10 – 1

10. Merenje impedanse, kapacitivnosti i

induktivnosti

Reaktivne komponente kao što su kondenzator i kalem karakterišu se diferencijalnim konstitutivnim

relacijama koje opisuju odnos napona i struje na njihovim krajevima

t

tuCti

d

d (10.1)

t

tiLtu

d

d (10.2)

Faktor proporcionalnosti C u izrazu 10.1 naziva se kapacitivnost i izražava se u faradima (F). Konstanta

L u izrazu 10.2 naziva se induktivnost i izražava se u henrijima (H). U većini slučajeva smatra se da su

C i L konstante koje ne zavise od napona i struje dovedenih na krajeve reaktivnih elemenata, kao ni od

njihove učestanosti. Ovo nije u potpunosti tačno, ali u veoma širokom opsegu, ta zavisnost nije jako

izražena, pa se ti efekti često zanemaruju. Takođe relacije 10.1 i 10.2 zanemaruju sve neidealnosti u

ovim komponentama, poput npr. parazitne otpornosti. Stoga se za kalemove i kondenzatore definisane

tim izrazima kaže da su idealni.

Umesto relacije 10.1 u vremenskom domenu, idealan kondenzator se može karakterisati u kompleksnom

domenu (fiksirana učestanost) preko svoje kompleksne impedanse ZC u omima.

C

C

CC jX

fCj

Cj

I

UZ

2

11def.

(10.3)

Gde se sa XC obeležava kapacitivna otpornost kondenzatora, izražena u omima, tj. ona predstavlja

imaginarni deo impedanse kondenzatora. Jasno je da kapacitivna otpornost kondenzatora opada sa

učestanošću i da se idealan kondenzator na veoma velikim učestanostima ponaša kao kratak spoj, dok

se u jednosmernom režimu rada (ω = 0 rad/s), ponaša kao otvorena veza.

Slično se dobija i izraz za kompleksnu impedansu idealnog kalema, koja iznosi

L

L

LL jXfLjLj

I

UZ 2

def.

(10.4)

Sa XL označena je induktivna otpornost kalema, tj. imaginarni deo njegove impedanse. Iz 10.4 se

zaključuje da je idealan kalem kratak spoj za jednosmernu struju, a otvorena veza za signale na veoma

velikim učestanostima.

Ovde treba primetiti da je kompleksna otpornost kondenzatora negativna, dok je kompleksna

otpornost kalema pozitivna. To jedno od najvažnijih svojstava koje karakteriše (i razlikuje) ova dva

elementa u električnim kolima. Tako će impedansa nekog složenog električnog kola, koje se sastoji iz

više elemenata (otpornici, kalemovi, kondenzatori), biti smatrana „pretežno kapacitivnom“ ako je za

datu kružnu učestanost ω njen imaginarni deo negativan. Obrnuto, za impedansu složenog kola čiji je

imaginarni deo pozitvan reći će se da je „pretežno induktivna“.

10 – 2

10.1. Merenje impedanse, kapacitivnosti i induktivnosti U/I metodom

Ako kondenzatore i kalemove smatramo idealnim Za merenje kapacitivnosti i induktivnosti idealnih

komponenti, dovoljno je izmeriti količnik efektivnih vrednosti napona i struje na njihovim krajevima,

iz kojih se onda izračunaju odgovarajuće vrednosti kapacitivnosti i indukivnosti:

C

C

C U

I

XC

1 (10.5)

L

LL

I

UXL

(10.6)

10.1.1. Merenje kapacitivnosti neidealnih kondenzatora

U praksi se retko sreću elektronske komponente koje su idealne, kao što to podrazumevaju teorijski

izrazi 10.1 i 10.2, odnosno 10.3 i 10.4. Kondenzatori i kalemovi imaju brojne nesavršenosti koje su

posledica načina njihove konstrukcje, a koje se moraju uzeti u obzir prilikom merenja.

Kako nijedan dielektrik od koga se prave kondenzatori nije idealan, tj. ima konačnu otpornost, sledi da

će kroz njega uvek proticati neka mala struja (reda nA ili pA). To „curenje“ kroz dielektrik u

kondenzatoru, najčešći je uzrok njegove neidealnosti i obično se modeluje kao veoma velika otpornost

RC (MΩ ili GΩ) vezana u paralelu sa kapacitivnošću C, kao na slici 10.1.

Slika 10.1. Ekvivalentna šema neidealnog kondenzatora

Umesto izraza 10.1. i 10.3, važiće izrazi 10.7 i 10.8

t

tuC

R

tuti

d

d (10.7)

otpornost akapacitivn stvarna

2

2

21

1

11||

1||

CR

CR

Cj

CR

R

CRj

RR

CjRjXZ

C

C

C

C

C

CCCCC

(10.8)

Za jednosmernu struju, izraz 10.5, svodi se na

C

C

C

C

CC R

CjCR

CR

CR

RZ

1

11lim0 za

2

2

20

(10.9)

Tek na dovoljno velikoj učestanosti, prvi sabirak teži nuli, pa se dobija izraz koji je identičan slučaju

idealnog kondenzatora

RC

C

10 – 3

C

C

C

C

C

CR

C jXC

jCjCR

CR

CR

RZ

C

11

11lim velikoza

2

2

2

10

(10.10)

Nešto kasnije ćemo pokazati da u još realnijem razmatranju različitih parazitnih efekata, ne sledi da će

neograničenim povećavanjem učestanosti kondenzator neograničeno popravljati svoja kapacitivna

svojstva. Zbog toga ovde namerno nije napisano da ω → ∞.

Za neku proizvoljnu učestanost, sledi da je U/I metoda, objašnjena u prethodnom poglavlju, najdirektnija

metoda za merenje kapacitivnosti i u slučaju neidealnog kondenzatora. S tim da se ona sada mora

sprovesti u dve faze:

Faza 1) merenje parazitne otpornosti RC pri jednosmernoj struji, jer je tada ZC = RC:

DC

DCC

I

UR (10.11)

Faza 2) određivanje modula ukupne impedanse na nekoj kružnoj učestanosti ω:

AC

AC

CI

UZ (10.12)

Kapacitivnost C se tada može izračunati kao razlika fazora kompleksnih otpornosti po Pitagorinoj

teoremi, ili iz izraza 10.8 kao:

22

1

CC RZC

(10.13)

Na kraju, spomenemo da je u svim prethodnim razmatranjima smatrano da je kapacitivnost C

nepromenljiva i da na nju ne utiču nikakvi spoljašnji faktori. U stvarnosti kapacitivnost C nije

konstantna, već se menja sa promenom učestanosti i napona u kolu: C = f(ω, V). Ova zavisnost se često

zanemaruje, ali ako se kondenzator izloži veoma velikom naponu ili dovoljno velikoj učestanosti,

njegova kapacitivnost se počinje ponašati nelinearno (ne važi Omov zakon u kompleksnom domenu dat

izrazima 10.3, 10.8 i 10.14, odnosno konstitutivnim relacijama 10.1 i 10.7). Tada se kondenzator mora

modelovati nelinearnim elementima u ekvivalentnoj šemi i sistemom nelinearnih jednačina, koje jedine

mogu u potpunosti opisati i predvideti njegovo ponašanje.

10.1.2. Merenje kapacitivnosti elektrolitskih kondenzatora

Elektrolitski kondenzatori su komponente koje su konstruisane posebnim tehnološkim postupkom radi

obezbeđivanja velike kapacitivnosti. To se postiže tako što se metalna ploča, koja čini anodu, nagrize

kiselinom (elektrolitom) da bi se stvorio izuzetno tanak i savršeno nalegajuć sloj dielektrika. Ostatak

elektrolita u kondenzatoru služi kao druga elektroda – katoda. Elektrolit u kondenzatoru je veoma

osetljiv na promenu polariteta napona i može dovesti do eksplozije ili požara. Zato se obloge ovih

kondenzatora uvek fabrički označavaju vidljivim oznakama „+“ i „–“. To znači da se pri merenju

kapacitivnosti elektrolitskih kondenzatora mora obezbediti jednosmerna pretpolarizacija zajedno sa

naizmeničnim izvorom napajanja1. Na slici 10.2 data je blok šema za merenje kapacitivnosti

elektrolitskog kondenzatora CX. U kolo su redno vezani izvori prostoperiodičnog i konstantnog napona,

1 Postoje i bipolarni elektrolitski kondenzatori, kojima se ovaj problem prevazilazi, pa se njihova kapacitivnost

može meriti istim postupcima koji se primenjuju za bilo koji drugi kondenzator.

10 – 4

s tim da konstantni napon mora biti veći od amplitude naizmeničnog napona, kao što je pokazano na

slici 10.3. Ampermetar i voltmetar u kolu su takvi da im je skretanje srazmerno efektivnoj vrednosti

signala. Kondenzator CBLOK, je blokirajući kondenzator koji ne dozvoljava proticanje jednosmerne

struje, pa voltmetar meri samo efektivnu vrednost naizmenične komponente napona na elektrolitskom

kondenzatoru. Takođe treba primetiti da, kada se elektrolitski kondenzator napuni na vrednost E,

jednosmerna struja kroz njega prestaje da teče i ampermetar tada, takođe meri samo naizmeničnu

komponentu struje u kolu.

Slika 10.2. Šema za merenje kapacitivnosti unipolarnog elektrolitskog kondenzatora

Slika 10.3. Napon elektrolitskog kondenzatora u kolu sa slike 10.2 u ustaljenom režimu

Ubacivanjem blokirajućeg kondenzatora, omogućeno je da se kapacitivnost odredi po istoj relaciji, kao

i za bilo koji drugi kondenzator. Ako ga smatramo idealnim, onda po izrazu 10.5, neidealnim po izrazu

10.13 itd. Izvor grešaka krije se u činjenici da ni blokirajući kondenzator nije idealan, pa pri modelovanju

treba uzeti u obzir i njegove nesavršenosti (konačnu otpornost dielektrika, parazitnu induktivnost i

otpornost priključnih nožica.

10.1.3. Merenje induktivnosti neidealnih kalemova sa vazdušnim jezgrom

Namotaji kalema načinjeni su od žice čija je otpornost veoma mala, ali ipak konačna. Ova otpornost, u

oznaci RL, modeluje se kao otpornik vezan na red sa kalemom, kao na slici 10.4.

Slika 10.4. Ekvivalentna šema neidealnog kalema

Umesto izraza 10.2 i 10.4, sada će konstitutivna relacija i kompleksna impedansa ovakvog elementa biti

t

tiLtRitu

d

d (10.14)

LjRZ LL (10.15)

Za jednosmernu struju, izraz 10.15, svodi se na

U

CBLOK E

A

V CX

+

E

t

U· 2

L RL

10 – 5

LLL RLjRZ

0lim0 za (10.16)

Na dovoljno velikoj učestanosti, drugi sabirak dominira, pa se dobija izraz koji je identičan slučaju

idealnog kalema.

LLL jXLjLjRZ

0lim velikoza (10.17)

Za neku proizvoljnu učestanost ω, sledi da je U/I metodu moguće primeniti za merenje induktivnosti u

slučaju neidealnog kalema, ali se, kao i kod neidealnog kondenzatora, merenje mora sprovesti u dve

faze:

Faza 1) merenje parazitne otpornosti RL pri jednosmernoj struji:

DC

DC

LI

UR (10.18)

Faza 2) određivanje modula ukupne impedanse na nekoj kružnoj učestanosti ω:

AC

AC

LI

UZ (10.19)

Induktivnost L se tada može izračunati iz izraza 10.15, tj. kao razlika kompleksnih fazora:

22

LL RZL

(10.20)

10.1.4. Merenje induktivnosti kalemova sa magnetskim jezgrom

Induktivnost kalema u velikoj meri zavisi od tipa magnetskog kola oko koga je namotana žica. Kada se

u unutrašnjosti kalema nalazi vazduh, tada kalem ima linearna svojstva bez obzira na jačinu i učestanost

struje kroz kalem. Međutim, ako se u unutrašnjosti kalema nalazi jezgro od paramagnetika2 tada se deo

energije električnog kola troši na gubitke termičke gubitke usled vrtložnih struja u jezgru, a ako je

materijal feromagnetik3 onda se ovim gubicima dodaju i gubici usled histerezisa. Ovaj oblik energije

predstavlja aktivne gubitke u kolu i posledica je angažovanja aktivne snage. Kako je idealan kalem čisto

reaktivan element, sledi da se ovi aktivni gubici mogu modelovati kao redna otpornost, baš kao na slici

10.4. Međutim, to je samo ekvivalentna otpornost i ona ne znači da je za njeno određivanje moguće

primeniti U/I metodu u dve faze. To je stoga što pri jednosmernoj pobudi ne postoje gubici histerezisa i

vrtložnih struja. Umesto toga, aktivni gubici moraju se odrediti pomoću vatmetra.

Prividna snaga kalema iznosi

LZIIUS2

(10.21)

Ako usvojimo da struja u kolu ima nultu fazu, onda se gornji izraz može napisati kao

2 Paramagnetski materijal je linearan magnetski materijal sa velikom relativnom magnetskom permeabilnošću μr,

koja se može smatrati konstantom (nema histerzisa na B-H dijagramu). Materijal se lako namagnetiše, a nakon

prestanka delovanja magnetskog polja, materijal se razmagnetiše. 3 Feromagnetik je magnetski materijal sa velikim nelinearnim μr, takvim da je μr funkcija spoljašenjg magnetskog

polja (izražen histerzis na B-H dijagramu). Zahvaljujući tome, materijal ostaje namagnetisan i nakon prestanka

delovanja spoljašenjg magnetskog polja.

10 – 6

jQPLjIRILjRIZIS gubitakagubitakaL 2222 (10.22)

Sa druge stane važi da je

22222 LIPQPUIS (10.23)

Iz 10.23 sledi da se induktivnost kalema sa magnetskim jezgrom može odrediti merenjem efektivne

vrednosti napona U, efektivne vrednosti struje I i aktivne snage P u kolu. Šema merenja odgovara metodi

merenja aktivne, reaktivne i prividne snage monofaznog potrošača i prikazana je na slici 10.5.

Slika 10.5. Šema za merenje induktivnosti kalema sa magnetskim jezgrom

Očitavanjem pokazivanja odgovarajućih instrumenata, na osnovu 10.23, dobija se da je

22

2

1PUI

IL

(10.24)

Ovde treba napomenuti da aktivna snaga P uključuje sve tipove aktivnih gubitaka uključujući i one koji

potiču od parazitne otpornosti samih namotaja kalema RL. Međutim, šema za merenje sa slike 10.5 nije

pogodna za određivanje induktivnosti kalemova koji nemaju magnetsko jezgro, jer bi aktivni gubici tada

uključivali samo termičke gubitke na RL, koji su veoma mali. Vatmetar bi tada imao veoma mali otklon,

pa bi greška merenja bila neprihvatljivo velika.

10.2. Naizmenični merni mostovi

Najtačnije i najpopularnije metode za merenje kapacitivnosti i induktivnosti su mostne metode.

Naizmenični mostovi omogućavaju međusobno poređenje kompleksnih impedansi koje u sebi mogu

sadržati kapacitivne i induktivne elemente, nasuprot čistim otpornostima kod jednosmernih mostova.

Otpornike R u granama mosta zamenjuju kompleksne impedanse Z = R + jX, a jednosmerni izvor

napajanja menja se naizmeničnim. Kao i kod jednosmernih mostova, i ovde je moguće definisati

osetljivost, ali je to sada dualan pojam i deli se na osetljivost faze i osetljivost amplitude napona ili struje

merne dijagonale na promenu nekog parametra. Opšti primer naizmeničnog mosta prikazan je na slici

10.6.

A

V

U , ω

I

W

L

10 – 7

Slika 10.6. Naizmeničan merni most

Uslov ravnoteže naizmeničnog mosta svodi sa na izjednačavanje proizvoda impedansi u naspramnim

granama i dat je izrazom 10.25.

3241 ZZZZ (10.25)

Iako, na prvi pogled, ovaj uslov izgleda identičan onom datom za jednosmerne mostove, izraz 10.25 u

sebi krije dve jednakosti: jednakost po amplitudi i jednakost po fazi, s obzirom da su Z1, Z2, Z3 i Z4,

kompleksne veličine:

3241 ZZZZ (10.26)

3241 (10.27)

Alternativno, mogu se napisati i jednakosti realnog i imaginarnog dela izraza 10.25.

Re{ 41 ZZ } = Re{ 32 ZZ } (10.28)

Im{ 41 ZZ } = Im{ 3241 ZZZZ } (10.29)

Ovo ima za posledicu da je u mernoj dijagonali potrebno posedovati tzv. vektorski indikator nule, tj.

instrument koji je u mogućnosti da detektuje i amplitudu i fazu napona. U praksi je dovođenje indikatora

u nulti položaj veoma teško izvesti, jer se most mora istovremeno uravnotežiti po dva nezavisna

(ortogonalna) parametra. To znači da postoji opasnost od upadanja u lokalne minimume prilikom

uravnotežavanja po jednom parametru, kada se indikator samo približi nuli, a da potom dalje

uravnotežavanje po drugom parametru iz te pozicije nije moguće, pa se most mora razdesiti i traženje

ravnoteže nastaviti. Uravnotežavanje naizmeničnih mostova stoga je veoma zahtevan i mukotrpan posao

koji se izvodi u mnogo iteracija. Zato su konstruisani brojni mostovi koji ovaj problem prevazilaze.

Postoji još jedna važna razlika između naizmeničnih i jednosmernih mernih mostova, a to je činjenica

da se naizmenični mostovi, u praksi, nikada ne koriste kao neuravnoteženi.

10.2.1. R/C mostovi

Pasivni naizmenični mostovi koji koriste samo otpornike i kondenzatore u svojim granama, spadaju u

podgrupu naizmeničnih mostova koji se nazivaju R/C mostovi. Princip uravnotežavanja R/C mostova

zasniva se na ideji da će dve impedanse sa fazama istog predznaka, vezane u susedne grane mosta,

međusobno da se kompenzuju i omoguće dovođenje indikatora u nulti položaj. Osnovna mana R/C

mostova jeste činjenica da se unapred mora znati da je nepoznata impedansa Zx, koja se želi odrediti,

Z1 Z2

UN

Z3 Z4

10 – 8

kapacitivna. Međutim, u odnosu na opšti slučaj naizmeničnog mosta, ovi mostovi omogućavaju veoma

efikasno uravnotežavanje. Kao primeri R/C mostova biće razmotreni Vinov i Šeringov most.

1891. godine nemački fizičar Maks Vin (Max Wien) osmislio je prvi R/C most, koje po svom

konstruktoru nazvan Vinov most. To bio je prvi pokušaj da se napravi naizmeničan most sa brzim

uravnotežavanjem. Most je predviđen za određivanje pretežno kapacitivne impedanse Zx i prikazan je

na slici 10.7. U grane mosta su vezana dva promenljiva otpornika R3 i R4, kao i izvor promenljive

učestanosti.

Slika 10.7. Vinov most

Uslov ravnoteže mosta dat je relacijom

3324 CjRRRZ X (10.30)

Ako se Zx predstavi paralelnom vezom kapacitivnosti i otpornosti, onda je dalje

33241

CjRRRCRj

R

xx

x

(10.31)

Sređivanjem izraza 10.31 dobijaju se dve jednakosti, jedna za realan deo izraza

Re: 33

2 1

CCRR xx

(10.32)

i jedna za imaginaran deo

Im: x

x

R

R

R

R

C

C 3

2

4

3

(10.33)

Postupak uravnotežavanja mosta se svodi na to da se prvo pomoću otpornika R3 i R4 podesi da imaginarni

deo impedanse bude uravnotežen (izbalansiran), a potom se uravnotežava realan deo impedansi u

kapacitivnim granama promenom učestanosti izvora. Izvori promenljive učestanosti moraju biti

izuzetno kvalitetni i stabilni digitalni generatori prostoperiodičnih signala, kako u toku merenja

učestanost ne bi „spontano odlutala“ od jednom podešene vrednosti. Zato se Vinov most, pogotovo u

vreme svog nastanka, smatrao veoma zahtevnim i iskupim mostom. Osim toga, on daje prilično

komplikovane izrazi za izračunanje Cx i Rx koji mogu povećati sigurne granice greške, odnosno mernu

nesigurnost merenja. Zato je napravljena modifikacija Vinovog mosta, koja uravnotežavanje može

obezbediti pomoću samo dva pasivna elementa u granama – paralelno vezanim otpornikom i

kondenzatorom. Ovaj most prikazan je na slici 10.8.

Zx R2

C3 R4

R3

UN , ω

10 – 9

Slika 10.8. Vinov paralelni most

Kada je most u ravnoteži, realan i imaginaran deo izraza za ravnotežu mosta su jednaki nuli, pa se iz tog

uslova dobijaju parametri nepoznate kapacitivne impedanse:

Re: 4

23

R

RRRx (10.34)

Im: 2

43

R

RCCx (10.35)

Uz fiksne otpornike R2 i R4, promenom R3 direktno se određuje Rx, a promenom C3, određuje se Cx.

Frekvencijska stabilnost izvora ne igra ulogu u uravnotežavanju mosta, ali je zato potrebno koristiti

promenljivi kondenzator, umesto jednog od otpornika sa slike 10.7. Interesantno je primetiti da R3 ne

figuriše u izrazu 10.35, kao i da C3 ne figuriše u izrazu 10.34, pa se uvedenom modifikacijom obezbedilo

potpuno nezavisno uravnotežavanje realnog i imaginarnog dela. Samim tim je dovođenje nul-indikatora

u nulti položaj veoma brzo i direktno, bez opasnosti od upadanje u lokalne ravnotežne minimume. Može

se dakle zaključiti, da što impedansa u susednoj grani mosta „više liči“ na merenu imepdansu, to je

ravnotežu mosta lakše postići.

10.2.4. R/L mostovi

Slično R/C mostovima, naizmenični mostovi kod kojih se koriste samo kalemovi i otpronici, spadaju u

grupu tzv. R/L mostova. I princip rada je identičan, odnosno nepoznata impedansa Zx, za koju se unapred

mora znati da je pretežno induktivna, uravnotežava se takođe induktivnom impedansom vezanom u

susednoj grani mosta.

Jedan od najpoznatijih primera R/L mosta je most koji je osmislio engleski fizičar Džejms Klark

Maksvel (James Clerk Maxwell) i koji po njemu nosi ime. Dve verzije Maksvelovog mosta za

određivanje parametara nepoznate induktivne impedanse Zx = Rx + jωLx prikazane su na slici 10.9.

Za most sa slike 10.9.a), uslov ravnoteže je dat izrazima

Re: 4

23

R

RRRx (10.36)

Im: 4

23

R

RLLx (10.37)

UN

R2 Zx

C3

R4

R3

10 – 10

Slika 10.9. Maksvelovi mostovi za određivanje nepoznate induktivne impedanse:

a) originalna verzija mosta i b) paralelna verzija mosta

Dok su za paralelni most sa slike 10.9.b) uslovi ravnoteže nešto složeniji, i moraju se obezbediti

promenom učestanosti izvora:

Re: 3

32

LL

RR

x

x (10.38)

Im: 34

2

3 R

R

R

R

L

L xx (10.39)

Posmatrajući izraze 10.38 do 10.39 jasno je da važe isti opšti zaključci kao i za Vinove mostove. Ovde

se jedino javlja problem moguće magnetske sprege između kalemova u susednim granama, što bi

uslovilo grešku merenja. Osim toga, ako se koriste kalemovi sa otvorenim magnetskim kolima (linije

sila magnetskog polja se zatvaraju u beskonačnosti), tada je Maksvelov most podložan

elektromagnetskim smetnjama (radio talasi, mobilna telefonija, bežični internet itd.).

10.2.3. L/C mostovi

L/C mostovi su pasivni naizmenični mostovi kod kojih postoje i induktivne i kapacitivne impedanse u

istom mostu. Princip rada L/C mostova zasniva se na činjenici da se most može uravnotežiti ako se u

naspramne grane mosta vežu impedanse sa fazama suprotnih predznaka. Tako se npr. pozitivna faza

induktivne impedanse može kompenzovati negativnom fazom kapacitivnosti stavljene u naspramnu

granu, ili se negativna faza kapacitivne impedanse može kompenzovati naspramno postavljenom

induktivnošću sa pozitivnom fazom . U okolini ravnoteže, most se nalazi u rezonanciji i ponaša se kao

čisto otporno kolo. Ovaj princip je posebno značajan kada je potrebno meriti nepoznate induktivnosti sa

otvorenim magnetskim kolom, koje su podložne elektromagnetskim uticajima.

Najčešći primer L/C mosta je tzv. Maksvel-Vinov most, čija je šema prikazana na slici 10.10.

b)

UN , ω

R2 ZX

L3 R4

R3

a)

UN

R2 ZX

L3 R4

R3

10 – 11

Slika 10.10. Maksvel-Vinov most

Uslov ravnoteže mosta je

32

44

4

1RR

CRj

RLjR xx

(10.40)

Odnosno

44323244 CRRRjRRLRjRR xx (10.41)

Jednakost će biti zadovoljena ako su jednaki realan i imaginaran deo izraza sa obe stane jednačine, što

se svodi na dvostruki uslov

Re: 4

32

R

RRRx (10.42)

Im: 432 CRRLx (10.43)

Ponovo je omogućeno nezavisno uravnotežavanje mosta po amplitudi i fazi, ako su podesive

komponente u mostu C4 i R4. Kada je induktivna impedansa dominantno imaginarna (ωLx >> Rx), tada

je most bolje uravnotežavati otpornikom R4 i jednim od otpornika R2 ili R3.

Identičan most kao na slici 10.10 koristio bi se za merenje nepoznate kapacitivne impedanse, tako što

bi se nepoznata kapacitivna impedansa vezala na mesto C4 i R4, a Lx i Rx bi postali poznati, podesivi

elementi za uravnotežavanje mosta. Rešavanjem izraza 10.42 i 10.43 po R4 i C4, dobilo bi se da su

parametri nepoznate impedanse

xR

RRR 32

4 (10.44)

32

4RR

LC x (10.45)

Maksvel-Vinov most je dobar u slučajevima kada se može lako ostvariti rezonancija u kolu sa dobrim

Q faktorom. Kada je nepoznata impedansa loša (nekvalitetan kondenzator ili kalem sa izraženom

parazitnom otpornošću) i ima značajne gubitke (mali Q faktor), tada Maksvel-Vinov most ima značajnu

grešku određivanja tačne faze nepoznate impedanse.

UN

R2

R4 R3

C4

Rx

Lx

10 – 12

10.2.5. Aktivni i samouravnotežavajući mostovi

Ako se umesto pasivnih impedansi u grane mosta stave naizmenični izvori dobijaju se aktivni mostovi4.

U slučaju prisustva više izvora potrebno je imati dobru kontrolu faznog pomeraja između njihovih

signala. Primer jednog aktivnog naizmeničnog mosta dat je šemom sa slike 10.11.

Slika 10.11 Aktivan naizmenični most

ZC je opšti izraz impedanse za kondenzator, mada u ovoj grani može stajati bilo koja impedansa, dok se

dva izvora kompleksno predstavljaju izrazima 10.46 i 10.47.

11 UU (10.46)

2

22

jeUU (10.47)

U1 i U2 su efektivne vrednosti (kompleksne amplitude) naponskih izvora, a 2 je ugao za koji je faza

drugog izvora pomerena u odnosu na prvi. Uslov ravnoteže ovog mosta je isti, tj. da nema struje kroz

nul-indikator, kao ni napona na njegovim krajevima (Um = 0 V). Ovaj uslov se svodi na 10.48.

1

2

U

UZZ Cx (10.48)

Poznavajući moduo impedanse ZC, nepoznatu impedansu lako određujemo iz uslova ravnoteže mosta,

koja se postiže isključivo podešavanjem odnosa amplituda i faza dva izvora.

22

1

21

j

x eU

U

CZ (10.49)

U mnogim savremenim aktivnim mernim mostovima, naponi U1 i U2 se sintetišu digitalno, a kako je i

instrument u dijagonali najčešće digitalni voltmetar, veoma jednostavno je uvesti povratnu spregu u

regulaciju napona digitalnim logičkim kolima ili mikroprocesorom. Automatskom kontrolom dobija se

samouravnotežavajuć most.

Odavde sledi da indikator nule mora imati kvalitetan detektor faze kako bi prosledio dovoljno tačnu

informaciju uređaju za regulaciju i povratnoj sprezi ka izvorima.

4 Ovde će se podrazumevati da su aktivni mostovi samo oni kod kojih su izvori namenski postavljeni u grane mosta

za potrebe merenja. Mostovi kod kojih postoji parazitna indukovana ili galvanska EMS u nekoj od grana ili lutajuća

struja iz nekog „skrivenog dela kola“, ovde neće biti razmatrani.

+ U1 ZC

Zx + U2

10 – 13

Ovde je korisno napomenuti da se ovakvim mostom mogu odrediti proizvoljne impedanse i da nije bitno

unapred znati da li je Zx pretežno induktivno ili kapacitivno, jer će izvor to kompenzovati aktivnim

pomeranjem faze.

Da bi most bio samouravnotežavajuć, nije neophodno da bude i aktivan. Postoje brojni primeri pasivnih,

pa čak i jednosmernih mostova koji imaju mehanizme za samouravnotežavanje. Kod ovih mostova

obično se koristi se D/A konvertor u mernoj dijagonali. Dok je napon na D/A konvertoru različit od

nule, podešavaju se mehanizmi za upravljanje nekim od elemenata u mostu. Po pravilu, mehanički

samouravotežavajući mostovi su veoma spori, pa je ponekad, kada njime rukuje iskusan operater, most

brže uravnotežiti ručno. Osim toga, servo motori imaju značajnu potrošnju, a generišu i smetnje u

napajanju, zbog čega se, na tržištu, mnogo češće susreću aktivni samouravnotežavajući mostovi.

10.3. Merenje kapacitivnosti i induktivnosti merenjem rezonantne

učestanosti LC kola

Nepoznate kapacitivnosti i induktivnosti moguće je odrediti pomoću tzv. rezonantnog kola, u kome dok

kondenzator i kalem razmenjuju reaktivnu energiju, struja dostiže maksimum ili minimum na određenoj

kružnoj učestanosti ωrez. U zavisnosti od konfiguracije kola i načina vezivanja kalema i kondenzatora,

dobijaju se različiti uslovi za rezonanciju. Tom prilikom jedan od elemenata (L ili C) mora biti poznat,

dok se na osnovu njegove vrednosti i ωrez, određuje vrednost onog drugog elementa.

Najjednostavnije kolo za merenje nepoznate induktivnosti ili kapacitivnosti prikazano je na slici 10.12.

Sastoji se iz redne veze kalema i kondenzatora priključenih na izvor naizmeničnog napona podesive

učestanosti. Ampermetrom se određuje jačina struje u kolu, dok otpornik R ima zaštitnu ulogu, jer

ograničava vrednost struje prilikom rezonancije.

Slika 10.12. Šema za merenje kapacitivnosti i induktivnosti rednim rezonantnim kolom

Promenom učestanosti izvora, u jednom trenutku se dolazi do vrednosti ω za koju će vrednosti

impedansi kalema i kondenzatora biti iste po amplitudi, ali suprotnih faza, pa će njihova ekvivalentna

impedansa biti jednaka nuli. Vrednost kružne učestanosti za koju se to postiže iznosi:

LC

rez

1 (10.50)

Kada se impedansa kalema i kondenzatora ponište, struja u kolu će biti najveća i iznosiće U/R. Zavisnost

struje od ω prikazana je na slici 10.13.

R

L

C

A

I

U, ω

10 – 14

Slika 10.13. Zavisnost struje rednog rezonantnog kola od kružne učestanosti

Ako je u kolu poznata induktivnost L, onda se šemom sa slike 10.12 i na osnovu izraza 10.50 može

odrediti nepoznata kapacitivnost C u kolu tako što se odredi ω = ωrez za koje struja ima maksimum:

L

Crez

2

1

(10.51)

Obrnuto, ako je poznata kapacitivnost C, a kolom sa slike 10.23 se želi odrediti nepoznata induktivnost

L, onda je, na osnovu 10.50:

C

Lrez

2

1

(10.52)

Velika prednost rezonantnog kola u odnosu na antirezonantno kolo sastoji se u tome što se uslov

rezonancije dat izrazom 10.50 ne menja čak i ako su kondenzator i kalem izrazito neidealni, pa čak ni

ako ampermetar ima veliku unutrašnju otpornost. Naime, redna parazitna otpornost kalema i

kondenzatora, ako i unutrašnja otpornost ampermetra samo će se dodati na već postojeću otpornost R i

promeniti vrednost maksimalne struje, ali ne i učestansoti za koju se ona dostiže. Ovo je ilustrovano

isprekidanom linijom na slici 10.13. S obzirom da će izrazi 10.51 i 10.52 važiti bez obzira na kvalitet

upotrebljenih komponenti, redno rezonantno kolo se veoma često koristi za merenje induktivnosti i

kapacitivnosti različitih senzora i drugih mernih pretvarača, kod kojih se ne može garantovati dobar Q

faktor impedanse.

Ipak, o jednoj stvari se mora strogo voditi računa. Izraz 10.50 je potreban, ali ne i dovoljan uslov za

postizanje rezonantnih oscilacija u kolu. Da bi razmena energije između kalema i kondenzatora

prouzrokovala merljivo povećanje struje, neophodno je da te energije budu približno iste. Maksimalna

elektrostatička energija uskladištena u kondenzatoru iznosi:

CUEC

2

2

1 (10.53)

Maksimalna magnetska energija uskladištena u kalemu je

LIEL

2

2

1 (10.54)

Energija koju će kalem i kondenzator zaista razmenjivati odgovara minimumu između ove dve vrednosti

I (A)

ω (rad/s) ωrez

0 A

U

R

U

R + RL + RC

10 – 15

CULIE 22

2

1,

2

1min (10.55)

Kada su ove energije približno jednake, oscilacije u kolu, kao i zavisnost impedanse od učestansoti su

veoma izražene. Ali kada kalem i kondenzator nisu pažljivo upareni, može se desiti da je razmena

energije veoma mala, što je veoma nepovoljno sa stanovišta merenja. To je slično situaciji prikazanoj

na slici 10.14 u kojoj je potrebno naizmenično presipati vodu iz jedne posude u drugu. Kada su posude

sličnih zapremina (slika 10.14.a) doprinos presipanja ukupnoj „vodenoj struji“ je značajan. Kada se

koriste posude drastično različitih zapremina (slika 10.14.b), tada je količina vode koja se može presipati

na jednu i drugu stranu mala, pa je i „vodena struja“ koja će teći između njih mala. Gubici na parazitnim

otpornostima u kolu mogu se uporediti sa prosipanjem nekoliko kapi prilikom prelivanja iz jedne posude

u drugu. Kada je jedna od posuda mala, čak i nekoliko prosutih kapi značajno će uticati na to da manja

posuda bude skoro uvek prazna, a količina tečnosti koja se razmenjuje biće teško merljiva. U

rezonantom kolu ta situacija je analogna brzom prigušenju oscilacija, zbog čega bi se struja menjala u

veoma malom opsegu, i bilo bi teško odrediti za koju učestanost se postiže njen maksimum (potreban

neverovatno osetljiv ampermetar ili bi greška merena bila neprihvatljivo velika).

Slika 10.14. Analogija presipanja vode između posuda različitih zapremina sa razmenom energije u

rezonantnom kolu u slučajevima kada su posude:

a) istih ili sličnih zapremina i b) drastično različitih zapremina

Dakle, formalan uslov za pojavu rezonancije u kolu dat je sa dva uslova:

rez i CL EE ~ (10.56)

Umesto rednog rezonantnog kola može se koristiti i paralelno rezonantno kolo prikazano na slici 10.15.

Na učestanosti na kojoj su impedanse kalema i kondenzatora iste (rezonantna učestanost data izrazom

10.50), struje kroz njih su iste po amplitudi, ali suprotnih predznaka i poništavaju se. Zbog toga se na

rezonantoj učestanosti dobija minimum struje u kolu, koji se može odrediti ampermetrom.

Slika 10.15. Paralelno rezonantno kolo

Na slici 10.16 prikazana je zavisnost struje od učestanosti u paralelnom rezonantom kolu.

L C

ΔE ΔE

L

C

a) b)

R I

A

C L U, ω

10 – 16

Slika 10.16. Zavisnost struje paralelnog rezonantnog kola od kružne učestanosti

U idealnom slučaju ekvivalentna impedansa kola sa slike 10.15, na rezonanntoj učestanosti je

beskonačna, pa je tada struja u kolu jednaka nuli i dobija se kriva prikazana punom linijom na slici

10.16. Međutim, za kalemove i kondenzatore sa slabim Q faktorom, parazitne otpornosti mogu uticati

na položaj minimuma na I(ω) karakteristici, ne samo tako što će ga izdići na vrednost različitu od nule,

već i tako što će ga pomeriti na neku drugu kružnu učestanost, kao što je pokazano isprekidanom linijom

na slici 10.16. Sa parazitnim otpornostima, kolo će dostići rezonanciju na

L

C

rez

RR

RRLC

1' (10.57)

Prilikom određivanja nepoznate kapacitivnosti ovakvim kolom, merilo bi se

L

C

L

C

rez RR

RRC

L

RR

RRLC

LC

1

1

'

1'

2 (10.58)

Prilikom određivanje nepoznate induktivnosti ovakvim kolom, merilo bi se

L

C

L

C

rez RR

RRL

C

RR

RRLC

CL

1

1

'

1'

2 (10.59)

U oba slučaja dobija se ista relativna sistematska greška koja iznosi

L

LC

L

Csist

RR

RR

RR

RR

L

LL

C

CC

1

'' (10.60)

Interesantno je primetiti da sistematske greške merenja neće biti, odnosno da će ω’rez biti jednako sa ωrez

ako je RC = RL ili će se greška moći zanemariti ako je R >> max{RC, RL}.

Obe rezonantne metode mogu se izvesti i pomoću voltmetra priključenog paralelno sa rezonantnim LC

kolom, ali su rezultati uporedivi sa pokazanim metodama samo ako su L i C idealni. U savremenim

I (A)

U

R

ω (rad/s) ωrez ω'rez

U

R + RC

Imin

U

R + RL

U

R

10 – 17

merenjima, često se insistira na upotrebi digitalnih uređaja, pa je voltmetar sa A/D konvertor prirodan

izbor mernog instrumenta. Tada se možemo poslužiti sledećim trikom. Umesto vezivanja digitalnog

voltmetra paralelno sa LC kolom, on se može vezati paralelno sa otpornikom R. Na taj način se zapravo

meri struja u kolu, pa sve relacije i zaključci izneti u ovom poglavlju i dalje važe.

10.4. Merenje kapacitivnosti i induktivnosti merenjem vremena

10.4.1. Korišćenje impulsnog odziva RC kola

Za određivanje nepoznate kapacitivnosti može se koristiti RC metoda opisana u poglavlju o merenju

otpornosti. Na redno kolo poznatog otpornika i kondenzatora nepoznate kapacitivnosti dovodi se

odskočna pobuda i meri se vremenski odziv kondenzatora, kao na slici 10.17.

Slika 10.17. Šema za određivanje nepoznate kapacitivnosti na osnovu impulsnog odziva RC kola

Jedina razlika je u tome što se sada otpornost smatra poznatim, a kapacitivnost nepoznatim parametrom.

Nakon proticanja t = τ = RC vremena, napon na kondenzatoru će dostići 63,2 % svoje asimptotske

vrednosti U0. Merenjem ovog vremena moguće je odrediti nepoznatu kapacitivnost C:

R

C

(10.61)

Na taj način je obezbeđeno da se nepoznata kapacitivnost određuje preko poznatog otpornika R,

merenjem vremena τ. Vreme je moguće odrediti posmatranjem signala na osciloskopu, ili upotrebom

digitalnih tajmera, koji će biti objašnjeni u narednom poglavlju. Problem preciznog određivanja trenutka

kada napon na kondenzatoru prelazi 63,2 % vrednosti U0, može se prevazići tako što se napon uC(t)

dovede na „+“ ulaz komparatora sa operacionim pojačavačem na čiji je „–“ ulaz doveden napon

0,632·U0.

Da bi se vreme merilo što tačnije poželjno je da τ bude što veće. To znači da je poželjno birati velik

otpornik R, što takođe povoljno utiče na sigurne granice apsolutne greške merenja:

2R

G

R

GG R

C

(10.62)

10.4.2. Koriščenje impulsnog odziva LR kola

I nepoznate induktivnosti mogu se određivati pomoću impulsnog odziva kola u koje je vezan poznat

otpornik. Šema za merenje prikazana je na slici 10.18. Princip merenja je potpuno identičan, kao i u

prethodnom slučaju.

R u0(t)

U0 uC(t)

C = ? 0 V

Vref = 0,632·U0

Stop

10 – 18

Slika 10.18. Šema za određivanje nepoznate induktivnosti na osnovu impulsnog odziva LR kola

Vremenska konstanta LR kola je

R

L (10.63)

Pa se dobija da je nepoznata induktivnost

RL (10.64)

Sigurne granice apsolutne greške merenja su

RL GRGG (10.65)

Iz izraza 10.64 i 10.65 jasno je da u ovoj metodi poželjno birati otpornik što manje otpornosti R.

10.5. Punjenje i pražnjenje kondenzatora konstantom strujom

U impulsnom RC kolu struja kroz kondenzator opada kako se on puni (ili prazni), što usporava proces

merenja, a trenutak očitavanja čini teškim za odlučivanje, jer naponska kriva ima sve manji prvi izvod.

U slučaju i najmanjeg šuma ovaj trenutak će biti veoma neprecizno određen. Kada je kritično da prolazak

napona na kondenzatoru kroz bilo koji referentnu vrednost napona bude dovoljno strma, tada se kroz

kondenzator može propustiti poznata konstantna struja I0. Iz 10.1 sledi da je tada napon na njemu

tC

IUdtti

CUtuC

001

0 (10.66)

Dakle, napon će biti linearno rastući. Ukoliko je na početku merenja kondenzator bio prazan

(U(0) = 0 V), tada se nepoznata kapacitivnost može odrediti merenjem napona koji se dostigne nakon

nekog određenog vremena. Alternativno, mogao bi se fiksirati naponski nivo koji se želi dostići, kao

kod RC kola, pa da se meri vreme, ali to ovde nije praktično, kao što će uskoro biti pokazano.

Nakon vremenskog intervala T, koji je unapred određen, napon na kondenzatoru iznosiće:

TC

ITuC

0 (10.67)

Merenjem ovog napona, dobija se da je

TTu

IC

C

0 (10.68)

L = ? u0(t)

U0 uR(t)

R 0 V

Vref = 0,632·U0

Stop

10 – 19

00Stalna struja, može se obezbediti pomoću odgovarajućeg strujnog ogledala, led ili Cener diode, kao i

različitih kola sa operacionim pojačivačima sa ili bez negativne povratne sprege. Opšta šema za

sprovođenje merenja, prikazana je na slici 10.19. Dioda i prekidač služe da isprazne kondenzator na

početku merenja.

Slika 10.19. Punjenje kondenzatora konstantnom strujom

Određivanje kapacitivnosti punjenjem i pražnjenjem kondenzatora konstantnom strujom ima dve veoma

važne prednosti u odnosu na većinu do sada opisanih metoda:

1) struja u kolu ne zavisi od parazitne otpornosti kondenzatora, pa se na ovaj način može odrediti

stvarno C kondenzatora, bez obzira na njegov faktor kvaliteta;

2) trajanje merenja je uvek isto i unapred poznato, bez obzira na vrednost kapacitivnosti koja se

meri.

Mnogi digitalni multimetri (DMM) imaju opciju merenja kapacitivnosti. Najzastupljeniji metod merenja

u multimetrima je upravo punjenje (ili pražnjenje kondenzatora) poznatom strujom. Kao izvor struje

koristi se isti strujni izvor kojim se zadaje struja za merenje nepoznate otpornosti. Ovom metodom

digitalni multimetri mogu meriti kapacitivnosti od nekoliko nanofarada do nekoliko stotina mikrofarada.

Umesto strujnog izvora, za propuštanje stalne struje kroz kondenzator može se koristiti invertujući

integrator sa operacionim pojačavačem prikazan na slici 10.20.

Slika 10.20. Šema invertujućeg integratora za merene nepoznate kapacitivnosti

Struja kroz kondenzator zavisi samo od konstantnog referentnog napona U0 i otpornika R. Ako napon

izvora nije konstantan već se koristi periodična povorka pravouganih impulsa periode T, tada će napon

na izlazu biti trougaonog oblika (slika 10.21). Amplituda dobijenog trougaonog napona biće obrnuto

srazmerna kapacitivnosti. U pozitivnoj poluperiodi se dobija:

tRC

UVVt

RC

UVIdt

Ctu CCCm

000

00

1 (10.69)

A u negativnoj:

I0

uC(t) C = ? V

U0

um

C = ?

R

I O

10 – 20

00

00

0

1CCCm Vt

RC

UVt

RC

UVIdt

Ctu

(10.70)

Slika 10.21. Odziv invertujućeg integratora na povorku pravougaonih impulsa

Maksimum trougaonog napona dostiže se u trenucima t = T/2, t = 3T/2,… i iznosi

0

00

22CmC V

T

RC

UTuV

(10.71)

Odavde sledi da je

4

00

T

RC

UVC (10.72)

A nepoznata kapacitivnost se može izračunati kao:

40

0 T

RV

UC

C

(10.73)

Za merenja amplitude trougaonog napona mogu se koristiti detektori vršnih vrednosti, osciloskopi, kao

i voltmetri za merenje efektivne vrednosti uz korišćenje odgovarajućeg koeficijenta talasnog oblika.

Nedostaci ove metode ogledaju se u problemu izbora prave vrednosti otpornosti R. Ako je R preveliko

amplituda VC0 će biti mala (izraz 10.72), pa će amplitudski šum uticati na grešku merenja. Ako je R

premalo, tada se može desiti da napon na kondnezatoru prebrzo raste, a kako ne može premašiti vrednost

napona napajanja operacionog pojačavača, ući će u zasićenje, kao na slici 10.22 i merenje neće biti

moguće.

Slika 10.22. Ulaženje napona kondenzatora u zasićenje zbog izbora premale vrednosti

otpornosti integratorskog kola

um

+U0

t

−U0

2VC0

um

+U0

t

−U0

Vcc

–Vcc

10 – 21

Upotreba osciloskopa u AC režimu rada posebno je povoljna kod ove metode jer eliminiše eventualan

ofset operacionog pojačavača, a istovremeno daje i uvid u eventualna izobličenja izlaznog napona usled

nepovoljnog izbora otpornosti R.

10.6. Elektroimpedansna tomografija

Tomografija je dijagnostička neinvazivna metoda slojevitog skeniranja unutrašnjosti ljudskog

organizma propuštanjem različitih tipova talasa. Ti talasi mogu biti X-zraci, električni talasi, snopovi

neutronskih čestica, magnetski talasi, akustični i još brojni drugi. Uređaj koji se koristi u tomografiji

naziva se tomograf, a slika koja se pomoću njega dobija tomogram. Pronalazak kompjuterskog

tomografskog (CT) skenera predstavljao je značajan doprinos savremenoj medicini. Pored radiologije,

ovaj metod se veoma aktivno koristi u arheologiji, biologiji, osmatranju Zemlje, geofizici, okeanografiji,

fizici plazme, nauci o materijalima, astrofizici, kvantnoj informatici i dr. U većini slučajeva zasniva se

na matematičkoj proceduri zvanoj tomogafska rekonstrukcija.

Postoji velik broj različitih tomogafskih metoda u zavisnosti od tipa talasa koji se propuštaju kroz tkivo.

Elektroimpedansna tomografija (EIT) odnosi se na neinvazivnu tehniku kod koje se slika unutrašnjih

tkiva i njihove funkcionalnosti rekonstruiše merenjem njihove provodnosti odnosno električne

permitivnosti, propuštanjem naizmeničnih strujnih impulsa. Električna provodnost zavisi od sadržaja

slobodnih jona i značajno se razlikuje od tkiva o tkiva (apsolutna tomografija, a-EIT), kao i između

zdravog i obolelog tkiva, tj. tkiva sa promenjenom funkcijom (relativna ili funkcionalna tomografija,

f-EIT). Većina tomografa propušta struju samo jedne učestanosti, ali se bolji rezultati postižu

upoređivanjem slika dobijenih na više različitih učestanosti. Tada se ova metoda naziva još i

elektroimpedansna spektroskopija.

Kod EIT provodne elektrode se prislanjaju na kožu oko dela tela koji se pregleda. Mala naizmenična

struja propušta se kroz neke od elektroda, dok se pomoću drugih beleži električni potencijal. Ovaj proces

se ponavlja za velik broj različitih konfiguracija, što na kraju rezultuje dvodimenzionalnom slikom

unutrašnjosti pacijenta. S obzirom da sadržaj slobodnih jona određuje provodnost (impedansu), jasno je

da će mišići i krv provoditi struju bolje od masnog tkiva, kostiju ili pluća. Međutim, za razliku od

tomografskih metoda na bazi elektromagnetskih talasa, kod EIT će struja putovati krivolinijskim

putanjama prateći trodimenzionalnu putanju najmanjeg otpora. To znači da će deo električne struje

napustiti zamišljenu ravan poprečnog preseka ljudskog tela i pratiti krvotok, uzrokujući „pomeranje“

impedanse u paralelne ravni. Zbog toga je rekonstrukcija slike kod apsolutnog EIT-a veoma složena, jer

tomografska rekonstrukcija ima više od jednog načina kojim se trodimenzionalne oblasti tela projektuju

na dvodimenzionalnu ravan. Matematički ovaj problem rekonstrukcije unutrašnje impedanse na osnovu

merenja struje i napona na površini tela je nelinearan inverzni problem i matematički je veoma loše

uslovljen.

10.6.1. Primene

EIT u odnosu na CT (engl. Computed Tomography) ili MRI (engl. Magnetic Resonance Imagining) ima

znatno manju prostornu rezoluciju, ali joj je zato vremenska rezolucija čak hiljadu puta veća nego kod

drugih radioloških metoda. Zbog toga se EIT primenjuje u medicinskoj dijagnostici i monitoringu gde

je nadzor u realnom vremenu od velikog značaja (intenzivna nega, predoperativni nadzor itd.)

EIT je posebno korisna za nadzor rada pluća, jer je, zahvaljujući vazduhu kao izolatoru, impedansa pluća

i do pet puta veća od impedanse okolnog tkiva u grudnom košu. Time se dobijaju veliki apsolutni

kontrasti. Osim toga, impedansa samih pluća se povećava i smanjuje i po nekoliko puta sa svakim

udisajem i izdisajem, što je posebno pogodno za nadzor respiratornog ciklusa.

EIT predstavlja odličnu alternativu mamografiji i magentskoj rezonanci u ranoj detekciji i prevenciji

raka dojke, jer daje mnogo manji procenat lažno pozitivnih testova. Time se potencijalno može smanjiti

10 – 22

broj neopravdano uznemirenih pacijenata ali i ukupni troškovi zdravstvenih usluga neophodnih za

obavljanje dodatnih testova.

EIT je predložen i kao osnova za skeniranje mozga u cilju detekcije cerebralne ishemije, hemoraze i

drugih patogenih promena povezanih sa promenom impedanse usled oticanja neuronskih ćelija

(cerebralna hipoksemija ili hipoglikemija).

10.7. Impedansna kardiografija

Impedansna kardiografija je pletizmografska5 tehnika koja koristi senzore radi detekcije svojstava

protoka krvi kroz grudni koš. Princip rada se zasniva na propuštanju naizmenične struje kroz grudni koš.

Struja će težiti da se prostire putanjom najmanje otpornosti, odnosno kroz aortu bogatu jonizovnom

krvnom plazmom. Senzori koji se priključuju mere impedansu na putu naizmeničnoj struji. Sa svakim

otkucajem srca, količina krvi i njena brzina u aorti se menjaju. Time se menja i zapremina aorte, odnosno

njena impedansa, a samim tim i impedansa celog grudnog koša. Za razliku od običnog

elektrokardiograma, impedansna kardiografija omogućava merenje i računanje hemodinamičkih

parametara kao što su:

Predopterećenje – zapremina krvi u glavnoj komori na kraju dijastole6

Kontraktilnost – brzina kontrakcije vlakana miokarda (mišića srca)

Postopterećenje – sila koju srce mora savladati da bi potisnulo krv u vaskulaturu7

Puls – broj otkucaja srca u minuti

5 Pletizmograf je instrument koji se koristi za merenje promena zapremine nekog organa ili celog tela, pri čemu

se zapremina menja zbog promena količine krvi ili vazduha, koji se u tom organu ili telu nalaze. 6 Deo srčanog ciklusa u kome se, nakon kontrakcije, srce ponovo širi da bi se napunilo krvlju. 7 Mreža krvnih sudova srčanog organa