1

NB

•Le note che seguono sono per uso strettamente didattico. Si prega quindi di non far circolare il materiale che segue e di non usarlo per citazioni.

•Aggiornate al 11/04/23

Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte I)

Mauro Dorato, Dipartimento di Filosofia,

Università di Roma3

2

Parte IIntroduzione “matematica” alla MQ• Queste note sono state elaborate a partire dai seguenti testi: • R.I.G. Hughes, The Structure and Interpretation of QM Harvard

University Press, 1989, • R. Shankar, Principles of QM, Plenum Press, 1988, • C. Isham, Lectures on QM, Imperial Press, 1997, • Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, • T. Apostol, Calcolo, vol. 2 Geometria, Boringhieri, • G.C Ghirardi, I fondamenti concettuali e le implicazioni epistemologiche

della meccanica quantistica, in G. Boniolo, Filosofia della Fisica, Bruno Mondadori, 1997

• F.Byron, R. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics, Dover, 1992

• Allori e Zanghì, Un viaggio nel mondo quantistico, in Allori, Dorato, Laudisa, Zanghì, La natura delle cose, Carocci, Roma, 2005

3

Indice Prima Parte

• 1) Vettori e spazi vettoriali• 2) Operatori lineari • 3) Autovalori e autovettori• 4) Numeri complessi• 5) Indipendenza lineare e

dimensionalità• 6) Prodotti scalari e vettori

normalizzati; vettori ortonormali

• 7) La notazione di P.A.Dirac• 8) Operatori aggiunti,

hermitiani e unitari

• Seconda parte

• 9) Generalizzazione a infinite dimensioni

• 10) Gli operatori coniugati X e K

• 10) Spazi di Hilbert

• 11) I postulati della MQ

4

1.Vettori e spazi vettoriali

Operazioni con vettori in R2

Addizione tra vettori

Moltiplicazioni con scalari

5

Nel piano R2 ogni vettore (punto) corrisponde a una coppia ordinata di numeri reali e viceversa

0 x

y

vy

vx

y

xvv

v

v=

000;

6

u

v

w = u + v

Addizione di due vettori (vista geometricamente, è la regola del parallelogramma)

7

v=

y

xvv

y

xuu

u=

Addizione (vista analiticamente)

yy

xxuvuv

uv

8

wvu

4

33112

1

2u

31v

u

v

3

4 w

Ovvamente i due punti di vista convergono!

9

• Moltiplicazione di un vettore con uno scalare a (è come un “cambiamento di scala”, dilatazione o contrazione, indotte dal numero reale a)

w = 2 v

y

xavav

av

0

v

a = 2

a = -1.5 wx = 2 vx

u= -1.5v

10

y

xavav

av a = -1

y

x

y

x

vv

vv

vv )1(

0

00

yy

xxvvvv

Sommando un vettore e il suo inverso…

11

Lo stesso vettore (in nero) può avere differenti rappresentazioni o scomposizioni, in funzione di “basi” diverse, qui rappresentate dai due sistemi di coordinate rosse e blu, uno ruotato rispetto all’altro

1 base

2 base

12

Spazio vettoriale lineare V •Sia dato un campo F, ovvero (in modo informale), un insieme di scalari reali o complessi (immaginari) con due operazioni binarie + e .Uno spazio vettoriale su F è una strutturaV = <V, +, ., 0> chiusa rispetto a + e alla moltiplicazione . di un vettore con uno scalare e tale che, per ogni vettore u, v e w in V e per ogni a e b in F, valgono i seguenti assiomi: 1 (u + v) + w = u + (v + w) associatività +2 u + v = v + u commutatività +3 v + 0 = v esistenza el. neutro +4 v + (- v ) = 0 esistenza inverso +5 (a + b) . v = a . v + b . v distribut. + per scalari 6 a . ( v + w) = a . v + a . w distrib . per vettori7 a .(b v) = (ab) . v associatività .8 1 . u = u esistenza el. neutro .

13

• In breve, uno spazio vettoriale lineare V è uno spazio di elementi qualsiasi (numeri, funzioni, serie, vettori etc.) che si possono sommare tra loro e moltiplicare per scalari obbedendo alle regole appena viste

• Dal punto di vista assiomatico, un spazio vettoriale è una qualunque entità che soddisfi le leggi viste sopra.

** Per la MQ, il concetto di vettore in un particolare spazio vettoriale, detto di Hilbert, si rileverà fondamentale, perché, come vedremo, corrisponderà allo stato di un sistema quantistico. **

14

Esercizi (a , b , c) + (d , e , f) = (a + d, b + e, c + f)

• (a , b , c )= (a , b , c)• Mostrare che entità di questo tipo (triple di reali) formano

uno spazio vettoriale con queste due operazioni• Scrivere il vettore nullo e l’inverso di (a , b , c)• Abbiamo uno spazio vettoriale se richiediamo che a , b , c

siano reali positivi?• Mostrare che vettori del tipo (a , b , 1) non formano uno

spazio vettoriale• Dimostrare che:• 0v = 0 (aggiungi 0v a v); 0 = 0 (aggiungi 0 a v)

(-1) v = (-v) (aggiungi v a (-1) v)

15

2. Indipendenza lineare

• Serve tra l’altro a generalizzare il nostro spazio di partenza R2 allo spazio Rn. Consideriamo una n-pla di vettori

• Definiamo la somma di n vettori per n scalari così

• Def 0) Un insieme di vettori è detto linearmente indipendente (LI) se e solo se l’unico modo affinché la somma sopra data dia il vettore nullo è che siano nulli tutti i coefficienti per tutti gli i. In simboli, se accade

nn vvvv ,,...., 121

n

iiin aaaaa

1332211 ... vvvvv n

0)(1

i

n

iii aia 0v allora i vettori sono LI

16

Infatti, se uno dei coefficienti non fosse nullo, per esempio a3

Def 1. Uno spazio vettoriale Vn è n-dimensionale se ammette al massimo n vettori linearmente indipendenti

Teor 1. Dato un insieme di n vettori linearmente indipendenti, ogni altro vettore v in Vn può essere scritto come una combinazione lineare di questi. In questo caso gli n vettori che ricoprono lo spazio Vn formano una base e le componenti dell’espansione di v si chiamano coefficienti

3

'a

aa i

i nn v

a

av

a

av

a

av

32

3

21

3

13 ...

1

13

3

'n

iii

i

vav

ponendo

Si ottieneCioè il vettore v3 si scrive

come combinazione lineare degli altri

17

Dimostrazione del teorema precedente

•Dati n+1 scalari ai e n+1 vettori vi , per definizione di indip. lineare di n vettori, deve valere la seguente relazione

con qualche a diverso da 0: altrimenti, se tutti gli n+1 scalari fossero nulli, avremmo n+1 vettori LI in uno spazio n-dimensionale, il che è impossibile per la def. 1. In più a è non nullo, perché altrimenti, causa la definizione di ind.lineare di n vettori, (def 0), ci sarebbe qualche scalare nella sommatoria diverso da 0, ciò che contrasta con l’ipotesi che n vettori siano LI (def.. Ne segue che, ponendo

0

n

iiiaa

1

' vv

n

iiia

1

vva

ia

ai

' si ha

18

• Teor. I coefficienti dell’espansione di v, dati n vettori fissati della base, sono unici.

Siano

per assurdo due diverse espansioni di v. Sottraendo, si ha

n

iiia

1

vv

n

iiib

1

vv

n

iiii ba

1

)( vv-v0

Se non si avesse ai = bi per tutti gli i, gli n vettori vi non sarebbero LI, contro l’ipotesi del teorema; in tal caso esisterebbe infatti uno scalare diverso da 0 tra gli n scalari ai - bi. Si noti che questo risultato di unicità vale rispetto a una base fissata, e non contraddice quindi la esprimibilità multipla di uno stesso vettore in basi diverse vista sopra

19

• Il prossimo concetto, quello di operatore lineare, ci servirà a specificare la nozione di osservabile di un sistema quantistico

20

3. Operatori lineari su spazi vettoriali

• Un operatore A che agisce su un insieme di vettori ha un vettore come input e un vettore come output: Av = v’

A: V V

• Un operatore A è lineare se soddisfa i due assiomi seguenti:

1 A (v + w) = Av + Aw

2 A (av) = a(Av)

21

Esempi di operatori lineari in R2

• Operatore di proiezione '0PP vxyxv xx

x

v

Px v

w

Px w

Px proietta sull’asse x, azzerando la coordinata y di

qualunque vettore

22

Il cateto rosso di un triang. rett. è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (quello blu è uguale

all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente)

r = 1 1.sen

1.cos

23

Le matrici

• Una matrice è una generalizzazione di un vettore, che è a sua volta la generalizzazione di numero

• In generale, una matrice a n righe e n colonne è fatta da n2 elementi (qui n =4). Il prodotto tra due matrici A e B si effettua righe per colonne

nbcs

greg

jyte

tvfa

dhcfdgcebhafbgae

hgfe

dcba AB;B;A

24

Un operatore di rotazione Rmuta l’orientamento di un vettore v di un angolo ma lascia inalterata la sua

lunghezza. Non confondere Rcon una proiezione

v’=Rv

v

v’x= v’cos(v(coscossinsincosvx – sinvy

v’y = v’sin(v(sincoscossinsinvx + cos vy

v’y

y

x

yx

yx

v

v

cossin

sin– cos

vcosvsin

vsin– vcos

'

''R

defv

vvv

y

x

matricematrice

v’x

25

Ne segue che l’operatore di rotazione R in R2 corrisponde biunivocamente alla seguente matrice quadrata 2 x 2

cossin

sin– cos

R

La corrispondenza in questione è generale: ogni operatore lineare di R2 è esprimibile tramite una matrice 2x2 di numeri reali e, viceversa, una matrice soddisfa le due condizioni di un operatore lineare

26

x

v’= Sx v

v

'vvv

vv

dcbavS

y

x

y

xx

Operatore di riflessione attorno all’asse x

Esercizio: Trovare la matrice (operatore) corrispondente a Sx

yyx

xyx

vdvcvvbvav

a =1; b = 0

c =0; d = -1

1001

xS

27

• Esercizi: trovare le matrici corrispondenti all’operatore di identità I, a Sy , a Py e a Px

00 e 1

0 0' allora ha Si

0P che Imponiamo x

dcba

dycxxbyaxx

dycxbyaxv

xyx

dcbav

00

01Px

28

Prodotto tra 2 operatori (matrici): scopriamo la non-commutatività

dhcfdgcebhafbgae

hgfe

dcba AB;B;A

Non sempre il prodotto tra due operatori è commutativo: il commutatore [A, B] =def AB - BA può essere diverso da zero. Per esempio, se

cossin

sin-cos0001RP 00

01cossinsin-cos PR xx

e 0

Il prodotto a destra proietta sull’asse x, mentre se non è 0 o , per quello a sinistra questo non è vero

29

Operatore di proiezione Psu una generica linea L che passa per l’origine ma diversa da x e y

P =

2

2

sinsincossincoscos

Perché vale l’espressione di cui sopra? (suggerimento:

P = R Px RL

v

vL

vL

NB. La direzione antioraria di rotazione ha per convenzione il segno + e gli operatori si applicano dal più esterno al più interno

Pv = vL

30

Svolgimento dell’esercizio precedente

2

2

sincossin

sincoscos

00

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

00

sincos

cossin

sincos

00

01

00

01

cossin

sincos

RPRP

R

RP

P

R

x

x

x

31

Lo spazio delle matrici è uno spazio vettoriale!

• Poiché l’addizione tra due matrici (ovvero, due operatori lineari A e B) è facilmente definibile (il primo elemento in alto a sinistra della matrice somma C è la somma dei due elementi corrispondenti delle matrici addende A e B), e il prodotto di una matrice per uno scalare obbedisce alle leggi lineari viste per la struttura di uno spazio vettoriale, anche lo spazio delle matrici 2x2 è uno spazio vettoriale lineare

(aA)v = a (Av)

hdgcfbea

hgfe

dcba CBA

vavat

asarv

vt

sra

32

4. Autovalori e autovettori

• Un vettore non nullo v è un autovettore di un operatore A con autovalore a se e solo se

Av = av

• In questo caso, l’azione dell’operatore A sul suo autovettore v produce un multiplo di v (av), dato dalla moltiplicazione di v per l’autovalore scalare a.

33

I è l’operatore identità, con autovalore 1. Nel secondo esempio, v è un autovettore dell’operatore rappresentato da A, con autovalore 3. I e A sono matrici simmetriche (ovvero gli elementi fuori diagonale sono uguali). Non tutti gli operatori hanno autovettori. Studiare gli autovettori di questo operatore A :

v333003

y

xyxyxAv

y

xv;0330A

y

xv;3003A

(l’effetto di A è prima di triplicare, poi di ruotare di 90 in senso antiorario e poi riflettere v attorno all’asse y)

10

01I

34

y

xv;0330A

x

y

yx

yxAv 3

03

30

A ha autovettori v solo se v è tale che x = y (e l’autovalore = 3) e v giace lungo la bisettrice del primo quadrante, oppure se v giace lungo quella del secondo quadrante (l’autovalore è -3). In generale, per matrici simmetriche cosiffatte si ha:

x

xv

x

xv

y

xa

y

xA

x

ya

y

xAAv

a

aA

0

0

L’autovalore in questo caso è +a

L’autovalore in questo caso è - a

v forma un angolo di 45

v forma un angolo

di 45+90=135

35

10

01yS

y

xv

y

xyx

yx10

01y v' vS

v

x

y

-x

SyvQuali sono gli autovettori e gli autovalori di Sy ? Autovalore: 1 (per x = 0) e -1 (per y = 0). Quali quelli di R ? Risp: 1 per per

L

L

PvL = 1vL = vL

PvLvL

vL

P(che proietta lungo L ha solo due autovalori: 1 e 0 (che è ammissibile) e i suoi autovettori sono tutti lungo vL e vL+90

v non è autovettore di P

v

36

Riassumendo, abbiamo tre tipi di operatori (Hughes p.24)1 Alcuni, come R (se si eccettua R e R in genere non

hanno alcun autovettore (per Re l’autovalore è +1 mentre per l’ autovalore è –

2 In altri casi, come per Sy, Pe

gli autovettori sono su due linee distinte e tra loro ortogonali (per le matrici simmetriche) e abbiamo due autovalori distinti

3 Per l’operatore identità I e per Rtutti i vettori dello spazio sono autovettori aventi il medesimo autovalore (rispettivamente 1 e -1)

0

0a

aA

37

Esprimiamo ora questo operatore, che come abbiamo visto ha autovettori lungo 45 e 135, come somma di altri due operatori di proiezione, moltiplicati per i relativi autovalori

03

30A

P

1/22/1

2/11/245P

2

2

sinsincossincoscos

1/22/12/11/2

135P

135452211 P)3(P3PP aa

A0330

2/32/32/32/32/32/32/32/3

2/32/32/32/3

2/32/32/32/3

NB Questo tipo di decomposizione A= a1 P1 +a2 P2 vale se e solo se A è simmetrico, cioè se a12 = a21

Studiamo l’operatore

cos45=sin45=

sin135= -cos135=

38

Teorema di decomposizione spettrale in R2

• Se A è un operatore simmetrico su R2, esistono due operatori di proiezione P1 e P2 che proiettano su due direzioni mutuamente ortogonali, e tali che A= a1 P1 +a2 P2

Se i due autovalori sono distinti la decomposizione di A è unica e tutti gli autovettori stanno o sulla linea su cui proietta P1 o su quella su cui proietta P2 con i rispettivi autovalori. Se i due autovalori sono uguali, la decomposizione non è unica, e tutti i vettori del piano sono autovettori di A

39

5. Cenni sui numeri complessi• Importanza di estrarre radici di numeri negativi: x2 +1=0 non

ha soluzioni reali: il sistema dei reali non è chiuso rispetto a

• I numeri complessi possono essere definiti a partire da coppie ordinate di numeri reali (a,b). Si chiama numero complesso una coppia di numeri reali che soddisfi a queste condizioni

• Uguaglianza (a, b) = (c, d) sse a = c e b = d• Addizione (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)• Moltiplicazione (a, b)(c, d) = (ac-bd, ad+bc)• In (a, b), la prima componente a è la parte reale del numero,

b è la parte immaginaria• Le due operazioni viste sono commutative, associative e

distributive

40

• Il numero (0,0) è l’elemento neutro per l’addizione, così come (1,0) è l’elemento neutro per la moltiplicazione.

• I numeri complessi sono un’estensione di quelli reali, che sono tutte e sole le coppie della forma (a, 0), con a numero reale qualsiasi, ovvero le coppie con parte immaginaria nulla. L’insieme dei reali C0 è un sottoinsieme di C

• Il numero (0,1) è indicato con i

i = (0,1)2 = (0,1)(0,1) = (0.0-1.1,0.1+1.0) = (-1,0)

i636136 Per esempio:

41

• Si noti che ib = bi = (b,0)(0,1) = (0, b)• Quindi (a, b) = (a, 0)+(0, b)= (a, 0)+[(b,0)(0,1)] = a+ib

• Ogni numero complesso (a, b) è esprimibile nella forma a+ib

x + iy= z=(r cosir sin

iy= irsin

x

y

r

r=x+iy= modulo del numero z z = (x2 + y2)1/2

Se r=1, z = cos isin= ei(vedi pagina successiva)

x = rcos

Piano complesso

42

• Se z = x+iy, z* = x – iy è detto complesso coniugato di z• zz* = (x+iy)(x – iy) = x2 + y2 = z2 = modulo quadro di z

• (z1+z2)* = z1

* +z2

*

• Notiamo che sinx = x - x3/3! + x5/5! -….(sviluppo in serie di McLaurin)

che cosx = 1 – x2/2! + x4/4! -….

e che ex = 1+ x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +….

Sostituendo ia x nell’ultimo sviluppo, per “vettori” complessi unitari (r =1) otteniamo la seguente, notevole relazione di Eulero:

ei=cos isin

che Feynman definisce come “la formula più notevole della matematica” (Feynman Lectures on Physics, vol. 1, cap. 22)

Per numeri complessi qualsiasi si ha

z = r ei

43

Esercizi

• Mettere (1+i)2 1/i e 1/1+i nella forma a +ib

• Calcolare il modulo dei seguenti numeri 1+i 3+4i 1+i/1-i

• Determinare i numeri reali che soddisfano x+iy = x-iy

La prossima nozione, quella di “prodotto scalare”, servirà a definire la nozione di probabilità

44

6. Prodotto scalare definito in V sopra un campo (corpo) complesso F

• Un prodotto scalare, indicato con < uv> in base alla notazione di P. Dirac, è una funzione che associa a coppie di vettori u, v uno scalare e che soddisfa i seguenti tre assiomi:

(i)

(ii)

(iii)

(= 0 solo se v =0)

wuvuwvu

uvvu

vv

baba

*

0

Il prodotto è lineare nel secondo vettore

45

• Utilizziamo (ii) e (iii) per mostrare che il prodotto scalare è antilineare nel primo vettore

)(

*

iii(ii) baba vuwwvu

wvwu

vwuwvwuw

**

)(

**

***)((

ba

baba ii

2. Per definizione, è la norma di u

3. Se

1. Se 0uv allora allora vv è è ortogonaleortogonale a a uu

1v il vettore è normalizzato

uuu

3 nozioni da

ricordare (vedi p.46)

46

In R2, per due vettori u e v si ha

22112

1

2

1 ; vuvuvuv

vv

u

uu

222

212211 uuuuuuuuu

Ponendo u = v spieghiamo la 2 della

pagina precedente

u

cvv

u-cvDeterminiamo un numero c tale che < u-cv|v> = 0

0 = <u|v> - c <v|v> => c = <u|v>/ <v|v> Poiché

c|v| = |u| cos=> c = cos|u||v|

Uguagliando i due valori di c si ha

cos|u|/|v = <u|v>/|v|2, ovvero <u|v> = |u||v|cos

se <u|v>=0 perché cos(/2)=0 (vedi la 1 della pagina precedente: i due vettori u e v sono ortogonali)

teorema di Pitagora

47

Un insieme di vettori e1, e2, … en è detto ortonormale sse

<u, v>= , dove è l’angolo compreso tra i due vettori. Se |v|=1, Pv=cos

Pv

cosvu

|v| =1

2))(cos1(cos vvPvv P

ijji ee 01

ijse i = j

altrimenti

Esercizio: Tenendo presenti gli assiomi, verificare che

22112211 '' vvvvvv aaaa' jij

jii

vvaa

2

1

'*2

1

cos è una probabilità!

48

• Se al posto di due qualsiasi v1 , v2 non complanari, utilizziamo i due vettori ortonormali e1 , e2 i vettori v , v’ si scrivono

• v = v1 e1 + v2 e2 v’ = v’1 e1 + v’2 e2 e

• Il senso del secondo assioma <u/v)=<v/u)*, che implica l’antilinearità, è dato dall’esigenza di avere, anche in Vn (C), una norma positiva: ogni vettore v in R2 (C ) è esprim. come v = v1 e1 + v2 e2 con vi complesso. Se v=v’, i termini

sono reali, come dev’essere per delle norme, mentre vi2 non sono

necessariamente positivi per vi complesso:

'vv

n

ii

iii vvv

1

22

1

*vv

2iv

2

1

'*2

1

'*2

1

eei

iijij

jii

vvvv

49

Due teoremi solo “enunciati”…

1) La disuguaglianza di Schwarz

222vuvu

2) La disuguaglianza triangolare

vuuv

In R3 ha un’interpretazione ovvia, se si tolgono i quadrati e si considera che vuvuvu cos

In R2 ha un’interpretazione ovvia: la lunghezza di una somma di vettori (di un lato di un triangolo) è inferiore alla somma degli altri due lati

50

7. La notazione di

Data una base, un vettore v in Vn è in corrispondenza biunivoca con una n-pla di coefficienti complessi

acDir

v

nv

vv

..

..

..2

1 trasponendo

e passando al “coniugato complesso

data una base data una base

vvvv n *,*,..,..,..*, 21

n

iii vv

1

* 'v'v *,*,..,..,..*, 21 nvvv

'......

''

2

1

nv

vv

51

Lo spazio dei bra è detto duale di quello dei ket e c’è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi corrispondenti

*,*,..,..,..*, 21 nvvvv

nv

vv

..

..

..2

1

v è definito come “ket”

è definito come “bra”v

v

ketbra

52

0....1..00

iie 0,0,..,..,1,..,0,0 iie

Per una base ortonormale, si ha

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

vv

ivv

11

11

i*e*v

ev

i

iket

bra

Bra e ket si corrispondono come un numero e il suo complesso coniugato, e, come sappiamo, <v’|v> è il complesso coniugato di <v|v’>, ovvero <v’|v>= <v|v’>*

Invertendo l’ordine del prodotto scalare e dei fattori, “coniugando” i coefficienti complessi otteniamo l’equazione aggiunta alla prima..***

...

cba

cba

''v'v''v'''v'v

'''v'''v''v'v'v

Vettore riga

Vettore colonna

53

Moltiplicando “scalarmente” entrambi i lati per il bra si haj

n

ijiji

n

ii

n

ii vvviv

111

ijjvj

Infatti l’ultima sommatoria è diversa da 0 solo per un valore di i, quello uguale a j. Poiché la i-esima componente del vettore v è data da riscriviamo la prima formula in alto a sinistra sostituendo al posto della i-esima componente di v il suo valore espresso come prodotto scalare

ivvi

viiiviv

n

i

n

i 11

L’ultima uguaglianza dell’equazione qui sopra si giustifica con il fatto che la moltiplicazione tra il coefficiente complesso vi = <i| v e la sua base i è commutativa e si può quindi invertire l’ordine

n

ii

n

ii ivv

11ie|v

54

*11

j

n

ii

n

ii vvv

ji*jvi*v

iivv

n

i 1

iivv

n

i 1viiv

n

i 1

aggiunta

Come si vede, la regola è la seguente: si trasforma un ket in un bra e viceversa, si inverte l’ordine dei fattori (ovvero si passa al complesso coniugato del prodotto scalare), e si “coniugano” gli eventuali coefficienti complessi, qui assenti

Provare a trovare l’aggiunta della seguente equazione

55

Teorema di Gram-Schmidt:

Data una qualunque n-pla di vettori LI

possiamo sempre trovare n vettori ortonormali

costruendo opportune combinazioni lineari

nvvv ,....,, 21

n,....,3,2,1

Idea della dimostrazione: prima si costruiscono n vettori mutuamente ortogonali e poi si normalizzano,ottenendo |1>, |2>, |3>….

520

;210

;003

321 vvv

',...,'2,'1 n

Tre vettori LI

'2'2

'2'2

'1'1

'1'1'3

'1'1

'1'1'2;

003

'1

333

221

vvv

vvv

esempio con n=3

ESERCIZIO

56

|v2>

|1’>

In R2 la proiezione del vettore |v2> su |1’> = | t 1’ >, è un multiplo di |1’ >, ed è uguale al prodotto scalare tra i due vettori <1’|v2> diviso il modulo di | 1’ >

|2’>

|t1’>

| t1’> + | 2’ > = |v2>

Moltiplicando per <1’|

t<1’|1’>+ <1’| 2’>= <1’|v2>

Si noti che | 2’ >= |v2> - t |1’> è ortogonale a |1’>

quindi t = <1’|v2>/<1’|1’>, perché <1’|2’>= 0

La proiezione di v2 su 1’, t|1’> = (|1’> <1’|v2>)/ <1’|1’>

57

520

;210

;003

321 vvv

'2'2

'2'2

'1'1

'1'1'3

'1'1

'1'1'2;

003

'1

333

221

vvv

vvv

0'1'1

'1'1'1'1'2'1 2

2 v

v Come si vede, |1’> e |2> sono ortogonali

2

1

0

9

0

0

3

0

2

1

0

'1'1

)2.01.00.3(

0

0

3

2

1

0

'2

58

5/15/2

0

5/245/12

0

520

410

52210.0210

0520

'3

xx

Normalizzazione (|1> è unitario)

e |1’|=(<1’ | 1’>)1/2

00

1

001

9

003

'1'1

'11 2/1

5/25/1

0

2211

210

'2

'22

xx

5/1

5/20

25/125/4

5/15/2

0

'3

'33

Verificare che i tre vettori

|1>, |2> e |3> sono a due a due ortogonali e che hanno norma unitaria

59

• Da questa procedura costruttiva segue che il massimo numero di vettori a due a due ortogonali eguaglia il numero massimo di vettori LI (provare l’asserto verificando anzitutto che un insieme di vettori a due a due ortogonali è LI)

• Dato uno spazio vettoriale V, un sottoinsieme di suoi elementi che formino essi stessi uno spazio vettoriale si chiama sottospazio.

• Denotiamo il sottospazio i-esimo di dimensione ni con

• Dati due sottospazi e la loro somma si definisce

• e contiene tutti gli elementi dei due sottospazi e delle loro combinazioni lineari. In V3, il sottospazio costituito dal piano xy per esempio è dato da Vxy

2

iniV

iniV

kji mk

mj

ni VVV

jmjV

Alcune osservazioni

60

Prima di arrivare alla nozione di aggiunto di un operatore lineare, riscriviamo alcuni operatori noti nel linguaggio di Dirac in uno spazio a n dimensioni.

Intanto, operatori lineari possono agire su kets A|v> = |v’ > o su “bras” <v|A=<v’ |

l’azione di un operatore lineare A è completamente determinata dalla sua azione sui vettori di base

Supponiamo che l’azione di A su |>i sia |i’> A|i> = |i’>

'111

ivivivvn

ii

n

ii

n

ii

AAA

Scriviamo le componenti della nuova base i’ in funzione di quella originale j, ovvero le proiezioni dei vari |i’ > su j

jiijij AA '

61

Le componenti del ket trasformato da A sono esprimibili in termini di una matrice n x n . Poniamo che sia A|v> = |v’>

jiA

n

jjij

n

jj

n

jj

n

jji

viv

jvijviiv'iv

11

11

'

AjA

AAvA

Le componenti della prima colonna della matrice sono le proiezioni del primo vettore della base di v’ sulla base di v, ovvero le componenti del primo vettore |1’>

della base di v’ rispetto alla base originaria| i > di v; tali componenti (proiezioni) risultano dall’azione dell’operatore sul primo vettore della base, <1|A|1> = <1|1’>, <2|A|1>= <2|1’>, etc.

nn v

vv

nnnn

n

v

vv

..21

...

..121.2111

'.''

2

1

2

1

AAA..A

AAA

62

Esempio: sia A l’operatore di rotazione di 90 gradi attorno all’asse z = R(z )

R(z ) |1>= |1’> =|2> è la prima colonna di R

R(z ) |2>= =|2’>= -|1> è la seconda colonna di R

R(z ) |3>= |3> è la terza colonna di R

xy

z

x

100001010

331323321222311121

332313322212312111

RRRRRRRRR

/2) R(z

Quest’ultima matrice esprime quanto detto sopra

100

3;010

2;001

11>

3>

2>

63

Ripetiamo la p. 53)

ViiiViivV

vvv

vijivjVjivV

n

i

n

i

n

ii

ji

n

iiji

n

iji

i

n

i

n

ii

n

ii

111

11

111

Poichè <i |V>= vi sostituiamo questo valore nella seconda espressione in alto a sinistra

L’ultima uguaglianza si spiega perché il prodotto tra lo scalare vi e la base è commutativo

64

L’operatore di identità in forma matriciale è

• L’operatore di proiezione: poiché la prima uguaglianza qui sotto vale per ogni v, l’oggetto tra parentesi è il proiettore identità

ijij jijIiI

Pi è il proiettore per il ket | i>

n

i

n

i

n

i

Iv111

iPiivii

Equazione di completezza

i

n

ii

n

i

iiiiI PP 11

n

ii

n

i

PiiI11

65

vi è la componente di v lungo i, ovvero la sua proiezione lungo i. Un vettore v è quindi la somma delle sue proiezioni lungo n direzioni. Gli operatori P agiscono anche su “bras”

i*viivv

v

i

i

ii

P

iv *

jijjiijji PjijjiiPP

L’operatore di proiezione è idempotente (PP=P), come due filtri polarizzatori con uguale direzione nello spazio.

Per il secondo proiettore da lo scalare 0, come due filtri polarizzatori ortogonali l’uno rispetto all’altro

ji

ii vviivP

66

Scriviamo Pi = i><i in forma matriciale

0.1

00

i 0.1.00i

Mentre <v v’> è uno scalare, è un operatore. L’operatore di proiezione Pi ha solo un elemento diverso da 0, un 1 sull’i-esimo elemento della diagonale. Sommando gli altri proiettori, sappiamo che si deve ottenere l’identità e infatti la diagonale della matrice somma sarà costituita da tutti 1

0...00........1.........0...000...00

iP

i

iP vv

vv

i

iPI

67

8. L’aggiunto di un operatore

†

**

AvAAvvA

vvvv

v

aaavaa

Così come un ket (vettore colonna) si trasforma nel bra che gli corrisponde (vettore riga) con una trasposizione e coniugazione complessa dei suoi coefficienti, anche un operatore A è legato in modo

analogo al suo aggiunto †A

jiij

jiij

AA

AAAijAiAA

*

***

†

††

ijjji

Mostriamo ora che la matrice corrispondente all’aggiunto di un operatore A, ovvero è la matrice trasposta (scambio righe con colonne) e complessa coniugata di A

Questa eguaglianza vale per

definizione

†A

68

ii

iiA

coniugando

iiiiA

otrasponend

iiiiA

t

4831

4831

8341

†

esempio †††ABAB

†††

†

ABCABCA(BC)ABC

(AB)C(AB)CABC

Dim.

Dalla 2 e 3 espressione segue la 1

Trovare l’aggiunta di

*AB***

AB

4††

633452211

6454332211

avavvvavav

vavvvavava

Risposta

69

Operatori hermitiani, anti-hermitiani e unitari (In MQ i primi rappresentano le osservabili)

Un operatore A è hermitiano se

AA† Un operatore A è anti-hermitiano se

AA†

Come un numero complesso, un operatore hermitiano si può scrivere come una somma di una parte puramente reale e di una puramente immaginaria

22

†† AAAAA

70

3112

iiA

Esempio: sia A un operatore sui complessi C2 e v un ket

iv 11

viiiii

v 4)1(44

)1)(3()1)(1()1)(1()1)(2(

A

Notiamo che v è un autovettore di A con autovalore 4, che è un numero reale

Poiché A è uguale al suo aggiunto A, allora è un operatore hermitiano, e “corrisponde” nei complessi a una matrice simmetrica in R2: i suoi elementi fuori-diagonale sono l’uno il complesso coniugato dell’altro, mentre gli elementi sulla diagonale sono reali e, come vedremo, hanno una somma, che si chiama traccia, che è uguale alla somma degli autovalori associati ad A

AAA T†

3112

3112*

*

ii

ii

71

Vediamo ora perché

Gli autovalori di un operatore hermitiano sono numeri reali2

vavvavvavvav

membri i entrambi v per

scal.ndomoltiplica AA

Passiamo ora all’equazione aggiunta, si ottiene

2** vavvavv †A

PER DEFINIZIONE DI OPERATORE HERMITIANO, A=A† e

quindi vale anche ;

sottraendo le due equazioni membro a membro si ha

vvvv †AA

**)(0 02aavaa v a è reale perché

uguale al suo a*.

72

Riassumendo, un operatore lineare A su V si dice hermitiano se per ogni v e u, si ha

vuvu AA Un operatore lineare A su V si dice di proiezione se è (i) hermitiano e (ii) idempotente, ovvero AA=A. L’insieme di proiettori P è in corrispondenza biunivoca con l’insieme di sottospazi di V su cui i vari P proiettano

Dimostriamo ora una relazione estremamente importante che incontreremo dopo. Sia P un operatore di proiezione; allora vale la seguente:

2vvv PP

2. vvvvvvv àhermiticitidemp PPPPP 2

73

Esercizi:

Se A e B sono hermitiani, che cosa si può dire di

(i) AB; (ii)AB+BA;(iii)[A, B] ; i[A, B] ?

(i) R. sì solo se [AB]=0 (NB: agg.(A) = aggiunto di A)

agg(AB) = agg(B)agg.(A)=(per hermiticità) BA in generale diverso da AB

R. (ii) sì

agg(AB+BA)=agg(AB)+agg(BA)=agg(B)agg(A)+agg(A)agg(B)=BA+AB=AB+BA

(iii) agg(AB-BA)=agg(B)agg(A)- agg(A)agg(B)=BA-AB= -(AB-BA) anti-hermitiano

(iv)agg(i[A, B])= -i(agg(AB)-agg(BA))=-i (agg(B)agg(A)- agg(A)agg(B))=

-i(BA-AB)= - iBA + iAB= i(AB-BA)= i[A, B] ovvero i[A,B] è uguale al suo aggiunto

e quindi è hermitiano

La regola per passare agli aggiunti è (oltre a invertire l’ordine dei fattori) sostituire:

†AA *aa

74

Operatori unitari

IUU †

Un operatore U è unitario se

Quest’equazione ci dice che U e U† sono l’uno l’inverso dell’altro. Poiché si

dimostra che quando un operatore A ha un inverso vale

AA-1 =A-1A= I

Anche per U si ha U†U= I

in analogia ai numeri complessi unitari, u = ei per i quali vale

uu* = eie-i = e0 =1

Esercizio: Mostrare che il prodotto di operatori unitari è unitario

75

Siano U e U1 i due operatori unitari. Allora

UU† = I = U†U e U1 U1† = I = U1

† U1

Dobbiamo dimostrare che UU1 (UU1)† = I

Poiché si ha (UU1)† = U1†U† (p.68), UU1 (UU1)† = U U1 U1

† U†

Ma dato che U1 è unitario, possiamo scrivere U1 U1† =I e si ha

UU1 (UU1)† =U I U† = U U† = I, dove la penultima uguaglianza vale perché I U† = U† (I è l’operatore identità)

Gli operatori unitari preservano il prodotto scalare tra i vettori sui quali agiscono

22

11

'

'

vUv

vUv

21212121 '' vvvUUvUvUvvv †

76

Gli operatori unitari sono quindi una generalizzazione in Vn(C) degli operatori di rotazione in R2, i quali ultimi preservano la lunghezza dei vettori e il prodotto scalare. Poiché la matrice che esprime l’aggiunto di un operatore è la coniugata della matrice trasposta, nel caso di un campo reale come R2 la parte immaginaria di ogni numero è nulla e l’inversa di U, che è U† è semplicemente la sua trasposta: U†=UT (ricordiamo che

quando in spazi reali Rn AAT = I, A si dice matrice ortogonale)

Teorema: Le colonne e le righe di matrici unitarie U n x n, se viste come componenti di n vettori, sono ortonormali (ortog. e di norma 1)

Dim. poiché (1) la colonna i-esima della matrice che rappresenta U è l’immagine del vettore di base i> dopo l’applicazione di U, e (2) ogni vettore della base è ortogonale agli altri, e (3) U preserva il prodotto scalare dei vettori su cui agisce, allora anche la colonna j della matrice che rappresenta U sarà ortogonale alla colonna i. Ora consideriamo che le colonne della matrice U† , che è esso stesso corrispondente a una rotazione, sono, a a parte un fattore di coniugazione complessa, le righe di U: poiché abbiamo già dimostrato che le colonne di vettori di rotazione come U† sono ortogonali, lo saranno anche le righe di U. QED

Una dimostrazione alternativa del teorema precedente

jUkkUijIUUijUUijIi

kkIIUU

kij

k

†††

† ;Le due ipotesi sono

0* k k

kjkikjik UUUU †

Al variare dell’indice di riga k da 1 a n, per i diverso da j la colonna i-esima e quella j-esima possono essere pensate come le n coordinate di due diversi vettori colonna u e v che formano la matrice U. Per la loro ortogonalità, basta mostrare che il prodotto scalare tra i due vettori <u|v> è nullo; ovvero che le somme kuk*vkdei prodotti delle coniugate complesse delle componenti di uk = Uki* per le componenti di vk=Ukj è 0, proprio come avviene sopra. Per i=j, moltiplichiamo scalarmente il vettore colonna i per sé stesso (kuk*uk, determinando quindi il modulo quadrato del vettore u; ma poiché, per come è definito ijtale prodotto deve valere 1, il vettore in questione è normalizzato. I vettori colonna della matrice U sono dunque

ortonormali. Per le righe, basta utilizzare l’altra relazione UU † = I

per i diverso da j

Ricorda l’ Eq. di completezza a p. 62

78

cbaddcba

det

(a) det A=det A†

(b) det (AB)= det A det B

Esercizio: Provare che il determinante (“det”) di una matrice unitaria è un numero complesso di modulo unitario

Assumere che

iiii

ii

1111

2

1

11

2

12/1

Verificare che queste due matrici sono unitarie, che il loro determinante è della forma eie vedere se sono hermitiane

La traccia di una matrice A è, come la funzione determinante, una funzione che associa ad A uno scalare. La traccia, denotata con “Tr”, è uguale alla somma degli elementi diagonali della matrice stessa:

n

iiiTr

1

)( AA

79

EserciziMostrare che

1) Tr (AB) = Tr (BA)

2) Tr(ABC) = Tr(BCA)=Tr(CAB)

3) La traccia di un operatore è invariante per cambio unitario di base i> Ui>; alternativamente, mostrare che Tr(A)=Tr(U†AU)

4) Mostrare lo stesso per un determinante Det(A)=Det(U†AU), ovvero che il determinante di una matrice è invariante per cambio di base unitario

80

9. Equazione caratteristica per matrici finite

Se A è una trasformazione lineare (un operatore lineare dello spazio V), l’equazione agli autovalori T(v) = av può (portando a sinistra del segno di = il termine av e aggiungendo l’operatore identità), scriversi nella forma

(A - aI )(v) = 0

Trovare le soluzioni di questa equazione è equivalente a trovare gli autovettori e gli autovalori di un operatore lineare qualsiasi A. Si può dimostrare che questa

equazione ha soluzioni diverse dall’autovettore v = 0 se e solo se la matrice A-aI non è invertibile, ovvero se non esiste una matrice inversa (A-aI)-1 tale

che A-aI per la sua inversa sia l’identità I. La non invertibilità, a sua volta, è equivalente alla seguente condizione sul determinante della matrice di cui sopra (si veda T. Apostol, Geometria, vol.2, p. 201, oppure Lang, p. 232)

det (A- aI)= 0

81

1320det213

20det11122det3

113220213

det

Esempio di determinazione di autovettori di un operatore A: Imponiamo che det (A-aI)=0

L’ultima sommatoria si ottiene calcolando il determinante di A-aI come indicato nella prima riga: il polinomio che ne risulta, detto caratteristico, è di grado pari alla dimensione dello spazio in cui è definito l’operatore. Il polinomio caratteristico è un equazione di grado n che ha come soluzioni o radici proprio gli autovalori a di A. In assenza di degenerazione (ovvero quando non si verifica che uno stesso autovalore sia associato ad autovettori distinti) gli autovalori sono tanti quanti le radici dell’equazione.

00

113

220

213

det

0

00

00

00

113

220

213

det

i

iiac

a

a

a

a

a

a

82

Per ogni operatore hermitiano A in Vn esiste almeno una base di vettori ortonormali. In questa “autobase” l’operatore è diagonale e ha come elementi diagonali proprio gli autovalori dell’operatore.

Affrontiamo prima il caso (non degenere) in cui tutti gli n autovalori sono distinti

Dato l’operatore hermitiano A, scriviamo prima l’equazione caratteristica

det (A - aI ) = |0>, ricordandoci che il calcolo del determinante ci fornisce il

polinomio caratteristico già introdotto: ici ai. Tale polinomio in a, grazie

al teorema fondamentale dell’algebra, ha almeno una radice, ovvero un

autovalore, chiamiamolo a1. In corrispondenza a tale autovalore, deve esistere un

autovettore non nullo v1>, perché altrimenti la matrice (A - aI ) sarebbe invertibile

e ciò è escluso dall’ipotesi che il suo determinante sia nullo (vedi la presentazione

sull’equazione caratteristica). Prendiamo adesso in considerazione il sottospazio

Vn-1 _|1 costituito da vettori tutti ortogonali a v1> e scegliamo una base costituita

dall’autovettore normalizzato v1> e da altri n-1 vettori ortonormali scelti nel

sottospazio Vn-1 _|1 ; in questa base l’operatore A ha la forma seguente:

83

000

0001a

A

L’immagine del vettore |v1> dopo che a esso applichiamo A è la prima colonna, che ha tutti zeri sotto l’autovalore a1

perché le sue componenti rispetto agli altri vettori della base del sottospazio ortogonale a |v1> sono nulle: <2|A|1>= <3|A|1>=….= 0 e ciò per l’ipotesi di ortogonalità. Lo stesso dicasi per la prima riga, dato che A è hermitiano, cioè (AT)* =A† =A, cosicché la prima colonna è uguale alla prima riga a parte a1

Partendo da det(A-aI) = 0, che implica

la nuova equazione caratteristica è (a1- a) det(matrice nel box) = 0, ovvero

1

01 0)(

n

i

iiacaa

Dato che il polinomio di grado n-1 deve a sua volta generare una radice a2 e un

autovettore normalizzato |v2> per le ragioni già viste a proposito di a1, si può

definire il sottospazio Vn-2_|2 i cui vettori sono tutti ortogonali a |v2>. Iterando

la procedura per |v3> fino a vn si ottiene la seguente matrice:

NB: Gli altri termini corrispondenti all’equazione in alto a p. 81 sono infatti tutti nulli perché la prima riga

e la prima colonna sono nulli tranne a1

01

n

i

ii ac

n

i

ii ac

1

84

na

aa

00....0.00.0

2

1

A

Come si vede la matrice che esprime l’operatore hermitiano A è diagonalizzata (tutti 0 tranne sulla diagonale, dove troviamo tutti gli autovalori di A)

Ci può essere più di una base che diagonalizza A, e questo accade quando c’è degenerazione. Supponiamo che per due diversi vettori ortonormali v1 e v2 ; allora si ha:

aaa 21

212121

2211 ;

vvavavavvα

vavvav

A

AA

Poiché v1 v2 sono ortogonali, essi generano un sottospazio bidimensionale chiamato autospazio i cui elementi sono tutti autovettori di A con lo stesso autovalore a. Qualunque coppia di vettori ottenuti da una rotazione rigida di v1 v2 sono una possibile autobase per A: nel caso degenere abbiamo dunque un’infinità di basi ortonormali. Se il polinomio caratteristico ha una radice di molteplicità m, la dimensione del sottospazio il cui unico autovalore è a sarà data proprio da m

85

Vediamo ora il caso degenere con un esempio, in cui abbiamo un operatore hermitiano in qualche base data

101020101

A

Determiniamo l’equazione caratteristica imponendo

2,2,00)2(

2]22)[1(

)]2(0[10]0)1)(2)[(1(

0101

020101

det

2

2

aaa

aaaaa

aaaa

aa

aaIA

Per determinare l’autovettore v corrispondente ad a=0, dobbiamo determinare un’equazione che ci sia utile allo scopo

86

Scriviamo l’ultima relazione in una base, moltiplicando per <i| e ricordando che l’identità I si può decomporre I =ii> <i|

0 vaIvav AA

Sostituiamo ora nell’espressione del box rosso i valori dell’esempio precedente per determinare l’autovettore v di coordinate (x, y, z), corrispondenti all’autovalore a=0

zxzyxyy

zxzyx

zyx

01010020101

000

010100201001

101

2

1

2

101

101

vvv

Qualunque vettore con z=-x va bene e data la libertà di scala, scegliamo x=1; se moltiplichiamo v per un vettore a norma 1, va bene lo stesso

0

))((

1

11

n

jjijij

j

n

j

n

j

va

vjiajivjjaivaIi

A

AAA

87

Per le altre due radici (autovalori) coincidenti, a=2, si ottiene un’unica equazione, come conseguenza della degenerazione. Si trovino per esercizio le tre seguenti condizioni seguendo la falsariga dell’esempio precedente:

000

0

zx

zx

Le condizioni x=z e y arbitrario (0=0) definiscono un insieme di vettori che è ortogonale al primo autovettore |v> già trovato, e che giacciono in un piano ortogonale al primo vettore già trovato |v>. Scegliendo per il primo autovettore corrispondente ad a=2 y=1 (0=0 non pone alcuna condizione), x=z e normalizzando, si ha

12

1

6

1'

111

3

1

2

2

a

a

v

v

Il terzo vettore è scelto in modo che sia ortogonale al secondo. Ogni distinta scelta della frazione y/z ci dà coppie distinte di autovettori con il medesimo autovalore 2

88

Teorema: (Mentre) gli autovalori (di un operatore hermitiano sono reali, quelli) di un operatore unitario U sono numeri complessi di modulo 1, e i suoi autovettori sono mutuamente ortogonali

Assumiamo dapprima che non ci sia degenerazione (autovalori tutti distinti):

jjjaggiunta

jjj

iii

vaUvvavU

vavU

*

†

Moltiplichiamo scalarmente l’aggiunta della seconda equazione per la prima

0)*1(

**

ijij

ijijijijijij

vvaa

vvaavIvvvaavUUv †

1*0)(2 iiiii aaavvji

Poiché gli autovalori a sono tutti distinti, e ogni autovettore è diverso dal vettore

nullo, abbiamo due casi

1) i =j

89

1*1**))(( jijjjijiji aaaaaaaavvji

2) caso ji

01*0)*1( ijjiijij vvaavvaa

Se U è degenere, per il teorema a p. 76 (che afferma che le colonne e le righe di matrici unitarie U nxn, se viste come componenti di n vettori, sono ortonormali), e ripetendo la dimostrazione a p. 82-83, la somma dei moduli quadri degli elementi di ogni riga deve dare 1 (ortonormalità dei vettori riga); se scegliamo il primo autovettore con norma unitaria |v1| = 1, tutti gli altri elementi della prima riga sono nulli. Iterando la procedura per le altre righe si ottiene la conclusione

Moltiplico entrambi i membri per aj*

90

Diagonalizzazione di matrici hermitiane grazie a cambiamenti unitari della base

Consideriamo una base ortogonale per un operatore hermitiano A in Vn

A questa base possiamo sempre applicare una trasformazione U tale che per ogni vettore ortonormale |i> ci dia proprio la base (autobase) |ai>= U|i>, che è quella che diagonalizza la matrice A. Tale trasformazione U, preservando gli angoli, sarà unitaria, e da basi ortonormali porta a basi ortonormali. Ne segue che per ogni hermitiano A esiste una matrice unitaria U tale che U†AU è diagonale. Trovare una base che diagonalizza A equivale dunque a risolvere il problema degli autovalori, cioè trovare i possibili valori delle osservabili di un sistema.

n,...,3,2,1

91

Esercizio(1) Trovare gli autovalori e gli autovettori normalizzati dell’operatore A; 2) stabilire se la matrice è hermitiana e se 3) i suoi autovettori sono ortogonali

410020131

A

(i) det (A-aI) = 0

(ii)determiniamo l’autovettore v1

Non ci sono condizioni sulla prima componente x1,

mentre le altre due sono nulle. Scegliamo quindi x1=1, y1= z1=0

030300000

03030000

141001201311

)det

11111

1111

11111

1

1

1

1

1

1

1

zyzyxyzyx

zyzyxzyx

zyx

Ia( -A

001

11 wv

4;2;1)]4)(2)[(1(

0

410

020

131

)-Adet

321

aaaaaa

a

a

a

aI(

92

22222

222

22222

20200000

503

zyzyxzyx

zxzyx

125

2v

Normalizziamo i due vettori divedendoli per il rispettivo modulo

125

30

1

1425

125

2w

000

241002201321

)det2

2

2

2

2

2

2zyx

zyx

Ia( -A

000

441004201341

)det3

3

3

3

3

3

3zyx

zyx

Ia( -A

301

10

1

91

301

3w

0

02

033

3

3

333

y

y

zyx

93

410020131

A Non è simmetrica e dunque non è hermitiana, dato che la trasposta di A non è identica ad A

021212121 zzyyxxww Non vale l’ortogonalità

001000100

B

(2)Considerando la seguente matrice B, stabilire se è hermitiana, trovare i suoi autovalori e autovettori e chiamando U la matrice di autovettori di B, verificare che U† BU è diagonale

cossinsincosC

(3) Verificare che C è unitaria, mostrare che i suoi autovalori sono di

modulo 1 (eie-ie trovare isuoi autovettori, mostrando che sono ortogonali. Verificare che U†BU è diagonale, ponendo U uguale alla matrice degli autovettori di C

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Teorema: Se A e B sono due operatori hermitiani commutanti, esiste almeno una base di autovettori comuni che li diagonalizza entrambi

Dimostriamo solo il caso in cui almeno uno dei due operatori (per es. A) sia non degenere (per ogni autovalore ai c’è un solo autovettore vi). Per una dimostrazione in cui entrambi sono degeneri, vedi R. Shankar, pp.48-50

)0

)(

iiii

iiiiiiii

vavv

vavavvav

(BBA )A(B0BA-ABBA,

BBBAA

Ne segue che B|vi>è un autovettore di A con autovalore ai. Poiché dagli esercizi sappiamo che gli autovettori sono individuati a meno un fattore di scala b, si può scrivere:

iii vbv B

Questo mostra che |vi> è anche un autovettore di B con autovalore bi ; poiché ogni autovettore di A è anche un autovettore di B, ed esiste un’unica base per A (perché è non-degenere), allora la base |vi> diagonalizzerà entrambi gli operatori.