1 1 1. . M MA AT TE EM MA AT TI I K KE E O OS SN NO OV VE E Ufiziciserazlikujuskalarne,vektorskeitenzorskeveliine.Skalarneveliinedefiniranesu jednimbrojem(skalarom),atakvesuveliinenpr.masam,volumenV,gustoa,specifina unutarnjaenergijauitd.Vektorskeveliinesuodreenesmjerom,intenzitetomiorijentacijom, odnosnospomoutrikomponente(npr.triprojekcijenaosikoordinatnogsustava),atakvesu veliinebrzinav

,ubrzanjea

,silaF

,vektorpovrinskegustoesnagetoplinskogtokaq

itd. Vektorskeveliineseuliteraturijooznaavajuimasnootisnutimslovima(v,a,F,q). Tenzorskeveliinemogubitidrugog,treegiliviegreda.Tenzoridrugogredadefiniranisus devetkomponenti,tenzoritreegredas27komponenti,odnosnoopenitobrojkomponenti tenzoran-togredaje3n. Takobiseiskalarimoglismatratitenzorimanultogreda,avektorisu tenzori prvog reda. Tipini tenzori drugog reda u mehanici fluida su: tenzor naprezanja T, tenzor brzine deformacije D, tenzor vrtlonosti V itd. 1.1 SIMBOLIKI I INDEKSNI ZAPIS VEKTORA Gorenavedeninainoznaavanjavektorskihitenzorskihveliinasenazivasimbolikimili apstraktnim,atakavzapisnezavisiodizborakoordinatnogsustava.TakobidrugiNewtonov zakon primijenjen na tijelo mase m, na koje djeluje rezultantna silaF

, glasio: F a m

= (1) Iz navedenog zapisa se moe zakljuiti da su vektor ubrzanja tijelaa

, i vektor sileF

kolinearni vektoriidajevektorsilerazmjeranumnokumaseivektoraubrzanja.Takoersemoe zakljuitidaakonaisto tijelodjelujedvaputaveasila,daeiubrzanjebitidvaputavee.U fizicise,meutim,nezadovoljavasovakvimrelativnimodnosimameuveliinama,negose sadraj svake veliine eli brojano definirati. Brojano iskazivanje sadraja vektorske fizikalne veliinepodrazumijevaizborkoordinatnogsustava,teprikazvektoraspomoukomponenti, koje su projekcije tog vektora na osi izabranog koordinatnog sustava. Tada je svaka komponenta jednaskalarnaveliinaijisesadrajiskazuje mjernimbrojemimjernomjedinicom.Slika1. prikazujedesnikartezijskikoordinatnisustavOxyzu kojemsuk j i

i , jedininivektori(ortovi)u smjerovimaosix,yiz. Skuptriju jedininihvektora usmjerovimakoordinatnihosisenazivabazom vektorskog prostora, a svi vektori u prostoru se mogu prikazati kao linearna kombinacija tih baznih vektora. Koeficijentitelinearnekombinacijesukomponente vektora,odnosnoprojekcijevektoranasmjertriju osi.Projekcijevektoraa

nasmjerpojedinihosi dobivajusenjegovimskalarnimmnoenjem(vidjeti poglavlje1.2.3)sortovimak j i

i , .Takobise vektora

prikazao zbrojem: x y za a i a j a k = + +

(2) a

k

j

i

Ox y z ax ay az Slika 1. Koordinatni sustav 2 SilaF

u izrazu (1) se takoer moe prikazati s pomou komponenti: x y zF F i Fj F k = + + (3) Uvrtavanjem izraza (2) i (3) u izraz (1), on prelazi u oblik: ( )x y z x y zma i a j a k F i Fj F k + + = + + (4) Vektorska jednadba (4) se moe razloiti na tri skalarne jednadbe. Izjednaavajui koeficijente uzjedininevektorek j i

i , ,nalijevojidesnojstranigornjegizrazaslijedetetriskalarne jednadbe: x xma F = y yma F = (5) z zma F = Ujednadbama(5)seuoavapravilnost,tebisesvatriizrazamoglanapisatijedinstveno, jednom jednadbom: i iF a m = (6) u kojoj bi indeks i, poprimao vrijednosti x, y ili z. U tome se sastoji ideja indeksnog zapisa vektorskihitenzorskihveliina,priemuseza indekseumjestoslovakoristebrojevi,takodasve toseodnosinaosxnosiindeks1,toseodnosi na os y nosi indeks 2, a to se odnosi na os z, nosi indeks3.Slika2.prikazujedesnikartezijski koordinatnisustavukojemusuosioznaene slovomx,ajedininivektorislovome,dok indeksi 1, 2 i 3 oznaavaju pripadnost osima x, y i z. Tako bi se komponente vektoraa

oznaile s a1, a2 i a3, te bi vrijedilo: == + + =31 i3 3 2 2 1 1 i ie a e a e a e a a

(7) Sobziromdaesepriopisuvektoraspomou njegovihkomponentiibaznihvektora,sumiranje uvijek odnositi na iste vrijednosti indeksa i (i=1, 2 i3),nijenunotusumunitipisati,jereseonapodrazumijevati.Stogaseuvodidogovor: Ponovljeni indeks (koji se pojavljuje dva puta u nekom lanu) oznauje zbrajanje po svim njegovimvrijednostima.Indeksieseoznaavatimalimkosimslovima.Temeljemovog dogovora simbol sume se moe ispustiti, te se vektora

moe jednostavno zapisati kao i ie a a = . Ponovljeni indeks se naziva jo i nijemim indeksom, a gledajui izraz (7), jasno je da se u sumi indekspokojemsesumiramoeimenovatibilokojimslovom,izegaproizlaziipravilo: Nijemom(ponovljenom)indeksusmijeseproizvoljnopromijenitiime.Primjenjujuito pravilo i dogovor o ponovljenim indeksima, moe se pisati: Slika 2. Indeksno oznaavanje osi O x1 2e

1e

x2 x3 3e

3 3 3 2 2 1 1e a e a e a e a e a e a am m k k i i

+ + = = = = (8) Naravno da bi pojavljivanje triju ili vie istih indeksa izazvalo zabunu, te se ne bi znalo na koja sedvaindeksaodnosipravilozazbrajanje,tevrijediogranienje:Usvakomodlanova jednadbe ponovljeni indeks smije se pojaviti najvie dva puta. Primjenomindeksnognainaoznaavanjavektora,apstraktnozapisanidrugiNewtonovzakon, jednadba (1)ma F =

prelazi u: i i i ima e Fe = (9) Jasno je da je jednadba (9) vektorska i da se moe razloiti u tri skalarne jednadbe, kao to je danoizrazima(5).Isputanjembaznihvektora1izlijeveidesnestranejednadbe(9),dolazise do indeksnog zapisa, koji glasi: i iF ma = (10) Sadraj jednadbe (10) istovjetan je sadraju jednadbi (5), s tim da su sve tri skalarne jednadbe zapisane u istom obliku, a uzimanjem i=1 ili i=2 ili i=3, dolazi se do triju skalarni jednadbi, tj. raspisani oblik jednadbe (10) glasi: 1 1F a m = 2 2F a m = (11) 3 3F a m = Indeks i u jednadbi (10) se naziva slobodnim indeksom. Za svaku od triju vrijednosti slobodnog indeksa dobije se po jedna skalarna jednadba, kao u izrazu (11). Iako je slinost jednadbe (10) ijednadbe(1)oita,ipakjenjihovsadrajbitnorazliit,jerjednadba(1)uspostavljavezu meu vektorima, dok jednadba (10) uspostavlja vezu meu komponentama tih vektora. Vidljivo jedajeprijelazizjednogudrugizapisvrlojednostavan.Sobziromdajeuzzadanubazu vektorskog prostora, svaki vektor jednoznano zadan svojim komponentama uobiajeno je pisati ( )z y x, , a a a a=

,tobiuindeksnomzapisujednostavnoglasilo ia a=

,gdjeznakjednakosti treba shvatiti kao injenicu da je vektor definiran svojim komponentama. Zamjenom vektora sa svojimkomponentamaujednadbi(1)direktnoslijedijednadba(10).Izreenogslijedidasu veliinesjednimslobodnimindeksomvektori(tenzoriprvogreda).Skalarisutenzorinultog redainemajunitijedanslobodniindeks.Zaoekivatijedaetenzoridrugogredaimatidva slobodnaindeksa,tenzoritreegredatriitakodalje.Daklevrijedipravilo:Brojslobodnih indeksadefiniraredtenzora.Veliinesjednimslobodnimindeksomsuvektori,aveliine bezindeksasuskalari.Ujednadbi(10)jeslobodniindekslijeveidesnestranejednadbe jedan te isti, jer su jedino pod tim uvjetom bazni vektori u jednadbi (9) mogli biti isputeni, to jedovelodojednadbe(10).Daklevrijedipravilo:Slobodniindeksimorajubitiistiusvim lanovima jednadbe. Unastavkuovogpoglavljadateseindeksnizapisosnovnihoperacijasvektorima:zbrajanjei oduzimanjevektora,mnoenjevektoraskalarom,skalarniproduktvektora,vektorskiprodukt vektora,tesloeniproduktvektora,kojisestandardnoueumatematici,adefiniratesei tenzorski produkt vektora. 1 Bazni vektori se smiju ispustiti samo ako su oznaeni istim indeksom 4 1.2 INDEKSNI ZAPIS OSNOVNIH OPERACIJA S VEKTORIMA 1.2.1 Zbrajanje vektora Zbroj dvaju vektora je vektor. Ako je zbroj vektoraa

ib

jednak vektoruc

, to bi u apstraktnom zapisu glasilo: b a c

+ = Prikazom vektora s pomou njihovih komponenti, gornji izraz prelazi u: i i i i i ie b e a e c

+ = S obzorom da je bazni vektor u svim lanovima oznaen istim indeksom, bazni vektori se mogu ispustiti, te slijedi indeksni zapis pravila za zbrajanje vektora: i i ib a c + = (12) U gornjoj jednadbi indeks i je slobodni indeks, to znai da je to vektorska jednadba, koja se moe raspisati u tri skalarne jednadbe: 1 1 1b a c + = 2 2 2b a c + = (13) 3 3 3b a c + = Izraz (12), dakle, izraava poznato pravilo za analitiko zbrajanje vektora, po kojemu se vektori zbrajaju tako da im se zbroje pripadajue komponente. 1.2.2 Mnoenje vektora skalarom Umnoak skalara i vektora je vektor. Ako je vektorc

jednak umnoku skalara s vektoroma

tada se moe pisati: i i i ie a e c a c = = ili Isputanjembaznihvektoraizgornje,desnejednadbe,slijediindeksnizapispravilaza mnoenje vektora sa skalarom, koji glasi: i ia c = (14) Ujednadbi(14)slobodniindeksioznaujevektorskikarakterjednadbe,toznaidaseona moe razloiti na tri skalarne jednadbe, analogno s (13) 1 1a c = 2 2a c = 3 3a c = 5 Izraz(14)iskazujepoznatopravilokojekaedasevektormnoiskalaromtakodamuse skalarom pomnoi svaka komponenta. 1.2.3 Skalarni produkt dvaju vektora Skalarniiliunutarnjiproduktdvajuvektorajeskalarkojijepoveliinijednakumnoku intenzitetaobajuvektoraikosinusakutameunjima. Skalarniproduktoznaujesetokicom.Slika3.prikazuje vektorea

ic

,kojimeusobnoinekut.Akosesa oznai njihov skalarni produkt, moe se pisati: c a ac ac c ac acos = = = = U gornjem su izrazu a i c intenziteti vektoraa

ic

, a ca i ac projekcijevektorac

navektora

,odnosnoprojekcije vektoraa

navektorc

.Skalarniproduktdvajuvektora jednakjeumnokuprvogvektorasprojekcijomdrugog vektoranasmjerprvog,iliobrnuto.Izgornjegizrazaje jasnodajeskalarniproduktdvajuortovajednakkosinusu kuta izmeu njih, te da je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli. Skalarni produkt vektora samog sa sobom daje kvadrat njegova intenziteta. Skalarni produkt okomitih baznih vektora e biti jednak nuli, a skalarni produkti baznih vektora samihsasobomebitijednakijedinici.Svekombinacijeskalarnihumnoakabaznihvektora mogu se prikazati sljedeim izrazom: == = = j ij ie eij j iza 0za 11 0 00 1 00 0 1 (15) U gornjem izrazu indeks i, kao i indeks j, moe poprimiti vrijednosti 1, 2 ili 3, te se zakljuuje da postoji devet moguih kombinacija skalarnih umnoaka. Rezultati tih umnoaka mogu se dakle, svrstati u tablicu dimenzije 3 puta 3, u kojoj indeks i oznauje broj retka, a indeks j broj stupca. ZatusetablicuuvodiKroneckerovdeltasimbolij,kojipoprimavrijednostikaotoje definirano u izrazu (15). Prikazomvektoraa

ic

spomoukartezijskihkomponentinjihovskalarniproduktpoprima oblik: ( )ij j i j i j i j j i ic a e e c a e c e a = = = U gornjem izrazu se u prikazima vektora nije mogao za oba vektora koristiti isti indeks, jer bi se onpojavljivaoetiriputa,tobibilosuprotnoprijereenompravilu,daseponovljeniindeks smijeujednomlanupojavljivatinajviedvaputa.Komponentevektoraaiicjsuskalaritese mogustavljatinabilokojemjestounutarprodukta,askalarniproduktbaznihvektorasemoe zamijenitiKroneckerovimdeltom,premaizrazu(15).Gornjiizrazbisemogaorazvitipo nijemimindeksimaiij.Razvojempojednomindeksudobijusetripribrojnika,arazvojempo drugom indeksu od svakog tog pribrojnika dobiju se po tri nova pribrojnika, tako da bi ukupno bilodevetpribrojnika.Odtihdevetpribrojnikasamobitribilarazliitaodnuleitoonakod c

a

ca ac Slika 3. Skalarni produktdvaju vektora 6 kojih je i=j jer je samo tada Kroneckerov delta razliit od nule i jednak jedinici. Prema tome od umnoka aicjij ostaje samo aici ili ajcj, te se gornji izraz moe napisati krae: 3 3 2 2 1 1c a c a c a c a c aj j i i+ + = = = (16) Izraz(16)oznaujeskalarnujednadbuukojojsepojavljujunijemiindeksi,nakojese primjenjujedogovorosumiranju.Razvojemponijemimindeksimaslijedipoznatopraviloza skalarni produkt dvaju vektora kada su oni zadani komponentama. IzovogprimjerasemoeizvestipravilomnoenjasKroneckerovimdeltom:Akoseunekom lanupojavljujeKroneckerovdelta ijpriemujeindeksinijemi,onsezamjenjujes indeksomj,aKroneckerovdeltaisezava(npr.aiij=aj).Akojeindeksjnijemi,onse zamijenjuje s i, a Kroneckerov delta isezava (npr. cjij=ci). U prethodnom primjeru, u izrazu aicjij su oba indeksa bila nijema, te se moglo birati kojeg e se zamijeniti. 1.2.4 Vektorski produkt dvaju vektora Vektorskiilivanjskiproduktdvajuvektorajevektor,kojijeokomitnaobavektorakojaine produkt,apoveliinijejednakumnokuintenzitetatihvektoraisinusakutameuvektorima. Orijentacijavektorakojijerezultatvektorskog produktadvajuvektoraodreujesepravilomdesne ruke.Akoseprstimadesnerukeideodprvog vektora u produktu prema drugom vektoru, palac e pokazivatiorijentacijuvektorskogprodukta. Vektorski produkt vektora oznauje se znakom . Slika 4. prikazuje vektorski produkt vektoraa

ic

. Vektorskiproduktjeoznaensv

.Vektorv

je okomitinavektora

inavektorc

,aorijentacija mujeodreenapravilomdesneruke.Jasnojeda akosevektorimauvektorskomproduktuzamijene mjestadaepremapraviludesnerukeivektorski produktpromijenitipredznak,kaotojenaznaeno na slici 4. Intenzitet vektorav

je prema reenom pravilu: sin ac v = Izgornjegizrazajejasnodaevektorskiproduktdvajukolinearnihvektorabitijednaknuli (vektorski produkt vektora samog sa sobom je takoer jednak nuli), a da e intenzitet vektorskog produktaokomitihvektorabitijednakumnokunjihovihintenziteta.Vektorskiproduktdvaju ortovajednakjesinusukutameunjima.Geometrijskigledanointenzitetvektorskogprodukta ima znaenje povrine paralelograma ije su stranice vektoria

ic

. Vektorskimmnoenjemdvajubaznihvektoradolazisedoonogtreeg(spredznakomplusili minus,zavisnoodredoslijedavektorauproduktu),priemuzadesni2kartezijskisustavvrijedi sljedeih est relacija: 2 U lijevo orijentiranom koordinatnom sustavu predznaci bi bili suprotni. a

c

c a v

=a c v

= Slika 4. Vektorski produktdvaju vektora 7 1 2 3 2 1 33 1 2 1 3 22 3 1 3 2 1iliiliilie e e e e ee e e e e ee e e e e e = = = = = = Gledajui indekse ugornjim izrazima, oito je da se u svakom od est izraza, pojavljuju sva tri indeksa, pri emu je veza meu vektorima pozitivna ako ti indeksi ine nizove 123, 231 i 312, a negativna za nizove 132, 213 i 321. Uvoenjem permutacijskog simbola3 ijk koji moe poprimiti vrijednost 1, 0 ili 1, prema slijedeoj definiciji: = ==indeksa jednaka (tri) dva za 0321 , 213 , 132 za 1312 , 231 , 123 za 1 ijkijkijk(17) svih est prethodnih izraza se mogu napisati jednim izrazom, koji glasi: k j i ijke e e

= (18) Dreisedefinicije(17)lakojeprovjeritidaizraz(18)opisuje svesluajevevektorskihumnoakabaznihvektora.Definiciju permutacijskogsimbolalakojezapamtitiprekoshemedanena slici5.Akosenakruniciupozitivnomsmjeru(uobrnutom smjerukazaljkenasatu)oznaeindeksi1,2i3,taje permutacijski simbol imati vrijednost +1 ako se, poevi od bilo kojegindeksa,oniuzimajuupozitivnomsmjeru.Tosuupravo tri niza dana u izrazu (17). Ako se indeksi uzimaju u negativnom smjeru(usmjerukazaljkenasatu)permutacijskisimbole poprimiti vrijednost 1, kao to stoji u izrazu (17). Slika 5. moe pomoi i za memoriranje svojstava permutacijskog simbola. Naime ako se indeksi i, j i k uzimaju u pozitivnom smjeru (poevi od bilo kojeg od njih) vrijednost permutacijskog simbola se nee mijenjati, tj. vrijedi: kij jki ijk = = (19) Akobilokojadvasusjednaindeksazamijenemjesto,rezultatjeistikaodasesmjeruzimanja indeksa promijenio, te permutacijski simbol mijenja predznak, tj. vrijedi: jik ijk ikj ijk i = = (20) Ako se vektori u vektorskom produktuc a v

=prikau s pomou komponenti, slijedi: ( )i ijk k j k j k j k k j j i ie c a e e c a e c e a e v = = = 3 Permutacijski simbol se jo naziva Levi-Civita simbolom. 3 1 2 i j k Slika 5. 8 Ugornjemjeizrazuza vektorskiproduktbaznihvektoraiskoritenizraz (18).Sobziromdasu na obje strane gornjeg izraza bazni vektori oznaeni istim indeksom, oni se mogu ispustiti, te se dobiva indeksni zapis vektorskog produkta dvaju vektora, koji glasi4: k j ijk ic a v = (21) Izraz(21)najlakejezapamtitiakosedripravila,daseupermutacijskomsimbolunaprvom mjestu nalazi slobodni indeks. Tada e se drugi indeks permutacijskog simbola odnositi na prvi vektoruvektorskomproduktu,atreiindekseseodnositinadrugivektoruvektorskom produktu.Trebanaglasitidaseuindeksnomzapisubarataskomponentamavektora,kao skalarnim veliinama, te za njihov produkt vrijedi zakon komutacije, koji ne vrijedi za vektorski produktdvajuvektora.Takobiseprimjenomizraza(19),teprimjenomzakonakomutacijei pravapromjeneimenanijemimindeksima,indeksnizapisvektorskogprodukta(21)mogao napisati i u sljedeim oblicima: k kim m j k kij k j kij ic a a c c a v = = = Zatumaenjeindeksnogzapisavektorskogproduktauvijekebitinajboljeslobodniindeks(u ovom sluaju je to indeks i) dovesti na prvo mjesto u permutacijskom simbolu, a tada e se, kao to je prije reeno, drugi indeks odnositi na prvi vektor u vektorskom produktu. Ako se u izrazu (21) zamijene mjesta indeksima j i k, on e prema (20), promijeniti predznak, te se moe pisati: j k ikj ia c v =(22) Sobziromdajenaprvommjestupermutacijskogsimbolaslobodniindeksi,indeksk,kojise nalazi na drugom mjestu, ukazuje da je vektorc

ije su komponente oznaene indeksom k, prvi u vektorskomproduktu,teizraz(22)oznaujevektorskiprodukta c ,kojijeupravosuprotnog predznaka od produktac a , koji je opisan izrazom (21). 4Navedeniizrazvrijedizadesnikartezijskikoordinatnisustav,aulijevomkoordinatnom sustavunadesnojstraniizraza(21)bitrebaostajatinegativnipredznak,jerkomponente permutacijskogsimbolaulijevomkoordinatnomsustavumijenjajupredznak.Postojipraksada seizraz(21)primjenjujeizaodreivanjekomponentivektorskogproduktaulijevom koordinatnom sustavu (bez negativnog predznaka), to bi odgovaralo primjeni pravila lijeve ruke za odreivanje smjera vektorskog produkta. Jasno je da je smjer vektorskog produkta odreen po pravilulijeveruke,podefinicijisuprotanpredznakusmjeruvektorskogproduktadefiniranog pravilomdesneruke,toznaidabivektorskiproduktdvajuvektoragledanoizdesnog koordinatnogsustavaimaosuprotanpredznakodvektorskogproduktagledanoizlijevog koordinatnog sustava. Naravno, do promjene predznaka je dolo zbog isputanja minusa u desnoj straniizraza(21)zasluajlijevogkoordinatnogsustava.Takvivektorikojimasemijenja predznakpriprijelazuizdesnogulijevikoordinatnisustavsenazivajuaksijalnimili pseudovektorima,zarazlikuodpravihilipolarnihvektorakojimasepriprijelazuizlijevogu desnikoordinatnisustavsadrajnemijenja.Aksijalnivektorsepretvaraupravitakodamuse komponenteulijevomkoordinatnomsustavupomnoesminusjedan.Jasnojedaevektorski produkt pravog i aksijalnog vektora biti pravi vektor, jer e se utjecaj isputenog minusa koji je doveodoaksijalnogvektoraiisputenogminusaupermutacijskomsimbolukojioznauje vektorskiproduktponititi.Istotakobivektorskiproduktdvajuaksijalnihvektorabioaksijalni vektor(jerpostojetriisputenaminusa,usvakompseudovektorupojedanijedanu permutacijskom simbolu). 9 1.2.5 Sloeni produkt vektora Vektorski produkt dvaju vektora je vektor kojeg moemo takoer skalarno ili vektorski mnoiti s drugimvektorimatakodasedobivajuvektorsko-vektorskiilivektorsko-skalarniprodukti vektora. Skalarno-vektorski produkt vektoraa

,b

ic

je skalar5( ) c b a

= , jer je vektorski produktuzagraditakoervektor.Geometrijskigledanoskalarno-vektorskiproduktjevolumen paralelopipedakojemusubridovivektoria

,b

ic

.Vektorskiproduktvektorab

ic

,po intenzitetu odgovara povrini baze paralelopipeda, a skalarni produkt odgovara projekciji treeg bridanasmjerokomicenatubazu,odnosnoumnokuvisineparalelopipedaireenepovrine baze.Ovajproduktsemoeprikazatiprekodeterminantetreegredaukojojsuredci komponente vektora koji ine produkt i to u redoslijedu u kojem se pojavljuju u produktu, kako slijedi: ( )2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 13 2 13 2 13 2 1c b a c b a c b a c b a c b a c b ac c cb b ba a ac b a + + = = =

(23) Pri indeksnom zapisu ovog skalarno-vektorskogprodukta jedino treba obratiti panju da indeks vektoraa

odgovara slobodnom indeksu vektorskog produkta u zagradi, tako da vrijedi: ( )k j i ijkc b a c b a = =

(24) Jasnojedaseuindeksnomzapisubarataskomponentamavektoraidaredoslijedfaktoranije bitan,kaokodsimbolikogzapisa.Razvojemizraza(24)ponijemimindeksimadolazisedo istogrezultatakaouizrazu(23).Izraz(24)opisujedakle,razvojdeterminantetreegreda. Koristeisvojstvo(19)permutacijskogsimbola,toodgovaraparnimpermutacijamaredaka determinante, kod kojih vrijednost determinante ostaje ista, te vrijedi: i k j jki j i k kij k j i ijka c b b a c c b a = = ili ( ) ( ) ( ) a c b b a c c b a

= = (25) Primjenomsvojstva(20)permutacijskogsimbola,kojeodgovaraneparnimpermutacijama redakadeterminante,vrijednostdeterminantemijenjapredznak,jervektorskiproduktmijenja predznak kada faktori zamijene mjesta, npr.: j k i ikj k j i ijkc b a c b a = ili ( ) ( ) b c a c b a

= Sloeniskalarno-vektorskiproduktbaznihvektorajednakje( )k j ie e e

,aprimjenomizraza (18) i (15) slijedi: ( ) i j k i mjk m mjk im ijke e e e e = = =

(26) 5 Ako bi se vektorski produkt u lijevom koordinatnom sustavu raunao prema pravilu lijeve ruke (izraz(21),bezpromjenepredznakapermutacijskogsimbola),tadabirezultatmjeovitog produktaimaorazliitpredznakulijevomidesnomkoordinatnomsustavu,tebisenazivao pseudoskalarom. 10 Jasnojedajedinini,meusobnookomitibaznivektorirazapinjuparalelopipedjedininog volumena,apredznaknjihovaskalarno-vektorskogproduktazavisiodnjihovaredoslijeda.Ako se u produktu pojavljuje dva puta isti vektor, oni vie ne razapinju volumen, te je produkt jednak nuli. Primjenom osnovnih pravila indeksnog zapisa lako se zapisuje bilo koji sloeni produkt vektora. Prizapisusloenogprodukta( ) ( ) d c b a f

= trebaseprvoodluitizaindeksepojedinih vektora. Jasno je da su izrazi u zagradama vektori, koji e imati jedan slobodan indeks. Neka je i indeks vektoraf

, tada e i prvi indeks permutacijskog simbola koji oznauje vektorski produkt meu zagradama imati indeks i, a neka vektorski produkt prve zagrade ima indeks j, a drugek. Za indekse vektoraa

ib

se vie ne smiju uzimati iskoritena slova i,j i k, pa se uzima npr. l i m, doksezaindeksevektorac

id

izabiruindeksipir.Temeljemreenogaindeksnizapis navedenog sloenog produkta bi glasio: ( )( ) i ijk jlm l m kpr p rf a b cd = Naravno da zagrade u gornjem izrazu nisu nune, a redoslijed faktora je potpuno proizvoljan. 1.2.6 Relacije izmeu permutacijskog i Kroneckerovog simbola esto se u izrazima pojavljuje umnoak permutacijskih simbola (kao u prethodnom izrazu) koji semoezamijenitiumnokomKroneckerovihsimbola,asobziromnajednostavnostpravila mnoenja s Kroneckerovim simbolom, to obino vodi kraem zapisu takvih izraza. Zato je nuno istraiti vezu meu ta dva simbola. Ako se s det(A) oznai determinanta treeg reda: ( )33 32 3123 22 2113 12 11detA A AA A AA A AA= tadasepoznatainjenicadasezamjenomredakadeterminantinemijenjavrijednost,vesamo predznakovisnodalijepermutacijaredakaparnailineparna,moeizrazitispomou permutacijskog simbola u obliku: ( )3 2 13 2 13 2 1det k k kj j ji i iijkA A AA A AA A AA= Istopravilovrijediizastupcetosetakoermoeizrazitispomoupermutacijskogsimbola kao: ( )n m ln m ln m llmnA A AA A AA A AA3 3 32 2 21 1 1det = 11 Permutacija redaka i stupaca je definirana sljedeim izrazom: ( )kn km kljn jm jlin im illmn ijkA A AA A AA A AA= det AkosezaAijuzmeijtoznaidajedet(A)=1,slijediizrazzarelacijuizmeuumnoka permutacijskih simbola prikazanih s pomou Kroneckerovih simbola, koja glasi: kn km kljn jm jlin im illmn ijk = Razvojem gornje determinante po prvom retku slijedi: ( ) ( ) ( )kl jm km jl in kn jl kl jn im km jn kn jm il lmn ijk + + = (27) Izjednaavanjem indeksa n=k u izrazu (27) dobije se: jl im jm il lmk ijk = (28) Izjednaavanjem indeksa m=j u izrazu (28) dobije se: il ljk ijk 2 = (29) Izjednaavanjem indeksa l=i u izrazu (29) slijedi: 6 =ijk ijk(30) Najeuprimjenuimaizraz(28)zaumnoakdvajupermutacijskihsimbolasjednimnijemim indeksom. 1.2.7 Tenzorski produkt dvaju vektora Tenzorskiproduktdvajuvektorajetenzordrugogreda.Akomeuvektorimanemaoznakeniti zaskalarninitizavektorskiprodukt,podrazumijevasetenzorskiprodukt6.AkojetenzorT rezultat mnoenja vektoraa

ic

, moe se pisati: c a = T Tenzorisekaoivektori prikazujuspomoukomponenti.Prikazomvektoraugornjemizrazus pomou komponenti slijedi: j i ij j i j i j j i ie e T e e c a e c e a = = = T (31) Iz gornjeg je izraza oito da tenzorski umnoak baznih ortova j ie e ini bazu za tenzore drugog reda (bazu tenzorskog prostora), s pomou koje se moe prikazati bilo koji tenzor drugog reda. 6 Poneki autori tenzorski produkt oznaavaju posebnim simbolom, npr. .12 Tabisebazamoglaprikazatitablicomukojojindeksioznaujebrojretka,aindeksjbroj stupca: ||||

\|=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1e e e e e ee e e e e ee e e e e ee ej i Iz izraza (31) se mogu oitati i komponente tenzorskog umnoka dvaju vektora, za koje vrijedi: ||||

\|= =3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1c a c a c ac a c a c ac a c a c ac a Tj i ij(32) Tenzor drugog reda ima dva slobodna indeksa i 32=9 komponenti. Dijagonala koja se protee od lijevog gornjeg do desnog donjeg lana u gornjoj tablici se naziva glavnom dijagonalom tenzora. Zbrojkomponentiglavnedijagonaletenzorauizrazu(32)oitojejednakskalarnomproduktu vektoraa

ic

, koji je definiran izrazom (16). Dakle od tenzorskog produkta dvaju vektora dolazi sedonjihovaskalarnogproduktajednostavnimizjednaavanjemindeksai=j.Taseoperacija naziva kontrakcijom indeksa, a njome se red tenzora smanjuje za dva, tako da tenzor drugog reda prelaziuskalar.Kontrakcijomindeksauizrazu(32)iprimjenompravilaonijemimindeksima slijedi: = + + = =3 3 2 2 1 1c a c a c a c a Ti i ii Tipini tenzor drugog reda koji se pojavljuje u mehanicikontinuumajetenzornaprezanja.U tenzorunaprezanjakomponentenaglavnoj dijagonalioznaavajunormalnanaprezanja,a komponenteizvanglavnedijagonale tangencijalnanaprezanja.Slika6.ilustrira sadrajkomponentitenzoranaprezanjana primjeruelementarnogparalelopipeda dimenzijadx1,dx2idx3.Natomsu paralelopipedutrikarakteristinepovrine,iji vektorivanjskenormale(vektoriokomitina povrinu i gledaju od paralelopipeda) gledaju u pozitivnimsmjerovimaosi.Nasvakojtoj povrini djeluje vektor naprezanja koji se moe razloitiutrikomponente,jednuokomitu (normalnu)napovrinuidvijetangencijalne. Tako komponente vektora naprezanja na povrini ija normala gleda u smjeru osi x1, uvijek nose prvi indeks 1, a drugi indeks odgovara osi u ijem smjeru komponenta gleda. Tako T11 oznauje komponentu vektora naprezanja na povrini orijentiranoj normalom u smjeru osi x1, koja gleda u smjeru osi x1 i ta je komponenta okomita na povrinu. Isto tako su komponente T22 i T33 okomite na pripadajue povrine. Komponenta T23 oznauje komponentu vektora naprezanja na povrini orijentiranojnormalomusmjeruosix2,kojadjelujeusmjeruosix3.Svihdevetkomponenti oznaenihtrijuvektoranaprezanjasemoguoznaitisTij,gdjeioznaujepovrinunakojoj x1 x2 x3 T11 T12 T13T22 T23 T21 T33 T31 T32 Slika 6. Komponente tenzora naprezanja 13 djelujevektornaprezanja,ajsmjerukojemkomponentavektoranaprezanjadjeluje.Tenzor naprezanja se moe prikazati i s pomou tablice: ||||

\|=33 32 3123 22 2113 12 11T T TT T TT T TTij Ugornjojtablicisvakiredakoznaujetrikomponentevektoranaprezanja,priemulanovina glavnoj dijagonali oznauju normalna naprezanja, a ostali tangencijalna. 1.3 OSNOVNE OPERACIJE S TENZORIMA 1.3.1 Komponente tenzora u zarotiranom koordinatnom sustavu Sadrajfizikalnihveliinaopisanihvektorimai tenzorimanesmijezavisitiodizborakoordinatnog sustava.Promjenomkoordinatnogsustavapromijenit esekomponentevektoraitenzora,aliesadraj vektoraitenzoraostatiisti.Slika7.prikazuje koordinatnisustavOx1x2x3iuodnosunanjega, zarotirani sustav Oz1z2z3, kojemu su ortovi u smjeru osi oznaeni slovom g. Tako e prikazani vektora

biti isti uobakoordinatnasustava.Nekasukomponente vektoraa

uodnosunakoordinatnisustavOx1x2x3, oznaene sa ai, a neka su jakomponente tog vektora u koordinatnomsustavuOz1z2z3.Sadrajvektoraa

izraenkomponentamaujednomidrugom koordinatnom sustavu je: j j i ig a e a a

= = (33) Kao to je prije reeno sve kombinacije skalarnog produkta meusobno okomitih baznih vektora daju Kroneckerov delta simbol, tj. u oba koordinatna sustava vrijedi: i j iji j ije eg g = = (34) Skalarniprodukti-togbaznogvektora ie

izkoordinatnogsustavaOx1x2x3sj-timbaznim vektorom jg

koordinatnogsustavaOz1z2z3jepoveliinijednakkosinusukutatogatiortovi zatvaraju, odnosno kosinusu kuta izmeu pripadajuih koordinatnih osi, te se moe pisati: ( ) ( )||||

\|= = = = ) , cos( ) , cos( ) , cos() , cos( ) , cos( ) , cos() , cos( ) , cos( ) , cos(, cos , cos3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1z x z x z xz x z x z xz x z x z xC z x g e g eij j i j i j i (35) 3g

2g

1g

3e

2e

1e

x1 x2 x3 z1 z2 z3 O a

Slika 7. Zarotirani koordinatni sustav Oz1z2z3 14 Uvestesedogovordaseugornjojtabliciprviindeksuvijekodnosinakoordinatnisustav Ox1x2x3,adruginakoordinatnisustavOz1z2z3.Iztablicejeoitodaprviredakpredstavlja komponente vektora 1e

u odnosu na koordinatni sustav Oz1z2z3, drugi redak komponente vektora 2e

,atreiredakkomponentevektora 3e

.Istotakoprvistupactabliceuizrazu(35)oznauje komponenteorta 1g

uodnosunakoordinatnisustavOx1x2x3,drugistupacsadrikomponente vektora 2g

, a trei vektora 3g

. Prema tome meu baznim vektorima dvaju koordinatnih sustava vrijede relacije: i ij je C g = (36) j ij ig C e = (37) Uvrtavanjemizraza(36)uizraz(33),tenakonisputanjabaznihvektora,slijediprikaz komponentivektoraa

ukoordinatnomsustavuOx1x2x3spomounjegovihkomponentiiz koordinatnog sustava Oz1z2z3, koji glasi: j ij ia C a = (38) Analogno se dolazi i do inverzne relacije, uvrtavanjem izraza (37) u izraz (33): i ij ja C a = (39) SadrajtenzoraTsemoeprikazatispomoukomponentiTij uodnosunakoordinatnisustav Ox1x2x3 ili s pomou komponenti klTu odnosu na koordinatni sustav Oz1z2z3: l k kl j i ijg g T e e T = = T(40) Primjenomizraza(36)i(37)slijederelacijemeutenzorskimbazamadvajukoordinatnih sustava: j i jl ik l ke e C C g g = (41) l k jl ik j ig g C C e e = (42) Uvrtavanjem izraza (41) u izraz (40) slijedi: kl jl ik ijT C C T = (43) Uvrtavanjem izraza (42) u izraz (40) daje: ij jl ik klT C C T = (44) Izrazi(43)i(44)izraavajuvezumeukomponentamatenzoraudvameusobnozarotirana koordinatna sustava, a dobiveni su uz pretpostavku da je sadraj tenzora isti u ta dva koordinatna sustava,paonimoguposluitizadefinicijutenzora,kojaglasi:Sveveliinezadanesdevet skalarnih komponenti koje se pri rotaciji koordinatnog sustava mijenjaju prema izrazima (43) i (44) su tenzori drugog reda. TakosemoepokazatidaKroneckerovdeltakojijeuvedenkaosimbol,takoeroznauje komponente tenzora drugog reda. Polazei od izraza (34) i primjenom izraza (37) proizlazi: 15 ij jl ik j i jl ik l k klkl jl ik l k jl ik j i ijC C e e C C g gC C g g C C e e = = == = = (45) izegajejasnodasekomponente ij mijenjajupremapravilima(43)i(44).Imajuinaumu pravilomnoenjasKroneckerovimdeltom,tenzorskomponentama ij senazivajedininim tenzorom. Ako ga se oznai s I, njegov bi se sadraj mogao prikazati komponentama u jednom ili drugom koordinatnom sustavu kao: l k kl j i ijg g e e = = I Ovaj tenzor ima svojstvo da su mu komponente jednake u oba koordinatna sustava to je osobina izotropnihtenzora.Izotropnitenzordrugogredaimasvojstvodamuserotacijom koordinatnog sustava komponente ne mijenjaju, tj. vrijedi: ij ijT T = (46) Uzimajui u obzir da je mnoenje s Kroneckerovim deltom supstitucija iz izraza (45) slijedi: jl jk kljk ik ijC CC C==(47) Pravila (38), (39) te (43) i (44) za vezu meu koordinatama vektora odnosno tenzora drugog reda u dva koordinatna sustava mogu se poopiti i za tenzore vieg reda, te se moe pisati: ... ......lmn km jm il ijkT C C C T = (48) ... ......ijk km jm il lmnT C C C T = (49) Takoersemoepokazatidapostojitenzortreegredakojemusukomponentejednake komponentama permutacijskog simbola. Polazei od izraza (26), primjenom izraza (36) slijedi: ( ) ( )lmn kn jm il n m l kn jm il k j i ijkC C C g g g C C C e e e = = = tojeuskladus(48).Akosuoba(Ox1x2x3iOz1z2z3)koordinatnasustavadesna,ondasu permutacijski simboli jednako definirani u oba koordinatna sustava, a ako je jedan lijevi a drugi desnipermutacijskisimbolieserazlikovatiupredznaku,takodapermutacijskitenzorneeu opem sluaju biti izotropan. 1.3.2 Zbrajanje tenzora Zbrojdvatenzorajetenzor.Zbrajatisemogusamotenzoriistogreda.Simbolikizapiszbroja dvaju tenzora je A=B+C. Prikaz ovog simbolikog zapisa s pomou komponenti tenzora drugog reda glasi: j i ij j i ij j i ije e C e e B e e A + = Isputanjem baze tenzora u gornjem izrazu slijedi pravilo za zbrajanje tenzora: 16 ij ij ijC B A + =(50) po kojem se tenzori zbrajaju tako da im se zbroje pripadajue komponente. 1.3.3 Mnoenje tenzora skalarom UmnoakskalaraitenzoraBjetenzorA,iliA=B.Prikazomsadrajatenzoradrugogreda preko komponenti slijedi izraz: j i ij j i ije e B e e A = . Isputanjem baze iz tog izraza slijedi pravilo za mnoenje tenzora skalarom: ij ijB A = (51) prema kojem se tenzor mnoi skalarom tako da mu se skalarom pomnoi svaka komponenta. 1.3.4 Unutarnji produkt vektora i tenzora Kaotojereenovektori,kaotenzoriprvogreda,semogumnoitiskalarno,vektorskiili tenzorski,arezultatmnoenjajeskalarvektorilitenzor.Takoerjepokazanodaseod tenzorskogproduktavektoradolazidonjihovaskalarnogproduktajednostavnomkontrakcijom (izjednaavanjem)indeksautenzorskomproduktu.Kodtenzoraviegredadefinirajusesamo unutarnji produkt i tenzorski produkt. Pri unutarnjem produktu red tenzora umnoka se smanjuje, a pri tenzorskom produktu se poveava. Tako je unutarnji produkt vektora i tenzora drugog reda vektor,produktseoznaujetokicompasemoesimbolikizapisatiuoblikuT = == = b a

. Prikazom sadraja vektora i tenzora preko komponenti slijedi: ( (( ( ) )) )j ij i j ki ij k j i k ij k j i ij k k j je T b e T b e e e T b e e T e b e a

= == = = == = = == = = == = Isputanjembaznihvektora(tojedoputenojersuoznaeniistimindeksom)izgornje jednadbeslijedipravilozaunutarnjiproduktvektoraitenzoradrugogredakojeuindeksnom zapisu glasi: ( (( ( ) )) )ij i j jT b b a = == = = == = T

(52) Nadesnojstranigornjegizrazaindeksijenijemi,ajjeslobodni.Dajetenzorbiomnoen vektorom s desne strane tj.b c

= == = T , vrijedilo bi: ( (( ( ) )) )i ij j i jk ij k k j i k ij k k j i ij i ie T b e T b e e e b T e b e e T e c

= == = = == = = == = = == = odnosno ( (( ( ) )) )ij j i iT b b c = == = = == =

T Uovombisluajudrugiindekstenzorabionijemi,tesezakljuujedauopemsluajuza unutarnji produkt vektora i tenzora ne vrijedi zakon komutacije. Naravno da u indeksnom zapisu, gdje se barata s komponentama vektora i tenzora, uvijek vrijedi zakon komutacije, a iz nijemog indeksa tenzora se zakljuuje da li je mnoenje tenzora vektorom s lijeve ili desne strane. Tipianprimjerprimjeneskalarnogproduktaumehanicikontinuumajeodreivanjevektora naprezanja na elementarnoj povrini orijentiranoj vektorom jedinine normalen

. Kao to je prije spomenutotenzornaprezanjadefinirastanjenaprezanjautokiprostora,asvakiredaktog 17 tenzorasadritrikomponentevektoranaprezanjanapovrinamaorijentiranimvektorima normaleusmjeruosix1,x2ix3,kaotopokazujeslika6.Vektornaprezanjanapovrini orijentiranojvektoromjedininenormalen

(oznaensa

,odnosnouindeksnomzapisusa i ) je definiran izrazom: T = == = n odnosno u indeksnom zapisu ji j iT n = == = (53) Lakosepokaedamnoenjemtenzoranaprezanjajedininimvektorom 1e

slijedekomponente vektora naprezanja na povrini kojoj je normala vektor 1e

(vidjeti sliku 6), a koje ine prvi redak tenzora naprezanja, tj. 3 13 2 12 1 11 1e T e T e T e + ++ + + ++ + = == = T Mnoenjem tenzora naprezanja vektorom 1e

s desne strane slijedi izraz: 3 31 2 21 1 11 1e T e T e T e + ++ + + ++ + = == = T kojiseoitorazlikujeodnjemuprethodnogizraza.Buduidajetenzornaprezanjasimetrian, topodrazumijevadajeT12=T21iT13=T31,slijedidajepriodreivanjuvektoranaprezanja svejednoskojestraneesetenzornaprezanjamnoitivektoromnormale,jerzasimetrine tenzorevrijedizakonkomutacijezaunutarnjiproduktvektoraitenzoradrugogreda,kakoe kasnije biti pokazano. 1.3.5 Dvostruki unutarnji produkt dvaju tenzora Dvostrukiunutarnjiproduktdvajutenzoradrugogredajeskalar,aoznaujesesdvijetokice. Simboliki zapis dvostrukog unutarnjeg produkta tenzora A i B glasi =A:B. Prikazom sadraja tenzora drugog reda preko komponenti, ovaj produkt prelazi u oblik: ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )ij ij jm ik km ij m j k i km ij m k j i km ij m k km j i ijB A B A e e e e B A e e e e B A e e B e e A = == = = == = = == = = == = = == = : : (54) Dvostrukiunutarnjiproduktdvajutenzoradrugogredadobijesetakodaseodgovarajue komponente tenzora meusobno pomnoe i zbroje. Iz definicije (54) je jasno da za ovaj produkt vrijedi zakon komutacije. 1.3.6 Tenzorski produkt tenzora Analognotenzorskomproduktuvektora,pritenzorskommnoenjudvajutenzoraredtenzora umnoka jednak je zbroju redova tenzora u produktu. Tako bi tenzorski umnoak dvaju tenzora drugogredabiotenzoretvrtogredailisimbolikiC=AB.Prikazomsadrajatenzorskog produkta s pomou komponenti slijedi izraz: l k j i kl ij l k kl j i ij l k j i ijkle e e e B A e e B e e A e e e e C = == = = == = Isputanjembaznihvektoraslijediindeksnizapistenzorskogproduktadvajutenzoradrugog reda, koji glasi: 18 kl ij ijklB A C = == = (55) Dvostrukomkontrakcijomindeksa(i=kij=l)dolazisedodvostrukogunutarnjegprodukta,pri emu tenzor Cijkl prelazi u skalar Cijij=. 1.3.7 Transponirani tenzor Transponirani tenzor drugog reda dobije se tako da se indeksima zamijene mjesta. Ako je tenzor Adefinirankao j i ije e A = == = A ,tadajenjemutransponiranitenzor j i jie e A = == =TA ,toimaisti uinak kao da su komponente ostale iste, a da su bazni vektori zamijenili mjesta. Gledajui samo komponente moe se pisati jiTijA A = == =i obrnuto, ijTjiA A = == = . Gledajui tablicu s komponentama tenzora,transponiranjeoznaujezamjenumjestastupacairedaka,kaotojeprikazanou sljedeem primjeru. 9 0 31 6 42 6 8 = == =ijA ,9 1 20 6 63 4 8T = == =ijA 1.3.8 Simetrini tenzori Simetrinitenzoridrugogredasusvionikojisenemijenjajutransponiranjem,tj.zasimetrini tenzor drugog reda vrijedi S=ST, odnosno Sij=Sji. Prema tome simetrini tenzor se ne mijenja ako mu se indeksima zamjene mjesta. Ako se gleda tablica s komponentama tenzora, to znai da su komponentekojesenalazeiznadglavnedijagonalejednakeodgovarajuimkomponentama ispodglavnedijagonale.Simetrinitenzordrugogredaimaestrazliitihkomponenti,kakoje prikazano u sljedeem primjeru. 5 0 10 4 31 3 7 = == =ijS Zatenzoreviegredakaesedasusimetriniuodnosunadvaindeksaijomsezamjenom tenzornemijenja.TakobisezatenzorTzakojivrijediTijk=Tikjkazalodajesimetrianu odnosu na indekse j i k. 1.3.9 Antisimetrini tenzori Antisimetrini tenzori drugog reda su suprotni po predznaku svome transponiranome tenzoru, tj. za antisimetrini tenzor A vrijedi A=-AT ili u indeksnom zapisu je Aij=-Aji. Iz same definicije je jasno da antisimetrini tenzor ima nule na glavnoj dijagonali, a da su komponente iznad glavne dijagonalejednakepoveliini,alisuprotnepopredznakukomponentamaispodglavne dijagonale kao to prikazuje sljedei primjer: 19 0 4 64 0 36 3 0 = == =ijA Neraunajuipromjenepredznakalanovaiznadglavnedijagonaleuodnosunalanoveispod glavne dijagonale, antisimetrini tenzor je definiran s tri razliite komponente. Za tenzore vieg redakaesedasuantisimetriniuodnosunadvaindeksaijomsezamjenomtenzorumijenja predznak. Tako bi se za tenzor T za koji vrijedi Tijk=-Tikj kazalo da je antisimetrian u odnosu na indekse j i k. Permutacijski simbol ijk je takoer antisimetrian u odnosu na indekse i,j ; j,k i i,k. DvostrukiunutarnjiproduktsimetrinogSijiantisimetrinogAijtenzorajednakjenuli. Ova se tvrdnja lako dokazuje. Produkt ij ij A S = == = se moe prikazati kao zbroj dvaju polovina: ij ij ij ijA S A S2121+ ++ + = == = Akoseudrugomlanudesnestranegornjegizrazaiskoristesvojstvasimetrinogodnosno antisimetrinog tenzora, tj. Sij=Sji i Aij=-Aji gornji izraz se moe zapisati kao: ji ji ij ijA S A S2121 = == = Dreisepraviladasenijemimindeksimasmijepromijenitiime,uprvomlanudesnestrane gornjeg izraza e se nijemi indeks i zamijeniti sa k, a nijemi indeks j sa m, dok e se u drugom lanu nijemi indeks i zamijeniti sa m, a nijemi indeks j sa k, te gornji izraz prelazi u: 02121= == = = == =km km km kmA S A S ime je gornja tvrdnja o dvostrukom unutarnjem produktu simetrinog i antisimetrinog tenzora dokazana.Ovovrijediizadvostrukiunutarnjiprodukttenzoraviegredastimdajejedanod njih simetrian u odnosu na nijeme indekse, a drugi antisimetrian. Dvostruki unutarnji produkt permutacijskogsimbolasasimetrinimtenzoromtakoerjejednaknuli.NaprimjerakojeSij simetrini tenzor, tada vrijedi: 0 = == =jk ijkS (56) Gornjiizrazpredstavljavektorskujednadbujerjeindeksislobodniindeks,toznaidase gornja jednadba moe rastaviti na tri skalarne od kojih je svaka jednaka nuli. Svaki tenzor drugog reda se moe prikazati zbrojem simetrinog i antisimetrinog tenzora. Ova tvrdnja se takoer lako dokazuje. Neka Tij oznauje komponente nekog tenzora drugog reda, kojesemoguprikazatizbrojemnjegovihpolovinakojemusedodajeioduzimapolovina njegovog transponiranog tenzora, tj. vrijedi: ji ji ij ij ijT T T T T21212121 + ++ + + ++ + = == = 20 Grupiranjemprvogitreegpribrojnikadesnestranegornjegizrazadobivasesimetrinidio tenzoraT,aspajanjemdrugogietvrtoglanadobivasenjegovantisimetrinidio,tj.moese pisati: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )ij ij ji ij ji ij ijA S T T T T T + ++ + = == = + ++ + + ++ + = == =2121(57) SimetrinidiojejednapolovinazbrojatenzoraTitransponiranogtenzoraTT,dokje antisimetrini dio jednak polovini njihove razlike. Sljedei primjer ilustrira razlaganje tenzora na simetrini i antisimetrini dio. 0 6 16 0 41 4 03 1 31 1 43 4 63 5 27 1 84 0 6 + ++ + = == = (58) 1.3.10 Dualni vektor tenzora drugog reda SvakomsetenzorudrugogredazadanomkomponentamaTjkmoepridruitidualnivektordi, definiran izrazom: jk ijk iT d = == = (59) Razlaganjem tenzora na njegov simetrini i antisimetrini dio prema (57), uzimajui u obzir da je umnoakpermutacijskogsimbolasasimetrinimdijelomjednaknuliprema(56),zakljuujese da se definicija (59) moe pisati i u obliku: jk ijk iA d = == = (60) gdjejeAijantisimetrinidiotenzoraTij.Kaotojeprijereenoantisimetrinitenzorimatri razliitekomponente(neraunajuirazliitostpredznakalanovaiznadiispodglavne dijagonale)poputvektora,pajeloginodagasemoeopisatispomouvektorakakoje definiranoizrazom(60).Akoseizraz(60)pomnoisilm,teumnoakijkilmzamijeni umnokom Kroneckerovih simbola prema (28), dobije se: ( (( ( ) )) )lm ml lm jk kl jm km jl i ilmA A A A d 2 = == = = == = = == = U gornjem je izrazu za dobivanje zadnjeg lana iskoriteno svojstvo antisimetrinosti tenzora Aij, a izraz se moe napisati i u obliku: i ilm lmd A 21= == =(61) Dakle, svaki se tenzor moe prikazati s pomou simetrinog i antisimetrinog dijela ili s pomou simetrinog dijela i dualnog vektora u obliku: k kij ij ij ij ijd S A S T 21+ ++ + = == = + ++ + = == =(62) 21 1.3.11 Sferni i devijatorski dio tenzora drugog reda Svakisetenzordrugogredamoeprikazatikaozbrojsfernogidevijatorskogdijelatenzorau obliku: ij ij kk ijT T + ++ + = == = 31(63) gdje je prvi lan desne strane sferni dio, a drugidevijatorski dio tenzora. Oito da je Tkk skalar, pajesfernidioizotropnitenzor,kojemuseprirotacijikoordinatnogsustavakomponentene mijenjaju. Devijatorski dio tenzora se rauna kao razlika samog tenzora i njegova sfernog dijela. Kontrakcijomindeksauizrazu(63)slijedidajejj=0(sumalanovanaglavnojdijagonali devijatorskogdijelatenzorajenula).Sljedeiprimjerilustrirarazlaganjetenzoranasfernii devijatorski dio. 4 2 12 0 51 5 44 0 00 4 00 0 40 2 12 4 51 5 8 + ++ + = == = 22 1.4 DIFERENCIJALNI OPERATORI Udosadanjemdijelusebaratalosvektorimaitenzorimakaopojedinanimmatematikim objektima.Umehanicikontinuumasespomouskalara,vektoraitenzoraopisujufizikalna svojstvakojaseuopemsluajumijenjajuodtokedotokekontinuuma,takodaonipostaju funkcije prostornih koordinata, pa se govori o skalarnim, vektorskim i tenzorskim poljima. Ako se svakoj toki kontinuuma definira pripadajua temperatura dobiva se polje temperature. Ako se svakojtokikontinuumadefinirabrzinagibanja,dobivasevektorskopoljebrzine.Akoseu svakoj toki kontinuuma definira stanje naprezanja dolazi se do tenzorskog polja naprezanja, itd. Poljafizikalnihveliinasuuopemsluajunesamofunkcijeprostornihnegoivremenske koordinate, te se kae da su nestacionarna. U ovom e se poglavlju promatrati samo stacionarna poljakojanisufunkcijavremena.Unastavkuesesa ( (( ( ) )) ) r

= == =oznaavatiskalarnopolje,sa ( (( ( ) )) ) r v v

= == = vektorskopolje,asa( (( ( ) )) ) r

T T= == = tenzorskopolje.Naravnodasevektorskopolje prikazuje s pomou triju skalarnih polja: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )3 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 1, , , , , , e x x x v e x x x v e x x x v x vi + ++ + + ++ + = == = , atenzorskopoljedrugogredaspomoudevetskalarnihpolja(svakakomponentajejedno skalarnopolje).Zaopisosnovnihzakonaumehanicikontinuumabitepotrebnodefinirati osnovneoperacijediferencijalnograunakojesesimbolikidajuzapisatispomounabla operatora7 definiranog kao: iixexexexe = + + = 332211(64) gdjeumjestooznake moestajatiskalarno,vektorskoilitenzorskopoljepriemuseza vektorskoitenzorskopoljetrebadefiniratinainprimjeneovogoperatora:tenzorski,vektorski ili skalarni produkt. 1.4.1 Gradijent, usmjerena derivacija i potpuni diferencijal Diferencijalni operator gradijent dobiva se primjenom operatora nabla na skalarna, vektorska ili tenzorskapolja.Ovajoperatorpodieredtenzorazajedan.Takojegradijentskalarnogpolja vektorsko polje, gradijent vektorskog polja je tenzorsko polje, a gradijent tenzora drugog reda je tenzor treeg reda. Gradijent se dobiva primjenom operatora nabla na polje iji se gradijent eli odrediti. Tako bi gradijent skalarnog polja bio: iiexexexex =++= = 332211grad (65) Iz prethodnog izraza je oito da jegradijent skalarnog polja vektorsko polje, a i-ta komponenta tog polja je : ( )iix = grad (66) 7 Operator jo nosi naziv Hamiltonov ili del operator 23 Poistompravilusedefiniraigradijentvektorskogpolja.Primjenomnablaoperatora(64)na vektorsko polje, analogno izrazu (65) daje: ( )j iijij jie exvxe ve v v

== = grad (67) Izizraza(67)jejasnodajegradijentvektorskogpoljatenzorskopolje,ijajekomponenta zadana indeksima i i j definirana kao: ( )ijijxvv=

grad (68) Analogno se definira i gradijent tenzora: ( )k j iijkik j jkie e exTxe e Te

== = T T grad (69) Komponenta gradijenta tenzorskog polja drugog reda zadana indeksima ijk je: ( )ijkijkxT= T grad (70) Izformule(65)jejasnodakomponentegradijentaskalarnogpoljaodgovarajuparcijalnim derivacijama polja u smjeru pripadajuih osi. Oito da se do parcijalne derivacije u smjeru osi x1moedoiskalarnimmnoenjemjedininogvektorausmjeruosix1igradijentapolja. Slinosedolaziidoparcijalnihderivacijausmjeruosix2ix3.Istotakojemoguedefinirati parcijalnuderivacijupoljauproizvoljnomsmjeruskalarnomnoeigradijentpoljas jedininimvektoromkojipokazujeeljenismjerderiviranja.Akojen

jedininivektorzadan komponentama ni, tada se usmjerena derivacija polja u smjeru n rauna kao: jj jj i inx xe e n nn = = = grad (71) Jednako tako je usmjerena derivacija vektorskog polja vektor definiran kao: k jjkjk kj i ie nxvxe ve e n v nnv

= = =grad (72) Iz izraza (72) se moe oitati k-ta komponenta usmjerene derivacije vektorskog polja: jjkknxvnv= ||

\|

(73) Analognosedefiniraiusmjerenaderivacijatenzorskogpoljadrugogredazadanog komponentama Tij u obliku: ( ) gradijkijij kTn nn x | |= = | \ TT (74) 24 Poznavajuiparcijalnederivacijepoljaupojedinomsmjerulakoseodreujeprirastpolja kada se iz jedne toke pomakne u drugu blisku toku koja se nalazi na smjeru u kojem je poznata parcijalnaderivacija.Takobiprirastdpoljapriinfinitezimalnompomakudx1izjedneu drugu toku koje se nalaze na osi x1 bio: 11d d xx = Analogno bi se odredili infinitezimalni prirasti polja pri infinitezimalnim pomacima u smjeru osix2ix3.Akobipomakizmeudvajubliskihtoakabiodefiniranelementarnimvektorom pomaka: 3 3 2 2 1 1d d d d d e x e x e x e x ri i

+ + = = (75) tadabiseprirastpoljauslijedpomakar

d prikazaoskalarnimumnokomvektorapomakai gradijenta polja : 332211d d d d d grad d d xxxxxxxx xe e x rjj jj i i++== = = (76) Izraz (76) oznauje poznatu formulu za potpuni diferencijal polja iz koje se moe zakljuiti o dvabitnasvojstvagradijentaskalarnogpolja.Kadasuvektorpomakar

d ivektorgradijenta gradparalelnivektorinjihoveskalarniproduktbitimaksimalnomogui,toznaidaei prirast polja biti maksimalan. Iz toga se zakljuuje da gradijent polja pokazuje smjer najbre promjenepolja.Takoerjejasnodakadajevektorpomakar

d paralelanisuprotnousmjeren vektorugradijenta,daenjihovskalarniproduktbitiminimalnomogui,teepoljenajbre opadatiiduiusmjerusuprotnomodvektoragradijenta.Akosuvektorgradijentaivektor pomaka okomiti vektori, njihov skalarni umnoak je jednak nuli to znai da nema prirasta polja , tj. tada se vektor pomaka nalazi u povrini u kojoj je vrijednost polja konstantna. Takva se povrinanazivarazinskomplohompolja.Izreenogsezakljuujedajevektorgradijenta okomit na razinsku plohu polja. Analognoizrazu(76)zaodreivanjediferencijalnogprirastaskalarnogpolja,definirajusei izrazi za diferencijalni prirast vektorskog odnosno tenzorskog polja, koji glase: ( )jjkk k jjkjk kj i ixxvv e xxvxe ve e x v r v d d ili d d grad d d== = =

(77) ( )jjklkl l k jjkljl k klj i ixxTT e e xxTxe e Te e x r d d ili d d grad d d== = =

T T (78) 1.4.2 Divergencija Divergencijajeoperatorkojisniavaredtenzorazajedan.Naravnodaondanepostoji divergencija skalarnog polja, jer je skalarno polje tenzorsko polje nultog reda, pa bi rezultat bio reda minus jedan to nepostoji. Divergencija vektorskog polja je skalarno polje, a divergencija 25 tenzorskogpoljajevektorskopolje.Divergencijavektorskogpoljasimbolikiseoznaava skalarnim umnokom nable i polja u obliku: ( )332211 divxvxvxvxvxve vxe v vjjijijj jii++=== = = (79) Divergencija tenzorskog polja je vektorsko polje oblika: ( ) ( )jjkk kjjkk ijijkk j jkiixTexTexTe e Txe=== = = T T T div ili div

(80) 1.4.3 Rotor vektorskog polja Rotorvektorskogpoljajevektorskopoljekojesesimbolikizapisujevektorskimproduktom nable i vektorskog polja: ( ) ( )jkijk i ijkijk k jjkk kjjxvv exve exve vxe v v== = = = rot ili rot (81) 1.4.4. Laplaceov (delta) operator Laplaceovilideltaoperatordefiniranjekaodivergencijagradijentaioznaavasesa. Primjenom Laplaceova operatora na skalarno polje dobije se: i i jjiix x xexe =|||

\|= = = 2) ( ) div(grad (82) Delta operator se dakle moe zapisati u obliku: 2 2 21 2 3i ix x x x x = = + + (83) gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje. 26 1. 5 INTEGRALI I INTEGRALNE FORMULE Umehanicifluidasepojavljujutrivrsteintegrala:krivuljni,povrinskiivolumenskiintegrali. Krivuljnim integralom prikazuje se npr. cirkulacija brzine, a povrinskim integralom protok kroz povrinu. Postoji veza izmeu krivuljnog integrala po zatvorenoj krivulji i povrinskog integrala popovrinikojajeobrubljenatomzatvorenomkrivuljom.Takoerpostojivezaizmeu povrinskogintegralapozatvorenojpovriniivolumenskogintegralapovolumenu obuhvaenom zatvorenom povrinom. U nastavku e se definirati spomenute tri vrste integrala, tedatiformulekojedefinirajureenevezemeurazliitimintegralima.Nakrajuesedati Leibnizova formula za vremensku derivaciju volumenskog integrala po vremenski promjenjivom volumenu. 1.5.1 Prostorna krivulja i krivuljni integral Slika8.prikazujekrivuljuComeenutokamaAiB.Jedanodnainaanalitikogzadavanja krivuljejeparametarski,ukojemsepoloajsvaketokenakrivuljiopisujevektorompoloaja koji je funkcija parametra t, u obliku: 3 3 2 2 1 1) ( ) ( ) ( ) ( e t x e t x e t x t r + + = (84) PoveavajuivrijednostparametratugranicamatA(vrijednostparametrautokiA)dotB dobivajusesvetokekrivuljeC,omeene tokamaAiB.AkosutokeAiBiste, krivuljajezatvorena.Usmjerenielements

dkrivuljeCorijentiranjeusmjeruporasta parametratiodgovararazlicivektora poloajakaotojedefiniranonaslici8. Komponenteelementarnogvektoras

d u indeksnoj notaciji su: 3 3 2 2 1 1d d d d d e x e x e x e x sj j

+ + = =(85) Krivuljniintegralvektorskogpoljav

po orijentiranojkrivuljiC,obrubljenojtokama A i B, definiran je izrazom8: = BABAd dj jx v s v (86) 8Osimnavedenoglinijskogintegralamoguejedefiniratiisljedeelinijskeintegrale: s

d , gdjejeskalarnopoljeili s v d ,gdjejev

vektorskopolje.Takoerjemoguedefinirati krivuljniintegralponeorijentiranomlukukrivuljenpr. s d .Ovdjeesekoristitisamooblik krivuljnogintegralakojijedanutekstu,spomoukojegsedefinirajufizikalnipojmovipoput mehanikog rada u polju sile i cirkulacije brzine. r t r t t r s d ) ( ) d ( d = + =) (t r

) d ( t t r +

O x1 x2 x3 A B Slika 8. Usmjereni element krivulje 27 Tako se npr. u mehanici rad polja sile na putu du krivulje C, opisuje krivuljnim integralom, koji sejonazivahodupoljusiledukrivuljeC.Krivuljniintegralpojednostavnozatvorenoj krivulji C (krivulja koja nema samopresjecita) nosi naziv ophod ili cirkulacija, a oznauje se u obliku: = Cj jCx v s v d d (87) Ako jev

polje brzine gornji izraz oznauje cirkulaciju brzine po zatvorenoj krivulji C. 1.5.2 Bezcirkulacijsko, konzervativno, potencijalno i bezvrtlono polje Vektorsko poljev

je bezcirkulacijsko (bezophodno) ako je cirkulacija po bilo kojoj jednostavno zatvorenoj krivulji C u podruju poljav

, jednaka nuli, tj. vrijedi: 0 d =Cj jx v (88) Vektorskopoljev

jekonzervativnoakokrivuljniintegralizmeutoakaAiBnezavisiod krivulje koja spaja te toke. Lako se moe pokazati da je vektorsko polje bezcirkulacijsko ako i samo ako je konzervativno. Svako vektorsko polje koje se moe prikazati s pomou gradijenta skalarnog polja u obliku: jjxv v= = ili grad

naziva se potencijalnim poljem, kojemu je polje skalarni potencijal. Svako potencijalno polje jekonzervativnoibezophodno,jerjekrivuljniintegraldukrivuljeobrubljenetokamaAiB jednak: ( ) ( ) A x x vj j j = == BABAjBAB d dxd (89) Iz izraza (89) je jasno da se za sluaj potencijalnog polja podintegralna funkcija svodi na potpuni diferencijal, te je vrijednost krivuljnog integrala jednaka razlici potencijala u tokama B i A i ne zavisi od spojnice toaka A i B, to je po definiciji svojstvo konzervativnih polja. Ako je krivulja zatvorena,toznaidasetokeAiBpoklapaju,slijediizizraza(89)daeicirkulacija potencijalnogpoljabitijednakanuli,tojeosobinabezcirkulacijskogpolja.Daklepotencijalno poljejekonzervativnoibezcirkulacijsko.Lakosepokaedajerotorpotencijalnogpoljanul vektor, jer je: ( ) ( ) ( ) 0 grad rot rot =|||

\|= =k jijk i ix xv

(90) Gornjijeizrazjednaknulijerjetenzor |||

\|k jx xsimetrianuodnosunaindeksejik(zbog poznatogpravilapokojemujedozvoljenazamjenaredoslijedaderiviranja),apermutacijski 28 tenzorjeantisimetriansobziromnaindeksejik,tejenjihovumnoak,premaprijereenom pravilujednaknuli.Vektorskopoljekojemujerotorjednaknulijebezvrtlonopolje,pase zakljuuje da su pojmovi potencijalnosti i bezvrtlonosti poljav

ekvivalentni. 1.5.3 Povrinski integral Slika9.prikazujepovrinuS,obrubljenu krivuljomC.Prostornapovrinaseanalitiki moezadatiuparametarskomobliku(gdjeje svaka komponenta radius vektora koji pokazuje na toku povrine, funkcija dvaju parametra) ili funkcijomF(xi)=0.Orijentiraniinfinitezimalni elementpovrineSdefiniranjeuobliku S n S d d

= ,gdjejen

jedininivektornormale napovrinuS,adSinfinitezimalnidiote povrine.Pozitivnismjernormalejeodreen pravilomdesneruke,tj.akoseprstimadesne rukekruiupozitivnomsmjeru(obrnutood kazaljkenasatu)tadapalacdesneruke pokazujepozitivnismjernormale.Akoje povrinaSzatvorena(povrinakojaobrubljuje tijelo)pozitivnastranapovrinejeorijentirana vanjskomnormalom.Definirajuseslijedeetri vrste integrala po orijentiranoj povrini9: =SjS SS n S n S d ili d d

(91) = Sj jS SS n v S n v S v d ili d d

(92) = Sk j ijkS SS n v S n v S v d ili d d

(93) U mehanici kontinuumase npr. integralom tipa (91) odreuje rezultantna sila tlaka na povrinu S, a integral (92) definira tok ili fluks vektorav

kroz povrinu S. Ako je vektorv

vektor brzine ondasegovoriovolumenskomprotoku.IntegralpozatvorenojpovriniS,orijentiranoj vanjskom normalom oznauje se na sljedei nain: SS n v d

9Moguejedefiniratiipovrinskiintegralponeorijentiranojpovrini,npr. SS d ,akojise ovdje nee koristiti. n

x3 x2 x1 O S C dS Slika 9. Povrina u prostoru 29 1.5.4 Volumenski integral Volumenskiiliobujamskiintegralskalarnogpolja,definiranogsvojomvolumenskom gustoom u obliku: dV VV dlim0 = =(94) gdjejesadrajfizikalnogsvojstvaunutarelementarnogvolumenaV.Oitodae volumenskim integralom: =VV d (95) bitidefiniransadrajfizikalnogsvojstvaunutarvolumenaV.Analognosemoedefinirati volumenski integral vektorskog i tenzorskog polja: ViVV v dV v d zapisu indeksnom u ili

(96) VijVV T dV d zapisu indeksnom u ili T (97) 1.5.5 Stokesova formula Slika 10. prikazuje povrinu S obrubljenu zatvorenom krivuljom C. Stokesova formula povezuje krivuljniintegralpoorijentiranojzatvorenojkrivuljiCipovrinskiintegralpoorijentiranoj povrini S. Ako jev

vektorsko polje, prema Stokesovoj formuli vrijedi: ( ) = = S SCS n v S v s v d d rot d

(98) ili u indeksnom zapisu: S nxvx vmSpjmpjCj jd d = (99) PritomepovrinaSoznaujebilokojupovrinu kojojjerubzatvorenakrivuljaC.Iz(98)slijedi prijereenopravilodajebezvrtlonopolje ( ) 0 rot

= v bezcirkulacijsko,toznaidaje potencijalno. Stokesovaformulaseuindeksnomzapisumoe poopiti u oblik: S nxxmSpmpjCjd d = (100) n

C Slika 10. Uz Stokesovu formulu x3 x2 x1 O S dS s

d30 gdjeumjestooznakemoestajatiskalarnopoljeilikomponentevektorskogilitenzorskog polja. Na primjer za skalarno polje vrijedi: S nxxmSpmpjCjd d = ili =SCS s grad d d

(101) 1.5.6 Gaussova formula Slika11.prikazujevolumenVomeenzatvorenompovrinomS.PovrinaSjeorijentirana jedininimvektoromn

vanjskenormale. Gaussovaformula10povezujepovrinski integralpoorijentiranojpovriniSi volumenski integral po volumenu omeenom tom povrinom. Prema Gaussovoj formuli za vektorsko poljev

vrijedi: = = V V SV v V v S n v d d div d (102) ili u indeksnom zapisu: d djj jj S Vvv n S Vx= (103) Akojev

vektorskopoljebrzine,tada povrinskiintegralugornjadvaizraza oznauje volumenski protok kroz povrinu S.Gaussovaformulaseuindeksnojnotaciji moe pisati openitije u obliku: VxS nVjSjd d = (104) gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje. Ako je p polje tlaka, tada vrijedi: VxpS pnVjSjd d = ili = V SV p S n p d grad d

(105) gdje povrinski integral oznauje rezultirajuu silu tlaka na zatvorenu povrinu S. Iz izraza (105) slijedi poznato pravilo da je rezultirajua sila konstantnog tlaka na tijelo jednaka nuli. U opem su sluaju povrinske sile zadane tenzorom naprezanja, te vrijedi: VxTS n TVjjiSj jid d = ili = V SV S n d div d T T

(106) 10UruskojseliteraturiovaformulanazivaformulomOstrogradskog,amoesenaiipod nazivom formula divergencije. S Slika 11. Uz Gaussovu formulu O x3 x2 x1 dV V n

dS 31 gdje unutarnji produkt vektora normale i tenzora naprezanja oznauje vektor naprezanja, kao to je dano izrazom (53). Jasno je da se primjenom Gaussove formule povrinske sile (po zatvorenoj povrini tijela) mogu prikazati i volumenskim integralom. 1.5.7 Solenoidalno vektorsko polje Prije je pokazano da se potencijalno ili bezvrtlono vektorsko polje moe prikazati gradijentom skalarnogpoljakojenosinazivskalarnipotencijalvektorskogpolja.Rotorpotencijalnogpolja identikijejednaknuli.Zapoljekodkojegajedivergencijaidentikijednakanuli( v

div =0), kae se da je bezizvorno ili solenoidalno.Iz formule (102) je vidljivo da je za bezizvorno polje brzine,volumenskiprotokkrozzatvorenupovrinujednaknuli,tj.volumenskiprotokkojim kontinuum ulazi u volumen V, jednak je volumenskom protoku kojim kontinuum iz njega izlazi. Svako bezizvorno polje se moe prikazati s pomou rotora nekog drugog vektorskog polja, koje se naziva vektorskim potencijalom. Ako je poljea

vektorski potencijal poljav

, tada vrijedi: jkijk ixav a v= = ili rot (107) Jasnojedajedivergencijapoljav

jednakanuli,jerjediv(rot a

)=0,tojeuindeksnomzapisu oito: 0 div2= =|||

\|==i jkijkjkijki iix xaxax xvv

jerjepermutacijskisimbolantisimetrianuodnosunaindekseiij,dokjetenzor i jkx xa 2 simetrianuodnosunateisteindekse,zbogpravilaozamjeniredoslijedaderiviranja,aprema prije reenom pravilu produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora jednak je nuli. Budui da je rotorpotencijalnogvektorskogpoljajednaknuli,zazadanovektorskopoljev

vektorskije potencijala

neodreendonagradU(jerjerot( a

+gradU)=rot a

).Svakoesevektorskopolje moi prikazati zbrojem svoga potencijalnog i solenoidalnog dijela. 1.5.8 Leibnizova formula estojeumehanicikontinuumapotrebnoodreditibrzinupromjene(vremenskuderivaciju) sadrajafizikalnogsvojstvaunutarvremenskipromjenjivogvolumena.Akovremenski promjenjivopolje(xi,t)oznaujevolumenskugustounekogfizikalnogsvojstva(skalarog, vektorskogilitenzorskogkaraktera),brzinupromjenesadrajatogfizikalnogsvojstvaunutar vremenski promjenjivog volumena V(t) se zapisuje u obliku: ) (d t) , (ddt ViV xt (108) Drei se definicije derivacije, moe se pisati: tV t x V t t xV xtt t V t Vi itt Vid ) , ( d ) , (lim d t) , (dd ) ( ) (0 ) ( + += (109) 32 Slika12.shematskiprikazujepoloajevolumenaV(t)iV(t+t)upripadajuimvremenskim trenucima.Povrinekojeomeuju volumenVudvamatrenucimasu oznaene sa S(t) i S(t+t). Ako je povrina kojaomeujevolumenopisana implicitnomfunkcijomF(xi,t)=0,(kojaje identiki jednaka nuli kada se u nju uvrste koordinatetoakapovrineS),tadaje brzinaujpomicanjatoakagraniceSpo definiciji: txujjdd= (110) VolumenV(t+t)semoeprikazatikao zbrojvolumenaV(t)iprirastavolumena V,kojijenaslici12.osjenan. Uzimajui u obzir pravilo da je integral po zbrojuvolumenajednakzbrojuintegrala popojedinanimvolumenima,tedase razlika integrala po volumenu V(t) moe svesti na jedan integral, izraz (109) prelazi u oblik: [ ]( ) 0( )( , ) ( , ) d ( , )ddd limd i i iVt VtVtx t t x t V x t t VVt t + + + = (111) Limes podintegralne funkcije prvog integrala gornjeg izraza (podijeljen s t) oznauje parcijalnu derivaciju polja po vremenu, a diferencijal prirasta volumena V sa slike 12. se moe izraziti formulom za volumen kose prizme baze dS, visine ujnjt: S t n u dVj jd = (112) gdje je ujt put koji prevali toka granice u vremenu t, a nj jedinini vektor vanjske normale na povrinuS(t).Uvrtavajuiizraz(112)udrugiintegraldesnestraneizraza(111)onprelazina povrinskiintegralpopovriniS(t),pakonanaformulazaizraunavanjebrzinepromjene sadraja fizikalnog svojstva unutar vremenski promjenjivog volumena glasi: +=) ( ) ( ) (d d dddt Sj jt V t VS n u VtVt (113) Izraz(113)senazivaLeibnizovomformulom.PrimjenomGaussoveformulenapovrinski integral u gornjem izrazu Leibnizova formula prelazi u oblik: ( )VxutVtt Vjjt Vd ddd) ( ) ( |||

\|+=(114) Slika 12. Uz Leibnizovu formulu O x3 x2 x1 S(t+t) u

t n

dS V V(t) S(t)