1

MODELLI DI SERIE STORICHEApproccio Classico

Modelli di composizione:

- componenti trend ciclo stagionalità

comp.accidentale

- tipi di composizione :

1) additività

2) moltiplicatività

3) misto

1) ipotesi di indipendenza tra le componenti

modello additivo

2) non indipendenza tra le componenti

modello moltiplicativo

ttttt aSCTZ

ttttt aSCTZ

2

Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i log , cioè :

3) modello:

pregi difetti

-semplicità -pluralità di soluzioni

-serie anche corte -assunzione modellistica

prima approssimaz. troppo rigida

-visione settorizzata

ttttt alogSlogClogTlogZlog

ttttt aCSTZ

3

Modelli stocastici o di Box-Jenkins(approccio moderno post 1925)

1. Modello autoregressivo (AR)

2. Modello a media mobile (MA)

3. Modello misto (ARMA)

1.

residuo o disturbo

coefficienti

AR(p) - modello autoregressivo di ordine p

2. Media mobile :

è una media aritmetica che si sposta, ad ogni iterazione, dall’inizio alla fine della successione di dati.

t

tptp2t21t1t

a

aZ...ZZZ

)p,...,1i(i

4

Esempio: MA a tre termini

In generale termini

dispari . MA centrata.

Può essere: - semplice - ponderata

n

n1n2n1n1n

2n

54345

4

43233

32122

1

z3

zzzzz

z...

3

zzzzz

z3

zzzzz

3

zzzzz

z

3

zzzz 1tt1t

t

5

Modelli a MA:

costanti

Modello MA(q) di ordine q

3. Modelli misti

Modello ARMA (pq)

I modelli Box-Jenkins essendo di tipo stocastico stocastico generano un processo stocastico

Analizzare una serie empirica con i modelli Box-Jenkins significa scegliere, tra i molti modelli possibili, quello più adatto e stimarne i parametri

2 fasi di analisi: _ identificazione _ stima

qtq1t1tptp1t1t a...aaZ...ZZ

)q,...,1i(

a...aaZ

i

qtq1t1tt

6

Operatori, funzioni generatrici, equazioni alle differenze finite

Operatore all’indietro (backward) B

Data una sequenza

l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti. Quindi :

oppure

Operatore in avanti (forward) F

Stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti, cioè

oppure

Ovviamente :

2t1tt1t2t z,z,z,z,z

jttj

1tt zzBzzB

jttj

1tt zzFzzF

1BF

7

Operatore alle differenze finite .

oppure

Ma:

cioè :

Poi:

jtttj

tj

ttt

zzzz

zzz

1

1

ttt1ttt zB1zBzzzz

B1

2t1tttt2 zz2zzz

8

PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p AR(p)

(*)

Somma ponderata di valori passati cui si aggiunge un disturbo calcolato sul valore attuale . Riscrivendo la (*) si ha:

che diviene, con l’operatore B:

Ponendo la quantità in parentesi uguale a , nota anche come operatore AR(p) , si ha:

tptp2t21t1t az...zzz

tz

ta

tptp2t21t1t az...zzz

ttp

p2

21 azB...BB1

B

tt azB

disturbo

9

Nella (*) può essere aggiunta una costante

che misura il livello del processo che, se il processo è stazionario, è uguale alla sua media, quindi in generale AR(p) ha forma:

Le condizioni di stazionarietà del processo si ottengono dalle radici della sua equazione caratteristica, cioè ponendo , quindi

Si dimostra (Box & Jenkins) che la stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le radici della equazione caratteristica sono in modulo > 1, o in altre parole sono esterne al cerchio di raggio unitario

tptp1t1t az...zz

0B

0B...BB1 pp

221

1

10

Media.

Se , nel caso del modello completo:

Siccome

Quindi

Ovviamente nel modello ridotto in cui

0az t

tptp

2t21t1

tptp

2t21t1

t

aEzE...

zEzE

az...

zzEzE

0aEe....zEzEzE t2t1tt

p21t ...1zE

p21

t ...1zE

0

0zE t

11

Autocovarianza

Ma per k > 0 , quindi:

k = 1,2,..p

Varianza:

analogamente si dimostra che

Le di AR(p) sono in numero infinito; per i valori di j > p si può ricorrere alla forma:

Che è nota come equazione di Yule-Walker

kttktptpktt

kttkttk

zaEzzEzzE

zzEzzE

...22

11

0azE kkt

pkp2k21k1k ...

2app22110 ...zvar

k

pjp2j21j1j ...

12

Tale relazione consente di :

1. conosciuto un certo AR(p), cioè una volta

noti i , si possono calcolare le autocov.

teoriche corrispondenti;

2. se non si conoscono i si possono

stimare sostituendo ai valori teorici delle

autocov. i corrispondenti valori

campionari ci ottenuti dalla serie storica

osservata.

Autocorrelazione

Dividendo si ha:

k = 1,2,3,…

In cui partendo da si ottengono in

forma ricorsiva tutti i coefficienti di

autocorrelazione teorica.

i

i

k

0k

pkp2k21k1k ...

10

13

Ovviamente vale quanto detto in 1. e 2.

Correlogramma

Dalla si vede come il corr. di AR(p) è costituito da infiniti termini.

Si dimostra che tali termini, a seconda dei valori dei parametri, tendono a zero monotonicamente oppure con oscillazioni.

Casi particolari.

AR(1)

Il valore della serie al tempo t è pari ad una frazione del valore precedente aumentato (algebricamente) dell’errore .

k

t1t1t azz

ta

14

Es: supponiamo .

Allora graficamente:

innovazione

Stazionarietà

Dal caso generale, siccome le radici dell’equazione caratteristica, cioè

sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1) è stazionario se e solo se

5,01

tz

t1 2 3

1z5,02z5,0

3a

1z212 az5,0z

2a

323 az5,0z

0aE,.c.va tt

0B1B 1

11

15

Media

Se allora

Varianza

Dalle relazioni di e di AR(p) si ricava

da cui risulta che, siccome allora

, cioè , come rilevato per la condizione di stazionarietà.

Autocovarianza

Si dimostra (Nelson, Piccolo) che

0aE t 0zE t

k 0

2

2a

0 1

00 12 1

k2

2a

k 1

16

che utilizzando la relazione per diviene:

Autocorrelazione

Correlogramma

A seconda del segno di si ha:

Autocorrelazione parziale

Si dimostra (Kendall) che

0k

0k

kk

0

1

1

1

00

1k01k11

kk

17

Non stazionarietà

La stazionarietà si ha per

Se allora Random Walk (non stazion. omogenea (*))

Se allora il processo assume un

andamento esplosivo tipo reazione nucleare.

(*) considerando successivi intervalli temporali questi hanno dei componenti sostanzialmente uguali.

11

11 t1tt azz

11

18

Random walk stazionarietà non omogenea

Stazionario

Esplosivo

t1tt azz

t1tt az35,0z

t1tt az2,1z

19

Simula-

zione

AR(1)

t a t z t t a t z t

0 1

10

20

-1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8

0,5-1,4-0,96 0,92-0,03 0,68 1,47 0,99 1,29 0,42-0,13-0,15 0,14-0,54-0,62-0,64-1,16-0,46 0,11-1,55-1,02-1,21-0,58-0,23 1,11 0,34 0,54-0,58-0,43 0,63

30 31

40

50

60

-1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1

-0,95-0,08 0,57 1,73-0,21-0,38-0,55-1,42 0,43-1,13-0,05-0,02 0,49 2,29 0,41 2,26 1,30 1,32 1,13 0,55 0,62 0,75 0,1 3,26 1,70,58 1,63 1,75-3,0-2,3-1,02

-3-2-101234

1 11 21 31 41 51 61

t

Zt

20

molto vicini

non vicini

oscilla

17,0z;0zE t k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,4

0,16

0,064

0,0256

0,01024

0,0041

0,00164

0,0007

0,0003

0,0001

0,486

0,341

0,281

0,029

-0,011

-0,149

-0,002

0,054

0,095

0,066

kkr

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0,2-0,1

00,1

0,20,3

0,40,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k kr

21

Processo autoregressivo di 2° ordine

parametri

Stazionarietà

Le radici dell’equazione caratteristica devono essere esterne al cerchio unitario.

Equazione caratteristica

Si dimostra che per soddisfare tale condizione si devono verificare, come vedremo poco sotto (correlogramma) le seguenti disuguaglianze

tsu,0Na,,

azzz

2at21

t2t21t1t

0BB1B 221

1111

2

12

12

22

Le disuguaglianze individuano nel piano

la seguente regione triangolare:

1

0

-1

-2 0 2

Media

Modello completo (con costante )

Si può facilmente dimostrare che

, cioè gli scarti dalla media,

siccome:

Sono anch’essi AR(2), senza costante

21 ,

t2t21t1t aEzEzEzE

21

2t21t1t

1

zEzEzE

tt*t zEzz

21t*t 1zz

12

23

Varianza

Piccolo (1970) ha dimostrato che

varianza

autocov. lag 1,2

e che…… k > 2 , è ottenibile dalla usuale relazione di Yule-Walker

autocov. gen.

Quindi:

autocorr.

02112

12011

222110

a

k

2k21k1k

2j21j1j

2112

2111

24

Correlogramma

Essendo l’eq. cartesiana di 2° grado, infatti:

Il correlogramma può assumere forme più numerose di AR(1), perché le radici possono essere:

• reali e disuguali

• reali e coincidenti

• complesse e coniugate.

La forma del correlogramma dipende dai valori assunti dalle soluzioni dell’equazione Caratteristica. Box & Jenkins hanno dimostrato che in caso di radici reali si ha:

andamenti smorzati

0BB1 221

25

In caso di radici complesse: andamenti sinusoidali smorzati

Autocorrelazione parziale

Box & Jenkins dimostrano che:

Questi due soli valori hanno andamenti diversi a seconda che le radici siano reali o complesse

0,1

, kk21

212

22111

26

-2

-1

0

1

2

3

4

1 10 19 28 37 46 55

t

Zt

t a t z t t a t z t

0 1

10

20

-1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8

0,5 0,5-0,6 1,76-1,576 1,998-0,314 0,988 0,244-0,048 0,039-0,133 0,288-0,799 0,137-0,642-0,488 0,164 0,495 0,104-0,363-0,561 0,164-0,211 1,359-0,957 1,246-1,738 1,092-0,203

30 31

40

50

60

-1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1

-0,861 0,776-0,038 1,678-1,915 1,185-1,494-0,067 1,339-2,116 1,938-1,586 1,84-1,329 0,661 1,439-0,331 1,285-0,237 0,499 0,054 0,568-0,73 3,852-2,057 1,904-0,154 1,574-4,675 2,02-2,247

27

Simulazione di un AR(2)

partenza

Condizioni di stazionarietà:

è quindi stazionario.

Utilizzando scarti normali standardizzati si ottengono i valori tabulati con il relativo andamento grafico.

Poi, utilizzando le relazioni viste per

Si calcoli la funzione di autocorrelazione e dai valori simulati la

campionaria.

t2t1tt az2,0z6,0z

5,0zz 10

si

si

si

12,01

18,0

14,0

12

21

tz

k21 ,,

kr

28

Correlogrammi

Autocorrelazione parziale

k kr k kr k k

1

2

3

4

5

-0,75

0,65

-0,56

0,45

-0,38

-0,68

0,52

-0,24

0,22

-0,15

6

7

8

9

10

0,32

-0,27

0,22

0,19

0,16

0,01

0,10

-0,17

0,18

-0,15

k kr

095,0r;674,0r

2,0;75,0

2211

2211

29

PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q)

Il processo MA(q) è solamente costituito da un numero finito di q termini, cioè:

Introducendo l’operatore B si ha:

che diviene:

Dove

Denota il cosiddetto operatore MA(q).

qtq1t1tt a...aaz

tq

q2

21t aB...BB1z

tt aBz

qq

221 B...BB1B

30

Stazionarietà

Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita, non esistono particolari restrizioni per assicurare la stazionarietà

Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio)

Un MA(q) è invertibile quando le radici dell’equazione caratteristica

sono esterne al cerchio unitario.

Media

Se le hanno media nulla, è nulla pure la media del processo, quindi:

0B...BB1B qq

221

ta

0zE t

31

Autocovarianza, varianza e autocorrelazione

Tenendo conto delle relazioni già viste per il processo lineare si ha:

con k = 1,2,…,q.

Da cui la varianza:

e quindi la autocorrelazione:

Se i valori sono noti, oppure stimati, si possono ricavare i parametri .

Ovviamente essendo non lineare la relazione funzionale, occorre utilizzare metodi iterativi.

qkper0... 2

akqq2k21k1kk

2a

2q

22

210 ...1

qkper0

q,...,2,1k;...1

...2q

21

kqqk1k

k

k...,2,1ii i

32

Si noti che siccome sono

indipendenti da t , MA(q), come prima

visto, è sempre stazionario.

Invertibilità di AR(p) e invertibilità di

MA(q)

Condizione di invertibilità

Tale condizione è molto importante soprattutto a proposito dei modelli MA(q), dal momento che questi ultimi, a differenza degli AR(p), sono caratterizzati dal problema della molteplicità dei modelli.

Invertibilità per AR(p)

Invertendo si ha:

k0k ,,

ttp

p2

21 azB...BB1

tpp

221

t aB...BB1

1z

33

Sviluppando in serie il rapporto evidenziato in rosso si ha:

per cui:

che altro non è (come vedremo fra poco) se non un .

Quindi: un AR(p) è sempre trasformabile in un .

Invertibilità di MA(q)

Sviluppando in serie

Quindi:

che è un

...BB1 22

t22

t a...BB1z

)(MA

)(MA

tt aB

z

...BB1B

1 221

tt2

21 az...BB1

)(AR

34

Il processo MA(q) si dice allora invertibile se i pesi formano una serie convergente e questo si ottiene se e solo se le radici di

sono esterne al cerchio unitario.

La condizione di invertibilità, pertanto, ha per i processi MA(q) la stessa importanza che ha la condizione di stazionarietà per i processi AR(p).

Processo MA(1)

Stazionarietà sempre

Media: se anche:

Varianza

Autocovarianza

i B

1ttt aaz

0aE t 0zE t

220 1 a

1k,0; k2a1

35

Autocorrelazione

Correlogramma

1 1

k k

-1 -1

Una sola ordinata positiva o negativa, a

seconda del segno di .

1,0;1 2

0

11

kk

kk

36

Invertibilità

Si considerino due MA(1), uno con parametro e un altro con , cioè:

Calcoliamo . Si ha:

Quindi i due processi, pur diversi, hanno la stessa , quindi esiste un problema di molteplicità di modelli.

Per risolverlo si consideri:

1

1ttt1ttt a1

azeaaz

k

22121 111

1z;

1z

k

...z1

z1

za

...zzza

2t21ttt

2t2

1ttt

37

Ricorrendo all’operatore B si ha:

Se la prima serie converge, mentre la seconda no.

Allora se si dice che la prima serie è invertibile, mentre la seconda non lo è.

Quindi la condizione assicura l’esistenza di un unico modello MA(1).

Tale condizione equivale a dire che le radici

della equazione caratteristica:

siano esterne al cerchio unitario.

t2

2t

t22

t

z...B1

B1

1a

z...BB1a

1

1

1

0B1

38

Autocorrelazione parziale

Box & Jenkins dimostrano che

Da cui si vede come i coefficienti di autocorrelazione parziale hanno un andamento smorzato, anche con oscillazioni di segno.

Processo MA(2)

Stazionarietà sempre stazionario

Invertibilità

Il processo è invertibile se le radici dell’equazione caratteristica

sono in valore assoluto maggiori di uno.

3,2,1k,

1

11k2

2k

kk

2t21t1tt aaaz

01 221 BB

39

Si dimostra che tale condizione si verifica se:

che individuano il seguente triangolo isoscele

0

-2 -1 2

Media

Se anche

1111

2

12

12

2

1

0zE0aE tt

40

Varianza, autocovarianza, autocorrelazione

Radici reali

correlo-

gramma

Radici complesse

00

1

11

kk

2a22

22

21

22

2a2111

22

21

2111

2a

22

210

01 01

01 01

41

Autocorrelazione parziale espressione formale in Anderson

Radici reali:

Radici complesse:

42

Principio di dualità tra AR(p) e MA(q)

1)

2) Un AR(p) può essere sempre espresso come

una media mobile di infiniti termini, cioè

Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè

.

3) I coefficienti di autocorrelazione totale di un MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale di un AR(r ).

Stazionarietà invertibilità

MA incondizionata

Le radici dell’eq.

devono essere esterne al cerchio unitario

AR

Le radici dell’eq.

devono essere esterne al cerchio unitario

incondizionata

0B

0B

)(MA

)(AR

k

kk

43

I coefficienti di un MA(r) si comportano

in modo analogo ai coefficienti di un

AR(r)

Esempi: AR(1) MA(1)

AR(2) MA(2)

kk

k

kk

kk kk

k k

kk kk

44

Processo ARMA(pq)

(*)

residuo o “innovazione” , indipend.

Se non segue tali ipotesi, ma invece si comporta come una media mobile di ordine q e quindi risulta:

Sostituendo in (*) si ha:

( )

che è un processo misto autoregressivo di ordine p, con media mobile di ordine q, cioè un ARMA(pq).

tptp1t1t az...zz)p(AR

2,0N

ta

qtq1t1t a...aa

qtq1t1t

ptp1t1t

a...aa

z...zz

45

Usando l’operatore B si ottiene:

dove

Stazionarietà

Per la condizione di stazionarietà della componente AR(p), le radici dell’equazione

devono essere esterne al cerchio unitario.

Invertibilità

Analogamente, per MA(q) le radici di

devono anch’esse essere esterne al cerchio unitario.

tt aBzB

qq

221

pp

221

B...BB1B

B...BB1B

0B...B1B pp1

0B...B1B qq1

46

Media

Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente anche una costante :

da cui:

Per cui se

Autocovarianza

Si indichi con la covarianza tra e

, quindi:

qtq1t1t

ptp1t1t

aE...aEaE

zE...zEzE

p1

t ...1zE

0zE,0 t

kaz tz

ta

aazzEk tktaz

47

Moltiplicando ( ) per e considerando la media, si ha:

( )

Siccome dipende dai valori generati fino a j = t-k , segue che:

Quindi se k>q le e allora la

relazione ( ) si riduce a:

ktz

qk,qk

1kk...

azq

az1azpkp1k1k

ktz ja

0j,0zaE

0j,0zaE

jtt

jtt

0za

pkp2k21k1k ...

48

Varianza per k=0

Autocorrelazione

Autocorrelazione parziale

Se ARMA(pq) è invertibile,

Siccome la serie è infinita, anche l’autocorrelazione parziale è infinita, con un andamento simile all’autocorrelazione parziale di un MA(q).

q

...1...

azq

az12app110

pkp2k21k1k ...

tt zB

Ba

B1

49

Modelli Box & Jenkins per serie non stazionarie in media (modelli ARIMA)

Quando le condizioni di stazionarietà richieste per i modelli BJ non sono presenti si possono avere due forme di non stazionarietà:

quella esplosiva

quella omogenea

Si ha la prima quando almeno una radice dell’equazione caratteristica è in modulo < 1.

Si ha la seconda quando almeno una delle radici dell’equazione caratteristica è unitaria (cioè sul cerchio di raggio unitario).

I fenomeni socio-economici ben difficilmente presentano non stazionarietà esplosiva, limitandosi a forme omogenee, così dette perché a parte variazioni nel livello e/o nell’andamento di fondo (trend), la serie è di tipo stazionario.

50

In altri termini la serie non è temporaneamente costante nel suo livello medio, ma comunque tende a disporsi stabilmente intorno a tale livello medio.

Trasformazioni stazionarizzanti.

Una serie storica in cui è presente una non stazionarietà omogenea è facilmente trasformabile in una di tipo stazionario prendendo un adeguato numero di differenze successive.

Esempio:

non stazion. omogenea

stazion.

tz

1tt

t

zz

z

51

Un possibile modo di rappresentare una serie storica non stazion. omogenea è introdurre in un modello ARMA(pq) un operatore alle differenze finite di ordine opportuno.

Integrando le componenti AR(p) e MA(q) con la componente I(d) si ha il modello ARIMA(p,d,q).

Per definire formalmente tale modello si deve prima definire l’operatore autoregressivo generalizzato

che è un polinomiale di grado p+d con d radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori di 1.

Pertanto:

dpdp

221 B...BB1B

dp

p2

21

dpdp

221

B1Br1,...,Br1Br1

Br1,...,Br1Br1B

52

Questo perché d radici sono unitarie.

I fattori della parte destra dell’equazione meno l’ultimo sono niente altro che l’operatore di un AR(p) stazionario.

Quindi:

Cioè:

*

che scritto per esteso diviene:

B

dB1BB

t

td

td

t

aB

zB

zB1BzB

qtq1tt

dptdp1tt

a...aa

z...zz

53

Pertanto se

La * diviene:

che altro non è se non un ARMA sulle differenze di ordine d dei valori .

Quindi sostituendo con il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile si riduce ad un ARMA(pq) sulla variabile .

Allora il processo non stazionario è esprimibile come combinazione del processo stazionario e dell’operatore alle differenze .

Tale combinazione determina il processo integrato ARIMA(p,d,q) che pertanto è parte di una classe di processi più ampia di quelli ARMA che da essa discendono.

td

t zw

tt aBwB

tz

td z tw

tz

tw

B

B dd B1

54

La terminologia “integrato” deriva poi dalla seguente notazione:

siccome abbiamo definito

ed evidentemente

Allora:

cioè la serie risulta essere la somma di tutte “le variazioni“ del fenomeno fino al tempo t compreso.

Ciò determina, in analogia con le funzioni continue, una sorta di integrazione sulla variabile .

Il processo ARIMA(p,d,q) è poi caratterizzato dall’essere di tipo “omogeneo”, indipendente cioè dal livello assunto da .

1ttt zzw

...zzzzz 2t1t1ttt

...wwwz 2t1ttt

tz

tw

tz

55

Si aggiunga infatti nel modello che esprime

una costante arbitraria a tutti i termini fino a quello di ordine t-1 ; in altri termini:

che è come dire:

Cioè con l’aumento di tutti i termini della costante c, anche risulta aumentato di c.

Quindi una serie non stazionaria ma omogenea si comporta come una serie stazionaria, poiché il suo andamento è indipendente dal livello della serie.

tz

qtq1t1

t2tptp

2t1t11tt

a...a

aczcz

...czczczz

c

a...aa

zz...zzz

z

qtq1t1t

1ptptp2t1t11t

t

tz

56

Casi particolari di ARIMA(p,d,q)

Assegnando valori particolari ai parametri si determinano casi di notevole interesse applicativo.

caso completo ARIMA(1,1,1)

Modello:

riscrivibile come

Il grafico che segue è relativo ad una configurazione simulata con e

; la riproduzione di configurazioni empiriche di carattere socio-economico è abbastanza evidente.

t1t1 aB1zB1

t1t1 aB1wB1

8,01

4,01

57

t

Caso incompleto ARIMA(1,1,0) ARI

Modello

Una rappresentazione simulata, con

mostra anch’essa l’aderenza a possibili configurazioni empiriche.

tz

tt1 azB1

3,0

58

caso incompleto ARIMA(0,1,1) IMA

Modello

caso incompleto con costante

Se in un ARIMA(p,d,q) le differenze prime:

sono stazionarie, la presenza di una costante in AR provoca una media diversa da 0 data da:

6,0

aB1z

1

t1t

1ttt zzw

p21

t ...1wE

59

Se ciò significa che la media delle differenze prime tende a crescere o a decrescere.

Quindi la costante introduce un trend crescente o decrescente

Modello ARIMA(1,1,1) con e

parametri .

Ponendo nella * :

0

5,0

8,03,1 11

tt

td

t

aBwB

zw

60

Che è un ARMA applicato alle differenze di ordine d degli , invece che ai valori

medesimi.

In altri termini, sostituendo con , il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile

si riduce ad un processo ARMA(p,q) applicato alla variabile .

In questo modo il processo non stazionario è espresso in funzione dell’operatore stazionario e dell’operatore alle differenze finite .

Ovviamente la classe di modelli ARIMA(p,d,q), essendo ancor più generale di quella ARMA, include gli stessi.

tz tz

tdz tw

tz

tw

B dd B1