# 10 – Parallélogrammes particuliersI – Propriétés des parallélogrammes particuliers

Remarque : les rectangles, losanges et carrés sont tous des parallélogrammes particuliers. Ils ont tous un centre de symétrie : le point d'intersection de leurs diagonales.

1.) Propriétés des rectangles

Définition 1 : Un rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits.

Propriété 1 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors :

• il possède 2 axe(s) de symétrie : les médiatrices de ses côtés. • ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.• ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

2.) Propriétés des losanges

Définition 2 : Un losange est un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur.

Propriété 2 : Si un quadrilatère est un losange, alors :

• il possède 2 axe(s) de symétrie : ses diagonales. • ses angles opposés sont de même mesure.• ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

3.) Propriétés des carrés

Définition 3 : Un carré est un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.

Propriété 3 : Si un quadrilatère est un carré, alors :

• il possède 4 axe(s) de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. • ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu et sont de même

longueur.

Exercice 1 : Extrait du manuel Sésamath, n°42 p143.Construis en vraie grandeur les rectangles suivants.

Exercice 2 : Extrait du manuel Sésamath, n°43 p144.Construis en vraie grandeur les losanges suivants.

Exercice 3 : Construis un carré BRUT de centre O tel que BU = 5,8 cm.Exercice 4 : Extrait du manuel Sésamath, n°37 p143.Pour chaque énoncé trace une figure à main levée et démontre ta réponse.a) PONT est un losange de centre E. Démontre que (PN) et (OT) sont perpendiculaires.b) CRUE est un rectangle de centre O tel que CU = 5,5 cm. Combien mesure [RE] ?c) BALI est un rectangle de centre M. Démontre que le triangle BAM est isocèle.d) TORE est un carré de centre D tel que TO = 3,7 cm. Combien mesure [OR] ?

Rédaction : a) On sait que PONT est un losange.Or les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.Donc (PN) et (OT) sont perpendiculaires.b) On sait que CRUE est un rectangle.Or les diagonales d'un rectangle sont de même longueur.Donc RE = 5,5 cm c) On sait que BALI est un rectangle de centre M.Or les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur.Donc MB = MA On en déduit que le triangle MAB est isocèle en M.d) On sait que TORE est un carré.Or un carré est un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur.Donc OR = TO = 3,7 cm.

II – Démontrer qu'un parallélogramme est …1.) Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle

Propriétés 4 et 5 : • Si un parallélogramme a 1 angle droit … • Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur …

… alors c'est un rectangle.

2.) Démontrer qu'un parallélogramme est un losange

Propriétés 6 et 7 : • Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur … • Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires …

… alors c'est un losange.

3.) Démontrer qu'un parallélogramme est un carréRemarque : Un carré est à la fois un rectangle et un losange. On peut démontrer qu'un parallélogramme est un carré s'il possède à la fois une propriété des rectangles (P4 ou P5) et une autre des losanges (P6 ou P7).

Propriétés 8 à 11 : • Si un parallélogramme a 1 angle droit et 2 côtés consécutifs de même longueur … • Si un parallélogramme a 1 angle droit et ses diagonales perpendiculaires … • Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur et ses diagonales

perpendiculaires … • Si un parallélogramme a ses diagonales à la fois perpendiculaires et de même

longueur … … alors c'est un carré.

Exercice 5 : Extrait du manuel Sésamath, n°55 p144.a) Le parallélogramme CHAT est tel que AT = CT. Démontre que c'est un losange.b) Le parallélogramme GRIS est tel que GI = RS. Démontre que c'est un rectangle.c) Le parallélogramme NUIT de centre S est tel que SN = SU et les droites (IN) et (TU) sont perpendiculaires. Démontre que c'est un carré.

Rédaction :a) On sait que CHAT est un parallélogramme et que AT = CT.Or si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.Donc CHAT est un losange.b) On sait que GRIS est un parallélogramme tel que GI = RS.Or si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.Donc GRIS est un rectangle.c) On sait que NUIT est un parallélogramme, que SN = SU et que (IN) ⊥ (TU).Or si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré. Donc NUIT est un carré.

Socle commun et bilan des compétences travaillées dans ce chapitre : A l'issue de ce chapitre, je dois :

• Savoir le vocabulaire, les définitions, propriétés et méthodes du cours.• Savoir construire un rectangle, un losange, un carré.• Savoir démontrer dans un rectangle, dans un losange et dans un carré.• Savoir démontrer qu'un quadrilatère ou un parallélogramme est un rectangle, un

losange ou un carré.