1. Buku GuruKEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANREPUBLIK INDONESIA2013KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANREPUBLIK INDONESIA2013MATEMATIKAXKelas

2. Hak Cipta 2013 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangMILIK NEGARATIDAK DIPERDAGANGKANDisklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangkaimplementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawahkoordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awalpenerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki,diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman.Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika : buku guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013.xxii, 426 hlm. : ilus. ; 25 cm.Untuk Kelas XISBN 978-602-282-026-0(jilid lengkap)ISBN 978-602-282-027-7 (jilid 1)1. Matematika Studi dan Pengajaran I. JudulII. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaanii Buku Guru Kelas X510Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan J.N.M.S. Sinambela, Andri KristiantoSitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, LaskerPengarapan Sinaga, Mangara Simanjorang, dan Yuza TerzalgiBayuzetra.Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo.Penyelia Penerbitan : Politeknik Negeri Media Kreatif, Jakarta.Cetakan Ke-1, 2013Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt. 3. iii MatematikaKata PengantarMatematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formaldan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah denganmembawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel danparameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematikaakan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapatdiselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidakterbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlukemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian di atas: menentukanvariabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat danmembuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusanmatematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yangdiperoleh.Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalamankonkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui bukuini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkretsecara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritisdan kreatif.Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensisikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melaluipembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metodematematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis danmenyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensiyang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didikdiberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya.Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik denganketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatanlain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan.Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikandan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih.Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangkamempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Jakarta, Mei 2013Menteri Pendidikan dan KebudayaanMohammad Nuh 4. Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usahamembelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan,berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia inicukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuahlingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematikaSoedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan danmenghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempatguru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yangutama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik,dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yangbagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolahBapak/Ibu ?.Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis pahamkonstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telahmemiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3)matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaianmasalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukanperangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan prosespembelajaran di kelas.Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristikmatematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaranberbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak modelpembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumberpembelajaran.Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma,(2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4)matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) limitdan (9) peluang yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalammatematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkaitdengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensiyang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku inihanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan danmenyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalahmasalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yangdapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akanmendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semogabuku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaranmatematika di sekolah.iv Buku Guru Kelas XJakarta, Pebruari 2013Tim Penulis 5. Surat untuk Guru .............................................................................................................. ivDaftar Isi ............................................................................................................................ vDeskripsi Singkat Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik .................................... xPedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran .............................................................. xvFase Konstruksi Matematika ............................................................................................ xviiiContoh Analisis Topik ................................................................................................. xixPeta Konsep Matematika SMP Kelas X ........................................................................... xxiBab 1 Eksponen dan Logaritma ................................................................................ 1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 1B. Peta Konsep ............................................................................................... 2C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 31. Menemukan konsep Eksponen ............................................................ 32. Pangkat Bulat Negatif .......................................................................... 93. Pangkat 0 ............................................................................................. 104. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ........................................................... 105. Pangkat Pecahan ................................................................................. 16Uji Kompetensi 1.1 ............................................................................................. 186. Bentuk Akar .......................................................................................... 207. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat ............................... 218. Operasi Pada Bentuk Akar ................................................................... 22a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar ................. 22b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar ........................... 23c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar .................................... 23Uji Kompetensi 1.2 ............................................................................................. 299. Menemukan Konsep Logaritma ........................................................... 3210. Sifat-sifat Logaritma ............................................................................. 37Uji Kompetensi 1.3 ............................................................................................. 43Penutup.............................................................................................................. 44Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................................ 46A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 46B. Peta Konsep ............................................................................................... 47C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 481. Menemukan konsep Nilai Mutlak ........................................................ 482. Persamaan Linear ................................................................................ 53Uji Kompetensi 2.1 ............................................................................................. 603. Aplikasi Nilai Mutlak Pada Persamaan Linier ....................................... 624. Pertidaksamaan Linear ........................................................................ 635. Aplikasi Nilai Mutlak pada Pertidaksamaan Linear .............................. 67Uji Kompetensi 2.2 ............................................................................................. 69Penutup ................................................................................................. 71v Matematika 6. Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................... 73A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 73B. Peta konsep ................................................................................................ 74C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 751. Menemukan konsep Sistem Persamaan linear dua variabel ............... 75Uji Kompetensi 3.1 ............................................................................................. 872. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear tiga variabel ............. 88Uji Kompetensi 3.2 ............................................................................................. 973. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear .......................................... 99a. Menentukan Himpunan Penyelesaian SistemPersamaan Linear Dua variabel .................................................... 99b. Menentukan Himpunan Penyelesaian SistemPersamaan linear Tiga Variabel .................................................... 106Uji Kompetensi 3.3 ............................................................................................. 1114. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ....................................... 114Uji kompetensi 3.4 ............................................................................................. 118Penutup ................................................................................................. 120Bab 4 Matriks ................................................................................................. 122A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 122B. Peta Konsep ............................................................................................... 123C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 1241. Menemukan Konsep Matriks ................................................................ 1242. Jenis-Jenis Matriks ............................................................................... 1313. Transpos Matriks .................................................................................. 1344. Kemandirian Dua Matriks ..................................................................... 137Uji Kompetensi 4.1 ............................................................................................. 1395. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta MenerapkannyaDalam Pemecahan Masalah ................................................................ 141a. Operasi Hitung pada Matriks ......................................................... 141Uji Kompetensi 4.2 ............................................................................................. 1526. Determinan dan Invers Matriks ............................................................ 154Uji Kompetensi 4.3 ............................................................................................. 164Penutup ................................................................................................. 167Bab 5 Relasi dan Fungsi ............................................................................................ 168A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 168B. Peta Konsep ............................................................................................... 169C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 1701. Menemukan Konsep Relasi ................................................................. 1702. Beberapa sifat Relasi ........................................................................... 1763. Menemukan Konsep Fungsi ................................................................ 179Uji Kompetensi 5.1 ............................................................................................. 189Penutup ................................................................................................. 191vi Buku Guru Kelas X 7. Bab 6 Barisan dan Deret ............................................................................................ 192A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 192B. Peta Konsep ............................................................................................... 193C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 1941. Menemukan Pola Barisan dan Deret ................................................... 1942. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika ............................. 201a. Barisan Aritmatika ......................................................................... 201b. Induksi Matematika ....................................................................... 207c. Deret Aritmetika ............................................................................. 208Uji Kompetensi 6.1 ............................................................................................. 2133. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri .............................. 214a. Barisan Geometri ......................................................................... 214b. Deret Geometri ............................................................................. 216Uji Kompetensi 6.2 ............................................................................................. 220Penutup ................................................................................................. 221Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat ..................................................................... 222A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar............................................... 222B. Peta Konsep ............................................................................................... 223C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 2241. Persamaan Kuadrat ............................................................................. 224a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah ............... 224Uji Kompetensi 7.1 ............................................................................................. 236b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat ................................. 237c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil KaliAkar-akar Persamaan Kuadrat ...................................................... 241d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 ....................... 242Uji Kompetensi 7.2 ............................................................................................. 2432. Fungsi Kuadrat...................................................................................... 244a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ............................................ 244Uji Kompetensi 7.3 ............................................................................................. 255b. Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................... 256c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat .................... 263Uji Kompetensi 7.4 ............................................................................................. 264Penutup ................................................................................................. 265Bab 8 Trigonometri ................................................................................................. 267A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 267B. Peta Konsep ............................................................................................... 268C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 2691. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)...................................................... 269Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................. 2732. Konsep Dasar Sudut ............................................................................ 2743. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ........................... 277vii Matematika 8. Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................. 2804. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa ................................ 2825. Perbandingan Trigonometri untuk sudut 300, 450, 600........................... 2866. Grafik Fungsi Trigonometri ................................................................... 295Uji Kompetensi 8.3 ............................................................................................. 300Penutup ................................................................................................. 302Bab 9 Geometri ................................................................................................ 304A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 304B. Peta Konsep ............................................................................................... 305C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3061. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan bidang ............................. 306a. Kedudukan Titik ............................................................................. 306b. Jarak Antara Titik dan Titik ............................................................ 308c. Jarak Titik ke Garis ........................................................................ 311d. Jarak Titik ke Bidang ..................................................................... 314e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar ................. 318Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................. 3192. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ................................ 320a. Sudut antara Dua Garis dalam ruang ............................................ 323b. Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang ................... 325c. Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ............................ 329Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................. 332Penutup ................................................................................................. 335Bab 10 Limit Fungsi ................................................................................................. 337A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 337B. Peta Konsep ............................................................................................... 338C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3391. Menemukan Konsep Limit Fungsi......................................................... 3392. Sifat-Sifat Limit Fungsi ......................................................................... 3493. Menentukan Limit Fungsi ..................................................................... 355Uji Kompetensi 10.1 ........................................................................................... 361Penutup ................................................................................................. 363Bab 11 Statistika ................................................................................................. 365A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 365B. Peta Konsep ............................................................................................... 366C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3671. Data Tunggal ........................................................................................ 367Uji Kompetensi 11.1 ........................................................................................... 3782. Penyajian Data Kelompok .................................................................... 380Uji Kompetensi 11.2 ........................................................................................... 386Penutup ................................................................................................. 387viii Buku Guru Kelas X 9. Bab 12 Peluang ................................................................................................. 389A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 389B. Peta Konsep ............................................................................................... 390C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3911. Menemukan Konsep Peluang dengan Frekuensi Relatif ..................... 3912. Pengertian Percobaan, Kejadian, Titik Sampel, dan ruang Sampel .... 3963. Cara Penyajian dan Penentuan Ruang Sampel .................................. 399Uji Kompetensi 12.1 ........................................................................................... 4094. Peluang Komplemen Suatu Kejadian .................................................. 410Uji Kompetensi 12.2 ........................................................................................... 414Penutup ................................................................................................. 416Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan............................................ 417ix MatematikaA. Pengertian dan Prosedur Pelaksanaan PembelajaranRemedial dan Pengayaan ........................................................................... 417B. Tujuan Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ....................................... 420C. Soal untuk Penilaian Kompetensi Siswa ..................................................... 420D. Bentuk Pelaksanaan Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ................. 423E. Materi Pembahasan Dalam Pembelajaran Remedial ................................. 424F. Materi Pembahasan Dalam Pembelajaran Pengayaan .............................. 424Daftar Pustaka ............................................................................................................... 425 10. DESKRIPSI SINGKAT MODEL PEMBELAJARANBERBASIS KONSTRUKTIVISTIKModel pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaranyang menganut paham konstruktivistik yang memberi perhatian pada aspek-aspekkognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat mempengaruhiaktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsipbahwa, (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir,bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematikaadalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan(4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelasadalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasanberpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukanide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikirkritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikanbekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakangrafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan didepan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturanmatematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponenutama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.1. SintaksPengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:a. ApersepsiTahap apersepsi diawali dengan menginformasikan kepada siswa kompetensidasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yangakan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajarpada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajaridalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibataktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaianmasalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa denganstrategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa danguru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan,informasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa,dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apax Buku Guru Kelas X 11. yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsipmatematika yang dipelajari dalam kehidupan.b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan MasalahPada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswamencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajarkelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yaknikeheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jeniskelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatihbekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, salingmemberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi.Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) danAsesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yangbersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis(jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar parasiswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannyadiskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompokbelajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalahsecara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dandilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide,berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompoksaling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari idedan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikirandan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggotakelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salahseorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnyaguru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahanpengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswadapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil KerjaPada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasilkerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberitanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran.Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dandapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompokyang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawabanxi Matematika 12. dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapatperhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selamapresentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswamengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasilkerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyajiakan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman merekaatas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkantiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain ataualternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangansecara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatihsiswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depanumum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalahsalah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untukmemampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata BaruObjek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari prosesdan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melaluipenemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah.Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuancontoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswamemberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekaliguru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, sertamelengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contohkonsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifatdan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soaltantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yangdimiliki.e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian MasalahPada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasilpenyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsepdan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik denganpemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari.xii Buku Guru Kelas X 13. xiii Matematika2. Sistem SosialPengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan polapembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dantemannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswadalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukanpendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa,bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalahyang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkanberbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadaptemannya maupun pada guru.3. Prinsip ReaksiModel pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivisdan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaranberpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediatordalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswaberupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harusbersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangatbelajar siswa.Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatanpada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari prosesdan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswadan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaianmasalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikanpenjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnyamemberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalamikesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuksampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya.Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusidan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.4. Sistem PendukungAgar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, gurudiwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilandasi teori pembelajarankonstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkahpembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. 14. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalammelaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaandan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran,buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkunganbudaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang DiharapkanDampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswamerekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah danterbiasa menyelesaikan masalah nyata dilingkungan siswa. Pemahaman siswaterhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya danpengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaranyang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswamentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah. Kemampuanmenyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika.Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam dirisiswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yangdipahami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secarainternal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengandewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memilikibatas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol.Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritismemberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalamanbelajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaanyang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), sertaberkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuanmatematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktifdi dalam proses penemuannya.Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaranberbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsepdan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagikehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematikasebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luartetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikanpermasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengansendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematikadan budayanya. Siswa memandang bahwa matematika terkait dan inklusif di dalambudaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswaxiv Buku Guru Kelas X 15. memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna(Landaan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir,cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelakubudaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan,keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan siswa, toleransi terhadapketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARANPenyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematikaditetapkan hal-hal berikut1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiappokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikandengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah,memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalahautentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi,berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikanmasalah.2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsepxv Matematika(contoh disajikan di bawah).3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasaruntuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuanawal siswa.4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru,misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembaraktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yangbersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peragajika dibutuhkan.5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harussama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan.Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasilbagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yangakan diajarkan untuk semester tersebut.6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok 16. Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah,memodelkan masalah secara matematika, merencanakanpenyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisisserta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikirdeduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, dan berpikirkreatif).Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi,kemampuan berkomunikasi.Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaanyang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujurmengungkapkan pendapat dan senang belajar matematika.Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancangdan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasiskonstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks.Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajarandisusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks modelpembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasidan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuanobjek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasiproses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapanpembelajaran dijabarkan sebagai berikut:1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya danmatematika sebagai hasil konstruksi sosial.c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalammenyelesaikan masalah.d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilaimatematis, soft skill dan kebergunaan matematika.e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengertipada materi sebelumnya.2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatifantara lain:a. Membentukan kelompokb. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budayasiswaxvi Buku Guru Kelas X 17. c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompokd. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugase. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan danxvii Matematikamengerjakan LKSg. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalamikesulitanh. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan polakooperatifi. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbukaj. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikanmasalah dalam pemberian solusi3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaianmasalah di depan kelasb. Membimbing siswa menyajikan hasil kerjac. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerjakelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran.Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalahd. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektife. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasif. Menguji pemahaman siswa4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baruantara lain:a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiahb. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuancontoh dan bukan contoh konsepc. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajaryang berkaitan dengan masalahd. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalammengerjakan soal tantangane. Memberikan scaffolding5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasilpenyelesaian masalah antara lain:a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalahb. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektifc. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsepatau peta materi. 18. xviii Buku Guru Kelas X 19. xix Matematika 20. xx Buku Guru Kelas X 21. xxi Matematika 22. Eksponen dan LogaritmaA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARKompetensi Dasar Pengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran eksponen danlogaritma siswa mampu:1. menghayati pola hidup disiplin, kritis,bertanggungjawab, konsisten dan jujur sertamenerapkannya dalam kehidupan sehari-hari;2. memilih dan menerapkan aturan eksponendan logaritma sesuai dengan karakteristikpermasalahan yang akan diselesaikan danmemeriksa kebenaran langkah-langkahnya;3. menyajikan masalah nyata menggunakanoperasi aljabar berupa eksponen dan logaritmaserta menyelesaikannya menggunakansifat-sifat dan aturan yang telah terbuktikebenarannya.Melalui pembelajaran materi eksponen danlogaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar: mengkomunikasikan karakteristik masalahotentik yang pemecahannya terkait eksponendan logaritma; merancang model Matematika dari sebuahpermasalahan autentik yang berkaitan denganeksponen dan logaritma; menyelesaikan model Matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yangdiberikan; menafsirkan hasil pemecahan masalah; membuktikan berbagai sifat terkait eksponendan logaritma; menuliskan dengan kata-katanya sendirikonsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-ciriyang dituliskan sebelumnya; membuktikan sifat-sifat dan aturan matematikayang berkaitan dengan eksponen danlogaritma berdasarkan konsep yang sudahdimiliki; menerapkan berbagai sifat eksponen danlogaritma dalam pemecahan masalah.Bab Bilangan Pokok (Basis) Perpangkatan Eksponen Logaritma 23. B. PETA KONSEPMasalahOtentikBUKU PEGANGAN SISWA2 Buku Guru Kelas X2B. PETA KONSEPHimpunanFungsiBilanganEksponenBilanganLogaritmaBasisNumerusHasilLogaritmaMateriprasyaratUnsurFungsiEksponenFungsiBasis LogaritmaPangkatHasilOperasiUnsurSifat-sifatEksponenSifat-sifatLogaritma 24. 3 MatematikaC. MATERI PEMBELAJARANBanyak permasalahan kehidupan yang penyelesaiannya terkait dengan konsepdan aturan-aturan dalam matematika. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengancermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahanmasalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek yang dilibatkan dalampermasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi,karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kitasadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian jugakamu tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturanmatematika yang telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD/MI, SMP/MTs,bahkan pada materi yang baru saja kamu pelajari.Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan,saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstraksebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganutkebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol-simbol,konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Jika sebuahkonsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterimapada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus,sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannyamenggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.1. Menemukan Konsep EksponenUntuk menemukan konsep eksponen, kamu selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutan. Kamu lebih dahulu berusaha memikirkan, berupayamencari ide-ide kreatif, berdiskusi, mencoba memecahkan masalah di dalamkelompok belajar. Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen,kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnyadengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponendengan pemahaman sendiri.Masalah-1.1Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedangmengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi.Pada kultur bakteri tersebut, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam.Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasilpembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam. 25. Ajukan masalah pada siswa dengan membagikan Lembar Aktivitas Siswa (LAS).Arahkan siswa memahami masalah dan meminta siswa menuliskan informasi yangdiketahui dalam masalah dan menuliskan apa yang ditanyakan.Alternatif PenyelesaianDiketahui:Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian,jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.Ditanya:a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.b. Berapa jumlah bakteri dalam waktu 8 jam. Meminta siswa membuat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.Arahkan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyakbakteri hasil pembelahan pada saat waktu tertentu. Diharapkan siswa menuliskan halberikut.Penyelesaian:Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0. Isilah tabel berikut!Jam ke-t 0 1 .... .... .... ....Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... .... .... Organisasikan siswa belajar dalam kelompok dengan banyak anggota kelompok 4-5orang untuk mendiskusikan model matematika yang ditemukan secara individu. Gurumenjembatani perbedaan hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelompok danmenuliskan hasil pemikiran bersama pada LAS.Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubunganpertumbuhan jumlah bakteri (x) tersebut terhadap perubahan waktu (t).tx = r r r ... r x t 0 atau secara ringkas ditulistfaktorx = rx t t0 ...................................................................................... (1)dengan t dalam jam, xadalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri0 setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteridan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusi ke formula di atas, maka4 Buku Guru Kelas X 26. Dalam Masalah-1.1, ditemukan r2 = 4maka r = 2. Apakah r = 2 tidak berlaku?Minta siswa memberi alasan.= (28 )(1250)= 320.000Jadi, setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000bakteri.5 Matematikadiperoleh x= r3x= 10.000 dan x= r5x= 40.0003 0 5 0 x5x3r 5x0r 3x040 00010 0004==..r2 = 4r = 2Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteriuntuk setiap 15 menit.Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 kepersamaan r3x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebutdinyatakanxtxt1250 22 1250== 15 120.1205( )x8 Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil kerjanya di depankelas dan kelompok siswa yang lain untuk memberi tanggapan terhadap hasil kerjakelompok penyaji. Jembatani jika ada cara yang berbeda hasil kerja di antara kelompokatau di antara siswa. Ajukan Masalah 1.2 dan memfasilitasi siswa terhadap alat yang dibutuhkan.Masalah-1.2Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebutdi tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadidua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyaklipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. 27. Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyakbidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model matematika yangmenyatakan hubungan banyak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk.Diharapkan siswa menuliskan hal berikutAlternatif PenyelesaianTabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yangterbentuk.Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian1 2 2 = 22 4 4 = 2 23 8 8 = 2 2 24 ... ...5 ... ...N ... ... Meminta beberapa siswa mempersentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memitasiswa lain menanggapi hasil pemikiran temannya. Selanjutnya guru meminta siswamengamati dan mencermati data pada tabel. Diharapkan siswa menemukan modelmatematika yang menyatakan hubungan banyaknya bidang kertas dengan banyaknyalipatan.Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuksebagai hasil lipatan bidang permukaan kertas menjadi dua bagian yang sama, nadalah banyak lipatan.k dapat dinyatakan dalam n, yaitukn = 2n ........................................................................................ (2) Meminta siswa menguji kebenaran persamaan kn = an dengan mensubtitusikan nilai ndan a ke persamaan tersebut.Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperolehDari persamaan (1) xt = rtx0, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r.Dari persamaan (2) kn = an, a adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari a.Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapatmenggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.6 Buku Guru Kelas X 28. Definisi 1.1Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. an adalah hasil kali bilangana sebanyak n faktor, dapat ditulis an a a a a= ... dengan a sebagai basis7 Matematikan faktorbilangan pokok dan n sebagai pangkat.Catatan:1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis a.2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0 dengan a bilangan realhasilnya adalah 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?3. Jika n adalah sebuah variabel (variabel sebagai eksponen dari a), maka perludicermati semestanya dimana variabel itu dibicarakan. Sebab an = a a ... asebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta nN.Perhatikan Masalah-1.3 berikut!Masalah-1.3Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darahmelalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mgzat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu yang tersisa dalamdarah setelah:1) t = 1 jam?2) t = 2 jam?3) t = 3 jam?4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melaluiginjal!5) Gambarlah grafik model persamaan yang ditemukan!Alternatif PenyelesaianLangkah awal isilah tabel berikut:t 1 2 3 4 5 6 7 8Jumlah zat z(t) 50 25 12,5 ... ... ... ... ... Meminta siswa melengkapi data pada tabel dan mencoba menggambarkan pasangantitik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius! 29. 100 1 dengan t adalah banyak jam.2100 12Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar 1.1) di bawah ini. Isilah nilai-nilaiyang dilalui fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.f(x) = 3-x f(x) = 2-xf(x) = 2xf(x)Gambar 1.1 Grafik fungsi eksponenGambar-1.1: Grafik Fungsi Eksponensialf(x) = 2xf(x) = 2xf(x) = 3xf(x) = 3x3 2 1 0 1 2 3 4BUKU PEGANGAN SISWA8 Buku Guru Kelas X8persamaan zt =T 1 2 3 4 5 6 7 8z(t) =t50 25 12,5 .... .... .... .... ....Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan data-data (pasangan titik)tersebut pada sistem koordinat kartesius!Selanjutnya perhatikan gambar grafik fungsi di bawah ini. Isilah nilai-nilai yang dilaluifungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.xf(x) = 3xxx-3 -2 -1 0 1 2 3 4f(x) = 2xf(x) = 2-xf(x) = 3xf(x) = 3-xDiskusikan dengan teman satu kelompokmu, bagaimana perilaku grafik ketika xmenuju - dan ketika x menuju ? Apakah grafik itu sampai berpotongan atau Organisasikan siswa belajar dalam kelompok. Minta siswa menuliskan paling sedikit5 (lima) sifat grafik fungsi eksponen dan hasil kerja kelompok disajikan di depan kelas.Latihan 1.1Amati grafik di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima) sifat grafik fungsi eksponen danpresentasi hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlumengetahui sifat-sifat tersebut! 30. Fungsi Eksponen adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuky = f(x) = a(bcx) dengan a, b, dan c bilangan real.x adalah variabelb adalah bilangan pokok atau basisc adalah koefisien xcx adalah eksponen dari b.9 MatematikaDefinisi 1.22. Pangkat Bulat NegatifDefinisi 1.3Untuk a adalah bilangan real dan a 0, m bilangan bulat positif, didefinisikanaamm = 1Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:aa a a a ammsebanyak m = =1 1 1 1 ... 1ffaktor=a a a a=11amm...faktorContoh 1.1Jika nilai x = 2 dan y = 2, tentukan nilai x3 ( y4 ) = ....Penyelesaian:x y y ( )= =3 4 = x( )=4343221682 31. 3. Pangkat NolDefinisi 1.4Untuk a bilangan real dan a 0, maka a0 = 1.Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatanbilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.23 = 8 33 = 2722 = 4 32 = 921 = 2 31 = 320 = 1 30 = 1Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasilpemangkatannya adalah 1.4. Sifat-sifat Pangkat Bulat PositifCoba buktikan sifat-sifat pangkat bulat positif menggunakan definisi bilanganberpangkat yang telah dipelajari sebelumnya.Sifat-1Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka am an = am+nBukti:am an = a a a ... a a a a ...a m naa a a a a aa=faktor faktor m nm n=++= ... .Sifat-2Jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif, makaam= amn .an10 Buku Guru Kelas X Perhatikan am a a a am faktorDiskusikan dalam kelompokmu,apakah benar perpangkatanadalah perkalian berulang? Bagaimana jika a bukan bi-langan? Bagaimana jika m dan n bukanbilangan bulat positif? 32. mn ? Jika kamu tidak tahu, tanyapada guru!mn = a(m-n), dengan m, n bilangan bulat positif dan mn11 MatematikaBukti:aaa a a aa a a amnm faktorn faktor=...... (sesuai definisi)Pada Sifat-1 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan,yaitu (a) mn, (b) m = n, dan (c) mn.a) Kasus mnJika m dan n bilangan bulat positif dan mn maka m n0. Dengan demikianamana a a a......m faktorn faktor= aa n m faktor ...( )am n faktora a a aa a a... aaa a a aa a a amnm faktorn = =...aa a a aa a a an faktor a a am faktor ...... ...( )am n faktora a a aa= =m n faktorm n...( )Jadi aab) Kasus m = nJika m = n, maka amn = 1.aBukti:aaaamnmm = , sebab m = n=a a a ...am faktora a a ...am faktor= 1= a0 (hal ini sesuai dengan Definisi 1.4).= am n Pada persyaratan Sifat-2, Apaarti a 0? Bagaimana jika a = 0? Apa dam-paknyapada hasil pembagian?aa 33. Latihan 1.2Buktikan sendiri untuk mn. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus (a).Sifat-3Jika a bilangan real dan a 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka(am)n = amnBukti:am n am am am am( ) =...n faktor= a a a ... a a a a ...am faktor mfaktor ... Definisi 1.412 Buku Guru Kelas X a a a a a a a a ... ... ... m faktor mfaaktorn faktor= a a a am nfaktor(am )n = amn (terbukti)1= p adalahMisalkan a bilangan real dan a 0, m bilangan bulat positif. ambilangan real positif, sehingga pm = a.DiskusiMinta siswa berdiskusi dengan temannya satu kelompok, apakah syarat m dann bilangan positif diperlukan untuk Sifat 3 dan Sifat 4. Bagaimana jika m dan nadalah salah satu atau keduanya bilangan negatif. 34. 13 MatematikaContoh 1.2(a) Buktikan jika a R, a1 dan nnmm, mm,maakakaka aa nanama!m !!Bukti:Karena a1 dan nm, mmaakkaa ann mam ! 0 dan an0, am0. Akibatnya, berlaku aaanm= nm (Lihat Sifat-1 di atas)a aa aaaanm1? Beri alasanmu!)a anmn mnmnm= 1 (Mengampa 1a maanma = nmaa a aaaaaa anmn mnmnm= 1n n mmn1mm (Kaarena aaa1 , 0 0 , 0.1 1 0 1 = aan ma a a anmnmm m mnm)nm,mak a anam ! (terbukti)(b) Perlukah syarat a1?Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a1 dan nm,. m Aakpaa aknah am !yang terjadi?Pilih a = 2, dengan nm,, mpialkiha ann = 3a md!an m = 2, apakah yang terjadi?(2)3 = (2) (2) (2) = 8(2)2 = (2) (2) = 4Dengan demikian, an = 84 = am atau anam. Jadi, tidak bennar mb,amhwakaa anam !bila a1 dan nm,. mJaadkia, asyn araatm a! adalah bilangan real, dan a1 dan nm, tmidaakka anam !boleh dikurangi (syarat cukup) untuk memn bumk,tmikaakna anam .!DiskusiBerdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan padaContoh 1.2! Apa akibatnya bila syarat a1 tidak dipenuhi? Perlukah diperkuat dengan syarat nm, m a0k?a Jaenlasakman! ! Bolehkah syarat a1 di atas diganti a 1? Jelaskan! Bila tidak boleh, modifikasi ketentuan di atas supaya berlaku untuk a 1? .Bagaimanakah bila 0a1 dan a0? Buat aturan hubungan antara an dan am untuk bermacam-macam nilai a diatas! Buat laporan terkait hasil diskusi kelompokmu. 35. Contoh 1.3Terapkan berbagai sifat eksponen untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soalyang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!1. 22 25 = 2 2 2 2 2 2 2 2 faktor 5faktor= 2 2 2 2 2 2 2272== +72 5faktor2. 222 2 2 2 22 2 2 2 255 = 122==0= 5 5 3. (23 )2 = (23 )(23 )dengan menggunakan Sifat-2 kasus b= ( 2 2 2 )( 2 2 2) faktor faktor3 32 2 2 2 2 2= 6faktor== 226dengan menggunakan Sifat-13 2 4. 2 3 2 3 2 3 2 3 3 ( ) = ( )( )( )2 2 2 3 3 32 3= faktor faktor3 33 3= 3 5. 23232323= 314 Buku Guru Kelas X = =2 2 23 3 332333faktorfaktordengan menggunakan Sifat-3dengan menggunakan Definisi 1.1dengan menggunakan Definisi 1.1 36. 15 MatematikaDiskusi Arahkan siswa berdiskusi dengan temannya untuk memperoleh rumusperpangkatan sebagai hasil pemahaman terhadap Contoh 1.4 dan Contoh 1.5di atas. Masih ingatkah kamu, disebut sifat apakah dalam konsep perkalian? Minta siswa membuat laporan hasil diskusi kelompoknya.Contoh 1.4Buktikan jika a1 dan nm dengan n dan m bilangan bulat negatif maka anam.Bukti:Karena nm dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka n dan m adalah bilanganbulat positif dan mn.Karena a1 maka aaaamnnm =1 (Gunak1an sifat 1aatau a = ).mm a mnm1 anam (terbukti)aaContoh 1.5Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan bilangan satuan dari 71234 tanpa menghitungtuntas. Perhatikan bilangan satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?Perpangkatan 7 Nilai Bilangan Satuan71 7 772 49 973 343 374 2401 175 16807 776 117649 977 823543 378 5764801 1 Minta siswa melanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan satuan dari 71234.Cermati sifat satuan pada tabel di atas, saat periode keberapa berulang. Selanjutnyamanfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian dari bilangan berpangkat. 37. Bilangan tersebut mempunyai bilangan satuan yang berulang untuk periode 4sehingga, kita dapat operasikan:71234 = 7(4 308 + 2).Dengan menggunakan sifat eksponen, maka kita peroleh:71234 = 7(4 x 308) 72 Ingat: am+n = am x an71234 = (74)308 72 Ingat: amn = (am)n = (an)m71234 = (74)308 72sehingga satuan dari [71234] = satuan dari [(74)308 72]Satuan dari [71234] = satuan dari [(1)308] satuan dari [72]Satuan dari [71234] = 1 9Satuan dari [71234] = 9Jadi, angka terakhir dari 71234 adalah 9.Demikian juga bila 7 diganti dengan angka yang lain [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9]5. Pangkat PecahanSelanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkatpecahan.Definisi 1.5Misalkan a bilangan real dan a 0, m, n bilangan bulat positif didefinisikanmma n =an1.Misalkan a bilangan real dan a 0 dengan a0,pq q p = c, se.hinggaa c a16 Buku Guru Kelas Xpqadalah bilanganpecahan q 0. q 2. a apq q p = . atau a apq q p = .Definisi 1.6Sifat-4Misalkan a adalah bilangan real dan a 0 dengan a0, pnmndan adalahmnpnbilangan pecahan n 0. Jika n, q 2 maka a a am pn=( ) +. 38. Bukti:Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a 0, m, n adalah bilangan bulat positif,p maka a a1 1 1 1 1 1 1... ...1 1 1 1 1 1 1... ....an an an an a a a an an an a a a 1 1 1 1...1 1 1 1... 1 1 1 1...1 1 1 1...1 (Ingat Definisi 1.5) (terbukti)17 Matematikamn nm=1mnpn nm. Dengan demikian a a a an=1 1mpn pn pmn nnpn nma a a a na ap mn=1 1== m faktorn n nanp faktor1mna a a a na a p mn=1 1== m faktorn n nanp faktor1 1 1 1 1... a aa a a a aa a a= mnpn n n n nm faktor an an an anp faktor= mnpn n n n nm faktor an an anp faktor1 1 1 1...a a a aa a a aa a = +mnpn n n n nm pfaktor= +mnpn n n n nm pfaktorm ppn n ==( )m +p+mna a a am pn1==( )++mnpn a a am pnJadi, jika a adalah bilangan real dengan a0, pnmndan adalah bilangan pecahanmnpndengan n 0, serta n, q 2 maka a a am pn=( ) +.Sifat-5Jika a adalah bilangan real dan a 0 dengan a0, mnpqdan bilangan pecahanpq mnpqq, n 0, maka a a amn=+. 39. Uji Kompetensi 1.11. Sederhanakanlah operasi bilanganberpangkat berikut.a. 25 29 212b. 25 36 46c. 2 5 3 5 421226 2d. (5) 251257 3d. 3 7 2 ( )4232. Dengan menggunakan sifat bilanganberpangkat, sederhanakanlah bentukberikut.a. 2x3 7x4 (3x)2b. p 34 2q2 2 ( q) p 1a3 b5ab4 2851 2 4 2 2 18 Buku Guru Kelas X5c. y x zx y5 32( )d. (a b c)4 3(b c)3.3 273( b . c) 5bae. f. 1 232x yxy x ( y)33534 2 22x yxy x1 2 ( y)3534 2 22x yxy x ( y)g. ((a b))3 a b baab34 523() a b baab34 5232 a ba bh. 246423 8533b aa 2 (x y) ( )x yi. 36 23x yx y12 39223 22j. ( ) ( ) 212( ) ( )p q rp qpqrqr3 2 32 333 23. Hitunglah hasil operasi bilanganberpangkat berikut.a.4 24 2231216 231216b. ( ) 5 1151039532 4 5c. 32 3x y 2242xy( ) ; untuk x = 2dan y = 3d.233423x y2xy( );2334 121323x y2xyx y = =( ); untuk dan2 p qp qe. 3 32 342 42 3qp ( )( ) ( );untuk p = 4 dan q = 6 40. 2008 2013 2012 20112012 2010 2009 2008( +.)( +.)4 4 4 44 4 4 4 5312233276122319 Matematika4. Tentukan hasil darin 2 2 2 2n(2 ) 2 2 2 22n n++5. Misalkan kamu diminta menghitung764. Berapa banyak perkalian yangkamu lakukan untuk mendapatkannilai akhirnya? Bandingkanjawabanmu dengan temanmu.Pemenang di antara kalian adalahyang dapat mencari hasilnya denganmelakukan perkalian sesedikitmungkin. Coba tuliskan prosedurmengalikan yang paling sedikitperkaliannya untuk menghitung764. Apakah prosedur tersebut dapatdipergunakan untuk pangkat positifberapapun?6. Berdasarkan sifat angka 7, tentukanbilangan satuan dari 71234 + 72341 +73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas!7. Tentukan bilangan satuan dari6 26 62 (( ) ) berdasarkan sifat angka 6,tanpa menghitung tuntas. Selanjutnyaberdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8,9, tentukan juga angka satuan yangdiperoleh bilangan-bilangan tersebutyang dipangkatkan.8. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001+ + 20012001 adalah kelipatan 13.9. Bagaimana cara termudah untukmencari 3 10 5 25 6 3 2.10. Hitunglah1 2 3 41 3 5 7+ + + ++ + + +... =......!11. Sederhanakanlah a b a ba b a b.12. Tentukan nilai x yang memenuhia. 2x = 8b. 4x = 0,125c. 2 15=xProjekBilangan yang terlalu besar atau terlalu kcil seringkali dituliskan dalamnotasi eksponen yang dituliskan sebagai a E b yang nilainya adalah a 10b.Sehingga 0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5. Cari besaran-besaran fisika, kimia,astronomi, dan ekonomi yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen.Misalkan cepatan cahaya adalah 300.000 km/det, sehingga dalam notasieksponen ditulis sebagai 3 E 8 m/det. 41. 6. Bentuk AkarPengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari pemangkatansuatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi . Arahkan siswa masalah berikut untuk menunjukkan kepada siswa, kebergunaanmempelajari bentuk akar di bidang ekonomi. Diharapkan siswa memiliki motivasibelajar matematika.Perhatikan permasalahan berikut.Masalah-1.4Seorang ahli ekonomi menemukan bahwa harga (h) dan banyak barang (b) da-patdinyatakan dalam persamaan h = 33 b2 . Jika nilai b = 8, maka berapa nilai h?Alternatif Penyelesaianh = 33 b2 h = 33 82 h = 33 64 h = 33 4 4 4 h = 12Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai n a ,dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar.Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadibentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harusmemahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu.Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalahbilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a20 Buku Guru Kelas Xb, dengan a dan b bilangan bulat danb 0. Bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan murni, danbilangan pecahan desimal. Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidakdapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Bilangan irrasional merupakan bilanganyang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilanganirrasional, misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., = 3,141592653 dansebagainya. 42. Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. n a disebut bentuk akarjika dan hanya jika hasil n a adalah bilangan irrasional.pn = 3 = 1 = + + dan perhatikan bahwa12 = .13 = 3 .1= .21 MatematikaDefinisi 1.7Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar.Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilanganirrasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dannilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irrasional.Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.1. 20 adalah bentuk akar2. 3 27 adalah bukan bentuk akar, karena 3 27 = 37. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan BerpangkatPerlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentukakar. Berdasarkan Sifat-5, jika a adalah bilangan real dan a 0 dengan a0, pndanmnmnadalah bilangan pecahan n 0. Jika n, q 2 maka a a am pn=( ) + .121313122131313Perhatikan bahwap p p1 = 2 p p p p p pp p = p, sehingga berdasarkan Definisi 7.6 disimpulkan p pPerhatikan untuk kasus di bawah ini13131313131313131 = = 3 = 1 = + + dan perhatikan juga bahwap p p p p p p p p3 p 3 p 3 p = p , sehingga berdasarkan Definisi 7.6 disimpulkan p pLatihan 1.3Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum bahwa pn n p 43. 2323Perhatikan bahwa p p p p2 2323 = 3 2 .+ = ( + ) = ( )22 Buku Guru Kelas X2 3 = 2, sehingga berdasarkan sifat perkalian bilanganberpangkat diperoleh:3p p pm n pm= inIgnagta! t,( ( pm) )n== pmnJadi, p pmn n m n= =( ) sebagaimana diberikanSecara umum dapat disimpulkan bahwa p p pmpada Definisi-6.8. Operasi pada Bentuk Akara. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarOperasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabilabentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyaieksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r 0berlaku sifat-sifat berikut.p n r q n r p q ncp n r q n r p q ncrrPerhatikan contoh berikut ini!Contoh 1.6Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana!1. 3 5 + 4 5 = (3 + 4) 5= 7 52. 5 + 3 (tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama)3. 2 3 4 33 4 = (2 3)3 4= 3 44. 33 x 3 x = (3 1) 3 x= 23 x 44. pq q p = . Sifat perkalian dan23 Matematikab. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk AkarPada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a apembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.Contoh 1.731) 3 8 = 3 23 = 2 3 = 2 1 =262) 6 64 = 6 26 = 2 6 = 2 1 =23) 43 5 23 7 = (4 2)( 3 5 7) = 83 3511124) 35 5 57 5 3 5 5 55 715 5 15 5 = ( )( ) = ( 35 ) = 35 125)3 44 5344533= 36) 2 33 5233544= 4Latihan 1.41) Buktikan: jika a bilangan real dan a0, maka n an = a2) Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c0 dan d0, makaa n c bn d = abn cd3) Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c0 dan d0, d 0, makaa cb dabcdnn= nc. Merasionalkan Penyebut Bentuk AkarKita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2, 5, 3 + 7, 2 6 , dstmerupakan bilangan irrasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut padasuatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. 45. Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkanpenyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pecahan itu sendiri. Akan tetapi,prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses inidinamakan merasionalkan penyebut.1) Merasionalkan bentukpq24 Buku Guru Kelas XpqBentukpqdirasionalkan dengan cara mengalikannya denganqq.pq=pq.qq=pqqDiskusiMenurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harusdirasionalkan?Mengapa kita harus mengalikanpqdenganqq?Karena nilaiq selalu positif, makaqq= 1. Jadi perkalianpqdenganqqtidak akan mengubah nilaipqnamun menyebabkan penyebut menjadi bilanganrasional.2) Merasionalkan bentukrp qrp qrp qr, , , dan+ + p qSebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irrasional.a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional makahasilnya bilangan irrasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751...(bilangan irrasional).b) Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional makahasilnya bilangan irrasional, Contoh (1) 5 + 7 = 2,236068.... + 46. 2,645575... = 4,881643... (bilangan irrasional) (2) 2 5 + (-2 5 ) = 0(bilangan rasional). Jika dua bilangan irrasional dikurangkan, bagaimanahasilnya?c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya, , , dan .... = ...? +25 Matematikabilangan irrasional. Contoh 2 5 = 2 5 .d) Jika Bilangan irrasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnyadapat bilangan rasional atau bilangan irrasional.Contoh: 5 125 = 5 5 5 = 25 (25 adalah bilangan rasional) 3 53= 155=( 15 adalah bilangan irrasional)e) n a disebut bentuk akar apabila a adalah bilangan irrasional.Untuk merasionalkan bentukrp qrp qrp qr+ + p qdapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b) (a b) = a2 b2.Sehingga( )( ) ( ) 2 ( ) 2+ = = ( + )( ) = ( ) = p q p q p q p q2 p q p q p 2 q p 2qBentuk ( p + q ) dan bentuk ( p q ) saling sekawan, bentuk ( p + q ) dan ( p q )( p + q ) dan ( p q ) juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukanmaka dapat merasionalkan bentuk akar.Contoh 1.8Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut11 212 313 414 51++ +99 100++++++Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiapsuku; yaitu,=11 21 2 ++ 1 212 32 3 ++ 2 313 43 4+ 3 4 47. 14 54 5 + ... ++ 4 52 2P ( P)( P )P3 126 Buku Guru Kelas X199 10099 100+ 99 100=1 212 313 414 5199 1001++++ +...= 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 ... 99 + 100= 1 + 100 = 1+10 = 9 .Contoh 1.9Berapakah nilai13 13 13+++ ...Perhatikan pola bilangan di ruas kanan. Misalkan,1P =3 13 13+++ ...Dengan menguadratkan ruas kiri dan kanan, diperolehP2 13 13 13=+++ ...PP2213=+ + = 2 2 + 2 =3 1 0Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna, diperoleh persamaan: (P2 + 3)2 =21340 48. Dapatkah kamu selesaikan. Ingatmateri persamaan kuadrat di SMP.(P2 )2 + 3P2 1 = 0 dengan rumusabc pada persamaan kuadrat?27 MatematikaP2 32132+ + 0= tidak memenuhi.Dapatkah kamu beri alasannya?P2 3 P2 = + ++ 2132321320 P2 = 3 +2132 P = 3 + atau P = 2132122 13 6Jadi, nilai dari 13 13 13 13 13121 adalah2 13 6+++= ...3122 13 6+++= ...Contoh 1.10Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.a. 23 223 23 2= 3 2++(kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya)=2 ( 3 +2)3 2 3 2( )( +)=( + )=2 3 29 26 2 22 3 29 26 +2 2= +767277=( + )=+= +767277b. 36 336 36 36 33 6 36 3 6 318 3 336 318 3 3336113+=+=( + )( )=== ( )111(kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya) 49. 36 336 36 36 3+( )3 6 36 3 6 318 3 336 318 3 3( + )( )=336113+==== 11128 Buku Guru Kelas Xc.47 547 57 57 54 7 57 5 7 54 7 4 57 54 7 4 522 7 2 5=++=( + )( )( + )=+=+= +(kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya)3) Menyederhanakan bentuk ( p + q) 2 pqSekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentukkhusus; yaitu, bentuk ( p + q) 2 pq . Perhatikan proses berikut ini!Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu!a. ( p + q )( p + q )b. ( p q )( p q )Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananyamenjadi ( p + q) 2 pq . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut! 50. + 29 MatematikaContoh 1.11Sederhanakan bentuk akar berikut ini!a. 8 + 2 15 = (5 + 3) + 2 53 = 5 + 2 53 + 3( ) 2+ = += 5 3 5 32 + = ( ) = b. 9 4 5 = 5 4 5 4 5 2 5 2Uji Kompetensi 1.21. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahanberikut ini!a. 515d. 1224b. 220e. 1548c. 318f. 23aa2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahanberikut ini!a. 15 3d. 35 10b. 4 2+4 2e.xyx + yc.aa +23 5f. 24 54 150963. Sederhanakanlah bentuk berikut ini!a. 157512 3b. 72 811++ 2 8c. 43 232 15+ 3 2+d.105 6126 714++ +7 8++4. Jika 2 32 36+= a + b , tentukannilai a + b!5. Sederhanakan bentuk akar berikutini! 51. a. 19 + 8 3 d. 21 4 5b. 5 + 2 6 e. 21+ 8 5c. 43 +12 7SOAL TANTANGAN1. Tentukanlah nilai dari:a. 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 ...... . . . 12 3b. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...c. 1 11 1+1 1+++...30 Buku Guru Kelas X2. Jika a,b adalah bilangan asli dana b sehingga 34++abadalahbilangan rasional, maka pasangan(a,b) adalah ... (OSN 2005/2006)3. Nyatakan b dalam a dan c padab cc a33= abc.4. Bentuk 4 49 20 6 dapat diseder-hanakanmenjadi ....5.12 313 414 51+++ ++1 000 000 1 000 + ++13 414 51... = . . . .+ +1 000 000 1 000 001+++ ++a b6. 54 +14 5 + 12 2 35 + 32 10 7 =7. Jika(3+4)(32+42)(34+44)(38+48)(316+416) (332+432) = (4x3y), makaxy = ... 52. ProjekTidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional.Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakansebagai pecahan murni 131 Matematika3. Kenyataannya, bilangan pecahan desimal takhingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalambentuk pecahan.a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimaltak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Bericontoh penerapan prosedur yang kamu rancang.b. Berdasarkan penjelasan di atas yang bilangan irrasional tidak mungkinsama dengan 227, karena 227adalah pendekatan untuk nilai sebenarnya.1) Berapakah kesalahan 227terhadap nilai ?2) Dengan menggunakan prosedur yang kamu rancang di atas caripecahan yang lebih mendekati nilai daripada 227(kesalahannyalebih kecil).3) Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripadamenggunakan 227Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas. 53. 9. Menemukan Konsep LogaritmaTelinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yang rentangnya luarbiasa. Suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusakgendang telinga memiliki intensitas 1 triliun (1.000.000.000.000) kali lebih kuat daripada suara paling rendah yang bisa didengar.Menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidaknyaman. Namun, dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana.Logaritma merupakan suatu operasi hitung. Alexander Graham Bell (18471922)menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi. Skala ini dinamakandecibel, dan didefinisikan sebagai D ITabel 1.1 Intensitas bunyi beberapa suaraIntensitas BunyiWm21,0 1012 Ambang batas bawah pendengaran5,2 1010 Suara bisik-bisik3,2 106 Percakapan normal8,5 104 Lalu lintas padat8,3 102 Pesawat jet lepas landas32 Buku Guru Kelas Xlog , dengan D adalah skala decibelI=100m2 ( ), dan I0bunyi, I adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi Wadalah intensitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat, yaitu1,0 1012. Sebagai gambaran, berikut ini adalah tabel intensitas bunyi beberapaobjek.Intensitas BunyiBanyak masalah kehidupan yang penyelesaiannya melibatkan berbagai aturan dansifat logaritma. Cermatilah masalah berikut.Masalah-1.5Yusuf adalah seorang pelajar kelas X di kota Kupang. Ia senang berhematdan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlahRp1.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agaruangnya lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga10% per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadiRp1.464.100,00. 54. Pahami masalah dan tuliskan informasi yang diketahui pada soal. Buat tabelketerkaitan antara jumlah uang Yusuf dengan waktu penyimpanan. Selanjutnyatemukan model matematika yang menyatakan hubungan total uang simpanan denganwaktu menyimpan dan bunga uang.Diketahui:Modal awal (M0) = 1.000.000 dan besar uang tabungan setelah sekian tahun (Mt) =1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10% = 0,1.Ditanya:Berapa tahun (t) Yusuf menabung agar uangnya menjadi (Mt) = 1.464.100Alternatif PenyelesaianPerhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahun pada tabel sebagaiberikut.Tabel 1.2 Perhitungan besar suku bunga pada setiap akhir tahun t33 MatematikaAkhir Tahun Bunga uang(10% Total Uang)Total = Modal +BungaPola TotalUang pada saat t0 0 Rp1.000.000,00 1.000.000 (1+0,1)01 Rp100.000,00 Rp1.100.000,00 1.000.000 (1+0,1)12 Rp110.000,00 Rp1.210.000,00 1.000.000 (1+0,1)23 Rp121.000,00 Rp1.331.000,00 1.000.000 (1+0,1)34 Rp133.100,00 Rp1.464.100,00 1.000.000 (1+0,1)4Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahunagar uangnya menjadi Rp1.464.100,00. Selanjutnya, kita akan menyelesaikanpermasalahan di atas dengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifat-sifatlogaritma.Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas tentang pemangkatansuatu bilangan. Kita tahu bahwa 23 hasilnya adalah 8 yang dapat ditulis 23 = 8.Sehingga bila ada persamaan 2x = 8, maka nilai x yang memenuhi persamaan tersebutadalah x = 3.Perhatikan Tabel-1.2 di atas, kita peroleh 1.464.100 = 1.000.000 (1+0,1)4. Jika4 = t, maka persamaan tersebut menjadi 1.464.100 = 1.000.000 (1 + 0,1)t. Hal inidapat dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaituac = b, dengan memisalkan a = (1 + 0,1), b = 1, 464100, dan c = t. Bagaimana caramenentukan nilai c = t = 4?Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan invers dari eksponen, yaitulogaritma. Logaritma, dituliskan sebagai log, didefinisikan sebagai berikut. 55. Definisi 1.8Misalkan a, b, c R, aa00 , aa11, dan b0 maka alog b = c jika dan hanya jikaac = b.dimana: a disebut basis (0a1 atau a1)b disebut numerus (b0)c disebut hasil logaritmaDiskusiMeminta siswa mendiskusikan dengan temannya. Mengapa ada syarat a0 d aan 1a0 a 1 dalam definisi di atas? Demikian juga dengan b0.Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut. 2x = 5 x = 2log 5 (notasi dibaca jika dan hanya jika) 3y = 8 y = 3log 8 5z = 3 z = 5log 3Catatan: Jika logaritma dengan basis e (yaitu e 2,718, e adalah bilangan Euler), makaelog b ditulis ln b. Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.Masalah-1.6Di tahun 2013 jumlah penduduk Negara X adalah 100 juta orang. Bilapertambahan penduduk 1% per tahun, berapa jumlah penduduk negara itu padaakhir tahun 2017 dan tahun 2038? Pada tahun berapa penduduk negara itumenjadi dua kali lipat?Diketahui:Jumlah penduduk Negara X pada tahun 2013 adalah 100 juta jiwa.Persentase pertambahan penduduk per tahun adalah 1%Ditanya:a) Jumlah penduduk pada tahun 2017 dan tahun 2038b) Pada tahun berapa, jumlah penduduk menjadi dua kali lipat.34 Buku Guru Kelas X 56. Tabel 1.3 Perhitungan jumlah penduduk Negara X untuk setiap tahun35 MatematikaPenyelesaianJumlah penduduk di awal (P0) = 100 jutaMisalkan: Pt adalah jumlah penduduk pada tahun tr adalah persentase pertambahan penduduk.Akhir Tahun Pertambahan penduduk(1% total penduduk)(juta)Total = JumlahPenduduk awal +Pertambahan(juta)Pola TotalPenduduk padasaat t2013 0 100 100 (1+0,01)02014 1 101 100 (1+0,01)12015 1,01 102,01 100 (1+0,01)22016 1,0201 103,0301 100 (1+0,01)32017 1,030301 104,060401 100 (1+0,01)4Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa total penduduk pada akhir tahun 2017adalah 104.060.401. Selanjutnya, kita akan menyelesaikan permasalahan di atasdengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifat-sifat logaritma.Perhatikan Tabel-1.3 di atas, kita peroleh 104.060.401 = 100 (1+0,01)4. Jika4 = t, maka persamaan tersebut menjadi 104.060.401 = 100 (1+0,01)t. Hal ini dapatdikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu ac = b,dengan memisalkan a = (1 + 0,01), b = 104.060.401, dan c = t. Bagaimana caramenentukan nilai c = t = 4? Selanjutnya bagaimana menentukan jumlah pendudukpada akhir tahun 2038 dan tahun berapa jumlah penduduk Negara X menjadi duakalilipat.Diskusi Misalkan P0 adalah jumlah penduduk pada saat t = 0, dan Pt adalah jumlahpenduduk pada akhir tahun t, dan diketahui nilai e 2,718.... Berdiskusilahdengan teman dan guru, bagaimana menemukan hubungan Pt dengan P0sehingga Pt = P0 (e rt). Ujilah pemahaman siswa, apakah siswa mengerti makna ketika t = 0, makaP0 = 100 juta. 57. Selanjutnya cermati grafik fungsi y = f(x) = 2log x, f(x) = 2log x, f(x) = 3log x dan f(x)= 3log x yang disajikan berikut.Gambar 1.2 Grafik Fungsi Logaritma123Tabel 1.4 Perhitungan Nilai Fungsi Logaritma36 Buku Guru Kelas Xxf(x)DiskusiBerdasarkan grafik di atas dan definisi tentang logaritma, Minta siswa berdiskusidengan temannya untuk mencari sedikitnya 5 sifat dari fungsi logaritma. Mintasiswa menyajikan hasil diskusi di depan kelas.Perhatikan grafik fungsi di atas. Isilah tabel berikut.x1 2 3 4 8 9f(x) = 2log x 0f ( x )=l ogxf ( x )=l ogx1f ( x )=l 3ogx0001213142131421314 58. 37 MatematikaMari kita definisikan fungsi logaritma.Definisi 1.9Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) = alog xdengan a bilangan real, a0, a 1 serta x0.x adalah variabel (peubah bebas) dan a adalah bilangan pokok atau basis.Contoh 1.121. Tulislah bentuk logaritma dari:a. 25 = 32 maka 2log 32 = 5b. 43 = 64 maka 4log 64 = 3c. 22 =14maka 2log14= 22. Tulislah bentuk pangkat dari:a. 11log 121 = 2 maka 112 = 121b. 3log 81 = 4 maka 34 = 81c. log 1000 = 3 maka 103 = 10003. Hitunglah nilai logaritma berikut.a. 2log 2 = 1 karena 21 = 2b. 2log 1 = 0 karena 20 = 1c. 2log 128 = 7 karena 27 = 12810. Sifat-sifat LogaritmaDari Definisi 1.9, logaritma merupakan inversi dari perpangkatan, oleh karenaitu terdapat 3 sifat dasar logaritma, yaitu:Sifat-6. Sifat Dasar LogaritmaMisalkan a dan n bilangan real, a0 dan a 1, maka1. alog a = 02. alog 1 = 03. alog an = nSifat-sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma. 59. Contoh 1.131. alog a = x ax = a sehingga x = 1 atau alog a = 12. alog 1 = y ay = 1. Karena a0 = 1, maka y = 03. alog an = z ax = an sehingga z = n serta alog an = nBEBERAPA SIFAT OPERASI LOGARITMASifat-7Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, dan b0, berlakua log(b c) = a logb + a logcBukti:Berdasarkan Definisi 1.6 maka diperoleh:a xa yb x b ac y c aloglog====Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka:b c = ax ay b c = ax+y alog (b c) = x + y Substitusi nilai x dan y alog (b c) = alog b + alog c (terbukti)Sifat-8Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a0, a 1, dan b0, berlakua b a alog logb logcc= Bukti:Berdasarkan Definisi 1.6, diperoleh:alog b = x b = axalog c = y c = ayDengan membagikan nilai b dengan c, maka diperolehbx= bcy aac= axy a b clog = alog axy38 Buku Guru Kelas X Simbol dibaca jika danhanya jika Apakah kamu mengertimaknanya? Jika tidakbertanya kepada guru. 60. =... ingat, Sifat-1039 Matematika a bclog= x y Substitusi nilai x dan y a bclog= alog b alog c (terbukti)Sifat-9Untuk a, b, dan n bilangan real, a0, b0, a 1, berlakua logbn = n a logbBukti:a n alogb = log bbb...bn faktor ingat, am a a a am faktor a n a a alogb = logb + logb + ...+ logbn faktor a logbn = n a logb (terbukti)Sifat-10Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, b 1, dan c 1, berlakuacc b b b= = 1a alog loglog logBukti:Berdasarkan Definisi 1.8, diperoleh:alog b = x b = axTerdapat bilangan pokok c sedemikian sehingga:clog b = clog ax clog b = x clog a ingat, Sifat-9 x bacc = loglogsubstitusi nilai x acc b b= (terbukti)alog loglog 61. Karena c adalah bilangan sembarang dengan ketentuan di atas dapat dipenuhi c = bsehingga diperoleh abb b blog = (alog b), dengan m, n bilangan bulat dan m 0.40 Buku Guru Kelas X= ingat, Sifat pokok 2alog loglog a= 1 (terbukti)b baloglogSifat-11Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a 1 dan c 1, berlakua logb b logc = a logcBukti:Berdasarkan Definisi 1.6 maka diperoleh:alog b = x b = axblog c = y c = byalog b blog c = alog ax blog by alog b blog c = alog b blog by ingat, c = by alog b blog c = y alog b blog b ingat, Sifat pokok 2 alog b blog c = y alog b ingat, Sifat 6 alog b blog c = alog by ingat, c = by alog b blog c = alog c (terbukti)Sifat-12Untuk a dan b bilangan real positif dengan a 1, berlakuam n b nmBukti: (Silahkan coba sendiri)Sifat-13Untuk a dan b bilangan real positif a 1, berlaku a b a logb=Bukti: (coba sendiri)Logaritma saling invers dengan eksponen. Misalkan alog b = c. Kita subtitusikan alogb = c ke ac = a( )a logb, sehingga diperoleh ac = b 62. Untuk mendalami sifat-sifat di atas, perhatikan beberapa contoh berikut.41 MatematikaCont