1- Modelo de Equilibrio Parcial
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1
Medidas de Bem-Estar no Modelo de Equilíbrio Parcial
Em equilíbrio geral todos os mercados da economia são interligados pelo efeito-
renda nas demandas. Em muitas aplicações de microeconomia os fenômenos de
interesse são circunscritos a um ou a poucos mercados. Nesses casos, é conveniente
evitar essa complexidade gerada pelo efeito-renda para analisar impactos de políticas ou
de outras mudanças exógenas no equilíbrio. O modelo de equilíbrio parcial determina o
equilíbrio de preços e alocações (produção e consumo) para um subconjunto de bens
isoladamente do equilíbrio de todos os outros mercados na economia.
Define-se um sub-conjunto de 1≥L bens incluindo aqueles em cujos preços e
alocações estamos interessados, e que não tenham substitutos ou complementares
importantes deixados de fora. Assim, supõe-se que uma mudança do preço de qualquer
um dos 1≥L bens pode alterar a demanda compensada por algum outro bem
pertencente ao grupo, mas não a dos outros bens da economia (e vice-versa).
Além disso, consideramos também que os 1≥L bens representam em conjunto
uma fração pequena da despesa dos consumidores, de maneira que mudanças dos preços
dos bens do grupo não afetem a renda perceptivelmente. De acordo com a equação de
Slutsky, se ( )Rpxi , é a demanda pelo bem { }Li ,...,1∈ , uma variação emjp ,
{ }Lj ,...,1∈ , pode ser desmembrada num efeito-substituição e num efeito-renda
R
xx
p
x
p
x ij
Uj
i
j
i
∂∂−
∂∂=
∂∂
R
x
x
R
R
xp
p
x
x
p
p
x
x
pi
i
jj
Uj
i
i
j
j
i
i
j
∂∂−
∂∂=
∂∂
Se a fração da despesa com o bem { }Lj ,...,1∈ for suficientemente pequena, isto
é, 0→R
xp jj , e a elasticidade renda da demanda pelo bem é limitada, isto é,
∞<∂∂
R
x
x
R i
i
, tem-se que:
Uj
i
i
j
j
i
i
j
p
x
x
p
p
x
x
p
∂∂→
∂∂
2
Ou seja, a elasticidade-preço da demanda é igual à elasticidade-preço compensada, isto
é, só há efeito-substituição, mas não há efeito-renda na demanda por qualquer dos bens
{ }Lj ,...,1∈ .
Finalmente, como por hipótese variações dos preços dos 1≥L bens não alteram
as demandas pelos outros bens da economia por efeito substituição nem por efeito
renda, pode-se considerar os preços daqueles bens como sendo constantes.
O modelo quase-linear incorpora essas hipóteses. A utilidade dos consumidores
é definida no conjunto dos 1≥L bens e de um bem adicional (o bem numerário) que
representa um agregado (com preços fixos) de todos os outros bens da economia. A
utilidade marginal do consumo do bem numerário é considerada constante (e
normalizada para a unidade), o que elimina o efeito renda das demandas pelos 1≥L
bens.
Função de utilidade quase-linear
Cada consumidor Hh ,...,1= tem função de utilidade dada por
( ) ( ) mxxmxxu Lh
Lh += ,...,,,..., 11 φ
Onde os 1≥L bens compõem o mercado em questão e m é o consumo do bem
numerário1.
Com 0>hlφ , 0<h
llφ , para 0≥x , e normalizando-se ( ) 00,...,0 =φ .
O consumidor individual resolve:
1A quantidade m poderia, por exemplo, ser interpretada como a utilidade do consumo de um agregado de todos os outros bens consumidos em proporções fixas:
Max ( ) ( ) { }nnn cacaquccqU ,...,min,...,, 111 +=
Icpqptsn
jjj =+∑
=10:..
O consumidor maximiza a utilidade escolhendo jjii caca = , nji ,...,1, =∀ . Então:
1111
caa
pcp
n
j j
jn
jjj
= ∑∑
==
Podemos então redefinir 11cam ≡ e
≡
∑=
n
j j
j
a
p
pp
1
0 .
3
( ) mxx Lmxx L
+,...,max 1,,...,1
φ
s.t.
RmxpL
lll =+∑
=1
Ou
( ) ∑=
−+L
lllL
xxxpRxx
L 11
,...,,...,max
1
φ
Com FOCs: Ll ,...,1= , dadas por:
( ) 0,...,1 ≥≤ llLl xsepxxφ
( ) 0,...,1 >= llLl xsepxxφ
Considerando-se o caso de demandas estritamente positivas para os 1≥L bens,
( )Lppp ,...,1= , ( )Lxxx ,...,1= , tem-se um sistema de funções de demanda inversas
( )xPp = onde ( ) ( )xxP xφ≡ :
( )LxxxPp ,,, 2111 K=
( )LxxxPp ,,, 2122 K=
M
( )LLL xxxPp ,,, 21 K=
O Jacobiano de ( )xP é
( ) ( )xD
xxx
xxx
x
P
x
P
x
P
x
P
xDP
nn
n
n
nn
n
φφφ
φφ
2
2
2
1
2
1
2
21
2
1
1
1
1
=
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
L
MOM
L
L
MOM
L
Se ( )⋅φ é 2C , ( )⋅DP é simétrica. Acrescentando-se a hipótese de que φ2DDP =
é negativa definida (que implica em ( )⋅φ estritamente côncava), de modo que os termos
na diagonal são estritamente negativos, tem-se:
4
i
j
j
i
x
P
x
P
∂∂
=∂∂
e 0<∂∂
i
i
x
P ni ,,2,1 K=∀
Já que o determinante de uma matriz simétrica é igual ao produto dos seus
autovalores, que são todos estritamente negativos se DP é negativa definida, a matriz
DP é inversível para qualquer x .
Se DP é inversível, pelo teorema da função inversa pode-se obter um sistema de
demandas diretas ( )pXx = , que dependem somente dos preços (não há efeito-renda)
onde:
( )LpppXx ,,, 2111 K=
( )LpppXx ,,, 2122 K=
M
( )LnL pppXx ,,, 21 K=
Com Jacobiano dado por:
[ ] 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= DP
x
P
x
P
x
P
x
P
p
X
p
X
p
X
p
X
DX
L
LL
L
L
LL
L
L
MOM
L
L
MOM
L
A inversa de uma matriz simétrica e negativa definida também é simétrica e
negativa definida. Sendo assim,
i
j
j
i
p
X
p
X
∂∂
=∂∂
e 0<∂∂
i
i
p
X Li ,,2,1 K=∀ .
Figura: ausência de efeito renda na utilidade quase-linear
5
Excedente do consumidor
Como não há efeito renda no modelo quase-linear, não há ambiguidade nas
medidas pecuniárias de variação da utilidade entre alocações, medidas aos preços
iniciais ou finais.
Utilidade indireta:
( ) ( )( ) ( )pXpRpXRp ., −+= φν
Variação equivalente de renda ( )RppE ,, 10 definida pela renda adicional, aos
preços iniciais, necessária para igualar a utilidade aos preços finais:
( ) ( )( )RppERpRp ,,,, 1001 +=νν
Variação compensada de renda ( )RppC ,, 10 definida pela renda deduzida, aos
preços finais, necessária para igualar a utilidade aos preços iniciais:
( )( ) ( )RpRppCRp ,,,, 0101 νν =−
Em geral a variação equivalente e a compensada são diferentes, mas no caso da
função de utilidade quase-linear elas coincidem:
p
m
x p
6
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )000111 .. pXpERpXpXpRpX −++=−+ φφ
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )000111 .. pXpRpXpXpCRpX −+=−−+ φφ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]0001111010 ..,, pXppXpXppXppCppE −−−== φφ
Excedente do consumidor: ( ) ( )( ) ( )pXppXpCS .−≡ φ
A variação do Excedente do Consumidor entre duas alocações determinadas por
0p e 1p é igual às variações compensada e equivalente alente da renda:
( ) ( ) ( ) ( )101001 ,, ppEppCpCSpCS ==−
( )pCS é a diferença (positiva) entre a utilidade do consumo de X unidades do
bem e a utilidade do consumo de pX unidades do bem numerário, ou seja, é o ganho
de utilidade que o funcionamento do mercado gerou para o consumidor.
Note que ( )pCS é a função de utilidade indireta subtraída da renda. Assim,
( )pCS é decrescente e convexa nos preços. Além disso, de acordo com a Identidade de
Roy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pXpXppXpXxpCS ppxp −=−−= ..φ
Pode-se expressar ( )pCS como a integral:
( ) ( ) ( )dssXdssCSpCSp
p
p .. ∫∫∞
∞
==
Com uma mudança de variáveis pode-se integrar nas quantidades em vez dos
preços:
( ) ( ) ( )( )
( )∫∫ −=
1
0
1
0
1
0
...pX
pX
p
p
p
p
dxxPppXdssX
Com pp =0 e ∞=1p tem-se:
( ) ( ) ( ) xxPdssPxCSx
..0
−= ∫
7
Assim, pode-se expressar o excedente do consumidor por uma integral das
demandas diretas nos preços ou por uma integral das demandas inversas nas
quantidades.
No caso de 1=L , CS corresponde à medida simples da área sob a curva de
demanda e acima do preço pago pelo consumidor:
No caso de 1>L , CS é uma integral de linha. De acordo com o Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, ( ) ( )01 pCSpCS − independe
da sequência particular de mudanças de preços que consideramos porque i
j
j
i
p
X
p
X
∂∂
=∂∂
Lji ,,2,1, K=∀ , ji ≠ .2
2 Integrais de linha: Definição: [ ] ntt ℜ→ℜ∈10 ,:α é um caminho suave (“smooth path”) se a
derivada 'α existe e é contínua no intervalo ( )10 , tt . A função ( )α é um caminho suave em trechos
(“piecewise smooth path”) se o intervalo [ ]10 , tt pode ser particionado em um número finito de
subintervalos em cada um dos quais α é suave.
Definição (integral de linha): Seja um caminho suave em trechos [ ] ntt ℜ→10 ,:α e nnf ℜ→ℜ:
definido sobre a imagem de α com ( )0ta α= , ( )1tb α= . A integral de linha de f ao longo de α é
p
( )pX
CS
8
( )( ) ( ) ( )( ) ( )∑∫∫ ∫=
=⋅=⋅n
k
t
t
kk
t
t
dtttfdtttfdf1
''1
0
1
0
.ααααα
quando a integral à direita existir.
Teorema (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha): Seja ℜ→ℜn:ϕ com
um gradiente ϕ∇ contínuo em nS ℜ⊂ aberto e conexo. Então, para quaisquer dois pontos a e b
ligados por um caminho α suave em trechos com ( )0ta α= , ( )1tb α= ,
( ) ( )abdb
a
ϕϕαϕ −=⋅∇∫
Prova: tome [ ] ntt ℜ→10 ,:α piecewise smooth com ( )0ta α= , ( )1tb α=
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )abdtdt
tddtttd
t
t
t
t
b
a
ϕϕαϕααϕαϕ −==⋅∇=⋅∇ ∫∫∫1
0
1
0
'
O teorema mostra que quando o integrando é um gradiente contínuo então podemos escolher livremente qual é o caminho da integração entre os dois limites de integração. Este é o nosso caso para
integrar ( ) ( )dttXpCSp
.∫∞
= ou ( ) ( ) ( ) xxPdssPxCSx
..0
−= ∫ , já que ( ) ( )pCSpX −∇= e
( ) ( )xxP φ∇= .
Também podemos verificar este resultado de uma forma direta. Considere o exemplo com dois bens ( 2=L ). Calculemos a variação do excedente do consumidor por dois caminhos que representam a mesma variação final dos preços: no primeiro caminho (I) a variação do preço do bem 1 precede a do bem 2 e no segundo caminho (II) a ordem é invertida:
( ) ( )∫∫ +=∆12
02
11
01
221121
0211 ,,
p
p
p
p
I dpppXdpppXCS
( ) ( )∫∫ +=∆11
01
12
02
1121122
012 ,,
p
p
p
p
II dpppXdpppXCS
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ −+−=∆−∆12
02
11
01
220122
1121
1211
0211 ,,,,
p
p
p
p
III dpppXppXdpppXppXCSCS
Considere intervalos diferenciais de preço iii dppp =− 01 de forma que
( ) ( ) ( )2
2
02110
2111211
,,, dp
p
ppXppXppX
∂∂=−
( ) ( ) ( )1
1
2012
20122
112
,,, dp
p
ppXppXppX
∂∂=−
Nesse caso,
( ) ( ) =∂
∂+∂
∂−=∆−∆ ∫∫++ 2
02
02
101
01
211
2012
122
0211 ,,
dpp
p
dpp
p
III dpdpp
ppXdpdp
p
ppXCSCS
( ) ( ) ( ) ( )21
1
02
012
2
02
011
211
02
012
122
02
011 ,,,,
dpdpp
ppX
p
ppXdpdp
p
ppXdpdp
p
ppX
∂∂−
∂∂−=
∂∂+
∂∂−=
Ou seja, se as derivadas cruzadas das demandas coincidirem para todos os preços então ICS∆ e
IICS∆ também coincidirão para qualquer caminho.
9
Em particular, podemos integrar variando cada preço entre os limites de
integração pela ordem dos seus índices:
( ) ( ) ( ) [ ]( )∑ ∫∫=
==−L
ii
p
p
ii
p
p
dppXdppXpCSpCSi
i1
01
1
0
1
0
.
Onde
[ ] ( )001
11
11 ,...,,,,..., Liii
i pppppp +−≡
Exemplo com 2=L :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )∫∫∫∫ +=+==−
12
02
11
01
12
11
02
01
1
0
221121
0211
,
,
2212121110 ,,,,.
p
p
p
p
pp
pp
p
p
dpppXdpppXdpppXdpppXdppXpCSpCS
Ou, integrando as demandas diretas, com ( )xPp = , ( )2111 , ppXx = , ( )2122 , ppXx = ,
( ) ( ) ( ) ( )pXpdssPxCSxCSx
x
..
1
0
01 −=− ∫
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )[ ]=−−+= ∫
02
01
02
01
12
11
12
11
,
,
22121211 ,.,,.,,,
12
11
02
01
xxppxxppdxxxPdxxxPxx
xx
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]02
01
02
01
12
11
12
1122
1121
0211 ,.,,.,,,
12
02
11
01
xxppxxppdxxxPdxxxPx
x
x
x
−−+= ∫∫
Produção
O modelo de equilíbrio parcial adota a hipótese de que os 1≥L bens
selecionados são produzidos com tecnologias que empregam apenas o bem numerário
como insumo.
( ) ( )
211
212
2
211 ,,,
0 ppp
ppX
p
ppXCSCS III ∀
∂∂=
∂∂⇔=∆−∆
Mas sabemos que esta condição é atendida, pois o Jacobiano do sistema de demandas é simétrico.
10
Suponha que existem Jj ,...,1= firmas na economia e cada firma produz um
vetor de quantidades ( )jL
jj qqq ,...,1= dos bens Ll ,...,1= (função de produção pode ser
multi-produto). A função de custo de produção da firma é ( )jj qc , medido em unidades
do bem numerário. Suponha ( )
0>∂
∂j
l
jj
q
qc e ( )jj qc convexa para 0≥jq .
Alocação Pareto Ótima
Suponha que a economia tem uma dotação (quantidade agregada não produzida)
de m unidades do bem numerário. Uma alocação (consumo dos H consumidores e
produção e emprego de insumo das J firmas) Pareto ótima é solução do problema:
( ) 111
,,max mx
jhh qmx+φ
s.t.
( ) hhhh umx =+φ ; Hh ,...,2=
( )∑ ∑= =
=+H
h
J
j
jjh mqcm1 1
∑ ∑= =
=H
h
J
j
jh qx1 1
Substituindo as restrições,
( )∑∑∑===
−=H
h
hhH
h
hH
h
h xum222
φ
( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑=====
−+−=−−=J
j
jjH
h
hhH
h
hJ
j
jjH
h
h qcxumqcmmm12212
1 φ
Substituindo no objetivo, elimina-se a escolha de hm :
( ) ( ) ∑∑∑===
−+−H
h
hJ
j
jjH
h
hh
qxumqcx
jh211,
max φ
s.t.
∑ ∑= =
=H
h
J
j
jh qx1 1
11
Note-se que m e ∑=
H
h
hu2
são parâmetros no problema. Uma alocação eficiente
deve maximizar a diferença entre a utilidade do consumo e o custo de produção dos
bens do mercado ( ) ( )∑∑==
−J
j
jjH
h
hh qcx12
φ , independentemente da distribuição de
utilidades para os consumidores { }hu ; Hh ,...,2= .
Definição: Excedente Total
( ) ( ) ( )∑∑==
−=J
j
jjH
h
hhJH qcxqqxxTS11
11 ,...,,,..., φ
A derivada total do Excedente Total é dada por:
( ) ( ) jJ
j
jjH
h
hhh dqqDcdxxDDTS ..11∑∑
==
−= φ
Os consumidores são perfeitamente competitivos e maximizam a utilidade
escolhendo consumos que igualam suas utilidades marginais ao vetor de preços tomado
como dado. Usando a notação ∑=
=H
h
hxx1
tem-se:
( ) ( )xPxD hh =φ ; Hh ,...,1=∀
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −=−=j
jjj
j
jjj
h
h dqqDcdxxPdqqDcdxxPdTS ....
Convencionamos que ( ) 00 =hφ e ( ) 00 =jc (de modo que ( ) 00 =TS ).
Lembramos que cada firma j pode ter um componente de custo fixo (que não depende
de jq ) igual a j
c , além do custo variável, de modo que:
( ) ( ) jq
jjj cdrrDcqc
j
+≡ ∫0
Podemos afinal expressar o Excedente Total na forma:
12
( ) ( ) ( ) ∑∑ ∫∫ −−=j
j
j
qj
xJ cdrrDcdssPqqxTS
j
00
1 ..,...,,
Supondo que os preços ( )xP pagos pelos consumidores e recebidos pelos
produtores são iguais (como ocorreria, por exemplo, na ausência de taxas ou subsídios),
usando a notação ∑=
=J
j
jqq1
para a produção total das firmas e lembrando que xq = em
equilíbrio, somamos e subtraímos o termo ( ) ( )qqPxxP .. = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∫∫ −−+−=j
j
j
qj
xJ cdrrDcqqPxxPdssPqqxTS
j
00
1 ....,...,,
Def.: Excedente do Produtor: ( ) ( ) ( )∑ ∫−≡j
qjJ
j
drrDcqqPqqPS0
1 ..,...,
O Excedente do Produtor é a soma dos lucros variáveis (lucros totais somados
aos custos fixos) das firmas, ou seja:
( ) ( )[ ]∑ +Π=j
jjjJ cqqqPS ,...,1
Assim, o Excedente Total é a soma do Excedente do Consumidor com os lucros
totais das firmas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ Π+=−+=j
jj
j
jJJ qxCScqqPSxCSqqxTS ,...,,...,, 11
Excedente Total e alocação socialmente ótima
No modelo quase-linear qualquer alocação socialmente ótima pode ser
implementada com a maximização do Excedente Total e uma posterior redistribuição
"lump-sum" do bem numerário entre os consumidores.
Suponha que o governo maximiza uma função de utilidade social estritamente
crescente e quase côncava ( )HuuW ,...,1 escolhendo o consumo de bem numerário de
cada consumidor, { } 0,...,1 ≥Hmm , dada uma alocação factível de consumo e produção
{ }jhqx , dos 1≥L bens. O problema do governo é:
13
( )H
mmuuW
H,...,max 1
,...,1
s.t.
( ) hhhh umx =+φ
( )∑ ∑= =
=+H
h
J
j
jjh mqcm1 1
Substituindo as restrições,
( )H
uuuuW
H,...,max 1
,...,1
( ) ( )∑∑∑===
−+=J
j
jjH
h
hhH
h
h qcmxu111
φ
Verifica-se que um aumento do Excedente Total ( ) ( )∑∑==
−J
j
jjH
h
hh qcx11
φ só relaxa a
restrição do problema. Isto significa que, na presença da instituição adequada para
realizar transferências lump-sum automaticamente para maximizar W , a maximização
do Excedente Total seria suficiente para promover a implementação da alocação ótima
para qualquer função de utilidade social (figura 10.E.1, MW&G).
14
Exercícios:
1) Para uma economia fechada como a anterior, mas na presença de taxas ou subsídios
que gerem preços enfrentados pelo consumidor Cp e pelo produtor Pp diferentes,
mostre que o valor da arrecadação da política fiscal, ( )xpp PC .− , passa a integrar a
fórmula do Excedente Total.
2) Uma economia aberta tem vetor de importação dos 1≥L bens dado por qxM −≡
onde x é o vetor de consumo e q o vetor de produção da economia. O vetor de preços
domésticos (suposto igual para consumidores e firmas) é dado por p , o vetor de preços
no mercado internacional é *p , e ( )*ppt −= é o vetor de tarifas/subsídios específicos
praticados pelo país. As alocações Pareto ótimas são solução do seguinte problema:
( ) 111
,,max mx
jhh qmx+φ
s.t.
( ) hhhh umx =+φ ; Hh ,...,2=
( )∑ ∑= =
=++H
h
J
j
jjh mMpqcm1 1
* .
MqxH
h
J
j
jh =−∑ ∑= =1 1
Mostre que o valor da arrecadação da política comercial, dada por Mt. , passa a
integrar a fórmula do Excedente Total.