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Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015
1. Matrizes.
1. De um exemplo, em cada alınea, de uma matriz A = [aij ]m×n com:
(a) m = 3, n = 2 cuja soma das entradas principais seja 10.
(b) m = n = 4 com a23 6= a32 e a14 = a41.
(c) m = n = 3 tal que aij = i+ j.
(d) m = 3, n = 4 com aij =
1, i < j
2, i = j
3, i > j
.
(e) m = 2, n = 5 com a1j = −3a2j .
(f) m = 5, n = 2 tal que aij =
{1, i+ j ımpar
2, i+ j par.
2. Se possıvel, de um exemplo de uma matriz A de ordem 3:
(a) triangular superior com apenas 4 entradas nao nulas.
(b) triangular inferior com apenas 4 entradas nulas.
(c) diagonal com apenas 2 entradas nao nulas.
(d) escalar com apenas 2 entradas nao nulas.
3. Determine as matrizes transpostas dos exercıcios anteriores e indiques as que sao simetricas.
4. Considere as matrizes
A =
3 1 0 −2
1 1 −1 2
0 1 1 0
, B =
1 0 4 2
−1 2 −1 2
2 2 1 −1
e C =
0 0 1 −2
−2 −2 −1 1
2 2 1 −1
.(a) Indique:
i. aij , i ≥ j.ii. bij , i < j.
iii. cii.
iv. i e j tais que aij = bij = cij .
(b) Determine:
i. A+B.
ii. (A+B) + C.
iii. A+ (C +B).
iv. −B e −(−B).
v. −3A− 3B.
vi. (2A+ 2B) + 2C.
vii.1
2C.
(c) Determine a matriz X tal que:
i. A+X = 03×4.
ii. A− 2X = X −B.
1
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5. Considere as matrizes
A =
[1 2 3
0 2 −1
], B =
1 2 −1 0
1 1 −1 1
2 1 0 2
, C =
2
−1
2
3
, D = CT e E = I2.
Sempre que seja possıvel, determine os produtos:
(a) AB, AE, EA, e BC.
(b) (AB)C e A(BC).
(c) DDT e DTD.
6. Considere as matrizes
A =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, B =
−1 0 2
0 1 −2
1 −1 0
, C =
1 1 1
1 1 0
1 0 0
e D =
0 0 1
0 1 −1
1 −1 0
.Determine:
(a) AB, BA, AC, CD, DC e B2.
(b) BTB e BBT .
(c) BAAC e (BC)D.
(d) A(2B), (−A)(−B) e (−2A)(3B).
(e) (A+D)C e A(B + C).
7. Considere as matrizes
A = [aij ]3×4, aij =
1, i = j
2, i 6= j, i+ j par
i+ j, i 6= j, i+ j ımpar
e B =
1 2 −1 3
1 0 1 0
−2 −1 0 1
.Se for possıvel, determine:
(a) A− 2B. (b) AB. (c) ABT .
8. Diga, justificando, se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas para as matrizes:
A =
−3 −5 −4
−5 8 −7
−4 −6 −9
, B =
0 −1 1
−1 1 0
1 0 0
e C =
[ √32
12
− 12
√32
].
(a) A e uma matriz simetrica.
(b) A entrada (1, 3) de (−7A)(2B) e 29.
(c) B e uma matriz triangular superior.
(d) A2 =
9 25 16
25 64 49
16 36 81
.
(e) C e uma matriz invertıvel tal que C−1 = CT .
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9. Diga, justificando, se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas:
(a) as entradas de uma matriz em forma condensada sao sempre 0 ou 1.
(b) as matrizes
1 2 3
0 0 4
0 0 1
0 0 0
e
0 1 0 1 2 4 −2
0 0 0 0 3 0 4
0 0 0 0 0 1 8
0 0 0 0 0 0 6
estao em forma de escada.
(c)
([2 1
−2 −1
][1 −3
−2 6
])= 0 e
1 2 3
0 0 4
0 0 1
0 0 0
= 3.
(d)
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
4 0 1
1 0 0
0 1 0
0 5 1
=
1 0 0
2 1 0
4 5 1
=
1 0 0
0 1 0
0 5 1
1 0 0
0 1 0
4 0 1
1 0 0
2 1 0
0 0 1
.
10. Verifique se cada uma das seguintes matrizes e invertıvel:
(a)
[ √32
12
− 12
√32
]. (b)
1 0 0
0 1 0
0 −4 1
. (c)
5 0 0
0 18 0
0 0 −19
.
(d)
1 2 3
0 1 4
0 0 1
(e)
5 0 0
0 18 0
0 −4 −19
. (f)
1 2 3
1 6 8
0 0 6
.
11. Coloque as seguintes matrizes em forma de escada, em forma condensada e determine a sua caracterıstica:
(a)
1 2 3
0 0 4
0 0 1
0 0 0
. (b)
0 1 0 1 2 4 −2
0 0 0 0 3 0 4
0 0 0 0 0 1 8
0 0 0 0 0 0 6
. (c)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
.
(d)
0 0 0
0 0 0
2 2 2
0 4 8
. (e)
0 0 0 1 −2
0 −2 −3 −5 1
0 2 3 1 −1
0 2 3 5 −1
. (f)
1 1 1 1 1
2 0 2 2 2
3 3 0 3 3
4 4 4 0 4
5 5 5 5 0
.
12. Efectue a decomposicao LU das seguintes matrizes:
(a)
2 2 7
1 3 3
−2 −5 1
. (b)
6 −2 0
9 −1 1
3 7 5
. (c)
1 2 1 −1
2 −1 −3 −2
4 1 2 −4
3 3 −1 −3
.
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2. Sistemas de equacoes lineares.
13. Considere o sistema de equacoes lineares x− y + z + w = 3
2x− 2y + 3w = 2
x+ z + w = −1
(a) Verifique se (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) e (−6,−4, 3, 2) sao solucoes do sistema.
(b) Classifique o sistema.
(c) Resolva o sistema pelo metodo de eliminacao Gauss-Jordan e indique a solucao geral.
14. Equacione e resolva os seguintes problemas:
(a) Sabendo que uma caneta, 5 cadernos e uma borracha custam 14 euros, duas caneta e duas borrachas
custam 5 euros e uma caneta, tres cadernos e cinco borrachas custam 13 euros, quanto custa cada caneta,
cada caderno e cada borracha?
(b) Determine os coeficientes da funcao y = ax3 + bx2 + cx + d que passa pelos pontos de coordenadas
(−1, 0), (0, 1), (1, 0) e (2, 3).
15. Determine a solucao geral dos seguintes sistemas utilizando um dos metodos de eliminacao dados nas aulas
teoricas:
(a)
x− y + z = 3
2x− 2y + 2z = 3
x+ y + z = −1
(b)
2x− 2y + z = 3
2x− 2y + 2z = 3
x− 2y + z = 3
(c)
x− y − 3z + 4w = 1
x+ y + z + 2w = −1
−y − 2z + w = 1
x+ 2y + 3z + w = −2
(d)
3x− 2y + 5z + w = 1
x+ y − 3z + 2w = 2
6x+ y − 4z + 3w = 7
(e)
x− 2y + 3z = −2
x− 3y − z = 7
3x− 7y + 6z = 4
(f)
2x− 4y + 6z = −4
x− 3y − z = 7
3x− 7y + 5z = 3
(g)
2x+ 3y − 3z = 2
x− 2y + z = 0
3x+ 8y − 7z = 4
2x+ 10y − 8z = 4
(h)
−x+ 2y − z = 0
2x− y + z = 2
3x+ z = 4
4x+ y + z = 5
(i)
4x− y + 3z − t = −4
3x+ 2y − z + 2t = −8
x+ 2y − t = 1
−x+ z − 2t = 6
16. Determine a solucao geral dos sistemas homogeneos associados relativamente aos sistemas do exercıcio 15.
17. Considere o sistema de equacoes lineares x+ 2y + z = 3
−3x− 6y + 8z = 2
4x+ 8y − 5z = 3
(a) Verifique se (1, 1, 0) e (−4, 3, 1) sao solucoes do sistema.
(b) Determine a solucao geral do sistema homogeneo associado.
(c) Utilize as alıneas anteriores para indicar a solucao geral do sistema completo.
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18. Sejam A =
2 1 β
0 2 0
0 0 2β + β2
e B =
β
−2
β + 2
. Determine β tal que o sistema AX = B:
(a) tenha solucao(12 ,−1, 1
).
(b) seja impossıvel.
(c) seja possıvel e indeterminado (qual e o grau de indeterminacao?).
(d) seja possıvel e determinado.
19. Classifique os seguintes sistemas em funcao do parametro α ∈ R:
(a)
x+ y + z = −2
x− y + z = 3
x+ z = 12
3x− y + 3z = α
(b)
x+ 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x+ y + (α2 − 14)z = α+ 2
20. Se possıvel, complete A =
1 −1 2
−1 2
2
e B =
1
1
de modo que o sistema AX = B:
(a) seja impossıvel.
(b) seja possıvel e determinado.
(c) seja possıvel e indeterminado (qual e o grau de indeterminacao?).
(d) tenha solucao (−1, 1, 1, 1).
21. Sem recorrer a metodos de eliminacao, determine a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:
(a)
1 0 0
0 1 0
0 −4 1
. (b)
5 0 0
0 18 0
0 0 −19
. (c)
1 2 3
0 1 4
0 0 1
.
(d)
5 0 0
0 18 0
0 −4 −19
. (e)
1 2 3
0 4 5
0 0 6
. (f)
1 2 3
1 6 8
0 0 6
.
22. Considere a matriz A =
1 1 1
1 2 3
−1 −2 k
, k ∈ R.
(a) Determine os valores de k para os quais a matriz A e invertıvel.
(b) Determine A−1 para k = 0.
23. Se possıvel, determine as inversas das seguintes matrizes:
(a)
[2 1
1 2
]. (b)
1 0 0
1 1 0
1 1 1
. (c)
1 0 1
1 1 0
−3 −4 1
. (d)
2 0 2 2
1 1 1 1
3 3 0 3
−2 −2 −2 0
.
24. Resolva, com a decomposicao LU, os sistemas Ax = b, com A as matrizes do exercıcio 12 e b os vectores
(a)[
7 1 4]T
, (b)[−2 −2 2
]T, (c)
[3 −4 3 2
]T, respectivamente.
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3. Determinantes.
25. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
(a)
[−1 2
−3 3
]. (b)
[−1 1
1 −1
]. (c)
2 0 0
4 1 0
2 −3 −3
.
(d)
3 2 −1
0 2 −3
2 6 −7
. (e)
1 2 3
3 1 −1
2 −1 2
. (f)
1 2 3 0
2 6 6 1
−1 0 0 3
0 0 0 0
.
(g)
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 1
0 0 −1 −2
. (h)
0 0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 0 0
. (i)
1 2 3 4 5 6
1 0 3 4 5 6
1 2 0 4 5 6
1 2 3 0 5 6
1 2 3 4 0 6
1 2 3 4 5 0
.
26. Usando determinantes, determine para que valores α, β ∈ R as seguintes matrizes sao invertıveis:
(a)
[1 + α α
α 1− α
]. (b)
[α+ 1 2
α α− 1
]. (c)
α 0 3α
0 1 −3
1 0 2β
.
27. Calcule o determinante das seguintes matrizes atraves do Teorem de Laplace:
(a)
2 0 π 0 0
−2 2 95 0 2
4 5 5 −2 54π
−1 1 π 0 0
π 0 −2 0 0
. (b)
1 −1 0 1 1
−1 2 0 1 −1
1 0 1 0 −1
1 1 2 1 0
0 1 1 1 −1
. (c)
3 1 2 −1
1 2 1 3
4 1 2 5
3 −2 1 9
.
(d)
1 −1 1 0 1 1
0 1 2 1 0 1
−1 2 1 2 1 −1
1 0 1 −1 2 0
1 1 1 1 1 1
−1 0 1 0 1 −1
.
28. Calcule o determinante da matriz
A =
[cos (θ) sen (θ)
−sen (θ) cos (θ)
]e o determinante da matriz transposta de A.
29. Seja A = BC em que as matrizes B e C sao:
B =
[−1 2
−3 3
]C =
[−1 −1
1 −1
]. Verifique que detA = detB × detC.
30. Sabendo que para quaisquer matrizes invertıveis A, B e C, com A = BC, a relacao detA = detB × detC e
verdadeira, mostre que detA−1 =1
detA.
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4. Produtos interno, externo e misto.
31. Para cada um dos pares de vectores
(i) u = (0, 1,−2,−1) e v = (2,−1, 0, 3)
(ii) u = (1,−1, 2, 2, 3) e v = (−2, 0, 2, 1, 1) ,
determine:
(a) u · v.
(b) ‖u‖ e ‖v‖ .
(c) cos] (u, v) .
32. Se possıvel de exemplos de:
(a) Dois vectores de R5 cujo produto interno seja −5.
(b) Um vector de R4 cuja norma seja√
5.
(c) Dois vectores em R5 cujo angulo seja π.
(d) Dois vectores em R6 cujo angulo sejaπ
2.
(e) Tres vectores u, v e w de R5 tais que u · v = 2, u · w = −1 e u · (v + w) = 3.
33. Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:
(a) (1, 2, 0,−1) · (−2, 0, 1, 3) = . . . . . . . . . . . . .
(b) ‖(1, 2, 0,−1)‖ = . . . . . . . . . . . . e ‖(−2, 0, 1, 3)‖ = . . . . . . . . . . . .
(c) cos] ((1, 2, 0,−1) , (−2, 0, 1, 3)) = . . . . . . . . . . . .
(d) Os vectores (1, 2, 0,−1) e (−2, 0, 1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ortogonais.
34. Sejam u = (4, 1, 2, 3) , v = (0, 2, 1,−2) e w = (3, 1, 0, 2) . Calcule:
(a) u · v(c) u · w(e) v · w(g) (−v) · (−w)
(i) ‖u‖ , ‖v‖ e ‖w‖(l) (2v − w) · (3u+ 2w) .
(n) ‖−2u‖+ 3 ‖v‖(p) cos] (v, w) .
(r) Um vector ortogonal a v
(b) v · u(d) u · (3w)
(f) (−v) · (2w)
(h) u · (v + w)
(j) (u+ v) · (w + v)
(m) ‖u+ v‖ e ‖u‖+ ‖v‖ .(o) ‖−2u+ 3v‖(q) cos] (u, v) .
(s) Um vector ortogonal a v e a w
35. Sejam u,v e w vectores de Rn, tais que
u · v = 3, v · w = 3, u · w = 1, ‖u‖ = 1, ‖v‖ =√
13 e ‖w‖ =√
5.
Calcule:
(a) w · v(c) (−w) · (2v)
(e) (u+ v) · (w + v)
(g) ‖u+ v‖ e ‖u‖+ ‖v‖ .(i) ‖−2u‖+ 3 ‖v‖(k) cos] (u, v) .
(b) (2w) · (−3w) .
(d) (−v) · (−w)
(f) (2v − w) · (3u+ 2w)
(h) ‖−2 (u+ v)‖(j) ‖−2u+ 3v‖(l) cos] (v, w)
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36. Considere em R5 as afirmacoes:
(a) ‖(−1, 0, 2,−1, 3)‖ =√
15.
(b) ‖−2 (−1, 0, 2,−1, 3)‖ = −2√
15.
(c) ∀ (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5, (x1, x2, x3, x4, x5) · (x1, x2, x3, x4, x5) ≥ 0.
(d) (1, 2, 0,−1, 1) · (1, 2, 0,−1, 1) = 0
A lista correcta das afirmacoes verdadeiras e:
�(b) e (d) �(a), (b) e (c) �(a) e (b) �(a) e (c)
37. Sejam u e v vectores de Rn, satisfazendo u · v = 2, ‖u‖ = ‖v‖ =√
3. Entao ‖−4 (u+ 2v)‖ =
�4√
23 �12√
3 �0 �− 4√
23
38. Diga, justificando, se e verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmacoes:
(a) Se u e v sao dois vectores ortogonais de Rn, entao αu e βv tambem sao ortogonais, para quaisquer
numeros reais nao nulos α e β.
(b) Se {u, v, w, z} e um conjunto ortogonal em Rn, entao (u+ w) · (v + z) = 0.
(c) Se u e v sao vectores de Rn tais que ‖u‖ = ‖v‖ = 1, entao ‖u+ v‖ = 2.
(d) Se u, v e w sao vectores de Rn tais que u e ortogonal a v e v ortogonal a w, entao u e ortogonal a w.
39. Verifique que o conjunto de vectores {(2,−2, 1) , (2, 1,−2) , (1, 2, 2)} e ortogonal e transforme-o num conjunto
ortonormado por normalizacao dos vectores.
40. Determine para que valores de λ ∈ R sao ortogonais os seguintes pares de vectores:
(a) u = (1, 2,−1, 3) e v = (3, 2, λ− 5,−1) .
(b) u = (2, 0, 3, 0, 1) e v = (0, 0, λ+ 1, λ, λ− 2) .
41. Determine o conjunto dos vectores de R5 simultaneamente ortogonais a u = (1, 0, 1, 0, 1) , v = (0, 1, 0, 1, 0) e
w = (1, 1,−1, 1, 1) .
42. Sejam, em R4, u = (−1, 1, 0, 2) e v = (2, 0,−2, 1) .
(a) O conjunto dos vectores simultaneamente ortogonais a u e v e:
�
{(x, y, z, w) ∈ R4 : x =
1
2z − 1
2w e y =
1
2z − 5
2w
}
�
{(x, y, z, w) ∈ R4 : x =
1
2z − 1
2w e y = −1
2z +
5
2w
}
�
{(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z − 1
2w e y = z − 5
2w
}
�
{(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z +
1
2w e y = −z − 5
2w
}(b) Complete de modo a obter uma afirmacao verdadeira:
O conjunto {(−1, 1, 0, 2) , (2, 0,−2, 1) , ( , , , 2)} e ortogonal.
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43. Para cada um dos grupos de vectores
(i) u = (1, 0, 0) , v = (0, 1, 0) , w = (0, 0, 1)
(iii)u = (3, 2,−1) , v = (0, 2,−3) , w = (2, 6, 7) .
(ii) u = (0, 0, 2) , v = (1, 0, 4) , w = (2, 1, 0) .
(iv)u = (1, 2, 4) , v = (1, 2, 4) , w = (−1, 2, 5) .
determine, se possıvel:
(a) (0, 0, 0)× v.
(b) w × (0, 0, 0) .
(c) u× v.
(d) u× w.
(e) v × w.
(f) v × u.
(g) w × u.
(h) w × v.
(i) (u+ w)× v.
(j) u× (v + w) .
(k) a equacao de um plano com a direccao de u e w e que passe pela origem.
(l) a equacao de um plano com a direccao de v e w e que passe pelo ponto de coordenadas (1, 2, 3).
(m) a area do paralelogramo definido por u e v.
(n) a area do paralelogramo definido por v e w.
44. Considere os vectores:
(i) u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1)
(ii) u = (1, 2, 3), v = (0,−9, 4), w = (0, 0, 5).
(iii) u = (3, 2,−1), v = (0, 2,−3), w = (2, 6, 1) .
(iv) u = (1, 2, 4), v = (3, 4,−2), w = (2, 4, 8) .
Para cada conjunto u, v e w, determine, se possıvel:
(a) u · (v × w)
(b) (u× v) · w
(c) o volume do paralelipıpedo definido por u, v e w.
45. Sejam u = (−1, 2,−2), v = (0, 5,−3) e w = (0, 0, 7) . Entao:
(a) u× v =
� (0, 10, 6) � (8,−8,−6) � (0, 3, 16) � (4,−3,−5)
(b) O volume do paralelipıpedo definido por u, v e w e:
�− 42 �− 35 �35 �42
(c) A equacao geral do plano com a direccao de u e v e que passa pelo ponto de coordenadas (1, 0,−1) e:
�4x− 3y − 5z = 9 �8x− 8y − 6z = 0 �4x− 3y − 5z = 0 �8x− 8y − 6z = 14
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 10
5. Complementos de calculo diferencial.
46. Usando as regras de derivacao, calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:
(a) x5 (b) x5 + 5
(c) 5− x5 (d) 3x5
(e)3√x7 (f)
13√x7
(g)3
73√x7
(h) 3 tanx
(i) xex (j) sinx cosx
(k) 2 lnx (l) x4 − 2x3 − 3x2 − 4x− 5
(m)1
x4+
2
x3+
3
x2+
4
x+ 5 (n)
3x
x− 1
(o)x
x2 + 1(p) tan (
√x)
(q) cot(−3x) (r) (x+ 1)2
(s)3x
(x+ 1)2 (t) 3x
(u) 3cos x (v) ln (2x)
(w) ln (ax) , a ∈ R\ {0} (x) e2x
(y) eax, a ∈ R\ {0} (z)ex − 1
ex+1
47. Sendo f (x) =√x, g (x) = x2, h (x) = cosx calcule:
(a) f ′ (b) g′
(c) h′ (d) (f + h)′
(e)
(−2f +
1
3g − 5h
)′(f) (f.h)
′
(g) (h.h)′
(h)
(f
h
)′(i)
(h
f
)′(j) (g ◦ f)
′
(k) (g ◦ h)′
(l) (f ◦ h)′
(m) (f ◦ g)′
(n) (h ◦ f)′
(o) (h ◦ g)′
(p) (f ◦ f)′
(q) (g ◦ g)′
(r) (h ◦ h)′
(s) (g ◦ h ◦ f)′
(t) (ln g)′
(u) (lnh)′
(v) (cot h)′
(w)(eh)′
(x) (eg)′
(y) (g (lnx))′
(z) (f (eg))′
′
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 11
48. Usando as regras de derivacao, calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:
(a)(x+ 5)
3
x+ 2(b)
√x+√x
(c)tan
(x2
)+ cot
(x2
)2
(d)tan
(x2
)+ cot
(x2
)x
(e) (1 + 3√x)
3(f) ln (cosx)
(g) sin (lnx) (h) esin x
(i)(sin2
(x3 + 1
)) (x2 + 2
)(j)√x2 − 1 + ln
(x3 − x
)(k) sin (cos (tanx)) (l) ln
(x2 − 1
)(m)
ex + e−x
2(n) ln
(1 + x
1− x
)(o)
ln (1 + 2x)
x(p)
x+ 1
x4 − 3x2 + 2x
(q) x sin
(1
x
)(r) e1−x +
π
4
(s) tan(π
4x)− π
2(t)
tan(ln(x2))
tan(π
4
) +2
e cos (π)
49. Calcule:
(a) arcsin
(√3
2
)
(c) arctan (−1)
(e) sin (arcsin (0.7))
(g) arctan(
tanπ
3
)(i) arcsin (cos 45o)
(k) cos
(arctan
1
2
)(m) sin2 (arcsin 0.2)
(b) arccos
(−1
2
)(d) arccot (1)
(f) cos (arcsin (0.7))
(h) arccot(
cotπ
4
)(j) arcsin (cos 40o)
(l) tan (arctan 1125)
(n) sin (arccos 0.35)
50. Usando o teorema da derivada da funcao inversa, determine:
(a) (arccosx)′
(b) (arctan x)′
(c) (arccot x)′
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 12
51. Usando formulas trigonometricas, simplifique as expressoes:
(a) sin (arccosx)
(b) cos (arctanx)
(c) tan (arccosx)
52. Para α ∈ R,
(a) arcsin (cosα) =
�α �π
2− α �
√1− α2 �π − α
(b) tan (arctanα) =
�α �π
2− α �
√1− α2 �π − α
53. cot (arcsinx) =
�x√
x2 + 1
�
√1− x2x
�1√
x2 + 1
�x√
1− x2
54. Usando as regras de derivacao, calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:
(a) 2 arcsinx
(c)arcsinx
3
(e) arcsin 2x
(g) arcsin(x8)
(i) arcsin
(x− 2
3
)(k) x arcsinx
(m) ln (arcsinx)
(o) arcsin
(1
x
)(q) −1
3arctanx
(s)√x arctanx
(u) x arctan ex
(w) arccot(x3)
(y)arccotx
x
(b) − arccosx
(d) −2 arccosx
21
(f) arccos(x2 − 3x
)(h) (arcsinx)
8
(j) arccos
(x− ba
), para a, b ∈ R.
(l) x2 arccosx
(n) (ln (arcsinx))5
(p)1
xarccos (x)
(r) arccot(−x
3
)(t) arctan ex
(v) ex arctanx
(x)√
arccot (x3)
(z) arccot( ax2
), a ∈ R,
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 13
6. Integracao.
55. Diga, justificando, se e verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmacoes:
(a) Se g (x) e uma primitiva de f (x), entao g′ (x) = f (x).
(b) Se g1 (x) e g2 (x) sao primitivas da mesma funcao, entao g1 (x) = g2 (x) .
(c) Uma funcao primitivavel tem um numero infinito de primitivas.
(d) Uma funcao contınua num intervalo I e primitivavel nesse intervalo.
(e) Duas primitivas de uma mesma funcao diferem por uma constante.
(f) Se g (x) e uma primitiva de f (x), entao, para qualquer k ∈ R, kg (x) e uma primitiva de de kf (x).
(g) Se g1 (x) e g2 (x) sao, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), entao (g1 + g2) (x) e uma primitiva
de (f1 + f2) (x) .
(h) Se g1 (x) e g2 (x) sao, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), entao (g1g2) (x) e uma primitiva de
(f1f2) (x) .
Em todos os exercıcios que se seguem, as funcoes consideram-se definidas em intervalos reais
nas quais sejam primitivaveis.
56. Para k ∈ R:
(a)∫
1dx =
�k �x �x+ k �0
(b)∫xdx =
�1 �x2 + k �x2
2�x2
2+ k
(c)∫
sinxdx =
� cosx+ k �− cosx+ k � sinx+ k �x2
2+ k
(d)∫t2dt =
�2t+ k �t3 + k �t3
3+ k �3t+ k
(e)∫etdt =
�et �et
2+ k �et + k �tet−1 + k
(f)∫ 1
tdt =
�− 1
t2+ k � ln t+ k � ln |t|+ k �− t−1 + k
(g)∫ 1
1 + t2dt =
� arctan (1 + t)2
+ k �− 1
t+ 1+ k � ln
(1 + t2
)+ k � arctan t+ k
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57. Encontre a expressao geral das primitivas de cada uma das seguintes funcoes:
(a) f (x) = 0
(c) f (x) = a (a ∈ R)
(e) f (x) = 9x
(g) f (x) = ax+ b (a, b ∈ R)
(i) f (x) = 7x2 − 9x+ 5
(k) f (x) = x13
(m) f (x) = 5x8
(o) f (x) =1
x7
(q) f (x) = 7x−135
(s) f (x) =√x+
1√x
(u) f (x) =1
x lnx
(w) f (x) = 3x
(y) f (x) = e−x5
(b) f (x) = 3
(d) f (x) = x
(f) f (x) = 9x+ 4
(h) f (x) = x2
(j) f (x) = ax2 + bx+ c (a, b, c ∈ R)
(l) f (x) = x1317
(n) f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x+ 6
(p) f (x) =1
x5+
2
x4+
3
x3+
4
x2+
5
x+ 6
(r) f (x) =17√x13
(t) f (x) =x3 + x2 + x
x5
(v) f (x) =7
5√x13
(x) 2 sinx− 3 cosx
(z) f (x) = eax (a ∈ R)
58. Em cada alınea, determine a primitiva da funcao f (x) = 2x:
(a) que para x = −1 toma o valor 4.
(b) cujo grafico passa pelo ponto de coordenadas (0,−2)
Interprete geometricamente os resultados obtidos.
59. Em cada alınea determine a funcao f cuja derivada e f ′ e cujo grafico passa no ponto Q definido pelas suas
coordenadas:
(a) f ′ (x) = 2 sinx− 3 cosx; Q
(π
4,
3√2
).
(b) f ′ (x) =1
x; Q (5, 0) .
(c) f ′ (x) =x
x2 + 1; Q (0, 5) .
(d) f ′ (x) = 2x (x+ 1) ; Q (2, 0) .
(e) f ′ (x) = −3 + x2 + x3; Q (1, 5) .
60. Determine a funcao f (x) tal que f ′′ (x) = x− e−2x, f ′ (0) = −1 e f (0) = 0.
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61. Calcule o conjunto das primitivas de cada uma das seguintes funcoes:
i. f (x) = −2xe−x2
iii. f (x) = tanx
v. f (x) =cosx− sinx
sinx+ cosx
vii. f (x) =1
1 + 3x2
ix. f (x) =a
b+ cx2, (a, b, c ∈ R)
xi. f (x) =x
1 + 4x2
xiii. f (x) =2 cosx
1 + sinx
xv. f (x) =2 sinx
(1 + cosx)3
xvii. f (x) =
√3√
1− 3x2
xix. f (x) =1√
4− 5x2dx
xxi. f (x) =1
x ln2 x
xxiii. f (x) =1
ex + e−x
xxv. f (x) = sin2 x
ii. f (x) = xe−x2
iv. f (x) = cotx
vi. f (x) = − 5
1 + x2
viii. f (x) =5
2 + 3x2
x. f (x) =2x
1 + x2
xii. f (x) =x
(x2 + 1)2
xiv. f (x) =1− cosx
sin2 x
xvi. f (x) = ex cos (ex)
xviii. f (x) =1√
1− 4x2
xx. f (x) =x√
1− 2x4
xxii. f (x) =sin√x√
x
xxiv. f (x) = cos2 x
62. Se possıvel. de exemplos de:
(a) Duas primitivas da funcao f (x) = ex
(b) Uma funcao cuja derivada seja o dobro dela propria.
(c) Duas funcoes f e g tais que P (fg′) = fg − P (f ′g)
63. A funcao f (x) = eax, a ∈ R, admite como primitiva:
�a
eax�aeax �
eax
a�eax
64. A funcao f (x) =1
bx, b ∈ R admite como primitiva:
� ln bx �1
blnx � ln
1
bx�b lnx
65. P
(1√x3
)=
�1√3x2
+ k, k ∈ R
�− 2√x
+ k, k ∈ R
�− 3
2√x5
+ k, k ∈ R
�− 2
5√x5
+ k, k ∈ R
66. Se f ′ (x) = 3x2 e f (2) = 15, entao
�f (x) = x3 + 15 �f (x) = x3 + 2 �f (x) = x3 + k �f (x) = x3 + 7
67. Determine a funcao g, definida e duas vezes diferenciavel em[0,π
2
[, tal que
g′′ (x) =3 + tanx
cos2 x, g′ (0) = 0 e g (0) = 1
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 16
68. Considere uma funcao f (x) tal que
1∫−4
f (x) dx = 4,
4∫1
f (x) dx = 2.
(a) O valor de1∫1
f (x) dx e
�6 �2 �0 � nao existe
(b) O valor de1∫−4
2f (x) dx e
�5 �6 �7 �8
(c) O valor de1∫4
f (x) dx e
�− 2 �− 4 �0 �2
(d) O valor de4∫−4f (x) dx e
�5 �6 �7 �8
69. Considere funcoes f (x) e g (x) tais que
4∫−4
f (x) dx = 2,
4∫1
f (x) dx = 3 e
1∫−4
(f (x) + g (x)) dx = 5.
O valor de1∫−4
(5f (x) + g (x)) dx e
�25 �0 �1 �5
70. Considere funcoes f (x) e g (x) tais que1∫0
f (x) dx = 2 e0∫1
g (x) dx = 3.
(a) O valor de1∫0
(f (x) + g (x)) dx e
� 0 �5 �− 1 �depende de f e g
(b) O valor de1∫0
f (x)
g (x)dx e
�0 �2
3�− 2
3�depende de f e g
71.2∫1
(2x+ 1) dx =
�4 �5 �6 �7
72. A expressao geral de ϕ (x) =
13∫x
e3t dt e
�e−1 − e−3x �e
3− e3x
3�− e−1
3+e−3x
3�e− e3x
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73. Calcule:
(a)20∫−10
0 dx (b)5∫−1
2 dx
(c)5∫−1
3 dx (d)5∫−1a dx
(e)2∫−1
9x dx (f)2∫−1
(9x+ 4) dx
(g)2∫−1
3t2 dt (h)8∫−1
3t2 dt
(i)x∫−1
3t2 dt (j)1∫0
1
1 + x2dx
(k)5∫0
2x
1 + x2dx (l)
0∫− 1
3
e−3x dx
(m)
12∫0
3√1− x2
dx (n)1∫0
3x dx
(o)5∫1
1
x7dx (p)
π3∫0
(2 sinx− 3 cosx) dx
(q)8∫1
13√x4
dx (r)
12∫0
1
1 + 4x2dxπ
(s)0∫−1
3√1− x2
dxπ (t)e∫1
ln2 x
xdx
(u)4∫1
x√2 + 4x2
dx (v)π∫0
|cosx| dx
(w)
π4∫0
(tanx) dx (x)1∫0
arcsinx dx
(y)e∫1
lnxdx (z)2∫−1−2xe−x
2
dx
74. Em cada alınea determine a area da regiao limitada pelo eixo das abcissas e por:
(a) y = −x2 + 4x.
(b) y = x2 − 4.
(c) y = x3, x = −2 e x = 1.
(d) y =1
x, x = 1 e x = e.
75. Em cada alınea determine a area da figura limitada por:
(a) x+ y + 2 = 0 e y = −x2.
(b) y = cosx, y = − cosx e −π ≤ x ≤ π
76. Determine as areas dos seguintes conjuntos:
(a){
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2x}.
(b){
(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e x2 ≤ y ≤ 2x}.
(c){
(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ |x|}.
Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015 18
77. Mostre que a area da regiao limitada pelos graficos:
(a) y = 4− x2, y = 0, x = −1 e x = 1 e22
3.
(b) y = x(x− 1)(x− 2) e y = 0 e1
2.
(c) y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0 e 22.
(d) y = 1− x2 e y = x− 1 e9
2.
78. Determine a expressao geral (sem o sinal de integral) de cada uma das seguintes funcoes
(a) ϕ (x) =x∫1
4 dt
(b) ϕ (x) =1∫x
4 dt
(c) ϕ (x) =x∫−x
4 dt
(d) ϕ (x) =2−x∫−1
(2t+ 4) dt
(e) ϕ (x) =2∫x
t dt
(f) ϕ (x) =2x∫x
1
1 + t2dt
(g) ϕ (x) =x∫− 1
3
e−3t dt
(h) ϕ (x) =x∫0
2t
1 + t2dt
(i) ϕ (x) =x∫0
t√1− 2t2
dt
(j) ϕ (x) =5x−2∫x
ln t
tdt
(k) ϕ (x) =
x2∫x
3√1− t2
dt
(l) ϕ (x) =1∫x
1
tdt
(m) ϕ (x) =x∫1
1√t3dt
(n) ϕ (x) =x∫0
(2 sin t− 3 cos t) dt
79. Determine a derivada de cada funcao definida no exercıcio anterior:
(a) Usando a expressao da funcao.
(b) Usando o teorema fundamental do calculo integral.
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80. Se ϕ (x) =x∫2
3t2dt entao ϕ′ (x) =
�6x3 �x3 − 8 �3x2 �3x2 − 12
81. Se ϕ (x) = −1∫
cos x
t√1 + 4t
dt entao ϕ′ (x) =
� − x√1 + 4x
�sinx cosx√1 + 4 sinx
�− sinx cosx√1 + 4 cosx
� − sinx√1 + 4x
82. Usando o metodo de primitivacao por partes, primitive as funcoes:
(a) f (x) = x sinx
(b) f (x) = lnx
(c) f (x) = ln2 x
(d) f (x) = x lnx
(e) f (x) = arcsinx
(f) f (x) = x arctanx
(g) f (x) = ex sinx
83. Complete a decomposicao da seguinte funcao racional:
x+ 3
x+ x2 − 2=
. . .
x− . . .+
. . .
x− . . .84. Decomponha numa soma de fraccoes simples as seguintes funcoes racionais:
(a)x+ 3
x2 − 5x+ 6
(b)x− 3
(x+ 1) (x2 + x− 2)
85. Sendop (x)
q (x)=
A
x− a+
B
x− b, com a, b, A,B ∈ R, calcule P
(p (x)
q (x)
).
86. Calcule, utilizando o metodo de decomposicao, as seguintes primitivas:
(a)∫ 1
x2 − 5x+ 6dx (b)
∫ x+ 3
x2 − 5x+ 6dx
87. Calcule, utilizando o metodo de substituicao (e, possivelmente, mais algum metodo), primitivas das seguintes
funcoes:
(a) f (x) =2√x
√x
(b) f (x) =1√
ex − 1
(c) f (x) =ex
ex + e−x(d) f (x) =
e3x + ex2
ex − 1
(e) f (x) =√
1− x2 (f) f (x) =x√
2 + 4x
(g) f (x) =
√x− 1
x(h) f (x) =
cosx
6− 5 sinx+ sin2 x
Sugestoes: (a)t =√x (b)t =
√ex − 1 (c) t = ex (d) t = e
x2 (e) x = sin t (f) t =
√2 + 4x (g) t =
√x− 1 (h)
t = sinx
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88. Ao efectuar a substituicao t =√
1 + 3x para calcular o integral8∫5
x√1 + 3x
dx obtem-se:
�5∫4
t2 − 1
3tdt �
8∫5
2t2 − 2
9dt �
8∫5
t2 − 1
3tdt �
5∫4
2t2 − 2
9dt
89. Ao efectuar a substituicao t = ex para calcular o integral3∫1
(e2x + 1
)ex
e2x − ex + 1dx obtem-se:
�e3∫e
t2 + 1
t2 − t+ 1dt �
3∫1
t2 + 1
t2 − t+ 1dt �
e3∫e
(t2 + 1
)t
t2 − t+ 1dt �
3∫1
(t2 + 1
)t
t2 − t+ 1dt
90. Ao efectuar a substituicao t = sinx, para calcular o integral
π2∫0
(cosx
sin2 x+ sinx
)dx obtem-se:
�
π2∫0
1
t2 + tdt �
π2∫0
√1− t2t2 + t
dt �1∫0
1
t2 + tdt �
1∫0
√1− t2t2 + t
dt
91. Calcule, por partes, os seguintes integrais:
(a)1∫0
x sinx dx
(b)e∫1
x lnx dx
(c)1∫0
x arctanx dx
(d)1∫0
arccotx dx
92. Calcule, utilizando o metodo de decomposicao, os seguintes integrais:
(a)1∫0
1
x2 + 2x− 8dx
(b)6∫4
x2 − 1
(x+ 5) (x− 2) (x− 3)dx
93. Calcule, utilizando o metodo de substituicao (e, possivelmente, o metodo de decomposicao), os seguintes
integrais:
(a)e2∫e
2
x(ln2 x+ 2 lnx
)dx(b)
4∫1
x√2 + 4x
dx
(c)5∫1
√x− 1
xdx
(d)
π2∫0
cosx
6− 5 sinx+ sin2 xdx
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7. Equacoes diferenciais ordinarias.
94. Em cada uma das alıneas assinale a resposta verdadeira:
(a) y′ = y admite como solucao
�y = x �ex + k, k ∈ R �kex, k ∈ R �y = 1
(b) y′ = 5y admite como solucao
�y = 5x �y = e5x �y =x
5�y = e5x + k
(c) A equacao diferencial (y′)2
+ xy′ − y = 0 admite como solucao
�y = x2 �y = 1 �y = 2x+ 4 �y = 2x+ 2
(d) O problema de Cauchy y′ = 3y, y (0) = 5 admite como solucao
�y = 5e3x �y = e3x �y = 3e5x �y = 0
95. Considere a equacao diferencial x2y′′ − xy′ − 3y = 0.
(a) Verifique que, para quaisquer a, b ∈ R, a funcao y = ax3 +b
xe solucao da equacao dada, em R\ {0}.
(b) Use o resultado da alınea (a) para resolver o problema de valores iniciais:
x2y′′ − xy′ − 3y = 0, y (1) = 2, y′ (1) = −6.
96. Resolva as seguintes equacoes diferenciais de variaveis separaveis:
(a) y′ =x
y(b) y′ =
y
2x
(c) yy′ + x = 0 (d) y′ + y2 sinx = 0
(e) y′ =1 + y2
x2(f) y′ =
sinx
cos y
(g) y′ = 1 + y2 (h) y′ = ey
97. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
(a)
y′ = 5y
y (0) = −1
3
(b)
(1 + x2
)y′ + y = 0
y (1) = 1
(c)
y′ + xy = x
y (0) = −1
2
(d)
y′ =
sinx
cos y
y (π) =e2
2
98. Resolva as seguintes equacoes diferenciais lineares:
(a) y′ + y = 0 (b) y′ + y = x
(c) y′ + 2y = 0 (d) y′ + 2y = 3
(e) y′ − 2y
x= 0 (f) y′ − 2y
x= x2
(g) y′ + y tanx = cos2 x (h) y′ + 3y = x+ e−2x
(i) y′ + y = e−x (j) y′ − 2y = x2e2x
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99. Considere a equacao diferencial linear y′ +y
x=ex
x.
(a) Verifique que y =ex
xe solucao da equacao diferencial dada.
(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial homogenea associada.
(c) Utilize as alıneas anteriores para determinar a solucao geral da equacao diferencial dada.
100. Considere a equacao diferencial linear y′ cosx− y sinx = 1.
(a) Verifique que y =x
cosxe solucao da equacao diferencial dada.
(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial homogenea associada.
(c) Utilize as alıneas anteriores para determinar a solucao geral da equacao diferencial dada.
101. Resolva os seguintes problemas atraves de equacoes diferenciais:
(a) Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce proporcionalmente a quantidade de bacterias presente em
qualquer instante. Ao fim de uma hora observam-se 1000 bacterias na cultura e apos quatro horas ha
3000 bacterias. Determine o numero de bacterias em qualquer instante assim como o numero inicial de
bacterias na cultura.
(b) A populacao de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao numero de habitantes existente. Em 1900
a populacao era de 30000 habitantes e em 1910 de 35000. Qual foi a populacao estimada para 1950?
(c) Sabe-se que o nucleo de certa substancia radioactiva diminui a uma taxa proporcional a quantidade
existente numa amostra inicial. O meio-tempo de vida desta substancia e de 1500 anos. Quantos anos
decorrem ate se obter um decimo da amostra inicial?
(d) O carbono radioactivo C14 representa uma importante ferramenta de datacao. A razao entre C14 e o
carbono (“normal”) C12 em seres vivos e na atmosfera e constante. Quando um organismo morre, deixa
de absorver C14 atraves da alimentacao e respiracao. Deste modo, e possıvel determinar a idade de um
fossil sabendo a razao entre os carbonos no fossil e a da atmosfera (W. Libby, Premio Nobel da Quımica,
1960). Sabendo que o C14 se desintegra a proporcao de −1, 2× 10−4 (aproximadamente) da quantidade
de substancia existente, determine:
i. o meio-tempo de vida do C14.
ii. a idade de um osso fossilizado que contem 25% de C14.
(e) Um corpo com peso igual a 2,5kg cai verticalmente partindo do repouso. A resistencia do ar e de 2v, onde
v e a velocidade do corpo (em m/s). Ao fim de quantos segundos e que o corpo atinge uma velocidade
de 1 m/s?
(f) Dois remadores e um barco pesam 200kg. Os remadores exercem uma forca de 30N no barco e a
resistencia da agua e igual a 3/2 da velocidade (em m/s). Se o barco partiu do repouso, qual e a
velocidade ao fim de um minuto?
(g) Uma carga, com peso igual a 40kg, parte do repouso e esta a ser transportada sobre o gelo sujeita a uma
forca de 20N. Desprezando a resistencia do gelo e sabendo que a resistencia do ar e igual a 7, 5 vezes a
velocidade (em m/s) da carga, determine a velocidade atingida em 8s. Qual foi a distancia percorrida?