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ÉLECTROCINÉTIQUE - RÉSEAUX - corrigé des exercices A.EXERCICES DE BASE I. Théorème de superposition et "grillage infini" 1. • Chaque branche du grillage a une caractéristique affine (simple résistance), donc le système d'équa-tions décrivant le réseau est linéaire et on peut utiliser le théorème de superposition. 2. • Pour que la superposition soit correcte, il faut en particulier qu'elle respecte la superposition des courants imposés par les générateurs : ◊ le courant qui entre dans le grillage en A est Ic dans le schéma de gauche et nul dans le schéma de droite, cela donne bien un total Ic comme dans le réseau réel ; ◊ le courant qui sort du grillage en B est nul dans le schéma de gauche et Ic dans le schéma de droite, cela donne bien un total Ic comme dans le réseau réel ; ◊ le courant qui sort du grillage à l'infini est Ic dans le schéma de gauche et -Ic dans le schéma de droite, cela donne bien un total nul comme dans le réseau réel. 3. • Le fil “à l'infini”, “infiniment long” et de résistance nulle, est physiquement irréalisable. Mais les deux schémas qu'on superpose ne sont que des représentations symboliques de ce que serait le système phy-sique décrit par les équations mathématiques intervenant dans les calculs intermédiaires. Le fait qu'un tel système physique ne puisse pas exister importe peu si le système d'équations mathématiques se simplifie à la fin, et que la solution mathématique décrit finalement correctement un système physique réel. 4. • Si la périphérie du grillage est supposée infiniment conductrice, le point de branchement à l'infini peut être placé de n'importe quel côté. Le schéma de gauche est alors invariant par symétrie selon un axe vertical passant par A, donc le courant dans la branche à droite de A est égal au courant dans la branche à gauche de A. • En considérant de même les symétries par rapport à un axe horizontal, puis par rapport à des axes inclinés selon les diagonales, on conclut que les courants dans les quatre branches issues de A sont égaux entre eux, et sont donc égaux à

!

Ic4

.

5. • On peut en déduire dans le schéma de gauche : UAB = r

!

Ic4

.

• De même, le schéma de droite correspond à un courant

!

Ic4

dans chacune des quatre branches qui

se rejoignent en B. Ceci correspond de même à : UAB = r

!

Ic4

.

6. • Par superposition de ces deux contributions, le courant dans la branche AB est

!

Ic2

, et la tension

correspondante est : UAB = r

!

Ic2

=

!

r2

Ic, cʼest-à-dire que la résistance équivalente est : R =

!

r2

.

II. Électrolyseur 1. • L'énoncé indique E > 0 donc le schéma du générateur correspond à la convention de signe “usuelle”. Puisque l'électrolyseur est un dipôle passif, le générateur impose dans les branches de droite un courant du haut vers le bas, ce qui correspond à I ≥ 0. ◊ remarque : le courant peut être nul si la tension imposée entre ses bornes est insuffisante pour provoquer l'électrolyse.

2

2. • Avec les notations de Thévenin, on peut utiliser le schéma équivalent suivant (où on a aussi schéma-tisé le montage du rhéostat) :

3. • On peut séparer le problème en deux parties : remplacer l'assemblage de gauche (générateur parfait plus montage “diviseur de tension”) par un générateur équivalent, réglable en tension, puis étudier le courant imposé par ce générateur selon la loi de Pouillet.

• La force électromotrice E” du générateur de Thévenin équivalent est la tension "à vide", c'est-à-dire pour I = 0. On obtient dans ce cas (diviseur de tension) : E” = UAB(0)

= E

!

xR

.

• La résistance R” du générateur équivalent est celle qu'on obtient en considérant le générateur à l'arrêt, c'est-à-dire pour E = 0. Ceci correspond à deux résistances x et R-x en parallèle : R” =

!

x (R " x)R

.

• En cours d'électrolyse, on obtient donc (tant que cette relation correspond à une valeur positive) : I =

!

" " E # " E " " R + " R

=

!

xE "R # E R # R + x(R " x)

.

• La relation précédente est ainsi valable pour x ≥ x0 =

!

R " E E

= 4 Ω ; pour 0 < x < x0 on obtient I = 0.

• On obtient finalement le graphique suivant :

RE’/E

01234567

0 2 4 6 8 10

x (!)

I (

A)

III. Pont de Wheatstone et source de courant 1. • Pour utiliser la représentation de Thévenin, on remplace la partie du réseau complémentaire de Rd par un générateur de Thévenin de force électromotrice E et de résistance R.

3

• La f.e.m. E est égale à la tension UBD “à vide” (sans Rd). La méthode du diviseur de courant donne :

I1 = Ic

!

R3 +R4R1+R2 +R3 +R4

et I4 = Ic

!

R1+R2R1+R2 +R3 +R4

, puis : E = UBD(0) = R4I4 - R1I1 = Ic

!

R2R4 "R1R3R1+R2 +R3 +R4

.

• La résistance R est égale à la résistance du même circuit, avec générateur à l'arrêt (Ic = 0, ce qui correspond à “ouvrir” cette branche du circuit). Or, cette résistance correspond à R1+R4 en

parallèle avec R2+R3 : R =

!

(R1+R4)(R2 +R3)R1+R2 +R3 +R4

.

• Pour le montage simplifié, la loi de Pouillet donne : I =

!

ER +Rd

= Ic

!

R2R4 "R1R3(R1+R4)(R2 +R3) +Rd(R1+R2 +R3 +R4)

.

2. • Pour utiliser la représentation de Norton, on remplace la partie du réseau complémentaire de Rd par un générateur de Norton de courant de court-circuit Iʼc et de résistance R.

• Le courant de court-circuit est : Iʼc =

!

ER

= Ic

!

R2R4 "R1R3(R1+R4)(R2 +R3)

; mais on peut le calculer en court-

circuitant B et D. La méthode du diviseur de courant donne : I1 = Ic

!

R4R1+R4

et I2 = Ic

!

R3R2 +R3

, dʼoù Iʼc =

= I1 - I2 = Ic

!

R2R4 "R1R3(R1+R4)(R2 +R3)

.

• La résistance R est la même que précédemment : R =

!

(R1+R4)(R2 +R3)R1+R2 +R3 +R4

.

• Pour le montage simplifié, la méthode du diviseur de courant donne : I = Iʼc

!

RR +Rd

c'est-à-dire :

I = Ic

!

R2R4 "R1R3(R1+R4)(R2 +R3) +Rd(R1+R2 +R3 +R4)

.

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT IV. Association de résistances 1. • Les couples de points symétriques (B, D), (Bʼ, Dʼ) et (B”, D”) sont reliés de façon symétrique, donc le réseau est globalement symétrique par rapport au plan considéré.

4

2. • Les points symétriques considérés sont aux mêmes potentiels ; on peut les court-circuiter sans modifier la répartition des courants. 3. • En "aplatissant" le réseau “diagonalement” (D,Dʼ et D” sont respectivement confondus avec B, Bʼ et B”), et en remplaçant chaque paire de résistances r en parallèle par une résistance

!

r2

, on obtient le réseau

équivalent suivant, qui peut encore se simplifier par des associations en série :

4. • Dans un tel réseau, on peut continuer à simplifier par des équivalences triangle-étoile (triangles AʼBʼB” et BBʼCʼ) ; mais compte tenu de la symétrie centrale, et en utilisant la loi des nœuds, on peut limiter le nombre de courants inconnus à deux (nombre de mailles indépendantes). • En écrivant la loi des mailles, par exemple pour les deux mailles de gauche, on obtient : rI1 +

!

r2

(2I1 + I2 - I) -

!

r2

I2 -

!

r2

(I - I1) = 0 ;

!

r2

I2 +

!

r2

(2I1 + I2 - I) -

!

3r2

(I - I1 - I2) = 0.

• De la première équation, on déduit : I1 =

!

25

I ; en reportant dans la seconde, on obtient : I2 =

!

25

I.

• Ainsi : UAB = r I1 +

!

3r2

(I - I1 - I2) +

!

r2

(I - I1) = r I, d'où la résistance équivalente : R = r.

V. Pont de Wheatstone • On considère le circuit “à vide” :

La f.é.m. (tension UDF "à vide", en l'absence de R5) peut se calculer à partir de la loi de Millmann, et de la méthode du pont diviseur de tension :

UAB = G0E0G0 + G12 +G34

avec G12 = 1R1+R2

et G34 = 1R3 +R4

;

UAD = UAB R1

R1+R2 = UAB R1G12 et UAF = UAB R3G34 ;

E = UDF = UAF - UAD = G0E0G0 + G12 +G34

[R3G34 - R1G12] = G0E0G0 + G12 +G34

!

R2R3 "R1R4R1+R2( ) R3 +R4( )

.

• Lʼéquilibre du pont, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : I5 = ER +R5

= 0 ou UDF = R5I5 = 0, corres-

pond à : E = 0, cʼest-à-dire : R1R4 = R2R3.

5

VI. Pont de Wheatstone • On considère le circuit “à vide” :

Le courant de court circuit (courant IDF "à vide", en l'absence de R5) peut se calculer à partir de la loi de Pouillet, et de la méthode du pont diviseur de courant :

I0 = E0R0 +R13 +R24

avec R13 = 1G1+ G3

et R24 = 1G2 + G4

;

I1 = I0 G1G1+ G3

= I0 G1R13 et I2 = I0 G2R24 ;

Ic = IDF = I1 - I2 = E0R0 +R13 +R24

[G1R13 - G2R24] = E0R0 +R13 +R24

!

R2R3 "R1R4R1+R3( ) R2 +R4( )

.

• Lʼéquilibre du pont, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : UDF =

I cG +G5

= 0 ou I5 = G5UDF = 0,

correspond à : Ic = 0, cʼest-à-dire : R1R4 = R2R3. ◊ remarque : on peut "mélanger" les notations de Thévenin et de Norton. VII. Étude d'un transistor 1. • Dʼaprès le modèle équivalent : U1(I1, U2) = h11 I1 + h12 U2. Par ailleurs, le courant dans le résistor de conductance h22 est : h22 U2 = I2 - h21 I1 ; donc inversement : I2(I1, U2) = h22 U2 + h21 I1. 2.a. • Pour une sortie sur une résistance Rc on obtient : U2 = -Rc I2 et donc : I2 = -h22 Rc I2 + h21 I1. On

en déduit : Ai =

!

I 2I1

=

!

h211+h22Rc

.

2.b. • Dʼaprès ce qui précède, on obtient : I1 =

!

I 2Ai

= -

!

U2RcAi

donc : U1 = -h11

!

U2RcAi

+ h12 U2. On en tire :

Au =

!

U2U1

= -

!

Rch21h11+ ".Rc

.

2.c. • On obtient ainsi : Ap =

!

U2I 2U1I1

= AuAi = -

!

Rch212

(h11+ ".Rc )(1+h22Rc ).

2.d. • Le gain “maximum” (en valeur absolue) correspond à

!

"Ap"Rc

= 0 cʼest-à-dire à : Δ.h22 Rc2 - h11 = 0

et donc : Rc =

!

h11".h22

≈ 2000 Ω.

6

2.e. • Pour cette valeur particulière de Rc, on obtient :

Ai ≈ 48 ≈ h21 = 50 ; │Au│ ≈ 2400 ≈

!

1h12

= 2500 ; │Ap│ ≈ 115000 ≈

!

h21h12

= 125000.

• L'allure de la variation des gains est la suivante :

◊ remarque : les gains Au et Ap sont négatifs et on raisonne sur leur valeur absolue ; par ailleurs, les importantes variations des gains sont mieux représentées en échelles logarithmiques. 3.a. • Pour le montage "collecteur commun" : Iʼ1 = I1 ; Iʼ2 = -I1 - I2 ; Uʼ1 = U1 - U2 ; Uʼ2 = -U2. 3.b. • On peut écrire : Uʼ1 = (h11 I1 + h12 U2) - U2 ; cʼest-à-dire Uʼ1 = hʼ11Iʼ1 + hʼ12Uʼ2 avec hʼ11 = h11 = = 2 Ω et hʼ12 = 1 - h12 = 0,9996 ≈ 1. • De même : Iʼ2 = -I1 - (h22 U2 + h21 I1) ; cʼest-à-dire Iʼ2 = hʼ21Iʼ1 + hʼ22Uʼ2 avec hʼ21 = -1 - h21 = -51 et hʼ22 = h22 = 25 µS.

3.c. • Pour ce montage : Rc =

!

" h 11" # . " h 22

≈ 40 Ω ; et pour cette valeur de Rc on obtient :

│Ai│ ≈ 51 ≈ -hʼ21 ; Au ≈ 1 ≈

!

1" h 12

; │Ap│ ≈ 51 ≈ -

!

" h 21" h 12

.

◊ remarque : pourvu que le courant demandé ne soit pas trop grand (Rc pas trop petit), ce montage est “suiveur de tension” avec amplification du courant.

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• On obtient pour ce montage les variations suivantes :