1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. ·...
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1. Regulador PID 1. Regulador PID ____________________________________________________1
1.1. Introducción ____________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Discretización ___________________________________________________________________________________________________________ 4
1.2.1. Operador Derivada ________________________________________________________________________________________________________________4 1.2.2. Discretización por Partes____________________________________________________________________________________________________________5
1.3. Efecto Windup___________________________________________________________________________________________________________ 6 1.4. Efecto Bumpless _________________________________________________________________________________________________________ 8 1.5. Ajuste del PID__________________________________________________________________________________________________________ 10
1.5.1. Relación entre ambos métodos:______________________________________________________________________________________________________12 1.5.2. Método de Asignación de Polos._____________________________________________________________________________________________________16 1.5.3. Realimentación con Relé___________________________________________________________________________________________________________21
1.6. Control con Modelo Interno (IMC)_________________________________________________________________________________________ 22 1.6.1. Paradigma de diseño para IMC ______________________________________________________________________________________________________28 1.6.2. Diseño de F _____________________________________________________________________________________________________________________30 1.6.3. Realización del Controlador IMC ____________________________________________________________________________________________________34 1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden ________________________________________________________________________________________36
2
1.1. Introducción
El regulador más usado es el PID
di t
1 de(t)u(t) = K [ e(t) + e(s) ds + ]TdT
∫ (1.1)
La acción proporcional es el control por realimentación más simple Por ejemplo
AY(s) = U(s)1 + sT
(1.2)
Si se lo realimenta con un regulador P resulta K A K A
1 + s 1 + K AY(s) = R(s) = R(s)K A1 + 1 + s1 + s 1 + K A
ττ
τ
(1.3)
El segundo término de la ecuación (1.1) muestra que esta acción es proporcional a la integral del error.
3
Este factor dejará de integrar solo cuando el error sea nulo que es el objetivo buscado. El término D es utilizado para mejorar los transitorios del sistema y el comportamiento
frente a perturbaciones. En muchos controladores comerciales se hace una modificación a este aporte
definiéndolo como:
ddy(t)D = - K T dt
(1.4)
Otra modificación
1d
dd
sTsT sTN
≈+
(1.5)
con 3 20N ≈ , que limita el efecto en altas frecuencias En definitiva, el regulador resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1
1d
di
sTU s K bR s Y s R s Y s Y ssTsTN
= − + − − +
(1.6)
4
1.2. Discretización
1.2.1. Operador Derivada
( )10
kd
k k j k kji
T T = K e e e e u T T −=
+ + −
∑ (1.7)
( )k-1
k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0
= + e eu k e k e k + -
∑ (1.8)
( )k k-1 p k k-1 i k d k k-1 k-2 - = - + + - 2 + u u k e e k e k e e e (1.9)
( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.10)
-1 -2
-1
U(z) + + z z = E(z) 1 - z
α β γ (1.11)
5
1.2.2. Discretización por Partes
( ) ( ) ( )( )P t K br t y t= − (1.12)
( ) ( ) ( )( )P kT K br kT y kT= − (1.13)
( )( ) ( ) ( )1i
KTI k T I kT e kTT
+ = + (1.14)
( )dd
dy tT dD D KTN dt dt
+ = − (1.15)
diferencia hacia atrás
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1d d
d d
T KT ND kT D k T y kT y kT NT T NT
= − − − −+ +
(1.16)
Esta aproximación es siempre estable y el polo derivativo tiende a cero con 0dT →
El control total es la suma de los tres términos
( ) ( ) ( ) ( )u kT P kT I kT D kT= + + (1.17)
6
1.3. Efecto Windup Antireset wind up. satura el término integral
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
Actuador
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
7
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
ActuadorModelo
8
1.4. Efecto Bumpless efecto Bumpless evita acciones bruscas de control al pasar de manual a automático.
Manual
u
PDy
es1
rT
-
+
e
+
r
Actuaciónmanual
1
rT1s
1s
1
rT
1
mT
Auto
-
Ilustración 1-1 Pid con Efecto Bumpless
9
( )k k k-1-1
k k k
= k + u e u1 - 1 - z
z - 1 + = k 1 + = k u e ez - 1 z - 1
αα
α α
(1.18)
( ) k
-1
k m-1
z = b u1 - 1 - z
αα
(1.19)
k k-1 k k-1
k m
= + - u u e e= en manualu u
α
(1.20)
10
1.5. Ajuste del PID Ziegler-Nichols (1942) en frecuencia
Controlador
Kp Ti Td
P 0,5 cK
PI 0,45 cK 0,833 ct
PID 0,6 cK 0,5 ct 0,125 ct Tabla 5-II Regulador PID en cadena cerrada
amortiguamiento ¼
11
Ziegler-Nichols de lazo abierto
Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto
Controlador
Kp Ti Td
P 1a
PI 0,9a 3L
PID 1,2a 2L 0,5L
Tabla 5-II Regulador PID en cadena abierta
12
Estos valores se obtienen de los de la 1ª regla haciendo
c
c
2K a
= 4 Lt
= (1.21)
El criterio de optimización es el mismo que para la 1ª regla.
1.5.1. Relación entre ambos métodos:
-sTbG(s) = es (1.22)
respuesta al escalón: L = T
a = bT (1.23)
de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será
i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2
(1.24)
método de respuesta en frecuencia
13
c
c
= 4Tt
= k 2bTπ (1.25)
De acuerdo a esto, el regulador PID será:
i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2
π≈ (1.26)
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- Interpretación
( )
dr c c cic
cc c
c c
c
1(i ) = 0.6 1 + j - G k TT
2 2t = 0.6 1 + j 0.12 - k t2t t
= 0.6 + 0.26 j k
ω ωω
ππ
(1.27)
es un avance de 23
- Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto
pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.28)
queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )
sB = er π φ (1.29)
mediante un regulador rj
rr(j ) = G er φω (1.30)
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Podríamos hacer el diseño por el método de margen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un margen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:
s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ
(1.31)
entonces el regulador será:
sr
p
r s p
r = rr
= - φ φ φ
(1.32)
la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p
pp
( - )r = kr
φ φ (1.33)
el ángulo estará dado por
tand s pi
1 - = ( - )T Tω φ φ
ω (1.34)
16
1.5.2. Método de Asignación de Polos. sistema de primer órden
pp
1
k = G 1 + s T (1.35)
regulador PI
ri
1 = K 1 + GsT
(1.36)
resultando un sistema de segundo órden en lazo cerrado
p rc
p r
G G = G 1 + G G (1.37)
la ecuación característica será
p p2
1 1 1 i
K K1 k k + s + + = 0s T T T T
(1.38)
y nuestra condición de diseño dice
17
2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.39)
el regulador PI resulta
1
p
1i 2
1
2 - 1TK = k
2 - 1T = T T
ξ ω
ξ ωω
(1.40)
se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden
- Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden
21 2
1 2
A(z) = + z + a azB(z) = z + b b
(1.41)
regulador PI
18
r
1
S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R
(1.42)
una forma genérica sería 2
0 1 2
1
S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r
(1.43)
la ecuación característica será 2
11 2
21 2 0 1 2
( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz
(1.44)
que es de cuarto órden. Se podría especificar un denominador como,
2- h 21 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω
(1.45)
donde
19
cos 2- h1
-2 h2
= - 2 ( h 1 - )p e = p e
ξω
ξω
ω ξ (1.46)
Ejemplo:
p1(s) = G
( 1 + s )( 1 + 0.26 s ) (1.47)
si el período de muestreo es h = 0.1 seg.
p 2
0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.48)
condición de diseño:
= 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.49)
P será 2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.50)
reemplazando
20
1
0
1
2
= -0.407r = 6.74s
= - 9.89s = 3.61s
(1.51)
21
1.5.3. Realimentación con Relé Desarrollando en serie de Fourier la salida de un relé, su primer armónico tiene una
amplitud de:
r4d = Aπ
(1.52)
si la amplitud de la salida es a, la ganancia a esa frecuencia será
c
2 aG j = -4dt
π π
(1.53)
22
1.6. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
la salida es
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.54]
si el modelo es perfecto,
23
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.55]
el IMC se puede mostrar como
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
24
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+++
C
u
ˆ1QCQG
=−
r G
y
od
e+
−
+
+
El control es diseñado en base al modelo de la planta
( )ˆC C G= [1.56]"
25
Es muy intuitivo
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
está relacionado con el concepto de predictor de Smith
26
Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q?
¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.57]
( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.58]
ˆ1ˆ ˆ o
G Gy r dG G
= + −
[1.59]
1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.60]
con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto
27
Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables
28
1.6.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige
ˆinvQ FG= [1.61]
siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G
y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.
ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)
Si se toma esta condición de diseño se obtiene
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.62]
( ) ( )ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv
oinv inv
FG G FG Gy r dFG G G FG G G
−= +
+ − + − [1.63]
suponiendo que
29
ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.64]
resulta
( )1 oy Fr F d≈ + − [1.65]
recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G
si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=
si no es el caso se hace una separación
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆe iB s B s B s
G sA s A s
= = [1.66]
( )ˆeB s contiene los ceros estables y
( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase
se elige
( ) ( )( ) ( )( )
0
ˆˆ
ˆ ˆinv
e is
A sG s
B s B s=
= [1.67]
30
se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s
no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)
1.6.2. Diseño de F
( )1 oy Fr F d≈ + − [1.68]
F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:
- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta
Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre
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Generalmente F se elige de la forma
( )1
1 pFsβ
=+
[1.69]
se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual número
de polos y ceros. Por ejemplo
( ) 1ˆ2 1
G ss
=+
, 1
1F
sβ=
+,
2 1ˆ1inv
sQ FGsβ+
= =+
[1.70]
( ) 2
5ˆ2 1
sG ss s
−=
+ +, ( )
2 2 1ˆ5inv
s sG s + +=
−,
( )21
1F
sβ=
+,
( )
2
22 1ˆ
5 1inv
s sQ FGsβ
+ += =
− + [1.71]
32
β pequeño => F rápido
β grande => F lenta
Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición
β se convierte en un potenciómetro de diseño
Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.
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step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1]))
Time (sec.)
Am
plitu
de
Step Response
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1From: U(1)
To: Y
(1)
34
1.6.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
en la forma "PID" clásica
u
PIDCr G
y
od
e+
−
+
+
35
de donde se deduce que
ˆ1PIDQCQG
=−
[1.72]
Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo
Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β
- se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropiadas.
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1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta
ˆˆˆ 1
KGsτ
=+
[1.73]
el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.74]
ˆ 1ˆˆinv
sGK
τ += ,
11
Fsβ
=+
[1.75]
ˆinvQ FG= [1.76]
el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv
inv
FGQ sCsK sQG FG G G
τββ
+= = = =
− − [1.77]
en el caso de un PI paralelo
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pp i
PI pKC C Ks
= = + [1.78]
eligiendo ˆ
ˆppK
Kτβ
= ,1ˆ
piK
Kβ= [1.79]
dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆPIsC
K K s K sτ τβ β β
+= + = [1.80]
Resumen:
- encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β
Recordar que con β pequeños se obtiene
- rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia
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- actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo
% Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1;
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% PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1);
40
for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);
41
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4