1 Strasbourg, Franceirma.math.unistra.fr/~mmaumy/enseignement/M1Stats/chapitre1.pdf · de taille n...
Transcript of 1 Strasbourg, Franceirma.math.unistra.fr/~mmaumy/enseignement/M1Stats/chapitre1.pdf · de taille n...
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sondage aléatoire simple à probabilités égales
Myriam Maumy-Bertrand1
1IRMA, Université de StrasbourgStrasbourg, France
Master 1ère Année 26-09-2013
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Ce chapitre s’appuie essentiellement sur trois livres :« éléments de statistiques »,de Jean-Jacques Droesbeke,Université de Bruxelles, 2001.« Les techniques de sondage »de Pascal Ardilly,éditions Technip, 2006.« Exercices corrigés de méthodes de sondage »de Pascal Ardilly et de Yves Tillé,éditions Ellipses, 2003.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionUn sondage aléatoire est simple (SAS) si tous les échantillonsde taille n fixée a priori, prélevés au sein d’une population Ud’effectif N, sont réalisables avec la même probabilité.
RemarqueDans ce cas, les individus de la population U ont tous la mêmeprobabilité d’être choisis pour faire partie de l’échantillon S :leur probabilité d’inclusion est une constante.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Remarque
Rappelez ce qu’est une probabilité d’inclusion !
RéponseVous pouvez trouver une définition p: 51 dans le livre de Ardillyou alors en allant regarder sur le lien internet suivant :« images.math.cnrs.fr/pdf2006/Lejeune.pdf » ou encore enconsultant le cours intitulé « Notations ».
RemarqueSi nous reprenons le choix d’une seule observation, chaqueindividu de la population U a une probabilité égale à 1/N d’êtreprélevé dans la population U afin de constituer l’échantillon S.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Il y a deux méthodes pour sélectionner des individus pourconstituer un échantillon S.
La première méthodeElle consiste à replacer chaque valeur observée dans lapopulation U avant le tirage suivant et cela n fois de suite.⇒ Prélèvement avec remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales avec remise (PEAR).
La deuxième méthodeElle consiste à ne pas remettre l’individu dans la population U àchaque tirage.⇒ Prélèvement sans remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales sans remise (PESR).
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Propriété
Dans ce cas, il y a Nn échantillons S possibles.
RemarquesUn même individu peut-être sélectionné plusieurs fois !À chaque tirage, la population U est toujours la même.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Chaque valeur observée est prise indépendamment des autres.
PropriétéL’échantillon S est alors considéré comme une suite devariables aléatoires indépendantes et équidistribuées{Y1, . . . ,Yn}, où Yi est la valeur observée pour le i-èmeindividu sélectionné, telles que
∀i = 1, . . . ,n E [Yi ] = Y = µY et Var [Yi ] = σ2Y ,
où µY est la moyenne de la population U et σ2Y la variance de la
population U.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par :
µn =1n
∑i∈S
Yi .
PropriétéUn calcul direct montre que :
E ( µn ) = µY et Var ( µn ) =σ2
Yn·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque µn est un estimateur sans biais de la moyenne µY dela population U.Dans l’expression de la variance de µn, nous remarquonsque le terme de la variance σ2
Y de la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous neconnaissons pas la variance σ2
Y de la population U. Nousserons donc amené à construire un estimateur de lavariance de µn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur de la variance de µn se définit par :
Var [ µn ] =S2
n,c
n,
où S2n,c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que :
E[
Var [ µn ]]=σ2
Yn·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Remarques
Rappelons que la variance corrigée S2n,c de l’échantillon S
se définit par :
S2n,c =
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2
et que S2n,c est un estimateur sans biais de la variance σ2
Yde la population U.De cette dernière propriété, nous en déduisons que S2
n,c/nest un estimateur sans biais de la variance de µn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur classique du total TY d’une population U sedéfinit par :
Tn = Nµn =Nn
∑i∈S
Yi .
PropriétéUn calcul direct montre que
E(
Tn
)= TY et Var
(Tn
)= N2σ
2Yn·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque Tn est un estimateur sans biais du total TY de lapopulation U.Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquonsque le terme de la variance σ2
Y de la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous neconnaissons pas la variance σ2
Y de la population U. Nousserons donc amené à construire un estimateur de lavariance de Tn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Définition
Un estimateur de la variance de Tn se définit par :
Var(
Tn
)= N2 S2
n,c
n,
où S2n,c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que :
E[
Var(
Tn
)]= N2σ
2Yn·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Remarque
De cette dernière propriété, nous en déduisons que N2 S2n,c
nest
un estimateur sans biais de la variance de Tn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Définition
Un estimateur classique de la variance σ2Y d’une population U
se définit par : S2n,c =
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2.
PropriétéDes calculs montrent que :
E(
S2n,c
)= σ2
Y
et
Var(
S2n,c
)=
1n(n − 1)
((n − 1)µY ,4 − (n − 3)σ4
Y
).
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque S2
n,c est un estimateur sans biais de la variance σ2Y de
la population U.Dans l’expression de la variance de S2
n,c , nous remarquonsque le terme σ4, qui est le carré de la variance de lapopulation U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4,µY ,4. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons niσ4
Y , ni µY ,4. Nous serons donc amené à construire unestimateur de la variance de S2
n,c , si besoin est.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Le prélèvement avec remise est susceptible de fournirplusieurs fois un individu de la population. Deux situations seprésentent.
Les n tirages fournissent n individus distincts.Dans ce cas, S correspond à un sous-ensemble de U de taillen.
Les définitions de µn,Tn et S2c sont équivalentes si nous
renumérotons les individus de la population U de telle sorte que
S = {1, . . . ,n}.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Les n tirages fournissent m individus, où m < n.Dans ce cas, deux comportements sont à envisager.
Le premier consiste à prendre en compte les observationsautant de fois qu’elles ont été recueillies.Le second consiste de prendre la moyenne des m valeursdistinctes observées dont l’ensemble est désigné par Sm :
µm =∑
k∈Sm
Yk .
Il est clair que dans ce cas, la taille de n de l’échantillonn’est plus une constante mais devient elle-même une v.a.,fonction du processus de prélèvement.
Nous montrons que, en moyenne, µm est encore égal à µY .
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn sondage aléatoire simple est sans remise si l’observationprélevée au i-ème tirage n’est pas replacée dans la populationavant les prélèvements suivants. Ce type de sondage estappelé un sondage à probabilités égales sans remise (PESR)
RemarqueUn individu est choisi au plus une fois, chaque tirage faitdécroître la population U d’une unité.⇒ Les observations ne sont plus des variables aléatoiresindépendantes les unes des autres.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par :
µn =1n
n∑i=1
Yi .
PropriétéDes calculs (Ardilly, p :259-261) montrent que :
E ( µn ) = µY ,
et
Var ( µn ) =N − nN − 1
σ2Yn
= (1− f )N
N − 1σ2
Yn
= (1− f )σ2
Y ,c
n·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque µn est un estimateur sans biais de la moyenne µY dela population.Si la taille N de la population U est grande, la variance deµn vaut :
Var ( µn ) ≈ (1− f )σ2
Yn·
Dans l’expression de la variance de µn, nous remarquonsque le terme de la variance corrigée σ2
Y ,c de la populationU intervient. Or, dans la plupart des cas, nous neconnaissons pas la variance corrigée S2
n,c de la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur dela variance de µn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Remarques
Rappelons que la variance corrigée S2n,c de l’échantillon S
se définit par :
S2n,c =
1n − 1
n∑i=1
(Yi − µn)2
et que S2n,c est un estimateur sans biais de la variance
corrigée σ2Y ,c de la population U.
De cette dernière propriété, nous en déduisons que
(1− f )S2
n,c
nest un estimateur sans biais de la variance de
µn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn estimateur classique du total T d’une population U sedéfinit par :
Tn = Nµn =Nn
n∑i=1
Yi .
PropriétéDes calculs (Ardilly p :196-198) montrent que :
E(
Tn
)= TY et Var
(Tn
)= N2(1− f )
σ2Y ,c
n·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque Tn est un estimateur sans biais du total TY de lapopulation U.Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquonsque le terme de la variance corrigée σ2
c de la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous neconnaissons pas la variance corrigée σ2
c de la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur dela variance de Tn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Définition
Un estimateur de la variance de Tn se définit par :
Var(
Tn
)= N2(1− f )
S2n,c
n,
où S2n,c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que :
E(
Var(
Tn
))= N2(1− f )
σ2Y ,c
n·
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarqueDe cette dernière propriété, nous en déduisons que
N2(1− f )S2
n,c
nest un estimateur sans biais de la variance de Tn.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Définition
Un estimateur de la variance σ2 d’une population U, dans lecas d’un sondage aléatoire simple à probabilités égales sansremise, se définit par :
σ2n =
N − 1N
S2n,c =
N − 1N
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2 .
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
PropriétéDes calculs (Ardilly et Tillé, p :43-49) montrent que :
E(σ2
n
)= E
(N − 1
NS2
n,c
)= σ2
et
Var[σ2
n
]=
(N − n)n(n − 1)N(N − 2)(N − 3)
×
{µ4(N − 1) [N(n − 1)− (n + 1)]
−σ4[N2(n − 3) + 6N − 3(n + 1)
]}.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarquesL’avant dernière égalité de la dernière propriété impliqueque σ2
n est un estimateur sans biais de la variance σ2 de lapopulation U.Dans l’expression de la variance de σ2
n, nous remarquonsque le terme σ4, qui est le carré de la variance de lapopulation U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4, µ4.Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni σ4, niµ4. Nous serons donc amené à construire un estimateurde la variance de σ2
n, si besoin est.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
RemarquesLes deux méthodes conduisent toutes les deux à desestimateurs µn qui sont, en moyenne égaux au paramètreµY de la population.Par contre les variances de µn ne sont pas égales !
ProblèmeQui est le meilleur estimateur de la moyenne µY de lapopulation parmi ces deux estimateurs ?
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser uneméthode.
RemarqueEn général, les estimateurs que nous devons comparer sont enmoyenne égaux au paramètre à estimer. Ils ne différent que parleur variance. (La variance est un paramètre de précision del’estimateur.)
PropositionPour comparer deux estimateurs ou deux méthodes quiproduisent des estimateurs différents, nous utilisons l’effet desondage.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionL’effet de sondage est défini par :
D(θ∗|θ) =Var[θ∗]
Var[θ] ·
Remarque
Si D(θ∗|θ) < 1, alors θ∗ sera plus précis que θ.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Rappelons
Propriété
Var(µPEAR
)=σ2
net Var
(µPESR
)=σ2
nN − nN − 1
·
Il s’en suit que :
D (PESR|PEAR) =N − nN − 1
·
Si n > 1, alors nous avons N − n < N − 1. Par conséquent,nous obtenons :
D(PESR|PEAR) < 1.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
ConclusionLa précision de l’estimateur est donc meilleure si nous utilisonsun échantillon aléatoire simple PESR qu’un échantillonaléatoire simple PEAR.
RemarqueCe dernier résultat est intuitif car il y a une perte d’informationdès que certains individus sont observés plus d’une fois, ce quiest impossible lors d’un tirage sans remise.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire simple à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
RemarquesSi la taille de la population est grande, l’effet de sondageest tel que
D(PESR|PEAR) =N − nN − 1
≈ N − nN
= 1− f ,
où f est le taux de sondage. L’amélioration de la précisionest d’autant meilleure que f est grand.La différence entre les deux procédures faiblit quand lataille de l’échantillon est petite par rapport à celle de lapopulation, i.e. quand f est faible ! Dans ce cas l’effet desondage est proche de 1, les deux méthodes fournissentdes estimateurs de précision analogue.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire simple à probabilités égales