1 PRORAČUN PLOČE POS 101 - imksus.grf.rsimksus.grf.rs/nastava/beton/MTI HVE PZA/BETONSKE...
Transcript of 1 PRORAČUN PLOČE POS 101 - imksus.grf.rsimksus.grf.rs/nastava/beton/MTI HVE PZA/BETONSKE...
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/1
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
1 PRORAČUN PLOČE POS 101 - varijanta: ploča direktno oslonjena na stubove, bez kapitela -
Dimenzionisati ploču na skici, direktno oslo-njenu na 16 stubova visine 4.0 m. Ploča je, pored sopstvene težine, opterećena i dodat-nim stalnim opterećenjem ∆g = 2 kN/m2 i po-vremenim opterećenjem p = 5 kN/m2, koja deluju po čitavoj površini ploče. Kvalitet mate-rijala: MB 30, RA 400/500.
1.1 USVAJANJE DEBLJINE PLOČE Obično je kriterijum za usvajanje debljine ploče vertikalno pomeranje (ugib). Proračun ugiba ploče se uglavnom sprovodi nekim računarskim programom (npr. Tower i slično). Kako ne postoji jednostavno tablično rešenje, u odsustvu odgovarajućeg softvera se smat-ra da je ugib u dopuštenim granicama ukoliko su zadovoljene odredbe člana 222 Pravilnika BAB 87:
cm117cm15
cm11735
60035
Ldp ..max
min, =
==≥
Zbog nešto većeg povremenog opterećenja, pretpostavlja se dp = 20 cm.
1.2 ANALIZA OPTEREĆENJA
a. stalno opterećenje - sopstvena težina ploče dp×γb = 0.20×25 = 5.0 kN/m2 - dodatno stalno opterećenje ∆g = 2.0 kN/m2
ukupno, stalno opterećenje g = 7.0 kN/m2
b. povremeno opterećenje p = 5.0 kN/m2
1.3 PRORAČUN STATIČKIH UTICAJA
1.3.1 Podužni pravac Kako je odnos ortogonalnih raspona ploče:
331210506
LL750
y
x ..... <==<
a ploča opterećena jednako podeljenim opte-rećenjem, proračun se može sprovesti približ-nim postupkom, metodom zamenjujućih konti-nualnih grednih nosača - traka (član 219. PBAB 87). Za širinu trake se uzima osovinsko rastojanje stubova upravnog pravca, a za vi-sinu trake debljina ploče. Proračun se spro-
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
L 2=2.5
mL y
=5.0
m
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/2
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
vodi za dva ortogonalna pravca, uzimajući u oba slučaja ukupno opterećenje.
Kontinualni nosači u dužem pravcu su raspona 3×6.0 m i širine Ly = 5.0 m u osama B i C, a širine Ly /2 = 2.5 m u osama A i D. Ukupno opterećenje na jedan srednji nosač je:
gx* = g×Ly = 7.0×5.0 = 35 kN/m px* = p×Ly = 5.0×5.0 = 25 kN/m
Dijagrami momenata savijanja, transverzalnih sila i vrednosti reakcija oslonaca za kontinu-alni nosač preko tri jednaka raspona, opterećen jednako raspodeljenim opterećenjem u svim poljima, prikazani su na narednoj skici:
gx*=g×Ly ; px*=p×Ly
0.4 0.5 0.6
0.6 0.5 0.4
0.4×L
L0 = 0.8×L
0.276×L
L0 = 0.447×L
0.2×L0.476×L
0.276×L 0.2×L0.476×L
0.5×L 0.6×L
0.1 0.1
0.08
0.025
L0 = 0.8×L
0.4×L 0.4×L
L L
M
T
(× qL)
(× qL2)
(× qL)
0.4×L0.4×L 0.08
A = 25 B = 1110 A = 25B = 11
10L = Lx
Ukupne vrednosti momenata savijanja za nosač širine Ly = 5.0 m usled stalnog, povreme-nog i graničnog (1.6×g+1.8×p) opterećenja su prikazani tabelarno.
Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:
G1 = G4 = 0.4×35×6.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×35×6.0 = 231 kN
P1 = P4 = 0.4×25×6.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×25×6.0 = 165 kN
Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).
Kako su ivične trake (ose A i D) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.
Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Ly = 5.0 m se raspodeljuju na:
k G P U k×gx*×Lx
2 k×px*×Lx2 1.6×G+1.8×P
– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 100.8 72 290.9
oslonac -M1 0.1 126 90 363.6 srednje polje M1-2 0.025 31.5 22.5 90.9
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/3
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
- traku u polju (P), širine 0.60×Ly = 0.6×5.0 = 3.0 m i
- traku preko stubova (S), širine 0.40×Ly = 0.4×5.0 = 2.0 m
Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Ly = 1.0 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na osu stubova, prema skici:
Lx=6.0
B
432
Lx=6.0
1.5
L y=5
.0
1.0
1.5
0.5
0.5
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2
L y /
2L y
/ 2
1
Lx=6.0
Ukupno sračunati momenti savijanja za nosač širine Ly se raspoređuju na sledeći način:
B
P2
S22 S1
P2
S22
1.5 0.5 1.0 0.5 1.5
Ly = 5.0
B
P2
S22 S1
P2
S22
1.5 0.5 1.0 0.5 1.5
Ly = 5.0
raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama
Mx,
osl
1.25
×Mx,
p
Mx,
p
2.1×
Mx,
osl
1.4×
Mx,
osl
0.5×
Mx,
osl
1.25
×Mx,
p
0.84
×Mx,
p
raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama
gde su upotrebljene oznake:
y
oslxoslx
LM
M ,, = ; odnosno
y
pxpx
LM
M ,, =
za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Ly.
1.3.2 Poprečni pravac Kontinualni nosači u kraćem pravcu su ras-pona 3×5.0 m i širine Lx = 6.0 m u osama 2 i 3, a širine Lx /2 = 3.0 m u osama 1 i 4. Ukup-no opterećenje na srednje nosače je:
gy* = g×Lx = 7.0×6.0 = 42 kN/m py* = p×Lx = 5.0×6.0 = 30 kN/m
dok su vrednosti opterećenja za ivične nosa-če dvostruko manje.
Ukupne vrednosti momenata savijanja za no-sač širine Lx = 6.0 m usled stalnog, povreme-nog i graničnog (1.6×g+1.8×p) opterećenja su prikazani tabelarno.
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
L2=3.0 mLx=6.0 m
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/4
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
gy*=g×Lx ; py*=p×Lx
0.40.5
0.6
0.60.5
0.4
0.4×L
L0 = 0.8×L
0.276×L
L0 = 0.447×L
0.2×L0.476×L
0.276×L 0.2×L0.476×L
0.5×L 0.6×L
0.1 0.1
0.08
0.025
L0 = 0.8×L
0.4×L 0.4×L
L L
M
T
(× qL)
(× qL2)
(× qL)
0.4×L0.4×L0.08
A = 25 B = 1110 A = 25B = 11
10
L = Ly
Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Lx = 6.0 m se raspodeljuju na:
- traku u polju (P), širine 0.60×Lx = 0.6×6.0 = 3.6 m i
- traku preko stubova (S), širine 0.40×Lx = 0.4×6.0 = 2.4 m
Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Lx = 1.2 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na ose stubova, prema skici:
Ly=5.0
2
DCBA
Ly=5.0 Ly=5.0
1.8
L x=6
.0
1.2
1.8
0.6
0.6
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2
L x /
2L x
/ 2
Raspodela ukupnih momenata savijanja na trake u polju i preko stubova je analogna raspodeli u podužnom pravcu, s tim da su širine traka date u odnosu na raspon Lx.
k G P U k×gy*×Ly
2 k×py*×Ly2 1.6×G+1.8×P
– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 84 60 242.4
oslonac -M1 0.1 105 75 303 srednje polje M1-2 0.025 26.3 18.8 75.8
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/5
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
2
P2
S22 S1
P2
S22
1.8 0.6 1.2 0.6 1.8
Lx = 6.0
My,
osl
2
P2
S22 S1
P2
S22
1.8 0.6 1.2 0.6 1.8
1.25
×My,
p
Lx = 6.0
My,
p
2.1×
My,
osl
1.4×
My,
osl
0.5×
My,
osl
1.25
×My,
p
0.84
×My,
p
raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama
raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama
gde su u ovom slučaju upotrebljene oznake:
x
oslyosly
LM
M ,, = ; odnosno
x
pypy
LM
M ,, =
za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Lx.
Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:
G1 = G4 = 0.4×42×5.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×42×5.0 = 231 kN
P1 = P4 = 0.4×30×5.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×30×5.0 = 165 kN
Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).
Kako su ivične trake (ose 1 i 4) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.
1.3.3 Sile u stubovima – konačno
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
G=84
G=42
G=231
G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30
G=84P=60P=60 P=165
G=42 G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30
G=231
G=115.5P=82.5
P=165
G=115.5P=82.5
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
G=1
15.5
P=82
.5G
=42
P=3
0G
=42
P=3
0G
=115
.5P=
82.5
G=2
31P
=165
G=8
4P
=60
G=8
4P
=60
G=2
31P
=165
G=1
15.5
P=82
.5G
=42
P=3
0G
=42
P=3
0G
=115
.5P=
82.5
G=84 G=231 G=84P=60P=60 P=165
G=231P=165
G=2
31P
=165
G=8
4P
=60
G=8
4P
=60
G=2
31P
=165
PODUŽNI PRAVAC POPRECNI PRAVAC
Može se uočiti da se u pojedinim stubovima dobijaju različite sile pri proračunu podužnih i poprečnih traka (vrednosti sila ispisane vodoravno, odnosno uspravno na skici). Ovo je posledica primene približnog postupka, koji polazi od pretpostavke da su SVI zamenjujući kontinualni nosači iste širine, što naprosto ne odgovara stvarnom stanju. Stvarne reakcije prvih unutrašnjih oslonaca su oko 10% veće od vrednosti dobijenih približnim postupkom, što se može uočiti na primerima urađenom nekim računarskim programom. Bez daljeg elaboriranja, u slučaju dobijanja različitih sila u stubovima proračunom podužnog, odnosno poprečnog kontinualnog nosača ili rama, po pravilu se usvajaju veće dobijene vrednosti.
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/6
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
Konačno usvojeno za sve stubove: - srednje: G = 231 kN ; P = 165 kN (stubovi B2,B3, C2,C3) - ivične: G = 115.5 kN ; P = 82.5 kN (stubovi A2,A3, D2,D3, B1,C1, B4,C4) - ugaone: G = 42 kN ; P = 30 kN (stubovi A1,A4, D1,D4)
1.3.4 Određivanje dimenzija stubova U opštem slučaju, pri izboru oblika i dimenzija stubova mora se voditi računa o:
- arhitektonskim, saobraćajnim i sličnim zahtevima, koji ne spadaju u konstruk-terske, ali ih je neophodno ispuniti. Zasad se mogu podvesti pod »projektujte stubove što manjih dimenzija«, bez daljeg elaboriranja;
- prihvatanju horizontalnih dejstava (vetar, seizmika). S obzirom da se razmatra jednospratna konstrukcija oslonjena samo na stubove, u cilju obezbeđivanja jednake krutosti u dva ortogonalna pravca biraju se stubovi kvadratnog ili kruž-nog poprečnog preseka. Bez detaljnijeg obrazlaganja, s obzirom da izlazi iz ok-vira ovog kursa, usvaja se da su svi stubovi istog poprečnog preseka, a vero-vatni kriterijum za određivanje njihove dimenzije (veličina horizontalnog pomera-nja) se ne uzima u obzir;
- prihvatanju uticaja usled vertikalnog opterećenja. Pošto je usvojeno da su svi stubovi istog poprečnog preseka, potrebno ih je dimenzionisati za maksimalne sile G=231 kN i P=165 kN, vodeći pritom i računa o izvijanju.
Za maksimalne sile u stubovima, zanemarujući uticaj izvijanja i usvajajući minimalni proce-nat armiranja, potrebna površina betonskog preseka se može odrediti kao:
( )2
2B
upotrb cm343
0524010601052
16512231911fNA =
××+×
×+×=
µ+×=
−
...
..
min.,
U ovom slučaju (pomerljiv sistem bez zidova za ukrućenje, ploča bez greda), stubovi su konzolni, pa je dužina izvijanja jednaka 2H = 2×4.0 = 8.0 m. Ukoliko želimo da vitkost og-raničimo na λ ≤ 75 (umerena vitkost) sledi:
20Lcm37
75124002d75
d12H2
db12
dbH2
iL i
3i ≈=
××≥⇒≤
×=
×
×==λ
min
Iz navedenog sledi da je minimalna potrebna dimenzija stuba kvadratnog poprečnog pre-seka d=40 cm.
Pored toga, u slučaju ploča direktno oslonjenih na stubove, minimalne dimenzije stubova su definisane članom 222. PBAB 87, kao:
cm30
cm30
cm72615400
15H
cm2520
50020L
d =
==
==
= .max
min
min
pri čemu je Lmin manji razmak stubova, a H spratna visina. Usvojeni su stubovi 40×40 cm.
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/7
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
1.4 KONTROLA U ODNOSU NA PROBIJANJE Postupak kontrole propisan je članovima 220 i 221 Pravilnika BAB 87. Zasniva se na nemačkim propisima DIN 1045 – provera se sprovodi za eksploataciona opterećenja i maksimalni smičući napon se upoređuje sa dopuštenim vrednostima.
Maksimalni smičući napon usled probijanja treba računati za presek 1-1 označen na skici, iz izraza:
( ) sssskp hhdPG
hOT
×+×π+
≈×
=τ max
pri čemu je:
Tmax - najveća transverzalna sila pri eks-ploatacionom opterećenju za kritični presek 1-1, može se umanjiti za vrednost rezultante opterećenja koje deluje na krug prečnika dkp;
ds - prečnik kružnog stuba (oslonca). Ukoliko je stub pravougaonog poprečnog pre-seka, veličinu ds treba sračunati iz izraza:
db4ds ××=π
kao prečnik ekvivalentnog kružnog stuba. U proračun zamenjujućeg prečnika ds može se uzeti maksimalno d=1.5×b (b<d), bez obzira na stvarni odnos strana pravougaonog stuba;
hs - srednja statička visina ploče za dva usvojena pravca armature
U izrazu za maksimalni smičući napon, vrednost Okp treba zameniti sa 0.6×Okp kod ivičnih, odnosno sa 0.3×Okp kod ugaonih stubova.
Dopušteni naponi smicanja određeni su kao:
b22 τ×γ=τ - vrednost napona koja mora biti zadovoljena
a11 32
τ×γ×=τ - vrednost napona koja zahteva osiguranje armaturom
U ovim izrazima figurišu dopušteni naponi τa i τb, zavisni od marke betona (član 122 PBAB 87) i bezdimenzioni koeficijenti γ1 i γ2, određeni kao:
µ×α×=γ a1 31. ; µ×α×=γ a2 450.
Koeficijent αa zavisi od vrste upotrebljene armature i uzima sledeće vrednosti: αa = 1.0 za GA 240/360 αa = 1.3 za RA 400/500 αa = 1.4 za MA 500/560
dok µ predstavlja srednju vrednost procenta armiranja preseka ploče gornjom (oslonač-kom) armaturom iz dva upravna pravca na širini oslonačke trake 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly i unosi se u procentima. Pri tome mora biti zadovoljeno:
%.%. 51f2550v
bk ≤σ
≤µ≤
bez obzira što stvarna vrednost procenta µ može biti i izvan navedenih granica.
Na osnovu napred iznetog, kontrola u odnosu na probijanje se sprovodi u nekoliko koraka:
ds
dkp
d ph yh x h s
hs/2 hs/2
hs/2 hs/2
45°
1
1
1
1
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/8
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
- određivanje sila u stubu usled stalnog i povremenog opterećenja - određivanje oslonačke armature u zoni stuba (Aax, Aay) - određivanje dopuštenih napona u betonu (funkcija armature Aax, Aay)
Međutim, ovi koraci su međusobno povezani, što proračun čini iterativnim. Da bi se izbegli preobimni proračuni, potrebno je proceniti veličinu i uticaj svakog od parametara.
Pretpostavljena debljina ploče je, van svake sumnje, najvažniji parametar, jer od njega za-vise i opterećenje (a time i statički uticaji), količina armature i dimenzije kritičnog preseka kod kontrole probijanja. Smisleno je debljinu ploče usvojiti iz kriterijuma deformacije (mo-guće kod proračuna na računaru) ili iz nekog iskustvenog kriterijuma. U ovom slučaju us-vojena je debljina ploče prema članu 222 PBAB, kao Lmax/35, što posredno »obećava« zadovoljenje uslova po deformacijama.
Sa tako usvojenom debljinom ploče sračunate su sile u stubovima, potrebne za određiva-nje maksimalnog smičućeg napona usled probijanja. U izrazu za ovaj napon figurišu i di-menzija stuba ds i srednja statička visina hs.
Dimenzionisanje prema momentima savijanja još uvek nije sprovedeno, jer debljina ploče nije definitivno usvojena (nije sprovedena kontrola probijanja). Kako su drugi i treći korak ove kontrole povezani, u situaciji kada debljina ploče nije zadata, potrebno je ili:
- proceniti procenat armiranja, sračunati dopuštene napone i na osnovu toga usvoji-ti debljinu ploče iz uslova probijanja, proveriti pretpostavljenu vrednost µ (dimenzi-onisanje prema momentima) i dalje dimenzionisati sve karakteristične preseke;
- dimenzionisati sa pretpostavljenom debljinom ploče minimalan broj preseka (samo one preseke od kojih zavise vrednosti dopuštenih napona – oslonačke preseke na širini 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly). Sa dobijenim µ izvršiti kontrolu probijanja, a arma-turu u ostalim presecima odrediti nakon usvajanja debljine ploče.
Pretpostavljajući potpuni nedostatak iskustva u dimenzionisanju ovakvih ploča, biće spro-veden drugi postupak.
1.4.1 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, podužni pravac S obzirom da je statički sistem ploče u oba pravca isti (kontinualni nosač preko tri jednaka raspona), veći momenti savijanja se javljaju u dužem pravcu.
Na osnovu izloženog u tački 1.3.1, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:
10Lq12
LLLq10
12L
Lq1012M12M2xu
y
2xyu
y
2xxu
oslx1Sux
××=
××××=
×××=×= .
.....
*
,,
mkNm7.152
100.62.201.2M
mkN2.200.58.10.76.1q
21Su,x2u =
××=⇒=×+×=
pretp. a1x = 3 cm ⇒ hx = 20 – 3 = 17 cm
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa
9701
0527152
17k .
..
== ⇒ εb/εa = 3.5/5.765‰ ; µ = 30.582%
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/9
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
m
cm6426400521758230A
2
a ... =××= ⇒ usv. RØ19/10 (28.4 cm2/m)
10Lq41
LLLq10
41L
Lq1041M41M2xu
y
2xyu
y
2xxu
oslx2Sux
××=
××××=
×××=×= .
.....
*
,,
mkNm8.101
100.62.204.1M
22Su,x =
××=
4192
0528101
17k .
..
== ⇒ εb/εa = 3.159/10‰ ; µ = 18.942%
m
cm5516400521794218A
2
a ... =××= ⇒ usv. RØ19/15 (18.9 cm2/m)
1.4.2 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, poprečni pravac Na osnovu izloženog u tački 1.3.2, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:
10Lq
1.2L
LLq1.01.2
LLq1.0
1.2M1.2M2yu
x
2yxu
x
2y
*yu
osl,y1Su,y
××=
××××=
×××=×=
mkNm1.106
100.52.201.2M
21Su,y =
××=
pretp. a1y = 2+1.9+1.6/2 = 4.7 cm ⇒ hy = 20 – 4.7 = 15.3 cm
1272
0521106
315k .
..
.== ⇒ εb/εa = 3.5/7.646‰ ; µ = 25.419%
m
cm93194005231541925A
2
a .... =××= ⇒ usv. RØ16/10 (20.1 cm2/m)
mkNm770
100522041M
22Suy ...., =
××=
6052
052770
315k .
..
.== ⇒ εb/εa = 2.713/10‰ ; µ = 16.097%
m
cm62124005231509716A
2
a .... =××= ⇒ usv. RØ16/15 (13.4 cm2/m)
1.4.3 Određivanje dopuštenih smičućih napona za unutrašnji stub
%..
.... , 3910517
12
918428h
Acm0517
291220h
x
sraxxx =×
+==µ⇒=−−=
%..
.., 101315
12
413120h
A
y
srayy =×
+==µ ⇒ %... 241
2101391
=+
=µ
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/10
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
=××=γ=××=γ
⇒=α⇒65024131450
881241313131500400RA2
1a ....
...../
Dopušteni naponi smicanja τa i τb, propisani članom 122 PBAB, za MB 30 iznose:
MPa22MPa80 ba .;. =τ=τ
pa slede vrednosti dopuštenih napona:
2a11 cmkN1000080881
32
32 ... =××=τ×γ×=τ
2b22 cmkN1430220650 ... =×=τ×γ=τ
1.4.4 Kontrola maksimalnog napona smicanja za unutrašnji stub
cm2162
3150517hs ...=
+=
cm145404d4d 22s .=×
π=×
π=
( ) 22cmkN1270
216216145165231
τ<=×+×π
+=τ .
...1
Kako nije prekoračen dopušteni napon τ2, nije potrebno menjati debljinu ploče, dimenziju stuba ili marku betona. S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2
vva cm3713
40165231351T351
81
T750A .)(..
.
. maxmax =+×
=σ×
=σ×
=
usvojeno: 4×4URØ8 (4×4×2×0.503 = 16.08 cm2)
Ovu armaturu treba rasporediti na način prikazan na narednoj skici (osnova i presek), u skladu sa odred-bama člana 220. Pravilnika BAB 87.
Isprekidanim linijama u osnovi su prikazane šipke ar-mature u gornjoj zoni, sračunate za prihvatanje momenata savijanja (vertikalne šipke na crtežu RØ19/10 u dužem, odnosno horizontalne šipke RØ16/10 u kraćem pravcu). Najpre je određena zona
1 Napominje se da je pri određivanju sile probijanja Tmax, moguće silu u stubu (odnosno razliku sila u stubu iznad i ispod razmatrane tavanice u slučaju višespratnih objekata) umanjiti za deo raspodeljenog opterećenja koji deluje unutar kruga prečnika dkp: q = g + p = 7.0 + 5.0 = 12.0 kN/m2
cm3612161452h
2dd sskp ... =+=+= ⇒ kN536130
412d
4qT 22
kp .. =×π
×=×π
×=∆
kN539253396TTT red ...max =−=∆−= ⇒
2cmkN1260
2163615392 .
...
=××π
=τ
U slučaju međuspratnih konstrukcija, s obzirom na malu debljinu ploče i malo opterećenje, ova redukcija je praktično beznačajna, ali je svakako treba sprovesti pri proračunu temelja.
40a=
148
14b=
8
d s =
45.
10.
7×h s
1.2×
h s
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/11
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
u kojoj šipke za osiguranje treba da budu raspoređene (od 0.7×hs do 1.2×hs mereno od ivice zamenjujućeg kružnog stuba):
cm14216702
40145h702
dda ss ≈×+
−=×+
−= ....
( ) cm818h7021b s ≈=×−= ...
Armatura za osiguranje je zatim homogeno raspoređena unutar ove zone (tačkice na prethodnoj skici), vodeći računa o raspoloživom prostoru, i usvojena u formi uzengija. S obzirom na malu raspoloživu visinu, sve uzengije su postavljene u pravcu dužeg raspona tako da su konačno formirane šipke označene pozicijama 1 i 2 na donjoj skici. U uglovima uzengija se nalazi armatura iz II i III reda (usvojena armatura u pravcu kraćeg raspona u obe zone), odnosno dodatna armatura (šipke ±RØ12 označene pozicijom 3) tamo gde je bilo potrebno.
34R
Ø12
1612
8 13 42 13 8
1 4RUØ8/ 14
1 4RUØ8/ 14
2 2RUØ8/ 8
2 2RUØ8/ 8
3 ±4RØ12
2 2RUØ8/ 8
1512
151 RUØ8/14
1 RUØ8/14
2 2RUØ8/ 8 2 2RUØ8/ 8
2 2RUØ8/ 8
8 14 40 814
34R
Ø12
814
4014
8
2 2UØ8/ 8 L=80 (8)
15
16 15 16
9
1 4UØ8/ 14 L=74 (8)
8
16816
8
99
34R
Ø12
34R
Ø12
40
2 RUØ8/8
2 RUØ8/8
1.4.5 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ivični stub Maksimalne sile u ivičnim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:
( ) 2skp cm
kN106021621614560
5825115hO60
T .....
...
max =×+×π×
+=
××=τ
Vrednosti dopuštenih napona τ1 i τ2 potrebno je odrediti iz odgovarajućih procenata armiranja, slično kao u slučaju unutrašnjeg stuba. Na narednoj skici je šematski prikazana usvojena armatura u gornjoj zoni u polutrakama S1 i S2, sračunata u tačkama 1.4.1 i 1.4.2. Ista armatura je usvojena i u trakama u osi A (podužni pravac), odnosno 1 (poprečni pra-vac), s obzirom na veličinu momenata savijanja. Međutim, u ovim trakama u upravnom pravcu nije potrebna računska, već samo podeona armatura:
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/12
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
m
cm335642620A2
Xpa ..., =×= (tačka 1.4.1) ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)
m
cm993931920A2
Ypa ..., =×= (tačka 1.4.2) ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)
Kako su sile u stubovima A2 i B1 sile jednake (tačka 1.3.3), merodavan za kontrolu probijanja će biti onaj kod koga je ploča armirana manjom armaturom, odnosno sa manjim dopuštenim naponima (stub B1):
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ19/15
RØ19/15RØ19/10
RØ19/15RØ19/10 0.
50.5
3.0
0.5
1.0
0.5
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2P 2
S2 2
S1 2
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ
16/1
5
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
P2
S22 S1
P2
S22
P2
S22
S12
0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8
%... 3300517655
hA
x
axx ===µ
%..
.., 101315
12
413120h
A
y
srayy =×
+==µ ⇒ %... 710
2101330
=+
=µ
22b22 cmkN1060
cmkN109022071031450 ...... max =τ>=×××=τ×γ=τ
221 cmkN1060
cmkN07600807103131
32 ...... max =τ<=××××=τ
S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2a cm68.6
4019835.1A =
×= ⇒ usvojeno: (2×4+4)URØ8 (12×2×0.503 = 12.06 cm2)
235
8 14 40
1 4RUØ8/ 14
1 2RUØ8/ 8
2 2RUØ8/ 8
1 2RUØ8/ 8
1215
1 RUØ8/14
2 2RUØ8/ 8 2 2RUØ8/ 8
2 2RUØ8/ 8
8 14 40 814
34R
Ø12
2 2UØ8/ 8 L=80 (4)
15
16 15 16
9
1 4UØ8/ 14 L=74 (8)
8
16816
8
99
3 ±3RØ12
8143 2RØ12
814
34R
Ø12
2 RUØ8/8
1 RUØ8/143 2RØ12
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/13
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
1.4.6 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ugaoni stub Maksimalne sile u ugaonim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:
( ) 2skp cm
kN077021621614530
3042hO30
T ......
max =×+×π×
+=
××=τ
Kako u gornjoj zoni nije potrebna nikakva računska armatura, dopušteni naponi τ1 i τ2 se sračunavaju sa minimalnim propisanim koeficijentom armiranja µ=0.5%:
222 cmkN0770
cmkN09102205031450 ...... max =τ>=×××=τ
max..... τ<=××××=τ 21 cmkN0640080503131
32
S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2a cm432
4072351A ..
=×
= ⇒ usvojeno: (3+2+2)URØ8 (7×2×0.503 = 7.04 cm2)
Kod usvajanja detalja osiguranja kod ivičnih i ugaonih stubova iskorišćen je detalj usvojen za osiguranje u zoni unutrašnjeg stuba, uz minimalne potrebne korekcije (uklanjanje arma-ture koja se našla van zone ploče).
1 3RUØ8/ 143 ±3RØ12
1 RUØ8/14
2 2RUØ8/ 8
2 2RUØ8/ 8 34R
Ø12
814
2 2UØ8/ 8 L=80 (2)
15
16 15 16
9
1 3UØ8/ 14 L=74 (5)
8
16816
8
99
40 814
1 2RUØ8/ 8 3 2RØ12
1711
1215
34R
Ø12
2 RUØ8/8
1 RUØ8/143 2RØ12
1.5 DIMENZIONISANJE PLOČE – PODUŽNI PRAVAC Nakon provere probijanja sva tri karakteristična tipa stubova, konačno su usvojeni oblik i dimenzije stubova i debljina ploče, pa se proračun može završiti dimenzionisanjem ploče prema momentima savijanja. Ukupni momenti za traku širine Ly = 5.0 m su sračunati u tač-ki 1.3.1. Granični računski momenti savijanja po trakama su:
a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1
S1 = 2.1×M1/Ly = 2.1×363.6/5.0 = 152.7 kNm/m - polutraka S2: M1
S2 = 1.4×M1/Ly = 1.4×363.6/5.0 = 101.8 kNm/m - traka u polju: M1
P = 0.5×M1/Ly = 0.5×363.6/5.0 = 36.4 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:
- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Ly = 1.25×290.9/5.0 = 72.7 kNm/m
- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Ly = 0.84×290.9/5.0 = 48.5 kNm/m
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/14
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2
S = 1.25×M1-2/Ly = 1.25×90.9/5.0 = 22.7 kNm/m - traka u polju: M1-2
P = 0.84×M1-2/Ly = 0.84×90.9/5.0 = 15.2 kNm/m
1.5.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polu-trakama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.1. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:
hx = 20 – 2 – 1.9/2 = 17.05 cm
0484
052436
0517k .
..
.==
εb/εa = 1.371/10‰ ; µ = 6.377%
m
cm5754005205173776A
2
a .... =××=
usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)
1.5.2 Dimenzionisanje - donja zona
1.5.2.1 krajnja polja, traka S
9212
052772
417k .
..
.== ⇒ εb/εa = 2.202/10‰ ; µ = 12.583%
m
cm22114005241758312A
2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ12/10 (11.31 cm2/m)
1.5.2.2 krajnja polja, traka P
5783
052548
417k .
..
.== ⇒ εb/εa = 1.618/10‰ ; µ = 8.228%
m
cm347400524172288A
2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ12/15 (7.53 cm2/m)
1.5.2.3 srednje polje, traka S
2265
052722
417k .
..
.== ⇒ εb/εa = 0.999/10‰ ; µ = 3.782%
m
cm373400524177823A
2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ10/20 (3.93 cm2/m)
1.5.2.4 srednje polje, traka P
4016
052215
417k .
..
.== ⇒ εb/εa = 0.789/10‰ ; µ = 2.504%
m
cm232400524175042A
2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
4.8
72.7
152.7
72.7
152.7
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
4.8
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
4.8
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
"S1"
"S2"
"P"
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/15
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
Proračun nosača u osama A i D se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mo-menata savijanja iste kao i za ose B i C, pa je usvojena armatura ista. Usvojena armatura je šematski prikazana na donjoj skici (prikazana je četvrtina ploče u osnovi). Nedostajuća podeona armatura u gornjoj zoni usvojena je kod crtanja plana armature, kao minimalno 20% statički potrebne glavne armature.
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ19/15
GORNJA ZONA
RØ19/15RØ19/10
RØ19/15RØ19/10 0.
50.5
3.0
0.5
1.0
0.5
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2P 2
S2 2S
1 2
RØ12/20
RØ12/20
21
B
A
Lx = 6.0 m
RØ12/15
DONJA ZONA
RØ12/10
P 2P 2
S 2S 2
P 2S 2
RØ12/15
RØ12/10
RØ10/20
RØ10/20
RØ8/20
RØ8/20
1.6 DIMENZIONISANJE PLOČE – POPREČNI PRAVAC Ukupni momenti za traku širine Lx = 6.0 m su sračunati u tački 1.3.2. Granični računski momenti savijanja po trakama su:
a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1
S1 = 2.1×M1/Lx = 2.1×303/6.0 = 106.1 kNm/m - polutraka S2: M1
S2 = 1.4×M1/Lx = 1.4×303/6.0 = 70.7 kNm/m - traka u polju: M1
P = 0.5×M1/Lx = 0.5×303/6.0 = 25.3 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:
- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Lx = 1.25×242.4/6.0 = 50.5 kNm/m
- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Lx = 0.84×242.4/6.0 = 33.7 kNm/m
srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2
S = 1.25×M1-2/Lx = 1.25×75.8/6.0 = 15.8 kNm/m - traka u polju: M1-2
P = 0.84×M1-2/Lx = 0.84×75.8/6.0 = 10.5 kNm/m
1.6.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polutra-kama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.2. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:
hy = 20 – 2 – 1.9 – 1.6/2 = 15.3 cm
3604
052325
315k .
..
.==
εb/εa = 1.247/10‰ ; µ = 5.477%
m
cm294400523154775A
2
a .... =××=
usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)
"S1"
"S2"
"P"
4
50.5
106.1
50.5
106.1
1.382 2.236 1.3821 1
4
4
1.382 2.236 1.3821 1
4
4
1.382 2.236 1.3821 1
4
50.5 50.5
Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/16
Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE
1.6.2 Dimenzionisanje - donja zona hy = 20 – 2 – 1.2 – 1.2/2 = 16.2 cm
1.6.2.1 krajnja polja, traka S
2643
052550
216k .
..
.== ⇒ εb/εa = 1.846/10‰ ; µ = 9.962%
m
cm278400522169629A
2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ12/20+RØ10/20 (9.58 cm2/m)
1.6.2.2 krajnja polja, traka P
9983
052733
216k .
..
.== ⇒ εb/εa = 1.394/10‰ ; µ = 6.545%
m
cm435400522165456A
2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)
1.6.2.3 srednje polje, traka S
8395
052815
216k .
..
.== ⇒ εb/εa = 0.877/10‰ ; µ = 3.018%
m
cm512400522160183A
2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
1.6.2.4 srednje polje, traka P
1517
052510
216k .
..
.== ⇒ εb/εa = 0.696/10‰ ; µ = 2.000%
m
cm02Am
cm661400522160002A
2
a
2Pa ..... min, =<=××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
Proračun nosača u osama 1 i 4 se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mome-nata savijanja iste kao i za ose 2 i 3, pa je usvojena armatura ista. Usvojena armatura je šematski prikazana na donjoj skici (četvrtina ploče u osnovi).
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m DONJA ZONA
21
B
A
Lx = 6.0 m
RØ
16/1
5
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
GORNJA ZONA
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
S22 S1
P2
S22
S22
S12
0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8
P2P
S2
S2
S2
RØ
12/2
0R
Ø8/
20
RØ
12/2
0+R
Ø10
/20
RØ
8/20
RØ
12/2
0+R
Ø10
/20
RØ
8/20
RØ
12/2
0R
Ø8/
20
P
RØ
12/2
0
RØ
12/2
0