1 Súčiny vektorov a ich aplikácie

V tejto kapitole zadefinujeme niekoľko operácii s vektormi a ukážeme ichpoužitie.

1.1 Násobok vektora skalárom

Nech ~v = (v1, v2, v3) je daný vektor a c ∈ R, potom

c.~v = (cv1, cv2, cv3)

Pri násobení vektora skalárom sa mení veľkosť vektora, zatiaľ čo smer aorientácia (c > 0) zostávajú. Vektory c.~v, c.~v sú teda rovnobežné.

1.2 Skalárny súčin

Nech ~v = (v1, v2, v3) a ~u = (u1, u2, u3) sú dané vektory. Skalárny súčinvektorov ~v, ~u označujeme ~v ~u a definujeme nasledovne

~v ~u = u1v1 + u2v2 + u3v3.

Pomocou skalárneho súčinu vieme vyjadriť uhol dvoch vektorov.

-

6

O :

Q

~u

P

~v

α

Uvažujme vektory ~v = (v1, v2, v3), ~u = (u1, u2, u3) body P = [v1, v2, v3] aQ = [u1, u2, u3] počítajme štvorec veľkosti vektora ~PQ

| ~PQ|2 = (u1 − v1)2 + (u1 − v1)2 + (u1 − v1)2

= u21 + u2

2 + u23 + v2

1 + v22 + v2

3 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)

= |~u|2 + |~v|2 − 2 ~u ~v

Na trojuholník PQO aplikujeme kosínusovú vetu

| ~PQ|2 = |~u|2 + |~v|2 − 2 |~u|.|~v| cosα,

kde α je uhol vektorov ~u, ~v. Spojením oboch rovností dostávame

~u ~v = |~u|.|~v| cosα. (♥)

Poznámka 1 Niektorí autori práve týmto vzťahom definujú skalárny súčin.

Vlastnosti skalárneho súčinu:Nech ~u, ~v sú vektory a α je uhol týchto vektorov.

1

Zo vzťahu (??) máme

α =π

2⇐⇒ ~u ~v = 0

α ∈[0,π

2

)⇐⇒ ~u ~v > 0

α ∈(π

2, π]⇐⇒ ~u ~v < 0

priamo z definície plynie

~u ~v = ~u ~v(c~u) ~v = c(~u ~v)

~u ~u = |~u|2

1.3 Vektorový súčin

Nech ~v = (v1, v2, v3) a ~u = (u1, u2, u3) sú dané vektory. Vektorový súčin vek-torov ~v, ~u je vektor ~w, (zapisujeme ~w = ~v× ~u), ktorý definujeme nasledovne

~w = ~v × ~u =

∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − v2u3, v1u3 − u1v3, u1v2 − u2v1).

Vlastnosti vektorového súčinu.

a) Nech ~w = ~v × ~u, potom ~w ⊥ ~v a ~w ⊥ ~u, t.j. vektorový súčin je kolmýna rovinu určenú vektormi ~v a ~u.

b) Pomocou vektorového súčinu vieme vypočítať obsah rovnobežníka tvo-reného nezávislými vektormi ~v a ~u

Obr. 2

-~u

~v

h

·α

Nech w = ~v × ~u. Počítajme štvorec veľkosti vektora ~w

|~w|2 = (u2v3 − v2u3)2 + (v1u3 − u1v3)2 + (u1v2 − u2v1)2

= u22v

23 + v2

2u23 + v2

1u23 + u2

1v23 + u2

1v22 + u2

2v21

− 2(u2v3v2u3 + v1u3u1v3) + u1v2 − u2v1)

=(u2

1 + u22 + u2

3

)+(v2

1 + v22 + v2

3

)− (u1v1 + u2v2 + u3v3)2

= |~u|2|~v|2 − (~u ~v)2 = |~u|2|~v|2 − |~u|2.|~v|2 cos2 α

= |~u|2.|~v|2 sin2 α

Keďže α ∈ [0, π], dostávame

|~w| = |~u|.|~v| sinα.

Na druhej strane obsah rovnobežníka na Obr 2. je

P = |~u|h = |~u|.|~v| sinα.

2

A teda obsah rovnobežníka určeného vektormi ~v a ~u môžeme vyjadriťako veľkosť ich vektorového súčinu.

P = |~u× ~v|.

c) Pre vektory ~v, ~u, ~w platí

~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~v(c~u)× ~v = c(~u× ~v)

1.4 Praktické použitie vektorového súčinu(príprava k plošnému integrálu)

Rovina ρ daná bodom P a dvojicou nezávislých vektorov ~u, ~v má štandardnéparametrické vyjadrenie:

X = P + t~u+ s~u, (t, s) ∈ R2

Tú istú rovinu môžeme vyjadriť samozrejme aj v tvare

X = P + (t− t1)~u+ (s− s1)~u, (t, s) ∈ R2

kde t1, s1 sú ľubovoľné čísla.Ak pre parametre t, s zavedieme obmedzenia t ∈ [t1, t2], s ∈ [s1, s2], tak

rovnica~r(t, s) = X = P + (t− t1)~u+ (s− s1)~u

reprezentuje rovnobežník,

Pr

Ar

B r-

~u~v

kde body

P = ~r(t1, s1)

A = ~r(t2, s1) = P + (t2 − t1)~u

B = ~r(t1, s2) = P + (s2 − s1)~v

Obsah uvedeného rovnobežníka vyjadrený pomocou vektorového súčinu je

P = |−→PA×

−−→PB| = |(t2 − t1)~u× (s2 − s1)~v|

= (t2 − t1)(s2 − s1)|~u× ~v|Odvodený vzťah použijeme neskôr pri odvádzaní vety o výpočte plošnéhointegrálu.

1.5 Zmiešaný súčin

Nech ~v = (v1, v2, v3), ~u = (u1, u2, u3) a ~w = (w1, w2, w3) sú dané vektory.Zmiešaný súčin definujeme nasledovne

~u (~v × ~u) = (u1, u2, u3)

∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣ .

3

2 Dotyčnica ku priestorovej krivke určenej para-metrickými rovnicami

NechC : ~r(t) = ϕ(t)~ı + ψ(t)~ + χ(t)~k, t ∈ [α, β],

je parametrické vyjadrenie jednoduchej, hladkej krivky. Zvoľme na krivkedva body P = [p1, p2, p3] = ~r(t0) a Q = ~r(τ), pričom teda t0, τ ∈ (α, β).

-

6

r rPQ

~r(t)

r r rt0 τα βr

MM

Našim cieľom je napísať rovnicu dotyčnice ku krivke C v bode P . Najprvnapíšeme rovnicu sečnice, t.j. priamky prechádzajúcej bodmi P a Q. Jejparametrické vyjadrenie je

X = P + t−−→PQ, t ∈ R.

Respektíve namiesto vektora−−→PQ môžeme v parametrickom vyjadrení použiť

jeho vhodný násobok, napr. 1τ−t0−−→PQ a teda

X = P + t1

τ − t0−−→PQ = P + t

~r(τ)− ~r(t0)

τ − t0.

Uvedené vyjadrenie rozpísané po zložkách je

x = p1 + tϕ(τ)− ϕ(t0)

τ − t0

y = p2 + tψ(τ)− ψ(t0)

τ − t0

z = p3 + tχ(τ)− χ(t0)

τ − t0

Pre Q → P , teda τ → t0 sa sečnica dotyčnicou, preto limitným prechodomdostávame rovnicu dotyčnice

x = p1 + t ϕ′(t0)

y = p2 + t ψ′(t0)

z = p3 + t χ′(t0)

respektíveX = P + t~r′(t0).

Teda ~r′(t0) je smerový vektor dotyčnice ku krivke C určenej parametrickým~r(t) vyjadrením v bode P = ~r(t0).

4

3 Dotyková rovina ku ploche určenej parametric-kými rovnicami

Nech

σ : ~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω ⊂ R2

je parametrické vyjadrenie hladkej plochy. Na ploche zvolíme bod P ∈ σ, t.j.P [x0, y0, z0] = ~r(t1, s1), (t1, s1) ∈ Ω. Úlohou je zostrojiť dotykovú rovinu anormálový vektor k ploche σ v bode P .

-

6 t = t1

t1

s1 s = s1

Úsečke (t, s1) ⊂ Ω odpovedá priestorová krivka C1 ležiaca na Ω s paramet-rickým vyjadrením ~r(t, s1). Preto smerový vektor dotyčnice ku krivke C1 vbode P [x0, y0, z0] je [

∂~r(t, s1)

∂t

]t=t1

=∂~r(t1, s1)

∂t

-7

CCCCCCO ~n

P

qC1

C2

Analogicky úsečke (t1, s) ⊂ Ω odpovedá priestorová krivka C2 ležiaca naΩ s parametrickým vyjadrením ~r(t1, s). Preto smerový vektor dotyčnice ku

krivke C1 v bode P [x0, y0, z0] je∂~r(t1, s1)

∂sRovina prechádzajúca bodom P

a určená vektormi∂~r(t1, s1)

∂t,

∂~r(t1, s1)

∂s

sa nazýva dotyková rovina ku ploche σ v bode P . Vektor kolmý na dotykovúrovinu sa nazýva normálový vektor a je je určený

~n =∂~r(t1, s1)

∂t× ∂~r(t1, s1)

∂s

Poznámka 2 Normálový vektor ku ploche σ jednotkovej veľkosti vyjadrímeako

~n =~r′t × ~r′s|~r′t × ~r′s|

.

5

4 Plochy a ich parametrické vyjadrenie

Pred zavedením a študiom plošného integrálu II. druhu sa budeme zaoberaťpojmom plocha.

Plocha vznikne deformáciou nejakej časti roviny, predstavujeme si ju akonejaký krivý list (napr. papiera), alebo povrch telesa (prípadne časti telesa).

Budeme uvažovať plochy, ktoré vieme vyjadriť nasledovným parametric-kým vyjadrením

σ : ~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω ⊂ R2

resp.

σ x = x(t, s)

y = y(t, s)

z = z(t, s), (t, s) ∈ Ω ⊂ R2

Uvažujme plochu σ ako časť paraboloidu z = x2 + y2 pre z ∈ [0, 1].

Parametrickým vyjadrením tejto plochy je napríklad

σ x = t

y = s

z = t2 + s2, t2 + s2 ≤ 1.

Alebo parametrické vyjadrenie tejto plochy je aj

σ x = t cos s

y = t sin s,

z = t2,

0 ≤ s ≤ 2π

0 ≤ t ≤ 1.

Teda istá plocha môže mať rôzne parametrické vyjadrenia.

Poznámka 3 Plochu

σ : ~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω ⊂ R2

nazývame hladkou, ak sú funkcie x(t, s), y(t, s), z(t, s) a všetky ich parciálnederivácie spojité.

5 Plošný integrál II. druhu

V tejto kapitole zadefinujeme plošný integrál cez jeho praktickú aplikáciu.Budeme vyšetrovať tok tekutiny cez plochu σ ak rýchlosť toku za jednotkučasu je daná funkciou ~f(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)).

Uvažujme na začiatok najjednoduchšiu situáciu plocha σ je obdlžník vrovine ρxy a rýchlosť toku tekutiny je popísaná konštantnou vektorovou fun-kciou ~f(x, y, z) = (0, 0, f3).

6

-

6

6~n

~f6

Našou úlohou je zistiť množstvo tekutiny, ktoré pretečie plochou σ zajednotku času v smere jednotkového normálového vektora ~n , ktorý je v tomtoprípade ~n = (0, 0, 1)

Tekutina, ktorá pretečie plochou za jednotku času vytvorí kváder s pod-stavou σ a výškou |~f | a teda s objemom

V = P (σ)|~f |,

kde P (σ) je obsah obdlžníka σ.

-

6

6~n

6 ~f

Uvažujme teraz zložitejšiu situáciu, keď plocha σ je opäť obdlžník, rých-losť toku tekutiny je popísaná konštantnou vektorovou funkciou ~f(x, y, z) =(f1, f2, f3) pričom teraz jednotkový normálový vektor ~n ∦ ~f a vektory ~n, ~fzvierajú uhol α. Tekutina za jednotku času vytvorí šikmý kváder s výškou va objemom

V = P (σ)v = P (σ)|~f | cosα,

6

~n

v

@@

@@@I~f

@@

@@@

@@@

@@

@@

@@@

α

Z vlastnosti skalárného súčinu

cosα =~n ~f|~f |

a preto pre hľadaný objem platí

V = P (σ)v = P (σ).~n ~f.

7

Uvažujme ďalej najvšeobecnejší prípad majme zakrivenú ednoduchu, počastiach hladkú, orientovanú plochu σ určenú parametrickým vyjadrením

σ : ~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω,

ktorej orientáciu určuje jednotkový normálový vektor

~n =~r′t × ~r′s|~r′t × ~r′s|

Rýchlosť toku tekutiny je v každom bode plochy σ určený vektorovou fun-kciou ~f(x, y, z) = (f1, f2, f3) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)), ktorá jeohraničená na σ. Otázka je: Aké množstvo tekutiny pretečie za jednotkučasu cez tú stranu plochy σ ktorú určuje jej normálový vektor. Keďže úlohuvieme riešiť pre prípad ak σ je obdlžník a vektorová funkcia ~f je konštantná,prevedieme úlohu na tento jednoduchší problém a zároveň zadefinujeme všty-roch krokoch plošný integrál.

1. Rozdelíme plochu σ na malé plôšky σij (viď obrázok) pomocou po-stupnosti delení Dn∞n=1, pričom táto postupnosť sa nazýva normálnaak

limt→∞‖Dn‖ = 0,

kde ‖Dn‖ = maxd(σij), pričom d(σij) je priemer plôšky σij , ktorýchápeme ako vzdialenosť dvoch "najvzdialenejších"bodov σij

σij

σ

Predpokladáme, že delenie je tak jemné, že zakrivenie plôšiek σij jeminimálne, t.j. plôšky sú "blízkeöbdlžníkom.

2. Z každej plôšky d(σij) vyberieme bod Qij a na celej plôške σij aproxi-mujeme vektorovú funkciu

~f(x, y, z) = ~f(Qij), (x, y, z) ∈ σij

3. Na základe úvad s obdlžníkovou plochou je objem tekutiny, ktorá pre-tečie cez plôšku σij približne rovný

P (σij).~n ~f(Qij).

A celkový objem tekutiny, ktorý pretečie cez celú plochu σ

V ≈∑i,j

P (σij).~n ~f(Qij) = S(Dn)

čo je postupnosť integrálnych súčtov pre delenia Dn a voľbu bodovQij , pričom sumácia vzľadom na i aj j sa robí podľa počtu deliacichbodov delenia Dn

8

4. Plošný integrál je limita postupnosti integrálnych súčtov.

Zhrnieme uvedené informácie do nasledujúcej dedinície.

Definícia 1 Nech σ je jednoduchá, po častiach hladká, orientovaná plocha,nech ~f je spojitá na σ. Ak pre každú normálnu postupnosť delení plochy σ apre ľubovoľnú voľbu bodov Qij existuje

limn→∞

∑i,j

P (σij).~n ~f(Qij),

tak túto limitu nazývame plošným integrálom II. druhu funkcie ~f na plocheσ. Zapisujeme∫∫

σ

~f(x, y, z) d~σ =

∫∫σ

f1 dydz + f2 dxdz + f1 dxdy.

Tento integrál reprezentuje množstvo tekutiny, ktoré pretečie za jednotkučasu plochu σ ak rýchlosť toku je daná funkciou ~f

5.1 Základné vlastnosti plošného integrálu

Základne vlastnosti plošného integrálu sú zrejme z∫∫σ

~f(x, y, z) d~σ =

∫∫σ1

~f(x, y, z) d~σ +

∫∫σ2

~f(x, y, z) d~σ

5.2 Veta o výpočte plošného integrálu

Ukážeme ako vypočítať plošný integrál prevodom na dvojný integrál. Majmeplochu σ určenú parametrickým vyjadrením

σ : ~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω,

K odvodeniu vety o výpočte využijeme definíciu plošného integrálu. DelenieDn plochy σ urobíme pomocou delenia množiny Ω nasledovne. Nech Ω ječasťou intervalu I = [a, b]× [c, d]. Urobíme delenie intervalu [a, b]:

a = t0 < t1 · · · < tn = b

a delenie intervalu [c, d]:

c = s0 < s1 · · · < sm = d

(viď obrázok). Úsečke [t1, s] ⊂ Ω odpovedá krivka ~r(t1, s) na ploche σ Po-dobne úsečke [t2, s] ⊂ Ω odpovedá krivka ~r(t2, s) ⊂ σ Analogicky úsečke[t, s1] ⊂ Ω odpovedá krivka ~r(t, s1) na ploche σ.

-

6 '

&

$

%s0

s1

sm

t0 t1 t2 tn. . .

... Ω

9

Takýmto spôsobom pomocou delenia rovinnej množiny Ω vyrobíme de-lenie priestorovej plochy σ.

σ11 σ12

σ

~r(t, s1)

~r(t1, s)

~r(t2, s)

Jednotlivé plôšky σij vytvárajúce delenie D majú teda hranice tvorenéoblúkmi kriviek ~r(ti, s), ~r(ti+1, s), ~r(t, sj), ~r(t, sj+1). Priesečníky kriviek~r(ti, s) a ~r(t, sj) označíme Qij = ~r(ti, sj).

σij

Qij r ρijrQij

Pre malú plôšku σij zostrojíme dotykovú rovinu (konkrétne rovnobežník)v bode Qij , krorý má predpis

ρij : X = Qij + (t− ti)~r′t(t, s) + (s− sj)~r′s(t, s)

Zostrojený dotykový rovnobežník ρij aproximuje plôšku σij a pri dostatočnejemnom delení zároveň pre ich obsahy platí

P (σij) ≈ P (ρij).

Z kapitoly xy vieme, že

P (ρij) = (ti+1 − ti)(sj+1 − sj)|~r′t × ~r′s| = |~r′t × ~r′s|∆ti∆sj .

Jednotkový normálový vektor v bode

~n(Qij) =

[~r′t × ~r′s|~r′t × ~r′s|

]Qij

Vzťah pre výpočet plošného integrálu dostaneme priamo z jeho definície∫∫σ

~f(x, y, z) d~σ = limn→∞

∑i,j

P (σij).~n ~f(Qij) = (M)

využitím normálnej postupnosti delení sa aproximáci P (σij) ≈ P (ρij) pre

10

n→∞ mení na rovnosť a teda

(M) = limn→∞

∑i,j

~f(Qij) ~n.P (ρij)

= limn→∞

∑i,j

~f(Qij) [~r′t × ~r′s|~r′t × ~r′s|

]Qij

.|~r′t × ~r′s|∆ti∆sj

= limn→∞

∑i,j

~f(~r(ti, sj)) (~r′t × ~r′s

)Qij

∆ti∆sj

v tomto vzťahu spoznávame limitu postupnostiintegrálnych súčtov pre dvojný integrál a preto

=

∫∫Ω

~f(~r(t, s)) (~r′t × ~r′s

)dtds

využitím vlastností zmiešaného súčinu vektorov

=

∫∫Ω

∣∣∣∣∣∣∣~f1(~r(t, s)) ~f2(~r(t, s)) ~f3(~r(t, s))

x′t(t, s) y′t(t, s) z′t(t, s)

x′s(t, s) y′s(t, s) z′s(t, s)

∣∣∣∣∣∣∣ dtds

Na základe uvedeného môžeme sformulovať vetu o výpočte plošného in-tegrálu.

Veta 1 Nech ~f(x, y, z) je spojitá vektorová funkcia definovaná na oriento-vanej jednoduchej hladkej ploche σ, ktorej parametrické vyjadrenie je

~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω,

Potom

∫∫σ

~f(x, y, z) d~σ = ±∫∫Ω

∣∣∣∣∣∣∣~f1(~r(t, s)) ~f2(~r(t, s)) ~f3(~r(t, s))

x′t(t, s) y′t(t, s) z′t(t, s)

x′s(t, s) y′s(t, s) z′s(t, s)

∣∣∣∣∣∣∣ dtds,

kde znamienko + resp. − platí σ ak je orientovaná súhlasne resp. nesúhlasnes parametrizáciou plochy.

Poznámka 4 Znamienko + (teda plocha je orientovaná súhlasne s paramet-rickým vyjadrením) platí ak

~n =

∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k

x′t(t, s) y′t(t, s) z′t(t, s)

x′s(t, s) y′s(t, s) z′s(t, s)

∣∣∣∣∣∣∣ .Príklad 1 Vypočítajte plošný integrál∫∫

σ

x dydz + y dxdz + z dxdy,

ak

σ : ~r(t, s) = t~ı + s~ + (ts+ 1)~k, (t, s) ∈ Ω = [0, 1]× [0, 1],

Plocha je orientovaná tak, že normálový vektor v každom bode plochy zvierás vektorom ~k ostrý uhol.

11

00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.81

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Obr. 1: Graf plochy σ

Riešenie: Použitím vety o výpočte dostávame

∫∫σ

x dydz + y dxdz + z dxdy = ±∫∫Ω

∣∣∣∣∣∣∣t s (ts+ 1)

1 0 t

0 1 s

∣∣∣∣∣∣∣ dtds = (♠)

Použili sme normálový vektor

~n = ~r′t × ~r′s =

∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k

1 0 t

0 1 s

∣∣∣∣∣∣∣ = (−t,−s, 1).

Keďže ~n ~k = 1 > 0, zvierá náš normálový vektor s vektorom ~k ostrý uhol ateda použijeme znamienko +. Preto

(♠) =

∫ 1

0

∫ 1

0(ts+ 1) dtds =

3

4

5.3 Gauss - Ostrogradského veta

Veta 2 Nech σ je uzavretá, jednoduchá, hladká plocha, orientovanej nor-málovým vektorom smerom von. Nech A ⊂ R3 je množina skladajúca sazo všetkých bodov plochy σ aj jej vnútra. Nech ~f(x, y, z) aj div ~f(x, y, z) súspojité na A. Potom platí

~r(t, s) = x(t, s)~ı + y(t, s)~ + z(t, s)~k, (t, s) ∈ Ω,

Potom ∫∫σ

~f(x, y, z) d~σ =

∫∫∫A

div ~f(x, y, z) dxdydz

=

∫∫∫A

(∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

)dxdydz.

12

Dôkaz. Overíme platnosť nasledujúcich troch rovností∫∫σ

f1(x, y, z) dydz =

∫∫∫A

(f1)′x dxdydz

∫∫σ

f2(x, y, z) dxdz =

∫∫∫A

(f2)′y dxdydz

∫∫σ

f3(x, y, z) dxdy =

∫∫∫A

(f3)′z dxdydz

-

6

σ1

σ2B

~n

QQQs~n

Obr. 2: Graf plochy σ = σ1 ∪ σ2

Plochu σ rozdelíme na dve plochy, σ = σ1 ∪ σ2 (viď obrázok), kde

σ1 : z = ψ(x, y), (x, y) ∈ B

a normálový vektor tejto plochy zviera s vektorom ~k ostrý uhol a

σ2 : z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ B

Počítajme plošný integrál∫∫σ

f3(x, y, z) dxdy =

∫∫σ1

f3(x, y, z) dxdy +

∫∫σ2

f3(x, y, z) dxdy = (M)

Využitím nasledujúcej parametrizácie

σ1 : x = xy = y (x, y) ∈ B,z = ψ(x, y)

σ2 : x = xy = y (x, y) ∈ B,z = ϕ(x, y)

a vety o výpočte plošného integrálu dostávame

(M) =

∫∫B

∣∣∣∣∣∣∣0 0 f3(x, y, ψ(x, y))

1 0 ψ′x

0 1 ψ′y

∣∣∣∣∣∣∣ dxdy

−∫∫B

∣∣∣∣∣∣∣0 0 f3(x, y, ϕ(x, y))

1 0 ϕ′x

0 1 ϕ′y

∣∣∣∣∣∣∣ dxdy

13

a teda

(M) =

∫∫B

f3(x, y, ψ(x, y)) dxdy −∫∫B

f3(x, y, ϕ(x, y)) dxdy.

Ďalej počítajme trojný integrál∫∫∫A

∂f3

∂zdxdydz = ()

po množine A danej

A : ϕ(x, y) ≤z ≤ ψ(x, y)

(x, y) ∈ B,

preto

() =

∫∫B

ψ(x,y)∫ϕ(x,y)

∂f3

∂zdz

dxdy =

∫∫B

f3(x, y, ψ(x, y)) dxdy

−∫∫B

f3(x, y, ϕ(x, y)) dxdy = (M)

Tým sme dokázali požadovanú rovnosť.

Príklad 2 Vypočítajte plošný integrál∫∫σ

x dydz + y dxdz + z dxdy

ak σ je povrch guľovej plochy A : (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 ≤ 1orientovanej normálou von.

Riešenie: Použitím G.-O. vety dostávame

∫∫σ

x dydz + y dxdz + z dxdy = 3

∫∫∫A

1 dxdydz = 3V (A) = 4π

Príklad 3 Vypočítajte plošný integrál∫∫σ

x2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy

ak σ je povrch kocky A = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] orientovaného normálou von.Riešenie: Použitím G.-O. vety dostávame

∫∫σ

x2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy = 2

∫∫∫A

(x+ y + z) dxdydz

trojný integrál je výhodné riešiť pomocou súradníc ťažiska= 2 (xT + yT + zT )V (A) = 3

14