Sistemas De Coordenadas Polares (Elementos De Coordenadas Polares)
1. Sistemas de Coordenadas y Vectores
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7/23/2019 1. Sistemas de Coordenadas y Vectores
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9/16/15 08:46:19 PM Segundo L. Gallardo Zamora 1
UPAO
DEPARTAMENTO ACADMICO DE
CIENCIAS
Docente: Segundo Liardo GallardoZamora !ru"illo#$015
*S'D+D P*'(+D+ +&!)&,* ,
FSICAAVANZADASISTEMAS DE
COORDENADAS VECTORES
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SISTEMA DE COORDENADAS
Sistema Tridimensional.Es el sistema de referencia
constituido por tres rectas numricas mutuamenteperpendiculares.
Plano (X,Y)
Plano (Y,Z)
Plan
o(X,Z)
Figura 1. Sistema
tridimensional (X,Y,Z)
+Y-Yo
-X
+Z
-Z
Por ejemplo, el sistema tridimensional de ejes coordenadoscartesianos (X,Y,Z) de la i!." se o#tiene intersectando tres planosmutuamente perpendiculares.
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SISTEMA DE COORDENADAS
Este sistema tridimensional tam#in se puede
representar mediante las tres aristas de unparalelep$pedo rectan!ular con %rtice com&n, talcomo se muestra en las i!.'.
Y-Y
X
-X
Figura 2. Sistema cartesiano tridimensional (X,Y,Z) formado por
las aristas de un paraleleppedo rectangular
Z
-Z
-
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SISTEMA DE COORDENADAS
Para u#icar un punto P(,,*) en el sistema de
coordenadas tridimen-sional de la i!. se!uimos lossi!uientes pasos
Figura 3. Uicaci!n de un punto
en el sistema (X,Y,Z)
Z
Y
X
P(,,*)
P
*
4. Trazamos, por P, un segmento de
recta paralelo y de igual magnitud
a la coordenada z. El etremo !i"
nal de este segmento u#ica al
punto P.
$. %isualizamos mejor la perpendicu"
laridad de las tres coordenadas
mediante planos diagonales.
&. Trazamos las coordenadas (,y,z)
so#re cada uno de los semiejes
seg'n su magnitud y signo.
. Trazamos dos rectas paralelas de
igual magnitud a las coordena"
das (, y). a intersecci*n de es"
tas rectas determinan el punto P+ue es la proyecci*n de P so#re
el plano (X,Y).
. Trazamos la diagonal -P y luego
una paralela por el etremo de z.
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SISTEMA DE COORDENADAS
Ejemplo "./#icar el punto P(0,1,2)
Figura ".
X
#X
Z
Y
#Z
#Y o
$ %
& (%,',)
$ '
P
$
Ejemplo './#icar los puntos
3 (,- 1,- 4)5 6(-2, -1, -7)5 8(-0,2,-0)5 9(4,:,2)
Figura .
-"
-'
(3, -', #")
$ 3
os puntos , / y 0 +uedan como
ejercicios para el estudiante
X
#XZ
Y
#Z
#Yo
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ESCALARES Y VECTORES
Ejercicio S8- :"
". 9i#ujar la u#icaci;n de los puntos 3(-0,2,)5 6 (1,4, -0) 5 8(-1,-0,4) 9(0 ,-ue%a desde el ori!en ?asta el punto >ue se >uiere u#icar. Este %ector
tiene como componentes a las coordenadas del punto. Por ejemplo,para el punto @(,,*) se tiene
A + 1 z (1)Esto
si!nifica >ue@ (, , *)
o
Y
X
Z
Figura %@
*
*
* ** El !rBfico >ue resulta es un pol$!o-
no en el espacio como el de la i!.0.
rA , rA , rA *
Se demuestra >ue el m;dulo del%ector posici;n esta definido por
rA '+ '+ *'
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ESCALARES Y VECTORES
Bn!ulo director >ue
forma con el semieje +Y
C Bn!ulo director >ue formacon el semieje +Z
Bn!ulo director >ue formacon el semieje +X
Dos 2ngulos directores se%isuali*an mejor si tra*a-mos l$neas perpendicula-resdesde el etremo finaldel %ector a cada uno delos semiejes, tal como seilustra en la i!. 1.
X
Y
Z
Figura '.
* @
@
P
S
El %ector posici;n forma con los semiejes positi%os delsistema (X,Y,Z) los Bn!ulos , , C a los >ue se denominanBn!ulos directo-res o direccionales, por>ue definen ladirecci;n del %ector posici;n.
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ESCALARES Y VECTORES
Das perpendiculares tra*adas definen las componentes
del %ector so#re cada uno de los semiejes a su %e*permiten o#tener tres triBn!ulos rectBn!ulos.
Y
X
Z
Figura +
*
1+-@
S
P
Para %isuali*ar mejor estos triBn!u-los, !iramos la i!. 1 en "ueforma con el semieje +X.
A rcos
(2)
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ESCALARES Y VECTORES
Entonces, el m;dulo de la componente* A * se puedecalcular usando
(") A rcos
A rcos + rcos 1 rcos ()
8on estos %alores para las componentes, el %ector posici;n tam-#in se puede escri#ir en la forma
* A rcos (3)En el triBn!ulo rectBn!ulo @ tam#in tenemos la perpendicular@ el Bn!ulo director , >ueforma con el semieje +Y.Por similitud con las definiciones anteriores, en el triBn!ulo rectBn-!ulo @ podemos definir el m;dulo de la componente A ,
mediante la epresi;n
Ejemplo . 9efinir !raficar el %ector posici;n del punto 3 (G4, 2,
Gue
Aa A G 4, Aa A 2, * A a*A G m?@, para"
lela al semieje Y positi=o
%z6 $$7 cos &$: 6 -33,9& >m?@, para"
lela al semieje Z positi=oz
"2o
""7o2:o
y
Por lo tanto, la %elocidad es el %ectorA -'00,02 + 2,2 -
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ESCALARES Y VECTORES
Ejemplo 0.Das componentes de una fuer*a son A
:: J, A-'2: J *A -42: J. Epresar el%ector fuer*a en funci;n de sus compo-nentes calcular su m;dulo direcci;n.Soluci;n En la i!."' di#ujamos lascomponentes con ellas formamos elel %ector fuer*a.
Y
Z
X
-2
3
-42:
Figura 12
A :: -'2: -42:
F A
A 272,
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ESCALARES Y VECTORES
Ejemplo 1. Mallar la resultante de los si!uientes
%ectores fuer*a e- presados en JeNtons "A 2 G 0G A 6 7 G 4 5
A G < + ' G 2 5 4A G 2 + '
oluci*n,
im#*licamente la resultante de estas !uerzas est2 de!inida por la
epresi*nB
Escri#imos los =ectores en !ilas, de manera tal +ue sus componentes se
muestren en columnas con los =ectores unitarios. si !altara una componente
se deja en #lanco o coloca cero. uego sumamos alge#raicamente por
columnas los coe!icientes de cada =ector unitario.
" + ' + + 4* (-+/ ) $ (-%$ $2) $ (-3-"-$2)
6 "1 '1 1 4
"* / % / 3
= / "
* / + $ 2 /
4*/ $ 2
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ESCALARES Y VECTORES
En este proceso de sumar los coeficientes de los %ectores unitarios , ,tam#in estamossumando las componentes de cada uno de los %ectoresso#re los semiejes del sistema (X,Y,Z). Por lo tanto, esto si!nifica >ue
El %ector resultante sus respecti%ascomponentes se muestran en la i!.".
su direcci;n esta definida por losBn!ulos directores
A cos-" (G < H ",1 ) "'2,1F
A cos-"( 2 H ",1) 0
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ESCALARES Y VECTORES
=ector posici;n relati%o entre dos puntos.
Es el %ector >ue u#ica un punto respecto a otro, cuando am#osestBn u#icados con respecto al mismo sistema de coordenadas.
Por ejemplo, en la i!."4, el %ectorposici;n del punto @'(',',*'), respe-to al punto @" (",",*" ), es el %ector
>ue %a desde @"(punto de referenciao punto inicial) ?asta @' (punto >uese >uiere u#icar o punto final).
@'(',',*')
$
'"
1
@"(",",*")
o
X
Z
Y
Figura 1"
Por lo tanto, el %ector posici;n relati%odel punto @'respecto al punto @"es el%ector diferencia
(%)'"* '/"
Esta epresi;n indica >ue de#emos ejecutar la resta de los %ectoresposici;n de los puntos.
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ESCALARES Y VECTORES
En esta epresi;n %emos >ue las componentes del %ector posici;n
'" se o#tienen restando las coordenadas del punto finalmenos las coordenadas del punto inicial. Es decir >ue
'A ' + ' + *'
/ "A/ "/"/*"
(' /") A (r'") es la componente del %ectorposici;n relati%o paralela al eje X.
(' /") A (r'") es la componente del %ector
posici;nrelati%o paralela al eje Y.(*' /*") A (r'")* es la componente del %ector
posici;nrelati%o paralela al eje Z.
'" A '/"A ('/" )+ ('/") + (*'/*") (')
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ESCALARES Y VECTORES
El m;dulo del %ector posici;n relati%o es
r'" A ('G ")' + ('G ")' + (*'G *")' (+)
direcci;n
A cos-"O('G ") H r'")5 A cos-"O('G ") H r'")5CA cos-"O(*'G *") H r'") ()
9e i!ual forma, en la i!."2, podemos!raficar definir el %ector posici;n
relati%a del punto @" respecto al punto@'mediante la epresi;n
@'(',',*')
$
"'
1
@"(",",*")
o
X
Z
Y
Figura 1
(1)"'* "/'
"' A "/'A ("/' )+ ("/') + (*"/*')
9e m;dulo
r"' A ("G ')' + ("G ')'+ (*"G *')' (11)
direcci;n
A cos-"O("G ') H r"')5 A cos-"O("G ') H r"')5
CA cos-"O(*"G *') H r"')
(12)
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Ejemplo
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ESCALARES Y VECTORES
'. a) 9i#ujar definir los %ectores po- sici;n de cada uno de los puntos de la i!. "1 lue!o sumarlos, #) 9i#u- jar definir el %ector posici;n del
punto 6 respecto al punto 3 c)9i#ujar definir el %ector posici;ndel punto 9 respecto al p&nto 8.(CptaB a) Trazar los =ectores cuyas de!iniciones sonB 6-8 -$ 1 3
Z
Figura 1'
Y
X
3(-0,-2,
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6 -& 1 9 -& , 6 < -9 , 6 9 1 3 -9 A #) di#ujar el =ector cu"ya de!inici*n esB #a= 6
-8 1 &4 - , con #a $,&4, 6 &7,3:, 6 $8,: y 6 &4,
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2. #tener un %ector de ma!nitud "4 >ue ten!a la misma direcci;n >ue el%ector A 0- -. (CptaB 6 & -8 -4 )
Producto escalar o producto punto de dos %ectores.
Co
Figura 1+
9onde
El producto escalar de los %ectores de la i!. "< se definemediante el producto aritmtico de los m;dulos de los %ectores elcoseno del Bn!ulo >ue forman en un ori!en com&n.
* cos C (13)
, es el m;dulo del primer factor
, es el Bn!ulo entre los %ectores con ori!en com&n es tal>ue :F
C
"
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3l!unas aplicaciones.
". 8Blculo del Bn!ulo entre dos %ectores o rectas.
C A cos-"( ) H ( ) (1")>ue permite calcular el 2ngulo entre los =ectores .
'. 8Blculo de la proecci;n orto!onal de un %ector so#re otro.
* (cos C)El factor (cos C) * , define laproyecci*n ortogonal(perpendi-cular) del %ector so#re el %ector como se muestra en la i!."7.
o
Figura 1
Por lo tanto
3 A ( ) H(1)
9e forma similar definimos la proecci;norto!onal del %ector so#re el %ector ,como
6 A ( ) H (1%)
9e la definici;n del producto escalar se o#tiene la epresi;n
En la definici;n del producto escalar podemos a!rupar trminos escri#ir
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ESCALARES Y VECTORES
Ejemplo 7. Mallar el tra#ajo >ue reali*a la fuer*a A
42: J, al despla-*ar el #lo>ue de la i!.': unadistancia A m.
C A ::
Figura 2
Soluci;n
U A A cos C
Por lo tanto, se!&n la definici;nU A (42:)() cos :F
U A ""07," V
* 3
o
Figura 21
El tra#ajose define como el producto escalar del %ector !uerzapor el%ector desplazamiento.
Para eplicar mejor esta definici;n di#ujamos los %ectores a partir delori!en com&n , tal como se muestra en la i!.'".
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ESCALARES Y VECTORES
Propiedades fundamentales
". A Propiedad /onmutati=a.'. ( + ) A + Propiedad 0istri#uti=a
. Si A :, sa#iendo >ue : :, entonces los dos%ectores son perpendiculares.
2. Si los %ectores se epresan en funci;n de sus componentes rectan-!ulares
orma can;nicaA 3 + 3 + 3*
A 6 + 6 + 6*
4. A cos :F A ', entonces A , permite calcular el
m;dulo del %ector .
Se demuestra >ue el producto escalar de ellos se calcula mediantela epresi;n
A 36+ 36+ 3*6* (1')
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ESCALARES Y VECTORES
Ejemplo ":. Si A G 4 + 1 G "" , A G 0 + 7 y A 2 + < 17 . 8alcular a) ,
#) , c) el Bn!ulo entre , d) la componente de so#re , e) ( + ), f) , !) el Bn!ulo entre ( G ) ( + )
Soluci;n. a) Para ejecutar el producto escalar ordenamos los %ectoresen filas columnas en #ase a los %ectores unitarios
A G 4 + 1 G ""A G 0 + : 7
A (G 4)(G 0) + (1)(:)+ (G "")(7) A G12
#) Esta pregunta +ueda como ejercicio para el estudiante.
c) El Bn!ulo entre los %ectores se o#tiene del producto escalar, >ue lue-!o de despejar Co#tenemos la f;rmula
en el denominador tenemos los m;dulos de los %ectores.
CA cos-"( ) H ( )
( ) A G12 (%alor o#tenido en la pre!unta (a)9onde, el numerador es el producto escalar
A "
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ESCALARES Y VECTORES
Por lo tanto, reempla*ando %alores o#tenemos
CA cos-"
(G12H ("ue la componente 36estB
en sentido opuesto al %ector , tal como se muestra en la i!.''.
as preguntasB e) y !) +uedan como ejercicios para el estudiante.
!) Para simplificar calcular el Bn!ulo entre los %ectores denominamospor A ( G ) A ( + ).
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ESCALARES Y VECTORES
por lo tanto, el Bn!ulo entre Q,J se o#tiene usando la epresi;n
A cos-"
( )HQJ
( G ) A (G 0 + 4) G 1 + ( 7 + "")
A G ' G 1 + ': A G + < + "ue forman el Bn!ulo en elori!en com&n, es el %ector definido mediante la epresi;n
Figura 23
Co
El %ector producto es perpendicular a
los %ectores , de un sentido i!ual alde a%ance de un tornillo de !iro a laderec?a, cuando es !irado de ?acia talcomo se ilustra en la i!.'.
9onde el aspa entre los %ectores es els$m#olo de esta operaci;n.
/sando el %ector unitario el producto %ectorial tam#in se definemediante la epresi;n
A (1+)
A A 36 sen (1)
Este sentido tam#in estB determina me-diante la re!la del pul!ar de la mano
derec?a al cerrar el $ndice de ?acia .
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ESCALARES Y VECTORES
9onde 36 sen es el m;dulo del %ector producto es un %ector
unitario paralelo a .3demBs, 3 6son los m;dulos de los %ectores Ces el Bn!ulo >ueam#os forman en el ori!en com&n, tal >ue :o
C
"
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ESCALARES Y VECTORES
'. 8Blculo de un %ector perpendicular a dos %ectores
coplanarios a la %e*. /n ejemplo de este tipo de %ectores el Tor>ue o Qomento de una fuer*a aplicada a uncuerpo con respecto a un eje de rotaci;n.Ejemplo "". En la i!. '2 se aplica una fuer*a 5
A 2: J so#re la puerta en un punto u#icado auna distancia rA ",2: m de las #isa!ras. Si los%ectores forman un Bn!ulo A 47F, calcular
el momento o tor>ue >ue produce esta fuer*arespecto al eje Z.
Soluci;n.
XY
Z
Eje de
rotaci*n
Figura 2
C
Si los %ectores forman un plano paraleloal plano (X,Y), entonces el momento o tor>uede la fuer*a, respecto al eje de las #isa!ras, se
o#tiene mediante el producto %ectorial de estos %ectores.
A
Este %ector es paralelo al eje Z (eje de las #isa!ras) perpendicular alplano formado por , (plano X,Y).
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ESCALARES Y VECTORES
En la i!.'0 se ?an di#ujado los %ectores a partir de un ori!en co-m&n
, para %isuali*ar mejor el %ector tor>ue , >ue es perpendicular a los%ectores anteriores
"o
Figura 2%
/sando %alores, el m;dulo del tor>ue omomento es
A r sen C A (2:)(",2:)(sen 47F)A 70,' m.J
8omo el tor>ue es un %ector perpendi-cular al plano (X,Y), su forma %ectoriales
A 70,' m.J
o
Propiedades fundamentales del producto %ectorial
'.- ( + ) A + , propiedad distri#uti=a.".- A - , no es conmutati=o
.- A sen oA
-
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ESCALARES Y VECTORES
Si los %ectores se epresan en funci;n de sus componentes rectan-
!ulares en el sistema (X,Y,Z) tendrBn la forma
El producto %ectorial de estos %ectores se o#tiene desarrollando un de-terminante formado con los %ectores unitarios componentes de .
A4 7
4 7
8 7
8 7
8 4
8 4(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
A - 1
947/ 74:
8 4 7
8 4 7
- 987/ 78: + 984/ 48: A
Para desarrollar este determinante aplicamos el mtodo de menorescomplementarios >ue consiste en anular fila columna donde se u#ica
cada %ector unitario a fin de o#tener tres determinantes de menor ran!o.
El signo negativo que antecede al vector unitario se debe, segn la matemtica,
a su osici!n en el determinante "rimera #ila, segunda columna$%
Due!o en cada menormultiplicamos sus elementos en forma dia!onal.
3l producto dia!onal ?acia a#ajo le restamos el dia!onal ?acia arri#a.
A8 +4 +7 , A 8 + 4 + 7
(21)
-
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ESCALARES Y VECTORES
@eordenando trminos o#tenemos
947/ 74: +978/ 87: 1 984/ 48: A (22)
oluci*nBPara o#tener el producto %ectorial formamos el determinante lo resol%emos por el mtodo de los menores complementarios.
Ejemplo "'. 9ados los %ectores A 4 + F 0 , AF2 F1 + ' , calcular a), #) el Brea del paralelo!ramo formado por .
3-
%
-' 2*
(-)
(+)
"-
%
- 2-
" 3
- -'$
(-)
(+)
(-)
(+)
" 3 #%
# #' 2
A 9(3)(2) /(/')(/%): / 9(")(2) / (/ )(/ %): $ 9(")(/ ') / (/ )(3):
Simplificando A A/ 3% $ 22 /13
8on m;dulo ;A A (/3%)2$(22)2$(/13)2A 1" "",1
direcci;n 1"",%
-
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ESCALARES Y VECTORES
Ejemplo ". Dos puntos 3(4,-0,ue
-
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ESCALARES Y VECTORES
En la i!.'7, consideremos los %ectores con %rtice com&n en 3, talcomo se muestra en la i!.44. Por lo tanto
3(4,-0,
-
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ESCALARES Y VECTORES
o
Figura 3
El parntesis indica >ue primerode#emos ejecutar el producto%ectorial () lue!o el producto
escalar ()Qediante esta operaci;n o#tene-mos un escalar >ue representa el%olumen del paralelep$pedo for-mado por los %ectores , ,
como aristas con ori!en com&n.
Triple Producto Escalar
El triple producto escalar de los %ectores no coplanarios , de lai!.: es el escalar definido mediante la epresi;n
3l ejecutar primero el producto %ectorial ( ), o#tenemos un %ec-torperpendicular al paralelo!ramo #ase u#icado dentro del paralelep$pedo, talcomo se muestra en la i!. " >ue si!ue.
( ) (23)
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ESCALARES Y VECTORES
Da #ase del paralelep$pedo esta representado por el producto
%ecto-rial.
( ) A (& 'sen )
3?ora ejecutamos el productoescalar de con el %ector
producto.
( ) A & 'sen
9onde cos
A @, esla altura del paralelep$pedo como
A( (& 'sen
) cos
8uo m;dulo es i!ual al Brea de la #ase del paralelep$pedo
@
& 'sen A
ue puede reordenarse en la forma ( ) A ((cos )(& 'sen )
& 'sen
A ,es el Brea del paralelo!ramo #ase
( ) A @ A =, es el %olumen del paralelep$pedo
Entonces(2")
o
Figura 31
-
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ESCALARES Y VECTORES
Si los %ectores se dan en funci;n de sus componentes cartesianas.
El triple producto escalar se o#tiene desarrollando el determinante
formado por las componentes de los %ectores en el si!uiente orden
* 8 $ 4 $ 7
* 8 $ 4 $ 7
* ;8 $ ;4 $ ;7
A =olumen del paralelep$pedo formado por tres%ectores no coplanarios
9esarrollando el determinante por menores complementarios se tiene( ) A (68*G 6*8)3G (68*G 6*8)3+ (68G 68)3* (2%)
( ) A
3 3 3*
6 6 6*
8 8 8*
A = (2)
-
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ESCALARES Y VECTORES
;ota.Es importante indicar +ue al de!inir el triple producto escalar de#emos
cuidar +ue el=ectorproducto de dos de ellos sea un =ector +ue al u#icarlo
perpendicular a la #ase +uede dentro del paralelepGpedo. Por+ue de no ser asG,el triple producto puede resultar negati=o. i este es el caso, a'n podemos
considerar el =alor a#soluto del resultado como el =olumen del paralelepGpedo.
Soluci;n
/#icamos los puntos, lue!o tra*a-mos definimos los %ectores posi-ci;n de cada uno de los %rtices,>ue se muestran en la i!.'.
>
&
?
Y
Z
XFigura 32
6 2 + +6 - + 46 ' - + 1
Estos %ectores son aristas del pa-ralelep$pedo de la i!.4
-
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ESCALARES Y VECTORES
El %olumen de este paralelep$pedo se o#tiene mediante el triple productoescalar
2 -3 '
3 1
-3 "
@= (x)A
@ * 29(3)() / (")(1):
@ * 2" 9unidades de Aolumen:
3 1
"
2 1
-
3
-(-3) 3
-
3 "
$ '
Para o#tener el %alor de este triple producto formamos un determinan-tecon las componentes de los %ectores, se!&n el orden en >ue semultipli>uen.
@*
(
x
)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
$ 39()() / (/3)(1): $ '9()(") / (/3)(3):
9esarrollamos este determinante usando el mtodo de los menorescomplementarios (o cual>uier otro mtodo).
@ *
-
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e demuestra +ue el triple producto escalar no cam#ia si
permuta"mos los =ectores alrededor delpuntoy el aspaen elsiguiente ordenB
'. 9efinir los %ectores posici;n , ,de los puntos P(G0, 7,G"')5 (G"", G",
1) @ (0, ue forma el %ector OF (?) con el %ector () #) el %olumen del paralelep$pedo formado por los %ectores , , OCptaB a)
6 9,9: y #) % 6 &8 unidades de =olumen
Ejercicio E=-:
". 9efinir los %ectores posici;n, , , de los puntos D (G1, G
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. Mallar el =ector unitario >ue sea perpendicular a 6 2 + + 1 6 -
3 + 0-
4 a la %e*. (CptaB 6 (-? ) 1 (-? ) 1 (? )
4. 8alcular la alturadel paralelep$pedo determinado por los %ectores6 + + , 6 ' + 4 -, 6 + 1 , epresados en metros. (CptaB @7,83 m)
J
2. Dos si!uientes puntos estBn definidos, respecto al sistema (X,Y,Z),mediante las coordenadas (7, -1,-4)5 (':, -"0,"') M ("", 0, -7).a) 9efinir los %ectores posici;n , , de cada uno de los puntos,usando los %ectores unitarios , , , #) calcular el Bn!ulo >ue forma el%ector ( - ) con el %ector ( ? 4 ) c) calcular el %olumen delparalelep$pedo formado por los %ectores , . (CptaB a) 6 7-1 -4 , 6 ': -"0 + "' , 6 && + 0 -7 , #)
6 8,&:, c)