1 Sistem Bilangan Real

03/08/2015

1

Sistem Bilangan Riil

Simbol-Simbol dalam Matematikaa

2

03/08/2015

2


3


4

03/08/2015

3


5

Sistem bilangan

6

N : bilanganasli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N :1,2,3,….

Z :…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbabaq

Q :

IrasionalQR

,3,2

Contoh Bil Irasional

03/08/2015

4

Garis bilangan

7

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)

-32

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang

Sifat–sifat bilangan real

8

Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalianx + y = y + x dan x y = y x

Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian(x + y) + z = x + (y + z) dan (x y ) z = x (y z)

Distributif, perkalian terhadap penjumlahan(x + y) z = x z + y z

Unsur identitasTerhadap operasi jumlah yaitu x + 0Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x 1 = x

InversTerhadap penjumlahan yaitu –x sehingga x + (-x) = 0Terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x 1/x = 1

03/08/2015

5

Sifat–sifat bilangan real

9

• Sifat-sifat urutan :Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satudari x < y atau x > y atau x = yKetransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < zPenambahan

x < y x + z < y + zPerkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bilaz bilangan negatif, maka xz > yz

Selang

10

Himpunan selangaxx a,

axx a,

bxax ba,

bxax ba,

bxx ,b

bxx ,b

xx ,

Jenis-jenis selang

Grafik

a

a

a b

a b

b

b

03/08/2015

6

Sistem Bilangan Real

11

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yangberlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:disebut selang tutupdisebut selang buka

keduanya disebut selangsetengah buka / setengah tutup

keduanya disebut selang takterbatas

Supremum Infimum

12

a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum

b. Definisi batas atas dan batas bawah

c. Definisi supremum infimum

03/08/2015

7

Supremum Infimum

13

Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil

Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar

Pertidaksamaan

14

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabardengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom)dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

xExD

xBxA

03/08/2015

8

Pertidaksamaan

15

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencarisemua himpunan bilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real inidisebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0)()(

xQxP

Pertidaksamaan

16

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk

pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang danpenyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikanmenjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garisbilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

03/08/2015

9

Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian

17

53213 x352313 x

8216 x48 x84 x

8,4Hp =4 8

1


18

8462 x248 x248 x842 x

221

x

2,21

221

Hp2

03/08/2015

10


19

3,21

0352 2 xx

0312 xxTitik Pemecah (TP) :

21x dan 3x

3

++ ++--

21

3

Hp =


20

637642 xxxxx 7642 6376 xxdan4672 xx dan 6637 xx

4

109 x 010 xdan

910x 010 xdan

910x dan 0x

03/08/2015

11

21

,0

910,Hp =

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

910,0


22

01313

xx

x

132

11

xx

0132

11

xx 0

1312213

xxxx

5.

TP : -1,31 , 3

3++ ++--

-1

--

31

Hp =

3,311,

03/08/2015

12


23

xx

xx

321

032

1

xx

xx

0

32231

xxxxxx

032322 2

xxxx

6.

24

Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalupositif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2-- ++ --

,23,Hp =

03/08/2015

13

Pertidaksamaan nilai mutlak

25

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusatpada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :

0,0,

xxxx

x

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

yx

yx

yxyx 26

2xx axaaax 0,

axaax 0, atau ax

yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

12

3

4

5

yxyx

03/08/2015

14

Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian

27

41 x 4,1

Contoh :352 x

Kita bisa menggunakan sifat ke-2.

3523 x53235 x

822 x

Hp = 1 4

1.


28

0422 xx 4,1

352 x2.

Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.

952 2 x

925204 2 xx016204 2 xx

08102 2 xx

TP : 1, 4

1 4++--++

Hp =

03/08/2015

15


29

5432 xx3.

Kita bisa menggunakan sifat 4

22 5432 xx2540169124 22 xxxx

0162812 2 xx0473 2 xx

34TP : , -1

0143 xx


30

Hp = 1,,34

Jika digambar pada garis bilangan :

-134

++--++

03/08/2015

16


31

272

x

272

x

272

x

52

x9

2

x

10 x 18x

18,,10

4.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10


32

2123 xx

2222

2xxxx

x

1111

1xxxx

x

Jadi kita mempunyai 3 interval :

-1 2

I II III 1, 2,1 ,2

5.Kita definisikan dahulu :

03/08/2015

17


33

1x 1,2123 xx

2123 xx2136 xx

227 x92 x

92 x

29 x

29,

I. Untuk interval atau

atau


34

1,

1,29,

29-1

Jadi Hp1 =

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah 1,sehingga Hp1 =

03/08/2015

18


35

21 x 2,1II. Untuk interval atau

2123 xx

2123 xx2136 xx

245 x74 x74 x

47 x

47,atau


36

Jadi Hp2 = 2,147,

-1 247

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah

47,1

sehingga Hp2 =

47,1

03/08/2015

19


37

2x ,22123 xx

2123 xx

2163 xx272 x

52 x

III. Untuk interval atau

25 x

,25

atau


38

Jadi Hp3 =

,2,25

2 25

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah

,25

sehingga

Hp3 =

,25

03/08/2015

20


39

Hp = 3Hp2Hp1Hp

,

25

47,11,Hp

Untuk lebih mempermudah, masing-masing intervaldigambarkan dalam sebuah garis bilangan


40

,

25

47,Jadi Hp =

47

25

-1

47 2

5-1

47

25-1

03/08/2015

21

Soal Latihan

5432 xx

41

2221 2 xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 xx

1

2

3

xx

x

1242

4

312

2

xx

xx

5

23 xx6

1 Sistem Bilangan Real

Documents

Transcript of 1 Sistem Bilangan Real