1 Polinomi

VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA

Mr. I. Boroš

DISKRETNA MATEMATIKA

SKRIPTA TREĆE IZDANJE

SUBOTICA 2004

SADRŽAJ 1. POLINOMI 1 1.1. Pojam polinoma 1 1.2. Deljenje polinoma 3 1.3. Koreni polinoma 7 1.4. Racionalne razlomljene funkcije 15 2. KOMPLEKSNI BROJEVI 21 2.1. Polje realnih brojeva 21 2.1.1. Skup prirodnih brojeva 21 2.1.2. Skup celih brojeva 23 2.1.3. Skup racionalnih brojeva 24 2.1.4. Skup realnih brojeva 26 2.2. Skup kompleksnih brojeva 27 2.2.1. Pojam kompleksnog broja 27 2.2.2. Algebarski oblik kompleksnih brojeva 29 2.2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja 31 2.2.4. Eksponencijalni oblik kompleksnog broja 34 3. VEKTORSKA ALGEBRA 41 3.1. Slobodni vektori 41 3.1.1. Pojam slobodnog vektora 41 3.1.2. Pojam vektorskog prostora 43 3.1.3. Linearna kombinacija slobodnih vektora 44 3.2. Operacije sa vektorima 48 3.2.1. Skalarni proizvod vektora 48 3.2.2. Vektorski proizvod dva vektora. 50 3.2.3. Mešoviti proizvod tri vektora 53 3.2.4. Dvostruki vektorski proizvod tri vektora 55 3.3. Vektori u pravouglom koordinatnom sistemu 57 3.3.1. Koordinate vektora 57 3.3.2. Koordinatni sistem u prostoru 59 4. ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE 65 4.1. Tačka u prostoru 65 4.2 Jednačina ravni 66 4.2.1. Opšti oblik jednačine ravni 66 4.2.2. Normalni oblik jednačine ravni 67 4.2.3. Ravan kroz datu tačku sa datim vektorom normale 67 4.2.4. Ravan kroz tri zadate tačke 67 4.2.5. Segmentni oblik jednačine ravni 68 4.2.6. Parametarske jednačine ravni 68 4.3. Jednačine prave 71 4.3.1. Vektorske jednačine prave 71 4.3.2. Parametarske jednačine prave 71 4.3.3. Dvojna jednačina prave u kanoničnom obliku 71 4.3.4. Prava kao presek dve ravni 72 4.3.5. Jednačine prave kroz dve tačke 72

4.4. Međusobni odnosi pravih i ravni i tačke 74 4.4.1. Međusobni odnosi dve ravni 74 4.4.2. Međusobni odnos dve prave 76 4.4.3. Međusobni odnos tačke i prave 81 4.4.4. Međusobni odnos tačke i ravni 82 4.4.5. Međusobni odnos prave i ravni 83 5. MATRICE I DETERMINANTE 91 5.1. Matrice 91 5.1.1 .Pojam matrice 91 5.1.2. Specijalne matrice 93 5.2. Operacije sa matricama 94 5.2.1. Sabiranje matrica 94 5.2.2. Množenje matrice skalarom 94 5.2.3. Množenje matrica 95 5.2.4. Transponovanje matrica 96 5.2.5. Zadaci za vežbu 97 5.3. Determinante 99 5.3.1. Definicije 99 5.3.2. Osobine determinanata 100 5.3.3. Zadaci za vežbu: 103 5.4. Inverzna matrica 104 5.4.1. Rang matrice 104 5.4.2. Adjungovana matrica 106 5.4.3. Inverzna matrica 107 5.4.4. Zadaci za vežbu 109 6. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 113 6.1. Pojam sistema linearnih algebarskih jednačina 113 6.2. GAUSS-ov metod eliminacije nepoznatih 115 6.3. Rešavanje sistema linarnih jednačina pomoću determinanata 120 6.4. Rešavanje sistema linearnih jednačina primenom inverzne matrice. 123 6.5. KRONECKER-CAPLELLI-jev stav 124 6.6. Sistem homogenih jednačina 126 7. VEKTORSKI PROSTORI 133 7.1. Pojam vektorskog prostora 133 7.2. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora 134 7.3. Linearne transformacije 140 7.4. Transformacije baze 142 7.5. Invarijantni pravci linearne tranformacije 147 7.5.1. Polinomi sa matričnim koeficijentima i matrična vrednost polinoma 147 7.5.2. Sopstveni vektori linearne transformacije 151

KORIŠĆENA LITERATURA

А.Г.Курош:

КУРС ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ, Москва 1959

Д.К.Фаддеев-И.С.Соминский:

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ, Москва 1968.

О.Н.Цубербиллер:

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ, Москва 1970.

Р. Дорословачки:

ЕЛЕМЕНТИ ОПШТЕ И ЛИНЕАРНЕ АЛГЕБРЕ, Stylos Нови Сад 1997.

Р. Дорословачки:

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ИСПИТНИХ ЗАДАТАКА ИЗ АЛГЕБРЕ, Stylos Нови Сад 1998.

Б. Перишић:

ОСНОВИ РАЧУНАРСТВА – МЕТОДИЧКА ЗБИРКА ЗАДАТАКА I, Stylos Нови Сад 1997.

Р.Стефановић:

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ АНАЛИТИЧКЕ ГЕОМЕТРИЈЕ, Завод за издавање уџбеника Београд 1967.

М.Првановић:

МАТЕМАТИКА I I (ГЕОМЕТРИЈА) Завод за издавање уџбеника Београд 1970.

Szele Tibor:

BEVEZETÉS AZ ALGEBRÁBA, Tankönyvkiadó Budapest 1972.

M. Bertolino:

OPŠTI KURS MATEMATIKE, ICS Beograd 1973

S. Kakašić – I. Boroš – Lj. Milošević – A. Ćetković:

MATEMATIKA SA METODIKOM, PA, Sremska Mitrovica 1991.

Bálint János:

MATEMATIKA, PA Subotica 1982.

M.Stojaković: ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE, Zavod za udžbenike Beograd 1961.

Lilly Görke:

HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK, Tankönyvkiadó Budapest 1969.

I. Grossman–W. Magnus:

CSOPORTOK ÉS GRÁFJAIK, Műszaki Könyvkiadó Budapest, 1972.

Farkas Miklós szerkesztő:

MATEMATIKAI KISLEXIKON, Műszaki Könyvkiadó Budapest 1972.

Fried E. – Pásztor I. – Reiman I. – Révész P. – Ruzsa I.:

MATEMATIKAI KISENCIKLOPÉDIA, Gondolat Könyvkiadó Budapest 1968.

A. Kaufmann:

PONTOK, ÉLEK, ÍVEK ...GRÁFOK, Műszaki Könyvkiadó Budapest 1972.

Andrásfai Béla:

ISMERKEDÉS A GRÁFELMÉLETTEL, Tankönyvkiadó Budapest, 1971.

Oystein Ore: A GRÁFOK ÉS ALKALMAZÁSAIK Gondolat Budapest 1972.

1. POLINOMI

1.1. Pojam polinoma Iz srednje škole je čitaocu poznat sledeći pojam polinoma: Polinom je funkcija oblika f(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn, gde su ai ∈ R ( i = 1, 2, 3, ... ,n ) koeficijenti polinoma. Stepen polinoma zavisi od najvšeg stepena promenljive x. Koeficijent uz najviši stepen promenljive x je takozvani vodeći koeficijent. Vodeći koeficijent je uvek različit od nule: an ≠ 0.

Sada ćemo dati opštiju definiciju pojma polinoma. Neka je dat proizvoljno polje K i

skupovi K2, K3, K4, K5,.... formirani iz elemenata datog polja. Definicija 1.1.1. Elemente skupa U = K « K

N

iK∈i

2 « K3 « ... nazivamo polinomima

nad poljem K ukoliko poslednja komponenta uredjene k-torke nije nula. I nula elemenat polja K je polinom. To je takozvani nula-polinom.

Neka su dati nenula polinomi P = (a0 , a1 , a2 , ... , an) i Q = (b0 , b1 , b2 , ... , bm).

Definisaćemo zbir i proizvod tih polinoma, pri čemu smatramo da je aj = 0 za j > n i bj = 0 za j > m.

Definicija 1.1.2.: Zbir polinoma P = (a0 , a1 , a2 , ... , an) i Q = (b0 , b1 , b2 , ... , bm)

je polinom S = P + Q = (d0 , d1 , d2 , ... , ds) u jojem je dj = aj +bj . Stepen zbira je najveći prirodan broj s za koji je ds ≠ 0. Ako su svi di = 0, zbir je nula-polinom.

Definicija 1.1.3.: Proizvod polinoma P = (a0 , a1 , a2 , ... , an) i Q = (b0 , b1 , b2 , ... ,

bm) je polinom R = P ⋅ Q = (c0 , c1 , c2 , ... , cr) u kojem je , broj r je najveći

prirodan broj za koji važi: c

∑=

−=k

jjkjk bac

0

r ≠ 0. Ako su svi ci = 0, proizvod je nula-polinom.

1.1. Primer: Dati su nenula polinomi P = (a0 , a1 , a2 , a3), Q = (b0 , b1 , b2). To znači: najmanje a3 ≠ 0 i b2 ≠ 0. Odredimo zbir i proizvod tih polinoma. a) P + Q = (a0 , a1 , a2 , a3) + (b0 , b1 , b2) = (a0 + b0 , a1 + b1, a2 + b2, a3) , jer je b3 = 0 i b) P ⋅ Q = (a0 , a1 , a2 , a3) ⋅ (b0 , b1 , b2) = (a0 ⋅ b0 , a0 ⋅ b1 + a1 ⋅ b0 , a0 ⋅ b2 + a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b0 , a0 ⋅ b3 + a1 ⋅ b2 + a2 ⋅ b1 + a3 ⋅ b0 , a0 ⋅ b4 + a1 ⋅ b3 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b1 + a4 ⋅ b0, a0 ⋅ b5 + a1 ⋅ b4 + + a2 ⋅ b3 + a3 ⋅ b2 + a4 ⋅ b1 + a5 ⋅ b0) = (a0 ⋅ b0 , a0 ⋅ b1 + a1 ⋅ b0 , a0 ⋅ b2 + a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b0 , a1 ⋅ b2 + a2 ⋅ b1 + a3 ⋅ b0 , a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b1, a3 ⋅ b2 ) , jer su a5 = a4 = b5 = b4 = b3 = 0. ________________________________________________________________________________________

1

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________ c) Akoj je polinom R nultog stepena, tada je R = c0, pa će biti: P +R = (a0+c0 , a1, a2, a3) i P ⋅ Q = (b0 ⋅ c0, b1 ⋅ c0, b2⋅ c0). Neka su P, Q i R proizvoljni polinomi, dok 0 je nula-polinom.

(1) Konstatujemo ulogu nula-polinoma u sabiranju i množenju polinoma:

0 + P = P + 0 = P i 0 ⋅P = P ⋅ 0 = 0.

(2) Polinom E = 1 je polinom nultog stepena koji se ponaša kao multiplikativni neutralni elemenat: 1 ⋅ P = P ⋅ 1 = P.

(3) Može se dokazati komutativno i asocijativno svojstvo sabiranja i množenja polinoma:

P + Q = Q +P és P ⋅ Q = Q ⋅ P, (P + Q ) + R = P +(Q + R ) és (P ⋅ Q) ⋅ R = P ⋅ (Q ⋅ R ) , i (P + Q ) ⋅ R = (P ⋅ R) + (Q ⋅ R ) és P ⋅ (Q + R ) = (P ⋅ Q ) + (P ⋅ R ).

(4) O stepenu zbira i proizvoda konstatujemo činjenice (dg je stepen polinoma):

0 ≤ dg(P + Q) ≤ max [ dg( P ), dg( Q ) ], 0 ≤ dg(P ⋅ Q) ≤ dg( P )+ dg( Q )

Osmotrimo sada ulogu jednog specijalnog polinoma kojeg ćemo obeležiti sa x:

x=(0, 1)

Bez većih teškoća možemo konstatovati sledeća svojsva polinoma x:

x2 = (0, 1) ⋅ (0, 1) = (0, 0, 1), x3 = x2⋅ x = x ⋅ x2 = (0, 0, 1) ⋅ (0, 1) = (0, 0, 1) ⋅ (0, 1) = (0, 0, 0, 1), x4 = (0, 0, 0, 0, 1), x5 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), ... , ----------- ----------- xn = (0, 0, ..., 0, 1) (prvih n komponnata su redom 0, a n+1-va je 1).

Potražimo vezu između polinoma x i njegovih stepena sa jedne strane i polinoma P sa druge strane.

P1 = (a0, a1) = a0 + (0, a1) = a0 + a1 ⋅ (0, 1) = a0 + a1 ⋅ x, P2 = (a0, a1, a2) = a0 + (0, a1) + (0, 0, a2)= a0 + a1 ⋅ (0, 1) + a2 ⋅ (0, 0, 1) = = a0 + a1⋅x + a2⋅x2. ----------- ----------- Pn = (a0 , a1 , a2 , ... , an) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn.

________________________________________________________________________________________ 2

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

Definicija polinoma poznata od ranije, prema tome jeste jedna konkretizacija opšteg

pojma polinoma. Obeležimo skup olinoma nak poljem K sa K[x]. Nad skupom K[x] važi sledeća teorema: Teorema 1.1.: (K[x] , +, ⋅ ) je komutativni prsten sa jedinicom. Dokaz: (K[x] , +) je ABEL-ova grupa, jer smo uočili asocijativnost i komutativnost

sabiranja, konstatovali i postojanje neutralnog elementa: to je polinom 0, a za inverzni polinom u pogledu sabiranja za polinom Pn = (a0 , a1 , a2 , ... , an) imamo suprotan polinom koji ima sledeći oblik: –Pn = (–a0 , –a1 , –a2 , ... , –an).

(K[x] , ⋅) je komutativna polugrupa sa jedinicom. Asocijativnost i komutativnost

smo već ranije uočili. Multiplikativni neutralni elemenat je polinom nultog stepena E = 1. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje polinoma je takodje ranije uočena.

1.2. Deljenje polinoma Sabiranje i množenje polinoma vršimo po definicijama 1.1.2. és a 1.1.2. Inverzna operacija množenja u prstenu polinoma ne postoji, ali postoji deljenje polinoma sa ostatkom. Proučimo deljenje polinoma sa ostatkom. Pripadnost polinoma prstenu (C[x] , +, ⋅ ) naglašavamo na taj način, što korisimo sledeće oznake za polinome: F(x), G(x), H(x),... Teorema 1.2.1.: Za bilo koja dva polinoma F(x) és G(x) (G(x) ≠ 0) postoje polinomi Q(x) és R(x) takvi, da bude ispunjen uslov F(x) = G(x) ⋅ Q(x) + R(x), pri čemu za stepene tih polinoma važi: 0 ≤ dg(R(x)) < dg(G(x)). Polinomi Q(x) i R(x) su jednoznačno odredjeni. Dokaz: Pretpostavimo, da postoji više takvih polinoma koji zadovoljavaju postavljene zahteve. Neka su takvi polinomi Q1(x) ≠ Q2(x) i R1(x) ≠ R2(x), koji takođe zadovoljavaju uslove 0 ≤ dg(R1(x)) < dg(G(x)) i 0 ≤ dg(R2(x)) < dg(G(x)).

F(x) = G(x) ⋅ Q1(x) + R1(x), F(x) = G(x) ⋅ Q2(x) + R2(x) ⇒ ⇒G(x) ⋅ Q1(x) + R1(x) = G(x) ⋅ Q2(x) + R2(x) ⇒ ⇒G(x) ⋅ (Q1(x) – Q2(x)) = R2(x) – R1(x) ,

gde je na levoj strani 0 ≤ dg(R2(x) – R1(x)) < dg(G(x)) dok je stepen polinoma na desnoj strani dg(G(x) (Q1(x) – Q2(x))) što nije manje od stepenena G(x) jer je Q1(x) ≠ Q2(x) ⇒ ⇒Q1(x) – Q2(x) ≠ 0. Iz toga nužno proizilazi: Q1(x) = Q2(x) és R1(x) = R2(x). Sada dokažimo da takva mogućnost uvek postoji. Neka je dg(F(x)) = n i dg(G(x)) = m.

a) Ako je n < m, Q(x) = 0 ⇒ F(x) = R(x) tj. dg(R(x)) = dg(F(x)) = n < m = dg(G(x)).

________________________________________________________________________________________ 3

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________

b) Neka je n ≥ m, i F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn , an ≠ 0 i G(x) = bo + b1 x + b2 x2 + ... + bm-1 xm-1 + bm xm , bm ≠ 0.

Formirajmo sledeći niz polinoma (pretpostavljajući da je n > m):

F1(x) = F(x) – m

n

ba

xn–m G(x).

I za novi polinom važi: dg(F1(x) ) < dg(F(x)) jer je na desnoj strani stepen

umanjenika tačno n, kao i kod umanjioca, pa je zbir vodećih koeficijenata nula. Tojest dg(F1(x) )< n.

Neka je dg(F1(x) ) = n1, i neka je još uvek n1 > m. Obeležimo vodeći koeficijent

polinoma F1(x) sa a . Sada se može napisati: F1n 2(x) = F1(x) –

m

n

ba1

xn1–m G(x), gde je stepen

polinoma F2(x) broj n2. Ako je n2 ≥ m postupak se nastavlja, u suprotnom je završen. Niz F1(x), F2(x), F3(x), ..., Fk(x) se završava u konačnom broju koraka jer stepeni monotono opadaju: n > n1 > n2 >... U poslednjem koraku:

Fk(x) = Fk-1(x) – m

kn

ba 1−

xn'–m G(x), gde je n' = nk-1 i nk < m.

Saberimo sve polinome Fi (x) (i=1,2,...,k) ! F1(x) + F2(x) + F3(x) + ... + Fk(x) =

= F(x) – (m

n

ba

xn–m +m

n

ba1

xn1–m +...+m

kn

ba 1−

xn'–m) G(x) = Fk (x) , tojest

Q(x) = m

n

ba

xn–m +m

n

ba1

xn1–m +...+m

kn

ba 1−

xn'–m i R(x) = Fk(x).

Polinomi Q(x) i R(x) zadovoljavaju uslov teoreme F(x) = G(x) ⋅ Q(x) + R(x), pri

čemu i za stepen polinoma R(x) važi: 0 ≤ dg(R(x)) < dg(G(x)). U jednakosti F(x) = G(x) ⋅ Q(x) + R(x) polinom Q(x) je količnik dobijen deljenjem

polinoma F(x) polinomom G(x), dok polinom R(x) je ostatak.

________________________________________________________________________________________ 4

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________ Primer 1.2.1.: Deljenje polinoma sa ostatkom. Odredimo količnik Q(x) polinoma F(x) i G(x), kao i ostatak tog deljenja R(x)!

F(x) = 2 + 4 x + 6 x2 + 5 x3 + 3 x4 , G(x) = 1 + x + x2 .

3 x4 + 5 x3 + 6 x2 + 4 x + 2 : x2 + x + 1 = 3 x2 + 2 x + 1 –(3x4 + 3 x3 + 3 x2) 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 2 –(2 x3 + 2 x2 + 2x) x2 + 2 x + 2 –(x2 + x + 1) x + 1

Prema tome Q(x) = 3 x2 + 2 x + 1 i R(x) = x + 1, tojest:

( 3 x4 + 5 x3 + 6 x2 + 4 x + 2 ) = ( x2 + x + 1) ( 3 x2 + 2 x + 1) + ( x + 1) Prikazani postupak se naziva euklidovim algoritmom za deljenje polinoma. Definicija 1.2.1.: Polinom G(x) je delilac polinoma F(x) onda i samo onda, ako postoji polinom Q(x) takav, da zadovoljava jednakost F(x) = G(x) ⋅ Q(x). Obeležimo relaciju deljivosti na sledeći način: G(x) | F(x). Navedimo sada sve posledice koje proizilaze iz pojma deljivosti polinoma i iz svojstava operacija sa polinomima. a) G(x) | F(x) Ÿ H(x) | G(x) ⇒ H(x) | F(x). (Deljivost polinoma je tranzitivna) b) H(x) | F(x) Ÿ H(x) | G(x) ⇒ H(x) | (F(x) ± G(x)). (Ako je polinom H(x) delilac

polinoma F(x) i G(x) tada je on delilac i zbira i razlike polinoma F(x) i G(x). c) G(x) | F(x) ⇒ G(x) | F(x) ⋅ H(x). (Ako je polinom G(x) delilac nekog polinoma

F(x), onda je delilac i proizvoda polinoma F(x) i proizvoljnog polinoma H(x)). d) H(x) | F1(x) Ÿ H(x) | F2(x) Ÿ....Ÿ H(x) | Fk(x) ⇒

⇒ H(x) | (F1(x) ⋅ G1(x) + F2(x) ⋅ G2(x) +...+ Fk(x) ⋅ Gk(x) ) (Gi(x) , i =1, 2,...,k proizvoljni polinomi)

e) G(x) | F(x) Ÿ F(x) | G(x) ⇒ F(x) = C ⋅ G(x). ( C je polinom 0-tog stepena). f) C | F(x) (Svaki polinom je deljiv sa bilo kojim nenula polinomom nultog stepena) .

Definicija 1.2.2.: Najveći zajednički delilac polinoma F(x) i G(x) je normalizovan polinom H(x) najvišeg stepna koji je delilac oba polinoma.

Ovu činjenicu obeležavamo na sledeći način: H(x) = NZD(F(x), G(x)).

________________________________________________________________________________________ 5


Teorema 1.2.2: Za polinome F(x) i G(x) postoji tačno jedan normalizovan polinom

H(x) kao njihov najveći zajednički delilac. Dokaz: Neka je dg(F(x)) ≥ dg(G(x)) (U suprotnom zamenimo uloge datih

polinoma). Primenom deljenja sa ostatkom možemo napisati sledeći niz jednakosti: F(x) = G(x) ⋅ Q1(x) + R1(x), dg(R1(x)) < dg(G(x)) , G(x) = R1(x) ⋅ Q2(x) + R2(x), dg(R2(x)) < dg(R1(x)), R1(x) = R2(x) ⋅ Q3(x) + R3(x), dg(R3(x)) < dg(R2(x)), ------------------------ ------------------------ Rk-2(x) = Rk-1(x) ⋅ Qk (x) + Rk(x), dg(Rk (x)) < dg(Rk-1(x)). Pošto stepeni ostataka čine opadajući niz, postupak se nužno završava. U

poslednjem koraku se dobija ostatak 0. (U “najgorem” slučaju Rk(x) je polinom 0-tog stepena tojest konstanta):

Rk-1(x) = Rk(x) ⋅ Qk+1(x) . Po ovoj jednakosti je Rk(x) | Rk-1(x). Koristimo ovu činjenicu i uočimo sledeće

jednakosti: Rk-2(x) = Rk-1(x) ⋅ Qk(x) + Rk(x) =Rk-2(x) = Rk(x) ⋅ Qk+1(x) ⋅ Qk(x) + Rk(x) =Rk(x) ⋅

Mk(x), gde je Mk(x)= Qk+1(x)⋅ Qk(x) + 1 odavde sledi: Rk(x) | Rk-2(x). Nastavljajući zamenjivanje ostataka u prethodne korake dobijamo: Rk(x) | F(x) i

Rk(x) | G(x) . Ovim smo pokazali da je Rk(x) zajednički delilac polinoma F(x) i G(x).

Postupak je jednoznačan, pa polinom višeg stepena sa istim osobinama ne postoji, tojest Rk(x) je največi zajednički delilac polinoma F(x) i G(x).

Definicija 1.2.3.: Polinomi F(x) i G(x) su relativno prosti ako i samo ako za

najvećeg zajedničkog delioca imaju polinom E = 1. Svi zajednički delioci nultog stepena nazivaju se trivijalnim deliocima.

Primer 1.2.2.: Odredjivanje najvećeg zajedničkog delioca za polinome F(x) i G(x)

euklidovim algoritmom. Neka je F(x) = x4 + 3 x3 – x2 – 4 x – 3 i G(x)=3 x3 + 10 x2 + 2 x – 3. U prvom koraku delimo polinom 3F(x) polinomom G(x):

3 x4 + 9 x3 – 3 x2 – 12 x – 9 = (3 x3 + 10 x2 + 2 x – 3)(x 31

− ) + (–35 x2 –

325 x – 10)

.

U drugom koraku delimo polinom G(x) sa ostatkom kojeg smo pomnožili sa –53 .

3 x3 + 10 x2 + 2 x – 3 = (x2 + 5 x +6)(3x – 5) + (9 x +27).

________________________________________________________________________________________ 6

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

U trećem koraku delimo “promenjeni” ostatak prvog koraka (x2 + 5 x +6) sa

ostatkom drugog koraka kojeg smo pomnožili prethodno sa 91 , pa je delilac (x +3):

x2 + 5 x +6 = (x +3)(x +2). Postupak je završen, jer je ostatak 0. Data dva polinoma za najvećeg zajedničkog

delioca imaju polinom (x +3). Teorema 1.2.3.: Prilikom deljenja polinoma F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn polinomom x – c dobija se količnik

Q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 i ostatak R : ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn = (x – c )(bo + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 ) + R, gde je bn-1 = an , bi = c⋅ bi+1 +ai+1 za i = n–2, n–3, ..., 2, 1, 0 i R = c⋅ b0 +a0. Dokaz: Potrebno je prosto uporediti koefijijente nakon množenja u jednakosti date u teoremi: F(x) = (x – c) Q(x) + R Izrečene činjenice izražavamo takozvanom Hornerovom šemom:

c an an–1 an–2 ... a1 a0 an cbn–1+an–1 cbn–2+an–2 ... cb1+a1 cb0+a0 bn–1 bn–2 bn–3 ... b0 R

Zadaci 1.2. a) Izvršimo deljenje sledećih polinoma:

(1) 2 x4 – 3 x3 + 4 x2 – 5 x + 6 i x2 –3 x + 1, (2) x3 – 3 x2 – x – 1 i 3 x2 –2 x + 1, (3) 2 x5 – 5 x3 – 8 x i x + 3, (4) x5 – 15 x4 +14 i x2 –2 x + 1.

b) U zadatku (3) i (4) primenimo i Hornerovu šemu. Primetimo to da u zadatku (4)

polinom je deljiv sa (x – 1)2) c) Odredimo najveći zajednički delilac parova polinoma iz tačke a) primenom

euklidovog algoritma.

1.3. Koreni polinoma U dosadašnjim razmatranjima elementi polja K nisu specifikovani. Poznato je iz poglavlja o algebarskim strukturama da je skup racionalnih brojeva Q i skup realnih brojeva R snabdeven sa strukturom polja u odnosu na operaciju sabiranja i množenja. Iz

________________________________________________________________________________________ 7

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________ toga proizilazi, da dosad konstatovanje činjenice slobodno možemo primeniti na skupove polinoma Q[x] i R[x].

Skup Q[x] je skup polinoma nad poljem racionalnih brojeva, dok u skup R[x]

spadaju polinomi sa realnim koeficijentima. I skup Z[x] poseduje dosad izložena svojstva, ali postoje i ograničenja koja proizilaze iz činjenice,da skup celih brojeva raspolaže “samo” strukturom komutativnog prstena sa jedinicom.

Izlaganje o skupu kompleksnih brojeva je predmet narednog poglavlja. Poznato je

međutim, da je i skup C ima strukturu polja. Zato C[x] nazivamo skupom polinoma nad poljem komplexnih brojeva.

Neka su elementi polja K jednostavno nazvani “brojevima” a polinom F(x) je

elemenat skupa K[x]: F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn. Definicija 1.3.1.: Vrednost polinoma za x = c je broj F(c) ∈ K koji se dobija nakon

izvršenja naznačenih operacija, kada u polinomu F(x) promenljivu x zamenimo sa konstantnim brojem c: F(c) = ao + a1 c + a2 c2 + ... + an-1 cn-1 + an cn.

Teorema 1.3.1.: Ostatak prilikom deljenja polinoma F(x) polinomom x – c je jednak

vrednosti polinoma za x = c, tojest: F(x) = (x – c) Q(x) + F(c).(Bézout-ova teorema). Dokaz: Istinitost tvrđenja se može neposredno uočiti ako se promenljiva x zameni

sa c na levoj i na desnoj strani jednakosti F(x) = (x – c) Q(x) + R . Rezultat je F(c) = R . Definicija 1.3.2.: Broj c je koren polinoma F(x) ako je F(c) = 0. Teorema 1.3.2.: Polinom F(x) je deljiv bez ostatka polinomom x – c ako i samo ako

broj c koren polinoma F(x). Ova teorema je neposredna posledica Bézout-ove teoreme. Postavlja se pitanje: ima li polinom uopšte koren (ili korene)? Prethodne teoreme ne

tvrde postojanje korena, već samo činjenicu, da ako postoji broj navedenih osobina, tada je to koren polinoma. Ovo pitanje je razrešeno osnovnim stavom algebre. Prvi dokaz ove teoreme se pripisuje GAUSS-u. Dokaz je neobično složen, zato ga izostavljamo, ali zbog važnosti navodimo teoremu.

Teorema 1.3.3.: (Osnovni stav algebre) Svaki polinom najmanje prvog stepena sa

kompleksnim koeficijentima ima bar jedan koren u polju kompleksnih brojeva. Osnovni stav algebre tvrdi samo egzistenciju korena, ali nam ništa ne kaže o tačnom

broju i o načinu njihovog iznalaženja. Uprkos tome, da se teorema odnosi na polinome sa kompleksnim koeficijentima prenosimo to na područje polinoma sa realnim koeficijentima. Zadatak nam je da pronađemo korene datog polinoma, odnosno da pronađemo sve brojeve koji zadaovoljavaju jednakost F(x) = 0. Ova jednakost je jednačina.

Teorema 1.3.4.: Polinom n-tog stepena sa kompleksnim koeficijentima F(x) ima

tačno n korena u polju kompleksnih brojeva.

________________________________________________________________________________________ 8

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

)

Dokaz: Neka je po osnovnom stavu kompleksan broj c1 koren polinoma F(x), tojest

F(c1) = 0. Na osnovu teoreme 1.3.2. imamo: F(x) =(x – c1) F1(x), gde je dg(F1(x))≤ n – 1. Ako je dg(F1(x)) > 0, onda se osnovni stav algebre može primeniti i na polinom

F1(x). Neka je c2 koren tog polinoma, odnosno: F1(c2) = 0. Ponovnom primenom teoreme 1.3.2. imamo:

F1(x) =(x – c2) F2(x), gde je dg(F2(x))≤ n – 2, odnosno: F(x) =(x – c1)(x – c2) F2(x). Ako je dg(F2(x)) > 0, nastavljamo postupak. U n-tom koraku postupak se završava,

jer je količnik polinom 0-tog stepena: F2(x) =(x – c3) F3(x), gde je dg(F3(x))≤ n – 3, odnosno: F(x) = (x – c1)(x – c2)(x – c3)F3(x). ------------- ------------- F(x) =(x – c1)(x – c2)(x – c3) ... (x – cn) Fn(x), gde je dg(Fn(x))≤ n – n = 0. Prikazani postupak nazivamo razlaganje polinoma na proizvod linearnih činilaca.

Poslednji količnik postupka je polinom nultog stepena koji je jednak vodečem koeficijentu datog polinoma:

F(x) = an (x – c1)(x – c2)(x – c3) ... (x – cn).

Koreni polinoma n-tog stepena nisu nužno međusobno različiti brojevi: c1, c2, c3, ... , cn. Moguće je, na primer da je c1 = c2. U tom slučaju za broj c1 kažemo da je dvostruki koren polinoma F(x). U opštem slučaju svaki koren ima neku “višestrukost”

Neka su α 1, α 2, α 3 , ... ,α m različiti koreni polinoma F(x) (m ≤ n). Neka je višestrukost korena α i broj ki, (i = 1, 2, ... , m), gde u slučaju jednostrukog korena αr imamo kr = 1, za dvostruki koren αs je ks = 2, i tako dalje. Naravno broj korena i sa svim višestrukostima je ukupno samo n, tojest: k1 + k2 + ... + km = n. Posle svega navedenog potpunu faktorizaciju polinoma možemo obaviti na sledeći način:

F(x) = gde je . ( ) ( ) ( ) (∏=

−=−−−m

j

kjn

km

kkn

jm xaxxxa1

21 ....21 αααα nkm

ii =∑

=1

Primeri 1.3.1.: a) Razlaganje polinoma F(x) = 24 + 10 x –15 x2 + x4 je sledeće:

24 + 10 x –15 x2 + x4 = (x + 4)(x + 1)(x – 2)(x – 3).

Svi koreni polinoma su realni i jednostruki. U opštem slučaju koreni pripadaju

skupu kompleksnih brojeva.

________________________________________________________________________________________ 9

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________ b) Koreni polinoma G(x) = 1 + x3 su isto tako jednostruki:

1 + x3 = ( )

−−−

+−−+

23

21

23

211 ixixx .

U ovom slučaju dva korena su kompleksni brojevi i jedan je realan broj. c) U razlaganju sledećeg polinoma uočavamo, da od pet korena su samo dva različita: jedan je dvostruki a drugi je trostruki realan koren.

x5 + 3 x4 – 6 x3 – 10 x2 + 21 x – 9 = (x + 3) 2 (x – 1) 3 .

Višestruki koreni su u tesnoj vezi sa izvodnim polinomom datog polinoma.

Izučavanje izvoda nije predmet ovog kursa, zato zbog potrebe daljeg rada dajemo samo jednu neophodnu definiciju iz te oblasti:

Definicija 1.3.3.: Izvod polinoma

F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an–1 xn–1 + an xn je polinom

F '(x) = a1 + a2 x + ... + (n-1) an–1 xn–2 + n an xn–1. Izvod zbira, razlike, proizvoda, količnika i stepena polinoma samo navodimo. Te

osobine čitalac će da upozna u okviru kursa Matematička Analiza: a) (F(x) ± G(x)) ' = (F '(x) ± G '(x)) b) (F(x) ⋅G(x)) ' = F '(x) ⋅ G (x) + F'(x) ⋅ G '(x) c) ((F(x))n)' = n ⋅ (F(x))n–1 ⋅ F ' (x).

Teorema 1.3.5.: Ako je broj c k-tostruki koren polinoma F(x), tada je isti broj c k–1-nostruki koren izvodnog polinoma F'(x) ( k > 1). Dokaz: Dokazujemo samo prvi deo teoreme. Ako polinom n-tog stepena F(x) ima

broj c za k-tostruki koren (k > 1), tada je moguće sledeć razlaganje polinoma: F(x) = (x – c)k Q(x),

gde je polinom Q(x) stepena n–k. Pronađimo izvod tog razlaganja! F '(x) = k (x – c)k–1 Q(x) +(x – c)k Q '(x) , ili: F '(x) = (x – c)k–1( k Q(x) +(x – c) Q '(x) ) = (x – c)k–1 Q1(x),

________________________________________________________________________________________ 10

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________ gde je stepen polinoma Q1 (x) = k Q(x) +(x – c) Q '(x) nije veći od n–k. Iz ovog razlaganja je očevidno, da je broj c k–1-nostruki koren polinoma F'(x). Ako predpostavimo, da koeficijenti polinoma pripadaju nekom skupu brojeva koji je uži od skupa kompleksnih brojeva, naprimer pripadaju skupu R, tada se gubi garancija osnovnog stava algebre o postojanju korena u okviru skupa kojem pripadaju i koeficijenti polinoma, jer osnovni stav garantuje samo postojanje korena u okviru skupa C. Teorema 1.3.6.: Neka je polinom F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an–1 xn–1 + an xn sa realnim koeficijentima. Ako je kompleksan broj α = c + id k-tostruki koren tog polinoma F(x), tada je i konjugovani kompleksan broj α =c – id k-tostruki koren tog polinoma. Dokaz: Za dokaz primenimo teoreme o kompleksnim brojevima koje dokazujemo u okviru poglavlja o kompleksnim brojevima:

a) Konjugovani zbir kompleksnih brojeva je jednak zbiru konjugovanih

kompleksnih brojeva, b) Konjugovani proizvod dva kompleksna broja je jednak proizvodu komnjugovani

kompleksnih brojeva, c) Konjugovani stepen kompleksnog broja je jednak stepenu konjugovanog

komplesnog broja, d) Konjugovani kompleksan broj kompleksnog broja koji ima samo realan deo

različit od nule je jednak samom kompleksnom broju. F(α) = 0 ⇒ )(αF = 0 ⇒ n

nn

n aaaaa αααα +++++ −−

11

2210 ... =0 ⇒

⇒ n

nn

n aaaaa αααα +++++ −−

11

2210 ... = 0 ⇒

⇒ ao + a1 α + a2 α 2 + ... + an–1 α n–1 + an α n = 0 ⇒ F(α ) .

Tvrđenje o višestrukosti korena sledi iz teoreme 1.3.5. Zaključak: Kompleksni koreni polinoma sa realnim koeficijentima se uvek javljaju u parovima konjugovanih kompleksnih brojeva. To znači, da polinom parnog stepena može da ima sve kompleksne koerene, dok polinom neparnog stepena uvek ima najmanje jedan realan koren. Neka su konjugovano kompleksni koreni polinoma α =c + id i α =c – id. U razlaganju polinoma pojavljuju se sledeći činioci: (x – α ) i (x – α ). Njihov proizvod je:

(x – α )(x – α ) = x2 – (α +α ) x + α α = x2 + p x + q, ________________________________________________________________________________________

11

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________ gde smo stavili p= – (α +α ) = –2c, i q = α α =c 2 + d2 (znači p i q su realni brojevi!). Prilikom razlaganja polinoma na činioce ovaj faktor smatramo nesvodljivim na polju realnih brojeva. Zato polinom x3 +1 na polju realnih brojeva rastavljamo na sledeći način: x3 +1 = = (x + 1)(x2 + x + 1).

Normalizovani oblik polinoma F(x) = an (x – c1)(x – c2)(x – c3) ... (x – cn) dobijemo na sledeći način:

ao + a1 x + a2 x2 + ... + an–1 xn–1 + an xn =

+++++ −− nn

n

n

nnnn xx

aax

aax

aa

aaa 112210 ... .

Uporedimo li polinom sa prvobitnim razlaganjem možemo izvesti vrlo važne

zaključke: nn

n

n

nnnxx

aax

aax

aa

aa

+++++ −− 112210 ... = (x – c1)(x – c2)(x – c3) ... (x – cn)

Izjednačimo koeficijente polinoma sa leve i sa desne strane znaka jednakosti:

c1 + c2 + c3 + ... + cn = n

n

aa 1−− ,

c1 c2 + c1 c3 +...+ c1 cn + c2 c3 + ... + cn–1 cn = n

n

aa 2− ,

c1 c2 c3 + c1 c2 c4 + ... + cn–2 cn–1 cn = n

n

aa 3−− ,

-----------------

c1 c2 c3 ... cn–1 cn = ( )n

n

aa01− .

Dobijene veze između korena i koeficijenata polinoma su takozvane Viète-ove

formule (Vijetove-formule). Za polinom drugog stepena F(x) = ao + a1 x + a2 x2 čiji su koreni c1 i c2 imamo:

c1 + c2 = 2

1

aa

− , c1 c2 = 2

0

aa .

Za polinom trećeg stepena F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 sa korenima c1 , c2 i c3 imamo:

c1 + c2 + c3 = 3

2

aa

− , c1 c2 + c1 c3 + c2 c3 = 3

1

aa , c1 c2 c3 =

3

0

aa

− .

Polinomi sa racionalnim koeficijentima imaju dodatna ograničenja. Ako polinom

ima realne korene, to još ne znači, da su to racionalni brojevi. Kada ima polinom sa racionalnim koeficijentima racionalne korene? Ili: kada ima polinom sa celim koeficijentima korene iz skupa celih brojeva? Na ova pitanja delimične odgovore dobijamo iz Vijetovih formula.

________________________________________________________________________________________ 12

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

Ograničimo se na polinome sa celim koeficijentima, jer zaključke vrlo lako možemo

preneti na polinome sa racionalnim koeficijentima. Neka je polinom F(x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an–1 xn–1 + an xn sa celim

koeficijentima. Poslednja Vijetove formula glasi:

c1 c2 c3 ... cn–1 cn = ( )n

n

aa01− , gde su c1, c2, c3 , ... , cn koreni polinoma.

Neka je c1 racionalan broj, tojest c1 = qp , gde su p,q ∈ Z uzajamno prosti brojevi, i

pq≠0. Pomnožimo jednakost 0...1

1

2

210 =

+

++

++

−

−

n

n

n

n qpa

qpa

qpa

qpaa prvo sa qn-1:

0... 11

322

21

10 =+++++ −

−−−−

qpapaqpapqaqa

n

nn

nnnn ,

Ovu jednakost ćemo pomnožiti sa recipročnim brojem korena c1, a to je broj pq :

0... 121

22

110 =+++++ −−

−−− n

nn

nnn

n

paqpapqaqap

qa .

U ovim jednakostima su koeficijenti celi brojevi u svim članocima sem u qp n

na ,

odnosno u p

qan

0 . Pošto su p i q uzajamno prosti a desna strana je 0, zato mora da bude

pa0 i qan , tojest mora biti broj p činilac koeficijenta a0 a broj q činilac koeficijenta an. Ukoliko od navedenih brojeva nijedan nije koren polinoma, tada polinom nema racionalne korene. Primer 1.3.2.: a) Odrediti koeficijente k i n u polinomu P(x) = x4 – 6 x3 + kx + m, tako da realan koren koji je različit od nule ima najveću moguću višestrukost. Obeležimo taj koren sa ε. To znači sledeće:

ε 4 – 6 ε 3 + kε + m= 0. Ako je ε dvostruki koren, tada je to jednostruki koren izvodnog polinoma, koji je

dat u sledećem obliku: P '(x) = 4x3 – 18 x2 + k . Iz toga sledi: 4ε 3 – 18 ε 2 + k = 0.

Ako je koren trostruki koren datog polinoma, tada je to jednostruki koren drugog

izvoda: P''(x) = 12x2 – 36 x : 12ε 2 – 36 ε = 0.

________________________________________________________________________________________ 13


Iz ove jednačine (zbog uslova ε ≠ 0) sledi jedino moguće rešenje: ε = 3. Vratimo li

ovo rešenje u prethodne dve jednačine dobijamo: k = 54 i m= –81. Odavde lako dobijamo sledeću faktorizaciju polinoma:

P(x) = x4 – 6 x3 + 54x – 81 = (x + 3)(x – 3)3.

b) Rešiti jednačinu 36x3 – 12 x2 – 5x + 1 = 0 ako je poznato, da je zbir dva korena

jednak trećem korenu: c1 + c2 = c3.

Koristimo li Vijetove formule dobijamo: c1 + c2 + c3 = 31

3612

=−

− . Ako uvrstimo

uslov zadatka u tu formulu možemo izračunati vrednost jednog korena:

(c1 + c2)+ c3 = c3 + c3 = 2c3 =31 ⇒ c3 =

61 .

Preostala dva korena se lako određuju: c1 =21 i c2 =

31

− .

c) Proizvod korena polinoma Q(x) = 3 + 4 x + 5 x2 + 6 x3 + 8 x4 po četvrtoj Vijetovoj

formuli je: c1 c2 c3 c4 = 83 . Skup mogućih racionalnih korena je: {±1, ±3, ±

21 , ±

23 , ±

41 ,

±43 , ±

81 , ±

83 }. Istina je, da je potrebno izvršiti do 16 pokušaja sa tim brojevima dok

zaključimo: ovaj polinom nema racionalnih korena. Zadaci 1.3.: a) Pronaći racionalne korene polinoma F(x) = x4 – 2 x3 – 8x2 + 13x – 24 . b) Rastaviti na činioce nad poljem realnih brojeva polinom G(x) = x4 – x3 – 3x2 + 2x + 2. c) Ima li višestruke korene polinom H(x) = x6 – 6 x4 – 4 x3 + 9 x2 + 12x + 4. Odredimo korene polinoma i napišimo ga u obliku proizvoda. d) Za koju vrednost parametra λ ima polinom višestruke korene?

M(x) = x3 – 8x2 + (13 – λ) x – (6 + 2 λ )

e) Imaju li dati polinomi zajedničke korene? A(x) = 2 x3 – 3x2 – x + 2 és B(x) = x4 – 2x2 – 3x + 4 .

f) Za koju vrednost parametra λ imaju zajedničke korene sledeći polinomi? F(x) = x3 – λx + 2 és G(x) = x2 + λx + 2 .

________________________________________________________________________________________

14

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

1.4. Racionalne razlomljene funkcije Rastavljanje polinoma na proste činioce je veoma važan postupak u toku ispitivanja funkcija u okviru matematičke analize. Analiza naziva polinome često racionalnim celim funkcijama. Racionalne razlomljene funkcije su oblika:

F(x) = )()(

......

2210

2210

xx

xbxbxbbxaxaxaa

mm

nn

SP

=++++++++

.

Ako su brojioc i imenioc uzajamno prosti polinomi, tada se racionalna razlomljena

funkcija ne može skratiti. Racionalna razlomljena funkcija je “pravi racionalni izraz” kada je stepen imenioca viši od stepena brojioca tj dg(P(x)) < dg(S(x)), u obrnutom slučaju razlomak je “nepravi” razcionalni izraz. Svaka racionalna razlomljena funkcija se može svesti na zbir jednog polinoma i jednog pravog racionalnog izraza koji se ne može skratiti. To izriče sledeća teorema.

Teorema 1.4.1.: Svaka racionalna razlomljena funkcija se može izraziti u obliku

zbira jednog polinoma i jednog pravog racionalnog izraza koji se ne može skratiti. Dokaz: Ako je kod racionalnog razlomljenog izraza F(x) dg(P(x)) > dg(S(x))

podelimo P(x) sa S(x). P(x) = S(x) ⋅ Q(x) + R(x), ahol dg(R(x)) < dg(S(x))

Odavde sledi )()()(

)()(

xxx

xx

SRQ

SP

+= .

Definicija 1.4.1.: Pravi razlomljeni izraz )()(

xx

SP je elementari razlomljeni izraz, samo

ako je S(x) = H k(x), gde je H(x) nesvodljiv polinom i dg(P(x)) < dg(H(x)). Iz definicije proizilazi, da su elementarni racionalni izrazi sledeći razlomci:

( )kcxA−

i ( )mqpxx

CBx

++

+2

gde su A,B,C, c, p, q ∈ R , p2–4q<0, k, m ∈N.

Primeri elementarnih razlomaka: ( ) ( )32241

1,1

23,3

7,5

3

+−

+−++

+−+ xx

xxx

xxx .

Bez dokaza formulišemo jedan osnovni stav u vezi razlaganja racionalnih izraza na zbir elementarnih racionalnih izraza: ________________________________________________________________________________________

15


Teorema 1.4.2.: Svaki pravi racionalni izraz koji se ne može dalje skraćivati moguće je jednoznačno razložiti na zbir elementarnih racionalnih izraza.

Naziv postupka je “razlaganje na parcijalne razlomke”. Pretpostavimo da je polinom S(x) normalizovan i da je rastavljen na nesvodljive

činioce. Neka je broj c k-tostruki koren. To prouztokuje pojavu k sabiraka:

( )cxA−

1 , ( )22

cxA−

, ... , ( )kk

cxA−

.

Ako par konjugovano-kompleksnih korena ima višestrukost m, tada oni stvaraju

nesvodljivi činilac oblika (x2+px+q)m (naravno: p2–4q<0), a među parcijalnim razlomcima se pojavljuju sledeći sabirci:

( )qpxxCxB++

+2

11 , ( )2222

qpxx

CxB

++

+, ... , ( )m

mm

qpxx

CxB

++

+2

.

Primer 1.4.1.: Neka je dat racionalni izraz:

F(x) = 2322

53610)()(

235

2356

+−+−+++−+

=xxxx

xxxxxxx

SP

.

Nakon deobe brojioca sa imeniocem dobija se izraz:

F(x) = 2322

3471021)()()(

)()(

235

234

+−+−+++−

++=+=xxxx

xxxxxxxx

xx

SRQ

SP

.

Rastavimo li imenilac na činioce, dobijamo: S(x) = (x + 2)(x – 1)2 (x2 + 1), tojest

broj x = – 2 je jednostruki realan koren, x = 1 je dvostruki realan koren, dok treći činilac potiče od konjugovano-kompleksnih korena x = i i x = –i. Razmatramo samo razlomljeni deo racionalnog izraza F(x).

1)1(12)1()1)(2(347102

)()(

2222

234

+++

−+

−+

+=

+−++++−=

xEDx

xC

xB

xA

xxxxxxx

xx

SR .

Odavde sledi:

22

222

)1)(2)(()1)(2()1)(1)(2()1()1()(R

+++++++

++−+++−=

xxEDxxxCxxxBxxAx

.

________________________________________________________________________________________ 16

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________

Uvrstimo li u ovoj jednakosti x = 1, dobijamo 6C = 6, što znači da je C = 1. Isto

tako uvrstimo x = –2, tada dobijamo 45A=135, što znači da je A = 3. Ako stavimo da je x = 0 zatim da je x = –1 (imajući u vidu da brojevi A i C već su izračunati) dolazimo de sledeče dve jednačine: –2B +2E = –2 i –4B – 4D + 4E = –8. Odavde je D = 1. Na kraju stavljajući x = 2 dolazimo do jednačine 20B +4E = –52. Preostali brojevi su B = –2 i E = –3.

Potpuno rastavljanje izraza F(x) je sledeće:

F(x) =13

)1(1

12

231 22 +

−+

−+

−−

++

++xx

xxxx .

Zadaci 1.4.: Rastaviti na parcijalne razlomke sledeće racionalne izraze:

a) 122 2345

3

−+−+− xxxxxx

,

b) ( )( )( )3211

222

2345

+++−+−+−

xxxxxxxx

.

c) Dokazati, da je polinom deljiv polinomom )1()()( 11 −+−= −− naanxxxP nnn

(x – a)2 pri bilo kojoj vrednosti konstante a..

d) Dokazati da je polinom deljiv polinomom 2)1()1( 22222 −+−+−+= nn

n xxxxPxxxQ −= 2)( .

e) Odrediti koeficijente polinoma ( ) nxmxxxxxP +−++−= 635 2345

32 −− x

tako, da

zajednički koren polinoma i ( ) 2 23 −= xxxS ( ) 6106 234 −+−= xxxxxT 9+ bude dvostruki koren polinoma ( )xP ( ∈n,m R).

f) Neka je α dvostruki koren jednačine . Koje uslove zadovoljavaju keficijenti a i b i koren α ?

035 =++ baxx

Ispitni zadaci 1. 1. (28.09.1998.) U polinomu odrediti parametre m i n tako da

zajednička nula polinoma i

( ) nxmxxxxxP +−++−= 635 2345

( ) 322 23 −−−= xxxxS ( )xT( )xP

96106 234 +−+−= xxxx bude dvostruka nula polinoma , ( )ℜ∈nm, .

________________________________________________________________________________________ 17

DISKRETNA MATEMATIKA ___________________________________________________________________________________________________ Rešenje: Euklidovim algoritmom (traženjem najvećeg zajedničkog delioca) ili traženjem racionalnih korena ova zadnja dva polinoma može se konstatovati, da je im zajednički koren broj: x = 3. Zamenimo to u polinom P(x) zatim u polinom P' (x), pri čemu polinom koristimo izvod , tada dobijamo jednačine: 629205)(' 234 −++−= mxxxxxP 9m + n = 99, 6m – 60 = 0. Rešenja su: m=10, n=9

Drugi način izbegava korišćenje izvoda. Podelimo polinom P(x) sa binomom (x – 3) i izjednačimo ostatak sa 0 (to je prva jednačina). Podelimo sada količnik iz prethodnog koraka sa binomom (x – 3), i izjednačimo sa 0 i ovaj ostatak (druga jednačina). Ova dva načina rešavanja problema su ekvivalentna.

2. (26.01.2001.) (i) Sastaviti normalizovan polinom sa realnim koeficijentima četvrtog stepena P(x), čiji su koreni x1=2, x2 = 3, x3 = 2+3i. (Da li su ovde navedeni svi koreni tog polinoma?) (ii) Rastaviti na elementarne parcijalne razlomke racionalnu razlomljenu funkciju Q(x)/P(x), gde je Q(x) = 8x3 – 46x2 + 125x – 157. (Ispit 21.01.2001.) Rešenje:

(i) Pored datih korena mora biti i broj x4 = 2 – 3i koren tog polinoma. Polinom je P(x) = (x – 2)(x – 3)(x2 – 4x + 13) = x4 – 9x3 + 39x2 – 89x + 78. (ii)

.13432)134)(3)(2(

1571254687889399

157125468)()(

22

23

234

23

+−+

+−

+−

=+−−−

−+−=

=+−+−

−+−=

xxDCx

xB

xA

xxxxxxx

xxxxxxx

xx

PQ

Odavde sledi: A=3, B=2, C=3 i D=2. 3. (11.04.2002.)

Rastaviti na proizvod nesvodljivih činilaca na polju realnih brojeva polinom: . 65442)( 2345 +−+−−= xxxxxxP ________________________________________________________________________________________

18

POLINOMI ___________________________________________________________________________________________________ Rešenje:

Na osnovu poznavanja činjenice da racionalni koreni moraju biti činioci slobodnog člana, zato racionalne korene tračimo medju brojevima ±1, ±2, ±3, ±6. Upotrebom Hornerove šeme uočavamo da su racionalni koreni: +1, –2 i +3, pa realna faktorizacija je sledeća: P(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x2 + 1). 4. (2002.04.11.)

Dat je polinom . 2)( 2344 ++++= cxbxaxxxP

(i) Odrediti koeficijente a, b i c tako da polinom bude deljiv sa (x + 1) i sa (x – 1), dok prilikom deljenja sa (x – 2) daje ostatak 18. (ii) Rastaviti dobijeni polinom na faktore nad R. Rešenje:

Iz deljivosti sa (x + 1) sledi P4(–1) = (–1)4 + a (–1)3 + b (–1)2 + c (–1) + 2 = 0.

To daje prvu jednačinu: – a + b – c + 3 = 0.

Na isti način, iz deljivosti sa (x – 1) sledi P4(1) = 0, tojest a + b + c + 3 = 0. Treća jednačina se dobija na osnovu Bezuovog stava: P4(2) = 18, tojest 8 a + 4 b + 2 c + 18 = 18.

Rešenja ovog sistema jednačina su: a = 2, b = –3, c = –2: = 2 2232)( 234

4 +−+)( 2344 ++++= cxbxaxxxP −+= xxxxxP .

Deobom polinoma sa (x + 1), zatim sa (x – 1) imamo: )22)(1)(1()( 2

4 −++−= xxxxxP .

Preostala dva korena tog polinoma su 312

1224

3 ±−=±−

=x .

Potpuna faktorizacija polinoma je: )31)(31)(1)(1()(4 ++−++−= xxxxxP . 5. (11.04.2002.) Racionalnu razlomljenu funkciju razložiti na parcijalne sabirke:

12

)( 24 +−=

xxxxf

________________________________________________________________________________________ 19


________________________________________________________________________________________ 20

Rešenje: Pošto je x4 – 2x + 1 = (x2 – 1)2 = (x – 1)2 (x + 1)2, sledi razlaganje:

2224 )1(1)1(112 ++

++

−+

−=

+− xD

xC

xB

xA

xxx .

Nakon množenja sa zajedničkim imeniocem x4 – 2x + 1 imamo:

x = A (x – 1) (x + 1)2 + B (x + 1)2 + C (x – 1)2 (x + 1) + D (x – 1)2.

Nije teško uočiti, da za x = 1 dobijamo 41

=B , dok za x = –1 dobijamo 41

=D .

Zamenom još bilo koje dve vrednosti za x (naprimer za x = 0 i x = 2) dobijamo dve

jednačine sa nepoznatima A i C: .125,

121

613,

21

−==⇒−=+=− CACACA

Konačno razlaganje je:

+

++

−−

+−

=+− 2224 )1(

31

5)1(

31

1121

12 xxxxxxx .

1 Polinomi

Documents

Transcript of 1 Polinomi