1 Programa de certificación de Black Belts I. Despliegue en toda la empresa P. Reyes / Abril 2009.
1 Programa de certificación de Green Belts IV. Seis Sigma - Análisis P. Reyes / Octubre de 2007.
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1
Programa de certificación de Green Belts
IV. Seis Sigma - Análisis
P. Reyes / Octubre de 2007
2
Diagrama deIshikawa
Diagrama derelaciones
Diagramade Árbol
Análisis del Modo y Efecto deFalla (AMEF)
QFD
DiagramaCausa Efecto
CTQs = YsOperatividad
X's vitales
Diagramade Flujo
delproceso
Pruebasde
hipótesis
Causas raízvalidadas
¿CausaRaíz?
DefiniciónY=X1 + X2+. .Xn
X'sCausas
potenciales
Medición Y,X1, X2, Xn
FASE DE ANÁLISIS
SiNo
Llenar columnas del FMEAHasta sol. Propuesta ycomprobar causas conPruebas de Hipótesis
3
Seis Sigma - Análisis
FMEA
Identificación de causas potenciales
A. Análisis exploratorio de datos
B. Pruebas de hipótesis
4
¿ Qué es el FMEA?El Análisis de del Modo y Efectos de Falla es un grupo
sistematizado de actividades para:
Reconocer y evaluar fallas potenciales y sus efectos.
Identificar acciones que reduzcan o eliminen las probabilidades de falla.
Documentar los procesos con los hallazgos del análisis.
Existe el estándar MIL-STD-1629, Procedure for Performing a Failure Mode, Effects and Criticality Analysis
5
Tipos del FMEA AMEF de concepto (CFMEA)
A nivel de sistema, subsistema y componente
AMEF de diseño (DFMEA)
AMEF de Proceso (PFMEA)
AMEF de maquinaria (como aplicación del DFMEA)
6
Tipos de FMEAs FMEA de Diseño (AMEFD), su propósito es analizar
como afectan al sistema los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el sistema. Se usan antes de la liberación de productos o servicios, para corregir las deficiencias de diseño.
FMEA de Proceso (AMEFP), su propósito es analizar como afectan al proceso los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el proceso. Se usan durante la planeación de calidad y como apoyo durante la producción o prestación del servicio.
7
Salidas del FMEA de Proceso Una lista de modos potenciales de falla
Una lista de Caracteríticas críticas y/o significativas
Una lista de características relacionadas con la seguridad del operador y con alto impacto
Una lista de controles especiales recomendados para las Características Especiales designadas y consideradas en el Plan de control
8
Salidas del FMEA de Proceso Una lista de procesos o acciones de proceso
para reducir la Severidad, eliminar las causas de los modos de falla del producto o reducir su tasa de ocurrencia, y mejorar la tasa de Detección de defectos si no se puede mejorar la capacidad del proceso
Cambios recomendados a las hojas de proceso y dibujos de ensamble
9
FMEA de Proceso - PFMEA
Componente ______________________ Responsable del Diseño ____________AMEF Número _________________
Ensamble ________________ Preparó _______________ Pagina _______de _______
Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de FMEA ______(rev.) ______
Funcióndel Producto/
Paso del proceso
Modos de FallaPotenciales
Efecto (s)Potencial (es)
de falla
Sev.
Causa(s)Potencial(es)
o Mecanismosde falla
Occur
Controles de Diseño o Proceso Actuales
Detec
RPN
AcciónSugerida
Responsabley fecha límite
de Terminación
AcciónAdoptada
Sev
Occ
Det
RPN
Resultados de Acción
ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseño / Proceso
11
Modelo del PFMEA – Paso 1 Identificar todos los requerimientos funcionales dentro
del alcance
Identificar los modos de falla correspondientes
Identificar un conjunto de efectos asociados para cada modo de falla
Identificar la calificación de severidad para cada conjunto de efectos que de prioridad el modo de falla
De ser posible, tomar acciones para eliminar modos de falla sin atender las “causas”
12
Modelo de PFMEA – Paso 1
Modos de falla potenciales No funciona Funcionamiento parcial / Sobre función /
Degradación en el tiempo Funcionamiento intermitente Función no intencionada
Los modos de falla se pueden categorizar como sigue: Manufactura: Dimensional fuera de tolerancia Ensamble: Falta de componentes Recibo de materiales: Aceptar partes no conformes Inspección/Prueba: Aceptar partes equivocadas
13
Modelo de PFMEA - Paso 1
Efectos de las fallas potenciales (en usuario final) Ruido Operación errática Inoperable Inestable Apariencia mala Fugas Excesivo esfuerzo Retrabajos / reparaciones Insatisfacción del cliente
Esta calificación resulta cuando un modo de falla potencial resulta en un defecto con un cliente final y/o una planta de manufactura / ensamble. El cliente final debe ser siempre considerado primero. Si ocurren ambos, use la mayor
de las dos severidadesEfecto Efecto en el cliente Efecto en Manufactura /Ensamble Cali
f.Peligroso sin aviso
Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, sin aviso
Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 10
Peligroso con aviso
Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, con aviso
Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 9
Muy alto
El producto / item es inoperable ( pérdida de la función primaria)
El 100% del producto puede tener que ser desechado op reparado con un tiempo o costo infinitamente mayor
8
Alto El producto / item es operable pero con un reducido nivel de desempeño. Cliente muy insatisfecho
El producto tiene que ser seleccionado y un parte desechada o reparada en un tiempo y costo muy alto 7
Moderado
Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia es inoperable. Cliente insatisfecho
Una parte del producto puede tener que ser desechado sin selección o reparado con un tiempo y costo alto
6
Bajo Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia son operables a niveles de desempeño bajos
El 100% del producto puede tener que ser retrabajado o reparado fuera de línea pero no necesariamente va al àrea de retrabajo .
5
Muy bajo
No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 75% de los clientes
El producto puede tener que ser seleccionado, sin desecho, y una parte retrabajada 4
Menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 50% de los clientes
El producto puede tener que ser retrabajada, sin desecho, en línea, pero fuera de la estación 3
Muy menor
No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos, y rechinidos. Defecto notado por clientes muy críticos (menos del 25%)
El producto puede tener que ser retrabajado, sin desecho en la línea, en la estación 2
Ninguno Sin efecto perceptible Ligero inconveniente para la operación u operador, o sin efecto 1
CRITERIO DE EVALUACIÓN DE SEVERIDAD SUGERIDO PARA AMEFP
15
Modelo de PFMEA – Paso 2
Paso 2 identificar: Las causas asociadas (primer nivel y raíz)
Su tasa de ocurrencia
La designación apropiada de la característica indicada en ola columna de clasificación
Acciones recomendadas para alta severidad y criticalidad (S x O) así como la Seguridad del operador (OS) y errores de proceso de alto impacto (HI)
16
Modelo de PFMEA – Paso 2
Causa/Mecanismo potencial de falla Describe la forma de cómo puede ocurrir la
falla, descrito en términos de algo que puede ser corregido o controlado
Se debe dar priorioridad a rangos de prioridad de 9 o 10
17
Efecto(s) Potencial(es) de falla
Evaluar 3 (tres) niveles de Efectos del Modo de Falla
• Efectos Locales– Efectos en el Área Local – Impactos Inmediatos
• Efectos Mayores Subsecuentes– Entre Efectos Locales y Usuario Final
• Efectos Finales– Efecto en el Usuario Final del producto o
Servicio
CRITERIO DE EVALUACIÓN DE OCURRENCIA SUGERIDO PARA AMEFP
100 por mil piezas
Probabilidad Indices Posibles de falla
ppk Calif.
Muy alta: Fallas persistentes
< 0.55 10
50 por mil piezas
> 0.55 9
Alta: Fallas frecuentes 20 por mil piezas
> 0.78 8
10 por mil piezas
> 0.86 7
Moderada: Fallas ocasionales
5 por mil piezas
> 0.94 6
2 por mil piezas
> 1.00 5
1 por mil piezas
> 1.10 4
Baja : Relativamente pocas fallas
0.5 por mil piezas
> 1.20 3
0.1 por mil piezas
> 1.30 2
Remota: La falla es improbable
< 0.01 por mil piezas
> 1.67 1
CRITERIO DE EVALUACIÓN DE DETECCION SUGERIDO PARA AMEFP
Detecciòn
Criterio Tipos de Inspección
Métodos de seguridad de Rangos de Detección
Calif
A B C Casi imposible
Certeza absoluta de no detección
X No se puede detectar o no es verificada
10
Muy remota
Los controles probablemente no detectarán
X El control es logrado solamente con verificaciones indirectas o al azar
9
Remota Los controles tienen poca oportunidad de detección
X El control es logrado solamente con inspección visual
8
Muy baja Los controles tienen poca oportunidad de detección
X El control es logrado solamente con doble inspección visual
7
Baja Los controles pueden detectar X X El control es logrado con métodos gráficos con el CEP
6Moderada
Los controles pueden detectar X El control se basa en mediciones por variables después de que las partes dejan la estación, o en dispositivos Pasa NO pasa realizado en el 100% de las partes después de que las partes han dejado la estación
5
Moderadamente Alta
Los controles tienen una buena oportunidad para detectar
X X Detección de error en operaciones subsiguientes, o medición realizada en el ajuste y verificación de primera pieza ( solo para causas de ajuste)
4
Alta Los controles tienen una buena oportunidad para detectar
X X Detección del error en la estación o detección del error en operaciones subsiguientes por filtros multiples de aceptación: suministro, instalación, verificación. No puede aceptar parte discrepante
3
Muy Alta Controles casi seguros para detectar
X X Detección del error en la estación (medición automática con dispositivo de paro automático). No puede pasar la parte discrepante
2
Muy Alta Controles seguros para detectar
X No se pueden hacer partes discrepantes porque el item ha pasado a prueba de errores dado el diseño del proceso/producto
1
Tipos de inspección: A) A prueba de error B) Medición automatizada C) Inspección visual/manual
20
Componente ______________________ Responsable del Diseño ____________ AMEF Número _________________
Ensamble ________________ Preparó _______________ Pagina _______de _______
Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______
Funciónde
Artículo
Modos de FallaPotenciales
Efecto (s)Potencial (es)
de falla
Sev.
Causa(s)Potencial(es)
de los Mecanismosde falla
Occur
Controles de Diseño Actual
Detec
RPN
AcciónSugerida
Responsabley fecha límite
de Terminación
AcciónAdoptada
Sev
Occ
Det
RPN
Factura Datos LOCAL:incorrecta incorrectos Rehacer
la factura
MAXIMO PROXIMO
Contabilidad 7 3 5 105erronea
CON CLIENTEMolestiaInsatisfacción
Resultados de Acción
ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseño / Proceso
Riesgo = Severidad x Ocurrencia x Detección
Causas probables a atacar primero
21
Producto de Severidad, Ocurrencia, y Detección
RPN / Gravedad usada para identificar principales CTQs
Severidad mayor o igual a 8RPN mayor a 150
Calcular RPN (Número de Prioridad de Riesgo)
Componente ______________________ Responsable del Diseño ____________ AMEF Número _________________
Ensamble ________________ Preparó _______________ Pagina _______de _______
Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______
Funciónde
Artículo
Modos de FallaPotenciales
Efecto (s)Potencial (es)
de falla
Sev.
Causa(s)Potencial(es)
de los Mecanismosde falla
Occur
Controles de Diseño Actual
Detec
RPN
AcciónSugerida
Responsabley fecha límite
de Terminación
AcciónAdoptada
Sev
Occ
Det
RPN
Factura Datos LOCAL:incorrecta incorrectos Rehacer
la factura
MAXIMO PROXIMO
Contabilidad 7 3 5 105erronea
CON CLIENTEMolestiaInsatisfacción
Resultados de Acción
ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseño / Proceso
Riesgo = Severidad x Ocurrencia x Detección
Causas probables a atacar primero
23
Planear Acciones
Requeridas para todos los CTQs
Listar todas las acciones sugeridas, qué persona es la responsable y fecha de terminación.
Describir la acción adoptada y sus resultados.
Recalcular número de prioridad de riesgo .
Reducir el riesgo general del diseño
24
Componente ______________________ Responsable del Diseño ____________ AMEF Número _________________
Ensamble ________________ Preparó _______________ Pagina _______de _______
Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______
Funcióndel componente
/ Paso del proceso
Modos de FallaPotenciales
Efecto (s)Potencial (es)
de falla
Sev.
Causa(s)Potencial(es)
o Mecanismosde falla
Occur
Controles de Diseño / Prcoeso Actuales
Detec
RPN
AcciónSugerida
Responsabley fecha límite
de Terminación
AcciónAdoptada
Sev
Occ
Det
RPN
Factura correcta Datos LOCAL:erroneos Rehacer la
factura
MAXIMO PROXIMO
Contabilidad 7 3 5 105erronea
CON CLIENTEMolestiaInsatisfacción
Resultados de Acción
ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseño / Proceso
Usar RPN para identificar acciones futuras. Una vez que
se lleva a cabo la acción, recalcular el RPN.
25
Ejemplo de AMEFP
26
Identificación de causas potenciales
Tormenta de ideasDiagrama de IshikawaDiagrama de RelacionesDiagrama de ÁrbolVerificación de causas raíz
27
Tormenta de ideas
Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia.
Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado
El problema a analizar debe estar siempre visible
Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas
Motivar a que todos participen con la misma oportunidad
28
Tormenta de ideas Permite obtener ideas de los participantes
29
Diagrama de Ishikawa Anotar el problema en el cuadro de la derecha
Anotar en rotafolio las ideas sobre las posibles causas asignándolas a las ramas correspondientes a:
Medio ambiente Mediciones Materia Prima Maquinaria Personal y Métodos o Las diferentes etapas del proceso de
manufactura o servicio
30
Diagrama de causa efecto Divide los problemas en partes más pequeñas
Muestra las causas potenciales de manera gráfica
También se llama diagrama de ishikawa o de las 4 o 6 M’s.
Muestra como interactúan las diversas causas Sigue las reglas de la tormenta de ideas al
generarlas
Diagrama de IshikawaMedio
ambiente Métodos Personal
¿Quéproducebajas ventasdeTortillinasTía Rosa?
Climahúmedo
Calidad delproducto
Tipo deexhibidor
Falta demotivación
Ausentismo
Rotación depersonal
Maquinaría Materiales
Clientes conventas bajas
Malositinerarios
Descomposturadel camiónrepartidor
Distancia dela agencia alchangarro
Medición
Seguimientosemanal
Conocimientode losmínimos porruta
Frecuenciade visitas
Elaboraciónde pedidos
Posición deexhibidores
Falta desupervición
Programacióndeficiente
Capacidad instalada
desconocida
Marketing no tiene en cuenta
cap de p.Mala prog. De
ordenes de compra
Compras aprovecha
ofertasFalta de com..... Entre
las dif. áreas dela empresa
Duplicidad de funciones
Las un. Recibenordenes de dos
deptos diferentes
Altos inventarios
No hay controlde inv..... En proc.
Demasiados deptosde inv..... Y desarrollo
Falta de prog. Dela op. En base a
los pedidos
No hay com..... Entrelas UN y la oper.
Falta de coordinación al fincar
pedidos entre marketing y la op.
Falta de control deinventarios en
compras
Influencia de lasituación econ del
país
No hay com..... Entre comprascon la op. general
No hay coordinaciónentre la operación y las unidades
del negocio
Falta de coordinación entre el enlace de compras
de cada unidad con compras corporativo
Influencia directa demarketing sobre
compras
Compra de materialpara el desarrollo denuevos productos por
parte inv..... Y desarrollo’’’
No hay flujo efectivo de mat.
Por falta deprogramaciónde acuerdo a pedidos
Perdida de mercadodebido a la
competencia
Constantes cancelaciones
de pedidosde marketing
No hay coordinaciónentre marketing
operaciones
Falta de comunicaciónentre las unidades
del negocio
Diagrama de relaciones
Dancer
Taco generador del motor
Poleas guías
Presión deldancer
Mal guiado
Sensor de velocidadde línea
Sensorcircunferencial
Bandas detransmisión
Empaques de arrastre
Presión de aire de trabajo
Drive principal
Voltaje del motor
Ejes principales
Poleas de transmisión
¿Que nos puede provocar Variación de VelocidadDurante el ciclo de cambio en la sección del
Embobinadores?
Causas a validarCausas a validar
13/0
2/4
0/4
1/2
5/1
1/4
1/4
2/1
1/1
0/3
5/2
4/1
1/5
1/5
Entradas CausaSalidas Efecto
Diagrama de InterrrelacionesDiagrama de Interrrelaciones Permite al equipo identificar y clasificar las relaciones
de causa y efecto que existe entre las variables
Communica-tion issueswithin the
group
Externalfactors impact
implemen-tation
Means notclearlydefined
Plan notintegrated
Fast newproduct
introductionsstretch
resources
Lack oftime andresources
No strongcommitmentto the group
Driver
Driver
Planningapproach not
standardized
Outcome
Capacitymay not
meet needs
In = 1 Out = 3
In = 3 Out = 2
In = 2 Out = 4
In = 1 Out = 2
In = 2 Out = 0
In = 0 Out = 5
In = 5 Out = 1
In = 0 Out = 2In = 5 Out = 0
¿Qué datos son necesarios para identificar las cuasas raíz?
35
Diagrama de árbol o sistemático
Meta Medio
Meta
Meta
MedioMedio
Meta u objetivo
Medioso planes
Medioso planes
Medios
MediosMedios
Primer nivel
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Implantar el Sistema SMED
Producto DJ 2702
¿Objetivo?
Preparación para el SMED
Fase 1: Separación de la preparación interna de la externa
Fase 2: Conversión de preparación interna en externa
Fase 3: Refinamientode todos los aspectos de la preparación.
Filmar la preparación
Analizar el video
Describir las tareas
Separar las tareas
Elaborar lista de chequeo
Realizar chequeo de funciones
Analizar el transporte de herramientas y materiales
Analizar las funciones y propósito de c/operación
Convertir tareas de prepa-ración interna a externas
Realización de operacionesen paralelo.
Uso de sujeciones funcionales.
Eliminación de ajustes
5- 12 - Mar-04
10 y 17 –Mar-04
17- Mar-04
17- Mar-04
2- Mar-04
24- Mar-04
24- Mar-04
12 - Abr- 04
15 –Abr - 04
5 –May -04
19– May -04
12- May -04
¿Qué?
¿Cómo? ¿Cuándo?
Elaboramos un Diagrama de Arbol para poder analizar nuestro problema siguiendo el sistema SMED.
Diagrama de Arbol- Aplicación Sistema SMED
19
37
Selección de posibles causas El equipo discute la lista de
causas de alta prioridad y decide cuáles son las más importantes (5 a 7).
El equipo se cuestiona lo siguiente:
¿Es una causa? (¿no una solución?)
¿Podemos hacer algo respecto a la causa?
¿Estamos seguros que ésta cambiará el efecto?
¿Estamos de acuerdo?
Causas
1. ________
2. ________
3. ________
4. ________
5. ________
38
Verificación de posibles causas
Para cada causa probable , el equipo deberá por medio del diagrama 5Ws – 1H:
Llevar a cabo una tormenta de ideas para verificar la causa.
Seleccionar la manera que:
represente la causa de forma efectiva, y
sea fácil y rápida de aplicar.
39
Calendario de las actividadesCalendario de las actividades
¿qué? ¿qué? ¿por qué?¿por qué? ¿cómo?¿cómo? ¿cuánd¿cuándo?o?
¿dónd¿dónde?e?
¿quién¿quién??
1 Tacogenerador de motor embobinador
1.1 Por variación de voltaje durante el ciclo de cambio
1.1.1 Tomar dimensiones de ensamble entre coples.1.1.2 Verificar estado actual y especificaciones de escobillas.1.1.3 tomar valores de voltaje de salida durante el ciclo de cambio.
Abril ’04
1804 Embob
.
J. R.
2 Sensor circular y de velocidad de linea.
2.1 Por que nos genera una varión en la señal de referencia hacia el control de velocidad del motor embobinador
2.1.1 Tomar dimensiones de la distancia entre poleas y sensores.2.1.2 Tomar valores de voltaje de salida de los sensores.2.1.3 Verificar estado de rodamientos de poleas.
Abril ’04
1804Embob
.
U. P.
3 Ejes principales de transmisión.
3.1 Por vibración excesiva durante el ciclo de cambio
3.1.1 Tomar lecturas de vibración en alojamientos de rodamientos3.1.2 Comparar valores de vibraciones con lecturas anteriores.3.1.3 Analizar valor lecturas de vibración tomadas.
Abril’04 1804 Embob
.
F. F.
4 Poleas de transmisión de ejes embobinadores.
4.1 Puede generar vibración excesiva durante el ciclo de cambio.
4.1.1 Verificar alineación, entre poleas de ejes principales y polea de transmisión del motor.4.1.2 Tomar dimensiones de poleas(dientes de transmisión).4.1.3 Tomar dimensiones de bandas (dientes de transmisión)4.1.4 Verificar valor de tensión de bandas.
Abril’04 1804 Embob
.
J. R.U. P.
40
Verificación de posibles causas
Antes de invertir tiempo y dinero en la implementación de una mejora para “contrarrestar” una causa, asegurarse que la causa sea real.
Estar completamente convencido que la causa es la verdadera culpable del efecto indeseable.
41
IV A 1. Estudios Multivari
42
Estudios Multivari La carta multivari permite analizar la variación
dentro de la pieza, de pieza a pieza o de tiempo en tiempo
Permite investigar la estabilidad de un proceso consiste de líneas verticales u otro esquema en función del tiempo. La longitud de la línea o del esquema representa el rango de valores encontrados en cada conjunto de muestras
43
Estudios Multivari La variación dentro de las muestras (cinco
puntos en cada línea). La variación de muestra a muestra como posición vertical de las líneas.
ESPESOR
Número de subgrupo
44
Estudios Multivari Ejemplo de parte metálica
Centro más grueso
45
Estudios Multivari Procedimiento de muestreo:
Seleccionar el proceso y la característica a investigar
Seleccionar tamaño de muestra y frecuencia de muestreo
Registrar en una hoja la hora y valores para conjunto de partes
46
Estudios Multivari Procedimiento de muestreo:
Realizar la carta Multivari Unir los valores observados con una línea
Analizar la carta para variación dentro de la parte, de parte a parte y sobre el tiempo
Puede ser necesario realizar estudios adicionales alrededor del área de máxima variación aparente
Después de la acción de mejora comprobar con otro estudio Multivari
47
Su propósito fundamental es reducir el gran número de causas posibles de variación, a un conjunto pequeño de causas que realmente influyen en la variabilidad.
Sirven para identificar el patrón principal de variación de entre tres patrones principales:
Temporal: Variación de hora a hora; turno a turno; día a día; semana a semana; etc.
Cíclico: Variación entre unidades de un mismo proceso; variación entre grupos de unidades; variación de lote a lote.
Cartas Multivari
48
Posicional: Variaciones dentro de una misma unidad
(ejemplo: porosidad en un molde de metal) o a través de una sola unidad con múltiples partes (circuito impreso).
Variaciones por la localización dentro de un proceso que produce múltiples unidades al mismo tiempo. Por ejemplo las diferentes cavidades de un molde
Variaciones de máquina a máquina; operador a operador; ó planta a planta
7A1. Cartas Multivari
49
Ejemplo: Se toman 3 a 5 unidades consecutivas, repitiendo el proceso tres o más veces a cierto intervalo de tiempo, hasta que al menos el 80% de la variación en el proceso se ha capturado.
A
1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59
VARIACIÓN POSICIONAL DENTRO DE LA UNIDAD
Cartas Multivari
50
Ejemplo: (cont...)
B
1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59
VARIACIÓN CÍCLICA DE UNIDAD A UNIDAD
Cartas Multivari
51
Ejemplo: (cont...)
C
1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59
VARIACIÓN TEMPORAL DE TIEMPO A TIEMPO
Cartas Multivari
52
Ejemplo: Un proceso produce flecha cilíndricas, con un diámetro especificado de 0.0250” 0.001”.
Sin embargo un estudio de capacidad muestra un Cp = 0.8 y una dispersión natural de 0.0025” (6 ) contra la permitida de 0.0002”.
Se tiene pensado comprar un torno nuevo de US$70,000 para tolerancia de 0.0008”, i.e. Cpk = 1.25. Se sugirió un estudio Multi Vari previo.
Cartas Multivari
53
Se tomaron cuatro lecturas en cada flecha, dos a cada lado. Estas muestran una disminución gradual desde el lado izquierdo al lado derecho de las flechas, además de excentricidad en cada lado de la flecha.
La variación cíclica, de una flecha a la siguiente, se muestra mediante las líneas que concentran las cuatro lecturas de cada flecha.
También se muestra la variación temporal.
Cartas Multivari
.0.2510”
0.2500”
0.2490”
Cartas Multivari
Máximo
Mínimo
Izquierda
Derecha
8 AM 9 AM 10 AM 11 AM 12 AM
55
Un análisis rápido revela que la mayor variación es temporal con un cambio mayor entre las 10 AM y las 11 AM.
A las 10 AM se para el equipo para el almuerzo y se arranca a las 11 AM, con lecturas similares a las de las 8 AM. Conforme pasa el tiempo las lecturas tienden a decrecer más y más, hasta que se invierten a las 10 A.M. en forma drástica.
Se investigó y se encontró que la temperatura tenía influencia en la variación.
La variación en temperatura era causada por que la cantidad de refrigerante no era la adecuada, lo cual se notaba más cuando se paraba el equipo y se volvía a arrancar. Se adicionó, reduciendo la variación en 50% aproximadamente..
Cartas Multivari
56
También se encontró que el acabado cónico era causado por que la herramienta de corte estaba mal alineada. Se ajustó, contribuyendo a otra reducción del 10% de la variabilidad.
La excentricidad de las flechas se corrigió al cambiar un rodamiento excéntrico por desgaste en el torno. Se instaló un nuevo rodamiento eliminándose otro 30% de la variabilidad.
La tabla siguiente muestra un resumen de los resultados.
Cartas Multivari
57
Tipo de % var. Causas de Acción % de variación
Variación Total Variación Correctiva Reducida
Temporal 50 Bajo nivel de Adicionar Casi 50
Tiempo a tiempo Refrigerante refrigerante
Dentro de 10 Ajuste no Ajuste de la Casi 10
la flecha no paralelo herramienta de
corte
Dentro de 30 Rodamiento Nuevo Casi 30
la flecha gastado rodamiento
Flecha a 5 -??? - -
flecha
Cartas Multivari
58
Resultados: La variación total en la siguiente corrida de producción se redujo de 0.0025” a 0.0004”
El nuevo Cp fue de 0.002 / 0.0004 = 5.0
Como beneficios se redujo a cero el desperdicio y no hubo necesidad de adquirir una nueva máquina.
Se observa que antes de cambiar equipo o máquinas, es conveniente realizar un estudio de variabilidad para identificar las fuentes de variación y tratar de eliminarlas.
Cartas Multivari
59
Variación desist. medición
Variaciónde
proceso
Pieza apieza
Lote a loteDentro dela pieza
Máquina amáquina
Turno aturno
Tiempo atiempo
Diámetro de Flecha (0.150" +/- .002)
Programa Máquina Accesorios
Operador a operador
Ejemplo: Búsqueda de fuentes de variación con el diagrama sistemático.
Cartas Multivari
60
Ejemplo (cont..):
• Al realizar la prueba de homogeneidad de varianza F, se encontró que había una diferencia significante entre los operadores.
Se Rechaza Ho: Oper1 =
Oper2 = Oper3
• Para probar si existe diferencia significativa entre medias de operadores se hacen las siguientes comparaciones
Ho: Oper1 = Oper2 Ho: Oper1 = Oper3
Ho: Oper2 = Oper3 Ha: Oper1 Oper2 Oper3
Cartas Multivari
61
Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1
a C3 incluyendo la respuesta (strenght) y los factores (time y Metal)
SinterTime MetalType Strength
0.5 15 23
0.5 15 20
0.5 15 21
0.5 18 22
0.5 18 19
0.5 18 20
0.5 21 19
0.5 21 18
62
Corrida en Minitab Utilizar el achivo de ejemplo Sinter.mtw
Opción: Stat > Quality Tools > Multivari charts
Indicar la columna de respuesta y las columnas de los factores
En opciones se puede poner un título y conectar las líneas
63
Resultados
211815
23.5
22.5
21.5
20.5
19.5
18.5
17.5
MetalType
Str
engt
h
0.5
1.0
2.0
Multi-Vari Chart for Strength by SinterTime - MetalType
SinterTime
64
IV.A.2 Regresión lineal simple
65
DefinicionesCorrelación
Establece si existe una relación entre las variables y responde a la pregunta, ”¿Qué tan evidente es esta relación?"
Regresión
Describe con más detalle la relación entre las variables.
Construye modelos de predicción a partir de información experimental u otra fuente disponible.
Regresión lineal simpleRegresión lineal múltipleRegresión no lineal cuadrática o cúbica
66
CorrelaciónPropósito: Estudiar la posible relación entre dos variables.
Propósito: Estudiar la posible relación entre dos variables.
Acc
iden
tes
labo
rale
s
Numero de órdenes urgentes
Correlación positiva, posible
•••
•• •
•
•• •
•••
•
••
•• • •
•
••
•
• •••
•
El 1er. paso es realizar una gráfica de la información.
Correlación de la información (R ) de las X y las Y
Correlación PositivaEvidente
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
X
Y
Correlación NegativaEvidente
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
X
Y
CorrelaciónPositiva
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
X
Y
CorrelaciónNegativa
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
X
Y
Sin Correlación
10
15
20
25
5 10 15 20 25
X
Y
0
5
0
R=1
R=>-1
R=-1
R=0
R=>1
Tabla de Correlación mínimaCorrelaciones (Pearson)
n 95% 99% de confianza de confianza 3 1.00 1.00 4 0.95 0.99 5 0.88 0.96 6 0.81 0.92 7 0.75 0.87 8 0.71 0.83 9 0.67 0.80 10 0.63 0.76 11 0.60 0.73 12 0.58 0.71 13 0.53 0.68 14 0.53 0.66
n 95% 99% de confianza de confianza15 0.51 0.6416 0.50 0.6117 0.48 0.6118 0.47 0.5919 0.46 0.5820 0.44 0.5622 0.42 0.5424 0.40 0.5226 0.39 0.5028 0.37 0.4830 0.36 0.46
Para un 95% de confianza, con una muestra de 10,el coeficiente (r) debe ser al menos .63
69
• La correlación puede usarse para información de atributos, variables normales y variables no normales.
• La correlación puede usarse con un “predictor” o más para una respuesta dada.
• La correlación es una prueba fácil y rápida para eliminar factores que no influyen en la predicción, para una respuesta dada.
Correlación
70
El análisis de regresión es un método estandarizado para localizar la correlación entre dos grupos de datos, y, quizá más importante, crear un modelo de predicción.
Puede ser usado para analizar las relaciones entre:• Una sola “X” predictora y una sola “Y”
• Múltiples predictores “X” y una sola “Y”
• Varios predictores “X” entre sí
El análisis de regresión es un método estandarizado para localizar la correlación entre dos grupos de datos, y, quizá más importante, crear un modelo de predicción.
Puede ser usado para analizar las relaciones entre:• Una sola “X” predictora y una sola “Y”
• Múltiples predictores “X” y una sola “Y”
• Varios predictores “X” entre sí
Análisis de Regresión
71
Supuestos de la regresión lineal
Los principales supuestos que se hacen en el análisis de regresión lineal son los siguientes:
La relación entre las variables Y y X es lineal, o al menos bien aproximada por una línea recta.
El término de error tiene media cero.
El término de error tiene varianza constante 2.
Los errores no están correlacionados.
Los errores están normalmente distribuidos.
Xy 10
72
Modelo de regresión lineal Se aume que para cualquier valor de X el valor
observado de Y varia en forma aleatoria y tiene una distribución de probabilidad normal
El modelo general es: Y = Valor medio de Yi para Xi + error aleatorio
Xy 10
La línea de regresión se calcula por el método de mínimos cuadrados. Un residuo es la diferencia entre un punto de referencia en particular (xi, yi) y el modelo de predicción ( y = a + bx ). El modelo se define de tal manera que la suma de los cuadrados de los residuales es un mínimo. La suma residual de los cuadrados es llamada con frecuencia la suma de los cuadrados de los errores (SSE) acerca de la línea de regresión
•••
•• •
•
•• •
•••
•
••
•• • •
•
••
•
• •••
•
ei
xi
yi
SSE = ei2 = yi - yi
2
y = b0 + b1x
Regresión Lineal Simple
a y b son Estimados de0 y 1
74
Gráfica de la Línea de Ajuste
Recta de regresión
Y=-.600.858+5738.89XR2 = .895
Altura del muelle
Re
ten
ció
n
0.18 0.19 0.20
400
500
600
Regresión
95% Intervalode confianza
95% Intervalode predicción
75
Interpretación de los Resultados
El intervalo de predicción es el grado de certidumbre de la difusión de la Y estimada para puntos individuales X. En general, 95% de los puntos individuales (provenientes de la población sobre la que se basa la línea de regresión), se encontrarán dentro de la banda [Líneas azules]
La ecuación de regresión (Y = -600.858 + 5738.89X) describe la relación entre la variable predictora X y la respuesta de predicción Y.
R2 (coef. de determinación) es el porcentaje de variación explicado por la ecuación de regresión respecto a la variación total en el modelo
R2 (coef. de determinación) es el porcentaje de variación explicado por la ecuación de regresión respecto a la variación total en el modelo
El intervalo de confianza es una banda con un 95% de confianza de encontrar la Y media estimada para cada valor de X [Líneas rojas]
Interpretación de los Resultados
• Los valores “p” de la constante (intersección en Y) y las variables de predicción, se leen igual que en la prueba de hipótesis.
Ho: El factor no es significativo en la predicción de la respuesta.Ha: El factor es significativo en la predicción de la respuesta.
• s es el “error estándar de la predicción” = desviación estándar del error con respecto a la línea de regresión.
• R2 (ajustada) es el porcentaje de variación explicado por la regresión, ajustado por el número de términos en el modelo y por el número de puntos de información.
• El valor “p” para la regresión se usa para ver si el modelo completo de regresión es significativo. Ho: El modelo no es significativo en la predicción de la respuesta. Ha: El modelo es significativo en la predicción de la respuesta.
77
Errores residuales Los errores se denominan frecuentemente residuales.
Podemos observar en la gráfica de regresión los errores indicados por segmentos verticales.
78
Ejemplo
Considere el problema de predecir las ventas mensuales en función del costo de publicidad. Calcular el coeficiente de correlación, el de determinación y la recta.
MES Publicidad Ventas
1 1.2 1012 0.8 923 1.0 1104 1.3 1205 0.7 906 0.8 827 1.0 938 0.6 759 0.9 9110 1.1 105
79
Riesgos de la regresión Los modelos de regresión son válidos como ecuaciones
de interpolación sobre el rango de las variables utilizadas en el modelo. No pueden ser válidas para extrapolación fuera de este rango.
Mientras que todos los puntos tienen igual peso en la determinación de la recta, su pendiente está más influenciada por los valores extremos de X. 1.
Y *A
* * * * * Sin A y B * * * * *B X
80
Riesgos de la regresión Los outliers u observaciones aberrantes pueden
distorsionar seriamente el ajuste de mínimos cuadrados.
Si se encuentra que dos variables están relacionadas fuertemente, no implica que la relación sea casual, se debe investigar la relación causa – efecto entre ellas. Por ejemplo el número de enfermos mentales vs. número de licencias recibidas.
Y *A * * * * * *
* * * ** * ** * * * ** * *
X
81
Ejercicio
Calcular la recta de predicción con sus bandas de confianza, la correlación y la determinación para la respuesta de un Taxi, los datos se muestran a continuación:
Distancia Tiempo0.8 200 2.2 4001.0 1600.6 1201.0 3601.4 2802.2 5600.6 320
82
Regresión lineal múltiple
83
Regresión múltiple Cuando se usa más de una variable independiente para
predecir los valores de una variable dependiente, el proceso se llama análisis de regresión múltiple, incluye el uso de ecuaciones lineales.
Se asume que los errores u tienen las características siguientes:
Tienen media cero y varianza común 2. Son estadísticamente independientes. Están distribuidos en forma normal.
uukkuuu XXXY .......22110
84
Multicolinealidad Una prueba fácil de probar si hay multicolinealidad entre dos
variables es que su coeficiente de correlación sea mayor a 0.7
Los elementos de la diagonal principal de la matriz X’X se denominan Factores de inflación de varianza (VIFs) y se usan como un diagnóstico importante de multicolinealidad. Para el componente j – ésimo se tiene:
Si es mayor a 10 implica que se tienen serios problemas de multicolinealidad.
21
1
jj R
VIF
85
Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1
a C5 incluyendo la respuesta Y (heatflux) y las variables predictoras X’s (North, South, East)
HeatFlux Insolation East South North
271.8 783.35 33.53 40.55 16.66
264.0 748.45 36.50 36.19 16.46
238.8 684.45 34.66 37.31 17.66
230.7 827.80 33.13 32.52 17.50
251.6 860.45 35.75 33.71 16.40
257.9 875.15 34.46 34.14 16.28
86
Corrida en Minitab Utilzar el archivo de ejemplo Exh_regr.mtw Opción: Stat > Regression > Regression Para regresión lineal indicar la columna de
respuesta Y (Score2) y X (Score1)
En Regresión lienal en opciones se puede poner un valor Xo para predecir la respuesta e intervalos. Las gráficas se obtienen Stat > Regression > Regression > Fitted line Plots
Para regresión múltiple Y (heatflux) y las columnas de los predictores (north, south, east)
87
Resultados de la regresión lineal
The regression equation is
Score2 = 1.12 + 0.218 Score1
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 1.1177 0.1093 10.23 0.000
Score1 0.21767 0.01740 12.51 0.000
S = 0.1274 R-Sq = 95.7% R-Sq(adj) = 95.1%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 2.5419 2.5419 156.56 0.000
Residual Error 7 0.1136 0.0162
Total 8 2.6556
Predicted Values for New Observations
New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI
1 2.6414 0.0474 ( 2.5292, 2.7536) ( 2.3197, 2.9631)
New Obs Score1
1 7.00
88
Resultados de la regresión lineal
98765432
3.5
2.5
1.5
Score1
Sco
re2
S = 0.127419 R-Sq = 95.7 % R-Sq(adj) = 95.1 %
Score2 = 1.11771 + 0.217670 Score1
95% PI
95% CI
Regression
Regression Plot
89
Resultados de la regresión Múltiple
The regression equation is
HeatFlux = 389 - 24.1 North + 5.32 South + 2.12 East
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 389.17 66.09 5.89 0.000
North -24.132 1.869 -12.92 0.000
South 5.3185 0.9629 5.52 0.000
East 2.125 1.214 1.75 0.092
S = 8.598 R-Sq = 87.4% R-Sq(adj) = 85.9%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 3 12833.9 4278.0 57.87 0.000
Residual Error 25 1848.1 73.9
Total 28 14681.9
Source DF Seq SS
North 1 10578.7
South 1 2028.9
East 1 226.3
90
• La regresión sólo puede utilizarse con información de variables continuas.
• Los residuos deben distribuirse normalmente con media cero.
• Importancia práctica: (R2). Importancia estadística: (valores p)
• La regresión puede usarse con un “predictor” X o más, para una respuesta dada
• Reduzca el modelo de regresión cuando sea posible, sin perder mucha importancia práctica
Resumen de la Regresión
91
IV.B Pruebas de hipótesis
92
IV.B. Pruebas de hipótesis
1. Conceptos fundamentales2. Pruebas para medias, varianzas y
proporciones
3. Pruebas pareadas de medias4. Análisis de varianza (ANOVA)
5. Tablas de contingencia6. Pruebas no paramétricas
93
IV.B.1 Conceptos fundamentales
94
Análisis Estadístico
En CADA prueba estadística, se comparan algunos valores observados a algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parámetros (media, desviación estándar, varianza)
Estas estimaciones de los VERDADEROS parámetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los ESTADÏSTICOS...
La capacidad para detectar un diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos
Incrementando el tamaño de la muestra mejora la estimación y tu confianza en las conclusiones estadísticas.
95
Conceptos fundamentales Hipótesis nula Ho
Es la hipótesis o afirmación a ser probada Puede ser por ejemplo , , , = 5 Sólo puede ser rechazada o no rechazada
Hipótesis alterna Ha Es la hipótesis que se acepta como verdadera cuando
se rechaza Ho, es su complemento Puede ser por ejemplo = 5 para prueba de dos colas < 5 para prueba de cola izquierda > 5 para prueba de cola derecha Esta hipótesis se acepta cuando se rechaza Ho
96
Conceptos fundamentales Ejemplos:
Se está investigando si una semilla modificada proporciona una mayor rendimiento por hectárea, la hipótesis nula de dos colas asumirá que los rendimientos no cambian Ho: Ya = Yb
Se trata de probar si el promedio del proceso A es mayor que el promedio del proceso B. La hipótesis nula de cola derecha establecerá que el proceso A es <= Proceso B. O sea Ho: A <= B.
97
Conceptos fundamentales Estadístico de prueba
Para probar la hipótesis nula se calcula un estadístico de prueba con la información de la muestra el cual se compara a un valor crítico apropiado. De esta forma se toma una decisión sobre rechazar o no rechazar la Ho
Error tipo I (alfa = nivel de significancia, normal=.05)
Se comete al rechazar la Ho cuando en realidad es verdadera. También se denomina riesgo del productor
Error tipo II (beta ) Se comete cuando no se rechaza la hipótesis nula
siendo en realidad falsa. Es el riesgo del consumidor
98
Conceptos fundamentales Tipos de errores
Se asume que un valor pequeño para es deseable, sin embargo esto incrementa el riesgo .
Para un mismo tamaño de muestra n ambos varían inversamente
Incrementando el tamaño de muestra se pueden reducir ambos riesgos.
Decisión realizada Ho en realidad es Verdadera
Ho en realidad es falsa
No hay evidencia para rechazar Ho
p = 1-Decisión correcta
p = Error tipo II
Rechazar Ho p = Error tipo I
p = 1 - Decisión correcta
99
Conceptos fundamentales Pruebas de dos colas
Si la Ho: , , , = cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se reparte en ambos extremos de la distribución. Por ejemplo si Ho = 10 se tiene:
P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2
100
Conceptos fundamentales Pruebas de una cola
Si la Ho: , , , >= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola izquierda de la distribución. Por ejemplo si Ho: >= 10 y Ha: < 10 se tiene una prueba de cola izquierda:
P(Z <= - Zexcel ) = alfa
101
Conceptos fundamentales Pruebas de una cola
Si la Ho: , , , <= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola derecha de la distribución. Por ejemplo si Ho: <= 10 y Ha: > 10 se tiene una prueba de cola derecha:
P(Z>= + Zexcel ) = alfa
102
Conceptos fundamentales Tamaño de muestra requerido
Normalmente se determina el error alfa y beta deseado y después se calcula el tamaño de muestra necesario para obtener el intervalo de confianza.
El tamaño de muestra (n) necesario para la prueba de hipótesis depende de:
El riesgo deseado tipo I alfa y tipo II Beta El valor mínimo a ser detectado entre las
medias de la población (Mu – Mu0) La variación en la característica que se mide (S
o sigma)
103
Conceptos fundamentales El Tamaño de muestra requerido en función
del error máximo E o Delta P intervalo proporcional esperado se determina como sigue:
2 2/ 22
2/ 2
2
( )(1 )
( )
Zn
E
Z p pn
p
2
22/
2
222/
)(
)1)((
)(
p
Zn
X
Zn
104
Conceptos fundamentales Ejemplo:
¿Cuál es el tamaño de muestra mínimo que al 95% de nivel de confianza (Z=1.96) confirma la significancia de una corrida en la media mayor a 4 toneladas/hora (E), si la desviación estándar (sigma) es de 20 toneladas?
n = (1.96^2)(20^2)/(4)^2 = 96
Obtener 96 valores de rendimiento por hora y determinar el promedio, si se desvía por más de 4 toneladas, ya ha ocurrido un cambio significativo al 95% de nivel de confianza
105
Pruebas de Minitab Permite hacer las siguientes pruebas:
Prueba z de una muestra Prueba t de una muestra Prueba t de dos muestras Prueba de 1 proporción Prueba de 2 proporciones
ANOVA Diseños factoriales de dos niveles Diseños de Packett Burman
106
Estimación puntual y por intervalo
107
7B2. Estimación puntual y por intervalo
Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y desviación estándar real de población o de los PARAMETROS.
¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en una muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error?
“Un Intervalo de Confianza”
108
Intervalo de confianza
P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2
Intervalo de confianza donde se encuentra el parámetro con un NC =1-
Error de estimación
109
Estimación puntual y por intervalo
¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza?
Estimación puntual + error de estimación
¿De dónde viene el error de estimación?
Desv. estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Z/2
Por Ejemplo: Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo de confianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es:
100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025
110
Estimación puntual y por intervalo
95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad de obtener un punto fuera de ese intervalo.
Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960.
C. I. Multiplicador Z/2 99 2.576
95 1.960
90 1.64585 1.43980 1.282
Para tamaños de muestra >30, o conocida usar la distribución Normal
Para muestras de menor tamaño, o desconocida usar la distribución t
111
Estimación puntual y por intervalo
. 30
2
. 30
2
2 22
2 2
, 1 1 , 12 2
2
( 1) ( 1)
(1 )
para n
para n
n n
X Zn
X tn
n s n s
p pp Z
n
; con n-1 gl.
112
Instrucciones con MinitabIntervalo de confianza para la
media
Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t
Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data
En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato
En Options:
Indicar el Confidence level -- 90, 95 o 99%
OK
113
Instrucciones con MinitabIntervalo de confianza para
proporción
Stat > Basic Statistics > 1-Proportion
Seleccionar Summarized Data
Number of trials = n tamaño de la muestraNumber of events = D éxitos encontrados en la muestra
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%
Seleccionar Use test and interval based in normal distribution
114
Para n grande el IC es pequeño
115
Ejemplo Dadas las siguientes resistencias a la tensión:
28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi
Estimar la media puntualX media = 28.08 con S = 1.02
Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con n-1=3 grados de libertad)Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)
116
Ejemplos para la media con Distribución normal Z
Z 1. El peso promedio de una muestra de 50 bultos de productos Xmedia = 652.58 Kgs., con S = 217.43 Kgs. Determinar el intervalo de confianza al NC del 95% y al 99% donde se encuentra la media del proceso (poblacional). Alfa = 1 - NC2. Un intervalo de confianza del 90% para estimar la ganancia promedio del peso de ratones de laboratorio oscila entre 0.93 y 1.73 onzas. ¿Cuál es el valor de Z?.3. 100 latas de 16 onzas de salsa de tomate tienen una media de Xmedia = 15.2 onzas con una S = 0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95%, las latas parecen estar llenas con 16 onzas?.4. Una muestra de 16 soluciones tienen un peso promedio de 16.6 onzas con S = 3.63. Se rechaza la solución si el peso promedio de todo el lote no excede las 18 onzas. ¿Cuál es la decisión a un 90% de nivel de confianza?.
117
Ejemplos para la media y varianza con Distribución t
t 5. 20 cajas de producto pesaron 102 grs. Con S = 8.5 grs. ¿Cuál es el intervalo donde se encuentra la media y varianza del lote para un 90% de nivel de confianza?. Grados libertad=20 -1 =19
6. Una muestra de 25 productos tienen un peso promedio de 23.87 grs. Con una S = 9.56. ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media y varianza a un nivel de confianza del 95 y del 98% del peso de productos del lote completo?.
7. Los pesos de 25 paquetes enviados a través de UPS tuvieron una media de 3.7 libras y una desviación estándar de 1.2 libras. Hallar el intervalo de confianza del 95% paraestimar el peso promedio y la varianza de todos los paquetes. Los pesos de los paquetes se distribuyen normalmente.
118
Ejemplos para proporciones con Distribución Z
Z 8. De 814 encuestados 562 contestaron en forma afirmativa. ¿Cuál es el intervalo de confianza para un 90% de nivel de confianza?
9. En una encuesta a 673 tiendas, 521 reportaron problemas de robo por los empleados ¿Se puede concluir con un 99% de nivel de confianza que el 78% se encuentra en el intervalo de confianza. ?
119
IV.B.2b Pruebas de hipótesis para media, varianza y
proporción
120
Elementos de una Prueba de Hipótesis
Prueba Estadística- Procedimiento para decidir no rechazar Ho aceptando Ha o rechazar Ho.
Hipótesis Nula (Ho) - Usualmente es una afirmación representando una situación “status quo”. Generalmente deseamos rechazar la hipótesis nula.
Hipótesis Alterna (Ha) - Es lo que aceptamos si podemos rechazar la hipótesis nula. Ha es lo que queremos probar.
121
Elementos de una Prueba de Hipótesis
Estadístico de prueba: Calculado con datos de la muestra (Z, t, X2 or F).
Región de Rechazo Indica los valores de la prueba estadística para que podamos rechazar la Hipótesis nula (Ho). Esta región esta basada en un riesgo deseado, normalmente 0.05 o 5%.
122
Pasos en la Prueba de Hipótesis
1. Definir el Problema - Problema Práctico
2. Señalar los Objetivos - Problema Estadístico
3. Determinar tipo de datos - Atributo o Variable
4. Si son datos Variables - Prueba de Normalidad
123
Pasos en la Prueba de Hipótesis
5. Establecer las Hipótesis
- Hipótesis Nula (Ho) - Siempre tiene el signo =, ,
- Hipótesis Alterna (Ha) – Tiene signos , > o <.
El signo de la hipótesis alterna indica el tipo de prueba a usar
hipotesisladeparametroHo ,,,,: 2
hipotesisladeparametroHa ,,,,: 2
124
Pasos en la Prueba de Hipótesis
6. Seleccionar el nivel de Alfa (normalmente 0.05 o 5%) o el nivel de confianza NC = 1 - alfa
7. Establecer el tamaño de la muestra, >= 10.
8.Desarrollar el Plan de Muestreo
9.Seleccionar Muestras y Obtener Datos
10. Decidir la prueba estadística apropiada y calcular el estadístico de prueba (Z, t, X2 or F) a partir de los datos.
125
Estadísticos para medias, varianzas y proporciones
21
1 222
1 2
1 2
2 21 1 2 2
11 2
; . ; 30;/
; . ; 30;/
; 1, 1; . .var
; . ; ' . .1 1
/
( 1) ( 1);
2
p
p
XZ Una media n conocida
n
Xt Una media n desconocida
S n
SF DF n n prueba dos ianzas
S
X Xt dos medias s desconocidas pero
Sn n
n s n sS DF n
n n
2
1 2
2 21 2
1 2
2
; . ; ' .
.
n
X Xt dos medias s desconocidas diferentes
s s
n n
DF formula especial
126
Estadísticos para medias, varianzas y proporciones
Para el caso de muestras pareadas se calculan las diferencias d individuales como sigue:
22
2
22
; . . ; . . ./
( 1); ( 1); . . ar
( ); ( 1)( 1); .
i
d
dt Pares de medias d para cada par
S n
n SX DF n prueba una v ianza
O EX DF r c bondad ajuste
E
127
Pasos en la Prueba de Hipótesis
11. Obtener el estadístico correspondiente de tablas o Excel.
12.Determinar la probabilidad de que el estadístico de prueba calculado ocurre al azar.
13.Comparar el estadístico calculado con el de tablas y ver si cae en la región de rechazo o ver si la probabilidad es menor a alfa, rechaze Ho y acepte Ha. En caso contrario no rechaze Ho.
14.Con los resultados interprete una conclusión estadística para la solución práctica.
Prueba de Hipótesis
Pruebas de Hipótesis de dos colas: Ho: a = bHa: a b
Pruebas de Hipótesis de cola derecha: Ho: a bHa: a > b
Pruebas de Hipótesis cola izquierda: Ho: a bHa: a < b
Z0-Z
Región de Rechazo
Región de Rechazo
Z0
Región de Rechazo
Z0-Z
Región de Rechazo
Estadístico Calculado conDatos de la muestra
129
Prueba de hipótesis para la varianza
Las varianzas de la población se ditribuyen de acuerdo a la distribución Chi Cuadrada. Por tanto las inferencias acerca de la varianza poblacional se basarán en este estadístico
La distribución Chi Cuadrada se utiliza en:Caso I. Comparación de varianzas cuando la
varianza de la población es conocida
Caso II. Comparando frecuencias observadas y esperadas de resultados de pruebas cuando no hay una varianza de la población definida (datos por atributos)
130
Prueba de hipótesis para la varianza
Las pruebas de hipótesis para comparar una varianza poblacional a un cierto valor constante 0, si la población sigue la distribución normal es:
Con el estadístico Chi Cuadrada con n-1 grados de libertad
131
Prueba de hipótesis para la varianza
Ejemplo: ¿El material muestra una variación (sigma) en la resistencia a la tensión menor o igual a 15 psi con 95% de confianza?. En una muestra de 8 piezas se obtuvo una S = 8psi.
X^2c =(7)(8)^2/(15)^2 = 1.99Como La Chi calculada es menor a la Chi de Excel de 2.17 se debe
rechazar la hipótesis nula. Si hay decremento en la resistencia
2.17
132
Prueba de hipótesis para atributos
Ejemplo: Un supervisor quiere evaluar la habilidad de 3 inspectores para detectar radios en el equipaje en un aeropuerto.
¿Hay diferencias significativas para un 95% de confianza?
Valores observados O
Inspector 1
Inspector 2
Inspector 3
Total por tratamiento
Radios detectados
27 25 22 74
Radios no detectados
3 5 8 16
Total de la muestra
30 30 30 90
133
Prueba de hipótesis para atributos
Ho: p1 = p2 = p3Ha: p1 p2 p3Grados de libertad = (No. de columnas -1)*(No. renglones -1)Las frecuencias esperadas son: (Total columna x Total renglón)
Valores esperados E
Inspector 1
Inspector 2
Inspector 3
Total por tratamiento
Radios detectados
24.67 24.67 24.67 74
Radios no detectados
5.33 5.33 5.33 16
Total de la muestra
30 30 30 90
134
Prueba de hipótesis para atributos
El estadístico Chi Cuadrado en este caso es:
El estadístico Chi Cuadrada de alfa = 0.05 para 4 grados de libertad es 5.99.El estadístico Chi Cuadrada calculada es menor que Chi de alfa, por lo que no se rechaza Ho y las habilidades son similares
5.99
Para una muestra grande (n>30)probar la hipótesis de una media u1.) Ho:
2.) Ha:
3.) Calcular el estadístico de prueba4.) Establecer la región de rechazo Las regiones de rechazo para prueba de 2 colas: -Z Z
sn
Zcalc=
Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo rechazaremos Ho de otra manera no podemos rechazar Ho.
0
-Z
Región de Rechazo
Región de Rechazo
Ejemplo de Prueba de hipótesis para la media
136
Prueba de hipótesis de una población para muestras
grandes con Z¿Parecería ser correcta la afirmación de que se mantiene el precio promedio de las computadoras en $2,100?Probarlo a un 5% de nivel de significancia
DatosMinoristas n 64 media mu = 2100Precio prom. X 2251Desv. Estándar s 812 (Alfa = 0.05Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Ho: uC = 2100 Se inicia con el planteamiento de la hipótesis nula
Ha: uC <> 2100 Por tanto se trata de una prueba de dos colasPaso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc
151 = > Zc = 1.48768473
101.5 Error estándar
Como el valor de Zc es positivo se comparará contra de Zexcel (1-alfa/2) positivoPaso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para el valor de probabilidad (Alfa / 2):
Ze ( 0.025 ) = 1.95996398 DIST.NORM.STAND.INV.( -0.025 )
n
sX
Z NULAHIPOTESISc
.
137
Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene
Zexcel ( #¡REF! ) Zexcel ( -0.025 )-1.95996398 1.959963985
Zc = 1.487684729
Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el área de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para RECHAZAR Ho
Se concluye que el precio promedio no es diferente de $2,100O Como el valor P = 0.068 correspondiente a la Z calculada Zc es mayor
que el valor de Alfa / 2 = 0.025, también nos da el criterio para NO RECHAZAR la Ho
Paso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional (1-Alfa = 0.95 Porciento)al nivel de confianza 1-Alfa
Error estándar 101.5Z alfa/2 1.95996398
Intervalo de confianza 2251 198.936344
El intervalo de confianza incluye a la media de la hipótesis
por tanto no se rechaza la Ho. 2052.064 <= <= ### )
P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2
n
sZXestimarparaIC
2...
138
Prueba de hipótesis de una población para muestras
pequeñas con t
Se piensa que las ventas promedio de $5,775 se han incrementado gracias a la campaña publicitariaProbar esta afirmación a un nivel de significancia alfa de 1%
Se inicia con el planteamiento de la hipótesis AlternaDatos
Semanas n 15 media mu = 5775Ventas prom X 6012Desv. Estándar s 977 (Alfa = 0.01 (1-Alfa = 0.99
(Alfa/2 = 0.005 (1-Alfa/2 = 0.995Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Ho: uC <= 5775
Ha: uV > 5775 Se trata de una prueba de cola derechaPaso 2. Cálculo del estadístico de prueba tc
237 = > tc = 0.93950568
252.2603153 Error estándarNOTA:En excel poner 2alfa para obtener t de alfa
Como el valor de tc es positivo se comparará contra de t excel (1- alfa) positivoPaso 3. Determinar la te de Excel o de tablas para Alfa 0.01
te ( 0.99 2.62449406 DIST.T.INV( 0.02 , gl. 14 )
n
sX
t NULAHIPOTESISc
.
Gl=14;
139
Paso 4. Comparando los valores tc calculado contra t excel se tiene
texcel ( 0.02 gl. 14)2.62449406
tc = 0.939505684 Valor p para tc es igual aP(tc) = 0.368130427
Como tc es menor que texcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfa
y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho
Se concluye que la publicidad no ha tenido efecto en las ventas O Como el valor de P para Zc es 0.368 mayor a Alfa = 0.05 no se rechaza HoPaso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel (1-Alfa = 99 Porciento)
Error estándar 252.260315Z alfa/2 2.62449406
Como el intervalo de confianza Intervalo de confianza 6012 662.0557002
contiene a la media Hipótesis no se rechaza Ho 5349.94 <= <= 6674.06 )
P(t >= + t excel ) = alfa
n
stXestimarparaIC
2...
140
Instrucciones con Minitab para laprueba de hipótesis de una
media
Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t
Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data
En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato
Proporcionar la Media de la hipótesis Test Mean
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%
Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than
OK
141
Prueba de hipótesis para una proporción con Z
El gerente de mercado considera que el 50% de sus clientes gasta menos de $10 en cada visita a la tienda.¿Estás de acuerdo con esta afirmación a un nivel de significancia del 5%?
Se inicia con el planteamiento de la hipótesis nulaDatos
Clientes n 50 Proporción media = 0.530 gastaron p 0.6menos de$10 (Alfa = 0.05 (1-Alfa = 0.95
(Alfa/2 = 0.025 (1-Alfa/2 = 0.975Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Se trata de una prueba de dos colas
Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc
0.1 = > Zc = 1.41421356
0.07071068 Error estándar
Como el valor de Zc es positivo se comparará contra de Zexcel (alfa/2) positivo
Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para (1-Alfa/2 = 0.975
Ze ( (1-Alfa/2 = 1.95996398 DIST.NORM.STAND.INV.( 0.975 )
n
pZ
NULAHIPNULAHIP
NULAHIPOTESISc
)1( ..
.
5.0:
5.0:
c
c
Ha
Ho
142
Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene
Zexcel ( 0.025 ) Zexcel ( 0.975 )-1.95996398 1.95996398
Zc = 1.41421356 Valor p para Zc es igual aP(-Zc) = 0.07926984
Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfa /2
y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho y se concluyeque el porcentaje que compra menos de $10 no difiere del 50% de clientesO Como el valor P de Zc es 0.079 mayor a Alfa/2 no se rechaza HoPaso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel (1-Alfa = 95 Porciento)
Error estándar 0.07071068Z alfa/2 1.41421356
Intervalo de confianza 0.6 0.1
Como la media de p = 0.6 se encuentra
dentro del intervalo, no se rechaza Ho ( 0.5 <= 0.7 )
P(Z <= - Zexcel ) = alfa/2 P(Z>= Zexcel ) = alfa/2
n
ppZpestimarparaIC
)1(...
2
143
Instrucciones con Minitab para laprueba de hipótesis de una
proporción
Stat > Basic Statistics > 1-Proportion
Seleccionar Summarized Data
Number of trials = n tamaño de la muestraNumber of events = D éxitos encontrados en la muestra
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%Indicar la Test Proportion Proporción de la hipótesisIndicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than
Seleccionar Use test and interval based in normal distribution
OK
144
IV.B.2b Pruebas de hipótesis para comparación de varianzas,
medias, y proporciones
Prueba de Hipótesis Supongamos que tenemos muestras de dos reactores
que producen el mismo artículo. Se desea ver si hay diferencia significativa en el rendimiento de “Reactor a Reactor”. Reactor A Reactor B
89.7 84.7
81.4 86.1
84.5 83.2
84.8 91.9
87.3 86.3
79.7 79.3
85.1 82.6
81.7 89.1
83.7 83.7
84.5 88.5
Estadísticas Descriptivas
Variable Reactor N Media Desv.Std
Rendimiento A 10 84.24 2.90
B 10 85.54 3.65
146
Prueba de HipótesisPregunta Práctica: Existe diferencia entre los
reactores?
Pregunta estadística ¿La media del Reactor B (85.54) es significativamente diferente de la media del Reactor A (84.24)? O, su diferencia se da por casualidad en una variación de día a día.
Ho:
Ha: a
a
b
b
Ho: Hipótesis Estadística: No existe diferencia entre los Reactores
Ha: Hipótesis Alterna: Las medias de los Reactores son diferentes.
Se busca demostrar que los valores observados al parecer no corresponden al mismo proceso, se trata de rechazar Ho.
147
Prueba de Hipótesis
Hipótesis Alterna: Cuando las medias de Reactores son diferentes. A esto se le llama Hipótesis Alterna (Ha)
Hipótesis Estadística: No existe diferencia entre los Reactores
Esto se llama Hipótesis Nula (Ho)
Debemos demostrar que los valores que observamos al parecer no corresponden al mismo proceso, que la Ho debe estar equivocada
148
¿Qué representa esto?
Reactor A Reactor B
80.0 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5
A AA AAAA A AB B B B B BB B B B
¿Representan los reactores un proceso básico?
¿Representan los reactores dos procesos diferentes?
149
Prueba F de dos varianzas Si se toman dos muestras de dos poblaciones normales
con varianzas iguales, la razón de sus varianzas crea una distribución muestral F. Las hipótesis son las siguientes:
El estadístico F se muestra a continuación donde S1 se acostumbra tomar como la mayor
150
Prueba F de dos varianzas
Sea S1 = 900 psi, n1 = 9, s2 = 300 psi, n2 = 7. A un 95% de nivel de confianza se puede concluir que hay menor variación?
Ho: Varianza 1 <= Varianza 2 H1: Varianza 1 > Varianza 2
Grados de libertad para Var1 = 8 y para var 2 = 6
Falfa = F(0.05, 8, 6) = 4.15Fcalculada = (900^2)/(300^2) = 9 >> Falfa, se rechaza
Ho. Hay evidencia suficiente para indicar que la variación ya se
ha reducido
151
Prueba de hipótesis de dos pob. comparando varianzas con F
Se quiere comprobar si las varianzas de dos diferentes métodos de ensamble de CDs son diferentes en prod .A un nivel de siginificancia del 5% ¿Qué se puede concluir?
Método 1 Método 2No. De CDs n1 15 n2 17 Alfa/2 0.025Desv. Estan. s1 5.4 X2 4.8Varianza s12 29.16 s22 23.04
Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Por tanto se trata de una prueba de dos colas
Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba FcGrados de libertad
1.266 Numerador = n1 - 1 = 14Denominador = n2 - 1 = 16
Tomamos a s12 como el mayor para comparar Fc contra Fexcel (1- Alfa/2)
Paso 3. Determinar la Fe de Excel o de tablas para Alfa/2 0.025
Fe (0.975) = 2.81701784 DIST.F.INV (0.025, 14,16)
22
21
22
21
:
:
Ha
Ho
22
21
s
sFc
152
Paso 4. Comparando los valores Fc calculado contra Fexcel (0.025) se tiene
f(F)
Fe(0.025) = 2.81701784
Fc = 1.266 Valor p para Fc es igual aP(Fc) = 0.32259599
Como Fc es menor que Fexcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfa / 2
y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que la varianza de los dos métodos de ensamble no difierensignificativamente
P(F>= + 2.81 ) = alfa/2
153
Instrucciones con Minitab para lacomparación de dos varianzas
Stat > Basic Statistics > 2-variances
Seleccionar samples in different columns o Summarized data
First-- Indicar la columna de datos de la muestra 1Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%
OK
154
Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos medias con Z
Investigar si el ambiente libre de tensiones mejoran el engorde y la calidad de la carne de vacasLas varianzas poblacionales son desconocidasDeterminar el intervalo de confianza al 90% donde se encuentra la media. Alfa = 0.10
Vacas vacaciones Vacas normalesVacas n1 50 n2 50Peso promedio X1 112 X2 105.7Desv. Estándar s1 32.3 s2 28.7
Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Como el planteamiento es que las vacas de vacaciones ganan más peso, se inicia planeando la Ha
Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc
6.3 = > Zc = 1.03099301
6.110613717
Tomamos a X1 como el mayor para comparar Zc contra Ze positiva
Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para una alfa de 0.1
Ze (0.90) = 1.28155157 DIST.NORM.STAND.INV (0.90)
21
32
21
21
n
s
n
s
XXZ c
VNVV
VNVV
Ha
Ho
:
:
155
Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel (0.90) se tiene
Ze (0.90)= 1.28Zc = 1.03099301 Valor p para Zc es igual a
P(-Zc) = 0.149402368 p > Alfa
Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el área de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho
Se concluye que no hay diferencia entre vacas de vacaciones y normalesPaso adicional. El Intervalo de confianza del 90% sobre la diferencia de medias poblacionales,
con sigmas desconocidas es:
= Error estándar 6.11061372 Z (alfa/2) = 1.64485363
= Intervalo de confianza6.3 + - 10.05106514
La diferencia es del orden de cero,es decir ( -3.75107 < = u < = 16.3511 )
P(Z>= + 1.28) = 0.90
21
22
21
21 n
s
n
sXX
212/21 )( XXsZXX
156
Prueba de dos mediasmuestras pequeñas
Sigmas descono-cidas e iguales
Sigmas desconocidasy desiguales
157
Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos medias con t
Investigar si hay diferencia en los promedios de las ventas diarias de dos tiendasLas varianzas de las dos poblaciones son iguales pero desconocidasDeterminar el intervalo de confianza al 99% donde se encuentra la media (alfa = 0.01)
Tienda 1 Tienda 2Semanas n1 12 n2 15Ventas promedio X1 125.4 X2 117.2Desv. Estandar s1 34.5 s2 21.5
Paso 1. Establecimiento de hipótesis
Por tanto se trata de una prueba de dos colas
Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba tc
19564.25 Sp2 = 782.57
25
8.2 = > tc = 0.75684444
10.8344589
Tomamos a X1 como el mayor para comparar tc contra te positiva Si se toma a X1 como la media menor se debe comparar Zc contra -Ze
Paso 3. Determinar la te de Excel o de tablas para una alfa de 0.01 que corresponde a alfa/2 = 0.005Se tienen n1 + n2 - 2 grados de libertad o sean 25te (0.01) = 2.78743581 DIST.T.INV (0.01, 25) Asi es para dos colas
221
)12()11( 22
212
nn
nsnss p
21
32
21
n
s
n
s
XXt
pp
c
22
21
21
21
:
:
TT
TT
Ha
Ho
158
Paso 4. Comparando los valores tc calculado contra texcel (0.01) se tiene
te(0.01,25) = -2.787 te(0.01, 25) = 2.787Valor p para tc es igual a
tc = 0.7568 P(tc) = 0.46025521 p > Alfa / 2
Como tc es menor que texcel, no cae en el área de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que no hay diferencia sig. En las ventas de las dos tiendas
Paso adicional. El Intervalo de confianza del 99% sobre la diferencia de medias poblacionales, con sigmas desconocidas es:
= Error estándar 10.8344589
= Intervalo de confianza (8.2 + - 2.787*10.83)
Se observa una diferencia positiva sin embargo el cero está incluido ( -21.98 <= u <= 38.38)
P(t>=2.787 ) = alfa/2P(t<=-2.787 ) = alfa/2
21)(
22
2/21n
s
n
stXX pp
21
22
n
s
n
s pp
159
Instrucciones con Minitab para lacomparación de dos medias
Stat > Basic Statistics > 2-Sample t
Seleccionar samples in different columns o Summarized dataFirst-- Indicar la columna de datos de la muestra 1Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2Seleccionar o no seleccionar Assume equal variances de acuerdo
a los resultados de la prueba de igualdad de varianzas
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%Indicar la diferencia a probar Test Difference (normalmente 0)Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than
En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plotOK
160
Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos proporciones
con ZInvestigar si tiene razon el analista sobre si los bonos convertibles se sobrevaloraron más que los bonos de ingresos.Probar la hipótesis a un 10% de nivel de significancia o error de equivocarse en rechazar Ho.
Convertibles IngresosBonos n1 312 n2 205 Alfa 0.1Sobrevalorad X1 202 X2 102 1-Alfa 0.9 7.8 p1 0.647 p2 0.498 Fracción de las muestrasPaso 1. Establecimiento de hipótesis
Por tanto se trata de una prueba de cola derecha
Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc0.150 = > Zc = 3.393046759
0.04417119
Tomamos a p1 como el mayor para comparar Zc contra Ze positiva (1- Alfa)Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para 1-Alfa 0.9
Ze (0.9) = 1.28155157 DIST.NORM.STAND.INV (0.9)
2
)1(
1
)1( 2211
21
n
pp
n
pp
ppZ c
2121
2121
:..........................0:
:.........0:
HaHa
HoformaotraHo
161
Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel (0.9) se tiene
Zc = 3.39304676
Ze(0.9) = 1.281551566Valor p para Zc es igual aP(-Zc) = 0.00034946
p < Alfa
Como Zc es mayo que Zexcel, si cae en el área de rechazo, y por tanto hay suficiente evidencia para rechazar Ho y aceptar Ha Se concluye que la diferencia en conv. entre los bonos es significativa
Paso adicional. El Intervalo de confianza del 98% sobre la diferencia de medias poblacionales, con sigmas desconocidas es:
= Error estándar 0.044171193Zexcel (para alfa/2) 1.644853627
= Intervalo de confianza ( 0.150 0.07265515
Se observa difererencia positiva entre proporciones ( 0.077 <= PI <= 0.223el cero no está incluido en el intervalo
P(Z>= + 1.28 ) = Alfa
2
)1(
1
)1( 221121 n
pp
n
pps pp
212/21 )( ppsZpp
162
Instrucciones con Minitab para laprueba de hipótesis de dos
proporciones
Stat > Basic Statistics > 2-ProportionsSeleccionar Summarized Data
Trials: Events:First: No. de elementos de la 1ª. Muestra y D1 éxitos
encontradosSecond: No. de elementos de la 2ª. Muestra y D2 éxitos
encontrados
En Options:Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%Indicar la Test Difference Normalmente 0Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than
Seleccionar Use pooled estimate of p for testOK
163
IV.B.3 Prueba de datos pareados
164
Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando datos pareados con
tLas muestras pareadas de tamaño 25 reportaron una diferencia media de 45.2 y una desviación estándar de las diferencias de 21.6. Pruebe la igualdad de medias a un nivel del 5%.Paso 1. Establecimiento de Hipótesis
No. Pares de muestras n = 25Paso 2. Se calcula el estadístico tc: Diferencia media = 45.2
Desv. Estándar de difs. = 21.6Alfa 0.05
gl = 24= 10.462963
Paso 3. Se determina el valor crítico del estadístico t de Excel o tablas para Alfa / 2 0.025
t excel = 2.06389855 DISTR.T.INV(0.05, 24) Excel divide entre 2 colas
21
21
:
:
Ha
Ho
n
sd
td
c
Grados de libertad = No. de pares - 1
165
Paso 4. Comparando el estadístico tcalculado contra t excel (0.025, 24) se tiene:tc = 10.462963
te(0.025,24) = -2.063 te(0.025, 24) = 2.063Valor p para tc es igual aP(t > tc) = 0
p < Alfa / 2
Como tc es mayor que t excel, si cae en el área de rechazo, y por tanto si hay suficiente evidencia para rechazar Ho y aceptar Hase concluye que si hay diferencia significativa entre las medias
Paso 5. El intervalo de confianza para las diferencias en medias pareadas es t alfa/2 = 2.063Error estándar = 0.864Dif. Promedio = 45.2
45.2 + - 0.864
Se observa diferencia positiva significativa entre diferencia de medias 43.4176 <= dm < =46.9824
P(t>=2.063 ) = alfa/2P(t<=-2.063 ) = alfa/2
n
stdparaCI d
d 2/...
166
Instrucciones con Minitab para lacomparación de dos medias
pareadas
Stat > Basic Statistics > Paired t
Seleccionar samples in columns o Summarized dataFirst sample - Indicar la columna de datos de la muestra 1Second sample - Indicar la columna de datos de la muestra
2En Options:
Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99%Indicar la diferencia a probar Test Mean (normalmente 0)Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than
En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plot
OK
167
Robustez Los procedimientos estadísticos se basan en
supuestos acerca de su comportamiento teórico. Cuando los estadísticos obtenidos no son afectados por desviaciones moderadas de su expectativa teórica, se dice que son robustos.
168
Resumen
169
IV.B:4 ANOVA para un factor
170
Introducción Cuando es necesario comparar 2 o más medias
poblacionales al mismo tiempo, para lo cual se usa ANOVA.
El método ANOVA tiene los siguientes supuestos: La varianza es la misma para todos los tratamientos
del factor en todos sus niveles Las mediciones indiviudales dentro de cada
tratamiento se distribuyen normalmente El término de error tiene un efecto distribuido
normalmente e independiente
171
Introducción Con el ANOVA las variaciones en la respuesta se
dividen en componentes que reflejan los efectos de una o más variables independientes
La variabilidad se representa como la suma de cuadrados total que es la suma de cuadrados de las desviaciones de mediciones individuales respecto a la gran media, se divide en:
Suma de cuadrados de las medias de los tratamientos
Suma de cuadrados del residuo o error experimental
172
ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de
medias de varias poblaciones para un factor
diferentessonsunasAHa
Ho a
..'.lg:
.........: 321
Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.)
173
ANOVA - Condiciones Todas las poblaciones son normales
Todas las poblaciones tiene la misma varianza
Los errores son independientes con distribución normal de media cero
La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor
174
ANOVA – Ejemplo de datos
Niveles del Factor Peso % de algodón y Resistencia de tela
Peso porc. Respuestade algodón Resistencia de la tela
15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11
175
ANOVA – Suma de cuadrados total
Xij
Xij
Gran media
2
11
)(
b
j
a
i
XXijSCT
176
ANOVA – Suma de cuadrados de renglones (a)-
tratamientos
Gran media
Media Trat. 1 Media Trat. a
Media trat. 2
a renglones
a
i
i XXbSCTr1
2)(
177
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
Media X1.
X1jX3jX2j
Media X2.Media X3.
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3
2
11
)( i
b
jij
a
i
XXSCE
178
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
Media X1.
X1jX3jX2j
Media X2.Media X3.
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3
SCTrSCTSCE
179
ANOVA – Grados de libertad: Totales, Tratamientos, Error
ananSCEgl
aSCTrgl
nSCTgl
)1()1(.
1.
1.
180
ANOVA – Cuadrados medios: Total, Tratamiento y Error
)/(
)1/(
)1/(
anSCEMCE
aSCTrMCTr
nSCTMCT
181
ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel
SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr
Fc
.,.,
182
Tabla final de ANOVATABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME
Dentro de muestras (error) SCE n-a CME
Variación total SCT n-1 CMT
Regla: Rechazar Ho si la Fc de la muestra es mayor que la F de Excel para una cierta alfao si el valor p correspondiente a la Fc es menor al valor de alfa especificado
183
ANOVA – Toma de decisión
Fexcel
Fc
Alfa
Zona de rechazoDe Ho o aceptar Ha
Zona de no rechazo de HoO de no aceptar Ha
Distribución F
184
ANOVA – Toma de decisión
Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza HoAceptando Ha donde las medias son diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc es menor de Alfa se rechaza Ho
185
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba
de Tukey T
Para diseños balanceado (mismo número de columnas en los tratamientos) el valor de q se determina por medio de la tabla en el libro de texto
bCME
qT ana ,,
186
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba
de Tukey T
Se calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi’s:
D1 = X1 – X2 D2 = X1 – X3 D3 = X2 – X3 etc.
Cada una de las diferencias Di se comparan con elvalor de T, si lo exceden entonces la diferencia es Significativa de otra forma se considera que las mediasSon iguales
187
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de
Diferencia Mínima Significativa DMS
Para diseños balanceados (los tratamientos tienen igual no. De columnas), se calcula un factor DMS contra el que se comparan las diferencias Xi – Xi’. Significativas si lo exceden
b
FCMEDMS an ,1,)(2
188
Prueba DMS para Diseños no balanceados
anakj
kj FCMEbb
DMS
,1,, )(
11
Para diseños no balanceados (los tratamientos tienen diferente no. De columnas), se calcula un factor DMSPara cada una de las diferencias Xi – Xi’
189
Ejemplo: Considerar un experimento de un factor
(máquina) con tres niveles (máquinas A, B, C). Los datos se muestran a continuación y debe verificarse si existe diferencia significativa a un alfa = 0.05
Máquinas
Datos Suma
Prom.
190
Ejemplo:
Como el valor calculado de F(33.2) excede el valor crítico de F, se rechaza la Hipótesis nula Ho
La tabla completa de ANOVA es la siguientes:
FuentesDe variación
Máquinas
Cuadrado medio
191
Ejemplo: Con Minitab: Stat>ANOVA>One way unstacked Responses (in separate columns) A B C Interpretar los resultados
A B C
5 2 1
7 0 0
6 1 -2
7 -2 -3
6 2 0
192
Ejemplo:
One-way ANOVA: A, B, C
Source DF SS MS F P
Factor 2 137.20 68.60 33.19 0.000 Rechazo Ho
Error 12 24.80 2.07
Total 14 162.00
S = 1.438 R-Sq = 84.69% R-Sq(adj) = 82.14%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Level N Mean StDev ---------+---------+---------+---------+
A 5 6.200 0.837 (-----*----)
B 5 0.600 1.673 (----*-----)
C 5 -0.800 1.643 (-----*----)
---------+---------+---------+---------+
0.0 2.5 5.0 7.5
Pooled StDev = 1.438
193
Corrida en Minitab Se introducen las respuestas en una columna
C1 Se introducen los subíndices de los renglones
en una columna C2Durability Carpet
18.95 1
12.62 1
11.94 1
14.42 1
10.06 2
7.19 2
7.03 2
14.66 2
194
Corrida en Minitab Opción: stat>ANOVA – One Way (usar archivo
Exh_aov) En Response indicar la col. De Respuesta
(Durability)
En factors indicar la columna de subíndices (carpet)
En comparisons (Tukey)
Pedir gráfica de Box Plot of data y residuales Normal Plot y vs fits y orden
Si los datos estan en columnas pedir ANOVA – One Way (unstacked)
195
Resultados One-way ANOVA: Durability versus Carpet Source DF SS MS F PCarpet 1 45.1 45.1 3.97 0.093 -> No hay diferencia entre las mediasError 6 68.1 11.3Total 7 113.1S = 3.368 R-Sq = 39.85% R-Sq(adj) = 29.82% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----1 4 14.483 3.157 (----------*-----------)2 4 9.735 3.566 (-----------*-----------) ----+---------+---------+---------+----- 7.0 10.5 14.0 17.5Pooled StDev = 3.368Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons among Levels of CarpetIndividual confidence level = 95.00%Carpet = 1 subtracted from:Carpet Lower Center Upper -+---------+---------+---------+--------2 -10.574 -4.748 1.079 (-----------*----------) -+---------+---------+---------+-------- -10.0 -5.0 0.0 5.0
196
IV.B.5 Uso de Prueba Chi2 (2)
197
¿Para qué se utiliza?
1. Para probar si una serie de datos observada, concuerda con el modelo (serie esperada) de la información.
2. Para probar las diferencias entre las proporciones de varios grupos (tabla de contingencia).
2
Ho: No hay diferencia
Ha: Hay diferencia
Para todos los casos,
198
Ho: La moneda es buena
Ha: La moneda “está cargada”
Se lanza una moneda al aire 100 veces y que obtenemos 63 águilas y 37 soles.
¿La proporción de águilas y soles sucede por casualidad? O, se concluye que la moneda está “cargada”?
Ejemplo 1: Chi Cuadrada( 2 )
199
2 c= j = 1
gEstadístico Chi Cuadrada
Observada Esperada
Aguilas 63 50 3.38
Soles 37 50 3.38
2 = 3.38 + 3.38 2 = 6.76
(fo - fe)2
fe( fo ) ( fe )
Ejemplo 1: Chi Cuadrada( 2 )
fe
(fo - fe)2
200
Función de Distribución Acumulada Chi2 con 1 grado de libertad (d.f)
Ho: La moneda es buena.
Ha: La moneda está “cargada”.
Para un 95% de confianza antes de concluir que la moneda “está cargada”, se requiere que X2
c > X2Crítica o que el valor de p sea
0.05.
Como p 0.05, se puede concluir -con un 95% de confianza - que la moneda “está cargada”.
2c P(2c > x)6.7600 p = 1 - 0.9907 = 0.0093
De tablas X2Crítica, (0.05, 1) = 3.8414
Ejemplo 1: Chi cuadrada
201
1. Posicionarse en una celda vacía
2. Accesar el menú de funciones con Fx
3. Seleccionar STATISTICAL o ESTADÍSTICAS, CHIINV.
4. Dar valores de probabilidad (0.05) y grados de libertad, normalmente (n - 1) para un parámetro o (# de renglones -1) * (# de columnas - 1) para el caso de tablas de proporciones.
Cálculo en Excel del estadístico Chi cuadrada
202
Tabla de contingencia Una tabla de clasificación de dos vías (filas y columnas)
que contiene frecuencias originales, se puede analizar para determinar si las dos variables (clasificaciones) son independientes o tienen una asociación significativa.
La prueba Chi Cuadrada probará si hay dependencia entre las dos clasificaciones.
Además se puede calcular el coeficiente de contingencia (correlación) que en todo caso muestra la fuerza de la dependencia
203
Tabla de contingencia Para esta prueba se usa la prueba Chi Cuadrada donde:
Entre mayor sea su valor, mayor será la diferencia de la discrepancia entre frecuencias observadas y teóricas. Esta prueba es similar a la de bondad de ajuste.
204
Tabla de contingencia Ejemplo: Cada una de las 15 celdas hace una
contribución al estadístico Chi Cuadrado (una celda)
Asumiendo Alfa = 0.1 y Gl= (reng – 1)*(Col – 1) = 4*2 = 8 Chi-Cuadrado de alfa = 20.09
Como Chi Cuadrada calculada >> Chi C. Alfa, se rechaza Ho de igualdad de resultados entre negocios
Los valores observados (fo) son los siguientes:
Ho: No existen diferencias en los índices de defectos de las dos máquinas.
Ha: Existen diferencias en los índices de defectos de las dos máquinas.
Total 751 28
El índice de defectos totales es 28 / 779 = 3.6%
máquina 1 fo = 517 fo = 17 Total = 534
Partes buenas
máquina 2 fo = 234 fo = 11 Total = 245
779
Partes defectuosas
Ejemplo 2: Chi2 Para comparación de dos grupos; ¿son las mismas proporciones?)
Cálculo de los valores esperados
Basados en este índice, los valores esperados (fe) serían:
máquina 1 fo = 751*534/779 fo = 28*534/779 Total = 534
Partes buenas
máquina 2 fo = 751*245/779 fo = 28*245/779 Total = 245
779
Partes defectuosas
máquina 1 530.53 3.47
Partes buenas
máquina 2 233.47 1.53
Partes defectuosas
Ejemplo 2: Chi2 Para comparación de dos grupos; ¿son las mismas proporciones?)
Nota: Chi cuadrada no podrá aplicarse en los casos donde los conteos seas menores a 5 en 20% de celdas.Si cualquiera de los conteos esperados en las celdas es menor a uno, no deberá usarse Chi2.
Si algunas celdas tienen un conteo menor a los esperados, ya sea combinando u omitiendo renglones y/o columnas, las categorías pueden ser de utilidad.
Prueba de chi cuadrada:
Los conteos esperados están debajo de los conteos observados Partes buenas Partes Defectuosas Total1 532 2 534 530.53 3.47
2 232 3 235 233.47 1.53Total 764 5 769
Chi2 = 0.004 + 0.624 + 0.009 + 1.418 = 2.056DF= 1; valor de p = 0.152
2 celdas con conteos esperados menores a 5.0
Problema: Fugas Beneficios Potenciales: $10,000 de ahorro en retrabajos, y en la
reducción de tiempo de ciclo.
Variación en familias a probarOperador a operadorHo: No existe diferencia en los índices de defecto de los diferentes
operadoresHa: Existe diferencia en los índices de defecto de los diferentes
operadores
Máquina a máquinaHo: No existe diferencia en los índices de defecto de las diferentes
máquinasHa: Existe diferencia en los índices de defecto de las diferentes
máquinas
Tamaño de la muestra:5000 + total de oportunidades (172 piezas)
Los conteos esperados están colocados debajo de los conteos observadosCon fugas Sin fugas Total
1 30 610 640 32.11 607.89
2 235 4217 4452 223.38 4228.62
3 3 253 25612.84 243.16
4 18 334 352 17.66 334.34
Total 286 5414 5700
Chi2 = 0.139 + 0.007 + 0.604 + 0.032 + 7.546 + 0.399 + 0.006 + 0.000 = 8.734DF= (4-1)(2-1) = 3; valor P = 0.033
Prueba de chi2 (máquina a máquina)
Los conteos esperados están colocados debajo de los conteos observados.Con gotera Sin gotera Total
1 6 122 128 6.61 121.39
2 1 127 128 6.61 121.39
3 200 3836 4036 208.55 3827.45
4 54 202 256 13.23 242.77
5 5 699 704 36.38 667.62
6 12 116 128 6.61 121.39Total 278 5102 5380
Chi2 = 0.057 + 0.003 + 4.765 + 0.260 + 0.351 + 0.019 +125.666 + 6.847 + 27.065 + 1.475 + 4.386 + 0.239 = 171.132
DF= 5; valor P = 0.000
Prueba de chi2 (operador a operador)
¿Qué sucede si los grupos múltiples de variación son estadísticamente significativos?(en este caso, operador a operador y máquina a máquina)
Se utiliza un procedimiento denominado “Coeficiente de Contingencia” como clave para determinar qué grupo de variación debe investigarse primero.
Coeficiente de Contingencia
x 100Chi Cuadrada
N
Chi2 N CC Máquina 8.734 5700 0.15
Operador 171.132 5380 3.18Controlador Mayor
SI el tamaño de la muestra (N), es similar para los grupos. Al dividir entre N, probablemente, llevará a la misma ruta que hubiera alcanzado con sólo ver la estadística Chi2.
Sin embargo, si N tiene una variación considerable, dependiendo del grupo de variación que se investiga, el coeficiente de contingencia puede ser una herramienta valiosa para determinar la prioridad sobre qué grupo debe investigarse primero.
Con gotera Sin gotera Total 1 6 122 128 6.61 121.39
2 1 127 128 6.61 121.39
3 200 3836 4036 208.55 3827.45
4 54 202 256 13.23 242.77
5 5 699 704 36.38 667.62
6 12 116 128 6.61 121.39
Mucho peor que lo esperado
Mucho mejor que lo esperado
Ahora que la información nos ha llevado a investigar a los grupos de operador a operador. ¿Qué debemos hacer ahora?Encontremos cuál de los operadores estaban fuera del estándar. ¿Era alguno de ellos notablemente peor (o mejor) que el resto?
(Estos mismos operadores fueron quienestuvieron los números más grandes de chi2)
¿Qué sucede si los grupos múltiples de variación son estadísticamente significativos?(en este caso, operador a operador y máquina a máquina)
Operador a operador: = 0.000 Rechace Ho y acepte Ha
(Existe una diferencia significativa entre los operadores)
Los operadores 4 y 5 están fuera del estándar:El operador 4 es notablemente peor que el resto,El operador 5 es notablemente mejor que los demás
¿Cuál es el próximo paso? Hable con todos los operadores para averiguar qué diferencias pueden existen en sus técnicas.
El operador 4 no tenía experiencia en este tipo de trabajo y apenas se estaba acostumbrado a soldar este producto en particular.
El operador 5 encontró un modo de mejor de hacer el ensamble, con lo cual consiguió mejorar el trabajo de soldadura, aunque esto mostraba un grado de dificultad ergonómica. Se añadió un colocador para ensamblar la parte en forma segura. (Esto también redujo el tiempo que requerían los operadores para “acostumbrarse” a trabajar en esta forma)
Ejercicios
1. Se quiere evaluar la habilidad de tres inspectores de rayos X en un aeropuerto para detectar artículos clave. Como prueba se pusieron radios de transistores en 90 maletas, cada inspector fue expuesto a 30 maletas conteniendo radios mezcladas entre otras que nos los contenían. Los resultados se resumen a continuación:
Inspectores1 2 3
Radios detectados 27 25 22Radios no detectados 3 5 8
¿Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre los inspectores?
Ho: p1 = p2 = p3; Ha: al menos una es diferenteGrados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1)
Ejercicios
2. Se quiere evaluar si hay preferencia por manejar en un carril de una autopista dependiendo de la hora del día. Los datos se resumen a continuación:
Hora del díaCarril 1:00 3:00 5:00Izquierdo 44 37 18Central 28 50 72Derecho 8 13 30
¿Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre las preferencias de los automovilistas dependiendo de la hora?
Ho: P1 = P2 = P3; Ha: al menos una es diferenteGrados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1)
216
IV.B.6 Pruebas de Hipótesis no paramétricas
217
Pruebas no paramétricas Las pruebas paramétricas asumen una distribución para
la población, tal como la Normal
Las pruebas no paramétricas no asumen una distribución específica de la población
Bajo los mismos tamaños de muestra la Potencia o probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa es mayor en las pruebas paramétricas que en las no paramétricas
Una ventaja de las pruebas no paramétricas es que los resultados de la prueba son más robustos contra violación de los supuestos
Prueba de Hipótesis
Variable Atributo
Tablas deContingencia de
Correlación
No Normal
Normal
Varianza Medianas
Variancia Medias
Prueba-F
Homogeneidadde la Variaciónde Levene
Homogeneidadde la Variaciónde Bartlett
Correlación
Prueba de signos
Wilcoxon
Mann-Whitney
Kurskal-Wallis
Prueba de Mood
Friedman
Pruebas de t
ANOVA
CorrelaciónRegresión
Muestra-1Muestra-2
Una víaDos vías
Residuosdistribuidosnormalmente
219
Pruebas de VarianzasHomogeneidad de la varianza de
Levene : Compara dos o más varianzas de muestras de la misma población.
Pruebas de Variancias
X2 : Compara la variancia de una muestra con una variancia de un universo conocido.
Prueba F : Compara dos varianzas de muestras.
Homogeneidad de la variancia de Bartlett: Compara dos o más varianzas muestras de la misma población.
Datos Normales Datos No Normales
Resumen de pruebas de Hipótesis
220
Pruebas de la Mediana
Prueba de signos o Prueba Wilcoxon : Prueba si la mediana de la muestra es igual a un valor conocido o a un valor a alcanzar.
Prueba Mann-Whitney : Prueba si dos medianas de muestras son iguales.
Prueba Kruskal-Wallis: Prueba si más de dos medianas de muestras son iguales. Asume que todas las distribuciones tienen la misma forma.
Prueba de la mediana de Mood : Otra prueba para más de dos medianas. Prueba más firme para los valores atípicos contenidos en la información.
Prueba Friedman : Prueba si las medianas de las muestras, clasificadas bajo dos categorías, son iguales.
Correlación : Prueba la relación lineal entre dos variables.
Pruebas de los Promedios
Prueba t de 1 muestra : Prueba si el promedio de la muestra es igual a un promedio conocido o meta conocida.
Prueba t de 2 muestras : Prueba si los dos promedios de las muestras son iguales.
ANOVA de un factor: Prueba si más de dos promedios de las muestras son iguales.
ANOVA de dos factores : Prueba si los promedios de las muestras clasificadas bajo dos categorías, son iguales.
Correlación : Prueba la relación lineal entre dos variables.
Regresión : Define la relación lineal entre una variable dependiente y una independiente. (Aquí la "normalidad" se aplica al valor residual de la regresión)
Datos Normales Datos No Normales
Resumen de pruebas de Hipótesis
Revise y asegúrese de que los datos no siguen una distribución normal.
• Desarrollar una Prueba de normalidad (para verificar realmente lo anormal. Para la prueba de Bartlet el valor de p debe ser < 0.05)
• Desarrollar una Prueba de Corridas (para verificar que no existen sucesos no aleatorios que puedan haber distorsionado la información)
• Revisar la información para detectar errores (tipográficos, etc.). Investiguar los valores atípicos.
• Una muestra pequeña (n < 30) proveniente de un universo normal, se mostrará algunas veces como anormal.
Intentar transformar los datos. Las transformaciones comunes incluyen:
- Raíz cuadrada de todos los datos- Logaritmo de todos los datos- Cuadrado de todos los datos
• Si la información es todavía anormal, entonces usar las herramientas no paramétricas.
Acciones a tomar con datos No Normales
Promedio : Es la media aritmética de la información. Es la suma de todos los datos, dividida entre el número de datos de referencia.
Mediana: Valor del punto medio de los datos, cuando se ordenan en forma ascendente (en caso de datos pares, obtener promedio).
Moda : Valor que se repite con más frecuencia sobre el conjunto de datos.
Ejemplo:
Se cuestionó a veinte personas sobre cuánto tiempo les tomaba estar listas para ir a trabajar, en las mañanas. Sus respuestas (en minutos) se muestran más adelante. ¿Cuáles son el promedio y la mediana para esta muestra?
30, 37, 25, 35, 42, 35, 35, 47, 45, 60
39, 45, 30, 38, 35, 40, 44, 55, 47, 43
Definiciones
Un dibujo dice más que mil palabras
El promedio puede estar influenciado considerablemente por los valores atípicos porque, cuando se calcula un promedio, se incluyen los valores reales de estos valores.
La mediana, por otra parte, asigna la misma importancia a todas las observaciones, independientemente de los valores reales de los valores atípicos, ya que es la que sencuentra en la posición media de los valores ordenados.
Promedio = 40.35 Mediana = 39.5
-------+---------+---------+---------+---------+---------+------ C1
PromedioMediana
28.0 35.0 42.0 49.0 56.0 63.0
Pruebas Alternativas comúnmente usadas
Pruebas para datos No normales
• Prueba de Corridas : Calcula la probabilidad de que un X número de puntos de referencia, esté por encima o por debajo del promedio aleatoriamente.
• Prueba de signos, de 1 muestra : Prueba la probabilidad de que la mediana de la muestra, sea igual al valor hipotético.
• Prueba Mann-Whitney : Comprueba el rango de dos muestras, por la diferencia entre dos medianas del universo.
• Prueba de la Mediana de Mood : Prueba para más de dos medianas del universo. Más robusta para los valores atípicos o para los errores en la información.
Analogía con datos normales
• Prueba de Corridas (la mismaprueba para ambos tipos deinformación)
• Prueba t de una muestra
• Prueba t de 2 muestras
• ANOVA de un factor
Considere los siguientes datos (que se muestran aquí en orden cronológico):325, 210, 400, 72, 150, 145, 110, 507, 56, 120, 99, 144, 110, 110,320, 290, 101, 0, 80, 500, 201, 50, 140, 80, 220, 180, 240, 309, 80
Es importante tener los datos registrados en orden cronológico.
Una representación gráfica de los datos se asemeja a esto:
0
100
200
300
400
500
600
PromedioPrimera
"corrida"
Segunda ”racha"
Número total de Rachas: 12Número total de puntos > al promedio: 11Número total de puntos < al promedio: 18
Racha: Un punto o una serie consecutiva de puntos que caen en un lado del promedio.
Prueba de Rachas
Prueba de Rachas
Promedio K = 184.4483
Número de rachas observado = 12
Número de rachas esperado = 14.6552
=> No se rechaza Ho
11 observaciones por encima de K; 18 por debajo
La prueba es significativa en p= 0.2860
No se puede rechazar Ho con valor alfa = 0.05
Este es el valor p de las Prueba de
Corridas
Prueba de RachasHo: Los datos son aleatorios
Ha:Los datos NO so aleatorios
Ya que p > 0.05, no podemos rechazar la hipótesis nula.Los datos son aceptados, siendo aleatorios.
Promedio
Cálculos de la Prueba de Rachas
El estadístico Z cuando n > 20 se calcula como:
Z = (G - MediaG) / DesvStG
Con MediaG = 1 + (2n1*n2) / (n1 + n2) DesvStG = Raiz [ (2n1*n2) (2n1*n2 - n1 -n2) / (n1 + n2)^2* (n1+n2 -1)
Del ejemplo anterior G = 12; n1 = 11 n2 = 18
MediaG = 14.655 DesStG = 2.4843
Z1 = (12 - 14.655) / 2.4843 = -1.0687P(Z1) = 0.1430 y para dos colas se tiene
P(Z1) + P(Z2) = 0.2860 > Alfa crítico de 0.05, no rechazándose Ho
Si las n1 y n2 son menores a 21, entonces se consulta la tabla de valores críticos para el número de Rachas G
228
Corrida con Minitab Stat > Nonparametrics > Runs Test
Variable C1, Above and below the mean
P > 0.05No rechazar Ho
Runs Test: C1 Runs test for C1Runs above and below K = 184.448The observed number of runs = 12The expected number of runs = 14.655211 observations above K, 18 belowP-value = 0.285
Prueba de Signos de la Mediana
Ho : La mediana de la muestra es igual a la mediana de la hipótesis
Ha : Las medianas son diferentes
Ejemplo (usando los datos del ejemplo anterior):
Ho: Valor de la mediana = 115.0 Ha: Valor de la mediana diferente de 115.0
N DEBAJO IGUAL ENCIMA VALOR P MEDIANA
29 12 0 17 0.4576 144.0
Ya que p >0.05, no se puede rechazar la hipótesis nula.No se puede probar que la mediana real y la mediana hipotética son
diferentes.
En las páginas siguientes se muestra el detalle del cálculo.
Cálculos de la Prueba de Signos de la Mediana
Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior y ordenándo de menor a mayor se tiene: n = 29, Mediana de Ho = 115
No. Valor Signo No. Valor Signo No. Valor Signo1 0 - 11 110 - 21 220 +2 50 - 12 110 - 22 240 +3 56 - 13 120 + 23 290 +4 72 - 14 140 + 24 309 +5 80 - 15 144 + 25 320 +6 80 - 16 145 + 26 325 +7 80 - 17 150 + 27 400 +8 99 - 18 180 + 28 500 +9 101 - 19 201 + 29 507 +
10 110 - 20 210 +
Con la mediana en 144. Si el valor contra el cual se desea probar es 115, entonces hay 12 valores por debajo de el (-) y 17 valores por arriba (+).
Cálculos de la Prueba de Signos de la Mediana
El estadístico X es el el número de veces que ocurre el signo menos frecuente, en este caso el 12 (-).
Cómo n 25, se calcula el estadístico Z para la prueba de signos con:
Z = [ (Y + 0.5) - (0.5*n) ]/ 0.5 n
En este caso Z1 = - 0.74278 y P(Z1) = 0.2288 para la cola izquierdaen forma similar P(Z2) 0-2288 para la cola derecha, por lo que la
probabilidad total es 0.4576 >> 0.05 del criterio de rechazo.
Si n hubiera sido < 25 entonces se hubiera consultado la tabla de valores críticos para la prueba de signo.
Prueba de Signos de la Mediana
Bueno, veamos una gráfica de la información
100 200 300 4000 500
¿Es esto correcto?¿144 podría ser igual a 115?
115 144
Después de todo, tal vez esto SEA lo correcto.
233
Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > 1-Sample sign Variable C1
Confidence interval 95% Test Median 115 Alternative Not equal
Como P > 0.05 no se rechaza Ho y la mediana es 115
Sign Test for Median: Signos Sign test of median = 115.0 versus not = 115.0
N Below Equal Above P MedianSignos 29 12 0 17 0.4583 144.0
234
Prueba de Signos de la MedianaPara observaciones pareadas
Calificaciones de amas de casa a dos limpiadores de ventanas:
Ho: p = 0.5 no hay preferencia de A sobre B Ha: p<>0.5
Ama Limpiador B
Casa A
1 10 7
2 7 5
3 8 7
4 5 2
5 7 6
6 9 6
¿Hay evidencia que indiquecierta preferencia de las amasde casa por lo limpiadores?
235
Prueba de Signos de la Mediana
Producto B
Familia
A
1 - +
2 - +
3 + -
4 - +
5 0 0
6 - +
7 - +
8 + -
9 - +
10 - +
11 - +
¿Hay evidencia que indiquecierta preferencia por un Producto A o B?
Media = 0.5*nDesv. Estand.= 0.5*raiz(n)
Zc = (Y – media) / Desv. Estánd.Rechazar Ho si Zc ><Zalfa/2
236
Prueba de Signos de la Mediana
Como Zc < Zexcel no se rechaza Ho oComo p value = 0.067 > 0.025No hay evidencia suficiente de que losConsumidores prefieran al producto B
Media = 0.5*11 = 5.5Desv. Estand.= 0.5*raiz(n) = 1.67
Para Zc = (8 – 5.5) / 1.67 = 1.497
Zexcel = 1.96 para alfa/2 = 0.025
237
Prueba rango con signo de Wilconox
Es la alternativa no paramétrica de la prueba paramétrica de muestras pareadas
Ejemplo: HO: Las poblaciones son idénticas Ha: Caso contrario
Trabajador
Método 1
Método 2
Diferencias
Abs(diferen.) Rango
Rango c/signo
1 10.2 9.5 0.7 0.7 8 8
2 9.6 9.8 -0.2 0.2 2 -2
3 9.2 8.8 0.4 0.4 3.5 3.5
4 10.6 10.1 0.5 0.5 5.5 5.5
5 9.9 10.3 -0.4 0.4 3.5 -3.5
6 10.2 9.3 0.9 0.9 10 10
7 10.6 10.5 0.1 0.1 1 1
8 10 10 0 0 Eliminar
9 11.2 10.6 0.6 0.6 7 7
10 10.7 10.2 0.5 0.5 5.5 5.5
11 10.6 9.8 0.8 0.8 9 9
T = 44
238
Prueba rango con signo de Wilconox
Distribución muestral T para poblaciones idénticasSe aproxima a la distribución normal para n >= 10
En este caso n = pares eliminando las que son iguales con dif. = 0 para el trabajador 8.
= raiz(10 x 11 x 21/6) = 19.62 Z = (T – )/ = 44/19.62 = 2.24
Z alfa/2 = Z0.025 = 1.96
Como Zc = 2.24 > Z0.025 se rechaza Ho, los métodos son diferentes
0T6
)12)(1(
nnnT
239
Prueba en Minitab para prueba de mediana con Wilconox
File> Open worksheet > Exh_Stat Stat > Nonparametrics > 1-Sample Wilconox
Variables C1 Test Median 77 Altenative Not equal
Achievement
77
88
85
74
75
62
80
70
83
Wilcoxon Signed Rank Test: Achievement Test of median = 77.00 versus median not = 77.00for Wilcoxon Estimated for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P MedianAchievement 9 8 19.5 0.889 77.50
Ho: Mediana = 77 Ha: Mediana <> 77Como P de 0.889 >> alfa de 0.05 no se rechaza Ho
Prueba de Mann-Whitney
Se llevó a cabo un estudio que analiza la frecuencia del pulso en dos grupos de personas de edades diferentes, después de diez minutos de ejercicios aeróbicos.
Los datos resultantes se muestran a continuación.
Edad 40-44C1140135150140144154160144136148
Edad 16-20C2130166128126140136132128124
¿Tuvieron diferenciassignificativas las frecuencias de pulso de ambos grupos?
Prueba de Mann-Whitney
Ordenando los datos y asignándoles el (rango) de su posición relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales):
Edad 40-44C1
(7) 135(8.5) 136(11) 140(11) 140
(13.5) 144(13.5) 144(15) 148(16) 150(17) 154(18) 160
n1 = 10Ta = 130.5
Edad 16-20C2
(1) 124(2) 126
(3.5) 128(3.5) 128(5) 130(6) 132
(8.5) 136(11)140(15)166
n2 = 9Tb = 55.5
Prueba de Mann-Whitney
Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son igualesHa: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idénticasHo: 1 = 2 Ha: 1 2 1, 2 = Medianas de las poblaciones
Ordenando los datos y asignándoles su posición relativa se tiene:Ua = n1*n2 + (n1) * (n1 + 1) /2 - TaUb = n1*n2 + (n2) * (n2 + 1) /2 - TbUa + Ub = n1 * n2
Ua = 90 + 55 - 130.5 = 14.5 P(Ua) = 0.006 Ub = 90 + 45 - 55.5 = 79.5El menor de los dos es Ua.Para alfa = 0.05 el valor de Uo = 25 Como Ua < 25 se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son iguales.
Dado que p < 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Estadísticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad.
Prueba de Mann-Whitney
Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son igualesHa: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idénticas
Ua = 14.5 Ub = 79.5Utilizando el estadístico Z y la distribución normal se tiene:
45 12.24Z = [ (U - (n1* n2 / 2 ) / Raiz (n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12)Con Ua y Ub se tiene:Za = (14.5 - 45) / 12.24 = - 2.49 P(Z) = 0.0064 similar a la anteriorZb = (79.5 -45) / 12.24 = 2.81 P(total) = 2 * 0.0064 = 0.0128 menor = 0.05El valor crítico de Z para alfa 0.025 por ser prueba de dos colas, es 1.96.Como Za > Zcrítico se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son iguales.
Dado que p < 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Estadísticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad.
Prueba de Mann-Whitney40
-44
año
s d
e ed
ad16-20 años de edad
Diferencias entre los encabezados de los renglones y las columnas
De esta manera, se calcula la mediana de todas estas diferencias, denominada "punto estimado". Este punto estimado es una aproximación de la diferencia entre las medianas de los dos grupos (ETA1 y ETA2).
Una vez ajustados los "enlaces" (eventos de un mismo valor en ambos grupos de información), Minitab usa este punto estimado para calcular el valor p.
130 166 128 126 140 136 132 128 124140 10 -26 12 14 0 4 8 12 16135 5 -31 7 9 -5 -1 3 7 11150 20 -16 22 24 10 14 18 22 26140 10 -26 12 14 0 4 8 12 16144 14 -22 16 18 4 8 12 16 20154 24 -12 26 28 14 18 22 26 30160 30 -6 32 34 20 24 28 32 36144 14 -22 16 18 4 8 12 16 20136 6 -30 8 10 -4 0 4 8 12148 18 -18 20 22 8 12 16 20 24
245
Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > Mann Whitney First Sample C1 Second Sample C2 Conf. Level 95%
Alternative Not equal
Mann-Whitney Test and CI: C1, C2 N Median P>0.05C1 10 144.00 Se rechaza Ho C2 9 130.00Point estimate for ETA1-ETA2 is 12.0095.5 Percent CI for ETA1-ETA2 is (4.01,20.00)W = 130.5Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.0143The test is significant at 0.0140 (adjusted for ties)
Prueba de Kruskal Wallis
Ordenando los datos de ventas y asignándoles el (rango) de su posición relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales):
Zona 1(15.5) 147(17.5) 17.5
(9) 128(19) 162(12) 135(10) 132(22) 181(13) 138
n1 = 8Ta = 118
Zona 2(17.5) 160(14) 140(21) 173(4) 113(1) 85
(7) 120(25) 285(5) 117
(11) 133(6) 119
n2 = 10Tb = 111.5
Zona 3(24) 215(8) 127(2) 98
(15.5) 127(23) 184(3) 109
(20) 169
n3 = 7Tc = 95.5
N = n1 + n2 + n3 = 25
Prueba de Kruskal Wallis
Ho: Las poblaciones A, B y C son igualesHa: Las poblaciones no son igualesHo: 1 = 2 = 3 Ha: 1 2 3 ; 1, 2, 3 = Medianas de las poblaciones
Calculando el valor del estadístico H se tiene:H = [ 12 /( N* ( N + 1)) ] * [ Ta2 / n1 + Tb2 / n2 + Tc2 / n3 ] - 3 * ( N +1 )H = 0.01846 * (1740.5 + 1243.225 + 1302.893 ) - 78 = 1.138
Se compara con el estadístico 2 para = 0.05 y G.l. = k - 1 = 3-1 = 1 (k muestras)2 crítico = 5.991 (válido siempre que las muestras tengan al menos 5 elementos)
Como H < 2 crítico, no se rechaza la Hipótesis Ho: Afirmando que no hay diferencia entre las poblaciones
248
Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > Kruskal Wallis
Response C1 Factor C2 OK
Kruskal-Wallis Test: Datos versus Factor Kruskal-Wallis Test on DatosFactor N Median Ave Rank ZZona 1 7 138.0 14.7 0.98Zona 2 10 126.5 11.1 -0.82Zona 3 7 127.0 12.3 -0.10Overall 24 12.5 P > 0.05H = 1.08 DF = 2 P = 0.581 No se rechaza HoH = 1.09 DF = 2 P = 0.581 (adjusted for ties)
249
Prueba de Medianas de Mood Realiza prueba de hipótesis de igualdad de medias en un
diseño de una vía. La prueba es robusta contra Outliers y errores en datos y es adecuada para análisis preliminares
Determina si K grupos independientes han sido extraidas de la misma población con medianas iguales o poblaciones con formas similares
Con base en la gran mediana, anotar un signo positivo si la observación excede la mediana o un signo menos si es menor. Los valores que coincidan se reparten en los grupos
Hacer una tabla de contingencia K x 2 con las frecuencias de signos más y menos en cada grupo K
250
Prueba de Medianas de Mood Se determina el estadístico Chi Cuadrada con:
Probar Ho: Todas las medianas son iguales Ha: Al menos una mediana es diferente
Se compara Chi Cuadrada calculada con Chi Cuadrada de alfa para 0.05 y (reng – 1)*(Col – 1) grados de libertad
EEO 2
2 )(
251
Corrida con Minitab
Se les da a 179 participantes una conferencia con dibujos para ilustrar el tema. Después se les da la prueba OTIS que mide la habilidad intelectual. Los participantes se clasificaron por nivel educativo 0-No prof., 1-Prof., 2-Prepa
Ho: h1 = h2 = h3 Ha: no todas las medianas son iguales
File > Open Worksheet > Cartoon.mtw Stat > Nonparametrics > Mood’s Median Test
Response Otis Factor ED Ok
252
Corrida con Minitab
Mood Median Test: Otis versus ED
Mood median test for OtisP>0.05
Chi-Square = 49.08 DF = 2 P = 0.0005 Se rechaza Ho
Individual 95.0% CIs
ED N<= N> Median Q3-Q1 ----+---------+---------+---------+--
0 47 9 97.5 17.3 (-----*-----)
1 29 24 106.0 21.5 (------*------)
2 15 55 116.5 16.3 (----*----)
----+---------+---------+---------+--
96.0 104.0 112.0 120.0
Overall median = 107.0
253
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Esta prueba es una alternativa al ANOVA de dos vías, es una generalización de las pruebas pareadas con signo. La aditividad es requerida para para estimar los efectos de los tratamientos
Ho: Los tratamientos no tienen un efecto significativo
Ha: Algunos tratamientos tienen efecto significativo
254
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados de salida: Se muestra el estadístico de prueba con
distribución Chi Cuadrada aproximada con gl = Tratamientos – 1.
Si hay observaciones parecidas en uno o más bloques, se usa el rango promedio y se muestra el estadístico corregido
La mediana estimada es la gran mediana más el efecto del tratamiento
255
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Ejemplo: Se evalúa el efecto del tratamiento de una
droga en la actividad enzimática con tres niveles, probado en cuatro animales
Open the worksheet EXH_STAT.MTW. Stat > Nonparametrics > Friedman.
Response, seleccionar EnzymeActivity.En Treatment, seleccionar Therapy. En Blocks, seleccionar Litter. Click OK.
256
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Datos: EnzymeActivity Therapy Litter
0.15 1 1
0.26 1 2
0.23 1 3
0.99 1 4
0.55 2 1
0.26 2 2
-0.22 2 3
0.99 2 4
0.55 3 1
0.66 3 2
0.77 3 3
0.99 3 4
257
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados: Friedman Test: EnzymeActivity versus Therapy blocked by Litter
S = 2.38 DF = 2 P = 0.305 No rechazar Ho
S = 3.80 DF = 2 P = 0.150 (adjusted for ties)
Sum
of
Therapy N Est Median Ranks
1 4 0.2450 6.5
2 4 0.3117 7.0
3 4 0.5783 10.5
Grand median = 0.3783
258
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados: El estadístico de prueba S tiene un valor P de 0.305 sin
ajustar para observaciones en cero y 0.150 para el valor ajustado.
Por tanto no hay evidencia suficiente para rechazar Ho
Las medianas estimadas asociadas con los tratamientos son la gran mediana más los efectos estimados de los tratamientos.
El estadístico de prueba se determina con base a los rangos en cada bloque y totales
259
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados:
260
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados:
261
Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman
Resultados:
262
Prueba de igualdad de varianzas de Levene
Se usa para probar la hipótesis nula de que las varianzas de k múltiples poblacionales son iguales
Las igualdad de varianzas en las muestras se denomina homogeneidad de varianzas
La prueba de Levene es menos sensible que la prueba de Bartlett o la prueba F cuando se apartan de la normalidad
La prueba de Bartlett tiene un mejor desempeño para la distribución normal o aproximadamente normal
263
Prueba de igualdad de varianzas de Levene
Para dos muestras el procedimiento es como sigue:
Determinar la media
Calcular la desviación de cada observación respecto a la media
Z es el cuadrado de las desviaciones respecto a la media
Aplicar la prueba t a las dos medias de los datos
264
Prueba de igualdad de Varianzas-Minitab
Se estudian tamaños de papa inyectando con bacterias y sujetas a diferentes temperaturas. Antes del ANOVA se verifica la igualdad de varianzas
Stat > ANOVA > Test for equal variancesResponse RotFactors Temp OxigenConfidence level 95%
Rot Temp Oxygen
13 10 2
11 10 2
3 10 2
10 10 6
4 10 6
7 10 6
15 10 10
2 10 10
7 10 10
26 16 2
19 16 2
24 16 2
15 16 6
22 16 6
18 16 6
20 16 10
24 16 10
8 16 10
265
Resultados
266
Resultados
Test for Equal Variances: Rot versus Temp, Oxygen
95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations
Temp Oxygen N Lower StDev Upper
10 2 3 2.26029 5.29150 81.890
10 6 3 1.28146 3.00000 46.427
10 10 3 2.80104 6.55744 101.481
16 2 3 1.54013 3.60555 55.799
16 6 3 1.50012 3.51188 54.349
16 10 3 3.55677 8.32666 128.862
Bartlett's Test (normal distribution)
Test statistic = 2.71, p-value = 0.744 P>0.05 no rechazar Ho
Levene's Test (any continuous distribution)
Test statistic = 0.37, p-value = 0.858
267
Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall
El coeficiente expresa el grado de asociación entre las calificaciones múltiples realizadas por un evaluador
Ho: Las variables son independientesHa: Las variables están asociadas
Kendall usa la información relacionada con las calificaciones relativas y es sensible a la seriedad de mala clasificación
Por ejemplo para K = jueces N = Muestras = 10
Rango medio = 220 / 22 S = 1066 Gl = n-1 = 9Chi Cuadrada crítica = X2 0.01,9 = 21.67
268
Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall
El Estadístico Chi Cuadrada calculado es:
Como Chi Cuadrada de alfa es menor que la calculada, los cuatro jueces están asociados significativamente. Constituyen un panel uniforme. No quiere decir que estén en lo correcto, solo que responden de manera uniforme a los estímulos
269
El coeficiente de correlación de rangos de Spearman (rs)
El coeficiente de correlación es una medida de la asociación que requiere que ambas variables sean medidas en al menos una escala ordinal de manera que las muestras u observaciones a ser analizadas pueden ser clasificadas en rangos en dos series ordenadas
Ho: Las variables son independientesHa: Las variables están asociadas
Para el ejemplo anterior si N = 10, el coeficiente es:
NN
drs
3
261
97.003.01990
)5.5(61 sr
270
Coeficiente de correlación de rangos para monotonía
de preferencias Una persona interesada en adquirir un TV asigna
rangos a modelos de cada uno de 8 fabricantes
Preferencia Precio (rango)
Fab.
1 7 449.50 (1)
2 4 525.00 (5)
3 2 479.95 (3)
4 6 499.95 (4)
5 1 580.00 (8)
6 3 549.95 (7)
7 8 469.95 (2)
8 5 532.50 (6)
Di cuadrada
RangoDi
6 36
-1 1
-1 1
2 4
-7 49
-4 16
6 36
-1 1
271
Coeficiente de correlación de rangos para monotonía
de preferencias
Ho: No existe asociación entre los rangosHa: Existe asociación entre los rangos o es positiva o negativa
El coeficiente de correlación de rangos de Spearman es:
Rs = 1 – 6*suma(di cuadrada) / (n(n cuadrada – 1))
En este caso: Rs = 1 – 6(144)/(8*(64-1) = -0.714
R0 se determina de la tabla de Valores críticos del coeficiente de correlación del coeficiente de correlación de rangos de Spearman
Rt = 0.686
Por tanto si hay asociación significativa en las preferencias
272
Tabla de constantesn Alfa=0.05 Alfa = 0.0255 0.900 -6 0.829 0.8867 0.714 0.7868 0.643 0.7389 0.600 0.683
10 0.564 0.64811 0.523 0.62312 0.497 0.59113 0.475 0.56614 0.457 0.54515 0.441 0.52516 0.425 0.50717 0.412 0.49018 0.388 0.47619 0.377 0.46220 0.368 0.45021 0.359 0.43822 0.351 0.42823 0.343 0.41824 0.336 0.40925 0.329 0.40026 0.329 0.39227 0.323 0.38528 0.317 0.37729 0.311 0.37030 0.305 0.364
273
Corrida con MinitabPara la corrida en Minitab
primero se deben determinar los rangos en forma manual para las variables X y Y.
Stat > Basic statistics > Correlation Variables Preferencia Precio
Fabricante
Prefe-rencia Precio
Precio
1 7 1 449
2 4 5 525
3 2 3 479
4 6 4 499
5 1 8 580
6 3 7 549
7 8 2 469
8 5 6 532
Correlations: Preferencia, Precio
Pearson correlation of Preferencia and Precio = -0.714
P-Value = 0.047
274
Ejemplo con MinitabSe estudia la relación entre
colágeno y Proline en pacientes con cirrosis
Stat > Basic statistics > Correlation Variables Colágeno Proline
Paciente Colágeno Proline
1 7.1 2.8
2 7.1 2.9
3 7.2 2.8
4 8.3 2.6
5 9.4 3.5
6 10.5 4.6
7 11.4 5
Correlations: Colageno, Proline
Pearson correlation of Colageno and Proline = 0.935
P-Value = 0.002
275
Resumen de pruebas no paramétricas
Prueba de signos de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor y determina el intervalo de confianza
Prueba de Wilconox de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor con rangos con signo y determina el intervalo de confianza
Comparación de dos medianas poblacionales de Mann Whitney: Prueba la igualdad de las medianas y determina el intervalo de confianza
276
Resumen de pruebas no paramétricas
Comparación de igualdad de medianas poblacionales de Kruskal Wallis: Prueba la igualdad de las medianas en un diseño de una vía y determina el intervalo de confianza
Comparación de medianas poblacionales de Mood: Prueba la igualdad de medianas con un diseño de una vía
277
278
279
Salidas de la Fase de Análisis Causas raíz validadas
Guía de oportunidades de mejora
Causa Raíz
ResultadosCausas# de
Causa
SI ES CAUSA RAIZ
SI ES CAUSA RAIZ
NO ES CAUSA RAIZ
NO ES CAUSA RAIZ
SI ES CAUSA RAIZ
SI ES CAUSA RAIZ
NO ES CAUSA RAIZ
Ensamble de ojillos, bloques y contrapesos no adecuados en aspas.
Amortiguadores dañados.
Desgaste de bujes en los carretes.Fabricación y reemplazo de ejes y poleas no adecuados en ensamble de aspas.Desalineamiento de poleas y bandas de transmisión de aspas.
Método de Balanceo no adecuado.
Desalineación de pinolas en cuna.
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5
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7
Resumen de la validación de las causas
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