1 Le mouvementbay/cours/cours/p-1.pdf · 2017-09-20 · 2 Le mouvement Nous avons besoin de a) un...
Transcript of 1 Le mouvementbay/cours/cours/p-1.pdf · 2017-09-20 · 2 Le mouvement Nous avons besoin de a) un...
1
Le mouvement
v 7.3
1
2
Le mouvement
Nous avons besoin de a) un observateur b) l'objet (point matériel, quark, projectile, voiture, planète, galaxie) c) des instruments calibrés par des unités de mesure d'espace et temps ex.: un mètre et une horloge d) un protocole de mesure
3
Le Mouvement Rectiligne .1
Passage à t0 = 35,25 s
Passage à t1 = 38,35 s
XX0 = 2,14 cm X1 = 16,24 cm 0
Vitesse: v = 14,10/3,10 = 4,54 cm/s
Δt = 38,35 − 35,25 = 3,10 s ΔX= 16,24 - 2.14 = 14,10 cm
4
Les unitésSystème International (SI): m, kg, s (mks) Autre possibilité cm, g, s (cgs) (... mais encore: inch, pound, s,...)
1 kg: masse du cylindre en Pt du Bureau des Poids et Mesures de Sèvres 1 s : 9 192 631 770 la période de la radiation d'une transition du Cs133 1 m : distance parcourue dans vide par la lumière en 1/299792458 s (ancienne définition: 1 650 763,73 la longueur d'onde de la radiation d'une transition du krypton 86)
Q.: comment on avait défini ces grandeurs à l'époque de Napoléon ?
5
Mesure des distancesO(1 m): mesure de la longueur par un mètre rigide gradué O(1 µm): réticule dans un microscope O(1 nm): méthodes de physique atomique (Scanning Tunneling Microscope) O(1 fm): physique nucléaire (expérience de Rutherford) O(< 1 fm): physique des particules (idem, à haute énergie)
O(1 km): photo aérienne, trigonométrie, temps de propagation d'une onde e.m. (radar,...)
Etoiles proches: parallaxe
Etoiles éloignées: Luminosité apparente = L étoile / r2
Galaxies: idem, Luminosité des galaxies
Ordre de
6
HubbleDeepField
7
Mesure du temps... nécessite un système en mouvement:
- mouvement des astres
- sablier
- bougies étalonnées
- systèmes oscillants pendules ressorts lame de quartz dans un circuit oscillant oscillations dans une horloge atomique
8
Quelle est la précision de la mesure ?Erreurs systématiques: associées à la précision de l'appareillage
Mesure d'une longueur: x1 = 16,24 cm erreur de calibration de la réglette ± 0,02 cm erreur de lecture par l'observateur ± 0,02 cm Résultat: x1 = 16,24 ± 0,04 cm
Temps [s], par 10 chronométreurs: 38,35 38,33 38,34 38,34 38,35 ...
Moyenne = 38.35 s é.q.m. = 0.011 s erreur sur moyenne =
€
100.011
Erreur statistique ± 0,004
38.35 s
temps (sec)
Entries
Mean
RMS
10
38.35
0.1114E-01
0
1
2
3
4
5
38.3 38.32 38.34 38.36 38.38 38.4 t [sec]
9
Mouvement rectiligne .2Le long de la trajectoire rectiligne, on effectue quelques mesure de vitesse...
v (entre t1 et t2) ≡ v1 v (entre t2 et t3) ≡ v2 v (entre t3 et t4) ≡ v3 etc... si v1 = v2 = v3 = ... la vitesse est constante: le mouvement est rectiligne et uniforme.
Attention: les {vi } sont des valeurs moyennes sur un intervalle de temps fini => pour plus de précision il faut introduire la vitesse instantanée
v(t1) = limite pour Δt → 0 de Δx/Δ t au temps t ~ t1
[v] = [longueur]/[temps] unités : cm/s
10
Vitesse instantanéeparcours [km]
temps [heures]
50
100
0 1 2
v = 0
v > 0
La vitesse instantanée est la pente de la courbe x(t)
x
t
v < 0
parcours d'une voiture sur une autoroute rectiligne
t1 t2
x2x1
11
Vitesse instantanée et accélération
vitesse [km/h]
temps [heures]
50
100
0 1 2
décélération
accélération
parcours [km]
temps [heures]
50
100
1 2
v = 0
v > 0xv < 0
12
Accélération
v(t) [km/h]
temps t [heures]
50
100
0 1 2
L'accélération (instantanée) a(t) est la pente de la courbe v(t)
[a] = [l]/[t2] unités : cm s-2
t1 t2
13
Quelques formules (voir plus loin)
Si a = 0, alors v = cte, et x(t) = x(0) + v t
Si a = cte, alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2
1 2
Exemple: chute verticale d'un corps depuis une hauteur y = h
v(t) = v(0) − g t avec g = 9.81 m s−2
y(t) = h + v(0)t − g t2
y
h
1 2
0
cte: constante
14
Mouvement en 2D
x
y
t0
t1 t2
t3
t4
t5position au temps t donnée par le couple de fonctions:
x = x(t) y = y(t)
vitesse au temps t donnée par: vx(t) = dx/dt vy (t) = dy/dt
r
€
! r (t) ≡
x(t)y(t)
#
$ %
&
' ( ≡ r(t)
€
! v (t) ≡ v(t) =
drdt
(t) = ˙ r (t)
15
Exemple
Projectile lancé d'une tour, vitesse // au sol: vx(0) = V, au temps t=0. On néglige l'effet de l'air => vx
(t) = V = cte.
x
y V
g
vx(t) = V
vy(t) = - g t
x = 0 + V t y = h - g t2 / 2
Forme de la trajectoire: t = x/V y = h - g x2 / (2V2)
mouvement horizontal uniforme
0
mvt vertical soumis à la pesanteur
on décompose le mouvement: une composante // à x et une // à y
16
Exemple .2 Distance maximale pour un projectile
xΘ
v
0
y
?
17
Equations du mouvement
si a = constante alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2 / 2
Dès définitions de vitesse et accélération:
On veut savoir quelle est la position et vitesse d'un objet à un certain moment, à partir des caractéristiques de son mouvement
18
Eq.s mouvement .2 * Calcul de la vitesse au temps t, a= cte:
€
v(t) = v(0) + adt0
t
∫ = v(0) + a dt0
t
∫ = v(0) + a(t − 0) = v(0) + at
avec v(0) la vitesse initiale.
* La position au temps t1:
€
x(t1) = x(0) + v(t)dt0
t1
∫ = x(0) + (v(0) + at)dt0
t1
∫ =
= x(0) + v(0)dt0
t1
∫ + at dt0
t1
∫ = x(0) + v(0)t1 +12at1
2
19
Eq.s mouvement avant Newton
t 0 τ 2τ 3τ
v 0 aτ a(2τ) a(3τ)
vmoyenne aτ/2 a3τ/2 a5τ/2
x 0 τ (aτ/2) = x(τ)+ a3τ2/2 = aτ2/2 = a4τ2/2 = a(2τ)2/2 a(3τ)2/2
€
vmoyenne(t1,t 2) =v(t1) + v(t 2)
2
€
x(t 2) ≈ x(t1) + vmoyenne(t1,t 2) × (t 2 − t1)
€
12at2
t
20
Annexe: les VECTEURS
21
Scalaires et vecteurs
Une grandeur physique qui s’exprime par un nombre réel est dite scalaire (de « scala » = échelle). C’est le cas de la température. P. ex.: on attribue à chaque point de la salle de cours un nombre qui représente la température: T(x,y,z).
Si l’on a besoin d’exprimer aussi une « direction » et pas seulement une intensité, alors on se sert de vecteurs. P. ex.: dans une rivière on doit indiquer la vitesse des molécules d’eau, au temps t: Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t) sont les trois composantes du vecteur vitesse V, au temps t, dans un point (x,y,z) de la rivière.
22
Les vecteurs
rx
y
ry
xy
€
! r ≡ r ≡
rx
ry
rz
#
$
% % %
&
'
( ( ( ≡
r1r2
r3
#
$
% % %
&
'
( ( (
rx
"gras"flèche
(norme de r) ≡ | r | = rx2 + ry
2 + rz2
longueur
^ indique un vecteur de norme = 1
r = x rx + y ry + z rz ^ ^ ^
(l'axe z sort du dessin)
23
Les vecteurs, notations (3D)
€
! r ≡ r ≡
rx
ry
rz
#
$
% % %
&
'
( ( ( ≡
r1r2
r3
#
$
% % %
&
'
( ( (
r ≡! r ≡! r = rx
2 + ry2 + rz
2 ≡ ri2
i=1,3
∑
gras
€
ˆ v = 1! v ! v un vecteur unitaire qui sert à indiquer la direction:
24
Les vecteurs, opérationsOPERATIONS ADDITION v = a + b MULTIPLICATION PAR SCALAIRE v = s a PRODUIT SCALAIRE s = a . b PRODUIT VECTORIEL v = a × b ≡ a ∧ b
Ex: multiplication du vecteur (2,3,-1) par le scalaire 0.5
€
0.5 ⋅23−1
$
%
& & &
'
(
) ) )
=
11.5−0.5
$
%
& & &
'
(
) ) )
25
Les vecteurs, addition
b
x
y
bx
by P
O
Q
a
OQ = a + b
OQ − b = a
€
OQ =axay
"
# $
%
& ' +
bxby
"
# $
%
& ' =
ax + bxay + by
"
# $
%
& '
Addition de vecteurs
exemple en 2D
26
Les vecteurs, produit scalaireProduit scalaire: a • b = |a| |b| cos(φ) = a' |b| = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
φ
a
ba'
φ : angle entre a et b
a
ba'le produit est < 0
le produit est = 0 si φ est droit !
le produit est > 0
* calcul d'un angle: cos(φ) = a • b / |a| |b| => φ = arccos( a • b / |a| |b| ) * norme (longueur) d'un vecteur: |a| = a • a
Exemples:
27
Les vecteurs, produit vectoriel
Produit vectoriel v = a × b est un vecteur orthogonal à a et à b de norme : |v| = |a| |b| sin(φ)
φ : angle entre a et b
a
b
v
φ
|v| est égale à l'aire du parallélogramme de côtés a et b
v1 = a2b3 - a3b2 v2 = a3b1 - a1b3 v3 = a1b2 - a2b1
Q1: Signification du produit mixte: (a × b) • c ? Q2: Montrer que a × b = - b × a