10 Ecuaciones Diferenciales Parciales

8/20/2019 10 Ecuaciones Diferenciales Parciales

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Ecuaciones DiferencialesParciales


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Varios problemas en física e ingeniería tienen mas de unavariable independiente. Estos problemas pueden ser

modelados solamente con ecuaciones diferenciales parciales.Una ecuación diferencial que envuelva derivadasparciales es conocida como una ecuación diferencialparcial.La predicción numérica es una de las mas conocidas

aplicaciones de las ecuaciones diferenciales parciales. Unmodelo de ujo en la atmósfera es descrito por un sistema deecuaciones diferenciales parciales; en el sistema son trescoordenadas espaciales ! "! # " el tiempo t. La mas recientecolección de datos es usado como condición inicial " futurascondiciones son predecidas en un futuro cercano $dos o tresdías% usando c&lculos mu" etensos.

EDP- Ecuación Diferencial

Parcial


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E'E(PL) *


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+)LU0,)E+ -EE31L 4P132,0UL13


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)21+


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E0U10,)E+ D,/E3E0,1LE+ 5UE+U3-E DE L1 EL,(,10,) DE

/U0,)E+ 136,2313,1+


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)21


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1plicación en 7ibraciones

+UPUE+2)+8 0uerda eible " el&stica. 9 su:cientemente peue


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()DEL) (12E(12,0)

Llamemos 4 $! t% el despla#amiento del punto en la cuerda$medido desde la posici=on de euilibrio la cual tomamos como eleje )>% en el tiempo t. El despla#amiento! en el tiempo t! en enpunto cercano ? @ 7endr=a dado por 4 $ ? @! t%.


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Para describir el mo7imiento resultante! consideraremos lasfuer#as ue actAan sobre el peue


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/uer#a neta 7ertical $9acia arriba% F $ ? @% sen GH I F $% sen G*

/uer#a neta 9ori#ontal $9acia la derec9a% F $ ? @% cos GH I F $% cos G*

1sumiendo ue la cuerda tiene densidad J $masa por unidad de longitud%! lamasa del elemento es J@s. La aceleración 7ertical de la cuerda esta dadaaproimadamente por $mas eactamente es ? K donde K M cuando @ M%

Por tanto segun la le" de eNton 8 F $ ? @% sen GH I F $% sen G* J@s

G es una función de la posición8G* G$%; GH G$ ? @%

" di7idiendo por @8

F $ ? @% sen G$ ? @% I F $% sen G$% @ J .

la pendiente de la tangente en cualuier punto de la cuerda8tan G$%

si asumimos ue la pendiente es peue


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• " tomando limites cuando @ M8

R B S B J

S B J

Para F $% F es una constante8

J !

T(ientras no se diga lo contrario consideraremos F constante.

•


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,DU00,) ) D,/U+,)DE 01L)3


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• U$!t% 8 la temperatura en el plano 6 en tiempot

• U$?!t% 8 temperatura en el plano 0 entiempo t

5 W1t• 5 8 es la cantidad de calor ue u"e a la

derec9a.

• t 8 es la longitud de tiempo durante el cual

ocurre el ujo.

• W 8 es la constante de proporcionalidad llamadaconductividad térmica, depende del material

•


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• 8 es negativo cuando la temperatura est&decreciendo a medida ue 7amos a la

derec9a.• Es positivo cuando es lo contrario.

Podemos decir que la cantidad de calor que

fuye de izquierda a derecha a través del plano B es:

La cantidad de calor que fuye de izquierda aderecha en el plano C es:

•


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• La cantidad neta de calor ue seacumula en el 7olumen entre 6 " 0

es la cantidad ue entra por 6 menosla cantidad ue sale por 0! esto es

Di7idiendo ambos lados por 1! ! t "9aciendo ue " t tienda a ceropara tener una mejor aproimación.


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XWρs8 difusi7idad de material.

Esta ecuación se llama ecuación de

fuo de calor o de conducción de caloren una dimensión

0onsideremos ue la super:cie esta

aislado


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)bser7ación

El calor puede uir en mas e una dirección comopor ejemplo8

Ecuación de conducción de calor tridimensional

Ecuación de conducción de calor bidimensional


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En el caso ue U este en estadoestacionario o sea ue no depende detiempo! tenemos8

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