1 VECTORES EN EL PLANO. 2 ¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la...

1

VECTORES EN ELVECTORES EN EL

PLANOPLANO

VECTORES EN ELVECTORES EN EL

PLANOPLANO

2

¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra?

Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida.

Magnitudes escalares y Magnitudes escalares y vectorialesvectoriales

Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido.

Estamos ante dos tipos de magnitudes:• Las magnitudes escalares, para cuya determinación se

necesita un número que exprese su medida.• Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un móvil,

el viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su intensidad, dirección y sentido.

3

• VECTOR FIJO

• VECTORES EQUIPOLENTES

• COMPONENTES DE UN VECTOR

• VECTOR LIBRE

• SUMA DE VECTORES LIBRES

• PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

VECTORES EN EL PLANO

4

• Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado

que va de A a B. Lo indicaremos con

• Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado

que va de A a B. Lo indicaremos con

Vectores en el planoVectores en el plano

AB

A

Bπ

• Llamaremos módulo del vector a la longitud del segmento AB.

• Su dirección será la de la recta determinada por los puntos A y B.

• Su sentido es el que va de A a B.

• Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

• Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

5

Llamamos COMPONENTES de un vector al par de números reales

)v,(vv 21

Componentes de un vectorComponentes de un vector

)ab,a(b)v,(vAB 221121

Dado el vector fijo , hallamos sus componentes restando las coordenadas del extremo menos las del origen

AB

A =(a1,a2).

B =(b1,b2).

v1 =(b1 - a1)

v2 =(b2 – a2)

A =(-2,2)

B =(3,-1)

Si A =(-2,2) y B =(3,-1), las componentes del vector serán:

(5,-3)2)(-2),-1(3AB

6

Módulo de un vectorMódulo de un vector

22

21 vvv

Dado el vector con origen en A(a1,a2) y extremo en B (b1,b2), su módulo es la longitud del segmento AB (o del BA):

Bb2

b1

A

a1

a2 b1- a1

b2- a2

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:

Por ejemplo, el módulo siendo A(-3,8) y B(3,5):

Y en general para cualquier vector )v,(vv 21

7

• Si dos vectores fijos son equipolentes, al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo

CDAB

Vectores libresVectores libres

B

A

• Fijado un vector AB y un punto C, existe un vector equipolente a AB con origen en C

C

D

Se lee: “El vector AB es equipolente al CD

Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado

Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado

Se lee: “ el vector libre u está formado por todos los vectores equipolentes a AB

B

A

C

D

8

Vectores libres del planoVectores libres del plano

w

uv

El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

Todos los vectores equipolentes a uno dado tienen las mismas componentes.

NOTA: Indicaremos los vectores en negrita o con una flecha sobre la letra(s) correspondientes

9

Vector de posición de un Vector de posición de un puntopunto

De todos los vectores equipolentes a uno dado (representantes del mismo vector libre)

el más fácil de representar es aquel que tiene origen en el origen de coordenadas, punto O(0,0)

Ejemplos

Las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto que es su extremo.

,43u

2-,5v

u

v

10

Suma de vectores Suma de vectores libreslibres

u

v

uu

vv ww

La suma de dos vectores libres es otro vector. Decimos que la suma de vectores libres es una operación interna:

22 VvuVv,u

Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

- Fijado O, construimos un vector OA representante de u y OC de v. Siendo éstos dos lados consecutivos de un paralelogramo, lo completamos y el vector OB será el vector suma

O A

B

O A

BC

Para sumar dos vectores:

- Fijado un punto O del plano, construimos un vector OA que sea representante de u ; después AB equivalente al vector v . El vector OB se llama vector suma

GEOGEBRA

11

Propiedades de la suma Propiedades de la suma de vectoresde vectores

u0uVuV0 22 wvuwvuVwvu 2,,

uvvuVv,u 2

GEOGEBRA

La suma de dos vectores libres es operación interna:

22 VvuVv,u

Existe elemento neutro:

La suma de vectores tiene las siguientes propiedadesLa suma de vectores tiene las siguientes propiedades

Es asociativa:

Es conmutativa:

Existe elemento opuesto: 0uuVuVu 22

0,00 Es el vector nulo. Su representación es

cualquier punto del plano

21 u,uu El vector opuesto de u tiene la misma

dirección y módulo que u pero sentido contrario

u u

12

Propiedades conmutativa y Propiedades conmutativa y asociativa de la sumaasociativa de la suma

u

v

u

u

v

v

vu

w

v

u

uvvu

vu

w)wv(u

w)vu(

wv

wvuwvu

Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

uv

13

SumaSuma y y restaresta de de vectoresvectores

u v Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

-El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el vector suma u+v, y

-El vector CA (la otra diagonal) es el vector resta u – v (vector que va del extremo de v al extremo de u, en este orden)

-NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector que va del extremo de u al extremo de v, en este orden)

v

vuvu

vvu vu

vu

La diferencia entre los vectores u y v es igual a la suma de u con el opuesto de v

u u

O

vu B

Av

u

Cv vu

v

AuO

14

Suma de vectoresSuma de vectoresen función de sus en función de sus

componentescomponentesSean

Si los vectores son:u

w

wu

(2,2)ww

u

wuPara sumarlos gráficamente construimos el paralelogramo

O simplemente encadenamos los vectores

15

Resta de vectoresResta de vectoresen función de sus en función de sus

componentescomponentesSean

Si los vectores son:

u

w

wu

(2,2)w

wu

w-),-w(-ww 21Com

o

La resta es la suma del opuesto:

w

u

wu

16

22 VuRVu

El producto de un vector u por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que u, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de u por el

valor absoluto de λ

Producto de un vector Producto de un vector por un escalarpor un escalar

u3

u2

u2

3

u El producto de un vector por un escalar es otro vector.

uu

0siu.sentopuesto

0siusentidousentido

udirecciónudirección

u

u2

5

Opuesto de u

17

Para multiplicar un vector por un número real, se multiplica el número real por cada componente del vector

Producto de un vector por un Producto de un vector por un escalarescalar

22 VuλRλVu

Sea

Ejemplo

u

uSi

VECTOR OPUESTO

Siu2

18

Combinación Combinación lineal de lineal de vectoresvectores

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

u v

u

vu

v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

u

v w

19

Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Sean los vectoresDefinimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v:

Ejemplo:

u

v

u2

w

20

Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Otro ejemplo:

Con los mismos vectores

u

v

u2 w

v-

Pero con distintos coeficientes

21

Teoría y ejercicios:http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Maneja vectores:http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

Hoja de problemas con soluciones:

http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf

22

Propiedades de la Propiedades de la dependencia lineal. dependencia lineal.

Base del planoBase del plano v

direcciónlamismatienenquedecirquierequelowvligadoeswvSSi ,

- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección.

- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección.

- Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre.

- Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre.

vw

v vw

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

w

1u

2u

1u

2u

21 uuS ,

Este sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ )

21 uuw

23

Bases del Bases del plano plano

BASEBASE

1u

2u

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.

Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base.

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.

Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base.

1u

2u

BASE ORTOGONAL:

Los vectores de la base son perpendiculares

BASE ORTOGONAL:

Los vectores de la base son perpendiculares

1u

2u

BASE ORTONORMAL:

Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

BASE ORTONORMAL:

Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

21 uuB , 21 uuB ,

24

Bases del plano Bases del plano

BASEBASE

1u

2u

Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la baseUn vector tiene distintas componentes si cambiamos la base

1u

2u

BASE ORTOGONAL:BASE ORTOGONAL:

1u

2u

BASE ORTONORMAL:BASE ORTONORMAL:

21 uuB , 21 uuB ,

Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la baseCon unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

1u

2u

1u

2u

1u

2u

u(1,1)

u(2,0'6)

u(1'2,0 '9)

u(1,1)

v(1,1)

w(1,1)EEEEEEEEEEEEEE

25

Vectores linealmente Vectores linealmente

dependientesdependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

v Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el plano

son linealmente independientesson linealmente independientesSiSi

26

EL PLANO AFÍNEL PLANO AFÍN

• TRES PUNTOS ALINEADOS• PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO• SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

27

Condición para que tres Condición para que tres puntos estén alineadospuntos estén alineados

PR PQEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2) están alineados si: P

Q

R

1 1 2 2 1 1 2 2r p ,r p q p ,q p

1 1 2 2 1 1 2 2r p ,r p q p , q p

1 1 1 1

2 2 2 2

r p q p

r p q p

1 1

1 1

2 2

2 2

r p

q p

r p

q p

1 1 2 2

1 1 2 2

r p r p

q p q p

1 1 2 2

1 1 2 2

r p r p

q p q p

R

Q P

P



28

Punto medio de un Punto medio de un segmentosegmento

1 1 2 2 1 2q p ,q p 2 q x,q y

Si M(x,y) es el punto medio de dos P(p1,p2) y Q(q1,q2):

M

P

Q

1 1 1

2 2 2

q p 2 q x

q p 2 q y

1 1 1

2 2 2

q p 2q 2x

q p 2q 2y

1 1 1

2 2 2

2x 2q q p

2y 2q q p

1 1

2 2

q px

2q p

y2

1 1 2 2q p q pM (x,y) ,

2 2

M(x,y) es el punto medio de P(p1,p2) y Q(q1,q2):

Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales

MQ2PQ

29

SimétricoSimétrico de un punto respecto de un punto respecto a otroa otro

1 21 2

x p y pq ,q ,

2 2

PP' 2PQEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

1 2 1 1 2 2x p ,y p 2 q p ,q p

Para hallar el simétrico P’(x,y) de un punto P(p1,p2) respecto a Q(q1,q2): P

Q

P’

1 1 1

2 2 2

x p 2 q p

y p 2 q p

1 1 1

2 2 2

x 2q 2p p

y 2q 2p p

1 1 2 2Q(x,y) 2q p ,2q p

O bien:

Q es el punto medio de PP’:

11

22

x pq

2y p

q2

1 1

2 2

2q x p

2q y p

1 1

2 2

x 2q p

y 2q p

1 1

2 2

x 2q p

y 2q p

30

Ecuaciones de la rectaEcuaciones de la recta

• ECUACIÓN VECTORIAL• ECUACIONES PARAMÉTRICAS• ECUACIÓN CONTÍNUA• ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O CARTESIANA• ECUACIÓN EXPLÍCITA• CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS

31

Ecuaciones de la recta(1)Ecuaciones de la recta(1)Para determinar una recta r necesitamos:

• Un punto de la recta y una dirección

• Dos puntos de la recta

A

v

r

r

A

B

32

Ecuación vectorial de la Ecuación vectorial de la rectarecta

O

X(x,y)v

A(a1,a2)

r

Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector direccional de la recta)

a x

vax

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x

Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2) y v un

vector de componentes (v1,v2)

Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

OX OA AX EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Sea X(x,y) un punto genérico de la recta

33

Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector

direccional es v=(v1,v2)

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x 1 2 1 2x,y a ,a v , v

1 1 2 2x,y a v ,a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1

1

2

2

x a

v

y a

v

1 2

1 2

x a y a

v v

1 2

1 2

x a y a

v v

2 1 1 2 1 2v x v y v a a v 02

1

1 2 1 2

v a

v b

v a a v c

ax by c 0 ax by c 0

Dada la ecuación vectorial de la recta r:

Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:

Si llamamos:

Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

34

Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector

direccional es v=(5,-1)

x,y 2, 3 5 ,

x,y 2 5 , 3

x 2 5

y 3

x 2 5

y 3

x 2

5y 3

1

x 2 y 3

5 1

x 2 y 3

5 1

x 5y 2 15 0

x 5y 13 0 x 5y 13 0

Dada la ecuación vectorial de la recta r:

Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:

Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

x,y 2, 3 5, 1

35

Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector

direccional es v=(v1,v2)

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x

1 1

2 2

x a v

y a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1 2

1 2

x a y a

v v

1 2

1 2

x a y a

v v

21 2

1

v av v ,v b,a

v b

ax by c 0 ax by c 0

Ecuación vectorial :

Como

Ecuaciones paramétricas :

Ecuación contínua :

Ecuación general, cartesiana o implícita :

36

Ecuaciones de la recta que pasa Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos.por dos puntos.

Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2)

1 2

1 2

x a y a

v v

Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r:

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Su vector direccional puede ser

r 1 1 2 2v AB b a ,b a EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

A(a1,a2)

B(b1,b2)

r

A(a1,a2)B(b1,b2)

P(x,y)

P(x,y)

37

CONDICIÓN DE PARALELISMO CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTASENTRE RECTAS

r

svr

vs

Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores direccionales:

r sr // s v // v EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

r sv v EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Sean vr y vs los vectores direccionales de dos rectas r y s paralelas.

(Sus componentes serán proporcionales)

r r1 r2v v ,vEEEEEEEEEEEEEE

s s1 s2v v ,vEEEEEEEEEEEEEE

r1 r2 s1 s2v ,v v ,v

r1 s1r1 r2 s1 s2

r2 s2

v vv ,v v , v

v v

r1 r2

s1 s2

v v

v v

38

r

svr

vs

r sr // s v // v EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas:



CONDICIÓN DE PARALELISMOCONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS ENTRE RECTAS

Serán paralelas si:

ECUACIÓN

vectorial

paramé-tricas

contínua

general

r1 r2

s1 s2

v v

v v

1 2 r1 r2

1 2 s1 s2

r x,y a ,a v ,v

s x,y b ,b v ,v

1 s11 r1

2 r2 2 s2

x b vx a vr s

y a v y b v

1 2 1 2

r1 r2 s1 s2

x a y a x b y br s

v v v v

r A x B y C 0 s A ' x B' y C' 0 A B

A ' B'

A B C

A ' B' C' Coincidirán si se

cumple:

r1 r2

s1 s2

v ,v B,A

v ,v B',A '

39

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESPRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

• DEFINICIÓN• PROPIEDADES• MÓDULO DE UN VECTOR• ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES• ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS• CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS• POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS• PENDIENTE DE UNA RECTA• ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA• DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.• HAZ DE RECTAS

40

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectores(1)vectores(1)

u v u v cos u,v

Si u 0 ó v 0 u v 0

Si u v u v 0

Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta:

Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1. 2. 3.

Si u v 0 y u 0, v 0 u v

4.

2u v v u , u,v V

(El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0

Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0)

Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares

Propiedad conmutativa

5.

2a u v au v , u,v V , a

Propiedad “asociativa”

2u v w u v u w , u,v,w V EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEEEEEE

6.

Propiedad distributiva

v

u

R

41

Propiedades del producto escalarPropiedades del producto escalar (2)(2)

u v u v cos u,v

u v ' u v ' cos0º EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEE

u v ' u v ' EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEE

8.

u v u v cos

7.

Si una base es ortonormalB = { u1,u2}

1 2

1 1

2 2

u u 0

u u 1

u u 1

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE



El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él

u v u v ' EEEEEEEEEEEEE E

u v u v ' EEEEEEEEEEEEE Eu v u v ' EEEEEEEEEEEEE E

1 2u uEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

2

1 1 1 1 1u u u u cos0º u 1 EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

2

2 2 2 2 2u u u u cos0º u 1 EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)

1 2 1 2u u u u cos90º 0 EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

2

u u u u cos u,u u

9.

u u u El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del

producto escalar de dicho vector consigo mismo.

u

v 'EEEEEEEEEEEEEE

v

42

Expresión analítica del producto escalarExpresión analítica del producto escalar

1 2x x ,x

1 2y y ,y

1 1 2 2x x u x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE

Sea una base ortonormal y sean dos vectoresB = { u1,u2}

1 1 2 2y y u y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE 1 1 2 2 1 1 2 2x y x u x u y u y u

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2x y x y u u x y u u x y u u x y u u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEEEEEE

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2x y u x y x y u u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

1 1 2 2x y x y

1 1 2 1 1 2 2 2x y 1 x y x y 0 x y 1

Como la base es ortonormal

1 1 2 2x y x y x y

1 1 2 2x y x y x y

2 21 2x x x x x

2 2

1 2x x x x x

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)

43


1 2x x ,x

1 2y y ,y

1 1 2 2x x u x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE

Sea una base ortogonal y sean dos vectoresB = { u1,u2}




2 2


Como la base es ortogonal

2 2

1 1 1 2 2 2x y x y u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE 2 2

1 1 1 2 2 2x y x y u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE

2 22 2

1 1 2 2x x x x u x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE 2 2

2 21 1 2 2x x x x u x u

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortogonal

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortogonal

(Los vectores de la base son perpendiculares)

2 2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2x y u x y x y 0 x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

2 2

1 1 1 2 2 2x y u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

44


1 2x x ,x

1 2y y ,y 1 1 2 2x x u x u

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EE

Sea una base cualquiera y sean dos vectoresB = { u1,u2}




2 2


Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector en una base cualquieraExpresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector en una base cualquiera

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2x y x y u x y x y u u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2x y x y u x y x y u u x y u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

2 22 2

1 1 1 1 1 2 2 2x x x x u 2x y u u x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

2 22 2

1 1 1 1 1 2 2 2x x x x u 2x y u u x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2x x x x u x y x y u u x x u EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEE

45

Coseno del ángulo de dos vectoresCoseno del ángulo de dos vectores

x y x y cos x,y

x ycos

x y

En una base ortonormal o canónica :

x ycos

x y

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

x y x y

x x y y

Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal.

Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal.

x y x y 0

1 1 2 2x y x y 0

Si dos vectores son perpendiculares :

A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales

Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0

46

Ángulo que forman dos Ángulo que forman dos rectas.rectas.

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales

rsvr

vs

r,s



r s

r s

v vcos

v v


EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEr s

r s

v vcos

v v



Valor absoluto de un número real

Módulo de un vector

Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman)

Secantes

Paralelas no coincidentes

Coincidentes

Posición relativa de dos Posición relativa de dos rectas.rectas.

Dos rectas en el plano pueden ser:

47

Ecuación explícita de una Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una recta. Pendiente de una

rectarecta

Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y:

r A x B y C 0

A Cy x

B B

r 1 2v v ,v B,A EEEEEEEEEEEEEE

r

Atg m

B

A Cm n

B B

Si llamamos:

y mx n y mx n La ecuación explícita de la recta será:

m nos indica la pendiente de la recta y

n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n)

ArvEEEEEEEEEEEEEE

-B

α

m1

m1

m1

n

48

Ecuación punto-pendiente.Ecuación punto-pendiente.Pendientes de dos rectas paralelas o Pendientes de dos rectas paralelas o

perpendiculares.perpendiculares.

Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella:

y = m x + n

Falta determinar n ( m ya lo conocemos)

Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente:

y0 = m x0 + nLa recta debe pasar por P(x0,y0)

Restando ambas expresiones: y - y0 = m (x - x0 )

Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

x2-x1 = v1

y2-y1 = v2

2 1

2 1

y ym tg

x x

1

2

v

v

49

Condición de paralelismo Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectasy perpendicularidad entre rectas

Vector direccional

Serán paralelas si:

Serán perpendiculares si:

ECUACIÓN

r y=mx+n

s y=m’x+n’

r Ax+By+C=0

s A’x+B’y+C’=0

A B

A ' B'

y=mx+n mx-y+n=0 rv (1,m)EEEEEEEEEEEEEE

Dada la ecuación de una recta r:

rv (1,m)EEEEEEEEEEEEEE

sv (1,m')EEEEEEEEEEEEEE

rv ( B,A) EEEEEEEEEEEEEE

sv ( B',A ') EEEEEEEEEEEEEE

1m'

m

Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

m m' 1 mm' 0

AA ' BB' 0

50

DISTANCIAS EN EL PLANODISTANCIAS EN EL PLANO

• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS• DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA• DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS• HAZ DE RECTAS

51

Distancia entre dos puntosDistancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B (b1,b2) es el módulo del vector AB (o del BA):

2 2

1 1 2 2d A,B AB b a b a EEEEEEEEEEEEEE

2 2

1 1 2 2d A,B AB b a b a EEEEEEEEEEEEEE

Bb2

b1

A

a1

a2 b1- a1

b2- a2

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:

2 2 22d A,B AB 3 3 5 8 6 3

45 3 5 u

EEEEEEEEEEEEEE

Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):

52

El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto

La distancia es siempre una cantidad positiva.

Distancia de un punto a una recta (1)Distancia de un punto a una recta (1)

Recordemos que:

Un vector perpendicular al vector v x,y

puede ser el vector n y,x (Su producto

escalar es cero)

Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es rv b,a

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero

Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0

a a 0

53

Distancia de un punto a una recta (2)Distancia de un punto a una recta (2)

A P

Q

rvEEEEEEEEEEEEEE

Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0) a la recta r de ecuación ax+by+c=0.

Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r.

ax1+by1+c=0

PQEEEEEEEEEEEEEE

d(P,r)=d(P,Q)=

r

rv b,a

y su vector direccional

n a,b

El vector es perpendicular a la recta r

La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q)

n

PA n PA n cos EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

n PQ EEEEEEEEEEEEE E PA n

PQn

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

1 0 1 0

2 2

x x ,y y a,b

a b

PQ EEEEEEEEEEEEEE

1 0 1 0

2 2

ax ax by by

a b

0 0

2 2

ax by c

a b

PQ EEEEEEEEEEEEEE

0 0

2 2

ax by c

a b

FÓRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia es siempre una

cantidad positiva

ax1+by1= -c

54

Distancia de un punto a una recta Distancia de un punto a una recta (Ejemplo)(Ejemplo)

Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación x-3y+7=0.

0 0

2 2

ax by cd(P,r)

a b

22

3 3 5 7

1 3

3 15 7

1 9

11

10

11 11 10 11 10u

1010 10 10

En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta

En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y

GEOGEBRA

55

Distancia entre dos rectas paralelasDistancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.

rd Ps sd r, ,

r

s

Pr(x0,y0)r A x B y C 0

s A x B y C' 0

Sean r y s dos rectas paralelas:

Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir:0 0A x B y C 0

0 0

2 2

Ax By C'

A B

2 2

C C'

A B

2 2

C' C

A B

Ax0+By

0=-C

56

Teoría y ejercicios:http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Maneja vectores:http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

Hoja de problemas con soluciones:

http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf

1 VECTORES EN EL PLANO. 2 ¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la...

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