1 Semi-conducteur à léquilibre. 2 Semi-conducteurs à léquilibre Dopage des semi-conducteurs...
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1
Semi-conducteur à l’équilibre
2
Semi-conducteurs à l’équilibre
Dopage des semi-conducteurs Semi-conducteur intrinsèque Le dopage n et p Calcul de la densité de porteurs extrinsèques Semi-conducteur compensé
3
Semi-conducteurs
Structure en bandes d’énergie: Bande de valence: c’est
la dernière bande remplie à T=0K
Bande de conduction: c’est la bande immédiatement au dessus et vide à T=0K
4
Notion de trous (+e !)
La notion de bandes permet d’introduire le porteur de charge positif : un trou
Aux températures différentes de 0 K, électrons « montent » dans BC, laissent des « trous » dans la BV
5
Conduction bipolaire
La présence d’électrons et trous entraîne une conduction bipolaire dans les SC
On peut privilégier une conduction par le dopage du semi-conducteur, ie l’introduction d’impuretés
E externe
6
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
7
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
8
Densité de porteurs dans les bandes
Fonction de Fermi:
Densité d’états:
Densité de porteurs:
Eg
kTFEEeEf /)(1
1)(
2/1
2/3
2
*
2)(
2
2
1)( C
cC EE
mEN
2/1
2/3
2
*
2)(
2
2
1)( EE
mEN V
vv
CE
nC dEEfENn ).().(
VE
pv dEEfENp ).().(
9
Densité de porteurs dans les bandes Approximation de Boltzmann:
Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du minimum de la bande de conduction ou du maximum de la bande de valence, on peut simplifier la fonction de distribution:
kTEEeEnf F/)()( kTEE
eEpf F/)(
)(
10
Densité de porteurs dans les bandes
Dans ces conditions (Boltzmann), la densité de porteurs libres s’écrit: Dans la bande de conduction (électrons):
Dans la bande de valence (trous):
)exp(kT
EENn FC
C
)exp(kT
EENp vF
v
avec
2/3
2
*22
h
kTmN C
C
2/3
2
*22
h
kTmN v
vavec
11
Loi d’action de masse np=ni2
Dans un semi-conducteur intrinsèque, la densité de trous est égale à la densité d’électrons:
En faisant n=p, on obtient le niveau de Fermi intrinsèque:
22/3**3
2)exp()(
24 i
ghe nkT
Emm
kTnp
)ln(22 V
CVCFii N
NkTEEEE
12
Semi-conducteur intrinsèque Variation
exponentielle de la densité de porteurs
Si ni>1015cm-3, le matériau inadapté pour des dispositifs électroniques.
SC à grands « gap »Type SiC, GaN, Diamant
Remarque: Le produit np est
indépendant du niveau de Fermi
Expression valable mêmesi semi-conducteur dopé
Introduction du dopage
13
Dopage: introduction de niveau énergétique dans le gap
Dopage type n Dopage type p
14
Dopage d’un SC: type n
15
Dopage d’un SC: type p
16
Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction de la température
3 régimes:• Extrinsèque • Épuisement des donneurs• Intrinsèque
Tous les « donneurssont ionisés
17
Calcul de la position du niveau énergétique Ed ou Ea
Le problème « ressemble » au modèle de l’atome d’hydrogène
Introduction du Rydberg « modifié » :
2
0
0
*
6.13
m
mEE Cd
eVn
emEn 222
0
4
0 6.13
)4(2
Exemple de dopants et leurs énergies
18
Densité de porteurs extrinsèques:
nb d’électrons différents du nb de trous
Mais loi d’action de masse toujours valable, avec n.p=cte (sauf si dopage trop élevé).
Pour déterminer ces concentrations (n et p), on écrit la neutralité électrique du système.
0 npn
cstenpn i 2.
22 )( iAD nnNNn DA NpNn
19
Densité de porteurs extrinsèques: Semi-conducteurs type n (ND>NA):
Dans la pratique (ND, NA, et ND – NA >> )ni si bien que:
21
22
21
22
4)(2
1
4)(2
1
iADAD
iADAD
nNNNNp
nNNNNn
)/(2ADi
AD
NNnp
NNn
20
Niveau de Fermi dans un SC dopé Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de
Boltzmann reste valable: Type n et p respectivement
Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:
)exp(
)exp(
kT
EENNNp
kT
EENNNn
VF
VDA
FCCAD
p
n
))/(ln(
))/(ln(
DAVVF
ADCCF
NNNkTEE
NNNkTEE
p
n
21
Différence Ef - Efi
Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et Nv, on peut écrire:
type n
type p
i
dif n
NkTEE ln
i
afi n
NkTEE ln
Fie
22
Différence Ef - Efi
On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous à l’équilibre par:
kTe
i
kTEE
i
kTe
i
kTEE
i
FiFiF
FiFiF
enenp
enenn//)(
//)(
avec:
0
0
FiFFi
FiFFi
EEe
EEe
type n
type p
Équations de Boltzmann
23
Semi-conducteurs dégénérés: approximation de Joyce –Dixon
Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est plus valable pour le calcul: soit de n et p soit de la position du niveau de Fermi:
on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:
VVV
CCCF N
p
N
pkTE
N
n
N
nkTEE
8
1ln
8
1ln
24
Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
En fonction de la température, le niveau d’impureté est plus ou moins peuplé. Supposons un SC « avec » ND donneurs et NA accepteurs (ND>NA) À T=0K
BV =>pleine EA => NA électrons ED => ND-NA électrons BC => vide
25
Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
À température non nulle: les électrons sont redistribués mais leur nombre reste constant !!!. L’équation de neutralité électrique permet de connaître leur répartition:
Aai
Ddi
Npnp
Nnnn
)(
)(aADd ppNNnn
n, p : électrons (trous) libres dans BC (BV)
nd (pa): électrons (trous) liés aux donneurs (accepteurs)
26
Fonction de distribution des atomes d’impuretés – Principe d’exclusion de Pauli
Comparaison de l’image « chimique » et de la description en « bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:
« liaison chimique »Atome donneur atome Si +noyau chargé positivement.
« Bande d’énergie »Cristal parfait + puits de potentiel
attractif sur un site du réseau
Mécanique quantique(électrons indépendants)
Niveau énergétique Ed dans le gap sous Ec doublement
dégénéré (spin up et down)
Interaction Coulombienne+ écrantage du noyau: Ed
diminue
Le deuxième électron « s’échappe » : occupation
du niveau par un seul électron
27
Probabilité d’occupation du niveau d’impureté
Proba d’occupation et nb d’électrons sur Ed:
Proba de non occupation et nb de trous sur Ea:
)exp2
11(
kT
EEf fd
n
kT
EEN
nfd
dd
exp21
1
)exp4
11(
kT
EEf af
p
kT
EEN
paf
aa
exp41
1
28
Niveau « donneur »:le facteur 1/2 Atome de Phosphore (col V):
États élecroniques 3s² 3p3 : 2e s et 2e p participent aux liaisons 1e sur le niveau ED (le 5° !)
il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down
Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut capturer un spin up ou down => le mécanisme (la proba.) de capture est augmenté / à l’émission.
)()( EfEfD
29
Semi-conducteur fortement dopé
Si dopage trop important, les impuretés se « voient » ( rayon de Bohr 100 angstroms)
le niveau d’énergie associé s’élargit Un effet important est la diminution du
« Gap » du SC et donc ni augmente!!:
meVKT
NE d
g
2/1
18 )(
300
105.22
pour le Silicium
30
Semi-conducteurs hors équilibre
31
Plan:
Recombinaison et génération Courants dans les SC Équation de densité de courants Équations de continuité Longueur de Debye Équation de Poisson Temps de relaxation diélectrique
32
Phénomènes de Génération - Recombinaison
Loi d’action de masse: À l’équilibre thermodynamique: Hors équilibre: apparition de phénomènes de
Génération - Recombinaison création ou recombinaison de porteurs :
Unité [g]=[r]=s-1cm-3
Taux net de recombinaison:
rgrggrg th ''' avecthgrr '
externe interne
2
innp
33
Différents chemins
Génération bande à bandeGénération depuis
état lié
34
Recombinaison: 2 « chemins » possibles (1)
Recombinaison directe électron-trou Processus fonction du nombre d’électron et de trous
Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection ( ie )
En régime de faible injection le nombre de porteurs majoritaires n’est pas affecté.
p
p
pr
n
n
nr
ppp 0 00 nnnn 0npn
35
Recombinaison: 2 « chemins » possibles (2)
Recombinaison par centres de recombinaison: En général ces centres se trouvent en milieu de
bande interdite Le taux de recombinaison s’écrit:
Où est caractéristique du centre recombinant Si les 2 processus s’appliquent:
npn
nnpr
i
i
m
2
1 2
m
)(
111
pnm
Équation de Shockley-Read
36
Recombinaison: 2 « chemins » possible (2)
Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR
Si semi-conducteur dopé n:
Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE) p
p
pr
Avec pm
111
02
m
inr
Taux net de génération.
Création de porteurs
37
Excitation lumineuseTy
pe P
38
Recombinaison radiative ou non
39
Recombinaisons de surface
40
Courants dans les SC
Courant de conduction: présence de champ électrique Si E=0, vitesse des électron=vitesse
thermique (107 cm/s) mais => vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau + impuretés.
Libre parcours moyen (« mean free path »):o
A100. vthl ps1.0
41
Courants dans les SC Courant de conduction: présence de champ
électrique Entre deux chocs, les électrons sont accélérés
uniformément suivant Accélération:
Vitesse:
Mobilité:
*/ mqE
E
µEmqEv */
*/ mqµ Si : 1500 cm2/VsGaAs: 8500 cm2/VsIn0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs
42
Courants dans les SC La densité de courant de conduction
s’écrit: Pour les électrons:
Pour les trous:
Pour l’ensemble:
EneµvneJ nnnc
EpeµvpeJ pppc
EpeµneµJJJ pnpntotalc )(
43
Courants dans les SC Importance de la mobilité sur les
composants Mobilité la plus élevée possible => vitesse plus grande pour un même E Facteurs limitants:
Dopage Défauts (cristallins, structuraux, …) Température Champ électrique de saturation + géométrie
44
Courants dans les SC Vitesse de saturation des électrons
La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour: Champ électrique pas trop élevé Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
Sinon: Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée. Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
45
Vitesse de saturation
Différents comportement en fonction du SC
Survitesse(« overshoot »)
46
Courants dans les SC Courant de diffusion:
Origine: gradient de concentration Diffusion depuis la région de forte
concentration vers la région de moindre []. 1° loi de Fick:
dx
dpDp
dx
dnDn
p
x
D
n
x
D
nb d’e- qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
nb de h+ qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
47
Courants dans les SC Courant de diffusion: somme des deux
contributions (électrons et trous):
Constante ou coefficient de diffusion
[ ]=cm2/s.
dx
dpeD
dx
dneDpneJ pn
x
D
x
Ddiff )(
pnD ,
48
Courants dans les SC Courant total: somme des deux contributions (si elles
existent) de conduction et diffusion:
D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe une relation entre eux: relation d’Einstein:
)()(dx
dpD
dx
dnDeEpeµneµJ
JJJJJ
pnpnT
pndiffcondT
e
kT
µ
D
49
Équations de continuité – longueur de diffusion
G et R altèrent la distribution des porteurs donc du courant
GRe
x
dx
xdJA
dt
txdnxA
GRe
xJ
e
xxJA
dt
txdnxA
n
nn
)(),(
)()(),(
On obtient alors les équations de continuité pour les électrons et les trous:
nnn gr
dx
dJ
edt
txdn
1),(pp
p grdx
dJ
edt
txdp
1),(
50
Équations de continuité – longueur de diffusion
Exemple: cas où le courant est exclusivement du à de la diffusion:
dx
dpeDdiffJ
dx
dneDdiffJ
pp
nn
)(
)( n
n
nn
dx
ndD
dt
dn
0
2
2
p
p
pp
dx
pdD
dt
dp
0
2
2
51
Équations de continuité – longueur de diffusion En régime stationnaire, les
dérivées par rapport au temps s’annulent:
Solutions:
200
20
2 )(
nnn L
nn
D
nn
dx
nnd
200
20
2 )(
ppp L
pp
D
pp
dx
ppd
nLxennxnxn /
0 )0())(()(
Longueur de diffusion: représente la distance moyenne parcourue avant que l’électron ne se recombine avec un trou (qq microns voire qq mm)
Ln ou Lp >> aux dispos VLSI R et G jouent un petit rôle sauf
dans qq cas précis (Taur et al)
nnn DL ppp DL
52
Équation de Poisson
Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le potentiel électrique et la densité de charge:
Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles): sc
x
dx
dE
dx
Vd
)(
2
2
)()()()(2
2
xNxNxnxpe
dx
VdAD
sc
Charge mobiles (électrons et trous)
Charges fixes(dopants ionisés)
53
Longueur de Debye
Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en
exprimant n en fonction de :
Si Nd(x) => Nd+DNd(x) , alors FFi est modifié de DFFi
Fi
kTeid
sc
Fi FienxNe
dx
d /2
2
)(
en remarquant que: V(x)=FFi +cte
)(2
2
2
xNe
kT
Ne
dx
dd
scFi
sc
dFi
54
Longueur de Debye
Signification physique? Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique non réalisée)
DFi L
xA exp
D
scD Ne
kTL
2
avec
55
Temps de relaxation diélectrique
Comment évolue dans le temps la densité de porteurs majoritaires ? Équation de continuité (R et G négligés):
x
J
et
n n
1
nn EEJ /scen
x
E /
or et
d’où
scn
n
t
n
Solution: )/exp()( scnttn
scn Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)