetiva:

A ruptura ocorrer quando:

E no ocorrer ruptura quando:

0321 ),,(f s=sss

),,(f 321 sss=s

0ss

0s

CRITCRITRIO DE RUPTURA DA MRIO DE RUPTURA DA MXIMA TENSO NORMALXIMA TENSO NORMAL(CRIT(CRITRIO DE RANKINE)RIO DE RANKINE)

O mais simples critrio de ruptura aquele no qual a ruptura esperada quando a maior tenso normal atuante atingir um valor caracterstico da resistncia do material.

O critrio definido por:

Onde sU corresponde tanto resistncia compresso quanto trao do material.

Um conjunto particular de tenses atuantes pode ser caracterizado pela seguinte tenso efetiva:

Assim, o fator de segurana contra a ruptura por trao ou por compresso ser dado por:

),,max( 321N sss=s

U321 ),,max( s=sss

N

UFSss

=

Representao bidimensional do critrio

Estado Plano de Tenses (s3 = 0)

O critrio fica:

As fronteiras da regio so delimitadas por: e

U21 ),max( s=ss

U1 s=s U2 s=s

DDFS N=


Estado Tridimensional de Tenses

As fronteiras da regio so delimitadas por: , e

Representao tridimensional do critrio

U1 s=s U2 s=s U3 s=s

DDFS N=


CRITRIO DE RUPTURA DA MXIMA TENSO DE CISALHAMENTO(CRITRIO DE TRESCA)

CRITCRITRIO DE RUPTURA DA MRIO DE RUPTURA DA MXIMA TENSO DEXIMA TENSO DECISALHAMENTO (CRITCISALHAMENTO (CRITRIO DE TRESCA)RIO DE TRESCA)

Neste critrio a ruptura esperada quando a maior tenso de cisalhamento atuante atingir o valor da resistncia ao cisalhamento do material, t0.

As tenses mximas de cisalhamento so dadas por:

Assim o critrio fica definido por:

0213132 )

2,

2,

2max( t=

s-ss-ss-s

2e

2,

221

331

232

1

s-s=t

s-s=t

s-s=t

Tenses de cisalhamento atuantes

A resistncia ao cisalhamento da rocha, t0, pode ser obtida a partir de ensaios de compresso uniaxial:

Onde s0 a resistncia compresso uniaxial do material. Assim o critrio fica:

ou

Cisalhamento na compresso uniaxial

2)

2,

2,

2max( 0133221

s=

s-ss-ss-s

20

0

s=t

0133221 ),,max( s=s-ss-ss-s


Ruptura em amostra de argila a partir de esforos de cisalhamento




O critrio fica:

As fronteiras da regio so delimitadas por: , e

01221 ),,max( s=sss-s

021 s=s-s 02 s=s 01 s=s




As fronteiras da regio so delimitadas por: ,

e

021 s=s-s 032 s=s-s

031 s=s-s

'D'DFS S=


COMPARAO: CRITRIO DE RANKINE x CRITRIO DE TRESCA

CRITCRITRIOS DE RUPTURA DA MRIOS DE RUPTURA DA MXIMA TENSO NORMALXIMA TENSO NORMALE ME MXIMA TENSO DE CISALHAMENTOXIMA TENSO DE CISALHAMENTO

Caractersticas

- Os 2 critrios so mais adequados para prever a ocorrncia de plastificaoem materiais dcteis, ex.: metais.

- Os 2 critrios so de fcil implementao em metodologias de projeto.

- Os 2 critrios so adequados somente quando a resistncia compresso e trao do material possurem a mesma magnitude (caso dos metais).

- O critrio da mxima tenso de cisalhamento independe do nvel de tenses isostticas (representado pelo eixo do prisma de base hexagonal), depende somente das tenses desviadoras.

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ]

ss

s-

stttsttts

=

s-s=

+s=s

oct

oct

oct

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

oct

oct

000000

s

s

s

CRITRIO DE RUPTURA DE MOHR-COULOMB

CRITCRITRIO DE RUPTURA DE MOHRRIO DE RUPTURA DE MOHR--COULOMBCOULOMB

Neste critrio, a ruptura esperada, quando uma combinao linear da tenso normal e da tenso de cisalhamento atuantes sobre um dado plano atingir um valor crtico.

Assim o critrio fica definido por:

Onde: t e s so as tenses atuantes no plano de ruptura e ti e m so constantes caractersticas do material.

Para um dado estado de tenses s1, s2 e s3, ocorrer a ruptura se o maior dos crculos de Mohr tangenciar a reta definida pelo critrio.

sm+t=tt=sm-t ii


s e t representam as tenses atuantes no plano de ruptura:

Fazendo substituies teremos:

Onde:

fs-s

=t

fs-s

-s+s

=s

sen2

'

cos22

'

31

3131

u3131 2)(m t=s+s-s-s

ft=m+

t=t

f=m+

m=

sen1

cos1

m

i2

iu

2



Das equaes: Teremos:

Com a seguinte representao grfica:

Onde:suc = resistncia compresso uniaxialsut = resistncia trao uniaxial

u1313

u3232

u2121

2)(m

2)(m

2)(m

t=s+s-s-s

t=s+s-s-s

t=s+s-s-s

u11

u22

u2121

2m

2m

2)(m

t=s-s

t=s-s

t=s+s-s-s




As fronteiras da regio so delimitadas por 6 planos.



Representao tradicional do critrio:

Onde:c = coeso da rochaj = ngulo de atrito interno da rocha

Ou em termos das tenses principais:

js+=t tgc

j-j

+sj-j+

=ssen1

cos2c

sen1sen1

31

Critrio de ruptura de Mohr-Coulomb


A determinao experimental dos parmetros caractersticos de cada litologia, c e j, pode ser feita atravs de uma anlise de regresso sobre resultados de ensaios mecnicos em rocha sob diferentes condies de confinamento (diferentes estados s1 x s3):

Assim:

a2b

c

1a1a

arcsen

=

+-

=j

ba 31 +s=s

Diferentes condies de ensaio


Uma correo muitas vezes aplicada visando corrigir a pobre representao do Critrio de Mohr-Coulomb, em relao ao comportamento das rochas na regio de tenses de trao, o truncamento da reta no valor correspondente Resistncia Trao da rocha.

Critrio de Mohr-Coulomb truncado na resistncia trao da rocha (T0)

CRITRIO DE RUPTURA DE GRIFFITH

CRITCRITRIO DE RUPTURA DE GRIFFITHRIO DE RUPTURA DE GRIFFITH

Segundo a hiptese de Griffith, a ruptura de materiais frgeis como as rochas, se inicia quando a resistncia trao do material excedida pelas tenses geradas nas extremidades das fissuras microscpicas (pequenas fraturas ou contornos de gros) presentes na rocha.

Griffith desenvolveu uma soluo para fissuras de formato elptico em um meio elstico-linear isotrpico, a partir da condio de que a energia total diminui ou permanece constante quando a fissura se estende.

Modelo de Griffith a) Hiptese de Griffith, b) Real comportamento das rochas

CRITCRITRIO DE RUPTURA DE GRIFFITHRIO DE RUPTURA DE GRIFFITH

No estado plano de tenses o critrio apresenta a seguinte expresso:

Ou em termos das tenses de cisalhamento e normal:

Onde T0 a resistncia trao da rocha.

( ) ( ) 0T8 210221 =s+s-s-s

( )002 TT4 +s=t

Critrio de ruptura de Griffith

CRITRIOS DE RUPTURA DE HOEK & BROWN

CRITCRITRIOS DE RUPTURA DE HOEK & BROWNRIOS DE RUPTURA DE HOEK & BROWN

Hoek e Brown em 1980 propuseram a utilizao de um critrio de ruptura emprico, baseado diretamente em resultados de ensaios em rocha (trao, compresso uniaxial e compresso triaxial).

Este critrio mais adequado representao do comportamento das rochas, pois fornece uma melhor aderncia na regio de baixas tenses e trao, jque o critrio de Mohr-Coulomb tende a superestimar a resistncia trao das rochas.

O desenvolvimento do critrio se baseou na realizao de um grande nmero de ensaios sobre vrios tipos litolgicos.

Alguns ensaios realizados por Hoek & Brown


O critrio de ruptura de Hoek & Brown prev uma envoltria curvilnea para os crculos de Mohr correspondentes aos ensaios realizados, com a relao s3 x s1assumindo a seguinte expresso:

Onde:

s1 = tenso principal maior na rupturas3 = tenso principal menor na rupturasc = resistncia compresso uniaxial da rocha intactam = constante caracterstica do tipo litolgico variando entre 0 e 25s = constante caracterstica do grau de alterao da rocha variando entre 0 e 1

2c3c31 sm s+ss+s=s


A seguir podemos observar grficos tpicos para s3 x s1 e sN x t:

Grfico s3 x s1 Grfico sN x t


Valores de m e s em funo da litologia e do grau de alterao


Em 1992 Hoek, Wood e Shah propuseram uma modificao no critrio original, adequando sua utilizao para a representao do comportamento de macios rochosos fraturados (macios no coesivos), onde a resistncia trao nula.

O critrio de ruptura de Hoek & Brown modificado prev tambm uma envoltria curvilnea para os crculos de Mohr correspondentes aos ensaios realizados, com a relao s3 x s1 assumindo a seguinte expresso:

Onde:

s1 = tenso principal maior na rupturas3 = tenso principal menor na rupturasci = resistncia compresso uniaxial da rocha intactamb e a = constantes caractersticas tipo de macio rochoso

a

ci

3bci31 m

ss

s+s=s

A seguir podemos observar grficos tpicos para s3 x s1 e sN x t:

Grfico s3 x s1 Grfico sN x t



Valores para mb e a


Tamanho de blocos e espaamento de descontinuidades


Valores para mi


Em 2002 Hoek, Torres e Corkum propuseram uma forma generalizada para o critrio original, adequando sua utilizao para a representao tanto do comportamento de rocha intacta, como do comportamento de macios rochosos fraturados.

O critrio de ruptura de Hoek & Brown generalizado prev tambm uma envoltria curvilnea para os crculos de Mohr correspondentes aos ensaios realizados, com a relao s3 x s1 assumindo a seguinte expresso:

Onde:

s1 = tenso principal maior na rupturas3 = tenso principal menor na rupturasci = resistncia compresso uniaxial da rocha intactamb, a e s = constantes caractersticas do tipo de macio rochoso e da litologia

Para o caso de rocha intacta a equao anterior assume a forma do critrio de Hoek & Brown original:

a

ci

3bci31 sm

+

ss

s+s=s

5,0

ci

3ici31 1m

+

ss

s+s=s

s+ss+s=s 2c3c31 sm


mb o valor reduzido da constante mi caracterstica da litologia:

s e a so constantes caractersticas do macio rochoso com expresses dadas por:

Onde:GSI = Geological Strengh IndexD = fator que caracteriza o distrbio sofrido pelo macio em razo da

escavao e da relaxao das tenses

E a resistncia compresso uniaxial do macio dada por:

D1428100GSI

ib emm --

=

D39100GSI

es --

=

-+=

--320

15GSI

ee61

21

a

acic ss=s


Valores para GSI


Valores para D

A determinao experimental dos parmetros caractersticos de cada litologia, mi e sci para o caso de ensaios sobre rocha intacta pode ser feita atravs de uma anlise de regresso sobre resultados de ensaios mecnicos em rocha sob diferentes condies de confinamento (diferentes estados s3 x s1):

Desta forma possvel realizar um regresso linear sobre a seguinte relao:

Assim:


( )2

ciici

2ci3ici

231

xmybxay

m

s+s=+=

s+ss=s-s

ba

m

b

i

ci

=

=s

5,0

ci

3ici31 1m

+

ss

s+s=s

CRITRIOS DE RUPTURA- Critrio da mxima tenso normal (Critrio de Rankine).- Critrio da mxima tenso de cisalhamento (Critrio de Tresca).- Critrio de Mohr-Coulomb.- Critrio de Griffith.- Critrios de Hoek & Brown: verses 1980, 1992 e 2002.

RESUMO DO TEMARESUMO DO TEMA

BRADY, B. H. G.; BROWN, E. T. Rock mechanics for underground mining. London, Chapman & Hall, 1994.

HOEK, E. Rock engineering - the application of modern techniques to underground design. So Paulo, CBMR, 1998.

GOODMAN, R. E. Introduction to rock mechanics. New York, Wiley, 1980.

PARRY, R. H. G. Mohr circles, stress paths and geotechnics. London, FN Spon, 1995.

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