1 Teoria dei Numeri

1. Siano a, b numeri interi maggiori di 1 e tali che a6 = b4. Qual e il minimovalore di a+ b?

2. Quali cifre devono essere messe al posto di x e y nel numero 30x0y03 perrenderlo multiplo di 13?

3. Siano a, b interi tali che a+4b sia divisibile per 13: e vero che anche 10a+be divisibile per 13? Dedurne un criterio di divisibilita per 13.

4. Trovare tutti gli interi non negativi per cui

(x+ y)2 − (xy)2 = 1

5. La decima edizione delle Olimpiadi della Matematica venezuelane si esvolta nel 2008: sapendo che l’intenzione e di organizzarle ogni anno (eche finora sono state organizzate regolarmente), quante volte il numerodell’edizione dividera l’anno?

6. Qual e la cifra delle unita di 777? E qual e il suo resto nella divisione per

11?

7. Definiamo i numeri di Fibonacci tramite la relazione per ricorrenza: F0 =0, F1 = 1 e

Fn+2 = Fn+1 + Fn.

Dimostrate che per ogni n ≥ 2 si ha F1 + F2 + · · ·+ Fn = Fn+2 − 1.

8. Dimostrare che la frazione

21n+ 414n+ 3

e irriducibile per ogni intero n.

9. Dimostrare che per ogni intero n il numero

n(n2 − 1)(5n+ 2)

e divisibile per 24.

10. 6|a+ b+ c⇔ 6|a3 + b3 + c3.

11. Dimostrate che per ogni n ≥ 1 si ha Fn−1Fn+1 = F 2n + (−1)n, dove Fn

rappresenta l’n-esimo numero di Fibonacci.

12. Un intero positivo si dice triangolare se si puo scrivere nella forman(n+ 1)

2per qualche intero positivo n. Quante sono le coppie (a, b) di numeritriangolari tali che b− a = 2007?

13. Con quanti zeri termina lo sviluppo in base 10 di 2008! ? Ed in base 12?

1

14. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione p2001 = yp, dove p e unnumero primo.

15. Trovare tutti gli n interi tali che

n− 1401− n

sia un quadrato perfetto.

16. Dimostrate che ogni intero positivo si scrive in modo unico come sommadi numeri di Fibonacci non consecutivi.

17. Sia A la somma delle cifre di 20092009 e B la somma delle cifre di A.Quanto vale la somma delle cifre di B?

18. Dimostrare che ogni intero si puo scrivere nella forma a2 + b2 − c2 peropportune scelte di a, b, c interi.

19. Trovare tutti gli interi x, y tali che 3x2 − 2y2 = 1998.

20. Esistono interi m,n tali che m3 + 7004 = n3?

21. Un numero si dice equilibrato se ha tante cifre quanti divisori primi distinti.Dimostrare che esiste solo una quantita finita di numeri equilibrati.

22. Un numero si dice speciale se e somma dei quadrati di tre dispari conse-cutivi: ad esempio, 35 e speciale (perche 35 = 12 + 32 + 52), ma 12 nonlo e. Esistono numeri speciali di quattro cifre che si scrivono in base 10utilizzando una sola cifra? Ne esistono di 2000 cifre?

23. Dimostrare che il prodotto di due somme di due quadrati e anch’essosomma di due quadrati.

24. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione 2m − n2 = 1

25. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione n2 − 2m = 1

26. Trovare tutti i naturali n di tre cifre uguali alle ultime tre cifre di n2.

27. Siano a, n interi, n > 1. Dimostrare che se an− 1 e primo, allora a = 2 edn e primo, ma che non tutti i numeri della forma 2p − 1 sono primi.

28. Dimostrare che per ogni n intero 169 non divide n2 + 5n+ 16.

29. Trovare tutti i numeri primi p tali che 5p+ 49 sia un quadrato perfetto.

30. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione x2001 = yx

Suggerimento: provare a considerare il piu piccolo primo che divide x.Questa e una tecnica che viene comoda piu volte!

31. Chiamiamo B l’insieme degli interi che non si scrivono con una solo cifradecimale; per ogni n ∈ N, chiamiamo An l’insieme dei numeri che si ot-tengono permutando le cifre di n, ed infine dn il massimo comun divisoredi tutti gli elementi di An. Quant’e il massimo dei dn, al variare di n ∈ B?

2

32. Sia A = 5n + 3n + 1. E’ vero che se A e primo allora n e divisibile per 12?

33. Per quali a, b, c razionali si ha a3 + 2b3 + 4c3 = 8abc?

34. 2004 puo essere somma di due quadrati?

35. Dimostrare il Teorema di Wilson: per ogni primo p, (p−1)! ≡ −1 (mod p).

36. Dimostrare che 41 non e differenza di una potenza di 2 e di una potenzadi 3, cioe che le due equazioni 2m − 3n = 41 e 3n − 2m = 41 non hannosoluzioni intere in (m,n).

37. • Per quali n ∈ N, n4 + 4 e primo?

• Per quali n ∈ N, n4 + 4n e primo?

38. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione 3k − 1 = x3

39. E vero che per ogni primo p 6= 2, 5 esiste un numero n divisibile per p chein base dieci si scrive usando solo la cifra 1 (1, 11, 111, 1111, ...)?

40. Esistono 2008 interi consecutivi, ciascuno dei quali divisibile per un cuboperfetto (maggiore di 1)?

41. Dimostrare che per ogni base b esiste un numero di Fibonacci la cuiscrittura in base b termina con due cifre 0.

42. Trovare tutti gli interi n tali che 4n+ 9 e 9n+ 1 siano entrambi quadratiperfetti.

43. Trovare tutte le coppie di interi n, k tali che 1 + 2k · 5 = n2.

44. Dimostrare che per n > 3 l’equazione 3k − 1 = xn non ha soluzioni intere.

3

2 Hint e soluzioni

1. a6 = b4 e una potenza dodicesima.

2. Congruenze mod 13.

3. Congruenze mod 13.

4. Fattorizzare la differenza di quadrati.

5. La domanda equivale a: quand’e che 1+1998

y − 1998e intero? Basta contare

i divisori positivi di 1998.

6. Piccolo teorema di Fermat.

7. Induzione.

8. mcd(a, b) = mcd(a− b, b)

9. Congruenze modulo 3 ed 8, puo semplificare i conti il piccolo teorema diFermat.

10. Piccolo teorema di Fermat.

11. Induzione.

12. n(n+ 1)−m(m+ 1) = 2007 · 2⇒ (n−m)(m+ n+ 1) = 2 · 2007.

13. La massima potenza di p che divide n! e vp(n!) =∞∑i=1

n

pi.

14. p|2001.

15. Porre la frazione uguale a k2 ed esplicitare n in funzione di k.

16. Induzione.

17. Stimando il numero di cifre si trova che la risposta al problema e minoredi 12. Inoltre, ogni numero e congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.

18. Scegliere b = c+ 1, a ∈ {0, 1}.

19. Dopo opportune sostituzioni si arriva a a2 + 1 ≡ 0 (mod 3), assurdo.

20. Modulo 7.

21. Esiste solo un numero finito di primi minori di 100.

22. Scrivendo il numero speciale come (2n − 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 =12n2 + 12n+ 11 = k(11...11) e considerando l’uguaglianza modulo 3 e 4 sitrova un’unica possibilita per k.

23. (x2 + y2)(z2 + w2) = (xz + yw)2 + (xw − yz)2

24. Modulo 8.

25. Fattorizzare n2 − 1 = 2m; n+ 1 ed n− 1 sono entrambe potenze di 2.

4

26. n2 ≡ n (mod 1000)

27. a− 1|an − 1, e se n = bc, ab − 1|abc − 1.

28. Congruenze modulo 13; notare che n2 + 5n+ 16 ≡ (n− 4)2 (mod 13)

29. 5p = (m− 7)(m+ 7)⇒ m− 7 ∈ {1, 5, p, 5p}

30. Sia pn||x, pm||y, x = pn · a. Allora 2001n = mapn. Se p 6 |2001, allorapn|n⇒ n = 0. Percio p|2001, ma si ha anche pn−1|n, da cui n = 1, perciox|2001.

31. Scambiando le ultime due cifre di n si dimostra che dn ≤ 81. Poi bastatrovare un esempio per cui dn = 81.

32. Congruenze modulo 3, 5, 7.

33. Posso intanto supporli interi, e poi discesa infinita.

34. Se 3|x2 + y2, allora 3|x e 3|y, da cui se 2004 fosse somma di due quadratisi avrebbe 9|2004.

35. Accoppiare tra loro gli inversi modulo p.

36. • 2m − 3n = 41 e assurdo modulo 8.

• 3n − 2m = 41: considerando modulo 8 si trova che n e pari. Con-siderando modulo 3 si trova che anche m e pari. Allora 41 = (3b −2a)(3b + 2a), che e assurdo (dato che 41 e primo i due fattori sononecessariamente 1 e 41).

37. • Identita di Sophie-Germain (a4 + 4b4 = (a2 + 2b2)2 − (2ab)2)

• Congruenza modulo 5.

38. (x+ 1) e x2 − x+ 1 sono entrambe potenze di 3. Ma il secondo termine econgruo a 3 modulo 9.

39. Pigeonhole sui numeri che si scrivono con sole cifre 1, e 10 non e divisibileper p per ogni p 6= 2, 5

40. TCR

41. Considerare Fn modulo b2. Prima o poi la successione deve avere un ciclo,ma se Fn ≡ Fm, allora si ha anche Fn−1 ≡ Fm−1, per cui c’e un certoFa ≡ F0 ≡ 0 (mod b2).

42. Allora (4n+ 9)(9n+ 1) e un quadrato perfetto, ma (6n+ 3 + 5)2 > (4n+9)(9n+ 1) > (6n+ 3)2

43. 2k · 5 = (n + 1)(n − 1). n = 2a ± 1, da cui 2k · 5 = 2a+1(2a−1 ± 1

)e

5 = 2a−1 ± 1, da cui si conclude rapidamente.

44. 3k − 1 = xn. Distinguere i casi n pari e dispari. Dimostrare che k epari (mod 4). Per n pari, fattorizzare 3k − xn = 1 e trovare un assurdo.Per n dispari, scrivere 3k = xn + 1 e fattorizzare il membro destro come(x+ 1)(xn−1 − ...+ 1). Il secondo fattore e congruo a 3 modulo 9.

5

3 Algebra

1. Data una funzione tale che f(x + 1) =2f(x) + 1

2e tale che f(2) = 2,

quanto vale f(1)?

2. Dire quante soluzioni ha l’equazione 2x2−3x+

√5 = 1.

3. Siano a, b, c numeri non nulli e si consideri l’equazione di secondo gradoax2+bx+c = 0. Quanto vale (in termini di a, b e c) la somma dei reciprocidelle radici di tale equazione ?

4. Dimostrare per induzione che 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

5. Dimostrare per induzione che 1 + q + · · ·+ qn−1 =1− qn

1− qper ogni q 6= 1

6. Dimostrare che tra i rettangoli di perimetro assegnato, il quadrato ha areamassima.

7. Dimostrate chen∑k=1

k · k! = (n+ 1)!− 1

8. Se x+1x

= 3, quanto vale x2 +1x2

?

9. Dimostrare che 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = (1 + 2 + 3 + . . .+ n)2.

10. Nel piano cartesiano, dire quanti sono i punti P = (x, y) a coordinateintere che soddisfano l’equazione x2 + y2 − 4x+ 2y + 4 = 0

11. Fattorizzare

1 + x+ x2 + ...+ x1023

12. Per quali valori di a il polinomio (x− 1)(x2 − a2)(x2 − a− 1) e divisibileper x2 + x− 2?

13. Per quanti valori del parametro reale a il sistema{x2 − y2 = 0(x− a)(y + a) = 0

ammette una ed una sola soluzione?

14. Dimostrare che se a, b, c > 0 allora

a

b+b

c+c

a≥ 3

15. Ad una riunione familiare, la somma delle eta di tutti i nipoti risultauguale a 22.Quanto puo valere, al massimo, il prodotto delle eta di tutti i nipoti?

6

16. Qual e la somma algebrica dei coefficienti del polinomio

(x21 + 4x2 − 3)2001 − (x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2?

17. Qual e il minimo valore dell’espressione x2−8xy−6y+14+19y2 al variaredi x, y tra i numeri reali?

18. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi con tre radici tutte intere edistinte fra loro. Sia n un intero tale che p(n) 6= 0. Quanto vale al minimo|p(n)|?

19. Dati X = a + 7b, Y = 2a + 5b, Z = 4a + 2b, dove a, b sono reali positivi,cosa possiamo dire sull’ordine di X,Y, Z? (Ad esempio, e vero che Y <X < Z?)

20. Se x+ y = 30 e x3 + y3 = 8100, quanto vale x2 + y2?

21. Sapendo che la disequazione x ≤ a√x− 1 nella variabile x ha una sola

soluzione, si trovi il valore del parametro a.

22. Sia {a1, a2, · · · , an} una progressione aritmetica crescente di n termini(cioe la differenza tra due termini consecutivi e una costante positiva). Sidomanda per quali valori di n possiamo trovare 3 termini della progres-sione la cui media aritmetica sia uguale alla media aritmetica dell’interaprogressione.

23. Sia α una radice reale del polinomio x3−x+1. Quanto vale α9+3α6+2α3?

24. Trovare una funzione non costante tale che f(2x+ 1) = 2[f(x)]2.

25. Dimostrare che se a, b, c sono numeri reali positivi, allora vale la disugua-glianza (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.

26. L’equazione

x4 − 16x3 + 94x2 + px+ q = 0

ha due soluzioni con molteplicita due. Trovare il valore di p+ q.

27. Siano α, β, γ le radici del polinomio x3+ax2+bx+c. Trovare un polinomiole cui radici sono αβ, αγ, βγ.

28. Quante sono le coppie di interi positivi (x, y) che soddisfano x2 + y2 −2004x+ 2xy − 2004y − 2005 = 0?

Nota Bene: se x 6= y le coppie (x, y) e (y, x) sono da considerarsi diverse.

29. Provare che se P (x) e un polinomio a coefficienti interi tale che P (0) eP (1) sono interi dispari, allora P (x) non puo avere radici intere.

30. Sia P il prodotto delle soluzioni reali dell’equazione√

399xlog3997 x = x7.

Trovare le ultime 4 cifre della parte intera di P.

7

31. Sia f(n) una funzione tale che f(1) = 1 e, per tutti i numeri naturali n,f(2n) = 2f(n) + 1. Quanto vale f(1024)?

32. Sia an una successione tale che a1 = 1 e

an+1 = 7an + 1.

Qual e stato il primo n tale che an sia divisibile per 30?

33. Per laurearsi in matematica con voto finale 66, uno studente ha svolto,in ogni anno della sua carriera universitaria, soltanto 51 esercizi. Unsuo amico, che ha avuto voto finale 67, ha svolto ogni anno gli eserciziprecedenti, piu altri 53. Un terzo studente, che ha avuto voto finale 68,ha svolto, oltre a quelli necessari per il 67, altri 55 esercizi all’anno. Daquesta verifica empirica, pare assodato che il numero di esercizi annui inpiu, necessari per guadagnare un punto alla laurea, cresca di due in due,man mano che cresce il punteggio a cui si aspira.Determinare, secondo questa regola, quanti esercizi dovra fare ogni annochi punta al 110.

34. Trovare il coefficiente di x2006 del polinomio

(1+x)2(1+x2)(1+x4)(1+x8)3(1+x16)(1+x32)4(1+x64)(1+x128)(1+x256)

(1 + x512)(1 + x1024)

35. Sia P (x) = x3 + ax2 + bx + c un polinomio con tre radici intere distinte.Dimostrare che non esistono m e n interi distinti tali che P (n) = P (m) =3.

36. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(a) = p(b) = p(c) =p(d) = 2, con a, b, c, d interi distinti. Dimostrare allora che non esistealcun intero n tale che p(n) = 15.

37. Siano a, b, c tre numeri reali. Si dimostri che il minimo tra (a − b)2, (b −c)2, (c− a)2 e minore o uguale a

a2 + b2 + c2

2

38. (USAMO 1984) Il prodotto di due delle radici di

x4 − 18x3 + kx2 + 200x− 1984 = 0

e −32. Trovare k.

39. Sia f una funzione reale di variabile reale tale che f(10 + x) = f(10− x)e f(20 + x) = −f(20− x) per ogni x reale. Si dimostri che f e periodicae dispari

(Una funzione si dice periodica se esiste T > 0 tale che f(x + T ) = f(x)per ogni x; si dice dispari se, per ogni x, vale f(x) = −f(−x))

8

40. Si dimostri che per ogni coppia di reali positivi x, y tali che x + y = 1 siha

(x+

1x

)2

+(y +

1y

)2

≥ 252

41. Qual e il massimo intero che si puo superare continuando a sommare glin/2n-esimi di 2002 (ovvero i numeri nella forma 2002 · 1

21 , 2002 · 222 , 2002 ·

323 , . . . , 2002 · n2n , . . .)?

42. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) = 0, 0 ≤ p(1) ≤ 107

ed esistono due interi positivi a e b tali che p(a) = 1999 e p(b) = 2001.Quali sono i possibili valori di p(1)?

Si ricorda che 1999 e primo e che 2001 = 3 · 23 · 29.

43. Si dimostri la disuguaglianza

(x+ y)(y + z)(z + x) ≥ 8(x+ y − z)(y + z − x)(z + x− y)

per ogni terna di reali positivi x, y, z.

44. ? Si definiscano i numeri a1, ..., an come segue:

a1 = 1 an+1 = 2an +√

3a2n + 1

Dimostrare che an e intero per ogni n.

45. ? Trovare tutti i polinomi f con coefficienti reali tali che, se a, b, c sonoreali per cui ab+ bc+ ca = 1, allora

f(a− b) + f(b− c) + f(c− a) = 2f(a+ b+ c)

46. ? Trovare tutte le funzioni strettamente crescenti o strettamente decre-scenti f : R→ R che verificano la relazione

f(x+ f(y)) = f(x) + y

per tutti gli x, y in R.

Dimostrare poi che per ogni intero n > 1 non esistono funzioni reali divariabile reale tali che

f(x+ f(y)) = f(x) + yn

per tutti gli x, y in R.

47. ? Siano a1, ..., an interi distinti. Dimostrare che

P (x) = (x− a1)(x− a2) · · · (x− an)− 1

e irriducibile, ovvero non e il prodotto di due polinomi a coefficienti interidi grado minore.

9

4 Hint e soluzioni

1. Sostituire x = 1.

2. E’ equivalente a x2 − 3x+√

5 = 0.

3. Per la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado conosciamole radici;

2a−b+

√b2 − 4ac

+2a

−b−√b2 − 4ac

= −4ab4ac

= −bc

6. AM-GM.

7. Induzione.

8.

x2 +1x2

=(x+

1x

)2

− 2

9. Induzione.

10. x2 + y2 − 4x+ 2y + 4 = (x− 2)2 + (y + 1)2 − 1.

11. Somma delle progressioni geometriche;(x2n+1

− 1)

=(x2n

+ 1)·(x2n

− 1)

= ...

12. x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2); x+ 2|q(x)⇐⇒ q(−2) = 0.

13. (a, a) e (a,−a) sono sempre soluzioni.

14. AM-GM.

15. Il meglio che si puo fare e prendere come addendi solo 2 e 3.

16. La somma dei coefficienti di p(x) e p(1).

17. x2− 8xy− 6y+ 14 + 19y2 = (x− 4y)2 + 3y2− 6y+ 14 = (x− 4y)2 + 3(y−1)2 + 11 ≥ 11.

18. p(n) e il prodotto di (almeno) tre interi (relativi!) distinti, quindi |p(n)| eil prodotto di almeno due interi positivi distinti.

19. Puo essere utile notare Z =29

(−8X + 13Y ), e che quindi se Z ≥ X allorasi ha anche Z ≥ Y .

20. Identita: x2+y2 = (x+y)2−2xy; x2−xy+y2 = (x+y)2−3xy =x3 + y3

x+ y.

21. Posso elevare al quadrato; deve avere ∆ = 0 (perche?)

22. Scrivere ai = a1 + (i − 1)r per un opportuno intero r (la ragione dellaprogressione) e calcolare esplicitamente le medie richieste.

23. α3 = α− 1. Sviluppare esplicitamente le potenze.

10

24. Ad esempio f(x) = 2x.

25. AM-GM

26. Sfruttare le relazione radici-coefficienti.

27. Sfruttare le relazione radici-coefficienti.

28. Fattorizzare. (x+ y)(x+ y − 2004) = 2005.

29. Considerare p(n) modulo 2.

30. Porre y = log3997 x. L’equazione allora diventa, posto a = log3997

√399,

y2 − 7y + a = 0.

31. Posto g(n) = f(n) + 1, allora

g(2n) = 2g(n) g(1) = 2.

32. Postobn = an +

16

si ha bn+1 = 7bn.

33.f(66) = 51

f(n+ 66) = f(n+ 65) + 51 + 2n per ogni n ≥ 0.

f(n+66) = f(n+65)+51+2n = . . . = f(66)+51·n+[n+(n−1)+. . .+2+1] =

= 51 · (n+ 1) + n · (n+ 1) = (n+ 51)(n+ 1).

34. Consideriamo10∏n=0

(1 + x2n

).

Dato che la rappresentazione di un numero in base 2 e unica, questopolinomio e

p(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ x2047.

35. Senza perdere in generalita, a > b > c e P (n) = k(n − a)(n − b)(n − c).P (n) = 3⇒ k, n− a, n− b, n− c ∈ {±1,±3}. In particolare, dovra esseren− a = −3 (perche?)

36. q(x) = p(x) − 2 = k(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)r(x). Se fosse p(n) = 15sarebbe q(n) = 13, impossibile (perche?).

37. Senza perdita di generalita a < b < c. Scrivendo b = a+ d, c = a+ d+ ein cui d, e sono positivi si vede che si puo assumere a = 0, ed a quel puntola disuguaglianza e ovvia.

11

38. Il prodotto delle altre due radici e allora−1984

32= −62. Percio il polinomio

del testo si scrivera (x2 + hx+ 32)(x2 +mx− 62), e sviluppando i conti sitrovano equazioni sufficienti per m,h e quindi per k.

39. Sfruttando le condizioni del testo si trova

−f(x) = −f(10− (10− x)) = −f(10 + (10− x)) = −f(20− x) =

= f(20 + x) = f(10 + (10 + x)) = f(10− (10 + x)) = f(−x)

Da questo discende immediatamente che f e dispari; sfruttando questofatto e f(10 + (10 + x)) = −f(10 + (10− x)) segue anche che e periodica.

40. Due strade: esprimere tutto in funzione di s = x+ y, p = xy e fattorizzareil polinomio in p che si trova, oppure sfruttare le disuguaglianze tra medie(QM-AM e AM-HM).

41.∞∑i=1

i

2i=

12

(1+12

+14

+18

+ . . .)+14

(1+12

+14

+ . . .)+18

(1+12

+14

+ . . .) =

12S +

14S +

18S + . . . = S(S − 1) = 2.

42. (a−b)| (p(a)− p(b)). Nel nostro problema, a|p(a) e b|p(b), ed inoltre b−a|2.Questo forza a = p(a), b = p(b) (perche?), e quindi q(x) = p(x) − x =x(x − a)(x − b)r(x), da cui, infine, p(1) = 1(1 − a)(1 − b)r(1) + 1 in cuir(1) e intero.

43. O almeno uno (e quindi esattamente uno) dei termini nel lato destro delladisuguaglianza e negativo, e la tesi e banale, oppure x, y, z possono esserelati di un triangolo (ognuno e minore della somma degli altri due). Postox = a + b, y = b + c, z = c + a, s = a + b + c la disuguaglianza diventa(s+ a)(s+ b)(s+ c) ≥ 64abc, che e vera per AM-GM.

44. an+2 = 4an+1 − an

45. Il lato sinistro dell’uguaglianza non ha termini divisibili per abc. Questoforza deg f ≤ 2 (perche?). A questo punto e sufficiente provare i polinomidella forma f(x) = ax2 + bx+ c.

46. Prima parte: notiamo intanto che f e iniettiva. Posto x = y = 0 si trovaf(0) = 0; posto x = 0 si trova f(f(y)) = y.

Posto infine y = f(z) si trova f(x + z) = f(x) + f(z), da cui si puoconcludere (perche?) che f(x) = λx. Ora e sufficiente verificare per qualiλ effettivamente f rispetti l’equazione.

Seconda parte: f(f(x + f(y))) = f(yn + f(x)) = f(yn) + x (cioe inparticolare f e surgettiva). Da questo e y = 0 segue f(f(z)) = z. Se ora

12

nel testo sostituiamo y = f(z), x = 0 troviamo f(z) = f(0) + f(z)n, cioef(z) dovrebbe assumere come valori solo soluzioni di questa equazione (chesono in numero finito perche n > 1), mentre sappiamo che e surgettiva,assurdo.

47. Supponiamo sia riducibile: p(x) = q(x)r(x) con tutti i polinomi coinvoltia coefficienti interi e di grado positivo.

Troviamo q(x) = −r(x) = ±1 per x = a1, ..., an, cioe abbiamo due po-linomi di grado < n che coincidono in n punti, da cui q(x) = −r(x) ep(x) = −q(x)2, che pero e assurdo perche −q(x)2 ≤ 0∀x, mentre p(x)assume anche valori positivi.

13

5 Combinatoria

1. Dimostrate che comunque si scelgano cinque punti in un triangolo equila-tero di lato 1 ve ne sono sempre 2 a distanza minore o uguale a 1

2 .

2. Dimostrate che, comunque si scelgano 51 punti in un quadrato di lato 1,se ne possono trovarne 3 all’interno di un quadrato di lato 1

5 ; e semprepossibile trovarne 3 all’interno di un cerchio di raggio 1

7 ?

3. Dimostrate che in ogni insieme di n + 1 interi ne esistono sempre due lacui differenza sia divisibile per n.

4. Dimostrate che comunque si scelgano 53 interi distinti compresi tra 1 e100, ne esistono sempre due la cui differenza sia 10. La tesi rimane verase chiediamo che la differenza sia 11? E 12?

5. Dimostrare che comunque vengano scelti 55 interi dall’insieme {1, 2, ..., 100}ne esistono 2 la cui differenza e 9. Vale lo stesso se la differenza e 11 o 13?

6. Per quali n si puo decomporre un quadrato come unione di n quadrati?

7. Quanti sono i sottoinsiemi di {1, . . . , n} che non contengono numeri con-secutivi?

8. Dimostrate che non si possono disporre i 7 pezzi del tetris

in modo da formare un rettangolo 7× 4.

9. Dimostrare che in un gruppo di 5 persone almeno 2 di loro hanno lo stessonumero di conoscenti.

10. Dimostrare la seguente identita di Newton:(n

i

)(i

j

)=(n

j

)(n− ji− j

),

con j, i, n interi tali che 0 ≤ j ≤ i ≤ n.

11. In un torneo di tennis 8 persone decidono di giocare gli incontri di dop-pio (due contro due) in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sononell’intero torneo?

12. Quanti sono i percorsi diversi, che connettono due vertici opposti A, B diun parallelepipedo, formati da spigoli dello stesso e che passano una e unasola volta per tutti i vertici?

14

13. Coloriamo ogni punto del piano o di rosso o di blu. Dimostrare che esisteun triangolo equilatero con i vertici dello stesso colore.

14. Coloriamo ogni punto del piano di rosso, di verde o di blu. Fissata unadistanza d, dimostrare che esiste (almeno) una coppia di punti dello stessocolore a distanza d.

15. Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui la cifra 1 compare esattamente unavolta, la cifra 2 esattamente due volte, la cifra 3 esattamente tre volte ela cifra 4 esattamente quattro volte?

16. Prendiamo un cubo, coloriamo i vertici di 8 colori distinti e poniamolo suun tavolo. Una manipolazione del cubo consiste nel prendere il cubo eriappoggiarlo sul tavolo con una faccia rivolta verso di noi; consideriamouguali due manipolazioni se dopo di esse il cubo si trova esattamente nellastessa posizione, ovvero se vertici dello stesso colore occupano la stessaposizione. Quante manipolazioni distinte del cubo esistono?

Ripetere quanto sopra per gli altri 4 solidi regolari.

17. (AMC12 2001) Un ragno ha un calzino ed una scarpa per ognuna delle sueotto zampe. In quanti modi diversi il ragno puo infilarsi calzini e scarpe,sapendo che, per ogni zampa, il calzino deve essere indossato prima dellascarpa?

18. Abbiamo 5 scatole, etichettate da 1 a 5 e quattro palline indistinguibilil’una dall’altra. In quanti modi diversi possiamo mettere le palline nellescatole?

E se invece abbiamo 5 scatole indistinguibili e 4 palline colorate con 4colori, in quanti modi diversi possiamo mettere le palline nelle scatole?

19. Quanti sono gli interi n, con 1 ≤ n ≤ 600, che non sono divisibili ne per3, ne per 5, ne per 7?

20. Dimostrate che comunque si scelgano n + 1 interi distinti compresi tra 1e 2n, ne esistono sempre due primi tra loro e due che sono uno multiplodell’altro.

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6 Hint e Soluzioni

1. Hint : Dividere il triangolo in 4 triangoli equilateri di lato 1/2.Soluzione: Almeno due punti cadono nella stesso triangolo. E’ facilemostrare che questi punti non distano piu di 1/2.

2. Hint : Dividere il quadrato in 25 quadrati di lato 1/5 (ognuno e contenutoin un cerchio di raggio 1/7).

3. Hint : Considerare i resti dei numeri nella divisione per n.

4. Hint : Considerare le classi di congruenza modulo 10.Soluzione: Ci sono almeno 6 numeri con la stessa classe di congruenza,cioe nella forma 10k + r, con r fissato tra 1 e 10 e i k tutti distinti ecompresi tra 0 e 9. E’ facile dimostrare che presi 6 interi distinti tra 0 e 9ce ne sono due consecutivi.Il risultato non vale per 11: infatti nei numeri tra 1 e 100 ci sono 10elementi nella classe di congruenza di 1, 9 in tutte le altre. Quindi affinchenon si abbiano due elementi della stessa classe che distano esattamente di11 se ne devono avere al piu 5 in ogni classe, per un totale di 5 · 11 = 55.Dai ragionamenti fatti e anche facile costruire un controesempio: bastaprendere per ogni classe il piu piccolo rappresentante r e tutti i numeridella forma 22k + r, con k = 0, 1, 2, 3, 4, per un totale di 55 interi.Da un ragionamento analogo si vede invece che il risultato vale per 12: incaso contrario si avrebbero al piu 52 elementi.

5. Hint : vedi esercizio 4.Soluzione: Come nell’esercizio 4, in caso contrario si avrebbero al piu5 · 8 + 6 = 48 elementi. Per 11 e 13 si avrebbero al massimo 50 e 52elementi rispettivamente, per cui il risultato continua a valere.

6. Soluzione: e facile vedere che gli n pari maggiori o uguali a 4 vanno bene(un quadrato grande bordato in basso e a destra da quadrati piu piccoli).Per gli n dispari maggiori o uguali a 9 basta dividere ulteriormente ilquadrato piu grosso in quadrati piu piccoli. Restano i numeri 2, 3, 5, 7,che si escludono notando che per ogni vertice V del quadrato deve esserciun quadratino che ha un vertice in V (da cui almeno 4 quadratini) e conconsiderazioni geometriche.

7. Soluzione: l’(n + 2)-esimo numero di Fibonacci. Infatti per n = 1 i sot-toinsiemi sono ∅, {1}. La ricorsione si costruisce distinguendo in due casi:n ∈ A oppure n /∈ A.

8. Hint : Colorazione a scacchiera.

9. Soluzione: Supponiamo per assurdo che ognuno abbia un numero di co-noscenti diverso. Allora questi numeri sono 0, 1, 2, 3, 4. Ma allora unapersona conosce tutti e un’altra non conosce nessuno, da cui l’assurdo.

10. Hint : Scrivere per esteso i binomiali con l’uso dei fattoriali.

11. Soluzione: modi di scegliere 4 persone su 8:(84

). Modi di dividerli in due

squadre: 3. Totale: 3 ·(84

).

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12. Risposta: 6.

13. Hint : Costruire un esagono regolare ABCDEF di centro O. Soluzione:Per assurdo. Si puo supporre O rosso, A blu, B rosso. Quindi C blu, Erosso, D ed F blu. Sia ora G il simmetrico di O rispetto a CD. L’assurdoe immediato.

14. Hint : Costruire due punti di colore diverso a distanza√

3d.Soluzione: Se due tali punti esistono, basta considerare il rombo di la-to d con vertici i due punti (e con l’altra diagonale di lunghezza d).Per dimostrare che esistono, considerare un qualunque triangolo di latid,√

3d,√

3d.

15. Risposta: (10

1; 2; 3; 4

)=

10!1!2!3!4!

.

16. Soluzione: Colleghiamo ogni vertice con quello opposto. In questo modootteniamo 4 segmenti che vengono permutati dalle manipolazioni. In par-ticolare ogni manipolazione e identificata in modo univoco dalla sua azionesui segmenti, e inoltre ci sono tutte le trasposizioni di due segmenti. Percui le manipolazioni sono in corrisponedenza biunivoca con S4, e dunquesono 4! = 24. L’ottaedro da lo stesso risultato per dualita.Per il tetraedro basta notare che una manipolazione e determinata uni-vocamente dal colore dato a due vertici qualunque, per un totale di 12possibilita.Per icosaedro (e dodecaedro, dato che sono uno duale dell’altro) si deveinvece fissare il colore di un vertice e poi quello di uno adiacente, per untotale di 12 · 5 possibilita.

17. Hint : Basta contare gli anagrammi di 1122334455667788.

18. Risposta: (5 + 4− 1

4

)5

19. Hint : Usare il principio di inclusione-esclusione.Soluzione: Tra 1 e 105 sono

105− (1053

+1055

+1057− 105

3 · 5− 105

3 · 7− 105

5 · 7+ 1) = 82,

quindi tra 1 e 525 sono 5 · 82 = 410. Tra 526 e 600 sono tanti quanti tra1 e 75 (per congruenze). I multipli di 3 o 5 sono 5 · (3 + 5 − 1) = 35, imultipli di 7 che non siano gia multipli di 3 o 5 sono 8, quindi bisognaaggiungere 75− 35− 8 = 32, per un totale di 410 + 32 = 442.

20. Hint : Induzione su n, oppure principio dei cassetti.Soluzione: Lavoriamo per induzione. Se tra gli n+1 numeri mancano o 2no 2n − 1 si conclude immediatamente per ipotesi induttiva. Supponiamoallora che ci siano sia 2n che 2n− 1 (per cui la parte dei coprimi e fatta).Se ci fosse n avremmo la coppia (n, 2n) che soddisfa la seconda parte.Supponiamo allora che non ci sia nemmeno n. Supponiamo anche che non

17

ci siano due numeri tra 1 e 2n − 2 che siano uno multiplo dell’altro. Seagli n−1 numeri tra 1 e 2n−2 uniamo n, per ipotesi induttiva ce ne sonodue che sono uno multiplo dell’altro, e uno di essi dovra essere n. Esistecioe a tale che a|n|2n, da cui la tesi.

Altra soluzione: consideriamo i cassetti {1, 2}, {3, 4}, ..., {2n− 1, 2n}.Essi sono n, e noi abbiamo scelto n + 1 numeri, quindi 2 cadranno nellostesso cassetto. Ma numeri consecutivi non hanno divisori in comune.

Siano poi a1, ..., an+1 gli n+ 1 numeri scelti; per ognuno di essi scriviamoai = 2bidi, dove d e dispari. Vogliamo ora utilizzare il principio dei cassetti:mettiamo in un primo cassetto tutti quegli ai per cui di = 1, in un secondocassetto tutti quelli per cui di = 3, ..., in un n-esimo cassetto quelli percui di = 2n− 1.

Dato che abbiamo scelto n + 1 numeri, due cadono nello stesso cassetto.Ma allora essi sono d · 2m, d · 2n per un certo d e per certi m,n, e quindiil piu piccolo dei due divide l’altro.

18

7 Geometria

1. Sia ABC un triangolo e siano A1 e B1 due punti sui lati AC e BC rispet-tivamente; sapendo che AA1 = 1

5AC, che BB1 = 15BC e che l’area del

quadrilatero ABB1A1 e 45 cm2, trovare l’area del triangolo ABC.

2. Sia ABCD un quadrato di lato l e siano M ed N i punti medi di BC eCD; sia H l’intersezione tra AM e BN . Si determini l’area di MBH.

3. Sia C1 una circonferenza di centro O1 e sia V un punto esterno ad essa; sitraccino le tangenti t1, t2 da V a C1. Sia C2 una circonferenza di centroO2 tangente a C1, a t1 e a t2 con raggio minore di quello di C1. Sapendoche V O1 = 3 e che il raggio di C1 e 1, calcolare il raggio di C2.

4. SiaABCD un quadrilatero e siano E,F,G,H i punti medi dei latiAB,BC,CD,DA. Dimostrare che EG e FH si incontrano lungo il segmento checongiunge i punti medi di AC e BD.

5. Sia AB un segmento e sia C un punto su di esso; si costruiscano i semi-cerchi di diametro AB, AC, BC tutti dalla stessa parte di AB. Sia Hsulla semicirconferenza piu grande tale che CH sia perpendicolare ad AB;sapendo che CH =

√3, si calcoli la differenza tra l’area del semicerchio

piu grande e la somma delle aree dei due semicerchi minori.

6. Sia C1 una circonferenza di raggio 1 e centro O; siano C2, C3 due circon-ferenze dello stesso raggio tangenti tra loro in O e tangenti a C1 in puntidiametralmente opposti. Si tracci una quarta circonferenza C4, piu picco-la delle precedenti, tangente internamente a C1 e esternamente a C2 e C3.Calcolare il raggio di C4.

7. Quali sono i triangoli rettangoli che hanno le lunghezze dei lati in progres-sione aritmetica?

8. Si consideri una generica stella a 5 punte. Quanto vale la somma degliangoli nelle punte?

9. In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC, CD sono uguali.Inoltre AC = BD = DA. Quanto misura l’angolo in D?

10. In un pentagono regolare ABDFE sia C tale che ABC e equilatero;quanto vale l’angolo convesso ∠ECD?

11. ABCD e un quadrato e E e un punto interno tale che BCE sia equilatero.Qual e l’ampiezza in gradi di ∠AED?

12. Sia ABC un triangolo isoscele su base AB e si scelga D su AB. Sia E ilpunto di AC tale che CE = CD. Se ∠BCD = 25◦, si determini l’ampiezzadi ∠ADE.

13. Siano AC e BC due corde di una circonferenza aventi un estremo in co-mune, M1 sia il punto dell’arco AC (non contenente B) equidistante daA e da C e M2 sia il punto dell’arco BC(non contenente A) equidistanteda B e da C. Se H, K sono le intersezioni del segmento M1M2 con le duecorde, si dimostri che il triangolo CHK e isoscele.

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14. Dato il triangolo ABC si considerino il punto P di intersezione della bi-settrice dell’angolo in B con il lato AC e il punto Q di intersezione dellabisettrice dell’angolo in A con il lato BC. Supponendo che la circonfe-renza per P, Q, C passi anche per l’incentro R di ABC, e posto PQ = l,determinare la lunghezza degli altri lati del triangolo PQR.

15. Tre circonferenze di raggio 1 cm passano ognuna per i centri delle altredue. Qual e l’area dell’intersezione?

16. Dentro una circonferenza di raggio 1 vengono disegnate 4 circonferenzeuguali in modo che ognuna ne tanga altre due e quella piu grande. Lequattro circonferenze delimitano, ognuna con un quarto di circonferenza,una zona di piano. Calcolarne l’area.

17. Sia ABC un triangolo e siano H, K i piedi delle altezze da A su BC e daB su CA rispettivamente. Sia P il punto di incontro tra l’asse di HK eAB. Determinare quanto vale AP/PB.

18. Sia T un punto e sia A su una circonferenza data in modo che TA siatangente. Si tiri da T una secante che incontra la circonferenza in B e C.Siano X e Y i punti di incontro tra la bisettrice di ∠ATB e AC e AB.Allora AX = AY .

19. Dimostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza e tale che ognisua diagonale sia parallela ad un lato e necessariamente equilatero.

20. Su una circonferenza consideriamo cinque punti che chiamiamo, nell’or-dine, A, M, B, C, D, e sia M equidistante da A e da B. Siano inoltre E,F le intersezioni di MD con AC e di MC con BD. Si dimostri che ilquadrilatero CDEF e inscrivibile in una circonferenza.

21. Tra i quattro punti notevoli ortocentro, incentro, baricentro, circocentro,quali sono sempre interni al triangolo?

22. Sia ABC un triangolo con AB = 1, ∠ACB = 120◦. Sul lato AB si co-struisce ABD equilatero con D dalla parte opposta della retta AB rispettoa C. Detto G il baricentro di ABD, quanto e lungo CG?

23. Dimostrare che il simmetrico dell’ortocentro rispetto ad un lato giace sullacirconferenza circoscritta.

24. Una statua di bronzo piena, alta 60, viene fusa e dal metallo ottenuto siricavano delle sue copie in scala, ognuna alta 10. Quante copie ottengo?

25. Siano B, C, D tre vertici di un cubo appartenenti alla stessa faccia conBC e CD due spigoli del cubo; sia A il vertice tale che lo spigolo BA nonsta nella faccia di B, C, D. Togliamo al cubo il tetraedro di vertici ABCD.Quanti spigoli ha il solido cosı ottenuto?

26. Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Tracciamo perP una retta parallela a BC che incontra AB in D e AC in E, una rettaparallela a AC che incontra AB in F e BC in G e una retta parallela aAB che incontra AC in H e BC in I. Sappiamo che PHE ha area 4,PFD ha area 9 e PGI ha area 49; calcolare l’area di ABC.

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27. Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Tracciamo perP una retta parallela a BC che incontra AB in D e AC in E, una rettaparallela a AC che incontra AB in F e BC in G e una retta parallela aAB che incontra AC in H e BC in I. Sappiamo che DE = FG = HI = de che i lati di ABC misurano 425, 450, 510 cm. Calcolare d.

28. ABC e un triangolo rettangolo in B non isoscele e D e l’ulteriore inter-sezione del cerchio di diametro BC con l’ipotenusa; DF e la tangente alcerchio in D e F si trova su AB. Dimostrare o negare i seguenti fatti:

• ∠BFD = 2 · ∠BAC• DF = FA

• DF biseca l’angolo ∠BDA

• DF biseca il segmento BA

• FD = FB

29. Siano BD e CE perpendicolari che si incontrano in O e sia A su OE inmodo OA = 1, OB = 2, AB e perpendicolare a BC e BC e perpendicolarea CD, CD e perpendicolare a DE. Quanto vale AE?

30. Sia ABC un triangolo rettangolo e siano A′B′C ′ i punti simmetrici deivertici A,B,C rispetto ai lati opposti del triangolo. Sapendo che il trian-golo ha area S e possibile determinare l’area di A′B′C ′? Se sı, quantovale?

31. Sia ABCD un quadrato di lato 1 e siano A′, B′, C ′, D′ su AB,BC,CD,DArispettivamente, tali che AA′ = BB′ = CC ′ = DD′ = 1/n; la striscia de-limitata da AC ′ e A′C e la striscia delimitata da BD′ e B′D si intersecanoin un quadrato di area 1/1985. Calcolare n.

32. Dato il triangolo ABC con ∠CAB−∠ABC = 90◦, detti M il punto mediodi AB e H il piede dell’altezza relativa ad AB, dimostrare che il raggiodella circonferenza circoscritta ad ABC e uguale a HM .

33. Sia ABC un triangolo inscritto in una circonferenza data. Se A e B sonofissati, qual e il luogo descritto dall’incentro I di ABC al variare di C sullacirconferenza?

34. Se P e un punto interno ad ABC triangolo acutangolo tale che i triangoliAPB, APC, BPC hanno la stessa area, allora P e uno dei quattro puntinotevoli? Quale?

35. Si consideri una piramide retta con base un esagono regolare di lato 1 e siconduca un piano passante per il centro della base e parallelo a una faccialaterale. Tale piano interseca la piramide lungo un quadrilatero. Calcolareil rapporto tra l’area del quadrilatero e quella di una delle facce laterali.

36. Siano ABCD punti allineati in quest’ordine e tali che BC = 2 · AB eCD = AC. Dimostrare che:

• la corda comune alle circonferenze che hanno per diametri AC e BDbiseca AC

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• la corda comune a due qualsiasi circonferenze l’una passante per A eC e l’altra passante per per B e D biseca AC.

37. Dato il triangolo ABC si considerino il punto P di intersezione della bi-settrice dell’angolo in B con il lato AC e il punto Q di intersezione dellabisettrice dell’angolo in A con il lato BC. Supponendo che la circonfe-renza per P, Q, C passi anche per l’incentro R di ABC, e posto PQ = l,determinare la lunghezza degli altri lati del triangolo PQR.

38. Sia ABC un triangolo e sia γ la sua circonferenza inscritta; γ tange ABin T. Sia D il punto diametralmente opposto a T e sia S il punto diintersezione tra la retta CD e il lato AB. Dimostrare che AT = SB.

39. Sia ABC un triangolo equilatero e sia P un punto del cerchio circoscrittoappartenente all’arco AB che non contiene C. Sia Q l’intersezione di PCcon AB. Si dimostri che

• AP +BP = CP

• 1AP + 1

BP = 1PQ .

40. Sia ABC un triangolo e siano A′B′C ′ su AB, BC, CA rispettivamente taliche AA′/AB = BB′/BC = CC ′/CA = 1/n dove n e un intero positivo.Si determini il rapporto tra l’area di ABC e l’area di A′B′C ′. Si dimostriinoltre che questi due triangoli hanno lo stesso baricentro.

41. Dato un triangolo ABC equilatero di lato 1 e P interno ad esso, si dimostriche esiste un triangolo con lati di lunghezza PA, PB, PC e che l’area ditale triangolo e funzione solamente di d = PG, dove G e il baricentro diABC.

42. Si consideri un punto P nel piano equidistante da due rette parallele a, bassegnate. Si tracci una retta r per P che interseca a, b in A, B. Si descriva,al variare di r, il luogo geometrico dei punti C per i quali ABC e equilatero.

43. Sia ABC un triangolo e siano ACPQ e BARS quadrati. Dimostrare che,se B, C rimangono fissi e A varia in uno dei semipiani individuati dallaretta BC, i segmenti PS cosı prodotti passano tutti per un punto fisso.

44. Siano X,Y, Z i centri di tre quadrati posti esternamente sui lati di ABC;dimostrare che AX e congruente e perpendicolare a Y Z.

45. Data una circonferenza Γ e un punto A esterno ad essa, per ogni punto Psulla circonferenza si costruisca il quadrato APQR in senso antiorario. Sidetermini il luogo geometrico descritto dai punti Q al variare di P su Γ.

46. Dimostrare che il baricentro, il circocentro e l’ortocentro sono allineati eche OG = 2GH.

22

8 Soluzioni

1. Hint : similitudine.Risultato: SAA1B1B = (1− 16

25 )SABC da cui S = 125.

2. Hint : similitudine.Risultato:SBMH = ( 1√

5)2SABM = l2

20 .

3. Hint : similitudine.Risultato:3 = 02V

r = 2−rr .

4. Hint : vettori.

5. Hint : secondo teorema di Euclide.Risultato: 3π/4.

6. Hint : Pitagora sui segmenti che congiungono i centri.Risultato: 1/3.

7. Risultato: Dal teorema di Pitagora, chiamato a il cateto minore e h laragione, si ricava a/h = 3, per cui i lati sono proporzionali a 3, 4, 5.

8. Risultato: π, con angle chasing.

9. Risultato: 2π/5, con angle chasing.

10. Risultato: 84◦.

11. Risultato: 150◦.

12. Risultato: 12, 5◦.

13. Hint : Tracciare i segmenti OM1 e OM2, e considerare il triangolo formatodalle rette AC, M1M2 e OM1.

14. Soluzione: Si dimostra che C = π/3, da cui PR = QR = l√3.

15. Soluzione: π−√

32 .

16. Soluzione:√

2− 1.

17. Hint : AKHB e ciclico.

18. Hint : Angoli.

19. Hint : Angoli.

20. Soluzione: ECF = ACM = BDM = FDE.

21. Soluzione: Incentro (e centro della circonferenza inscritta), baricentro (staai 2/3 di ciascuna mediana).

22. Hint : ACBD e ciclico.

23. Hint : Trovare AHB.

24. Soluzione: 63 = 216.

23

25. Hint : Usare la relazione di Eulero: V + F = S + 2.Soluzione:14.

26. Hint : similitudine, spostare segmenti congruenti.Risultato: FP : PG : HE = 3 : 7 : 2 e AH = FP , EC = PG. QuindiAC : HE = 12 : 2, SABC : SHEP = 144 : 4.

27. Hint : similitudine.Risultato: Siano a, b, c tali che HE : GP : FP : AC = a : b : b : c : 1.Allora 450(a + b) = d, e analogamente con le altre coppie. Sommandod( 1

450 + 1510 + 1

425 ) = 2(a+ b+ c) = 2.

28. Hint : BD⊥AC e ∠FDB = ∠BCA.Risultato: Tutte vere tranne la terza.

29. Hint : Similitudine.Risultato: 15.

30. Hint : se ABC e rettangolo in C, guardare l’altezza realtiva ad A′B′:C ′H ′.Soluzione: Se H e il piede dell’altezza relativa ad AB, C ′H ′ passa per Ce H ed e C ′H ′ = 3CH. Quindi S′ = 3S.

31. Hint : Sia H su DB′ tale che D′H⊥DB′. Allora DHD′ ∼ C ′DA.Soluzione: D′H : 1

n = 1 :√

1 + (n+1)2

n2 , da cui n = 32.

32. Hint : Trigonometria.Soluzione: La tesi e HM = c/2 + b sinβ = R = b

2 sin β , cioe, sostituendoc sinβ = b sin γ = b cos(2β), b(cos(2β) + sin2 β) = b, che e un’identita.

33. Hint : Calcolare AIB.Soluzione: se C varia all’interno di ciascuno dei due archi AB, AIB efissato. Quindi il luogo sono i due archi di circonferenza per A e B taliche l’angolo che sottende AB e fissato.

34. Hint : Dimostrazione simile a Ceva.Soluzione: Sia H = CP ∩AB. Allora

AH : BH = S(APH) : S(BPH) = S(CAH) : S(CBH) = S(CPA) : S(CPB) = 1,

quindi CH e la mediana di AB e, con dimostrazioni analoghe, P e ilbaricentro.

35. Hint : La superficie di intersezione e un trapezio isoscele ABCD di baseAB = 2. Notare che CD = 1/2.Soluzione: Sia V il vertice della piramide, K il piede dell’altezza. Guar-diamo l’angolo θ che una superficie laterale forma con il piano, ovverol’angolo tra l’apotema di una superficie laterale e l’apotema dell’esagono.Esso, per ipotesi, e uguale all’angolo che il piano per il contro forma colpiano orizzontale. Se EFV e la faccia opposta a quella parallela al pianoe H e il piede dell’altezza relativa a EF , chiamiamo G l’intersezione traV H e CD. Allora il triangolo HKV e rettangolo in K e G e un punto suHV tale che GKH = V HK, quindi G e punto medio di V H, quindi C e

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D sono punti medi di EV e FV .Ora, se poniamo α = V EF , si calcolano facilmente base maggiore, baseminore e lati obliqui, e quindi anche altezza. Alla fine si ottiene S = 5

8Slat.

36. Hint : Asse radicale.Risultato: il punto medio di AC sta sull’asse radicale delle due circonfe-renze: infetti per entrambe la potenza del punto e 9 ·AB2/4.

37. Hint : MH = BM .Soluzione: Il quadrilatero BHLC e ciclico con centro M ⇒ CLB = π/2⇒ AB = AC ⇒ BL e l’altezza relativa a CA ⇒ HL = AL ⇒ CLM eequilatero ⇒ C = π/2.

38. Hint : Si tracci la parallela ad AB passante per D, che incontra AC in A′

e BC in B′.Soluzione: se h e l’omotetia di centro C che manda A′B′C in ABC,h(D) = S e il punto di tangenza di h(γ), cioe la circonferenza ex-inscritta.Quindi AT = SB = b+c−a

2 .

39. Hint : Trigonometria brutale per il primo punto, similitudini per il secondo.Soluzione: Ponendo 2α = AOP si calcolano facilmente i tre segmenti AP ,BP , CP . Per il punto due si dimostra che QPA⊥BPC, da cui

1PQ

=CP

AP ·BP=

1AP

+1BP

.

40. Hint : Geometria coi complessi.

41. Hint : Usare i vettori.Soluzione: Dati i vettori posizione A,B,C, si ricava

A′ =1n

[B + (n− 1)A]

e analogamente per B′ e C ′ (da cui e facile dimostrare che i baricentricoincidono). L’area del triangolo che ha per lati i vettori L1 e L2 e |L1 ×L2|/2. Quindi

S′ = |(B′ −A′)× (C ′ −A′)|/2 = |A′ ×B′ +B′ × C ′ +A′ × C ′|/2 =

n2 − 3n+ 32n2

|A×B +B × C + C ×A| = n2 − 3n+ 3n2

S.

42. Soluzione, accenno: Siano A′, B′, C ′ i simmetrici di P rispetto ai lati.Allora A′B′ = 2CP sin 60◦, e analogamente gli altri. Quindi il triangoloA′B′C ′ ha i lati proporzionali a PA, PB, PC, da cui la prima parte dellatesi.Notiamo anche che il triangolo pedale di P e simile ad A′B′C ′, per cui laseconda parte della tesi e equivalente al fatto che l’area del triangolo pedalee funzione della sola d. Questo puo essere fatto abbastanza agevolmentepassando alle coordinate polari: si pone il centro in G, e si misura θ a

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partire da un asse parallelo al lato AB. Ponendo AB = 1, le proiezioni diP sui lati sono

PA1 =√

36

+ r sin θ

PB1 =√

36

+ r sin(θ +2π3

)

PA1 =√

36

+ r sin(θ +4π3

).

La superficie del triangolo pedale e

12

sin(2π3

)(PA1 · PB1 + PB1 · PC1 + PC1 · PA1),

e sostituendo, con un po’ di pazienza, si verifica che tale espressionedipende da r e non da θ.

43. Hint : Proiettare C sulla retta parallela ad a passante per P .Soluzione: Chaiamando C ′ la proiezione, si ricava facilmente da un contotrigonometrico che PC ′ = d(P, a)

√3, quindi il luogo cercato e l’unione di

due rette perpendicolari ad a.

44. Hint : Trasformazioni del piano con i complessi.Soluzione: S = i(A−B) +B, T = i(A− C) + C. Il segmento SP e

SP = {tS + (1− t)P |t ∈ [0, 1]} .

Per t = 12 si ottiene il punto (B + C) 1−i

2 , che, non dipendendo da A,appartiene a SP per ogni A.

45. Hint : Complessi. Soluzione: q = (p − a)(1 + i) + a = p(1 + i) − ai, cioecirconferenza di centro −ai e raggio

√2r.

46. Hint : Omotetie; il problema e comunque noto (Retta di Eulero).

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